最新坐标系中的平行四边形

挑战2023年中考数学选择、填空压轴真题汇编专题07特殊平行四边形综合的压轴真题训练一．平行四边形的性质1．（2022•日照）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点O在坐标原点，点E是对角线AC上一动点（不包含端点），过点E作EF∥BC，交AB于F，点P在线段EF上．若OA＝4，OC＝2，∠AOC＝45°，EP＝3PF，P点的横坐标为m，则m的取值范围是（）A．4＜m＜3+B．3﹣＜m＜4C．2﹣＜m＜3D．4＜m＜4+【答案】A【解答】解：可得C（，），A（4，0），B（4+，），∴直线AB的解析式为：y＝x﹣4，∴x＝y+4，直线AC的解析式为：y＝﹣，∴x＝4+y﹣2y，∴点F的横坐标为：y+4，点E的横坐标为：4+y﹣2y，∴EF＝（y+4）﹣（4+y﹣2y）＝2，∵EP＝3PF，∴PF＝EF＝y，∴点P的横坐标为：y+4﹣y，∵0＜y＜，∴4＜y+4﹣y＜3+，故答案为：A．2．（2022•无锡）如图，在▱ABCD中，AD＝BD，∠ADC＝105°，点E在AD 上，∠EBA＝60°，则的值是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：如图，过点B作BH⊥AD于H，设∠ADB＝x，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，∠ADC＝∠ABC＝105°，∴∠CBD＝∠ADB＝x，∵AD＝BD，∴∠DBA＝∠DAB＝，∴x+＝105°，∴x＝30°，∴∠ADB＝30°，∠DAB＝75°，∵BH⊥AD，∴BD＝2BH，DH＝BH，∵∠EBA＝60°，∠DAB＝75°，∴∠AEB＝45°，∴EH＝BH，∴DE＝BH﹣BH＝（﹣1）BH，∵AB＝＝＝（﹣）BH＝CD，∴＝，故选：D．二．矩形的性质3．（2022•泰安）如图，四边形ABCD为矩形，AB＝3，BC＝4，点P是线段BC 上一动点，点M为线段AP上一点，∠ADM＝∠BAP，则BM的最小值为（）A．B．C．﹣D．﹣2【答案】D【解答】解：如图，取AD的中点O，连接OB，OM．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，AD＝BC＝4，∴∠BAP+∠DAM＝90°，∵∠ADM＝∠BAP，∴∠AMD＝90°，∵AO＝OD＝2，∴OM＝AD＝2，∴点M在以O为圆心，2为半径的⊙O上，∵OB＝＝＝，∴BM≥OB﹣OM＝﹣2，∴BM的最小值为﹣2．故选：D．4．（2022•丽水）如图，标号为①，②，③，④的矩形不重叠地围成矩形PQMN．已知①和②能够重合，③和④能够重合，这四个矩形的面积都是5．AE＝a，DE＝b，且a＞b．（1）若a，b是整数，则PQ的长是；（2）若代数式a2﹣2ab﹣b2的值为零，则的值是．【答案】a﹣b；3+2．【解答】解：（1）由图可知：PQ＝a﹣b，故答案为：a﹣b；（2）∵a2﹣2ab﹣b2＝0，∴a2﹣b2＝2ab，（a﹣b）2＝2b2，∴a＝b+b（负值舍），∵四个矩形的面积都是5．AE＝a，DE＝b，∴EP＝，EN＝，则＝＝＝＝＝＝3+2．故答案为：3+2．5．（2022•宿迁）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，点M 、N 分别是边AD 、BC 的中点，某一时刻，动点E 从点M 出发，沿MA 方向以每秒2个单位长度的速度向点A 匀速运动；同时，动点F 从点N 出发，沿NC 方向以每秒1个单位长度的速度向点C 匀速运动，其中一点运动到矩形顶点时，两点同时停止运动，连接EF ，过点B 作EF 的垂线，垂足为H ．在这一运动过程中，点H 所经过的路径长是．【答案】π【解答】解：如图1中，连接MN 交EF 于点P ，连接BP ．∵四边形ABCD 是矩形，AM ＝MD ，BN ＝CN ，∴四边形ABNM 是矩形，∴MN ＝AB ＝6，∵EM ∥NF ，∴△EPM ∽△FPN ，∴＝＝＝2，∴PN＝2，PM＝4，∵BN＝4，∴BP＝＝＝2，∵BH⊥EF，∴∠BHP＝90°，∴点H在BP为直径的⊙O上运动，当点E与A重合时，如图2中，连接OH，ON．点H的运动轨迹是．