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知识点杨氏模量:正应力与正应变的比例系数（xx xxe E σ=）泊松比：表示物体横向应变与纵向应变的比例系数，也称横向形变系数 （纵向应变横向应变=∆∆∆-=00l b bν） 应力张量（正应力、切应力、主应力）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡zz yz xz zy yy xy zx yx xx σσσσσσσσσ——应力张量 正应力：n n p n n n nσσσ==,切应力：n n p σστ -=主应力：如果通过一点某截面上只有正应力而没有切应力，则该面为主应力面，该正应力为主应力柯西公式:⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡z y x zz yz xz zy yy xyzx yx xx nz ny nx n n n σσσσσσσσσσσσ —— Caudy （柯西公式）应变张量（正应变、切应变、主应变）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡zz yz xz zy yy xy zx yx xx e e e e e e e e e ——应变张量 正应变：l l xxe ∆=——沿x 方向的小线元伸长量 切应变：θθθθθe e xx ==∆=∆cos sin )sin(主应变：物体在变形过程中，线段只沿它原来的方向发生伸长与缩短，该方向上的应变称为主应变（变形过程中方向保持不变，该方向称为应变主方向）体应变：体积相对改变量θ=-'v v v旋转张量：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---000x y x zy z w w w w w w ——旋转张量 广义胡克定律：在弹性体中，任意一点，6个应力张量中的每个分量均是六个应变张量的线性函数，反之亦然。
（本构方程）能流密度： 能流密度矢量：单位时间内通过与它垂直的单位截面积的机械能n vK zz yz xz zy yy xy zx yx xx I I I t w t v t u z y x ∙=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂σσσσσσσσσ 能量的流动方向与波的传播方向一致，其大小于速度v 和机械能密度K 成正比。
学习意义：理解不同边界条件下的地震波波动方程的含义，理解各种弹性力学参数的物理意义并将参数和地下介质的岩性问题联系起来，最终为地震剖面的岩性解释服务。
刚体：变形忽略不计的物体弹性波：扰动在弹性介质中的传播波前面：波在介质中传播的某个时刻，介质内已扰动的区域和未扰动区域间的界面称为波前面地震波分类：纵波横波，平面波球面波柱面波，体波界面波表面波 哑指标：在同一项中重复两次从而对其应用求和约定的指标 自由指标：在同一项中出现一次因而不约定求和的指标各项同性张量：如果一个张量的每个分量都是坐标变换下的不变量，则称此张量为各项同性张量张量性质：二阶实对称张量的特征值都是实数：二阶实对称张量对应于不同特征值的两个特征向量垂直：二阶实对称张量总存在三个相互垂直的主方向：在主轴坐标系内二阶实对称张量的矩阵形式是对角形：三个相互垂直主方向的右手坐标系为主轴坐标系弹性：物体受外力时发生形变，外力消除时物体回到变形前的水平 弹性变形：在弹性范围内发生的可恢复原状的变形 弹性体：处于弹性变形阶段的物体弹性波动力学基本假设：物体是连续的：物体是线性弹性的：物体是均匀分布的：物体是各项同性的：小变形假设：无体物初应力假设 位形：弹性体在任意时刻所占据的空间区域参考位形：弹性体未受外力作用处在自然情况下的位形 运动：刚性平移，刚性转动，变形应变主方向：如果过p 点的某个方向的线源，在变形后只沿着他原来的方向产生相对伸缩主应变：沿着应变主方向的相对伸缩体力：连续分布作用于弹性体每个体元上的外力称为体力 面力：连续分布作用于弹性体表面上的力 运动微分方程的物理意义：表示应力张量在弹性体内部随点位置变化时应满足的关系式内能：弹性体在某个变形状态下，其内部分子的动能以及分子之间相互作用具有的势能总和应变能密度：单位体积内的弹性体所具有的应变能 广义胡克定律：线性弹性体内一点处的应力张量分量可以表示为该点处应变量张量的线性齐次方程动弹性模量：由介质的速度参数表达的弹性模量极端各向异性弹性体：过p 点任意方向都不同的弹性体粘滞力：实际流体中两层流体相互滑动流体间相互作用的阻力 