初等数论试卷模拟试题和答案

《初等数论》-高等教育出版社

初等数论试卷一

一、 单项选择题：（1分/题×20题=20分）

１．设x为实数，x为x的整数部分，则( )

Ａ．1xxx； Ｂ．1xxx；

Ｃ．1xxx； Ｄ．1xxx．

２．下列命题中不正确的是( )

Ａ．整数12,,,naaa的公因数中最大的称为最大公因数；

Ｂ．整数12,,,naaa的公倍数中最小的称为最小公倍数

Ｃ．整数a与它的绝对值有相同的倍数

Ｄ．整数a与它的绝对值有相同的约数

３．设二元一次不定方程axbyc（其中,,abc是整数，且,ab不全为零）有一整数解00,,,xydab，则此方程的一切解可表为( )

Ａ．00,,0,1,2,;abxxtyyttdd

Ｂ．00,,0,1,2,;abxxtyyttdd

Ｃ．00,,0,1,2,;baxxtyyttdd

Ｄ．00,,0,1,2,;baxxtyyttdd

４．下列各组数中不构成勾股数的是( )

Ａ．５，１２，１３； Ｂ．７，２４，２５；

Ｃ．３，４，５； Ｄ．８，１６，１７

５．下列推导中不正确的是( )

Ａ．11221212mod,modmod;abmabmaabbm

Ｂ．11221212mod,modmod;abmabmaabbm

Ｃ．111212modmod;abmaabam

Ｄ．112211modmod.abmabm

６．模１０的一个简化剩余系是( )

Ａ．0,1,2,,9; Ｂ．1,2,3,,10; 《初等数论》-高等教育出版社

Ｃ．5,4,3,2,1,0,1,2,3,4; Ｄ．1,3,7,9.

７．modabm的充分必要条件是( )

Ａ．;mab Ｂ．;abm

Ｃ．;mab Ｄ．.abm

８．设43289fxxxx，同余式0mod5fx的所有解为( )

Ａ．1x或1; Ｂ．1x或4;

Ｃ．1x或1mod5; Ｄ．无解．

9、设f(x)=10nnaxaxa其中0,modiaxxp是奇数若为f(x)0modp的一个解，则:( )

A．mod()0mod,1pfxp一定为的一个解

B．0mod,1,()0modpfxp一定为的一个解

C．00(),()0modmod,modpfxfxpxxpxxp当不整除时一定有解其中

D．00mod()0mod,modxxpfxpxxp若为的一个解则有

10．10(),,0mod,,nninfxaxaxaaapnp设其中为奇数则同余式

()0modfxp的解数：（ ）

A．有时大于p但不大于n; B．可超过p

C．等于p D．等于n

11．若2为模p的平方剩余，则p只能为下列质数中的 :( )

A．3 B．11 C．13 D．23

12．若雅可比符号1am，则 ( )

A．2mod,xam同余式一定有解

B．2,1,modamxap当时同余式有解;

C．2(,modmpxap当奇数)时同余式有解; 《初等数论》-高等教育出版社

D．2(),modapxap当奇数时同余式有解．

13．2mod2,3,2,1,xaa若同余式有解则解数等于( )

A． 4 B． 3 C． 2 D． 1

14． 模12的所有可能的指数为;( )

A．1，2，4 B．1，2，4，6，12 C．1，2，3，4，6，12 D．无法确定

15． 若模m的单根存在，下列数中，m可能等于: ( )

A． 2 B． 3 C． 4 D． 12

16．对于模5，下列式子成立的是: ( )

A．322ind B． 323ind

C． 350ind D． 3331025indindind

17．下列函数中不是可乘函数的是: ( )

A．茂陛鸟斯(mobius)函数w(a) ;

B． 欧拉函数a；

C．不超过x的质数的个数x；

D．除数函数a；

18． 若x对模m的指数是ab，a>0，ab>0，则x对模m的指数是( )

A．a B．b C．ab D．无法确定

19．fa，ga均为可乘函数，则( )

