2020年江苏省高考数学专项训练-真题解析-专题23 数学归纳法与证明-2020年江苏省高考数学命题规律大揭秘

高考冲刺 提分必备2020年江苏省高考数学专项训练-真题解析专题20 计数原理与二项式定理【真题感悟】1、【2019年江苏，22】设2*012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=++++∈N L ….已知23242a a a =. （1）求n 的值；（2）设(13)3n a b +=+，其中*,a b ∈N ，求223a b -的值.2、【2018江苏，理23】设*n ∈N ，对1，2，···，n 的一个排列12n i i i L ，如果当s <t 时，有s t i i >，则称(,)s t i i 是排列12n i i i L 的一个逆序，排列12n i i i L 的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列231的逆序数为2．记()n f k 为1，2，···，n 的所有排列中逆序数为k 的全部排列的个数．（1）求34(2),(2)f f 的值；（2）求(2)(5)n f n ≥的表达式(用n 表示)．3. 【2017江苏，23】已知一个口袋有m 个白球,n 个黑球(,*,2m n n ∈N ≥),这些球除颜色外全部相同.现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1,2,3,,m n +L 的抽屉内，其中第k 次取出的球放入编号为k 的抽屉(1,2,3,,)k m n =+L .123Lm n+（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p ;（2）随机变量X 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数,()E X 是X 的数学期望,证明:()()(1)nE X m n n <+-4. 【2016江苏，23】（1）求3467–47C C 的值； （2）设m ，n ∈N *，n ≥m ，求证：（m +1）C mm +（m +2）+1C m m +（m +3）+2C m m +L +n –1C m n +（n +1）C m n =（m +1）+2+2C m n .5. 【2012江苏，23】设集合P n ＝{1,2，…，n }，n ∈N *.记f (n )为同时满足下列条件的集合A 的个数： ①AP n ；②若x ∈A ，则2x A ；③若x ∈P n A ，则2xP n A ．(1)求f (4)；(2)求f (n )的解析式(用n 表示)．【考纲要求】1.加法原理与乘法原理2.排列组合3.二项式定理以上考查要求均为理解.【考向分析】计数原理与二项式定理均是以解答题的形式进行考查，涉及到分类讨论的思想，着重考查学生运算能力和逻辑思维能力，本章知识点常与概率等知识一起考查，难度中等偏上.【高考预测】组合式的证明是考查的一个方向【迎考策略】1.在应用通项公式时，要注意以下几点：①它表示二项展开式的任意项，只要n 与r 确定，该项就随之确定； ②1r T +是展开式中的第1r +项，而不是第r 项；③公式中，a ，b 的指数和为n 且a ，b 不能随便颠倒位置； ④对二项式()na b -展开式的通项公式要特别注意符号问题．⑤在二项式定理的应用中，“赋值思想”是一种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的经典方法． 2. 二项定理问题的处理方法和技巧:⑴运用二项式定理一定要牢记通项1r n r rr n T C a b -+=，注意()n a b +与()nb a +虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指rn C ，而后者是字母外的部分．前者只与n 和r 有关，恒为正，后者还与a ，b 有关，可正可负．⑵ 对于二项式系数问题，应注意以下几点：①求二项式所有项的系数和，可采用“特殊值取代法”，通常令字母变量的值为1； ②关于组合恒等式的证明，常采用“构造法”——构造函数或构造同一问题的两种算法；③证明不等式时，应注意运用放缩法.⑶ 求二项展开式中指定的项，通常是先根据已知条件求r ，再求1r T +，有时还需先求n ，再求r ，才能求出1r T +.⑷ 有些三项展开式问题可以变形为二项式问题加以解决；有时也可以通过组合解决，但要注意分类清楚，不重不漏.⑸ 对于二项式系数问题，首先要熟记二项式系数的性质，其次要掌握赋值法，赋值法是解决二项式系数问题的一个重要手段.⑹ 近似计算要首先观察精确度，然后选取展开式中若干项.⑺ 用二项式定理证明整除问题，一般将被除式变为有关除式的二项式的形式再展开，常采用“配凑法”“消去法”配合整除的有关知识来解决.多项式乘法的进位规则:在求系数过程中,尽量先化简，降底数的运算级别,尽量化成加减运算，在运算过程可以适当注意令值法的运用，例如求常数项，可令0x =.在二项式的展开式中，要注意项的系数和二项式系数的区别.3. 排列组合在二项展开式中的应用：()na b +展开式可以由次数、项数和系数来确定．(1)次数的确定：从n 个相同的a b +中各取一个(a 或b )乘起来，可以构成展开式中的一项，展开式中项的形式是p q ma b ，其中,,p q N p q n ∈+=.(2)项数的确定：满足条件,,p q N p q n ∈+=的(),p q 共1n +组． 即将()na b +展开共2n项，合并同类项后共1n +项．(3)系数的确定：展开式中含p q a b (p q n +=)项的系数为pn C (即p 个a ，q 个b 的排列数)因此()na b +展开式中的通项是：1r n r rr n T C a b -+= (0,1,2,3,,r n =L )()()011*nn n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N --+=+++++∈L L 这种方法比数学归纳法推导二项式定理更具一般性和创造性，不仅可二项展开，也可三项展开，四项展开等．4. 求几个二项式积的展开式中某项的系数或特定项时，一般要根据这几个二项式的结构特征进行分类搭配，分类时一般以一个二项式逐项分类，分析其他二项式应满足的条件，然后再求解结果．5. “赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如()nax b +、()2nax bx c++ (,,a b c R ∈)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令1x =即可；对形如()nax by + (,a b R ∈)的式子求其展开式各项系数之和，只需令1x y ==即可．“赋值法”是求二项展开式系数问题常用的方法，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解题易出现漏项等情况，应引起注意．例：若()2012nn f x a a x a x a x =++++L ，则()f x 展开式中各项系数之和为()1f ，奇数项系数之和为()()024112f f a a +-+++=L ，偶数项系数之和为()()135112f f a a --+++=L ，令0x =，可得()00a f =．6. 求展开式系数最大项：如求()nax b + (,a b R ∈)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为1231,,,,n A A A A +L ，且第k 项系数最大，应用11k k kk A A A A -+≥⎧⎨≥⎩从而解出k 来，即得．7. (1)利用二项式定理解决整除问题时，关键是进行合理地变形构造二项式，应注意：要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可．(2)求余数问题时，应明确被除式()f x 与除式()g x (()0g x ≠)，商式()q x 与余式的关系及余式的范围．(3)展开式中常数项、有理项的特征是通项中未知数的指数分别为零和整数．解决这类问题时，先要合并通项中同一字母的指数，再根据上述特征进行分析．(4)有关求二项展开式中的项、系数、参数值或取值范围等，一般要利用通项公式，运用方程思想进行求值，通过解不等式(组)求取值范围．8.组合数的性质不仅有课本上介绍的111C C C m m m k k k ++++=、C =C m k m k k-，更有11C C k k n n k n --=，现在又有11(1)C (1)C ,,1,,m m k k k m k m m n +++=+=+L ，这些性质不需记忆，但需会推导，更需会应用.【强化演练】1．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】（1+2x 2 ）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为 A ．12B ．16C ．20D ．242．【2019年高考浙江卷理数】在二项式9(2)x +的展开式中，常数项是__________；系数为有理数的项的个数是__________．3．已知函数．（1）当时，若，求实数的值；（2）若，求证：．4．已知()2120121n x a a x a x ++=+++ (21)21n n a x+++， *n N ∈．记()021nn n kk T k a-==+∑．（1）求2T 的值；（2）化简n T 的表达式，并证明：对任意的*n N ∈， n T 都能被42n +整除．5．已知{}123*,2,,,,,1,1,n n N n k k k k ∈≥⋅⋅⋅∈- {}2120|222n n A x x k k k =>=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ 记()A n 为集合A 中所有元素之和（1）求()3A 的值；（2）求()A n （用n 表示）6．在平面直角坐标系xOy 中，点P(x 0，y 0)在曲线y ＝x 2(x ＞0)上．已知A(0，－1)，，n ∈N*．记直线AP n 的斜率为k n ．（1）若k 1＝2，求P 1的坐标； （2）若k 1为偶数，求证：k n 为偶数． 7．在集合中，任取个元素构成集合. 若的所有元素之和为偶数，则称为的偶子集，其个数记为；的所有元素之和为奇数，则称为的奇子集，其个数记为. 令.（1）当时，求的值；（2）求.8．如图，由若干个小正方形组成的k 层三角形图阵，第一层有1个小正方形，第二层有2个小正方形，依此类推，第k 层有k 个小正方形．除去最底下的一层，每个小正方形都放置在它下一层的两个小正方形之上．现对第k 层的每个小正方形用数字进行标注，从左到右依次记为12,,,k x x x L ，其中{0,1}i x ∈（1i k ≤≤），其它小正方形标注的数字是它下面两个小正方形标注的数字之和，依此规律，记第一层的小正方形标注的数字为0x ．（1）当k=4时，若要求0x 为2的倍数，则有多少种不同的标注方法？ （2）当k=11时，若要求0x 为3的倍数，则有多少种不同的标注方法？9．设123*12341()(1)(2,)n n n n n n n F n a a C a C a C a C n n N +=-+-++-≥∈L ．（1）若数列{}n a 的各项均为1，求证：()0F n =；（2）若对任意大于等于2的正整数n ，都有()0F n =恒成立，试证明数列{}n a 是等差数列． 10．已知2012(2)(1)(1)+(1)(*)n nn x a a x a x a x n N +=+-+--∈L L ． ⑴求0a 及1nn i i S a ==∑；⑵试比较n S 与2(2)32n n n -+的大小，并说明理由． 11．设集合是非空集合的两个不同子集.（1）若，且是的子集，求所有有序集合对的个数；（2）若，且的元素个数比的元素个数少，求所有有序集合对的个数.12．已知，其中且．（1）若，求的值；（2）对于每一个给定的正整数，求关于的方程所有解的集合．。

2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数 学 Ⅰ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题，共20题)。

本卷满分为160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.参考公式：柱体的体积V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1.已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则AB =_____. 【答案】{}0,2【解析】∵{}1,0,1,2A =-,{}0,2,3B =，∴{}0,2AB =. 2.已知i 是虚数单位，则复数(1i)(2i)z =+-的实部是_____.【答案】3【解析】∵复数()()12z i i =+-,∴2223z i i i i =-+-=+∴复数的实部为3.故答案为3.3.已知一组数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4，则a 的值是_____.【答案】2【解析】∵数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4∴4235620a a ++-++=，即2a =.4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____. 【答案】19 【解析】根据题意可得基本事件数总为6636⨯=个. 点数和为5的基本事件有()1,4,()4,1,()2,3,()3,2共4个.∴出现向上的点数和为5的概率为41369P ==. 5.如图是一个算法流程图,若输出y 的值为2-,则输入x 的值是_____.【答案】3-【解析】由于20x >，所以12y x =+=-，解得3x =-.6.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线()222105x y a a-=>的一条渐近线方程为5y x =，则该双曲线的离心率是____. 【答案】32 【解析】∵双曲线22215x y a -=，∴5b =. 由于双曲线的一条渐近线方程为52y x =，即522b a a =⇒=， ∴22453c a b =+=+=，∴双曲线的离心率为32c a =. 7.已知()y f x =是奇函数，当0x ≥时()23 f x x =,则()8f -的值是____.【答案】4-【解析】23(8)84f ==,∵()f x 为奇函数，∴(8)(8)4f f -=-=-.8.已知2sin ()4πα+ =23，则sin2α的值是____. 【答案】13【解析】∵22221sin ()(cos sin )(1sin 2)42παααα+=+=+， ∴12(1sin 2)23α+=,∴1sin 23α=. 9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm ，高为2 cm ，内孔半轻为0.5 cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm.【答案】1232π【解析】正六棱柱体积为23622=1234⨯⨯,圆柱体积为21()222ππ⋅= ∴所求几何体体积为1232π.10.将函数πsin(32)4y x =﹢的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是____.【答案】524x π=- 【解析】3sin[2()]3sin(2)6412y x x πππ=-+=- 令2()122x k k Z πππ-=+∈,得7()242k x k Z ππ=+∈。

绝密★启用前2020年一般高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学I参考公式： （1）样本数据12,,,n x x x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑,其中11n i i x x n ==∑（2）直柱体的侧面积S ch =，其中c 为底面周长，h 是高 （3）柱体的体积公式V Sh =，其中S 为底面面积，h 是高一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分。