此时AM＝4，NF＝2，∴BF＝AB＝6，∵∠ABF＝90°，BH⊥AF，∴BH平分∠ABF，∴∠HBN＝45°，∴∠HON＝2∠HBN＝90°，∴点H的运动轨迹的长＝＝π．故答案为：π．6．（2022•西宁）矩形ABCD中，AB＝8，AD＝7，点E在AB边上，AE＝5．若点P是矩形ABCD边上一点，且与点A，E构成以AE为腰的等腰三角形，则等腰三角形AEP的底边长是．【答案】5或4【解答】解：如图所示，①当AP＝AE＝5时，∵∠BAD＝90°，∴△AEP是等腰直角三角形，∴底边PE＝AE＝5；②当P1E＝AE＝5时，∵BE＝AB﹣AE＝8﹣5＝3，∠B＝90°，∴P1B＝，∴底边AP1＝；综上所述：等腰三角形AEP1的底边长为5或4；故答案为：5或4．三．正方形的性质和判定7．（2022•泸州）如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是边AB上的点，且BE＝2AE，过点E作DE的垂线交正方形外角∠CBG的平分线于点F，交边BC于点M，连接DF交边BC于点N，则MN的长为（）A．B．C．D．1【答案】B【解答】解：作FH⊥BG交于点H，作FK⊥BC于点K，∵BF平分∠CBG，∠KBH＝90°，∴四边形BHFK是正方形，∵DE⊥EF，∠EHF＝90°，∴∠DEA+∠FEH＝90°，∠EFH+∠FEH＝90°，∴∠DEA＝∠EFH，∵∠A＝∠EHF＝90°，∴△DAE∽△EHF，∴，∵正方形ABCD的边长为3，BE＝2AE，∴AE＝1，BE＝2，设FH＝a，则BH＝a，∴，解得a＝1；∵FK⊥CB，DC⊥CB，∴△DCN∽△FKN，∴，∵BC＝3，BK＝1，∴CK＝2，设CN＝b，则NK＝2﹣b，∴，解得b＝，即CN＝，∵∠A＝∠EBM，∠AED＝∠BME，∴△ADE∽△BEM，∴，∴，解得BM＝，∴MN＝BC﹣CN﹣BM＝3﹣﹣＝，故选：B．8．（2022•泰州）如图，正方形ABCD的边长为2，E为与点D不重合的动点，以DE为一边作正方形DEFG．设DE＝d1，点F、G与点C的距离分别为d2、d3，则d1+d2+d3的最小值为（）A．B．2C．2D．4【答案】C【解答】解：如图，连接AE，∵四边形DEFG是正方形，∴∠EDG＝90°，EF＝DE＝DG，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∴d1+d2+d3＝EF+CF+AE，∴点A，E，F，C在同一条线上时，EF+CF+AE最小，即d1+d2+d3最小，连接AC，∴d1+d2+d3最小值为AC，在Rt△ABC中，AC＝AB＝2，∴d1+d2+d3最小＝AC＝2，故选：C．9．（2022•广西）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，对角线AC，BD相交于点O．点E是对角线AC上一点，连接BE，过点E作EF⊥BE，分别交CD，BD于点F，G，连接BF，交AC于点H，将△EFH沿EF翻折，点H的对应点H′恰好落在BD上，得到△EFH′．若点F为CD的中点，则△EGH′的周长是．【答案】5+【解答】解：如图，过点E作EM⊥BC于M，作EN⊥CD于N，过点F作FP⊥AC于P，连接GH，∵将△EFH沿EF翻折得到△EFH′，∴△EGH'≌△EGH，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD＝BC＝4，∠BCD＝90°，∠ACD＝∠ACB＝45°，∴BD＝BC＝8，△CPF是等腰直角三角形，∵F是CD的中点，∴CF＝CD＝2，∴CP＝PF＝2，OB＝BD＝4，∵∠ACD＝∠ACB，EM⊥BC，EN⊥CD，∴EM＝EN，∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，∴∠MEN＝90°，∵EF⊥BE，∴∠BEF＝90°，∴∠BEM＝∠FEN，∵∠BME＝∠FNE，∴△BME≌△FNE（ASA），∴EB＝EF，∵∠BEO+∠PEF＝∠PEF+∠EFP＝90°，∴∠BEO＝∠EFP，∵∠BOE＝∠EPF＝90°，∴△BEO≌△EFP（AAS），∴OE＝PF＝2，OB＝EP＝4，∵tan∠OEG＝＝，即＝，∴OG＝1，∴EG＝＝，∵OB∥FP，∴∠OBH＝∠PFH，∴tan∠OBH＝tan∠PFH，∴＝，∴＝＝2，∴OH＝2PH，∵OP＝OC﹣PC＝4﹣2＝2，∴OH＝×2＝，在Rt△OGH中，由勾股定理得：GH＝＝，∴△EGH′的周长＝△EGH的周长＝EH+EG+GH＝2+++＝5+．