初等数论试卷

初等数论试卷

初等数论试卷

一、 单项选择题：（1分/题×20题=20分）

１．设x 为实数，[]x 为x 的整数部分，则( )

Ａ．[][]1x x x ≤<+； Ｂ．[][]1x x x <≤+；

Ｃ．[][]1x x x ≤≤+； Ｄ．[][]1x x x <<+．

２．下列命题中不正确的是( )

Ａ．整数12,,,n a a a L 的公因数中最大的称为最大公因数；

Ｂ．整数12,,,n a a a L 的公倍数中最小的称为最小公倍数

Ｃ．整数a 与它的绝对值有相同的倍数

Ｄ．整数a 与它的绝对值有相同的约数

３．设二元一次不定方程ax by c +=（其中,,a b c 是整数，且,a

b 不全为零）有一整数解()00,,,x y d a b =，则此方程的一切解可表为( ) Ａ．00,,0,1,2,;a b x x t y y t t d d

=-=+=±±L Ｂ．00,,0,1,2,;a b x x t y y t t d d

=+=-=±±L Ｃ．00,,0,1,2,;b a x x t y y t t d d

=+=-=±±L Ｄ．00,,0,1,2,;b a x x t y y t t d d =-=-=±±L

４．下列各组数中不构成勾股数的是( )

Ａ．５，１２，１３； Ｂ．７，２４，２５；

Ｃ．３，４，５； Ｄ．８，１６，１７

５．下列推导中不正确的是( )

Ａ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a b b m

≡≡?+≡+

Ｂ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a bb m ≡≡?≡

Ｃ．()()111212mod mod ;a b m a a b a m ≡?≡

Ｄ．()()112211mod mod .a b m a b m ≡?≡

６．模１０的一个简化剩余系是( )

Ａ．0,1,2,,9;L Ｂ．1,2,3,,10;L

Ｃ．5,4,3,2,1,0,1,2,3,4;----- Ｄ．1,3,7,9. ７．()mod a b m ≡的充分必要条件是( ) Ａ．;m a b - Ｂ．;a b m

- Ｃ．;m a b + Ｄ．.a b m +

８．设()43289f x x x x =+++，同余式()()0mod5f x ≡的所有解为( )

Ａ．1x =或1;- Ｂ．1x =或4;

Ｃ．1x ≡或()1mod5;- Ｄ．无解．

9、设f(x)=10n n a x a x a +++K K 其中()0,mod i a x x p ≡是奇数若为f(x)()0mod p ≡的一个解，则:( )

A ．()()mod ()0mod ,1p f x p χχ?≡≡?>一定为的一个解

B ．()()0mod ,1,()0mod p f x p χχ??≡?>≡一定为的一个解

C ．()()()00(),()0mod mod ,mod p f x f x p x x p x x p ααα≡≡≡当不整除时一定有解其中

D ．()()()00mod ()0mod ,mod x x p f x p x x p ααα≡≡≡若为的一个解则有

10．()10(),,0mod ,,n n i n f x a x a x a a a p n p =+++≡>/K K

设其中为奇数则同余式

()()0mod f x p ≡的解数：

（ ） A ．有时大于p 但不大于n; B ．可超过p

C ．等于p

D ．等于n

11．若2为模p 的平方剩余，则p 只能为下列质数中的 :( )

A ．3

B ．11

C ．13

D ．23

12．若雅可比符号1a m ??=

，则 ( ) A ．()2mod ,x a m ≡同余式一定有解

B ．()()2,1,mod a m x a p =≡当时同余式有解;

C ．()2(,mod m p x a p =≡当奇数)时同余式有解;

D ．()2(),mod a p x a p =≡当奇数时同余式有解． 13．()()2mod 2,3,2,1,x a a αα≡≥=若同余式有解则解数等于( )

A ． 4

B ． 3

C ． 2

D ． 1

14． 模12的所有可能的指数为;( )

A ．1，2，4

B ．1，2，4，6，12

C ．1，2，3，4，6，12

D ．无法确定

15． 若模m 的单根存在，下列数中，m 可能等于: ( )

A ． 2

B ． 3

C ． 4

D ． 12

16．对于模5，下列式子成立的是: ( )

A ．322ind =

B ． 323ind =

C ． 350ind =

D ． 3331025ind ind ind =+

17．下列函数中不是可乘函数的是: ( )

A ．茂陛鸟斯(mobius)函数w(a) ;

B ． 欧拉函数()a φ；

C ．不超过x 的质数的个数()x π；

D ．除数函数()a τ；

18． 若x 对模m 的指数是ab ，a >0，ab >0，则x α对模m 的指数是( )