请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．。

一、已知集合{1,1,2,4},{1,0,2},A B =-=- 那么_______,=⋂B A 答案：{}1－，2解析：考察简单的集合运算，容易题。

二、函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是__________答案：+∞1（－）2解析：考察函数性质，容易题。

3、设复数i 知足i z i 23)1(+-=+（i 是虚数单位），那么z 的实部是_________ 答案：1解析：简单考察复数的运算和概念，容易题。

4、依照如下图的伪代码，当输入b a ,别离为2，3时，最后输出的m 的值是________答案：3解析：考察算法的选择结构和伪代码，是容易题。

五、从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，那么其中一个数是另一个的两倍的概率是______★此卷上交考点保存★ 姓名___________________ 准考证号___________________9第题图答案：13解析：简单考察古典概型的概率计算，容易题。

六、某教师从礼拜一到礼拜五收到信件数别离是10，6，8，5，6，那么该组数据的方差___2=s 答案：165解析：考察方差的计算，能够先把这组数都减去6再求方差，165，容易题。

7、已知,2)4tan(=+πx 那么xx2tan tan 的值为__________答案：49解析：考察正切的和差角与倍角公式及其运用，中档题。

22tan()11tan tan 1tan 44tan tan(),2tan 443tan 229tan()141tan x x x x x x x x x xππππ+-+-===++（－）＝＝＝－八、在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数xx f 2)(=的图象交于P 、Q 两点，那么线段PQ长的最小值是________ 答案：4解析：考察函数与方程，两点间距离公式和大体不等式，中档题。

高考数学专题复习题：数学归纳法一、单项选择题（共6小题）1．利用数学归纳法证明不等式1111()2321nf n ++++<- （2n ≥，且*n ∈N ）的过程，由n k =到1n k =+时，左边增加了（）A ．12k -项B ．2k 项C ．1k -项D ．k 项2．用数学归纳法证明：()()()1221121n n n ++++=++ ，在验证1n =成立时，左边所得的代数式是（）A ．1B ．13+C ．123++D ．1234+++3．用数学归纳法证明等式()()()3412332n n n +++++++= ()N,1n n ∈≥时，第一步验证1n =时，左边应取的项是（）A ．1B ．12+C ．123++D ．1234+++4．用数学归纳法证明：11112321n n ++++<- ，()N,1n n ∈≥时，在第二步证明从n k =到1n k =+成立时，左边增加的项数是（）A ．2k B ．21k -C ．12k -D ．21k +5．已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1111111122341242n n n n ⎛⎫-+-+⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+ ⎪-++⎝⎭时，若已假设n k =（2k ≥，k 为偶数）时命题为真，则还需要再证（）A ．1n k =+时等式成立B ．2n k =+时等式成立C ．22n k =+时等式成立D ．()22n k =+时等式成立6．现有命题()()()11*1112345611442n n n n n ++⎛⎫-+-+-++-=+-+∈ ⎪⎝⎭N ，用数学归纳法探究此命题的真假情况，下列说法正确的是（）A ．不能用数学归纳法判断此命题的真假B ．此命题一定为真命题C ．此命题加上条件9n >后才是真命题，否则为假命题D ．存在一个无限大的常数m ，当n m >时，此命题为假命题二、多项选择题（共2小题）7．用数学归纳法证明不等式11111312324++++>++++ n n n n n 的过程中，下列说法正确的是（）A ．使不等式成立的第一个自然数01n =B ．使不等式成立的第一个自然数02n =C ．n k =推导1n k =+时，不等式的左边增加的式子是()()12122k k ++D ．n k =推导1n k =+时，不等式的左边增加的式子是()()12223k k ++8．用数学归纳法证明不等式11111312324++++>++++ n n n n n 的过程中，下列说法正确的是（）A ．使不等式成立的第一个自然数01n =B ．使不等式成立的第一个自然数02n =C ．n k =推导1n k =+时，不等式的左边增加的式子是()()12122k k ++D ．n k =推导1n k =+时，不等式的左边增加的式子是()()12223k k ++三、填空题（共2小题）9．在运用数学归纳法证明()121*(1)(2)n n x x n +-+++∈N 能被233x x ++整除时，则当1n k =+时，除了n k =时必须有归纳假设的代数式121(1)(2)k k x x +-+++相关的表达式外，还必须有与之相加的代数式为________．10．用数学归纳法证明：()()122342n n n -+++++= （n 为正整数，且2n ）时，第一步取n =________验证．四、解答题（共2小题）11．用数学归纳法证明：()*11111231n n n n +++>∈+++N ．12．数学归纳法是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个（或者局部）自然数范围内成立．证明分为下面两个步骤：①证明当0n n =（0n ∈N ）时命题成立；②假设n k =（k ∈N ，且0k n ≥）时命题成立，推导出在1n k =+时命题也成立．用模取余运算：mod a b c =表示“整数a 除以整数b ，所得余数为整数c ”．用带余除法可表示为：被除数＝除数×商＋余数，即a b r c =⨯+，整数r 是商．举一个例子7321=⨯+，则7mod31=；再举一个例子3703=⨯+，则3mod 73=．当mod 0a b =时，则称b 整除a ．从序号分别为0a ，1a ，2a ，3a ，…，na 的1n +个人中选出一名幸运者，为了增加趣味性，特制定一个遴选规则：大家按序号围成一个圆环，然后依次报数，每报到m （2m ≥）时，此人退出圆环；直到最后剩1个人停止，此人即为幸运者，该幸运者的序号下标记为()1,f n m +．如()1,0f m =表示当只有1个人时幸运者就是0a ；()6,24f =表示当有6个人而2m =时幸运者是4a ；()6,30f =表示当有6个人而3m =时幸运者是0a ．（1）求10mod3；（2）当1n ≥时，()()()()1,,mod 1f n m f n m m n +=++，求()5,3f ；当n m ≥时，解释上述递推关系式的实际意义；（3）由（2）推测当1212k k n +≤+<（k ∈N ）时，()1,2f n +的结果，并用数学归纳法证明．。

