高中物理：机械波多解问题

机械波点点清专题4 波传播的周期性和多解性问题1.波动问题多解的主要因素(1)周期性①时间周期性：时间间隔Δt与周期T的关系不明确.每经过 nT，质点完成 n 次全振动回到原来的状态，在时间上形成多解，多解通式为 t＝nT＋Δt.②空间周期性：波传播的距离Δx与波长λ的关系不明确.在波形图上，相距nλ的质点振动状态完全一致，在空间上形成多解，多解通式为 x＝n λ＋Δx.(2)双向性①传播方向双向性：波的传播方向不确定.只告诉波速不指明波的传播方向，应考虑沿两个方向传播的可能，即沿x轴正方向或沿x轴负方向传播。

②振动方向双向性：质点位移、速度方向不确定.质点达到最大位移处，则有正向和负向最大位移两种可能，质点在某一确定位置，振动速度方向有向上、向下(或向左、向右)两种可能；(3)波形的不确定：在波动问题中，往往只给出完整波形的一部分，或给出几个特殊点，波形就有多种情况，形成波动问题的多解性。

2.求解波的多解问题一般思路(1)根据题设条件结合多解的主要因素判断是唯一解还是多解(2)根据周期性、双向性、波形的隐含性，采用从特殊到一般的思维方法，即找出一个周期内满足条件的关系Δt或Δx，确定时间 t 和距离 x 的关系通式。

若此关系为时间，则t ＝nT＋Δt(n＝0,1,2，…)；若此关系为距离，则x＝nλ＋Δx(n＝0,1,2，…).(3)根据波速公式v ＝Δx λ或v＝Δt＝λf求波速。

T题型1 波形的不确定性形成多解【典例1】（2013年重庆卷）（多选）一列简谐横波沿直线传播，某时刻该列波上正好经过平衡位置的两质点相距 6 m，且这两质点之间的波峰只有一个，则该简谐波可能的波长为（）A.4 m、6 m 和8 mB.6 m、8 m 和12 mC.4 m、6 m 和12 mD.4 m、8 m 和12 m【解析】根据题意，有以下三种情况符合要求：λ1ab＝6 m，即2＝6m，λ1＝12m.c d＝6m，即λ2＝6m.3e f＝6m，即λ3＝6m， 2λ3＝4m，故C正确，A、B、D错误.【答案】 C题型2 双向性形成多解【典例2】（双向性）一列简谐横波在t＝0 时刻的波形如图中的实线所示，t＝0.02 s 时刻的波形如图中虚线所示。

第4讲波的多解问题[目标定位] 1.掌握波在传播过程中的周期性和双向性特点．2.能分析和处理波动图像的多解问题。

一、波的多解问题1．波具有时间和空间的周期性，传播具有双向性，所以关于波的问题更容易出现多解．造成多解的主要因素有：(1)时间间隔Δt与周期T的关系不明确；(2)波的传播距离Δx与波长λ的关系不明确；(3)波的传播方向不确定．2．在解决波的问题时，对题设条件模糊，没有明确说明的物理量，一定设法考虑其所有的可能性：(1)质点达到最大位移处，则有正向和负向最大位移两种可能；(2)质点由平衡位置开始振动，则有起振方向相反的两种可能；(3)只告诉波速不指明波的传播方向，应考虑沿两个方向传播的可能；(4)只给出两时刻的波形，则有多次重复出现的可能．【例1】一列横波在x轴上传播，t1＝0和t2＝0.005 s时的波形如图12－3－2中的实线和虚线所示．图12－3－2(1)设周期大于(t2－t1)，求波速；(2)设周期小于(t2－t1)，并且波速为6 000 m/s.求波的传播方向．解析当波传播时间小于周期时，波沿传播方向前进的距离小于一个波长；当波传播的时间大于周期时，波沿传播方向前进的距离大于波长．这时从波形的变化上看出的传播距离加上n个波长才是波实际传播的距离．(1)因Δt＝t2－t1＜T，所以波传播的距离可以直接由图读出．若波向右传播，则在0.005 s内传播了2 m，故波速为v＝2 m0.005 s＝400 m/s.若波向左传播，则在0.005 s内传播了6 m，故波速为v＝6 m0.005 s＝1 200 m/s.(2)因Δt＝t2－t1＞T，所以波传播的距离大于一个波长，在0.005 s内传播的距离为Δx＝vΔt＝6 000×0.005 m＝30 m，Δxλ＝308＝334，即Δx＝3λ＋34λ.因此，可得波的传播方向沿x轴的负方向．答案(1)波向右传播时，v＝400 m/s；波向左传播时，v＝1 200 m/s(2)x轴负方向借题发挥解决周期性及双向性带来的多解问题的一般思路如下：(1)首先考虑传播方向的双向性，如果题目未说明波的传播方向或没有其他条件暗示，应首先按波传播的可能性进行讨论．(2)对设定的传播方向，确定Δt和T的关系，一般先确定最简单的情况，即一个周期内的情况，然后在此基础上加nT.(3)应注意题目是否有限制条件，如有的题目限制波的传播方向，或限制时间Δt 大于或小于一个周期等．所以解题时应综合考虑，加强多解意识，认真分析题意．(4)空间的周期性和时间的周期性是一致的，实质上是波形平移规律的应用，所以解题时我们可以针对不同题目选择其中一种方法求解．波的多解问题1．一列横波在t＝0时刻的波形如图12－3－4中实线所示，在t＝1 s时的波形如图中虚线所示．由此可以判定此波的()A．波长一定是4 cmB．周期一定是4 sC．振幅一定是2 cmD．传播速度一定是1 cm/s1．一列简谐横波在t＝0时刻的波形如图12－3－10中的实线所示，t＝0.02 s时刻的波形如图中虚线所示．若该波的周期T大于0.02 s，则该波的传播速度可能是()图12－3－10A．7 m/s B．3 m/s C．1 m/s D．5 m/s2．如图12－3－12所示，一列简谐横波沿x轴传播，实线为t1＝0时的波形图，此时P质点向y轴负方向运动，虚线为t2＝0.01 s时的波形图．已知周期T>0.01 s.(1)波沿x轴________(填“正”或“负”)方向传播；(2)求波速．3．一列简谐横波沿x轴正方向传播，t＝0时刻的波形如图12－3－13所示．经0.6 s时间质点a第一次到达波峰位置，求：(1)波的传播速度大小；(2)质点b第一次出现波峰的时刻．4.一列简谐横波t1时刻的波形如图12－3－14中实线所示，t2时刻的波形如图中虚线所示，已知Δt＝t 2－t1＝0.5 s．问：(1)这列波的传播速度是多少？(2)若波向左传播，且3T<Δt<4T，波速是多大？(3)若波速等于68 m/s，则波向哪个方向传播？5. 如图实线是某时刻的波形图象，虚线是经过0.2s时的波形图象。

