1-3-2集合的基本运算

集合的运算与运算法则在数学中，集合是最基本的概念之一。

集合是由一些确定的元素所组成的。

对于一个集合而言，可以对它进行不同的运算。

那么集合的运算有哪些呢？它们又有哪些运算法则呢？本文将为大家详细讲解。

一、集合的基本运算1. 并集运算并集运算指的是将两个或多个集合的元素合并成一个新的集合。

例如：集合A={1,2}，集合B={2,3,4}，则集合A和B的并集为{1,2,3,4}。

2. 交集运算交集运算是指将两个或多个集合中公共元素取出来组成一个新的集合。

例如：集合A={1,2,3}，集合B={2,3,4}，则集合A和B的交集为{2,3}。

3. 差集运算差集运算是指将一个集合中属于另一个集合的元素从该集合中去除。

例如：集合A={1,2,3}，集合B={2,3,4}，则集合A和B的差集为{1}。

4. 补集运算补集运算指的是在一个全集中，去掉一个集合后得到的剩余部分。

假设有集合A={1,2,3}，全集U={1,2,3,4,5}，则集合A的补集为{4,5}。

五个符号来表示集合的基本运算：并集运算：A ∪ B交集运算：A ∩ B差集运算：A - B补集运算：A’集合相等：A=B二、集合的运算法则1. 并集运算的法则①结合律：对于任意的集合A、B和C来说，（A∪B）∪C=A∪（B∪C）。

②交换律：对于任意的集合A和B来说，A∪B=B∪A。

③分配律：对于任意的集合A、B和C来说，A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A∪C）。

④恒等律：对于任意的集合A来说，A∪Φ=A。

2. 交集运算的法则①结合律：对于任意的集合A、B和C来说，（A∩B）∩C=A∩（B∩C）。

②交换律：对于任意的集合A和B来说，A∩B=B∩A。

③分配律：对于任意的集合A、B和C来说，A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C）。

④恒等律：对于任意的集合A来说，A∩U=A。

3. 差集运算的法则①差集运算的定义：对于任意的集合A和B来说，A-B={x|x∈A 且 x∉B}。

∵mm
ห้องสมุดไป่ตู้
3 ⇒m≥ ， 2
3 ≥ 在 U 中的补集为{m|m≤－1}， 2
∴实数 m 的取值范围为{m|m≤－1}．
方法点评 本题运用了“补集思想”． 对于比较复杂、 比较抽象、 难于从正面入手的数学问题，在解题时，调整思路从问题的反 面入手，探求已知和未知的关系，这样能化难为易、化隐为显， 从而将问题解决，这就是补集思想的应用，也是处理问题的间 接化原则的体现．
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规律方法
求解用不等式表示的数集间的集合运算时，一般要
借助于数轴，此法的特点是简单直观，同时要注意各个端点的 画法及取到与否．
【训练 2】 (1)设 U＝{x|x 是小于 9 的正整数}，A＝{1,2,3}，B ＝{3,4,5,6}，求∁UA，∁UB，A∩U，U∩(A∪B)． (2)设全集 U＝{x|x 是三角形}， A＝{x|x 是锐角三角形}， B＝{x|x 是钝角三角形}，求 A∩B，∁U(A∪B)． 解 (1)易得 U＝{1,2，„，8}，∴∁ UA＝{4,5,6,7,8}；∁ UB＝
题型一
补集定义的应用
【例 1】 已知全集 U，集合 A＝{1,3,5,7,9}，∁UA＝{2,4,6,8}， ∁UB＝{1,4,6,8,9}，求集合 B. [思路探索] 由题意，结合定义，画出 Venn 图，由图可帮助解 题．
解 如图所示，借助 Venn 图， 得 U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}， ∵∁UB＝{1,4,6,8,9}， ∴B＝{2,3,5,7}． 规律方法 根据补集定义， 借助 Venn 图， 可直观地求出全集，
b＝3， 2 a ＋2a－3＝5，
① ②
将②式变形为 a2＋2a－8＝0， 解得 a＝－4 或 a＝2.

C={x│x是等腰直角三角形｝
集合C的元素既属于A，又属于B，则称C为A与B的交集.
3 交集
交 由两个集合A、B的公共部分组成的集合，叫这两个
集
的 集合的交集，记作A∩B
概
文字语言
念 即 A∩B＝{ x| x∈A 且 x∈B }
读作 A交B
符号语言
图 示
Venn图
A
B
A∩B
图形语言
练一练 已知A＝{2，4，6，8，10}，B＝{3，5，8，12}， C＝{6，8}. 求：（1）A∩B ; （2）A∩(B∩C)
2. (1)已知A={x| x2-6x+8=0}，B={x |x2-mx+4=0}, 且A∩B=B，
问
核
心
素 养
题
之
则实数m的取值范围是
.
(2)已知A={x|x2-6x+8<0}, B={x|(x-2a)(x-a-2)<0},且A∩B=B，
则实数a的取值范围是
.
数 据 分
(1)A={2, 4}；由A∩B=B知B⊆A.
④A∪B＝A
B⊆A .
练一练
已知A＝{ x | x2 > 1 }，B＝{ x | x < a}，若A∪B ＝A，
则实数a的取值范围是 a≤-1
.
3 交集
观察下列集合，A、B与C之间有什么关系？ （1）A＝{ 4，3，5 }、 B＝{ 2，4，6 }与 C＝{ 4 }. （2）A={x│x是等腰三角形}、B={x│x是直角三角形｝与
第一章 集合与常用逻辑用语
1.3.1 并集和交集
高中数学/人教A版/必修一
1.3.1 并集和交集
思维篇 素养篇

名师点睛 1．补集及全集概念的理解 (1)理解补集概念时，应注意补集∁SA 是对给定的集合 A 和 S(A ⊆S)相对而言的一个概念，一个确定的集合 A，对于不同的集 合 S，补集不同．如：集合 A＝{正方形}，当 S＝{菱形}时，∁SA ＝{一个内角不等于 90° 的菱形}；当 S＝{矩形}时，∁SA＝{邻边 不相等的矩形}． (2)全集是相对于研究的问题而言的，如我们只在整数范围内研 究问题， Z 为全集； 则 而当问题扩展到实数集时， R 为全集， 则 这时 Z 就不是全集．
{1,2,7,8}，A∩U＝{1,2,3}，U∩(A∪B)＝{1,2,3,4,5,6}， (2)A∩B＝∅； ∵A∪B＝{x|x 是锐角三角形或钝角三角形}， ∴∁U(A∪B)＝{x|x 是直角三角形}．
题型三
有关补集的综合问题
【例 3】 已知全集 U＝{1,2,3,4,5}．A＝{x|x2－5x＋m＝0}，B ＝{x|x2＋nx＋12＝0}，且∁UA∪B＝{1,3,4,5}，求 m＋n 的值． 【解题流程】 由∁UA∪B＝{1，3，4，5}，得2∈A → 得出m的值及集合A → 得到集合B中一个具体元素
【示例】 已知集合 A＝{x|x2－4mx＋2m＋6＝0}， B＝{x|x＜0}， 若 A∩B≠∅，求实数 m 的取值范围． [思路分析] A∩B≠∅说明集合 A 是由方程 x2－4mx＋2m＋6＝0 ①的实根组成的非空集合，并且方程①的根有：(1)两负根；(2) 一负根一零根；(3)一负根一正根，共三种情况．分别求解十分 麻烦，这时我们从求解问题的反面考虑，采用补集思想，即先 由 Δ≥0， 求出全集 U， 然后求方程①两根均为非负时 m 的取值 范围，最后再利用“补集”求解．
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