故答案为：5+．10．（2022•安徽）如图，四边形ABCD是正方形，点E在边AD上，△BEF是以E为直角顶点的等腰直角三角形，EF，BF分别交CD于点M，N，过点F 作AD的垂线交AD的延长线于点G．连接DF，请完成下列问题：（1）∠FDG＝°；（2）若DE＝1，DF＝2，则MN＝．【答案】45°【解答】解：由题知，△BEF是以E为直角顶点的等腰直角三角形，∴∠AEB+∠GEF＝90°，∵∠AEB+∠ABE＝90°，∴∠GEF＝∠ABE，在△ABE和△GEF中，，∴△ABE≌△GEF（AAS），∴EG＝AB＝AD，GF＝AE，即DG+DE＝AE+DE，∴DG＝AE，∴DG＝GF，即△DGF是等腰直角三角形，∴∠FDG＝45°，故答案为：45°；（2）∵DE＝1，DF＝2，由（1）知，△DGF是等腰直角三角形，∴DG＝GF＝2，AB＝AD＝CD＝ED+DG＝2+1＝3，延长GF交BC延长线于点H，∴CD∥GH，∴△EDM∽△EGF，∴，即，∴MD＝，同理△BNC∽△BFH，∴，即，∴，∴NC＝，∴MN＝CD﹣MD﹣NC＝3﹣﹣＝，故答案为：．11．（2022•达州）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别为AD，CD边上的动点（不与端点重合），连接BE，BF，分别交对角线AC于点P，Q．点E，F在运动过程中，始终保持∠EBF＝45°，连接EF，PF，PD．下列结论：①PB＝PD；②∠EFD＝2∠FBC；③PQ＝P A+CQ；④△BPF为等腰直角三角形；⑤若过点B作BH⊥EF，垂足为H，连接DH，则DH的最小值为2﹣2，其中所有正确结论的序号是．【答案】①②④⑤【解答】解：如图，∵四边形ABCD是正方形，∴CB＝CD，∠BCP＝∠DCP＝45°，在△BCP和△DCP中，，∴△BCP≌△DCP（SAS），∴PB＝PD，故①正确，∵∠PBQ＝∠QCF＝45°，∠PQB＝∠FQC，∴△PQB∽△FQC，∴＝，∠BPQ＝∠CFQ，∴＝，∵∠PQF＝∠BQC，∴△PQF∽△BQC，∴∠QPF＝∠QBC，∵∠QBC+∠CFQ＝90°，∴∠BPF＝∠BPQ+∠QPF＝90°，∴∠PBF＝∠PFB＝45°，∴PB＝PF，∴△BPF是等腰直角三角形，故④正确，∵∠EPF＝∠EDF＝90°，∴E，D，F，P四点共圆，∴∠PEF＝∠PDF，∵PB＝PD＝PF，∴∠PDF＝∠PFD，∵∠AEB+∠DEP＝180°，∠DEP+∠DFP＝180°，∴∠AEB＝∠DFP，∴∠AEB＝∠BEH，∵BH⊥EF，∴∠BAE＝∠BHE＝90°，∵BE＝BE，∴△BEA≌△BEH（AAS），∴AB＝BH＝BC，∵∠BHF＝∠BCF＝90°，BF＝BF，∴Rt△BFH≌Rt△BFC（HL），∴∠BFC＝∠BFH，∵∠CBF+∠BFC＝90°，∴2∠CBF+2∠CFB＝180°，∵∠EFD+∠CFH＝∠EFD+2∠CFB＝180°，∴∠EFD＝2∠CBF，故②正确，将△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△BCT，连接QT，∴∠ABP＝∠CBT，∴∠PBT＝∠ABC＝90°，∴∠PBQ＝∠TBQ＝45°，∵BQ＝BQ，BP＝BT，∴△BQP≌△BQT（SAS），∴PQ＝QT，∵QT＜CQ+CT＝CQ+AP，∴PQ＜AP+CQ，故③错误，连接BD，DH，∵BD＝2，BH＝AB＝2，∴DH≥BD﹣BH＝2﹣2，∴DH的最小值为2﹣2，故⑤正确，故答案为：①②④⑤．12．（2022•南通）如图，点O是正方形ABCD的中心，AB＝3．Rt△BEF中，∠BEF＝90°，EF过点D，BE，BF分别交AD，CD于点G，M，连接OE，OM，EM．若BG＝DF，tan∠ABG＝，则△OEM的周长为．【答案】3+3【解答】解：如图，连接BD，过点F作FH⊥CD于点H．