机密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题，共20题)。

本卷满分为160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。

4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。

5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。

参考公式：，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高．柱体的体积V Sh一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．．1.已知集合A={-1,0,1,2},B={0,2,3},则A∩B=.【命题意图】本题考查集合中的简单的交集计算.【解析】由集合A={-1,0,1,2},B={0,2,3},所以A∩B={0,2}.答案:{0,2}2.已知i是虚数单位,则复数z=(1+i)(2−i)的实部是.【命题意图】本题主要考查复数的四则运算.【解析】z=(1+i)(2−i)=3+i,则实部为3.答案:33.已知一组数据4,2a,3-a,5,6的平均数为4,则a的值是.【命题意图】本题主要考查数据特征中的平均数的计算.=4可知a=2.【解析】由4+2a+(3-a)+5+65答案:24.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,则点数和为5的概率是.【命题意图】本题主要考查古典概型.【解析】总事件数为6×6=36,满足条件的事件有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)共4种,则点数和为5的概率为436=19.答案:195.如图是一个算法流程图,若输出y 的值为-2,则输入x 的值为 .【命题意图】本题主要考查流程图选择问题,注意选择条件. 【解析】由题可知y ={2x ,x>1,x+1,x≤1,当y =-2时,得x +1=-2,则x =-3. 答案:-36.在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线x 2a 2 -y 25=1(a >0)的一条渐近线方程为y =√52x ,则该双曲线的离心率是 .【命题意图】本题主要考查双曲线的性质,渐近线问题. 【解析】由x 2a2−y 25=0得渐近线方程为y =±√5ax , 又a >0,则a =2,由c 2=a 2+5=9,c =3,得离心率e =c a =32. 答案:32【光速解题】e =√1+(√52)2=32.答案:327.已知y =f (x )是奇函数,当x ≥0时,f (x )=x 23,则f (-8)的值是 . 【命题意图】本题主要考查函数性质,利用奇偶性求函数值. 【解析】y =f (x )是奇函数,当x ≥0时,f (x )=x 23, 则f (-8)=-f (8)=-823=-4.答案:-48.已知sin 2(π4+α)=23,则sin 2α的值是 .【命题意图】本题主要考查三角函数恒等变换,利用整体思想求值. 【解析】方法一:因为sin 2(π4+α)=23, 由sin 2(π4+α)=12[1−cos (π2+2α)] =12(1+sin 2α)=23,解得sin 2α=13. 方法二:sin 2α=-cos (π2+2α) =2sin 2(π4+α)-1=13.答案:139.如图,六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的,已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm,高为2 cm,内孔半径为0.5 cm,则此六角螺帽毛坯的体积是 cm 3.【命题意图】本题主要考查正棱柱、圆柱的体积计算,要求学生要熟记公式.【解析】记此六角螺帽毛坯的体积为V ,正六棱柱的体积为V 1,圆柱的体积为V 2,则V 1=6×12×2×2×sin 60°×2=12√3(cm 3),V 2=π×(0.5)2×2=π2(cm 3), 所以V =V 1-V 2=12√3-π2(cm 3).答案:12√3-π210.将函数y =3sin (2x +π4)的图象向右平移π6个单位长度,则平移后的图象与y 轴最近的对称轴方程是 .【命题意图】本题主要考查三角函数的图象的平移变换和性质.重点考查直观想象的数学核心素养. 【解析】设f (x )=y =3sin (2x +π4),将函数f (x )=3sin (2x +π4)的图象向右平移π6个单位长度得g (x )=f (x -π6)= 3sin (2x -π3+π4)=3sin (2x -π12),则y =g (x )的图象的对称轴为2x - π12=π2+k π,k ∈Z,即x =7π24+kπ2,k ∈Z,k =0时,x =7π24,k =-1时,x =-5π24,所以平移后的图象与y 轴最近的对称轴的方程是x =-5π24. 答案:x =-5π24【误区警示】解决本题时一定要看清要求的对称轴方程是平移后的图象与y 轴最近的对称轴方程.求出平移后的图象的对称轴方程为x =7π24+kπ2(k ∈Z),不要误认为k =0时,x =7π24就是本题的答案,还应验证k =-1时,x =-5π24,两者进行比较,才能得出答案.11.设{a n }是公差为d 的等差数列,{b n }是公比为q 的等比数列,已知数列{a n +b n }的前n 项和S n =n 2-n +2n -1(n ∈N *),则d +q 的值是 .【命题意图】本题主要考查根据前n 项和求数列的通项公式,多写一项,进行作差运算,根据结构得到数列通项.重点考查学生数学运算的核心素养.【解析】设数列{a n },{b n }的首项分别为a 1,b 1,前n 项和分别为A n ,B n ,则A n =d2n 2+(a 1-d2)n ,B n =b1q -1q n +b11−q ,结合S n =n 2-n +2n -1,得{d2=1,q =2,解得{d =2,q =2,所以d +q =4.答案:412.已知5x 2y 2+y 4=1(x ,y ∈R),则x 2+y 2的最小值是 .【命题意图】本题主要考查不等式,利用消元法结合基本不等式求最值. 【解析】因为5x 2y 2+y 4=1(x ,y ∈R),所以y ≠0, 所以x 2=1−y 45y 2,则x 2+y 2=15y 2+45y 2≥2√425=45, 当且仅当15y 2=45y 2时,即y 2=12, x 2=310时,x 2+y 2的最小值是45.答案:45【光速解题】4=(5x 2+y 2)·4y 2≤[(5x 2+y 2)+4y 22]2=254(x 2+y 2)2,故x 2+y 2≥45,当且仅当5x 2+y 2=4y 2=2,即x 2=310,y 2=12时,取等号.所以(x 2+y 2)min =45. 答案:4513.在△ABC中,AB=4,AC=3,∠BAC=90°,D在边BC上,延长AD到P,使得AP=9,若=m+(32-m)(m 为常数),则CD的长度是.【命题意图】本题主要考查平面向量共线的应用.重点考查直观想象及数学运算的核心素养.【解析】作AE⊥BC,交BC于点E.设=λ=λm+λ(32-m),因为C,D,B三点共线,所以λm+λ(32-m)=1,解得λ=23,所以AD=3=AC,所以CD=2·AC·cos C=185.答案:18514.在平面直角坐标系xOy中,已知P(√32,0),A,B是圆C:x2+(y-12)2=36上的两个动点,满足P A=PB,则△P AB面积的最大值是.【命题意图】本题主要考查直线与圆相交问题,通过设圆心角表示面积,利用导数求最值.突出考查数学运算的核心素养.【解析】方法一:如图,作PC所在直径EF,交AB于点D,因为P A=PB,CA=CB=R=6,所以PC⊥AB.要使面积S△P AB最大,则P,D位于C的两侧,并设CD=x,计算可知PC=1,故PD=1+x,AB=2BD=2√36−x2,故S△P AB=12AB·PD=(1+x)√36−x2,设∠BCD=θ,则x=6cos θ,S△P AB=(1+x)√36−x2=(1+6cos θ)·6sin θ=6sin θ+18sin 2θ,0<θ<π2, 记函数f (θ)=6sin θ+18sin 2θ,则f'(θ)=6cos θ+36cos 2θ=6(12cos 2θ+cos θ-6), 令f'(θ)=6(12cos 2θ+cos θ-6)=0, 解得cos θ=23(cos θ=-34<0舍去),显然,当0<cos θ<23时,f'(θ)<0,f (θ)单调递减;当23<cos θ<1时,f'(θ)>0,f (θ)单调递增; 结合cos θ在(0,π2)上单调递减,故cos θ=23时,f (θ)最大,此时sin θ=√1−cos 2θ=√53, 故f (θ)max =6×√53+36×√53×23=10√5,即△P AB 面积的最大值是10√5.方法二:由已知PC =1,设12∠ACB =α(α∈(0,π2)),则△P AB 的面积S =12·(6cosα+1)·12sin α=6sin α(6cos α+1), 令S'=6(12cos 2α+cos α-6) =6(4cos α+3)(3cos α-2)=0,解得cos α0=23(负值舍去),所以S 在(0,α0)上单调递增,在(α0,π2)上单调递减,所以S max =6×√53×5=10√5. 答案:10√5二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（本小题满分14分）在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AB ⊥AC ,B 1C ⊥平面ABC ,E ,F 分别是AC ,B 1C 的中点. (1)求证:EF ∥平面AB 1C 1; (2)求证:平面AB 1C ⊥平面ABB 1.【命题意图】本题主要考查立体几何线面平行、面面垂直的证明,考查学生空间想象能力和推理能力.【证明】(1)因为E,F分别是AC,B1C的中点,所以EF∥AB1,因为EF⊄平面AB1C1,AB1⊂平面AB1C1,所以EF∥平面AB1C1.(2)因为B1C⊥平面ABC,AB⊂平面ABC,所以B1C⊥AB,又因为AB⊥AC,AC∩B1C=C,AC⊂平面AB1C,B1C⊂平面AB1C,所以AB⊥平面AB1C,因为AB⊂平面ABB1,所以平面AB1C⊥平面ABB1.16.（本小题满分14分）在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=3,c=√2,B=45°.(1)求sin C的值;(2)在边BC上取一点D,使得cos∠ADC=-45,求tan∠DAC的值.【命题意图】本题主要考查正余弦定理及两角和差公式的应用,考查学生解题的严谨性.【解析】(1)由余弦定理,得cos B=cos 45°=a 2+c2-b22ac=26√2=√22,因此b2=5,即b=√5,由正弦定理csinC =bsinB,得√2sinC=√5√22,因此sin C=√55.(2)因为cos∠ADC=-45,所以sin∠ADC=√1−cos2∠ADC=35,因为∠ADC∈(π2,π),所以C∈(0,π2),所以cos C=√1−sin2C=2√55,所以sin∠DAC=sin(π-∠DAC)=sin(∠ADC+∠C)=sin∠ADC cos C+cos∠ADC sin C=2√525,因为∠DAC ∈(0,π2),所以cos ∠DAC =√1−sin 2∠DAC =11√525, 故tan ∠DAC =sin∠DACcos∠DAC =211. 17.（本小题满分14分）某地准备在山谷中建一座桥梁,桥址位置的竖直截面图如图所示:谷底O 在水平线MN 上,桥AB 与MN 平行,OO'为铅垂线(O'在AB 上),经测量,左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离h 1(米)与D 到OO'的距离a (米)之间满足关系式h 1=140a 2;右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离h 2(米)与F 到OO'的距离b (米)之间满足关系式h 2=-1800b 3+6b.已知点B 到OO'的距离为40米.(1)求桥AB 的长度;(2)计划在谷底两侧建造平行于OO'的桥墩CD 和EF .且CE 为80米,其中C ,E 在AB 上(不包括端点).桥墩EF 每米造价k (万元),桥墩CD 每米造价32k (万元)(k >0),问O'E 为多少米时,桥墩CD 与EF 的总造价最低？【命题意图】本题主要考查实际生活问题中的模型建立及导数的实际应用.重点考查数学建模的核心素养. 【解析】(1)过A ,B 分别作MN 的垂线,垂足为A',B', 则AA'=BB'=-1800×403+6×40=160(米).令140a 2=160,得a =80,所以AO'=80,AB =AO'+BO'=80+40=120(米). (2)设O'E =x ,则CO'=80-x ,由{0<x <400<80−x <80,得0<x <40.设总造价为y ,则y =3k2[160−140(80-x )2]+k [160−(-1800x 3+6x)] =k800(x 3-30x 2+160×800), y'=k800(3x 2-60x )=3k800x (x -20),因为k >0,所以令y'=0,得x =0或x =20, 所以当0<x <20时,y'<0,y 单调递减;当20<x <40时,y'>0,y 单调递增.