2023届高三物理一轮复习多维度导学与分层专练专题42 机械波导练目标导练内容目标1机械波的传播和波的图像目标2波的图像与振动图像目标3波的多解问题目标4波的干涉目标5波的衍射目标6多普勒效应一、机械波的传播和波的图像1.机械波的传播特点(1)波传到任意一点，该点的起振方向都和波源的起振方向相同。

(2)介质中每个质点都做受迫振动，因此，任一质点的振动频率和周期都和波源的振动频率和周期相同。

(3)波从一种介质进入另一种介质，由于介质不同，波长和波速可以改变，但频率和周期都不会改变。

(4)波源经过一个周期T完成一次全振动，波恰好向前传播一个波长的距离。

2．波速公式v＝λT＝λf的理解(1)波速v：机械波在介质中的传播速度，由介质本身的性质决定，与波源的周期T无关。

(2)频率f：由波源决定，等于波源的振动频率。

各个质点振动的频率等于波源的振动频率。

3．波的图像的特点(1)时间间隔Δt＝nT(波传播nλ，n＝0,1,2,3，…)时，波形不变。

(2)在波的传播方向上：①当两质点平衡位置间的距离Δx＝nλ (n＝1,2,3，…)时，它们的振动步调总相同，在波形图上的对应位移一定相同；①当两质点平衡位置间的距离Δx＝(2n＋1)λ2 (n＝0,1,2,3，…)时，它们的振动步调总相反，在波形图上的对应位移一定等值反向。

(3)波源质点的起振方向决定了它后面的质点的起振方向，各质点的起振方向与波源的起振方向相同。

4．根据波的图像、波的传播方向判定质点的振动方向的方法内容图像“上下坡”法沿波的传播方向，“上坡”时质点向下振动，“下坡”时质点向上振动“同侧”法波形图上某点表示传播方向和振动方向的箭头在图线同侧“微平移”法将波形沿传播方向进行微小的平移，再由对应同一x坐标的两波形曲线上的点来判断振动方向注意：波的图像、波的传播方向与质点振动方向三者之间可以互相判定。

【例1】战绳训练是当下流行的一种健身方式，健身者通过晃动战绳的一端使其上下振动从而让手臂和肩部的肌肉得到良好的锻炼。

考点3 波的多解问题(实力考点·深度研析)造成波动问题多解的主要因素1．周期性(1)时间周期性：时间间隔Δt 与周期T 的关系不明确。

(2)空间周期性：波传播距离Δx 与波长λ的关系不明确。

2．双向性(1)传播方向双向性：波的传播方向不确定。

(2)振动方向双向性：质点振动方向不确定。

3．波形的隐含性形成多解在波动问题中，往往只给出完整波形的一部分，或给出几个特殊点，而其余信息均处于隐含状态。

这样波形就有多种状况，形成波动问题的多解性。

►考向1 波传播的双向性和时间周期性引起的多解问题[解析] (1)由题图可知λ＝8 m 。

当波向右传播时，在Δt ＝t 2－t 1时间内波传播的距离为s 1＝nλ＋38λ＝(8n ＋3)m(n ＝0,1,2，…) 波速为v 1＝s 1Δt ＝8n ＋30.5m/s ＝(16n ＋6)m/s(n ＝0,1,2，…)。

