数学高考真题-2014福建卷文科
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2014年普通高等学校招生考试福建卷(文科数学)
第I卷 （选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）
1． 若集合P＝{x|2≤x<4}，Q＝{x|x≥3}，则P∩Q等于( )
A．{x|3≤x<4} B．{x|3 2． 复数(3＋2i)i等于( ) A．－2－3i B．－2＋3i C．2－3i D．2＋3i 3． 以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于( ) A．2π B．π C．2 D．1 4． 阅读如图1-1所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n的值为( ) 图1-1 A．1 B．2 C．3 D．4 5． 命题“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是( ) A．∀x∈(－∞，0)，x3＋x<0 B．∀x∈(－∞，0)，x3＋x≥0 C．∃x0∈[0，＋∞)，x30＋x0<0 D．∃x0∈[0，＋∞)，x30＋x0≥0 6．已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是( ) A．x＋y－2＝0 B．x－y+2＝0 C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0 7．将函数y＝sin x的图像向左平移π2个单位，得到函数y＝f(x)的图像，则下列说法正确的是( ) A．y＝f(x)是奇函数 B．y＝f(x)的周期为π C．y＝f(x)的图像关于直线x＝π2对称 D．y＝f(x)的图像关于点－π2，0对称 8． 若函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图像如图1-2所示，则下列函数图像正确的是( ) 图1-2 A B C D 9．要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( ) A．80元 B．120元 C．160元 D．240元 10． 设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则OA→＋OB→＋OC→＋OD→等于( ) A.OM→ B．2OM→ C．3OM→ D．4OM→ 11．已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1，平面区域Ω：x＋y－7≤0，x－y＋3≥0，y≥0.若圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，则a2＋b2的最大值为( ) A．5 B．29 C．37 D．49 12．在平面直角坐标系中，两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的“L-距离”定义为||P1P2||＝|x1－x2|＋|y1－y2|，则平面内与x轴上两个不同的定点F1，F2的“L-距离”之和等于定值(大于||F1F2||)的点的轨迹可以是( ) A B C D 图1-4 第II卷 （非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在答题卡的相应位置） 13．如图1-5所示，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________． 图1-5 14． 在△ABC中，A＝60°，AC＝2，BC＝3，则AB等于________． 15． 函数f(x)＝x2－2，x≤0，2x－6＋ln x，x＞0的零点个数是________． 16．已知集合{a，b，c}＝{0，1，2}，且下列三个关系：①a≠2；②b＝2；③c≠0有且只有一个正确，则100a＋10b＋c等于________． 三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分） 在等比数列{an}中，a2＝3，a5＝81. (1)求an； (2)设bn＝log3an，求数列{bn}的前n项和Sn. 18．（本小题满分12分） 已知函数f(x)＝2cos x(sin x＋cos x)． (1)求f5π4的值； (2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间． 19．（本小题满分12分） 如图1-6所示，在三棱锥A BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD. (1)求证：CD⊥平面ABD； (2)若AB＝BD＝CD＝1，M为AD中点，求三棱锥A - MBC的体积． 图1-6 20.（本小题满分12分） 根据世行2013年新标准，人均GDP低于1035美元为低收入国家；人均GDP为1035～4085美元为中等偏下收入国家；人均GDP为4085～12 616美元为中等偏上收入国家；人均GDP不低于12 616美元为高收入国家．某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均GDP如下表： 行政区 区人口占城市人口比例 区人均GDP(单位：美元) A 25% 8000 B 30% 4000 C 15% 6000 D 10% 3000 E 20% 10 000 (1)判断该城市人均GDP是否达到中等偏上收入国家标准； (2)现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率． 21．本小题满分12分） 已知曲线Γ上的点到点F(0，1)的距离比它到直线y＝－3的距离小2. (1)求曲线Γ的方程． (2)曲线Γ在点P处的切线l与x轴交于点A，直线y＝3分别与直线l及y轴交于点M，N.以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B.试探究：当点P在曲线Γ上运动(点P与原点不重合)时，线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论． 22．（本小题满分14分） 已知函数f(x)＝ex－ax(a为常数)的图像与y轴交于点A，曲线y＝f(x)在点A处的切线斜率为－1. (1)求a的值及函数f(x)的极值； (2)证明：当x＞0时，x2＜ex； (3)证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈(x0，＋∞)时，恒有x＜cex.
