中考中的数形结合思想

论文编号:

以形助数，以数解形

—-浅谈数形结合思想在初中数学中的应用

摘要:在初中数学中，数形结合思想无处不在，利用好它可以帮助解决较难问题，并提高解题速度。笔者结合教学实际,对数形结合思想进行浅议，探讨其在数学教学中的应用.

关键词：数形结合 初中数学 数学应用

数形结合思想是初中数学中一种重要的数学思想.在近几年武汉中考数学试卷中，利用数形结合思想解决问题的题目屡见不鲜，而且有逐年加强的趋势，可见其重要性。因此,笔者结合数学教学实际， 探讨数形结合思想在初中数学中的应用.

在《初中数学新课程标准》中提到：“数学中有一些重要内容、方法、思想是需要学生经历较长的认识过程，逐步理解和掌握的，如：数形结合思想等。” ［1]所谓数形结合，就是指把代数的精确刻划与几何的形象直观相统一，将抽象思维与形象直观相结合的一种思想方法。利用它可以使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，很多难题便迎刃而解，而且解法简便易懂。

数与形是密切相关的两个数学表象，它们是一一对应的关系，且相互依存、相互促进.在解决数学问题时,我们要把它们有机的结合起来,并相互转化，即把几何图形转化为数量关系问题, 应用代数、三角函数等知识进行讨论，

或者把数量关系问题转化为图形问题， 借助几何知识加以解决， 使学生看到“形”能想到“数”,

而看到“数”则能想到“形”,最终达到优化解题途径的目的.著名的数学家华罗庚说得好：“数缺形时少直观，形少数时难入微,数形结合百般好,隔离分家万事休,几何代数统一体，永远联系莫分离" [2].

初一我们就学习了数轴，它建立起了实数与数轴上的点的一一对应关系.进而，又引入了直角坐标系，它扩大成了有序实数对与坐标平面上的点的一一对应.到了初二、初三又陆续学习了一次函数、二次函数，我们知道它们跟直线、抛物线也是一一对应的关系，以至于后来的“用函数的观点看方程”，实质上就是曲线和方程的对应关系。正是这些数与形的对应，才促使我们要利用它们之间的联系，相互结合，相互转化，最终达到解决数学问题的目的。

数形结合思想

1．已知直线y1＝2x－1和y2＝－x－1的图象如图X5－1所示，根据图象填空．

(1)当x______时，y1＞y2；当x______时，y1＝y2；当x______时，y1＜y2；

(2)方程组的解集是____________．

图X5－1

图X5－2

2．已知二次函数y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)与一次函数y2＝kx＋m(k≠0)的图象相交于点A(－2,4)，B(8,2)(如图X5－2所示)，则能使y1＞y2成立的x的取值范围是____________．

3．(2012年四川内江)如图X5－3，正三角形ABC的边长为3 cm，动点P从点A出发，以每秒1 cm的速度，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止．设运动时间为x(单位：秒)，y＝PC2，则y关于x的函数的图象大致为( )

A

B

C

D

图X5－3

图X5－4

21,1yxyx

4．(2011年四川泸州)如图X5－4，半径为2的圆内接等腰梯形ABCD，它的下底AB是圆的直径，上底CD的端点在圆周上，则该梯形周长的最大值是______．

5．(2012年广东湛江)某市实施“农业立市，工业强市，旅游兴市”计划后，2009年全市荔枝种植面积为24万亩．调查分析结果显示，从2009年开始，该市荔枝种植面积y(单位：万亩)随着时间x(单位：年)逐年成直线上升，y与x之间的函数关系如图X5－5.

(1)求y与x之间的函数关系式(不必注明自变量x的取值范围)；

(2)该市2012年荔枝种植面积为多少万亩？

图X5－5

6．某公司推销一种产品，设x(单位：件)是推销产品的数量，y(单位：元)是推销费，图X5－6表示该公司每月付给推销员推销费的两种方案，看图解答下列问题：

(1)求y1与y2的函数解析式；

(2)解释图中表示的两种方案是如何付推销费的？

(3)如果你是推销员，应如何选择付费方案？

快乐的学习,快乐的考试! 1 中考数学专题 数形结合

知识梳理

数形结合是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思索，使抽象思维和形象思维相结合，通过“以形助数”或“以数解形”可使复杂问题简单化，抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．另外,由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷，从而起到优化计算的目的．

华罗庚先生曾指出:“数与形本是相倚依，焉能分作两边飞；数缺形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事休．”这充分说明了数形结合数学学习中的重要性，是中考数学的一个最重要数学思想．

