初等数论试题库
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1
初等数论
一、填空
74
1、 d (1000) = ______ 。 © (1000) = _____ 。 (101 )= _____ 。
2、 ax+bY=c有解的充要条件是 ____ 。
3、 20022002被3除后余数为—。
4、 ［X］=3，［丫］=4，［Z］=2，则［X — 2Y+3Z］可能的值为 。
5、 © (1)+ © ( P)+…© ( Pn) = ______ 。
6高斯互反律是 _____________ 。
7、 两个素数的和为31,则这两个素数是 ____________ 。
8、 带余除法定理是 ___________ o
9、 d (37) = _______ o (T(37) = ______ o
10、 © (1)+ © (P)+…© ( Pn) = _____ o
11、 不能表示成5X+3Y (X、Y非负)的最大整数为 ______ o
12、 7在2004!中的最高幕指数是 ___ o
13、 ____________________ (1501 , 300) = o
14、 ax=b(modm)有解的充要条件是 _o
15、 _______________ 威尔逊定理是
16、 写出6的一个绝对值最小的简化系 ___ o
888 88 666 66
17、 50 50 被7除后的余数为 ______________ o
18、 _______________ d (31) = ___________ o ( 3600) = o
19、 _______________________________ 四位数3AAl被9整除，则A= o
20、 ____________________ 17X+2Y=3 通解为 o
21、 费尔马大定理是 ___ o
22、 ________________________________________________ 写出12的一个简化系，要求每项都是 5的倍数 ________________________________ o
23、 _2.4亠 ____ o
24、 0.428571化为分数是 _。
25、 15!的标准分解是
26、 1000到2003的所有整数中13的倍数有 ___ 个。
27、 (T( 29)= 一
28、 _____________________________________________________ 不能表示成5x 4y
( x，y为非负整数)的最大整数为 ___________________________ .
29、 7在2008!的标准分解式中的最高幕指数是 ____ .
30、 2005和2006的最小公倍数是
31、 威尔逊定理是
32、 设x，1为整数且被4、5、7除后的余数都为3,贝愎小的x是_. 2
33、 _________________________________________________ 已知(a, b) =1,贝U( 5a+3b, 13a+8b) = ______________________________ .
34、 1, 4, 9, 16,…10000这100个平方数中是3的倍数的平方数有 ____ 个.
35、 若今天是星期日,则1010天后的那一天是星期 ____________ .
36、 32005的末二位数是 ________ .
37、 d (1200) = _______ 。
38、 梅森数Mn是素数，则n是 _____ 。
39、 不能表示成7X+6Y (X、丫非负)的最大整数为 ________ 。
40、 1 X 3X 5X 7……X 1999X 2001的标准分解中13的幕指数是 __ 。
41、 (13a+21b , 34a+55b) = ____ 。已知(a , b) =1。
42、 费尔马猜想是 。
43、 写出12的一个简化系，要求每项都是7的倍数 _______ 。
44、 aX=b (mod m)有解的充要条件是 ____ 。
45、 20022002被3除后余数为 _。
46、 ［X］=3，［丫］=4 , ［Z］=2，则［X — 2Y+Z］可能的值为 。
47、 d (1000) = _______ 。(r( 1000) = _______ 。©( 1000) = _______
48、 n 1，若 1)! 0(mod n)则 n 为_。
49、 不能表示成5X+3Y (X、丫非负)的最大整数为 ________ 。
50、 7在2003!中的最高幕指数是 ___ 。
51、 (1515，600) = ___ 。
52、 ax二bgodm)有解的充要条件是 _。
53、 威尔逊定理是 ____ 。
54、 写出6的一个简化系，要求每项都是5的倍数 ______ 。
55、 2 2003的末位数是 _。
56、 ［-2.3］= 。