理想流体介质：可以将粘滞力忽略的流体无旋波：无旋位移场的散度对应弹性体的涨缩应变场以波的形式传播（涨缩应变场）无散波：无散位移场的旋度对应弹性体的转动情况以波的形式运动平面波：波前面离开波源足够远时脉冲型和简谐型均匀和非均匀平面波 非频散波：波的传播速度仅仅依赖媒介密度拉美系数等而与波的频率无关 频散波：波的传播速度与频率有关频散：初始扰动的没一个简谐成分都以不同速度前进，从而初始波形在行进中发生了变化相速度：简谐波的传播速度群速度：由简谐波叠加而成的波其合成振幅的传播速度非均匀平面波：如果波的等位相面各点振幅不同，既等位相面和等振幅面不平行球面波：弹性媒质的位移矢量场具有球对称性，且只是空间变量和时间变量的函数 1、证明：kmjn kn jm im n ijk e e δδδδ-=；2、321321321n n n m m m i i i imne δδδδδδδδδ=3、321321321n n n m m m i i i ijkimn ijk e e e δδδδδδδδδ=4、kmjn kn jm knkm ki jn jm ji inim ii δδδδδδδδδδδδδ-==5、如果i i e a a =，ii e b b =，i i e c c=，证明：c b a b c a c b a )()()(∙-∙=⨯⨯；k ijk j i e e c b c b =⨯)()()(k ijk j i m m k ijk j i e e c b e a e e c b a c b a ⨯=⨯=⨯⨯n m kn ijk j i m k m ijk j i m e e e c b a e e e c b a=⨯=)(njn im jm in j i m n knm kij j i m e c b a e e e c b a)(δδδδ-==nn m m n m n m n n m m m n m e c b a e c b a e c b a c b a-=-=)(c b a b c a e c b a e b c a n n m m n n m m)()(∙-∙=-=分析：由于标量对坐标的选择无关，因此，如果证明了物理量在坐标变换前后相等，即可以认为此物理量是标量。
弹性波与结构动力学引言：弹性波是物质中传播的一类波动现象，它在结构动力学中起着重要的作用。
通过研究弹性波的传播特性，我们可以深入了解结构的振动行为，进而为工程结构的设计和安全性评估提供理论支持。
一、弹性波的基本概念弹性波是一种沿着介质中传递的机械波，其传播过程中介质的形状和体积保持不变。
弹性波包括两种类型：纵波和横波。
纵波是沿传播方向的波动，介质中的粒子在波传播过程中沿波的传播方向振动。
而横波是垂直于传播方向的波动，介质中的粒子在波传播过程中垂直于传播方向振动。
二、弹性波的传播特性弹性波在传播过程中受到介质本身刚度和密度的影响。
根据介质的性质不同，弹性波的传播速度也不同。
例如，在固体中，纵波的传播速度大于横波的传播速度；而在液体中，纵波和横波的传播速度相等。
此外，弹性波的传播还受到外部条件的限制，如介质的边界条件和存在的障碍物。
这些因素会使波动的传播方向改变，产生反射、折射和散射现象。
三、结构动力学中的应用结构动力学旨在研究结构体在受到外界力作用下的响应行为。
通过研究弹性波的传播和结构的振动特性，我们可以了解结构在承受外力时的变形和应力分布情况，从而评估结构的安全性和稳定性。
1. 弹性波的成像技术利用弹性波的传播特性，我们可以将其应用于结构的成像技术中。
通过在结构表面上布置传感器，并采集传感器上的信号信息，可以获得结构内部的振动分布情况。
这对于检测结构的缺陷和损伤以及评估结构的健康状况具有重要意义。
2. 弹性波在地震工学中的应用地震是一种具有较高频率和较大能量的弹性波。
研究地震波的传播行为可以帮助我们了解地震的发生机理和地震波对结构的影响。
通过地震波的预测和分析，可以为建筑物的抗震设计和城市的抗震规划提供科学依据。
3. 结构动力响应的数值模拟结构动力学中的数值模拟是利用计算机模拟方法来分析结构体在受到外力激励下的响应行为。
其中，弹性波的传播特性被广泛应用于模拟结构的振动响应。
通过建立结构的有限元模型和适当的边界条件，可以计算结构在不同外力作用下的动态行为，为工程师提供设计和评估结构安全性的参考。
《弹性波动力学》教学内容与方法研究作者：汪勇来源：《新教育时代·教师版》2016年第32期摘要：通过分析当前《弹性波动力学》课程中存在的问题，从教学内容、教学方式和教学方法三个方面进行研究，提高课程质量，促进学生理论和实践能力的发展。
