中考数学复习指导：数形结合思想的应用

论文编号:

以形助数，以数解形

—-浅谈数形结合思想在初中数学中的应用

摘要:在初中数学中，数形结合思想无处不在，利用好它可以帮助解决较难问题，并提高解题速度。笔者结合教学实际,对数形结合思想进行浅议，探讨其在数学教学中的应用.

关键词：数形结合 初中数学 数学应用

数形结合思想是初中数学中一种重要的数学思想.在近几年武汉中考数学试卷中，利用数形结合思想解决问题的题目屡见不鲜，而且有逐年加强的趋势，可见其重要性。因此,笔者结合数学教学实际， 探讨数形结合思想在初中数学中的应用.

在《初中数学新课程标准》中提到：“数学中有一些重要内容、方法、思想是需要学生经历较长的认识过程，逐步理解和掌握的，如：数形结合思想等。” ［1]所谓数形结合，就是指把代数的精确刻划与几何的形象直观相统一，将抽象思维与形象直观相结合的一种思想方法。利用它可以使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，很多难题便迎刃而解，而且解法简便易懂。

数与形是密切相关的两个数学表象，它们是一一对应的关系，且相互依存、相互促进.在解决数学问题时,我们要把它们有机的结合起来,并相互转化，即把几何图形转化为数量关系问题, 应用代数、三角函数等知识进行讨论，

或者把数量关系问题转化为图形问题， 借助几何知识加以解决， 使学生看到“形”能想到“数”,

而看到“数”则能想到“形”,最终达到优化解题途径的目的.著名的数学家华罗庚说得好：“数缺形时少直观，形少数时难入微,数形结合百般好,隔离分家万事休,几何代数统一体，永远联系莫分离" [2].

初一我们就学习了数轴，它建立起了实数与数轴上的点的一一对应关系.进而，又引入了直角坐标系，它扩大成了有序实数对与坐标平面上的点的一一对应.到了初二、初三又陆续学习了一次函数、二次函数，我们知道它们跟直线、抛物线也是一一对应的关系，以至于后来的“用函数的观点看方程”，实质上就是曲线和方程的对应关系。正是这些数与形的对应，才促使我们要利用它们之间的联系，相互结合，相互转化，最终达到解决数学问题的目的。

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中考数学复习考点知识与题型专题讲解

数形结合在初中数学解题中的应用

数学家华罗庚说过:“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞;数无形时少直觉，形少数时难入微.”初中数学思想方法中的数形结合思想是一种很重要的方法，利用这种方法，可以实现代数问题与几何问题的相互转化，使抽象问题具体化，复杂问题简单化。本文举例说明运用数形结合思想解决数学问题可以达到事半功倍的效果。

一以“数”解“形”

例1 如图，过正方形ABCD的顶点G，

任作一直线与AB、AD的延长线分别交于

E、F。求证:4AEAFAB。

证明 设正方形的边长为a，连AC。

因为AEFACFACESSS，所以有

()/2()/2()/2()/2AFSEAFCDAEBCaAEAF，

即()AEAFaAEAF 。从而AE、AF可视为关于x的一元二次方程2()()0xAEAFxaAEAF的两个实数根。所以该方程的判别式2()4()0AEAFaAEAF，得4AEAFa，即4AEAFAB。

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本例是“形”的问题，但直接从“形”入手较难解决，若将“形”转化为“数” ，则结论变为2()4()0AEAFABAEAF。则可联想起一元二次方程根的判别式，从而把它转化为“数”的问题来解决。

例2 如图，直线33yxb与y轴

交于点A，与双曲线kyx在第一象限交于B、

C两点，且4ABAC，则k=。

解 设1122(,),(,)BxyCxy，则1x、2x是方程33kxbx的两根，123xxk。又1222334,333ABACxxk。

此题将反比例函数图象与直线相结合，利用直线解析式，先算出12223,3,33ABxACx然后联立直线与双曲线的解析式，得到关于x的一个一元二次方程，再利用根与系数的关系，求出k的值。用代数的知识解决几何问题，体现了数形结合的思想。