57、 © (1)+ © (P)+…© ( Pn) = ______ 。
58、 x 1且能被4、5、7整除，则最小的x是 ______ 。
69、两个素数的和为31,则这两个素数是
60、 带余除法定理是 __________ 。
61、 d (1001) = _______ 。(T (2002) = ______
62、 a1x1 ■ a2x2 ■■■■anxn二C有解的充要条件是 _____ 。
63、 不能表示成5X+6Y (X、丫非负)的最大整数为 ____ 。
64、 2003!中末尾连续有 __ 个零。
65、 (21a+4，14a+3) = _____ 。
66、 两个素数的和是39，这两个素数是 _________ 。
67、 从1001到2000的所有整数中，13的倍数有 ___ 。
68、 p,q是小于是100的素数，pq-仁x为奇数，则x的最大值是 _______
69、 n>1,若(n "1)! ^0(mod n)则 n 为—。
70、 7在2003!中的最高幕指数是 ___ 。 3
71、 (1515 , 600) = ___ 。
72、 ax = b(mod m)有解时有 个解。
73、 0.32化为分数是 ____ 。
74、 ［-0.3］= 。 4>
888 88
75、 50 被7除后的余数为 ________________ 。 4
答案
1、 16. 2340, 1
2、 (a, b) |c
3、 1
4、 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11
n
5、 P
6、
7、 2, 29
8、 a, b是两个整数，b>0,则存在两个惟一的整数q, r使得a
9、 2, 38
n
10、 p
11、 7
12、 331
13、 1
14、 (a，m)|b
15、 P为素数，(P -1)! 1 =0(mod P)
16、 1, 5
17、 5
18、 2, 12493
19、 7 20、x = 1 +2t, y = —2 — 17t,t 匸 Z
n ・i n n /
21、 x y =Z (n 一3)无正整数解
22、 5, 25, 35, 55
23、 0. 6 24、
25、 211 36 53 72 11 13
26、 78
27、 30
2& 11
29、 335
30、 4022030
31、 P为素数，则有(PT)! Vpmod P)
32、 143
33、 1
34、 33 =bq r ,0 込 r :: b q ()=3) P ,p, q为奇素数 5
43、 7, 35, 49, 77
44、 (a,m)|b
45、 1
46、 -5, -4, -3, -2
47、 16, 2340, 9360
4&素数
49、 7
50、 331
51、 15
52、 (a, m) | b
53、 ( p T)! 1 = 0(mod p)
54、 5, 25
55、 8
56、 -3
57、 Pn
58、 140
59、 2, 29
60、 a, b是两个整数，b>0,则存在两个惟一的整数q, r使得a = bq • r’O^r ::: b
61、 6, 4032
62、 (a1, a2 ,...an) | C
63、 19
64、 499
65、 1
66、 2, 37
67、 77
68、 193
69、 素数
70、 31
71、 15 35、
36、
37、 四
43
24,
素数
29
40、83
41、1
42、xn = zn(n _3) 无正整数解 6
72、 (a,m)7
74、-1 75、4
、解同余方程组
73、 29
90
x 三-2(mod 12) 1、｛ x
三 6 (mod 10 ) 3x 三
1(mod 15 )
'x 三 3(mod 4)
3、《 x 三 2(mod 5) 2、
4、 x 三 6(mod
7) x 三 2(mod 5)
x 三 3(mod 8)
x 三 1(mod 7)
x 三 3(mod 5)
« x 三-5(mod 8)
x 三 1(mod
7) 」_x 三 1(mod 7)
5、 *x w2(mod 8)
x 三 3(mod 9)
x 三 1(mod 4)
6、 < x 三 1(mod5)
.X 十5 三2 mod
7) 7、 x 三 2(mod 5)
x 三 3(mod 8)
x 三 6(mod 9)
答案
(1) 解：因为(12, 10) |6- (-2), (10, 15) |6-1, 所以同余式组有解
x = -2(mod 4)
/ x 三-2(mod 3)
x 三 6(mod 2)
』x 三 6(mod 5)
x 三 1(mod3)
原方程等价于方程・x三1 (mod 5)
x 三 2(mod 4)
'x 三-2(mod 3)
即.x 三1(mod5)
由孙子定理得
x 三 46(mod 60)
(2) 解：因为5,7,8两两互素，所以可以利用孙子定理•
M ^56, M 2 = 35, M 3 =40, m =280 (12，15) |1-( -2)
