线性分式函数的图像和性质讨论

二、学习探究
探究任务一：函数 的图像与性质
问题1： 的图像是怎样的？
例1、画出函数 的图像，依据函数图像，指出函数的单调区间、值域、对称中心。
【分析】 ，即函数 的图像可以经由函数 的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到。如下表所示：
由此可以画出函数 的图像，如下：
单调减区间： ；
值域： ；
【变式】求函数 的值域.
例3、已知 在区间 单调递增，求 的取值围.
【分析】先定性分析，再定量研究，借助分类讨论思想展开.
解：当 时， 在区间 显然单调递增；
当 时，结合 的图像与性质，可知函数在区间 单调递增
当 时 在区间 单调递增，所以 ，所以
综上所述，实数 的取值围为 .
【变式】已知 在区间 单调递减，求 的取值围.
1、若 则 的最小值是________．
2、函数 的值域是________．
3、已知 单调递减，数 的取值围。[来源:学|科|网]
4、（1）若函数 的定义域为 ，数 的取值围；
（2）若函数 的值域为 ，数 的取值围。
5、设 ．
（1）当 时，求 的最小值；
（2）当 时，判断 的单调性，并写出 的最小值。
思考 与 的图像是怎样的呢？ 的图像呢？
小结： 的图像如下：
（i） (ii) (iii)
(iv)
的单调性、值域、奇偶性等，可以结合函数的图像研究。
探究任务二：函数 的图像与性质
问题3：例4函数 的图像是怎样的？单调区间如何？
思考：函数 的性质如何呢？单调区间是怎样的呢？
小结：对于分式函数 而言，分子次数高于分母时，可以采用问题3中的方法，将函数表达式写成部分分式，再结合函数的图像的平移，由熟悉的四类分式函数的图像得到新的函数图像，再结合函数的图像研究函数的性质。对于分子的次数低于分母的次数的时候，可以考虑分子分母同时除以分子（确保分子不为0），再着力研究分母的性质与图像，间接地研究整个函数的性质。如：

它也是分式线性函数，其中 ( )() 0
注：
(1)分式线性函数的定义域可以推广到扩充复平
面 C。 (2)当 0时，规定它把 z 映射成 w ；
(3)当 0 时，规定它把z , z 映射成
w , w


二、分式线性函数的拓广
由此，我们可以解出分式线性函数。显然 这样的分式线性函数也是唯一的。
注：
z z1 : z3 z1 和 w w1 : w3 w1 分别称为 z z2 z3 z2 w w2 w3 w2 及 z1, z2, z, z3 的交比。w1, w2, w, w3 分别记为 (z1, z2 , z, z3 ) ，(w1, w2 , w, w3 )
2
2i
则得圆的复数表示：
azz z z d 0,
其中a,b,c,d是实常数，

1 2
(b

ic)
是复常数。
函数 w 1 把圆映射成为 z
dww w w a 0,
即w平面的圆（如果d=0，它表示一条直线， 即扩充w平面上半径为无穷大的圆）。
注解：
(1)、设分式线性函数把扩充z平面上的圆C映射 成扩充w平面上的圆C‘。于是，C及C’把这两个 扩充复平面分别分成两个没有公共点的区域， D1, D2 及 D1', D2 '，其边界分别是C及C'。
（3）、w rz 确定一个以原点为相似中心的相 似映射；
（4）、w

1 z
是由 z1

1 z
映射及关于实轴的对称
映射 w z1 叠合而得。
四、映射的性质
1、保圆性
规定：在扩充复平面上，任一直线看成半径是无 穷大的圆。 定理6.6 在扩充复平面上，分式线性函数把圆映射 成圆。

即w平面的圆（如果d=0，它表示一条直线，即 扩充w平面上半径为无穷大的圆）。
注解：
注解1、设分式线性函数把扩充z平面上的圆C映 射成扩充w平面上的圆C‘。于是，C及C’把这两 个扩充复平面分别分成两个没有公共点的区域 ，D1, D2 及D1', D2'，其边界分别是C及C'。
注解2、此分式线性函数把 D1映射成之中 D1', D2' 的一个区域；
注解3、利用此定理也可以解释关于直线的对称点 。
y
w1
z x
w 1/ z
引理4.1:
引理4.1 不同两点 z1 及 z2 是关于圆C的对称点的 必要与充分条件是：通过 z1 及 z2 的任何圆与圆 C直交。
证明：如果C是直线（半径为无穷大的圆）；或 者C是半径为有限的圆， z1 及 z2 之中有一个是 无穷远点，则结论显然。
w az b , cz d
定理 4.2的证明：
那么，由
w1

az1 cz1

b d
,
w2

az2 cz2

b d
,
w2

az2 b cz2 d
得
w

w1

(az

b)(cz1 d ) (az1 b)(cz (cz d )(cz1 d )

d
)
(z z1)(ad bc)
分式线性函数的反函数为 z w , w
它也是分式线性函数，其中 ( )() 0
注解：
注解1、当 0 时，所定义的分式线性函数是 把z平面双射到w平面，即把C双射到C的单叶解 析函数；

初中知识点归纳——函数图像篇函数图像是初中数学中的重要内容之一。

通过函数图像的形状、特点以及变化规律，可以深入理解函数的性质和作用。

本文将从函数图像的基本形状与分类、常见函数图像的特点及其变化规律等方面进行归纳与总结。

一、函数图像的基本形状与分类函数图像的形状可以分为线性函数、二次函数、指数函数和对数函数等几种常见类型。

1. 线性函数图像线性函数的特点是图像为一条直线。

直线的斜率表示了函数的增减趋势，当斜率为正时，函数图像呈上升趋势；当斜率为负时，函数图像呈下降趋势；斜率为0时，函数图像为水平直线。

2. 二次函数图像二次函数的图像通常为抛物线形状。

抛物线的开口方向由二次项的系数决定，当二次项的系数为正时，抛物线开口向上；当二次项的系数为负时，抛物线开口向下。

二次函数的图像还受到常数项的影响，常数项决定了抛物线的位置。

3. 指数函数图像指数函数的图像为指数曲线，呈现上升或下降的趋势。

指数函数的底数决定了曲线在坐标系中的位置和形状。

当底数大于1时，指数曲线呈现上升趋势；当底数小于1但大于0时，指数曲线呈现下降趋势。

4. 对数函数图像对数函数的图像为对数曲线，也呈现上升或下降的趋势。

对数函数的底数决定了曲线在坐标系中的位置和形状。

当底数大于1时，对数曲线呈现上升趋势；当底数小于1但大于0时，对数曲线呈现下降趋势。

二、常见函数图像的特点与变化规律1. 线性函数的特点与变化规律线性函数的图像为一条直线，具有以下特点和变化规律：（1）斜率决定了线性函数图像的倾斜程度和方向，斜率越大图像越陡峭，斜率为正表示函数图像上升，斜率为负表示函数图像下降。

（2）截距决定了线性函数图像与纵轴的交点位置，截距为正表示交点在纵轴上方，截距为负表示交点在纵轴下方。

2. 二次函数的特点与变化规律二次函数的图像为抛物线，具有以下特点和变化规律：（1）开口方向由二次项的系数决定，正系数表示抛物线开口向上，负系数表示抛物线开口向下。

（2）顶点是抛物线的最高点或最低点，在坐标系中的横坐标为顶点的x坐标，纵坐标为顶点的y坐标。