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝3，∠A＝∠ADC＝90°，∵tan∠ABG＝＝，∴AG＝，DG＝2，∴BG＝＝＝2，∵∠BAG＝∠DEG＝90°，∠AGB＝∠DGE，∴△BAG∽△DEG，∴＝＝，∠ABG＝∠EDG，∴＝＝，∴DE＝，EG＝，∴BE＝BG+EG＝2+＝，∵∠ADH＝∠FHD＝90°，∴AD∥FH，∴∠EDG＝∠DFH，∴∠ABG＝∠DFH，∵BG＝DF＝2，∠A＝∠FHD＝90°，∴△BAG≌△FHD（AAS），∴AB＝FH，∵AB＝BC，∴FH＝BC，∵∠C＝∠FHM＝90°，∴FH∥CB，∴＝＝1，∴FM＝BM，∵EF＝DE+DF＝+2＝，∴BF＝＝4，∵∠BEF＝90°，BM＝MF，∴EM＝BF＝2，∵BO＝OD，BM＝MF，∴OM＝DF＝，∵OE＝BD＝×6＝3，∴△OEM的周长＝3++2＝3+3，解法二：辅助线相同．证明△BAG≌△FHD，推出AB＝HF＝3，再证明△FHM≌△BCM，推出CM＝HM＝，求出BD，DF，BF，利用直角三角形斜边中线的性质，三角形中位线定理，可得结论．故答案为：3+3．13．（2022•攀枝花）如图，以△ABC的三边为边在BC上方分别作等边△ACD、△ABE、△BCF．且点A在△BCF内部．给出以下结论：①四边形ADFE是平行四边形；②当∠BAC＝150°时，四边形ADFE是矩形；③当AB＝AC 时，四边形ADFE是菱形；④当AB＝AC，且∠BAC＝150°时，四边形ADFE 是正方形．其中正确结论有（填上所有正确结论的序号）．【答案】①②③④【解答】解：①∵△ABE、△CBF是等边三角形，∴BE＝AB，BF＝CB，∠EBA＝∠FBC＝60°；∴∠EBF＝∠ABC＝60°﹣∠ABF；∴△EFB≌△ACB（SAS）；∴EF＝AC＝AD；同理由△CDF≌△CAB，得DF＝AB＝AE；由AE＝DF，AD＝EF即可得出四边形ADFE是平行四边形，故结论①正确；②当∠BAC＝150°时，∠EAD＝360°﹣∠BAE﹣∠BAC﹣∠CAD＝360°﹣60°﹣150°﹣60°＝90°，由①知四边形AEFD是平行四边形，∴平行四边形ADFE是矩形，故结论②正确；③由①知AB＝AE，AC＝AD，四边形AEFD是平行四边形，∴当AB＝AC时，AE＝AD，∴平行四边形AEFD是菱形，故结论③正确；④综合②③的结论知：当AB＝AC，且∠BAC＝150°时，四边形AEFD既是菱形，又是矩形，∴四边形AEFD是正方形，故结论④正确．故答案为：①②③④．四．菱形的性质14．（2022•丽水）如图，已知菱形ABCD的边长为4，E是BC的中点，AF平分∠EAD交CD于点F，FG∥AD交AE于点G．若cos B＝，则FG的长是（）A．3B．C．D．【答案】B【解答】解：方法一，如图，过点A作AH⊥BE于点H，过点F作FQ⊥AD于点Q，∵菱形ABCD的边长为4，∴AB＝AD＝BC＝4，∵cos B＝＝，∴BH＝1，∴AH＝＝＝，∵E是BC的中点，∴BE＝CE＝2，∴EH＝BE﹣BH＝1，∴AH是BE的垂直平分线，∴AE＝AB＝4，∵AF平分∠EAD，∴∠DAF＝∠FAG，∵FG∥AD，∴∠DAF＝∠AFG，∴∠F AG＝∠AFG，∴GA＝GF，设GA＝GF＝x，∵AE＝CD＝4，FG∥AD，∴DF＝AG＝x，cos D＝cos B＝＝，∴DQ＝x，∴FQ＝＝＝x，＝S梯形CEGF+S梯形GFDA，∵S梯形CEAD∴×（2+4）×＝（2+x）×（﹣x）+（x+4）×x，解得x＝，则FG的长是．或者：∵AE＝CD＝4，FG∥AD，∴四边形AGFD的等腰梯形，∴GA＝FD＝GF，则x+x+x＝4，解得x＝，则FG的长是．方法二：如图，作AH垂直BC于H，延长AE和DC交于点M，∵菱形ABCD的边长为4，∴AB＝AD＝BC＝4，∵cos B＝＝，∴BH＝1，∵E是BC的中点，∴BE＝CE＝2，∴EH＝BE﹣BH＝1，∴AH是BE的垂直平分线，∴AE＝AB＝4，所以AE＝AB＝EM＝CM＝4，设GF＝x，则AG＝x，GE＝4﹣x，由GF∥BC，∴△MGF∽△MEC，∴＝，解得x＝．故选：B．15．（2022•甘肃）如图1，在菱形ABCD中，∠A＝60°，动点P从点A出发，沿折线AD→DC→CB方向匀速运动，运动到点B停止．设点P的运动路程为x，△APB的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，则AB的长为（）A．B．2C．3D．4【答案】B【解答】解：在菱形ABCD中，∠A＝60°，∴△ABD为等边三角形，设AB＝a，由图2可知，△ABD的面积为3，∴△ABD的面积＝a2＝3，解得：a1＝2，a2＝﹣2（舍去），故选：B．。