所以,当x =20时,y 取最小值,即当O'E 为20米时,造价最低. 18.（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中,若椭圆E :x 24+y 23=1的左、右焦点分别为F 1,F 2,点A 在椭圆E 上且在第一象限内,AF 2⊥F 1F 2,直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B. (1)求△AF 1F 2的周长;(2)在x 轴上任取一点P ,直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ,求·的最小值;(3)设点M 在椭圆E 上,记△OAB 与△MAB 的面积分别是S 1,S 2,若S 2=3S 1,求M 的坐标.【命题意图】本题考查了(1)利用椭圆的定义求焦点三角形的周长;(2)求平面向量数量积最值问题;(3)面积比值转化为高之比,从而转化为平行线间的距离求出直线方程.考查数学运算、直观想象的核心素养. 【解析】(1)△AF 1F 2的周长=2a +2c =6.(2)由椭圆方程得A (1,32),设点P (t ,0),则直线AP 方程为y =321−t (x -t ),令x =a 2c =4得y Q =6−32t 1−t =12−3t 2(1−t ), 即Q (4,12−3t 2−2t),=(t -4,12−3t 2t -2),·=t 2-4t =(t -2)2-4≥-4, 即·的最小值为-4.(3)设O 到直线AB 的距离为d 1,M 到直线AB 的距离为d 2, 若S 2=3S 1,则12×|AB |×d 2=12×|AB |×d 1×3,即d 2=3d 1, 由题意可得直线AB 的方程为y =34(x +1), 即3x -4y +3=0,所以d 1=35,d 2=95.由题意得,M 点应为与直线AB 平行且距离为95的直线与椭圆的交点, 设平行于AB 的直线l 为3x -4y +m =0,与直线AB 的距离为95, 所以√9+16=95,即m =-6或12.当m =-6时,直线l 为3x -4y -6=0, 即y =34(x -2),联立{y =34(x -2)x 24+y 23=1,可得(x -2)(7x +2)=0,即{x M =2y M =0,或{x M =−27y M =−127, 所以M (2,0)或(-27,-127).当m =12时,直线l 为3x -4y +12=0, 即y =34(x +4),联立{y =34(x +4)x 24+y 23=1,可得214x 2+18x +24=0,Δ<0,所以无解.综上所述,M 点坐标为(2,0)或(-27,-127).19.（本小题满分16分）已知关于x 的函数y =f (x ),y =g (x )与h (x )=kx +b (k ,b ∈R)在区间D 上恒有f (x )≥h (x )≥g (x ). (1)若f (x )=x 2+2x ,g (x )=-x 2+2x ,D =(-∞,+∞).求h (x )的表达式; (2)若f (x )=x 2-x +1,g (x )=k ln x ,h (x )=kx -k ,D =(0,+∞).求k 的取值范围;(3)若f (x )=x 4-2x 2,g (x )=4x 2-8,h (x )=4(t 3-t )x -3t 4+2t 2(0<|t |≤√2),D =[m ,n ]⊆[-√2,√2],求证:n -m ≤√7.【命题意图】本题主要考查利用导数研究函数的性质,考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力.【解析】(1)由f (x )=g (x )得x =0.又f'(x )=2x +2,g'(x )=-2x +2,所以f'(0)=g'(0)=2,所以,函数h (x )的图象为过原点,斜率为2的直线,所以h (x )=2x.经检验:h (x )=2x 符合题意. (2)h (x )-g (x )=k (x -1-ln x ), 设φ(x )=x -1-ln x ,则φ'(x )=1-1x =x -1x , φ(x )≥φ(1)=0,所以当h (x )-g (x )≥0时,k ≥0.设m (x )=f (x )-h (x )=x 2-x +1-(kx -k )=x 2-(k +1)x +(1+k )≥0, 当x =k+12≤0时,m (x )在(0,+∞)上递增,所以m(x)>m(0)=1+k≥0,所以k=-1.>0时,Δ≤0,当x=k+12即(k+1)2-4(k+1)≤0,(k+1)(k-3)≤0,-1≤k≤3.综上,k∈[0,3].(3)①当1≤t≤√2时,≤0.(*)由g(x)≤h(x),得4x2-8≤4(t3-t)x-3t4+2t2,整理得x2-(t3-t)x+3t4-2t2-84令Δ=(t3-t)2-(3t4-2t2-8),则Δ=t6-5t4+3t2+8.记φ(t)=t6-5t4+3t2+8(1≤t≤√2),则φ'(t)=6t5-20t3+6t=2t(3t2-1)(t2-3)<0恒成立,所以φ(t)在[1,√2]上是减函数,则φ(√2)≤φ(t)≤φ(1),即2≤φ(t)≤7所以不等式(*)有解,设解集为{x|x1≤x≤x2},因此n-m≤x2-x1=√Δ≤√7.②当0<t<1时,f(-1)-h(-1)=3t4+4t3-2t2-4t-1.设v(t)=3t4+4t3-2t2-4t-1,v'(t)=12t3+12t2-4t-4=4(t+1)(3t2-1),.令v'(t)=0,得t=√33)时,v'(t)<0,v(t)是减函数;当t∈(0,√33,1)时,v'(t)>0,v(t)是增函数;当t∈(√33v(0)=-1,v(1)=0,则当0<t<1时,v(t)<0,(或证:v(t)=(t+1)2(3t+1)(t-1)<0)则f(-1)-h(-1)<0,因此-1∉(m,n).因为[m,n]⊆[-√2,√2],所以n-m≤√2+1<√7.③当-√2≤t <0时,因为f (x ),g (x )均为偶函数, 因此n -m ≤√7也成立. 综上所述,n -m ≤√7. 20.（本小题满分16分）已知数列{a n }(n ∈N *)的首项a 1=1,前n 项和为S n ,设λ与k 是常数,若对一切正整数n ,均有S n+11k-S n 1k=λa n+11k成立,则称此为“λ-k ”数列.(1)若等差数列{a n }是“λ-1”数列,求λ的值;(2)若数列{a n }是“√33-2”数列,且a n >0,求数列{a n }的通项公式;(3)对于给定的λ,是否存在三个不同的数列{a n }为“λ-3”数列,且a n ≥0?若存在,求λ的取值范围;若不存在,说明理由.【命题意图】本题以数列为载体,综合考查等差数列的基本性质,及解决数列综合问题的能力,综合考查代数推理、转化化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力. 【解析】(1)k =1时,a n +1=S n +1-S n =λa n +1,所以λ=1. (2)√S n+1-√S n =√33√a n+1,a n +1=S n +1-S n =√33√a n+1(√S n+1+√S n ), 因此√S n+1+√S n =√3√a n+1.√S n+1=23√3a n+1,S n +1=43a n +1=43(S n +1-S n ). 从而S n +1=4S n .又S 1=a 1=1,所以S n =4n -1,a n =S n -S n -1=3·4n -2,n ≥2. 综上,a n ={1,n =13·4n -2,n ≥2.(3)设各项非负的数列{a n }(n ∈N *)为“λ-3”数列, 则S n+113-S n 13=λa n+113,即√S n+13-√S n 3=λ√S n+1-S n 3.因为a n ≥0,且a 1=1,所以S n +1≥S n >0, 则√S n+1S n3-1=λ√S n+1S n-13.令√S n+1S n3=c n ,则c n -1=λ√c n 3-13(c n ≥1),即(c n -1)3=λ3(c n 3-1)(c n ≥1).(*)①若λ≤0或λ=1,则(*)只有一解为c n =1,即符合条件的数列{a n }只有一个.(此数列为1,0,0,0,…) ②若λ>1,则(*)化为(c n -1)(c n2+λ3+2λ3-1c n +1)=0,因为c n ≥1,所以c n 2+λ3+2λ3-1c n +1>0,则(*)只有一解为c n =1,即符合条件的数列{a n }只有一个.(此数列为1,0,0,0,…)③若0<λ<1,则c n 2+λ3+2λ3-1c n +1=0的两根分别在(0,1)与(1,+∞)内,则方程(*)有两个大于或等于1的解:其中一个为1,另一个大于1(记此解为t ). 所以S n +1=S n 或S n +1=t 3S n .由于数列{S n }从任何一项求其后一项均有两种不同结果, 所以这样的数列{S n }有无数多个,则对应的{a n }有无数多个.综上所述,能存在三个各项非负的数列{a n }为“λ-3”数列,λ的取值范围是0<λ<1. 21．【选做题】A .平面上点A (2,-1)在矩阵M =[a 1-1b]对应的变换作用下得到点B (3,-4). (1)求实数a ,b 的值; (2)求矩阵M 的逆矩阵M -1.【命题意图】本题主要考查矩阵的基本运算及对应变换. 【解析】(1)[a1-1b ][2-1]=[2a -1-2-b] =[3-4], 所以{2a -1=3,-2-b =−4.解得{a =2,b =2.(2)由(1)知M =[21-12]. |M |=2·2+1·1=5,所以M -1=[25-151525].B.在极坐标系中,已知点A (ρ1,π3)在直线l :ρcos θ=2上,点B (ρ2,π6)在圆C :ρ=4sin θ上(其中ρ≥0,0≤θ<2π). (1)求ρ1,ρ2的值;(2)求直线l 与圆C 的公共点的极坐标.【命题意图】本题主要考查极坐标公式及极坐标的意义、极坐标的求法.【解析】(1)ρ1=2cosπ3=4,ρ2=4sin π6=2.(2)联立得4sin θcos θ=2得sin 2θ=1, 因为ρ≥0,0≤θ<2π, 所以θ=π4,ρ=2√2,所以公共点的极坐标为(2√2,π4). C.设x ∈R,解不等式2|x +1|+|x |<4.【命题意图】本题主要考查含有绝对值的不等式的解法. 【解析】当x >0时,2x +2+x <4,解得0<x <23;当-1≤x ≤0时,2x +2-x <4,解得-1≤x ≤0;当x <-1时,-2x -2-x <4,解得-2<x <-1. 综上,解集为(-2,23).22.在三棱锥A -BCD 中,已知CB =CD =√5,BD =2,O 为BD 的中点,AO ⊥平面BCD ,AO =2,E 为AC 的中点. (1)求直线AB 与DE 所成角的余弦值;(2)若点F 在BC 上,满足BF =14BC ,设二面角F -DE -C 的大小为θ,求sin θ的值.【命题意图】本题主要考查利用空间向量法求异面直线所成的角及二面角.重点考查如何建立空间直角坐标系,求出相应点的坐标,再利用公式求角.【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,则A (0,0,2),B (1,0,0),C (0,2,0),D (-1,0,0),E (0,1,1).(1)=(1,0,−2),=(1,1,1),则cos<,>==√1515.故直线AB 与DE 所成角的余弦值为√1515. (2)由已知得F (34,12,0),=(74,12,0),=(1,1,1),设平面DEF 的一个法向量为n 1=(x 1,y 1,z 1),则{x 1+y 1+z 1=0,74x 1+12y 1=0, 令x 1=2,得{y 1=−7,z 1=5,所以n 1=(2,-7,5).设平面DEC 的一个法向量为n 2=(x 2,y 2,z 2), 又=(1,2,0),则{x 2+y 2+z 2=0,x 2+2y 2=0, 令x 2=2,得{y 2=−1,z 2=−1,所以n 2=(2,-1,-1), 所以|cos θ|=|n 1·n 2||n 1||n 2|=√6×√78=√1313, 所以sin θ=√1−cos 2θ=√1−113=2√3913. 23.甲口袋中装有2个黑球和1个白球,乙口袋中装有3个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋,重复n 次这样的操作,记甲口袋中黑球个数为X n ,恰有2个黑球的概率为p n ,恰有1个黑球的概率为q n .(1)求p 1,q 1和p 2,q 2;(2)求2p n +q n 与2p n -1+q n -1的递推关系式和X n 的数学期望E (X n )(用n 表示).【命题意图】本题主要考查概率的求法及数学期望的求法.重点考查学生利用所学知识解决实际问题的能力.【解析】(1)p 1=13×1=13,q 1=23×1=23.p 2=13p 1+23×13q 1=727, q 2=23p 1+(23×23+13×13)q 1=1627. (2)当n ≥2时,p n =13p n -1+23×13q n -1=13p n -1+29q n -1,q n =23p n -1+(23×23+13×13)q n -1+23×(1-p n -1-q n -1)=-19q n -1+23, 所以2p n +q n =13(2p n -1+q n -1)+23, 则2p n +q n -1=13(2p n -1+q n -1-1), 又2p 1+q 1-1=13,所以2p n +q n =1+(13)n. X n 的概率分布如下:X n 0 1 2 P1-p n -q nq np n则E (X n )=q n +2p n =1+(13)n.。