A ．a

B ．b

C ．ab D ．无法确定

19．()f a ，()g a 均为可乘函数，则( )

A ．()()f a g a 为可乘函数；

B ．()()

f a

g a 为可乘函数 C ．()()f a g a +为可乘函数； D ．()()f a g a -为可乘函数

20．设()a μ为茂陛乌斯函数，则有( )不成立

A ．()11μ=

B ．()11μ-=

C ．()21μ=-

D ．()90μ=

二．填空题：（每小题1分，共10分）

21． 3在45!中的最高次n ＝ ____________________；

22． 多元一次不定方程：1122n n a x a x a x N +++=L ，其中1a ，2a ，…，n a ，N 均为整数，

2n ≥，有整数解的充分必要条件是___________________；

23．有理数a b ，0a b <<，)(,1a b =，能表成纯循环小数的充分必要条件是_______________________；

24． 设()0mod x x m ≡为一次同余式()mod ax b m ≡，a

≡()0mod m 的一个解，则它的所有

解为_________________________；

25． 威尔生（wilson ）定理：________________________________________；

26． 勒让德符号5031013?? ???

=________________________________________； 27． 若)(,1a p =，则a 是模p 的平方剩余的充分必要条件是_____________(欧拉判别条件)；

28． 在模m 的简化剩余系中，原根的个数是_______________________；

29． 设1α≥，g 为模p α的一个原根，则模2p α的一个原根为_____________；

30． ()48?=_________________________________。

三．简答题：（5分／题×4题＝20分）

31．命题“任意奇数的平方减1是8的倍数”对吗说明理由。

32．“若)(

,1a m =，x 通过模m 的简化剩余系，则ax 也通过模m 的简化剩余系”这命题是否正确正确请证明，不正确请举反例。

33．求模17的简化剩余系中平方剩余与平方非剩余。

34．设1212k k a p p p ααα=L 为a 的标准分解式，记()S a 为a

的正因数的和，()a τ为a 的正因数的个数，则()S a ＝ ()a τ＝ 为什么

四．计算题。（7分／题×4题＝28分）

35． 求不定方程6x+93y=75的一切整数解。

36． 解同余方程组()()()1mod 53mod 62mod 7x y z ≡??≡??≡?

37．解同余式2x ≡11(mod125)

38．求模13的所有原根。

五、证明题：（7分/题×2题=14分）

39、试证： 2222x y z +=，（x ，y ）=1 y 是偶数的整数解可写成：

这里0a b >>，(),1a b =，并且

一为奇数，一为偶数。

40、设a 为正整数，试证：

其中|d a ∑表示展布在a 的一切正因数上的和式。

六、应用题：（8分）

41、求30！中末尾0的个数。

参考答案

一．单项选择：ABCDD ；DACCB ；DCAAD ；BCBAB 。

二．填空题：21．21；22．()12,,,|n a a a N L ；23．(),101b =；24．()0,0,1,2,,m x t

t a m +=±±L ；25．()1p -！+1()0mod ,p p ≡为素数；26．1；

27．()1 21mod p a p -≡；28．()()m φφ；29．g 与g p α+中的单数；30．16

三．简答题：31．答：命题正确。Q ()()2211211m m +-=++()211m +-

()()22241m m m m =?+=+ 而()1m m +必为2的倍数。

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32．正确．证明见教材47P 。

33．在摸p 的简化剩余系中与2

2211,2,,2p -?? ???L 同余的数是数p 的平方剩余，()117,182

p p =-=，222211,24,39,416≡≡≡≡，222258,62,715,813≡≡≡≡

故1，2，4，8，9，13，15，16为摸17的平方剩余，而3，5，6，7，10，11，12，14为摸17的平方非剩余。

34．()()1211111i i k k

i

i i i i i p s a p p p p αα+==-=++++=-∏∏L 证明：若()f a 为可乘函数，则()()()()|1

1i k

i i a i f f p f p ααα==++∑∏L ． 分别令()().1f a a f a ==，它们为可乘函数，即得出。

四．计算题

35．解：因为()6,933|75=，故原不定方程有解。

又原方程即 23125x y +=，而易见方程2311x y +=有解

''0

016,1x y ==-。所以原方程的一个解是00400,25x y ==-

所以，原方程的一切整数解是：（ ）

40031252x t r t

=+=-- t 是整数 36．解：因为模5，6，7两两互质，由孙子定理得所给同余方程组关于模

5×6×7＝210有唯一解，分别解同余方程：

()421mod5x ≡，()351mod6x ≡，()301mod7x ≡，得