【初二数学专题】平行四边形顶点坐标的确定（31型）姓名：__________指导：__________日期：__________小名老师说在平面直角坐标系中，已知任意三个不共线的点，要确定第四点的坐标，使这四个点能够构成平行四边形，这是平行四边形顶点坐标确定的最常见、最经典的一类问题，小名把它称为3+1型。

这类问题也是以后我们探究二次函数中平行四边形问题的基石，少侠们一定要掌握这类问题哦！下面和小名老师一起来探讨一下这类问题的解题思路和方法，以及配套公式.典例精讲例已知A（-1，0）、B（2，-1）、C（0，2），点D在平面直角坐标系内，且以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的D点坐标是 .求解思路本题中没有规定平行四边形的顶点顺序，所以要注意进行分类讨论！分类讨论！！分类讨论！！！怎么分类呢？以哪一边为平行四边形的对角线来分类（即以哪两边为平行四边形的一组邻边来分类）分哪几类呢？分三类：（1）以BC边为对角线；（2）以AC边为对角线；（3）以AB边为对角线嘿嘿，根据上面的分析思路我们可以根据题意得出如下图形可知满足题意的点D有3个如图所示??求解方法解决此类问题的方法由很多，少侠们可以自己好好探究一下哦，今天小名老师主要给少侠们推荐一种运用中点坐标公式的方法求点坐标，如果学到手，以后解此类问题就很快.少侠们可以点下面的视频学习如何运用中点坐标公式求点的坐标哦！??针对训练如图所示，平面直角坐标系中，已知三点A（-1，0），B（2，0），C（0，1），若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则D点的坐标不可能是（）A．（3，1）B．（-3，1）C．（1，3）D．（1，-1）答案C小结方法归纳：平行四边形顶点坐标公式：（简称:“对点法”）平面直角坐标系中，平行四边形两组相对顶点的横坐标之和相等，纵坐标之和也相等．专题小练在平面直角坐标系中，已知点A（1，3），B（2，-1），C（4，1），点D是该平面内y轴右侧的动点，若以点A、B、C、D为顶点的四边形恰好是平行四边形时，点D的坐标为 .。