高考冲刺 提分必备2020年江苏省高考数学专项训练-真题解析专题23 数学归纳法与证明【真题感悟】1. 【2010江苏，23】已知△ABC 的三边长都是有理数． （1）求证cosA 是有理数；（2）求证：对任意正整数n ，cosnA 是有理数． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析【解析】解：（1）证明：设三边长分别为a ，b ，c ，cosA ＝，∵a ，b ，c 是有理数，b 2+c 2-a 2是有理数，分母2bc 为正有理数，又有理数集对于除法的具有封闭性， ∴必为有理数，∴cosA 是有理数．（2）①当n=1时，显然cosA 是有理数；当n=2时，∵cos2A=2cos 2A-1，因为cosA 是有理数，∴cos2A 也是有理数； ②假设当n≥k （k≥2）时，结论成立，即coskA 、cos （k-1）A 均是有理数． 当n=k+1时，cos （k+1）A=coskAcosA-sinkAsinA ，cos(k+1)A ＝coskAcosA − [cos(kA −A)−cos(kA+A)]，cos(k+1)A ＝coskAcosA −cos(k −1)A+cos(k+1)A ， 解得：cos （k+1）A=2coskAcosA-cos （k-1）A∵cosA ，coskA ，cos （k-1）A 均是有理数，∴2coskAcosA-cos （k-1）A 是有理数， ∴cosA ，coskA ，cos （k-1）A 均是有理数． 即当n=k+1时，结论成立．综上所述，对于任意正整数n ，cosnA 是有理数．2. 【2013江苏，23】设数列{a n }：1，－2，－2,3,3,3，－4，－4，－4，－4，…，11(1),,(1)k k k k k ----644474448L 个，…，即当1122k k k k n (-)(+)<≤(k ∈N *)时，a n ＝(－1)k －1k .记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n (n ∈N *)．对于l ∈N *，定义集合P l ＝{n |S n 是a n 的整数倍，n ∈N *，且1≤n ≤l }． (1)求集合P 11中元素的个数；(2)求集合P 2 000中元素的个数． 【答案】(1)5；(2)1008 【解析】解：(1)由数列{a n }的定义得a 1＝1，a 2＝－2，a 3＝－2，a 4＝3，a 5＝3，a 6＝3，a 7＝－4，a 8＝－4，a 9＝－4，a 10＝－4，a 11＝5，所以S 1＝1，S 2＝－1，S 3＝－3，S 4＝0，S 5＝3，S 6＝6，S 7＝2，S 8＝－2，S 9＝－6，S 10＝－10，S 11＝－5，从而S 1＝a 1，S 4＝0×a 4，S 5＝a 5，S 6＝2a 6，S 11＝－a 11，所以集合P 11中元素的个数为5.(2)先证：S i (2i ＋1)＝－i (2i ＋1)(i ∈N *)．事实上，①当i ＝1时，S i (2i ＋1)＝S 3＝－3，－i (2i ＋1)＝－3，故原等式成立；②假设i ＝m 时成立，即S m (2m ＋1)＝－m (2m ＋1)，则i ＝m ＋1时，S (m ＋1)(2m ＋3)＝S m (2m ＋1)＋(2m ＋1)2－(2m ＋2)2＝－m (2m ＋1)－4m －3＝－(2m 2＋5m ＋3)＝－(m ＋1)(2m ＋3)．综合①②可得S i (2i ＋1)＝－i (2i ＋1)．于是S (i ＋1)(2i ＋1)＝S i (2i ＋1)＋(2i ＋1)2＝－i (2i ＋1)＋(2i ＋1)2＝(2i ＋1)(i ＋1)． 由上可知S i (2i ＋1)是2i ＋1的倍数，而a i (2i ＋1)＋j ＝2i ＋1(j ＝1,2，…，2i ＋1)，所以S i (2i ＋1)＋j ＝S i (2i ＋1)＋j (2i ＋1)是a i (2i ＋1)＋j (j ＝1,2，…，2i ＋1)的倍数．又S (i ＋1)(2i ＋1)＝(i ＋1)(2i ＋1)不是2i ＋2的倍数，而a (i ＋1)(2i ＋1)＋j ＝－(2i ＋2)(j ＝1,2，…，2i ＋2)，所以S (i ＋1)(2i ＋1)＋j ＝S (i ＋1)(2i ＋1)－j (2i ＋2)＝(2i ＋1)(i ＋1)－j (2i ＋2)不是a (i ＋1)(2i ＋1)＋j (j ＝1,2，…，2i ＋2)的倍数，故当l ＝i (2i ＋1)时，集合P l 中元素的个数为1＋3＋…＋(2i －1)＝i 2，于是，当l ＝i (2i ＋1)＋j (1≤j ≤2i ＋1)时，集合P l 中元素的个数为i 2＋j .又2 000＝31×(2×31＋1)＋47，故集合P 2 000中元素的个数为312＋47＝1 008. 3. 【2014江苏，23】已知函数0sin ()(0)xf x x x=>，设()n f x 为1()n f x -的导数，*n N ∈ （1）求122()()222f f πππ+的值；（2）证明：对任意*n N ∈，等式1()()4442n n nf f πππ-+=都成立. 【答案】(1)1-；（2）证明见解析．【解析】（1）由已知102sin cos sin ()'()()'x x x f x f x x x x===-， 21223cos sin sin 2cos 2sin ()'()()'x x x x xf x f x x x x x x ==-=--+， 所以124()2f ππ=-，23216()2f πππ=-+，故122()()222f f πππ+1=-.（2）由（1）得01()()cos sin()2f x xf x x x π+==+，两边求导可得122()()cos()sin sin()2f x xf x x x x ππ+=+=-=+，类似可得2333()()sin()2f x xf x x π+=+， 下面我们用数学归纳法证明1()()sin()2n n n nf x xf x x π-+=+对一切*n N ∈都成立， （1）1n =时命题已经成立，（2）假设n k =时，命题成立，即1()()sin()2k k k kf x xf x x π-+=+， 对此式两边求导可得1'()()'()cos()2k k k k kf x f x xf x x π-++=+1sin()2k x π+=+， 即11(1)()()sin()2k k k k f x xf x x π++++=+，因此1n k =+时命题也成立. 综合（1）（2）等式1()()sin()2n n n nf x xf x x π-+=+对一切*n N ∈都成立.令4x π=，得11()()sin()44442n n n nf f πππππ-++=+，所以1()()4442n n nf f πππ-+=. 4．【2015江苏，23】（本小题满分10分）已知集合{}3,2,1=X ，{})(,,3,2,1*N n n Y n ∈=Λ，{,),(a b b a b a S n 整除或整除=}n Y b X a ∈∈,，令()f n 表示集合n S 所含元素的个数.（1）写出(6)f 的值；（2）当6n ≥时，写出()f n 的表达式，并用数学归纳法证明.【答案】（1）13（2）()2,623112,612322,622312,632312,6423122,6523n n n n t n n n n t n n n n t f n n n n n t n n n n t n n n n t ⎧⎛⎫+++= ⎪⎪⎝⎭⎪⎪--⎛⎫+++=+⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪-⎛⎫+++=+⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨-⎛⎫⎪+++=+ ⎪⎪⎝⎭⎪-⎛⎫⎪+++=+ ⎪⎪⎝⎭⎪--⎛⎫⎪+++=+ ⎪⎪⎝⎭⎩下面用数学归纳法证明： ①当6n =时，()666621323f =+++=，结论成立； ②假设n k =（6k ≥）时结论成立，那么1n k =+时，1k S +在k S 的基础上新增加的元素在()1,1k +，【考纲要求】1. 数学归纳法的原理（考查要求为了解）2. 数学归纳法的简单应用（考查要求为理解）【考向分析】1. 江苏高考中，经常考有难度的数学归纳法，利用归纳和类比的方法进行推理是新课标倡导的精神，主要考查学生探索创新能力.2. 数学归纳法既是方法，又是思想，更是能力.不仅需要归纳能力，更需要探究能力、创新能力、构造能力.做一些有难度的数学归纳法试题，有助于培养思维品质，提高分析问题及解决问题的能力.【高考预测】近几年没有考查数学归纳法，高考对数学归纳法考查定位在能力，属难题.【迎考策略】1. 明确数学归纳法的两步证明数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法，它们的表述严格而且规范，两个步骤缺一不可．第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，第二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用，在n ＝k ＋1时一定要运用它，否则就不是数学归纳法．第二步的关键是“一凑假设，二凑结论”． 2. 用数学归纳法证明等式应注意的问题(1)用数学归纳法证明等式问题是常见题型，其关键点在于弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，以及初始值0n 的值．(2)由n k =到1n k =+时，除考虑等式两边变化的项外还要充分利用n k =时的式子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明．弄清左端应增加的项，明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等．简言之：两个步骤、一个结论；递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉．[来 3. 数学归纳法证明不等式的注意问题(1)当遇到与正整数n 有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n k =成立，推证1n k =+时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、作差(作商)比较法、放缩法等证明．4. “归纳——猜想——证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式．其一般思路是：通过观察有限个特例，猜想出一般性的结论，然后用数学归纳法证明．这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用．其关键是观察、分析、归纳、猜想，探索出一般规律．5. 使用数学归纳法需要注意的三个问题 在使用数学归纳法时还要明确：(1)数学归纳法是一种完全归纳法，其中前两步在推理中的作用是：第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，二者缺一不可；(2)在运用数学归纳法时，要注意起点0n ，并非一定取1，也可能取0,2等值，要看清题目； (3)第二步证明的关键是要运用归纳假设，特别要弄清楚由n k =到1n k =+时命题变化的情况．6. 数学归纳法常用于与正整数有关命题的证明可用数学归纳法．例如根据递推公式写出数列的前几项，通过观察项与项数的关系，猜想出数列的通项公式，再用数学归纳法进行证明，初步形成“观察—归纳—猜想—证明”的思维模式；利用数学归纳法证明不等式时，要注意放缩法的应用，放缩的方向应朝着结论的方向进行，可通过变化分子或分母，通过裂项相消等方法达到证明的目的．【强化演练】1．已知数列{}n a 满足123012323222n n n n nC C C a C +++=++++…*2n n nn C n N ++∈，． （1）求1a ， 2a ， 3a 的值；（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并证明． 【答案】(1) 122,4,a a == 38,a = (2)见解析 【解析】（1）1=2a ， 2=4a ， 3=8a ．（2）猜想： =2nn a ．证明：①当1n =，2，3时，由上知结论成立； ②假设n k =时结论成立，则有12301232322222k k k k k k kk kk C C C C a C ++++=++++⋯+=． 则1n k =+时， 123+101112+13+1+11123+12222k k k k k k k k k C C C C a C++++++++=++++⋯+． 由111k k kn n n C C C +++=+得1021320112233123222k k k k k k k kC C C C C C a C ++++++++++=++++⋯ -1+1+++1+1+122k k k k k k k k k k k C C C ++++ 0121+1123+1+123+1222222k k kk k k k k k k k k C C C C C -+++++=++++⋯++， 121+1023+1+1111211222222k k kk k k k k k k k k kC C C C a C -++++++-⎛⎫=++++⋯++ ⎪⎝⎭121+10231-1+1+11121+1222222k k k k k k k k k k k kk k kC C C C C C -+++++++-⎛⎫=++++⋯++⎪⎝⎭．又()()()()()()()()()()+1+1+1+11121!2221!21!112=!1!1!1!1!1!2k k k k k k k k k k k C C k k k k k k k ++++++++===+++++ 121+10231-1+1+111121112222222k k k kk k k k k k k k k k k k C C C C C C -++++++++-+⎛⎫=++++⋯+++ ⎪⎝⎭， 于是11122k k k a a ++=+． 所以112k k a ++=， 故1n k =+时结论也成立． 由①②得， =2nn a *n N ∈，． 2．已知函数，记，当．（1）求证：在上为增函数； （2）对于任意，判断在上的单调性，并证明．【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】 （1）证明：因为，所以，因为所以，，所以，所以，所以在上为增函数．（2）结论：对于任意，在上均为增函数．证明：①当n =1时，结论显然成立； ②假设当n =k 时结论也成立，即在上为增函数，所以当时，在上恒成立．当n =k +1时，， 所以又当时，，，所以在上恒成立，所以在上恒成立，所以在上为增函数．由①②得证，对于任意，在上均为增函数．3．（1）用数学归纳法证明：当*n N ∈时，cos cos2cos3cos x x x nx +++⋅⋅⋅+=1sin 12122sin 2n xx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-（x R ∈，且2x k π≠， k Z ∈）； （2）求234sin 2sin 3sin 4sin 6666ππππ++++ 20182018sin6π⋅⋅⋅+的值. 