高考数学一轮复习 第九章 解析几何 第3讲 直线与圆、圆与圆的位置关系 理(2021年最新整理)

2018版高考数学一轮复习 第九章 解析几何 第3讲 直线与圆、圆与圆的位置关系 理

1 2018版高考数学一轮复习 第九章 解析几何 第3讲 直线与圆、圆与圆的位置关系 理

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2018版高考数学一轮复习 第九章 解析几何 第3讲 直线与圆、圆与圆的位置关系 理

2 第3讲 直线与圆、圆与圆的位置关系

一、选择题

1．已知集合A＝｛(x，y)｜x，y为实数，且x2＋y2＝1｝，B＝{（x，y）｜x，y为实数，且x＋y＝1｝，则A∩B的元素个数为( ）．

A．4 B．3 C．2 D．1

解析 法一 （直接法)集合A表示圆，集合B表

示一条直线，又圆心(0，0)到直线x＋y＝1的距离

d＝错误!＝错误!＜1＝r，所以直线与圆相交，故选C。

法二 （数形结合法）画图可得，故选C.

答案 C

2．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a）2＋y2＝2有公共点,则实数a的取值范围是

（ ）．

A．[－3,－1］ B．［－1,3]

C．[－3,1] D．(－∞,－3］∪［1，＋∞）

解析 由题意可得,圆的圆心为（a,0），半径为错误!，

∴错误!≤错误!，即｜a＋1|≤2,解得－3≤a≤1.

答案 C

3．若圆(x－a)2＋（y－b）2＝b2＋1始终平分圆(x＋1）2＋（y＋1)2＝4的周长，则a，b满足的关系是（ )

A．a2＋2a＋2b－3＝0

B．a2＋b2＋2a＋2b＋5＝0

C．a2＋2a＋2b＋5＝0

D．a2－2a－2b＋5＝0

解析 即两圆的公共弦必过（x＋1)2＋(y＋1）2＝4的圆心，

两圆相减得相交弦的方程为－2(a＋1)x－2(b＋1)y＋a2＋1＝0,

将圆心坐标(－1,－1）代入可得a2＋2a＋2b＋5＝0.

答案 C

4．若圆C1：x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0(a∈R)与圆C2：x2＋y2－2by－1＋b2＝0（b∈R)恰有三条切线，则a＋b的最大值为 ( ）． 2018版高考数学一轮复习 第九章 解析几何 第3讲 直线与圆、圆与圆的位置关系 理

3 A．－3错误! B．－3 C．3 D．3错误!

解析 易知圆C1的圆心为C1（－a,0)，半径为r1＝2；

圆C2的圆心为C2(0,b），半径为r2＝1.

∵两圆恰有三条切线，∴两圆外切，

∴｜C1C2｜＝r1＋r2，即a2＋b2＝9。∵错误!2≤错误!,

∴a＋b≤3错误!（当且仅当a＝b＝错误!时取“＝”），

∴a＋b的最大值为3错误!.

答案 D

5．若曲线C1:x2＋y2－2x＝0与曲线C2：y(y－mx－m）＝0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是 ( ）．

A。错误! B.错误!∪错误!

C。错误! D。错误!∪错误!

解析 C1：（x－1）2＋y2＝1，C2：y＝0或y＝mx＋m＝m(x＋1)．

当m＝0时,C2:y＝0，此时C1与C2显然只有两个交点;

当m≠0时，要满足题意，需圆(x－1)2＋y2＝1与直线y＝m(x＋1）有两交点，当圆与直线相切时，m＝±错误!，即直线处于两切线之间时满足题意，

则－错误!

综上知－错误!

答案 B

6．如右图,一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点．那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周,点M，N在大圆内所绘出的图形大致是（ ）．

解析 如图，建立直角坐标系，由题意可知，小圆O1总与大圆O2018版高考数学一轮复习 第九章 解析几何 第3讲 直线与圆、圆与圆的位置关系 理

4 相内切,且小圆O1总经过大圆的圆心O。设某时刻两圆相切于点A，此时动点M所处位置为点M′，则大圆圆弧的长与小圆圆弧的长之差为0或2π。切点A在三、四象限的差为0，在一、二象限的差为2π.以切点A在第三象限为例,记直线OM与此时小圆O1的交点为M1，记∠AOM＝θ，则∠OM1O1＝∠M1OO1＝θ，故∠M1O1A＝∠M1OO1＋∠OM1O1＝2θ。大圆圆弧的长为l1＝θ×2＝2θ，小圆圆弧的长为l2＝2θ×1＝2θ，则l1＝l2，即小圆的两段圆弧与的长相等，故点M1与点M′重合．即动点M在线段MO上运动，同理可知,此时点N在线段OB上运动．点A在其他象限类似可得，故M，N的轨迹为相互垂直的线段．观察各选项知，只有选项A符合．故选A。

答案 A

二、填空题

7．直线y＝x被圆x2＋（y－2）2＝4截得的弦长为________．

解析 由题意得，圆x2＋（y－2）2＝4的圆心为（0,2）,半径为2,圆心到直线x－y＝0的距离d＝错误!＝错误!。

设截得的弦长为l,则由错误!2＋（错误!）2＝22，得l＝2错误!.

答案 2错误!