平面直角坐标系平行四边形对角线公式（最新版）目录1.平行四边形对角线公式的背景和意义2.平行四边形对角线公式的推导过程3.平行四边形对角线公式的应用实例4.结论正文一、平行四边形对角线公式的背景和意义在平面直角坐标系中，平行四边形是一个基本的几何图形。

在解决一些与平行四边形相关的几何问题时，了解平行四边形对角线公式是非常有帮助的。

平行四边形对角线公式描述了平行四边形对角线的长度与两边长度之间的关系，具有重要的理论意义和实际应用价值。

二、平行四边形对角线公式的推导过程我们可以通过向量法来推导平行四边形对角线公式。

假设平行四边形的四个顶点分别为 A(x1, y1)、B(x2, y1)、C(x2, y2) 和 D(x1, y2)，对角线 AC 和 BD 的长度分别为 a 和 b。

根据向量加法，向量 AC 可以表示为 (x2 - x1, y2 - y1)，向量 BD 可以表示为 (x1 - x2, y2 - y1)。

那么，根据向量的模长公式，我们可以得到：|AC| = √[(x2 - x1) + (y2 - y1)]|BD| = √[(x1 - x2) + (y2 - y1)]通过平行四边形的性质，我们知道对角线互相平分，即 AC = BD。

将上述两个公式代入，我们可以得到：√[(x2 - x1) + (y2 - y1)] = √[(x1 - x2) + (y2 - y1)]整理后，我们可以得到平行四边形对角线公式：a = (x2 - x1) + (y2 - y1)b = (x1 - x2) + (y2 - y1)三、平行四边形对角线公式的应用实例假设一个平行四边形的边长为 3 和 4，我们需要求对角线的长度。

根据平行四边形对角线公式，我们可以得到：a = (4 - 3) + (y2 - y1) = 1 + (y2 - y1)b = (3 - 4) + (y2 - y1) = 1 + (y2 - y1)由于 a = b，我们可以得到：1 + (y2 - y1) = 1 + (y2 - y1)这个方程说明平行四边形的对角线长度相等。