关键词：弹性波动力学教学内容教学方式教学方法《弹性波动力学》是我们学校地球探测与信息技术专业学生的基础核心课，它为后续的专业课《地震资料数字处理》和《地震勘探原理》的学习提供了必要的基础，因此在课程体系中具有承上启下的作用，其教学效果往往影响着学生学习后续专业课的兴趣[1]。
该课程理论性强，涵盖的内容广泛，数学公式繁多，信息量大，学生往往不易掌握。
要讲好这门课程，有难度，有挑战，如何有针对性地搞好这门课程的教学工作，一直是我们努力实践探索的目标。
为了提高课程教学质量，我们从优化教学内容、改进教学方法、改善教学方式等方面进行了教学探索与改革。
一、课程教学内容的改革高等教育承担着培养高级专门人才、促进社会主义现代化建设、发展科学技术文化的重大任务。
进行以课程体系为主的教学内容改革，我们需要遵循一下三个原则：（1）课程教学内容改革要从促进人的全面发展思考问题，一方面既要弘扬科学精神，另一方面又要注重人文关怀，推动发展的功能、充分发挥文化引领社会，还要创造机会使大学生立足火热的建设实践，借鉴世界文明成果，传承优秀民族文化。
（2）要把经济社会需求作为高校教学内容改革的主要依据；课程体系改革要研究当代大学生观念、思想的变化和发展，探索大学生适应我国科技、社会、文化、经济发展的条件和方式。
（3）一定要保留和优化传统优势课程，还要发展新兴课程和交叉课程。
要让大学生掌握最新的知识内容，了解世界最新的发展动态，使大学生的层次和知识结构与世界先进水平趋于同步[2]。
在进行课程内容改革时，我们需要贯彻科学性和思想性相结合的原则，即在讲授新内容新知识新技能的过程中，向学生传授准确无误的科学文化知识，使之养成科学严谨的态度，还要结合知识的传授对学生进行思想品德和世界观教育，把马克思主义的科学方法渗透到整个教学过程，使科学性和思想性结合成一个有机的整体，赋予学生增强新技能、探索新知识的科学方法。
弹性波动力学学习手册本学习手册的编写旨在帮助初学者更好地掌握每一章节的重点内容，并提供相应的计算练习实例以及相应练习。
第一章仿射正交张量§1.1 指标记号及两个符号一、指标记号1、凡使用指标的记号系统为指标记号，如单位基向量：e i ，空间内任一点坐标：x i ，今后会遇到的应变张量ij e 、应力张量ij τ 等。
2、求和约定例：空间内任一点P 的向径可表示为：31122331i i i x x x x ===++∑x e e e e （1）在（1）式中可发现是对指标i 从1至3的取值范围内求和。
可以将其简写为：112233i i x x x x =++=x e e e e （2）这即是求和约定，亦即在数学表达式内同一项中，有某个指标重复出现一次且仅一次（如（2）式中的指标i ），就表示对该指标在其取值范围内取一切值，并对所得到的对应项求和。
该求和指标也称为哑标。
需要说明的是：由于该指标仅表示在其取值范围内求和，因此用其它拉丁字母代替亦可，但是不能与后文提到的自由指标相重复。
例1：i ji j t n τ=该例中，同一项中指标j 有重复且只重复一次，所以为哑标。
另一指标i 不参与求和约定，称其为自由指标。
该式展开为：i =1时，11111212313j j t n n n n ττττ==++ i =2时，22121222323j j t n n n n ττττ==++ i =3时，33131232333j j t n n n n ττττ==++自由指标的个数决定了简写方程代表实际方程的个数，哑标的个数决定了该项所代表的实际求和项的项数。
例1中，由于只有一个自由指标i ，所以实际上它代表有133=个表达式；右端项只有一个哑标j ，所以该项展开后是133=项的和。
例2：112233ii A A A A =++ 例3：1122S S S αα=+需要说明的是：教材中用拉丁字母书写的指标取值范围是1、2、3，而用希腊字母书写的指标取值范围是1、2（如例3中的指标α）。
针对指标记号的练习题：练习1：写出jk ij ik A B C = （23个方程，每个方程右端有13个累加项）练习2：12ij ij W e τ= （03个方程，23个累加项）二、两个符号1、Kronecker 符号ij δ1,0,ij i j i j δ=?=?≠? 写成阵列的形式即为：()100010001ij δ??= Kronecker 符号的特点：（1）ij ji δδ= (2) i j ij δ=g e e(3) 1122333ii δδδδ=++= (4) j ij i a a δ= (5) kj ik ij A A δ= (6) ik kj ij δδδ=例4：向量i i a =a e 和i i b =b e ，有：()i i i a b ±=±a b e 注意：±可作为求和约定中“同一项”的分隔符i i j j i j i j i j ij i i a b a b a b a b δ====g gg a b e e e e 注意：点乘(包括叉乘符号)符号不能作为“同一项”的分隔符，所以此例中将向量b 的下标换成了j 。