典型例题

一、在数与式中的应用

【例1】实数a、b在数轴上的位置如图所示,化简2aab=_________．

【分析】 由数轴上a，b的位置可以得到a〈0，b>0且a

【解】 22aababaab

【例2】 如下图是小明用火柴搭的1条、2条、3条“金鱼”……,则搭n条“金鱼”需要火柴_________根．

【分析】 由图形可知，搭1条金鱼需要8根火柴棒，后面每多一条就多6根火柴棒，所以搭n条金鱼共需8+6（n－1）=(6n+2)根火柴棒．

【解】6n+2

二、在方程、不等式中的应用

【例3】 （08聊城）已知关于x的不等式组020xax的整数解共有2个，则a的取值范围是___________．

【分析】解不等式组得解集为2xax，我们可以将x<2标注在数轴上，要使得不等式组有2个整数解，由图象可知整数解为0，1，则a应在－1～0之间，且可以等于－1，但不能为0，所以以的取值范围是－l≤a<0．

【解】 1≤n〈0 快乐的学习,快乐的考试! 2 【例4】(08南通)用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示)，则所解的二元一次方程组是 （ ）

试题赏析　

⑩广东省广州市番禺区市桥象圣中学张丽梅　一、问题的提出　２０１　１年广州中考数学题第２３题：　已知ＲｔＡＡＢＣ的斜边ＡＢ在平面直角坐标系的　轴上，点Ｃ　，　０　（１，３）在反比例函数Ｙ＝Ｉｆ，的网像上，且ｓｉｎ　Ｃ＝　．（１）求ｋ的　戈　５　值和边ＡＣ的长．（２）求点Ｂ的坐标．　本题在数学知识上考查了在直角二三角形中　角函数的应　用，熟练掌握好边角之问的关系和熟练作出反比例函数的图像，　是本题的关键．同时，本题也渗透着中学数学中最重要的思想之　一——数形结合．我们通过对本题学生答题情况进行分析，发现　得分情况并不理想，这也从一个方面反映出，在我们平时的日常　教学中，注重了知识的传授的同时，忽视了对数学思想的渗透．　所以，我们有必要对数学结合思想在初中数学教学中的渗透进　行探讨．　二、数形结合思想在初中教学中的地位和意义　１．有助于学生对数学概念的理解和认知．　数学概念一般以文字形式给出，省略了概念原有的逻辑加　工过程，具有高度的抽象性，对于部分学生来说，在理解上存在　一定的困难．但实际上，每个概念都有其直观的模型，可以帮助　学生理解概念、深化对概念的记忆．利用数学结合思想，可以揭　示概念的抽象与具体之间的内在联系，使学生在表面文字的记　忆基础上，更能够从具体的图形中理解概念的来龙去脉和理解　概念的本质．例如我们在学习数轴概念时，可以通过日常生活中　的温度计、标尺等去理解，该模型启发了学生，可以用直线上的　点来表示数，这样子就可以把抽象的概念具体化．　２．有助于学生数学思维能力的发展．　人的思维一般可认为分三种：“抽象思维，形象思维和直觉　思维”．从学生的认知上，他们习惯从形象思维人手，用抽象思维　结尾．数形结合思想，始终通过“数”和“形”对数学问题进行剖　析，从人教版初中数学教材的编排上也可以时刻体现着数形结　合的思想，七年级学习一些基本的图形如直线、角、三角形等，以　及实数、解一元一次方程、解二元一次方程、一元一次不等式等　有关数基本概念，八年级及九年级就重点落在了一次函数、反比　例函数、二次函数等概念，完美的把“形”“数”进行整合的，在学　习过程中，让学生体会从形象的思维角度去理解抽象的数学概　念．因此，数形结合，既能够让学生掌握解决问题的办法，又能起　到培养学生思维能力发展的双重功效．例如有这样一道中考试　题，我们必须结合具体的函数图像去分析函数解析式里面相应　参数的范围：　例１　如果一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠Ｏ，ｂ≠０）的图像经过第二、　ｉ、四象限，那么（　）．　Ａ．ｋ＜Ｏ且ｂ＜Ｏ　Ｂ．ｋ＜Ｏ且ｂ＞Ｏ　Ｃ．ｋ＞Ｏ且ｂ＜Ｏ　Ｄ．ｋ＞Ｏ且ｂ＞Ｏ　三、在课堂上渗透数形结合思想方法的途径　１．通过概念教学渗透数学结合思想．　学生概念的掌握，必须经历概念的形成、理解和应用三个阶　段，因此，我们在进行概念教学时，是渗透数形结合思想方法的　适当时机和有效途径．　例如我们在八年级下册《勾股定理》的学习中，课文就通过　让学生观察计算一些以直角三角形两直角边为边长的小正方形　的面积与以斜边为边长的正方形的面积关系，从而引出勾股定　理概念．又如在二次函数的学习过程中，更加充分的体现了数形　结合的思想，通过二次函数的图像，介绍了二次函数的三要素：　开口、对称轴、顶点，使学生能够直观形象的理解三个基本的概　念．　２．在数学问题解决中渗透数形结合思想．　数学结合思想的题目，一般体现在具体的数学情境中，综合　运用代数和几何的相关知识，多角度、多方位、多层次地思考问　题，探索不同的解决问题的能力．体现数形结合思想的题型一般　分两类，也就是我们一般所说的：代数问题通过几何解和几何问　题通过代数解，所涉及的知识一般有解直角三角形相关的问题、　初中版中。　擞’