坐标系中平行四边形顶点坐标规律亲爱的朋友们，大家好！今天我要和大家聊一聊一个很有趣的问题，那就是在坐标系中如何找到平行四边形的顶点。

这个问题听起来可能有点复杂，但其实只要我们掌握了一些基本的规律和方法，就能轻松解决。

那么，让我们一起来探索一下这个有趣的话题吧！我们要明确一点，那就是在坐标系中，平行四边形是由四个点组成的。

这四个点分别是平行四边形的四个顶点，它们分别位于不同的行和列上。

为了方便起见，我们可以将这四个点分别用字母A、B、C和D表示。

接下来，我们要分析的是这些点的坐标规律。

我们可以观察到，这四个点的横坐标都是相等的。

也就是说，无论我们在坐标系中选择哪个点作为参考，其他三个点的横坐标都是相同的。

这是因为平行四边形的对边平行，所以它们的横坐标是相等的。

然后，我们再来看看这四个点的纵坐标。

同样地，这四个点的纵坐标也是相等的。

这是因为平行四边形的对角线互相平分，所以我们可以将每个角平分到两条对角线上，这样每个角上的点的纵坐标就是相等的。

现在我们已经找到了这四个点的坐标规律：横坐标相等，纵坐标相等。

那么，我们应该如何根据这些规律来确定平行四边形的顶点呢？其实，这个问题的答案很简单。

我们只需要在坐标系中画出一个平行四边形，然后根据上述规律来确定它的顶点就可以了。

具体来说，我们可以先确定一个顶点，比如点A。

然后，我们可以观察它与另外三个顶点的关系，通过计算可以得出第三个顶点的位置。

同样地，我们可以依次计算出第四个顶点的位置。

通过这种方法，我们就可以准确地确定出平行四边形的所有顶点了。

这个过程虽然看起来有些繁琐，但是只要我们熟练掌握了坐标系的规律，就能够轻松地解决这类问题。

总的来说，找到平行四边形的顶点并不难，关键在于我们需要掌握一些基本的数学规律。

只要我们按照上述方法进行操作，就能够准确地找出平行四边形的顶点位置。

希望大家能够通过这篇文章的学习，提高自己的数学能力，更好地应对各种复杂的问题！。

坐标系中的平行四边形的知识平行四边形是几何学中一个常见的形状，它具有独特的性质和特点。

在坐标系中，平行四边形的性质可以通过坐标的运算和几何知识来得到详细描述。

平行四边形的定义平行四边形是一个具有两对边平行的四边形。

在坐标系中，平行四边形可以通过坐标点表示，其中相邻的两个点构成一条边，而相对的两个点之间的线段是平行的。

平行四边形的性质包括对角线互相平分、相对边平行等。

平行四边形的判定在坐标系中，可以通过坐标点的斜率来判定平行四边形。

如果四个点的斜率相等，则这四个点构成的四边形是平行四边形。

斜率的计算方法为两点之间纵坐标的差值除以横坐标的差值。

平行四边形的性质1.对角线互相平分：平行四边形的对角线互相平分，并且中点连线是平行四边形的对边之一。

2.相邻角互补：平行四边形的相邻内角互补，也就是说相邻角的和为180度。

3.临角相等：平行四边形的临角相等，也就是相对边之间的角相等。

4.相对边平行：平行四边形的相对边是平行的。

5.对角线长：对角线长相等。

平行四边形的性质应用平行四边形的性质在几何推导和解题中有着广泛的应用。

通过利用平行四边形的性质，可以简化几何问题的计算和分析。

在坐标系中，通过有效地利用平行四边形的知识，可以更快速地解决复杂的几何问题。

总结在坐标系中，平行四边形是一个重要的几何形状，具有多种性质和特点。

通过对平行四边形的定义、判定和性质进行深入了解，可以更好地应用几何知识解决问题。

平行四边形的知识不仅在数学领域有着重要意义，也可以延伸到其他学科和实际生活中，为我们提供更多的思维方式和解决问题的途径。

西安爱知中学第十一届校本教研备课组公开课教案年级初三备课组数学组姓名霍高峰坐标系中平行四边形存在性问题探究教学设计课堂练习：1、如图，二次函数x x y 31322—=的图象经过△AOB 的三个顶点，其中A(-1，m )，B(n,n ) ． （1）求A 、B 的坐标；（2）在坐标平面上找点C ，使以A 、O 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形． ①这样的点C 有几个？ ②能否将抛物线x x y 31322—=平移后经过A 、C 两点？若能，求出平移后经过A 、C 两点的一条．．抛物线的解析式；若不能，说明理由．2、如图，抛物线223y x x =--与x 轴交A 、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A 、C 两点，其中C 点的横坐标为2．（1）求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式；（3）点G 抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ，使A 、C 、F 、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由．xyBAO C《坐标系中平行四边形问题探究》教学反思一直以来，关于在坐标系中，特别在二次函数中讨论平行四边形存在性问题困扰自己，有时自己觉得非常简单的方法对于学生却如同天书一般困难，思考再三，根据平行四边形的图形特点，总结了利用表示坐标的方法解决平行四边形问题的方法。