2i j ij i i a a a a a δ===g a a 2、排列符号（置换符号）：112311230ijk ijk e ijk ijk ??=-为的顺时针排列为的逆时针排列取值有重复时所以1232313121e e e ===，1323212131e e e ===-，其余21个值为0.1 23还有：ijk jki kij kji jik ikj e e e e e e ===-=-=-例5：123231312,132,,,?=?=?=?=-L e e e e e e e e e e e e 则有：i j ijk k e ?=e e e 例6：向量i i a =a e 和i i b =b e ，有：()()()i i j j i j i j ijk i j k a b a b e a b ?=?=?=a b e e e e e 则 ()ijk i j k e a b ?=a b针对两个符号的练习题：练习3：已知ii e θ=，λ和μ为常数，试将此式开展：2ij ij ij e τλθδμ=+§1.2 坐标变换旧系：123ox x x ，单位基向量：i e新系：123ox x x ，单位基向量：i e 坐标变换系数：()cos ,ij i j i j β==g e e e e新旧坐标系下的单位基向量坐标变换规律：,i ij j i ji j ββ==e e e e 新旧坐标系下的空间点坐标变换规律：,i ij j i ji j x x x x ββ==向量f ，在旧系下的分量i f ，新系下的分量为i f ，其坐标变换规律为： ,i ij j i ji j f x f f ββ==向量的解析定义：若有3个量，它们在123ox x x 和123ox x x 的分量分别为i f 和i f ，当两个坐标系之间的变换系数为ij β时，i f 与i f 之间按式,i ij j i ji j f x f f ββ==变换，则这3个量有序整体形成一个向量f ，此3个量为向量f 的分量。
§1.3 张量的定义一、张量的定义1、0阶张量（标量）：03个分量，在旧系下为()123,,x x x ?，新系下()123,,x x x ?，当进行坐标变换时满足()()123123,,,,x x x x x x ??=。
2、一阶张量（向量）：13个有序分量，满足,i ij l i ji j a a a a ββ==3、二阶张量：23个有序分量，满足 ,ij im jn mn ij mi nj mn T T T T ββββ==记()ij T =T ，写成阵列形式为：()111213212223313233ij T T T T T T T T T T ??==T 4、n 阶张量，同上练习4：试证空间中任意两点间的距离对坐标变换来讲都是个不变量（P 8,例1.3-1）。
练习5：P27,题1-5 练习6: P27,题1-6二、张量的表示方法并向量表示法（实体表示法）：i i a =a e ij i j T =T e e ijk i j k B =B e e e§1.4 张量的代数运算1、张量的相等2、张量相加减3、张量乘积r 阶张量A ,s 阶张量B 。
它们的乘积 C =AB 为（r+s ）阶张量乘积的运算性质：（1）服从分配律：()+=+A B C AC BC（2）服从结合律：()()=AB C A BC（3）不满足交换律：≠AB BA4、张量的缩并在r （2r ≥）阶张量，令其任何两个指标相同，并对重复指标施行求和约定。
例7：112233k iik k k k b A A A A ==++ 缩并一次减少2阶5、张量的内积r （0r >）阶张量A 和s （0s >）阶张量B 的乘积中，对分别属于A 和B 的指标进行一次缩并，称如此所得的2r s +-张量为张量A 与B 的内积，记为g A B ，约定：对张量A 的最后一个指标和张量B 的第一个指标进行。
例8：知()210122031ij A -??=??-??，向量()()1,2,2i b =-。
求内积ij j A b 和i ij b A§1.5 商法则设一组数的集合(),,,,T i j k l m ，若它满足对于任意一个q 阶张量S (如q =2，任意阶张量分量为lm S )的内积均为一个p 阶张量U （如p =3，三阶张量ijk U ），即在任意坐标系内以下等式均成立：(),,,,lm ijk T i j k l m S U = （对l ，m 应用了求和约定），则这组数的集合(),,,,T i j k l m 必为一个()p q +阶张量。