第1页共3页数形结合思想中考举例

数学思想方法与数学知识的共存性、数学思想对数学活动的指导作用只有在反复的运用中才能被真

正掌握，成功的思想方法（特别是有广泛应用性的数学思想）需要有意识地贯通在平时的教学中。数和形

是初中数学中被研究得最多的对象，数形结合是一种极富数学特点的信息转换，它通过形理解数，利用形

的直观加深对数量关系的理解；通过数理解形，利用数的抽象性加深对图形位置关系的理解，即图形位置

问题的坐标化，数量关系图形化。它是一种重要的解题策略，作为一名中学数学教师，在教学中要善于挖掘数形结合的例子，提炼数形结合的思想，做好“数”与“形”关系的揭示和转化，引导学生用图形直观

地研究数式问题，用数式对图形性质进行更为丰富、精确、深刻的探讨。

近年来的各地中考中出现了借助数形结合思想方法的中考问题，这类试题综合性强,能力要求高,常作为中考的压轴题，它能全面考查学生分析问题和解决问题的能力，有助于培养学生用相互联系、相互转化

的辩证唯物主义观点分析事物，有助于培养学生的思维品质和创新精神。本文从全国中考数学试题中精选

几例，分类阐述，以飨读者。

1、由数到形、形数结合

【例】已知正比例函数ykx的图象与反比例函数5k

y

x



（k

为常数，0k

）的图象有一个交点的

横坐标是2．⑴求两个函数图象的交点坐标；

⑵若点

11()Axy，

，

22()Bxy，是反比例函数5k

y

x



图象上的两点，且

12xx

，试比较

12yy，

的大小．

分析与解：（1）由由交点横坐标的含义可得方程组











252

k

yky

消去字母y，得5

2

2k

k



，解得1k

．所

以正比例函数的表达式为yx，反比例函数的表达式为4

y

x

．要求两个函数图象的交点坐标，只须在得出的函数解析式基础上画出图象（反比例函数4

y

x

的图象分别在第一、三象限内的双曲线，正比例函

数yx的图象是经过原点的一条直线）由题知交点的横坐标是2即可求出纵坐标也是2即为（2，2），

第2页共3页由图象的关于原点成中心对称可得另一交点为(22)，．所以两函数图象交点的坐标为（2，2），

1 数形结合

一、数形结合思想在一次函数中的应用是中考命题的一个热点，解一次函数应用问题时，如果把数与形结合起来考虑，即把问题的数量关系转化为图象的性质或者把图象的性质转化为数量关系，就可以使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化．

二、例题讲解

（2012成都）“城市发展 交通先行”，成都市今年在中心城区启动了缓堵保畅的二环路高架桥快速通道建设工程，建成后将大大提升二环路的通行能力．研究表明，某种情况下，高架桥上的车流速度V(单位：千米／时)是车流密度x(单位：辆／千米)的函数，且当0

（1）求当28

（2）若车流速度V不低于50千米／时，求当车流密度x为多少时，车流量P(单位：辆／时)达到最大，并求出这一最大值．

(注：车流量是单位时间内通过观测点的车辆数，计算公式为：车流量=车流速度×车流密度)

三、课堂练习

1、为了鼓励小强勤做家务，培养他的劳动意识，小强每月的费用都是根据上月他的家务劳动时间所得奖励加上基本生活费从父母那里获取的．若设小强每月的家务劳动时间为x小时，该月可得（即下月他可获得）的总费为y元，则y（元）和x（小时）之间的函数图像如图所示．

（1）根据图像，请你写出小强每月的基本生活费为多少元；父母是如何奖励小强家务劳动的？

（2）写出当0≤x≤20时，相对应的y与x之间的函数关系式；

（3）若小强5月份希望有250元费用，则小强4月份需做家务多少时间？

2

四、课外练习

1、 (2009年黄冈市)新星电子科技公司积极应对2008年世界金融危机，及时调整投资方向，瞄准光伏产业，建成了太阳能光伏电池生产线．由于新产品开发初期成本高，且市场占有率不高等因素的影响，产品投产上市一年来，公司经历了由初期的亏损到后来逐步盈利的过程（公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1次）．公司累积获得的利润y（万元）与销售时间第x（月）之间的函数关系式（即前x个月的利润总和y与x之间的关系）对应的点都在如图所示的图象上．该图象从左至右，依次是线段OA、曲线AB和曲线BC，其中曲线AB为抛物线的一部分，点A为该抛物线的顶点，曲线BC为另一抛物线252051230yxx的一部分，且点A，B，C的横坐标分别为4，10，12