坐标法不是探讨和论证线段的相等、三角形的全等……，而是用动态的观点看待几何图形——把平行四边形看成是由一条线段平移而成，用数的运算来描述图形的变化——用坐标表示平移，其本质是用几何变换去认识几何图形，用代数方法来解决几何问题，体现的是解析几何的思想、数形结合的思想、几何变换的思想．坐标法的思路：先由题目条件探索三点的坐标（若只有两个定点，可设一个动点的坐标）．根据平行四边形的对角线互相平分这一特征，借助中点坐标公式，探索出平行四边形对角线端点坐标关系，顺利写出第四个顶点的坐标．最后根据题目的要求（动点在什么曲线上），判断平行四边形的存在性．坐标法的特点：①不会遗漏．坐标法回避了对复杂图形的相互关系的分析；②不需证明．坐标法直接写出第四个点的坐标，跨越了复杂的推理过程，回避了繁琐的证明；③不限条件．坐标法适用范围广，无论定点在什么位置、无论动点在哪几条曲线上、在什么曲线上，都可以探索，真正是以不变应万变．坐标法实际就是要用代数的方法研究几何问题，加强数形之间的联系，突出数形结合的思想．这启发我们在日常的教学活动中，要加强对新课程的研究，渗透新课程的理念，按照新课程的要求及时渗透数形结合的思想、几何变换的思想，引导学生从不同的角度思考问题，这样才能从教材简单的例、习题中获得解决问题的新方法、新思想，才能引导学生重视教材，同时培养学生探索的能力和创新的意识．从本节课学生的情况来看，学生对于这种方法接受容易，学习的兴趣也得到提升，在课堂中能够积极发言，探讨遇到的问题。

例谈求平行四边形顶点坐标的方法在平面直角坐标系中，求平行四边形是初中数学典型题型，通常的做法是，以一组对边为斜边，过两端点分别作出垂直于x轴和y轴的作直角边，构造出两个全等的直角三角形，得到对应直角边相等，从而转化为四边行对边顶点坐标差相等，解得未知顶点坐标。

例如：如图，在ABCD中，A 1 3（3，），4(6,)3B，10(4,)3C，求D点坐标。

解法：作AE⊥y轴，DE⊥x轴，交于点E，BF⊥y轴，CF⊥x轴，交于点F，易得Rt△ADE≌Rt△BCF ∴DE=CF，AE=BF 设D（X，Y）∴3-X=6-4，Y-13=10433，∴X=1 Y=73∴D(1,73)这一方法看似简单，但需要知道平行四边形的形状，再添四条辅助线，显得比较繁琐。

如果只知道三个顶点，在未确定平行四边形的形状或字母顺序情况下，则要分三种情况进行分类讨论，第四个顶点就有三个。

若求平行四边形顶点问题再与动点和函数相结合，作出平行四边行图形将比较难，在这种情况下，再构造直角三角形全等，就更为复杂困难了。

其实，解决平行四边形顶点坐标问题，由平移的性质来解决会更简便。

由平移的性质可知：在平移过程中，图形上每个点都沿相同的方向移动了相同的距离。

根据这一性质，我们可以利用图形变换与坐标变换关系写出变换后图形上点的坐标，而平行四边形可以看成由一条线段AB沿一定方向平移到CD，再连结AD，BC就形成了平行四边形ABCD（如图），所以A到D和B到C就有一致的平移变换方式，即向左右和向上下平移的距离相等，或得到对应顶点坐标差相等，就可以简便地解决顶点坐标问题。

请看下面例子，例1：已知：平行四边形三个顶点，A 1 3（3，），4(6,)3B，10(4,)3C，求点D的坐标。

分析：平行四边形没给出图形或字母顺序，所以要分三种情况分类（1）当BD为对角线时，由DC∥AB，可看成由AB沿BC方向平移得到ABCD，则A与D，B与D是平移变换后的对应点，因为点10(4,)3C，4(6,)3B，可知C点是由B点向左平移2个单位，向上平移2个单位得到，所以点A 1 3（3，）向左平移2个单位，向上平移2个单位得到7 (1,)3 D。