【答案】（1）见解析（2）201532-【解析】（1）①当1n =时，等式右边1sin 112122sin 2x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=- 11sin 1sin 12212sin 2x x x ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=1111sin cos cos sin sin cos cos sin 222212sin 2x x x x x x x x x⎛⎫⎛⎫+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=cos x = =等式左边，等式成立.②假设当n k =时等式成立，即cos cos2cos3cos x x x kx +++⋅⋅⋅+ 1sin 12122sin 2k xx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-那么，当1n k =+时，有()cos cos2cos3cos cos 1x x x kx k x +++⋅⋅⋅+++()1sin 12cos 1122sin 2k xk x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-++这就是说，当1n k =+时等式也成立. 根据①和②可知，对任何*n N ∈等式都成立.（2）由（2）可知， cos cos2cos3cos2018x x x x +++⋅⋅⋅+=两边同时求导，得sin 2sin23sin32018sin2018x x x x ----⋅⋅⋅-（1）求()()12,f x f x ；（2）猜想()n f x 的表达式，并证明你的结论. 【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】解：（1（2证明：① 当1n =时，由(1)知结论正确；②假设当*,n k kN =∈时，结论正确，即当1n k =+时，()()()()'1111!k k k abc ad k ax b --+-⎡⎤=-⋅⋅-⋅+⎣⎦，所以当1n k =+时结论成立，由①②得，对一切*n N ∈结论正确.5．已知()()()()()()01111nknnnn k m n n n n n f x C x C x C x k C x n =--++--++--L L ，其中R x ∈，*N n ∈， N k ∈， k n ≤.（1）试求()1f x ， ()2f x ， ()3f x 的值；（2）试猜测()n f x 关于n 的表达式，并证明你的结论.【答案】（1）()11f x =， ()()2326f x f x ==，（2）()!n f x n = 【解析】解：（1）()()011111f x C x C x =--= 11x x -+=；()()20212221f x C x C x =-- ()2222C x +-()22221x x x --+ ()2442x x +-+=；()()30313331f x C x C x =-- ()()33233323C x C x +---()3331x x =-- ()()333236x x +---=.（2）猜想： ()!n f x n =.所以11k k n n kC nC --=.用数学归纳法证明结论成立.①当1n =时， ()11f x =，所以结论成立.②假设当n k =时， ()()011kk k k k f x C x C x =-- ()1kk k C ++-L ()!kx k k -=. 当1n k =+时， ()()10111111k k k k k f x C x C x +++++=-- ()1111k k k C +++++-L ()11k x k +--()()0111111kk k k C x C x x +++=--- ()()()11kkkk C x k x k +++---+L ()()111111k k k k C x k ++++---()0111[1kk k k x C x C x ++=--+ ()()11]kkk k C x k ++--L ()()1211[122kkk k C x C x +++--- ()()111]k k k k kC x k +++--L ()()111111k k k k C x k +++++---()10[o k k k k x C x C C =-+ ()()11k kx -++-L ()()1]kk k k k C C x k -+- ()()1[1kk x ++-- ()()11121kk k k k C x C +--++-L ()()111]1k k k k x k C +++-+- ()()11kx k x k ----()01[1kk k k x C x C x =--+L ()()1]kkk k C x k +-- ()0[1kk x C x --++L ()()111]k kk k C x k ----()()1[1kk x ++-- ()12kk C x -+L ()()11]kkk k C x k ---()()111k k k k x C x k ++---- ()()()1111k kk x k ++---()01[1kk k k x C x C x =--+ ()()1]kkk k C x k +--L()0[1k k x C x --++L ()()111k k k k C x k ---- ()()11]k kk k C x k +---()()1[1kk x ++-- ()()1121kk k C x --+-L ()1kk k C x k -- ()()11]kkx k +---由归纳假设知（*）式等于!!x k x k ⋅-⋅+ ()1!k k +⋅ ()1!k =+. 所以当1n k =+时，结论也成立. 综合①②，()!n f x n =成立. 6．设，为正整数，数列的通项公式，其前项和为.（1）求证：当为偶数时，；当为奇数时，； （2）求证：对任何正整数，.【答案】（1）当n 为偶数时，；当n 为奇数时，;（2）见解析.【解析】（1）因为.当n 为偶数时，设，，.当n 为奇数时，设，.当时，， 此时 ，. 当时，， 此时，.综上，当n 为偶数时，；当n 为奇数时，.（2）当时，由（1）得：，=.故时，命题成立 假设时命题成立，即.当时，由（1）得：== ==即当时命题成立.综上所述，对正整数命题成立. 7．数列{}n a 满足11a =且()1211112n nna a n n n +⎛⎫=++≥ ⎪+⎝⎭. （1）用数学归纳法证明： ()22n a n ≥≥；（2）已知不等式()ln 1x x +<对0x >成立，证明： ()3421n a e n <≥（其中无理数）.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】（1）①当2n =时， 22a =，不等式成立.②假设当()2n k k =≥时不等式成立，即()22k a k ≥≥，那么()1111212k k k a a k k +⎛⎫=++> ⎪ ⎪+⎝⎭.这就是说，当1n k =+时不等式成立.根据①，②可知： 2n a ≥对所有2n ≥成立. （2）当2n ≥时，由递推公式及（1）的结论有()1221111111222n n n n n a a a n n n n n ++⎛⎫⎛⎫=++≤++≥ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，两边取对数并利用已知不等式()ln 1x x +<得12+12+11111ln ln 1ln ln 22n n n n n a a a n n n n +⎛⎫≤+++<++ ⎪++⎝⎭，故()12+111ln ln 22n n n a a n n n +-<+≥+，求和可得()1234111111ln ln 23341222n n a a n n +-<++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+⨯⨯- 2321111111111111321233412222412n n n n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-+⋅=-+-< ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭-.由（1）知， 22a =，故有()31413ln ,2224n n n a a e n ++<<≥，而121,2a a ==均小于342e ，故对任意正整数n ，有342n a e <.8．记.（1）求的值； （2）当时，试猜想所有的最大公约数，并证明. 【答案】（1）（2）.【解析】解：（1）因为，所以.（2）由（1）中结论可猜想所有的最大公约数为. 下面用数学归纳法证明所有的都能被整除即可.（ⅰ）当时，能被整除，结论成立；（ⅱ）假设时，结论成立，即能被整除，则当时，，此式也能被整除，即时结论也成立.综上所述，所有的最大公约数为.9．设个正数满足且.（1）当时，证明：；（2）当时，不等式也成立，请你将其推广到且个正数的情形，归纳出一般性的结论并用数学归纳法证明.【答案】(1)见解析. (2)见解析.【解析】（1）证明：因为（且）均为正实数，左—右==0，所以，原不等式成立．（2）归纳的不等式为：（且）．记，当（）时，由（1）知，不等式成立；假设当（且）时，不等式成立，即．则当时，=7分==，因为，，，所以，所以当，不等式成立． 9分综上所述，不等式（且）成立．10．已知数列{}n a 的各项均为正整数，对于任意n ∈N *，都有11111122111n n n n a a a a n n ++++<<+-+ 成立，且24a =． （1）求1a ，3a 的值；（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并给出证明． 【答案】（1）11a =，39a =（2）2n a n =【解析】（1，24a =当1n =时，由．因为1a 为正整数，故11a =． 2分 当2n =时，由解得3810a <<，所以39a =． （2）由11a =，24a =，39a =，猜想：2n a n =下面用数学归纳法证明．1º当1n =，2，3时，由（1）知2n a n =均成立．2º假设()3n k k =≥成立，则2k a k =，因为3k ≥，又1k a *+∈N ，所以()211k a k +=+．即1n k =+时，2n a n =也成立．由1º，2º知，对任意n *∈N ，2n a n =．11．在数列E 中，已知F ，，2n n a b =(．（1，13a =时，分别求（2【答案】（1）211500n n n a a a -+-=-(2n ≥)．（2）当3n =时，满足条件.【解析】（1）由已知得370a =，4180a =．所以2n =时，211500n n n a a a -+-=-；当3n =时，211500n n n a a a -+-=-．猜想：211500n n n a a a -+-=-(2n ≥)．下面用数学归纳法证明： ①当2n =时，结论成立．②假设当*(2,)n k k k =∈N ≥时，结论成立，即211500k k k a a a -+-=-， 将113k k k a a a -+=-代入上式，可得22113500k k k k a a a a ++-+=-．则当1n k =+时，221211(3)k k k k k k k a a a a a a a ++++-=--=22113500k k k k a a a a ++-+=-．故当1n k =+结论成立，根据①,②可得，211500n n n a a a -+-=-(2n ≥)成立． （2）将113n n n a a a -+=-代入211500n n n a a a -+-=-，得22113500n n n n a a a a ++-+=-， 则2115()500n n n n a a a a ++=++，21151()501n n n n a a a a +++=++， 设2151()n n a a t t *++=∈N ，则221()501n n t a a +-+=，即[]11()()501n n n n t a a t a a ++-+++=， 又1n n a a ++∈N ，且501=1⨯501=3⨯167， 故11+1,+501,n n n n a a t a a t ++-=-⎧⎨+=⎩ 或11+3,+167,n n n n a a t a a t ++-=-⎧⎨+=⎩所以1251,250,n nt a a +=⎧⎨+=⎩ 或185,82,n n t a a +=⎧⎨+=⎩由1250n n a a ++=解得3n =；由182n n a a ++=得n 无整数解．所以当3n =时，满足条件． 12．已知多项式5431111()52330f n n n n n =++-.（Ⅰ）求(1)f -及(2)f 的值；（Ⅱ）试探求对一切整数n ，()f n 是否一定是整数？并证明你的结论． 【答案】见解析【解析】（Ⅰ）先用数学归纳法证明：对一切正整数n ，()f n 是整数. ①当n=1时，(1)1f =,结论成立.②假设当n=k （k≥1，k ∈N ）时，结论成立，即5431111()52330f k k k k k =++-是整数，则当n=k+1时，5431111(1)(1)(1)(1)(1)52330f k k k k k +=+++++-+0514233245041322145555554444452C k C k C k C k C k C C k C k C k C k C +++++++++=+0312*******(1)330C k C k C k C k ++++-+=432()4641f k k k k k +++++根据假设()f k 是整数，而4324641k k k k ++++显然是整数. ∴(1)f k +是整数，从而当当n=k+1时，结论也成立. 由①、②可知对对一切正整数n ，()f n 是整数. （Ⅱ）当n=0时，(0)0f =是整数.(Ⅲ)当n 为负整数时，令n= -m ，则m 是正整数，由（1）()f m 是整数， 所以5431111()()()()()()52330f n f m m m m m =-=-+-+--- 543111152330m m m m =-+-+=4()f m m -+是整数.综上，对一切整数n ，()f n 一定是整数.13．各项均为正数的数列{}n x 对一切*n ∈N 均满足 （1）1n n x x +<； （2【答案】（1）详见解析，（2）详见解析. 【解析】【证明】（1）因为0n x >，所以，1n x ≤．若1k x =，则11k k x x +>=，根据上述证明可知存在矛盾．，且20n x ->．，即1n n x x +<． （注：用反证法证明参照给分） （2① 当1n =时，由题设10x >可知结论成立； ② 假设n k =时， 当1n k =+时，由（1下面先证明1n x ≤．假设存在自然数k ，使得1k x >，则一定存在自然数m ，使得矛盾，所以，1n x ≤． 若1k x =，则11k k x x +>=，根据上述证明可知存在矛盾． 所以1n x <成立． 14．设n ∈*N 且2n ≥，证明：()22221212n n a a a a a a ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+()1232n a a a a +++⋅⋅⋅+⎡⎣()234n a a a a +++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅]1n n a a -+．【答案】运用数学归纳法来加以证明与自然数相关的命题。

