高考数学一轮复习第九章平面解析几何第9讲直线与圆锥曲线的位置关系理新人教A版

第二课时 圆锥曲线的综合应用

考点一 最值范围问题|

(2015·高考浙江卷)已知椭圆x22＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋12对称．

(1)求实数m的取值范围；

(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点)．

[解] (1)由题意知m≠0，可设直线AB的方程为y＝－1mx＋b.

由 x22＋y2＝1，y＝－1mx＋b，消去y，得12＋1m2x2－2bmx＋b2－1＝0.

因为直线y＝－1mx＋b与椭圆x22＋y2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b2＋2＋4m2>0，①

设M为AB的中点，则M2mbm2＋2，m2bm2＋2，代入直线方程y＝mx＋12解得b＝－m2＋22m2.②

由①②得m<－63或m>63.

(2)令t＝1m∈－62，0∪0，62，

则|AB|＝t2＋1·－2t4＋2t2＋32t2＋12，

且O到直线AB的距离d＝t2＋12t2＋1.

设△AOB的面积为S(t)，所以

S(t)＝12|AB|·d＝12 －2t2－122＋2≤22，

当且仅当t2＝12时，等号成立． 故△AOB面积的最大值为22.

(1)最值问题的求解方法：

①建立函数模型，利用二次函数、三角函数的有界性求最值或利用导数法求最值．

②建立不等式模型，利用基本不等式求最值．

③数形结合，利用相切、相交的几何性质求最值．

(2)求参数范围的常用方法：

①函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解．

②不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数范围．

③判别式法：建立关于某变量的一元二次方程，利用判别式Δ求参数的范围．

④数形结合法：研究该参数所表示的几何意义，利用数形结合思想求解．

1.(2016·宁波模拟)如图，抛物线C的顶点为O(0,0)，焦点在y轴上，抛物线上的点(x0,1)到焦点的距离为2.

(1)求抛物线C的标准方程；

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第一章 集合与常用逻辑用语

第1讲 集 合

第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件

第3讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

第二章 函数概念与基本初等函数I

第1讲 函数及其表示

第2讲 函数的单调性与最值

第3讲 函数的奇偶性与周期性

第4讲 幂函数与二次函数

第5讲 指数与指数函数

第6讲 对数与对数函数

第7讲 函数的图象

第8讲 函数与方程、函数的应用

第三章 导数及其应用

第1讲 变化率与导数、导数的计算

第2讲 导数在研究函数中的应用

第1课时 导数与函数的单调性

第2课时 导数与函数的极值、最值

第3课时 导数与函数的综合应用

专题探究课一 高考中函数与导数问题的热点题型

第四章 三角函数、解三角形

第1讲 任意角、弧度制及任意角的三角函数

第2讲 同角三角函数基本关系式与诱导公式

第3讲 三角函数的图象与性质

第4讲 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用

第5讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

第6讲 正弦定理和余弦定理

第7讲 解三角形应用举例

专题探究课二 高考中三角函数问题的热点题型 全国名校高考数学复习优质课时作业汇编（附详解）

第五章 平面向量

第1讲 平面向量的概念及线性运算

第2讲 平面向量基本定理及坐标表示

第3讲 平面向量的数量积及其应用

第六章 数列

第1讲 数列的概念及简单表示法

第2讲 等差数列及其前n项和

第3讲 等比数列及其前n项和

第4讲 数列求和

专题探究课三 高考中数列问题的热点题型

第七章 不等式

第1讲 不等式的性质与一元二次不等式

第2讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

第3讲 基本不等式及其应用

第八章 立体几何初步

第1讲 空间几何体的结构、三视图和直观图

第2讲 空间几何体的表面积与体积

第3讲 空间点、直线、平面之间的位置关系

第 1 页 共 6 页 F x y A

B

C O 2015高考数学一轮复习单元检测： 圆锥曲线与方程

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1．椭圆12222byax (a>b>0)离心率为23,则双曲线12222byax的离心率为 （ ）

A．45 B．25 C．32 D．45

2．(2014·北京东城区期末)已知抛物线y2＝2px的焦点F与双曲线x27－y29＝1的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上，且|AK|＝2|AF|，则△AFK的面积为( )

A．4 B．8 C．16 D．32

3．圆的方程是(x－cos)2+(y－sin)2= 12 ,当从0变化到2时，动圆所扫过的面积是

（ ）A．22 B． C．)21( D．2)221(

4．若过原点的直线与圆2x+2y+x4+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是 （ ）A．xy3 B．xy3 C．xy33 D．xy33

5．椭圆131222yx的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的 （ ）

A．7倍 B．5倍 C．4倍 D．3倍

6．以原点为圆心，且截直线01543yx所得弦长为8的圆的方程是 （ ）

A．522yx B．2522yx C．422yx D．1622yx

7．曲线sincos2yx（为参数）上的点到原点的最大距离为 （ ）A． 1 B．2 C．2 D．3

直线与圆锥曲线之探索性问题

1、已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点分别为12,FF，12||2FF，过点1F的直线与椭圆C交于,AB两点，延长2BF交椭圆C于点M，2ABF的周长为8.

（1）求C的离心率及方程；

（2）试问：是否存在定点0(,0)Px，使得·PMPB为定值？若存在，求0x；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）12,22143xy； （2）存在点P，且0118x.

【解析】

（1）由题意可知，12||=2c=2FF，则1c，

又2ABF的周长为8，所以48a，即2a，

则12cea，2223bac.

故C的方程为22143xy.

（2）假设存在点P，使得·PMPB为定值.

若直线BM的斜率不存在，直线BM的方程为1x，31,2B，31,2M，

则209·14PMPBx. 若直线BM的斜率存在，设BM的方程为1ykx，

设点11,Bxy，22,Mxy，联立221431xyykx，得22224384120kxkxk，

根据韦达定理可得：2122843kxxk，212241243kxxk，

由于202,PMxxy，101,PBxxy，

则212120012•PMPBxxxxxxyy

22200022221201202485312143xxkxkxxxkxxkxk

因为·PMPB为定值，所以2200048531243xxx，

解得0118x，故存在点P，且0118x.

2、设经过点,00Maa的直线1l与抛物线24yx相交于P、Q两点，经过点M的直线2l与抛物线24yx相切于点H.

（1）当1a时，求11PMQM的取值范围；

（2）问是否存在直线1l，2l使得22MHMPMQ成立，若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由.