8．设集合A＝（x，y)错误!（x－2)2＋y2≤m2，x，y∈R,B＝｛（x，y）|2m≤x＋y≤2m＋1，x，y∈R},若A∩B＝∅，则实数m的取值范围是________．

解析 ∵A∩B≠∅,∴A≠∅，

∴m2≥错误!.∴m≥错误!或m≤0。显然B≠∅。

要使A∩B≠∅，只需圆(x－2)2＋y2＝m2（m≠0)与x＋y＝2m或x＋y＝2m＋1有交点，即错误!≤|m|或错误!≤｜m|，∴错误!≤m≤2＋错误!。

又∵m≥错误!或m≤0，∴错误!≤m≤2＋错误!.

当m＝0时，(2,0）不在0≤x＋y≤1内．

综上所述，满足条件的m的取值范围为错误!.

答案 错误!

9．从原点向圆x2＋y2－12y＋27＝0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为________．

解析 (数形结合法）如图，圆x2＋y2－12y＋27＝0

可化为x2＋(y－6)2＝9，圆心坐标为(0，6),半径为3。

在Rt△OBC中可得：∠OCB＝错误!，∴∠ACB＝错误!, 2018版高考数学一轮复习 第九章 解析几何 第3讲 直线与圆、圆与圆的位置关系 理

5 ∴所求劣弧长为2π。

答案 2 π

10．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且只有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________．

解析 画图可知,圆上有且只有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，该圆半径为2即圆心O（0，0)到直线12x－5y＋c＝0的距离d＜1,即0＜错误!＜1,∴－13＜c＜13。

答案 (－13，13）

三、解答题

11．已知：圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0。

（1）当a为何值时，直线l与圆C相切;

（2）当直线l与圆C相交于A，B两点，且｜AB|＝2错误!时，求直线l的方程．

解 将圆C的方程x2＋y2－8y＋12＝0化成标准方程为x2＋(y－4)2＝4，则此圆的圆心为（0,4)，半径为2.

(1）若直线l与圆C相切，则有错误!＝2,解得a＝－错误!。

(2）过圆心C作CD⊥AB，则根据题意和圆的性质，

得错误!

解得a＝－7或a＝－1.

故所求直线方程为7x－y＋14＝0或x－y＋2＝0。

12．已知与圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切的直线l交x轴,y轴于A,B两点，|OA|＝a，|OB｜＝b(a>2，b>2）．

(1)求证：（a－2)(b－2)＝2；

(2）求线段AB中点的轨迹方程；

（3）求△AOB面积的最小值．

解 (1)证明：圆的标准方程是(x－1）2＋（y－1）2＝1，设直线方程为xa＋错误!＝1，即bx＋ay－ab＝0，圆心到该直线的距离d＝错误!＝1，

即a2＋b2＋a2b2＋2ab－2a2b－2ab2＝a2＋b2，即a2b2＋2ab－2a2b－2ab2＝0，

即ab＋2－2a－2b＝0,即（a－2）(b－2）＝2。

（2)设AB中点M(x,y)，则a＝2x，b＝2y，代入(a－2）（b－2)＝2,

得(x－1)(y－1）＝错误!(x〉1，y〉1）． 2018版高考数学一轮复习 第九章 解析几何 第3讲 直线与圆、圆与圆的位置关系 理

6 (3）由（a－2）(b－2）＝2得ab＋2＝2（a＋b）≥4错误!，

解得错误!≥2＋错误!（舍去错误!≤2－错误!），

当且仅当a＝b时,ab取最小值6＋4错误!，

所以△AOB面积的最小值是3＋2错误!。

13．设直线l的方程为y＝kx＋b(其中k的值与b无关），圆M的方程为x2＋y2－2x－4＝0。

（1)如果不论k取何值,直线l与圆M总有两个不同的交点，求b的取值范围；

(2）b＝1时，l与圆交于A,B两点，求｜AB｜的最大值和最小值．

解 圆M的标准方程为（x－1）2＋y2＝5,

∴圆心M的坐标为(1,0），半径为r＝5.

（1)∵不论k取何值,直线l总过点P（0，b)，

∴欲使l与圆M总有两个不同的交点，必须且只需点P在圆M的内部，即|MP｜

∴－2

（2)当l过圆心M时，｜AB|的值最大，最大值为圆的直径长2错误!。当l⊥MP时，此时｜MP｜最大，|AB｜的值最小，｜MP|2＝错误!2＝错误!＝1＋错误!≤1＋错误!＝2，当且仅当k＝1时取等号．最小值为2错误!＝2错误!＝2错误!。

14．已知圆M：x2＋(y－2）2＝1，Q是x轴上的动点，QA,QB分别切圆M于A，B两点．

(1）若Q(1,0），求切线QA，QB的方程;

（2)求四边形QAMB面积的最小值；

（3）若|AB|＝错误!，求直线MQ的方程．

解 （1）设过点Q的圆M的切线方程为x＝my＋1,

则圆心M到切线的距离为1，

∴错误!＝1，∴m＝－错误!或0，

∴QA,QB的方程分别为3x＋4y－3＝0和x＝1。

(2）∵MA⊥AQ，∴S四边形MAQB＝｜MA｜·｜QA|＝｜QA｜＝错误!＝错误!≥错误!＝错误!.

∴四边形QAMB面积的最小值为错误!。

(3)设AB与MQ交于P，则MP⊥AB，MB⊥BQ，

∴|MP|＝ 错误!＝错误!.

在Rt△MBQ中，|MB｜2＝｜MP||MQ｜，

即1＝错误!｜MQ｜,∴|MQ｜＝3,∴x2＋（y－2)2＝9.