1 / 91高考数学复习高频考点题型专题讲解与训练专题23：巨难的数列题1．已知1234,,,a a a a 成等比数列，且1234123ln()a a a a a a a +++=++．若11a >，则（ ） A ．1324,a a a a <<B ．1324,a a a a >< C ．1324,a a a a <>D ．1324,a a a a >>2．已知数列{}n a 满足：0n a >，且()22112n n n a a a n N *++=-∈，下列说法正确的是（）A ．若112a =，则1n n a a +>B ．若1n n a a +<，则11a > C ．1532a a a +≤D．211n n n n a a a +++-≤-3．设等差数列1a ，2a ，…，n a （3n ≥，*N n ∈)的公差为d ，满足1211n a a a a ++⋅⋅⋅+=-2121122n a a a a +-+⋅⋅⋅+-=+++2n a m +⋅⋅⋅++=，则下列说法正确的是（ ） A ．3d ≥B ．n 的值可能为奇数C ．存在*i N ∈，满足21i a -<<D ．m 的可能取值为114．若数列{}n a 满足1a a =，()*1sin 2n n a a n N π+⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，记数列{}n a 的前n 项和是n S ，则（） A ．若数列{}n a 是常数列，则1a =± B ．若()0,1a ∈，则数列{}n a 单调递减C ．若12a =，则52n S n >- D ．若a Z ∉，任取{}n a 中的9项()19129,,1k k a a k k k <<<<构成数列{}n a 的子数列{}()1,2,,9nk a n =，则{}n k a 不全是单调数列5．已知等差数列{}n a 的公差为2020，若函数()cos f x x x =-，且122020()()()1010f a f a f a π+++=，记n S 为{}n a 的前n 项和，则2020S 的值为( )A ．1010πB ．20212πC ．2020πD ．40412π 6．已知数列{}n a ，()1n n nna a n N a +++=∈，10a >，则当2n ≥时，下列判断不一定．．．正确的是（）A ．n a n ≥B ．211n n n n a a a a +++-≥-C ．211n n n na a a a +++≤D ．存在正整数k ，当n k ≥时，1n a n ≤+恒成立 7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若不等式2221222(1)n nS a ma n ++≥+对任意正整数n 都成立，则实数m 的取值范围是（）A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．11,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 8．设,a b ∈R ，数列{}n a 中，211,n n a a a a b +==+，N n *∈ ,则（ ）A ．当101,102b a =>B ．当101,104b a =>C ．当102,10b a =->D ．当104,10b a =->3 / 919．数列{}n a ，{}n b 满足2112333...33n n n a a a a -++++=，()*n N ∈，3n n n b a n=⋅，若{}n b 的前n 项和为n S ，则下列选项正确的是（ ） A ．20172018ln S >B ．201820181S ln >+ C ．100920181ln S <-D ．20181ln2018S -<10．数列{}n a 满足*12sin 12,2n nn a a n n N π+⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭，则数列{}n a 的前60项和为（ ） A ．1860B ．5100 C ．3720D ．93011．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2111,0,441n n n a a a S n +=>=++，若不等式2483(5)2n n n n m a -+<-⋅对任意的正整数n 恒成立，则整数m 的最大值为( )A ．3B ．4C ．5D ．612．已知数列{}n a 满足()1131nn n a a n ++-=-，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则（）A ．2020S 是定值，12020a a +是定值B ．2020S 不是定值，12020a a +是定值C ．2020S 是定值，12020a a +不是定值D ．2020S 不是定值，12020a a +不是定值13．设n n n A B C ∆的三边长分别为,,n n n a b c ，n n n A B C ∆的面积为n S ，1,2,3n =.若11b c >，1112b c a +=， 1n n a a +=， 12n n n c a b ++=， 12n nn b a c ++=，则( )A ．{}n S 为递减数列B ．{}n S 为递增数列C ．{}21n S -为递增数列，{}2n S 为递减数列D ．{}21n S -为递减数列，{}2n S 为递增数列14．已知数列{}n a 由首项1a a =及递推关系1311n n n a a a +-=+确定.若{}n a 为有穷数列，则称a 为“坏数”.将所有“坏数”从小到大排成数列{}n b ，若201912020b a b <<，则（）A ．202010a -<<B ．2020103a <<C ．20213a >D ．202113a << 15．若数列{}n a 满足112a =，2112n n n a a a m +=-+，若对任意的正整数都有2n a <，则实数m 的最大值为（） A ．12B ．1C ．2D ．4 16．已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若存在*m N ∈，满足228mm S S =，22212m m a m a m +=-，则数列{}n a 的公比为（ ） A ．12B ．13C ．2D ．3 17．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且2(1)n n S a n -=-，22na n nb S =，则数列{}n b 的最小项为（）A ．第3项B ．第4项C ．第5项D ．第6项5 / 9118．若[]x 表示不超过x 的最大整数（例如：[][]0.10,0.11=-=-），数列{}n a 满足：13a =，122n n a a n +-=+，则2020a ⎡+++=⎣（）A ．10102021⨯B ．10102020⨯C ．10092021⨯D ．10092020⨯19．数列{a n }满足a n+1+（﹣1）n a n =2n ﹣1，则{a n }的前60项和为（ ） A ．3690B ．3660C ．1845D ．183020．有一个三人报数游戏：首先A 报数字1，然后B 报两个数字2、3，接下来C 报三个数字4、5、6，然后轮到A 报四个数字7、8、9、10，依次循环，直到报出10000，则A 报出的第2020个数字为（）A ．5979B ．5980C ．5981D ．以上都不对21．已知数列{}n a 和{}n b ，11a =，11b =，11n n n n n a a b a b +++⋅=，11n n nn nb a b b a +++⋅=，（）A ．202012a <B ．202013a >C ．20203b <D ．20205b <22．设常数R λ∈，无穷数列{}n a 满足11a =-，2113n n a a λ+=+，若存在常数M ，使得对于任意*n N ∈，不等式n a M ≤恒成立，则λ的最大值为（） A ．1B ．12C ．23D ．3423．已知数列{}n a 中，12a =，211n n n a a a +=-+.记12111n n A a a a =++⋅⋅⋅+，12111n nB a a a =⋅⋅⋅⋅⋅⋅则（）A ．202020201AB +>B ．202020201A B +<C ．2020202012A B ->D ．2020202012A B -< 24．已知数列{}n a 满足11a =，121n n na a a +=+，n *∈N ，则（） A ．18532a <<B ．18732a <<C ．18742a <<D ．18942a << 25．已知数列{}n a 满足()*1111,1n n a a a n N n +=->∈+，则（） A ．100ln102a >B ．99ln100a >C ．99ln100a <D ．100ln 99a <26．数列{}n c 满足1112(22)(21)n n n n c +++=--，其前n 项和为n T ，若9991000n T <成立，则n 的最大值是（）A ．8B ．9C ．10D ．1127．已知数列{}n a 中，11a =，且对任意的*,m n ∈N ，都有m n m n a a a mn +=++，则201911i ia ==∑（）A ．20181010B ．20191010C ．20192018D ．2020201928．设实数p ∈R ，在等差数列{}n a 中，121n a pn p +=++，其前n 项和2n S pn n =+，若满足1234S S S S <<<，且1n n S S +>对()*5n n ≥∈N 恒成立，则实数p 的取值范围是( )A ．11,711⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．11,810⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．11,810 ⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．11,711⎡⎤--⎢⎥⎣⎦7 / 9129．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()111n p p a n n +=+，则下列说法正确的是（）A ．当1p =-时，则2019S π<B ．当0p =时，则2019S π>C ．当12p =时，则20191S >D ．当1p =时，则20191S >30．已知数列{}n a 满足条件10a =，11n n a a +=+，*n N ∈，则1211a a a ++⋅⋅⋅+的最小值为（）A ．3B ．2C ．1D ．031．已知数列{}n a 满足11,1,2n n n a n a a n ++⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数，为偶数，（*N n ∈），若1023a ≤≤，则1a 的取值范围是( )A ．1110a ≤≤B ．1117a ≤≤C ．123a ≤≤D ．126a ≤≤32．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项之积为n T ，并且满足条件：11a >，201920201a a >，20192020101a a -<-，给出下列结论：①01q <<；②2019202110a a ->；③2019T 是数列{}n T 中的最大项；④使1n T >成立的最大自然数等于4039；其中正确结论的序号为（） A ．①②B．①③C．①③④D．①②③④33．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，在同一个坐标系中，a n =f （n ）及S n =g （n ）的部分图象如图所示，则（ ）A ．当n =4时，S n 取得最大值B ．当n =3时，S n 取得最大值C ．当n =4时，S n 取得最小值D ．当n =3时，S n 取得最大值34．若两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别是723n n S n T n +=+，则57a b 等于（） A ．214B ．6512C ．278D ．651635．己数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝lna n ＋1na ＋1，记S n ＝[a 1]＋ [a 2]＋···＋[a n ]，[t ]表示不超过t 的最大整数，则S 2019的值为( ) A ．2019B ．2018C ．4038D ．403736．若数列{}n a 满足112a =且1n a +=2018a 为（） AB．15+C ．0D ．137．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()2*12n n S S n n ++=∈N ，且10a ≠，1028a =，则1a 的值为（ ） A ．－8B ．6C ．－5D ．438．若正项数列{}n a 的前n 项和为n S，满足1n a =，则9 / 916824246811111111a a a a S S S S ++++-+-+----1001200020001(1)1a S ++-=-（ ）A ．20002001B ．20022001C ．40004001D ．4002400139．已知数列{}n a 满足112a =，2*1()2018nn n a a a n N +=+∈，则使1n a >的正整数n 的最小值是（）A ．2018B ．2019C ．2020D ．202140．已知数列{}n a 满足11n a a Z =∈，，且1112113322n n n n n n a a a a ++-+-<+->-，，则2019a =（ ）A ．2021318-B ．2020318-C ．2019318-D ．2018318-41．已知数列：()12,,,11kk N k k *⋅⋅⋅∈-，按照k 从小到大的顺序排列在一起，构成一个新的数列{}n a ：1212381,,,,,,,213219⋅⋅⋅则首次出现时为数列{}n a 的（）A ．第44项B ．第76项C ．第128项D ．第144项42．已知数列{}n a 的通项公式为n a n t =+，数列{}n b 为公比小于1的等比数列，且满足148b b ⋅=，236b b +=，设22n n n n n a b a b c -+=+，在数列{}n c 中，若4()n c c n N *≤∈，则实数t 的取值范围为__________．43．已知224x y +=，在这两个实数,x y 之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为__________．44．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足112n n n S a a ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则1264111S S S ⎡⎤++⋅⋅⋅+=⎢⎥⎣⎦______（其中[]x 表示不超过x 的最大整数）.45．用()g n 表示自然数n 的所有因数中最大的那个奇数，例如：9的因数有1，3，9，(9)9g =，10的因数有1，2，5，10，(10)5g =，那么2015(1)(2)(3)(21)g g g g ++++-=__________．46．已知集合*{|21,}A x x n n N ==-∈，*{|2,}n B x x n N ==∈．将A B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为________．47．已知数列{}n a 满足：1a m =（m 为正整数），1,?231,?nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时，若81a =，则m 所有可能的取值为________．48．已知数列{}n a 满足21k k a a d +-=（d 为常数，1,2k n =⋯，*N n ∈，3n ≥），给出下列四个结论：①若数列{}n a 是周期数列，则周期必为2：②若0d =，则数列{}n a 必是常数列：③若0d >，则数列{}n a 是递增数列：④若0d <，则数列{}n a 是有穷数列，其中，所有错误结论的序号是________.49．已知数列{}n a 满足:，1(22n n n a ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦()n *∈N ，其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数，设A 为实数，且对任意的正整数n ，都有121ni i i A a a =+≤∑(其中符号∑为连加号，如112ni i n ==+++∑)，则A 的最小值是__________；50．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，19a =，2133122n n S S n n ++=++(N n *∈)，则52S ＝_______．11 / 9151．数列{}n a 的前m 项为()12,,,m a a a m N *∈，若对任意正整数n ，有n m n a a q +=（其中q为常数，0q ≠且1q ≠），则称数列{}n a 是以m 为周期，以q 为周期公比的似周期性等比数列，已知似周期性等比数列{}n b 的前4项为1，1，1，2，周期为4，周期公比为3，则数列{}n b 前42t +项的和等于__________.（t 为正整数）52．艾萨克·牛顿（1643-1727），英国皇家学会会长，英国著名物理学家，在数学上也有许多杰出贡献.牛顿用“作切线”的方法求函数()f x 的零点时给出了一个数列{}n x ：()()1n n n n f x x x f x +=-'，我们把该数列称为牛顿数列.如果函数2()(0)f x ax bx c a =++>有两个零点1和3，数列{}n x 为牛顿数列，3lg 1n n n x a x -=-，且13a =，3n x >，则数列{}n a 的通项公式为n a =__________．53．等差数列{}n a ，()sin n n b a =，存在正整数t ，使得n t n b b +=，*n N ∈，若集合{}*|,nx x b n N =∈有4个不同元素，则t 的可能取值有______个.54．已知数列{}n a 中，22a =，对任意*k N ∈，2k a ，21k a +，22k a +成等差数列，公差为21k +，则101a =__．55．若数列{}n a 满足()*4411414242434141032n n n n n n n n a a a a a a a n N a a +-----=-=-===∈，，，且对任意*n N ∈都有n a m ＜，则m 的最小值为________.56．任意实数a ，b ，定义00ab ab a b a ab b≥⎧⎪⊗=⎨<⎪⎩，设函数()2log f x x x =⊗，数列{}n a 是公比大于0的等比数列，且()()()()()101112320192020131,++a f a f a f a f a f a a =+++=-…，则1a =___；57．设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，且12412124168a a S ≥≥≤，，，则29a d -的取值范围是_________.58．已知12,,,n a a a ⋅⋅⋅是1,2,,n ⋅⋅⋅满足下列性质T 的一个排列（2n ≥，n *∈N ），性质T ：排列12,,,n a a a ⋅⋅⋅有且只有一个1i i a a +>（{1,2,,1}i n ∈⋅⋅⋅-），则满足性质T 的所有数列的个数()f n =________59．（2016安徽模拟改编）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ， 1(1)32n n n n S a n =-++-，若n a M 对任意的*n N ∈恒成立，则实数M 的取值范围是_______．60．杨辉三角，又称帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中用如图所示的三角形解释二项展开式的系数规律.现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1,1,1,1,2,1,1,3,3,11464,1,，，，，.记作数列{}n a ，若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则68S =___ .61．已知数列{}n a 满足11a =，121n n a a +=+，若集合()(){}11,n M n n n t a n N *+≥+∈中有3个元素，则实数t 的取值范围是__________．62．数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且[0,4],12019i a i ∈，设函数()3sin 42x f x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若12342019()()()()()0f a f a f a f a f a ++++⋅⋅⋅+=，则1232019a a a a ++++=______．63．等差数列{}n a 的公差d ≠0，a 3是a 2，a 5的等比中项，已知数列a 2，a 4，1k a ，2k a ，……，13 / 91n k a ，……为等比数列，数列{}n k 的前n 项和记为T n ，则2T n ＋9=_______64．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为3，公差为2的等差数列，若2n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则使得268n n S T +≥成立的n 的最小值为__________.65．