《初等数论》模拟试卷

《初等数论》模拟试卷

浙江师范⼤学《初等数论》考试卷（G

卷）

⼀、填空（30分）

1、d （1001）= 6 。σ（2002）= 4032

2、c x a x a x a n n =++....2211有解的充要条件是c a a a n |),...,(21 。

3、不能表⽰成5X+6Y （X 、Y ⾮负）的最⼤整数为 19 。

4、2003！中末尾连续有 499 个零。

5、（21a+4，14a+3）= 1 。

6、222z y x =+通解为 。

7、两个素数的和是39，这两个素数是 2 、 37 。 8、从1001到2000的所有整数中，13的倍数有 77 。

9、p,q 是⼩于是100的素数，pq- 1=x 为奇数，则x 的最⼤值是 193 。 ⼆、解同余⽅程组（12分）

≡+≡≡)7mod 25)5(mod 1)4(mod 1x x x 由孙⼦定理得).140(mod 81≡x

三、证明费尔马定理。 （10分） 四、明：设ｄ是⾃然数ｎ的正因⼦，则有

∏=n

d n d n

d )(2

1

（10分）

答、设d 是n 的因⼦，则

d

n

也是n 的因⼦，⽽n 的因⼦数为d （n ） 所以∏∏=n d n d d n d |，所以∏=n

d n d n d )(2)(即有∏=n d n d n d )(2

1

五、Ｐ为奇素数，则有（10分）

)(m od )(p b a b a p p p +≡+

答、由费尔马⼩定理知对⼀切整数有 a p ≡a （p ） b p ≡b (P )，

由同余性质知有 a p +b p ≡a+b (p )

⼜由费尔马⼩定理有（a+b ）p ≡a+b (p ) （a+b ）p ≡a p +b p (p )

六、⽤初等⽅法解不定⽅程01996202=+-xy x 。 （10分） 答：由题意知x 为偶数，设12x x =，则有04991012

1=+-y x x 即有

499)10(11-=-y x x由499为素数有两因⼦只能取499,1 ±，从⽽ 得

==502y x -=-=502y x ==50998y x ?

-=-=50998

y x 七、解不定⽅程式15x+25y=-100. (8分) 答： Z t t y t x ∈+-=-=,34,5

⼋、请⽤1到9这九个数中的六个（不重复）写出⼀个最⼤的能被6整除的六位

数（10分）答：987654

浙江师范⼤学《初等数论》考试卷（A 卷）

⼀、填空（30分）

1、d （1000）= 16 (2的3次*5的3次 。φ（1000）= 2340 [（2∧4-1）]/(2-1)*[(5^4-1)]/(5-1) 。(

101

74

)=__1____ 。 2、 ax+bY=c 有解的充要条件是 (a,b)/c 。

3、2002

2002

被3除后余数为

1 。

4、[X]=3，[Y]=4，[Z]=2，则[X —2Y+3Z]可能的值为 3，4，5，6，7，8，9，10，11 。

5、φ（1）＋φ（P ）＋…φ（n

P ）=

n p 。

6、⾼斯互反律是 )()

1()(2

121q

p

p

q

q p ---=，p ，q 为奇素数 。 7、两个素数的和为31，则这两个素数是 2和29 。

8、带余除法定理是 a 和b 是整数，b>=0,则存在唯⼀的整数，使得a=b*q+r, 0=

⼆、解同余⽅程组（12分）

≡≡-≡)15(mod 1)10(mod 6)12(mod 2x x x 答：原⽅程等价于??

≡-≡-≡)5(mod 1)3(mod 2)4(mod 2x x x 由孙⼦定理得)60(mod 46≡x三、叙述并且证明威尔逊定理。（10分）

四、解⽅程 474

++x x ≡0（mod ２７） （10分） 答：

)27(mod 22≡x

五、设2Ｐ+1为素数,试证)12(m od 0)1()!(2

+≡-+p p p

（10分） 答：因n=2Ｐ+1为素数，由威尔逊定理)(mod 01)!1(n n ≡+-即有

)(mod 1)()2(2)1(1123)2)(1(1)!1(n p n p n n n n n +--??-?≡??--≡+- )12(m od 01)1()!(2+≡+-≡p p p 即证

六、设P=4n+3是素数，证明当q=2p+1也是素数时，梅森数12-=P

P M 不是素数。（10

分）

答：因q=8n+7，由性质2是q=8n+7的平⽅剩余，)(mod 1)2

(q q

≡即

12|34-+n q

七、证3

3

3

93z y x =+ ⽆正整数解。（8分）

⼋、 设n 是⼤于2的整数，证明)(n ?为偶数（10分）

答：假设3

3

3

93z y x =+有解，设（x ，y ，z ）是⼀组正整数解，则有x 是3的倍

数，设x =3x 1,⼜得到y 为3的倍数，设13y y =,⼜有13z z =，3

1313193z y x =+则有解),,(111z y x 且z>z 1

这样可以⼀直进⾏下去，z>z 1>z 2> z 3>z 4>…

但是⾃然数⽆穷递降是不可能的，于是产⽣了⽭盾。

浙江师范⼤学《初等数论》考试卷（B 卷）

七、填空（30分）

1、d （37）= 2 。σ（37）= 38 。

2、φ（1）＋φ（P ）＋…φ（n P ）=

n p 。

3、不能表⽰成5X+3Y （X 、Y ⾮负）的最⼤整数为 7 。

4、7在2004！中的最⾼幂指数是 331。 5、（1501 ，300）= 1

。

6、)(mod m b ax ≡有解的充要条件是b

|),(m a 。

7、威尔逊定理是 P 为素数，)(mod 01)!1(p p ≡+- 。

8、写出6的⼀个绝对值最⼩的简化系 1，5

。

9、

50

50

6666688888?被7除后的余数为 5 。 ⼋、解同余⽅程组（12分）

≡≡≡)7(mod 1)8(mod 3)5(mod 2x x x 答：).280(mod 267≡x 九、证明当n 是奇数时，有)12(3+n .（10分） 答：证明： 因