§1.6 几种特殊张量对称二阶张量：ij ji A A = 反对称二阶张量：ij ji C C =- 引入kj ijk i C e c = 12i ijk kj c e C = 球张量及偏张量：1133ij kk ij ij kk ij A A A A δδ??=+-各向同性张量：张量的每一个分量都是坐标系旋转变换下的不变量。
§1.7 二阶张量的特征值和特征向量λ=g T n n 1i i n n =()0ijij j Tn λδ-=§1.8 张量分析简介标量：(),t φx ；向量：(),t a x ；(),t T x1、对时间的导数：t&T T= 2、张量场的梯度：(),k ij i j ij k k i j k grad T T x ??=?==T T e e e e e e3、张量场的散度：(),i jk j k ij i j i div T T x ??== ?T T =e e e e4、张量场的旋度：()(),,k lj l j k lj k k l j ikl lj k i jcurl T x T e T ??=??=? ???=?=T T e e e e e e e e 5、散度定理：VSdiv dV dS =u n u ,i i i i VSu dV n u dS =??VSdivTdV dS =n T ,ij i i ij VST dV nT dS =??练习7：题1-9 题1-11 题1-12 练习8：φ=?+??u ψ u i 的分量形式第二章弹性波动力学绪论一、弹性波动力学的任务：应用弹性动力学理论来研究弹性波的激发和传播问题。
二、弹性动力学的基本假设：1、物体是连续的；2、物体是线性弹性的；3、物体是均匀的；4、物体是各向同性的；5、物体的位移和应变都是微小的。
6、物体无初应力。
第三章运动和变形§3.1 弹性体运动和变形的表述一、基本概念：位形、参考位形、变形、运动二、运动和变形的数学表述：同一质点、不同时刻的向径：(),t ''=x x x 或 (),i i x x t ''=x 位移：(),t =u u x()(),,t t '=-u x x x x ()(),,i i i u t x t x '=-x x ()(),,t t '=+x x x u x ()(),,i i i x t x u t '=+x xii i i i j ju dx dx du dx dx x ?'=+=+例1：例3.1-1 练习1：题3-2 练习2: 题3-3§3.2质点的速度和加速度()(),,t t =&v x u x ()()(),,,t t t ==&&&a x v x u x§3.3应变张量公式推导：从两点间的距离改变出发来推导：()()222j i k k i j ij i j j i i j u u u u ds ds dx dx E dx dx x x x x '-=++= ? ?定义12j i k k ij ji i j u u u u E x x x x ??=++ ? ??????? 格林应变张量 ij ji E E =例2：例3.3-1 练习3：题3-4§3.4小变形情形的应变张量和转动张量一、小变形情形下的应变张量：(),,12ij i j j i e u u =+二、小变形位移的分解：()()1122Q P j j i i iij j j i ji u u u u u u dx dx x x x x =+-++ ? ? ? ? 令转动张量：12j i ij ji u u x x=- ? ????? ()()QPi i ij j ij j u u dx e dx ?=++ （刚体平移+刚体转动+变形位移）()()Q Pi i i du u u =-例3：例3.4-1 例4：例3.4-2 练习4：题3-7 练习5：题3-8§3.5小变形情形下，过一点线元长度的变化及过一点的两个线元之间的变化一、正应变（线应变、相对伸缩） ij i j e e n n = 例5：例3.5-1 练习6：题3-9练习7：题3-11二、过一点的两个线元之间夹角的变化cos i i n n φ=% 初始两线元夹角余弦()cos 21cos ij i j e n n e e φφ'=+--%% 变形后两线元夹角余弦例6：例3.5-2练习8：题3-10§3.6小变形应变张量的几何解释一、11e 的几何解释：质点P 处原来沿ox 1轴方向上的线元每单位长度的长度变化，即点P 处沿ox 1轴方向的正应变。