当波向左传播时，在Δt ＝t 2－t 1时间内波传播的距离为s 2＝nλ＋58λ＝(8n ＋5)m(n ＝0,1,2，…)波速为v 2＝s 2Δt ＝8n ＋50.5m/s ＝(16n ＋10)m/s(n ＝0,1,2，…)。

(2)若波速大小为74 m/s ，在Δt ＝t 2－t 1时间内波传播的距离为s ′＝v ′·Δt ＝74×0.5 m＝37 m ，因为37 m ＝4λ＋58λ，所以波向左传播。

[答案] 答案见解析解决波的多解问题的一般思路(1)首先找出造成多解的缘由，比如考虑传播方向的双向性，可先假设波向右传播，再假设波向左传播，分别进行分析。

(2)依据周期性列式，若题目给出的是时间条件，则列出t ＝nT ＋Δt (n ＝0,1,2，…)；若给出的是距离条件，则列出x ＝nλ＋Δx (n ＝0,1,2，…)进行求解。

(3)依据须要进一步求与波速⎝ ⎛⎭⎪⎫v ＝Δx Δt 或v ＝λT ＝λf 等有关的问题。

►考向2 空间周期性引起的多解问题(2024·海南卷)下面左右两图分别是一列机械波在传播方向上相距6 m 的两个质点P 、Q 的振动图像，下列说法正确的是( C )A ．该波的周期是5 sB ．该波的波速是3 m/sC ．4 s 时P 质点向上振动D ．4 s 时Q 质点向上振动[解析] 由振动图像可看出该波的周期是4 s ，A 错误；由于Q 、P 两个质点振动反相，则可知两者间距离等于⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋12λ＝6 m ，n ＝0,1,2，…，依据v ＝λT ＝32n ＋1 m/s ，n ＝0,1,2，…，B 错误；由P 质点的振动图像可看出，在4 s 时P 质点在平衡位置向上振动，C 正确；由Q 质点的振动图像可看出，在4 s 时Q 质点在平衡位置向下振动，D 错误。

小专题研究(三) 波的多解问题1．方向性不确定出现多解波总是由波源发出并由近及远地向前传播，波在介质中传播时，介质各质点的振动情况根据波的传播方向是可以确定的，反之亦然。

因此，根据题中的已知条件不能确定波的传播方向或者不能确定质点的振动方向，就会出现多解，然而同学们在解题中往往凭着主观臆断，先入为主地选定某一方向为波的传播方向或是质点的振动方向，这样就会漏掉一个相反方向的可能性解。

2．时间、距离不确定形成多解沿着波的传播方向，相隔一个波长的连续两个相邻的质点振动的步调是完全相同的；在时间上相隔一定周期的前后两个相邻时刻的波形图线是完全相同的，所以，当题中已知条件没有给定传播的时间(波传播的时间Δt 与周期T 之间的大小关系不确定)或是没有给定波的传播距离(波的传播距离Δs 与波长λ之间的大小关系不确定)，就会出现多解现象。

同学们在解题时经常只分析传播时间Δt 小于T (或传播距离Δs 小于波长λ)的特解情况，从而造成特解代替通解的漏解现象。

3．两质点间关系不确定形成多解在波的传播方向上，如果两质点间距离不确定或相位之间关系不确定，会形成多解，若不会联想所有的可能性，就会出现漏解。

[例证] 一列简谐横波沿直线传播，在传播方向上有P 、Q 两个质点，它们相距8 m ，当t ＝0时，P 、Q 的位移恰好是正最大值，且P 、Q 之间只有一个波谷。

t ＝0.6 s 末时，P 、Q 两点正好都处在平衡位置，且P 、Q 之间只有一个波峰和一个波谷，且波峰距Q 点的距离第一次为λ4，试求：(1)波由P 传至Q ，波的周期； (2)波由Q 传到P ，波的速度；(3)波由Q 传到P ，从t ＝0时开始观察，哪些时刻P 、Q 间(P 、Q 除外)只有一个质点的位移大小等于振幅。

[解析] (1)由题意，t ＝0时的波形如图1(a)所示，t ＝0.6 s 时的波形如图(b)所示：图1若波从P 传向Q ，则t ＝34T ，从而得T ＝0.8 s 。