为)3(mod 12-≡,所以

)3(m od 1)1(12+-≡+n n .

于是,当n 是奇数时,我们可以令12+=k n . 从⽽有)3(m od 01)1(121

2≡+-≡++k n

,

即)12(3+n .

⼗、如果整系数的⼆次三项式1,0)(2

=++=x c bx x x p 当 时的值都是奇数，证明

0)(=x p 没有整数根（8分）

答、由条件可得c 为奇数，b 为偶数

如果p （x ）=0有根q ，若q 为偶数，则有c bq q ++2为奇数，⽽p （q ）=0为偶数，不可能，若q 为奇数，则有c bq q ++2为

奇数，⽽p （q ）=0为偶数，也不可能，所以0)(=x p 没有整数根

⼗⼀、 解⽅程)132(mod 2145≡x .（10分）

解 因为(45,132)=3|21,所以同余式有3个解.

将同余式化简为等价的同余⽅程 )44(mod 715≡x . 我们再解不定⽅程

74415=-y x , 得到⼀解(21,7).

因此同余式的3个解为

)132(mod 21≡x ,

)132(mod 65)132(mod 3132

21≡+

≡x , )132(mod 109)132(mod 3

132221≡?+≡x

七、证明：⽤算术基本定理证明3是⽆理数。（10分）

答：假设3是有理数，则存在⼆个正整数p ，q ，使得3=

q

p

，由对数定义可得有32q =2p ,则同⼀个数左边含奇数个因⼦，右边含偶数个因⼦，与算术基本定理⽭盾。∴3为⽆理数。

⼋、证明：对任何正整数ｎ,若ｎ不能被4整除，则有

5|n

n

n

n

4321+++ （10分）

答：则题意知n=4q+r ，r=1，2，3。因为)5,(i =1,i=1,2,3,4所以有)5(m od 14≡i 当r=1时有)5(mod 04321≡+++

当r=2时有)5(m od 043212

2

2

2

≡+++

当r=3时有)5(m od 043213333≡+++ 从⽽证明了结论。

九、

解不定⽅程1054=+y x （10分）

答：由观察得有特解x=0，y=2所以⽅程的解为Z t t y t x ∈-==,42,5

浙江师范⼤学《初等数论》考试卷（C 卷）

⼗、

填空（30分）

1、d （31）= 2 。σ（3600）= 29 。

2、四位数13AA 被9整除，则A=

7 。

3、17X+2Y=3通解为 Z

t t y t x ∈--=+=,172,21 。 4、费尔马⼤定理是 )3(≥=+n z y x n

n

n

⽆正整数解 。

5、写出12的⼀个简化系，要求每项都是5的倍数 5，25，35，55 。

6、{}4.2-=0．6 。

7、128574

.0 化为分数是 7

3 。

8、15！的标准分解是 131175322

3

6

11

。 9、1000到2003的所有整数中13的倍数有 78 个。

⼗⼀、 解同余⽅程组（12分）

≡≡≡)7(mod 6)5(mod 2)4(mod 3x x x 答：).140(mod 97≡x ⼗⼆、 叙述并且证明欧拉定理。（12分） ⼗三、 )11(mod

98≡x （10分） 答：)11(mod 311

89

89-≡-≡≡

x 五、证明梅森数12-=P

P M 的素因⼦p q >.（10分）

答：设q 是2p

-1的质因数，由于2p

-1为奇数，∴ q ≠2，

∴ （2，q ）=1,由条件q|2p -1,即2p ≡1（mod q ） ⼜∵ （q ,2）=1，2p ≡1（mod q ）

设i 是使得2x ≡1（mod p ）成⽴最⼩正整数 若1

六、试证若

5,2≠p 且是素数，则

1

999-p p （

9分）

答：

5,2≠p 且是素数（

p ，

10）

=1，由欧拉定理有

)(mod 1101p p ≡-，从⽽

有

1

999-p p

七、证明：对任何的正整数

a ，

5a+2不可能是平⽅数（

9分）

答：因为平⽅数被

5除后的余数为

1，

4，⽽

5a+2被

5除后的余数为

2，不同余，所以不相等

⼋、判断⽅程

2

x ≡３（

mod ８３）是否有解，若有解则有⼏解（

8分）

答：因为

1)83

3

(

=，所以有解，由性质有两解。

浙江师范⼤学《初等数论》考试卷（

E 卷）

⼗四、

填空（

30分）

1、

d （

1200）

= 24 。

2、梅森数

n M 是素数，则

n 是

素数