A．faga为可乘函数； B．faga为可乘函数

C．faga为可乘函数； D．faga为可乘函数

20．设a为茂陛乌斯函数，则有( )不成立

A．11 B．11 C．21 D．90

二．填空题：（每小题1分，共10分）

21． 3在45!中的最高次n＝ ____________________；

22． 多元一次不定方程：1122nnaxaxaxN，其中1a ，2a ，…，na，N均为整数，2n，有整数解的充分必要条件是___________________； 《初等数论》-高等教育出版社

23．有理数ab，0ab，,1ab，能表成纯循环小数的充分必要条件是_______________________；

24． 设0modxxm为一次同余式modaxbm，a0modm的一个解，则它的所有解为_________________________；

25． 威尔生（wilson）定理：________________________________________；

26． 勒让德符号5031013=________________________________________；

27． 若,1ap，则a是模p的平方剩余的充分必要条件是_____________(欧拉判别条件)；

28． 在模m的简化剩余系中，原根的个数是_______________________；

29． 设1，g为模p的一个原根，则模2p的一个原根为_____________；

30． 48_________________________________。

三．简答题：（5分／题×4题＝20分）

31．命题“任意奇数的平方减1是8的倍数”对吗？说明理由。

32．“若,1am，x通过模m的简化剩余系，则ax也通过模m的简化剩余系”这命题是否正确？正确请证明，不正确请举反例。

33．求模17的简化剩余系中平方剩余与平方非剩余。

34．设1212kkappp为a的标准分解式，记Sa为a的正因数的和，a为a的正因数的个数，则Sa＝？ a＝？ 为什么？

四．计算题。（7分／题×4题＝28分）

35． 求不定方程6x+93y=75的一切整数解。

36． 解同余方程组1mod53mod62mod7xyz

37．解同余式2x≡11(mod125)

38．求模13的所有原根。

五、证明题：（7分/题×2题=14分）

39、试证： 2222xyz，（x，y）=1 y是偶数的整数解可写成：

22(2)xab 2yab 222zab 《初等数论》-高等教育出版社

这里0ab，,1ab，并且一为奇数，一为偶数。

40、设a为正整数，试证：

||()()dadaadad

其中|da表示展布在a的一切正因数上的和式。

六、应用题：（8分）

41、求30！中末尾0的个数。

参考答案：一．单项选择：ABCDD；DACCB；DCAAD；BCBAB。

二．填空题：21．21；22．12,,,|naaaN；23．,101b；24．0,0,1,2,,mxttam；25．1p！+10mod,pp为素数；26．1；

27．121modpap；28．m；29．g与gp中的单数；30．16

三．简答题：31．答：命题正确。 2211211mm211m

22241mmmm 而1mm必为2的倍数。

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32．正确．证明见教材47P。

33．在摸p的简化剩余系中与22211,2,,2p同余的数是数p的平方剩余，117,182pp，222211,24,39,416，222258,62,715,813

故1，2，4，8，9，13，15，16为摸17的平方剩余，而3，5，6，7，10，11，12，14为摸17的平方非剩余。

34．1211111iikkiiiiiipsapppp

12111ka

证明：若fa为可乘函数，则|11ikiiaiffpfp．

分别令.1faafa，它们为可乘函数，即得出。 《初等数论》-高等教育出版社

四．计算题

35．解：因为6,933|75，故原不定方程有解。

又原方程即 23125xy，而易见方程2311xy有解

''0016,1xy。所以原方程的一个解是00400,25xy

所以，原方程的一切整数解是：（ ）

40031252xtrt t是整数

36．解：因为模5，6，7两两互质，由孙子定理得所给同余方程组关于模

5×6×7＝210有唯一解，分别解同余方程：

421mod5x，351mod6x，301mod7x，得

3mod5x， 1mod6x，4mod7x

因此所给同余方程组的解是：

423135133042mod210x

即：26151mod210x

37．解：从同余方程211mod51mod5xx得，

222111511mod5,1010mod5tt再从得，

2111mod5,16mod5tt因此于是，