已知数列{}n a 与{}n b 满足()()()1*113121,2n nn n n n n b a b a b n N -+++-+=-+=∈，且12a=，则2n a =__________．66．已知数列{}n a 的奇数项和偶数项为公比为q 的等比数列，12q =，且1221a a ==.则数列{}37n a n +-的前n 项和的最小值为__________．67．数列{}n a 为单调递增数列，且(23)814,4,{log ,4n t t n t n a n n --+<=≥*t N ∈，则t 的取值范围是__________．68．已知数列{}n a 满足2nn a =，则数列{}n n a b ⋅满足对任意的n N +∈，都有1211n n n b a b a b a -+++212n n=--，则数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T =__________． 69．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且110a =，()*1910N n n a S n +=+∈，若()20161lg n nm a +-()201710lg 1n n a +<+-对任意*N n ∈恒成立，则实数m 的取值范围是__________．70．对于数列{}n a ，定义11222n nn a a a A n -+++=为数列{}n a 的“好数”，已知某数列{}n a 的“好数”12n n A +=，记数列{}n a kn -的前n 项和为n S ，若7n S S ≤对任意的*n N ∈恒成立，则实数k 的取值范围是______.71．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若()()()*21212nnn n n n a a n N +-⋅=+-⋅∈，则10S =__________．72．已知数列{}n a 中，()*111,231n n a a a n n N +=-=+-∈，则其前n 项和=n S __________．15 / 91参考答案1．B【分析】先证不等式ln 1x x ≥+，再确定公比的取值范围，作出判断.【解析】令()ln 1,f x x x =--则1()1f x x '=-，令()0,f x '=得1x =，所以当1x >时，()0f x '>，当01x <<时，()0f x '<，因此()(1)0,ln 1f x f x x ≥=∴≥+，若公比0q >，则1234123123ln()a a a a a a a a a a +++>++>++，不合题意；若公比1q ≤-，则212341(1)(1)0,a a a a a q q +++=++≤但212311ln()ln[(1)]ln 0a a a a q q a ++=++>>，即12341230ln()a a a a a a a +++≤<++，不合题意； 因此210,(0,1)q q -<<∈，22113224,0a a q a a a q a ∴>=<=<，选B.【点评】构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如ln 1,x x ≥+2e 1,e 1(0).x x x x x ≥+≥+≥2．D【分析】化简已知递推关系式可得到()()1110n n a a +-->，由此分别判断,A B 选项，可知,A B 错误；设1n a x +=，则n a =214n a ++={}1n n a a +-越来越小，C 错误；假设D 成立，通过化简不等式可知不等式恒成立，知D 正确.【解析】22112n n n a a a ++=-，2211121n n n a a a ++∴-=--，()()()()1111121n n n n a a a a ++∴-+=-+， 又0n a >，10n a ∴+>，1210n a ++>，()()1110n n a a +∴--> 对于A ，若112a =，则1102n a -=-<，110n a +∴-<，()2221111110n n n n n n a a a a a a +++++∴-=-=-<，1n n a a +∴<，A 错误；对于B ，若1n n a a +<，则()2221111110n n n n n n a a a a a a +++++-=-=-<，10n a ∴-<，即1n a <，11a ∴<，B 错误；对于C ，设1n a x +=，则n a =考虑函数y =与y x =的图象，如下图所示：当10a >时，{}n a 单调递减，且{}1n n a a +-越来越小，1335a a a a ∴->-，1532a a a ∴+>，C 错误；17 / 91对于D ，设1n a x +=，则n a =2n a +=若211n n n n a a a +++-≤-x -≤，等价于()1841x +≤-，即31x ≤-，即2210x x -+≥，而()222110x x x -+=-≥显然成立，211n n n n a a a +++∴-≤-，D 正确. 故选：D .【点评】本题考查根据数列递推关系式研究数列的性质的问题，关键是能够通过递推关系式得到数列前后项所满足的关系，同时借用函数的思想将数列前后项的大小关系变化利用函数图象来进行表现，属于难题. 3．A【分析】根据题意，设出绝对值函数()2(1),3f x x x d x d x n d n =+++++++-≥，根据绝对值函数的性质判断即可．【解析】因为1211n a a a a ++⋅⋅⋅+=-2121122n a a a a +-+⋅⋅⋅+-=+++2n a m +⋅⋅⋅++=所以111+(1)a a d a n d ++⋅⋅⋅++-11111+1(1)a a d a n d=-+-+⋅⋅⋅+-+-111222+(1)a a d a n d m =+++++⋅⋅⋅++-= 令()2(1),3f x x x d x d x n d n =+++++++-≥则111()(1)(2)f a f a f a m =-=+=（*）①当0d =时，()f x n x =，不满足（*），舍去．②当0d >时，由（*）得()f x 为平底型，故n 为偶数(4)n ≥ ．()f x 的大致图像为：则11112(1)22n nd a a a d -≤-<<+≤--所以(1)+=322n n d d d --≥，故A 正确． 由1111212(1)222(1)2n d a n n d a d n a d⎧-≤-⎪⎪⇒-≤≤---⎨⎪+≤--⎪⎩当1,2,,2n i =时1(1)2(1)(1)()222i n na a i d d i d i d =+-≤---+-=-- 当+1,+2,,22n ni n =时1(1)1(1)=1+(1)122i n na a i d d i d i d =+-≥-+---≥故不存在*i N ∈，满足21i a -<<，C 错112122()n nn m f a a a a a a +==++++++1212222()()n n n n a a a a a a ++≥+++-+++2112=()24n n n a a d +-=19 / 91由于4,3n d ≥≥所以2124n m d ≥≥，故D 错③当0d <时，令0d d '=->由于()f x 的图像与()f x -的图像关于y 轴对称，故只需研究()f x - 故令()()g x f x =-=2(1),3x x d x d x n d n -+-++-+++-+-≥2(1),3x x d x d x n d n '''=+++++++-≥因为111()(1)(2)f a f a f a m =-=+= 所以111()(1)(2)g a g a g a m -=--=-+=由②知()g x 为平底型，故n 为偶数(4)n ≥，故B 错 令1111,(1)1i i a a a a i d a ''''=--=+-=-所以()(1)(2)i i i g a g a g a m '''=-=+=3d d '⇒=-≥，故A 正确由②知，不存在*i N ∈，满足2121112i i i a a a -<<⇔-<-<⇔-<'<-，故C 错由②知，2()124i n m g a d '=≥≥，故D 错综上所述，A 正确,BCD 错误 故选A.【点评】本题结合等差数列综合考查绝对值函数的性质，属于难题． 4．C【分析】对于A ：由数列为常数数列，则，解方程可得的值；对于B ：由函数，，求得导数，判断单调性和极值，即可进行判断；对于D ：由，判断()f x 的奇偶性和单调性，结合正弦函数的单调性，可得数列都是单调数列，即可进行判断．【解析】对于A ：若数列{}n a 为常数列，则2sin()2a a a π==，0a =或1a =±，故A 错误；对于B ：若()0,1a ∈，(0,)22a ππ∈，2sin()2a a π=，设函数()sin(),(0,1)2f x x x x π=-∈，'()cos()122f x x ππ=-，由(0,)22x ππ∈，可得极值点唯一且为022arccos x ππ=，极值点为022()arccos 0f x πππ=->，由(0)(1)0f f ==，可得21a a >，则3221sin()sin()022a a a a ππ-=->，即有32,,a a >由于(0,1)n a ∈，(0,)22n a ππ∈，由正弦函数单调性可得1n n a a +>， 所以数列{}n a 是单调递增函数，故B 错误； 对于D ：若，任取中的9项，，，，，构成数列的子数列，，2，，9，是单调递增数列；由，可得()()f x f x -=-，()f x 为奇函数；21 / 91当时，，时，； 当时，；时，， 运用正弦函数的单调性可得或时，数列单调递增；或时，数列单调递减．所以数列都是单调数列，故D 错误；故选C .【点评】本题考查数列的单调性的判断和运用，考查正弦函数的单调性和应用，和分类讨论的数学思想，属于难题． 5．A【分析】根据等差数列的公差及函数解析式，由等差数列求和公式代入可得()()120201*********cos cos cos 1010a a a a a π,+++++=由余弦和角与差角公式的应用，变形可得()12020202120212cos cos 2cos cos22i i i d a a a a --++=⨯，令120202a a m +=，代入化简并构造函数()20192017201520202cos cos cos cos cos 2222d d d d g x x x ⎡⎤=-⋅+++⎢⎥⎣⎦，求得()g x '并判断符号，可证明()g x 为单调递增函数，且可得2m π=，从而1202022a a π+=，进而由等差数列前n 项和公式即可求解.【解析】等差数列{}n a 的公差为2020，设2020.d = 函数()cos f x x x =-，且122020()()()1010f a f a f a π+++=，则()()122020122020cos cos cos 1010a a a a a a π+++++++=，即()()120201*********cos cos cos 1010a a a a a π,+++++=①对11010,i i Z ≤≤∈，由余弦的和角与差角公式化简可得2021cos cos i i a a -+()()()()2202122021222021220212cos cos 2222i i a i d i d a i d i d +--+--⎡⎤⎡⎤=-++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()220212202122coscos22i a i d i d +--=⨯()2021202122cos cos22i i i d a a --+=⨯()12020202122cos cos 22i d a a -+=⨯， 记120202a am +=，将①化简可得()()()12020220191010101120201010m a a a a a a π⎡⎤-++++=⎣⎦，即20192017201520202cos cos cos cos cos 10102222d d d d m m π,⎡⎤-⋅+++=⎢⎥⎣⎦②令()20192017201520202cos cos cos cos cos 2222d d d d g x x x ⎡⎤=-⋅+++⎢⎥⎣⎦，由2020.d =可得()20192017201520202sin cos cos cos cos 2020202002222d d d d g x x ⎡⎤'=+⋅+++>-=⎢⎥⎣⎦，所23 / 91以()g x 在R 上单调递增，且02g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，又由②可知()0g m =，所以2m π=，即1202022a a π+=， 所以()120202020202010102a a S π⨯+==，故选：A.【点评】本题考查了数列与函数的综合应用，等差数列求和公式的应用，余弦和角公式与差角公式的综合应用，换元法求值的应用，由导数判断函数单调性的应用，综合性强，属于难题. 6．C【分析】根据递推关系式()1n n nna a n N a +++=∈利用数学归纳法证明A 正确，利用分析法证明B 正确，取特值可说明C 不正确，()1n n nna a n N a +++=∈两边平方后利用放缩法可得22221(1)n n a n a n +-+≤-，即可得到22224n a n a -≤-，分析1n a d n ≤+恒成立的条件即可.【解析】()1n n nna a n N a +++=∈，10a >, 当1n =时，21112a a a =+≥，当11a =时取等号， 假设n k =时，k a k ≥，当1n k =+时，1k k k k a a a +=+，由函数ky x x=+在)+∞上单调递增知 11k ka k k k+≥+=+， 由以上可知，n a n ≥对2n ≥成立，故A 正确.若211n n n n a a a a +++-≥-成立，则需11n nn n a a ++成立，即11n n a n a n++成立， 而122111n n n a n n n a a n n++=++=成立，故原命题，B 正确； 取12a =，则252a =，33310a =，此时323323310525a a =⨯=，21515224a a =⨯=，所以3221a a a a >可知C 不正确；()1n n nna a n N a +++=∈ 222212221nn n nn aa n a n a +∴=++++，故22221(1)n n a n a n +-+≤-，故22224n a n a d -≤-=1n a d n ⇒≤+取12d k -≥的正整数，则有n k ≥时，1n a n ≤+恒成立，故D 正确. 故选：C【点评】本题主要考查了数列的递推关系，数学归纳法，分析法证明，特值法排除，放缩法等不等式的性质，考查推理能力，运算能力，属于难题.25 / 917．D【分析】令(2)n d t -=,由222222122222213()(2)43(1)22n nS a a t a t t a t a n ++=+++=+++，当243a t =-时，取得最小值，由此能求出结果. 【解析】2212222122122(1)2[(1)]22[(2)][(2)]2[](1)(1)2n n n n a n d Sn a a n d a n d a d n n +++++=+-+=+-++++ 22221[(2)][2(2)]2a n d a n d +-++-=,令(2)n d t -=，则222222122222213()(2)43(1)22n nS a a t a t t a t a n ++=+++=+++， 当243a t =-时，取最小值2213a ， 即23(42)n d a -=-，2423an d=-， 因为不等式2221222(1)n nS a ma n ++≥+对任意正整数n 都成立， 当20a ≠，所以13m ≤，当20a =时，m R ∈，综上13m ≤.故选：D【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式与求和公式，二次函数的单调性，分类讨论，不等式的性质，属于难题. 8．A【分析】若数列{}n a 为常数列，101a a a ==，则只需使10a ≤，选项的结论就会不成立.将每个选项的b 的取值代入方程20x x b -+=，看其是否有小于等于10的解.选项B 、C 、D 均有小于10的解，故选项B 、C 、D 错误.而选项A 对应的方程没有解，又根据不等式性质，以及基本不等式，可证得A 选项正确.【解析】若数列{}n a 为常数列，则1n a a a ==，由21n n a a b +=+，可设方程20x x b -+=选项A ：12b =时，2112n n a a +=+，2102x x -+=，1210∆=-=-<，故此时{}n a 不为常数列，22211(22n n n n a a a +=+=+≥， 且2211122a a =+≥，792a a ∴≥≥21091610a a >≥>，故选项A 正确；27 / 91选项B ：14b =时，2114n n a a +=+，2104x x -+=，则该方程的解为12x =， 即当12a =时，数列{}n a 为常数列，12n a =， 则101102a =<，故选项B 错误； 选项C ：2b =-时，212n n a a +=-，220x x --=该方程的解为1x =-或2，即当1a =-或2时，数列{}n a 为常数列，1n a =-或2， 同样不满足1010a >，则选项C 也错误；选项D ：4b =-时，214n n a a +=-，240x x --=该方程的解为12x =， 同理可知，此时的常数列{}n a 也不能使1010a >， 则选项D 错误. 故选：A.【点评】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论a 的可能取值，利用“排除法”求解. 9．D【分析】由已知数列递推式求得首项，且得到()221231133 (323)n n n a a a a n ---++++=≥，与原递推式作差可得数列{}n a 的通项公式，代入3nn n b a n=⋅，得到{}n b 的通项公式，从而得出n S ,然后构造函数，证明不等式成立，从而得到答案．【解析】由2112333 (33)n n na a a a -++++=，① 得113a =，()221231133 (323)n n n a a a a n ---++++=≥，② ①-②得：1133n n a -=，即()123n n a n =≥．113a =成立，∴13n na =； 则33113n n n n n b a n n n =⋅=⋅=．所以11111234n S n=++++⋅⋅⋅，设ln 101g x x x x =+-∈（）（），（，），则1'1011xg x x x -=-=++（）＜． ∴()g x 在()0,1上单调递减，则00g x g <=（）（），即ln 1x x +<（）． 令1x n =，则111ln 1lnn n n n +⎛⎫+=< ⎪⎝⎭． ∴2341111ln ln ln ln112323n n n+++++<++++，故ln 1n n S +<（）． 设()1ln 1,1,h x x x x =+-∈+∞（），则()2110h x x x=->'． ()h x ∴在1+∞（，）上单调递增，29 / 91∴10h x h >=（）（），即1ln 11x x x>-∈+∞，（，）． 令11x n =+，则111ln 1ln 1n n n n +⎛⎫+=> ⎪+⎝⎭．∴2341ln ln ln ln123n n +++++>1111231n n +++++． 故1ln 11n n S ++>-（）． ∴20181ln2018S -<． 故选D ．【点评】本题考查数列递推式，训练了利用作差法求数列的通项公式，考查利用导数证明函数不等式，正确构造函数是关键，属难题． 10．A【分析】利用题目所给数列的递推公式，分成n 为偶数和n 为奇数两类，找出数列的规律，然后利用这个规律求数列前60项的和.【解析】当2n k =时，2124k k a a k +=-+，当21n k =+时，222142k k a a k ++=++，两式相加得22282k k a a k ++=+，故245860a a a a ++++()()245860a a a a =++++()8132930=++++()1512983018302⨯+=⨯+=.由222142k k a a k ++=++得()212242k k a a k ++=-+.所以()1359246040122960a a a a a a ⎡⎤+++=+++-+++++⎣⎦()02930186046018301800302⎡⎤+⨯=-⨯+=-=⎢⎥⎣⎦.故12601830301860a a a +++=+=.所以选A.【点评】本小题主要考查已知递推数列求数列前60项的和，考查分析与思考问题的能力，还考查了分类讨论的数学思想方法.属于中档题. 11．B【分析】由21441n n a S n +=++知2144(1)1n n a S n -=+-+，两式相减可得12n n a a +-=，数列{}n a 是等差数列，求出通项公式代入2483(5)2n n n n m a -+<-⋅，转化为2352nn m -->对任意的正整数恒成立，利用数列的单调性，求得当3n =时，n b 取得最大值38，即可求解.【解析】由题意，数列满足21441n n a S n +=++，则当2n ≥时，2144(1)1n n a S n -=+-+，两式相减可得22114()444n n n n n a a S S a +--=-+=+，所以222144(2)n n n n a a a a +=++=+，又由0n a >，所以12n n a a +=+，即12n n a a +-=，所以数列{}n a 表示首项11a =，公差为2的等差数列，所以*21()n a n n =-∈N ，因为2483(5)2nn n n m a -+<-⋅，所以2483(5)2(21)n n n m n -+<-⋅-，即(23)(21)(5)2(21)n n n m n --<-⋅-， 则(23)(5)2n n m -<-对任意的正整数恒成立， 又20n >，所以2352nn m -->对任意的正整数恒成立， 设232n n n b -=，则111212325222n n n n n n n n b b +++---+-=-=， 所以12334,n b b b b b b <<>>>，当3n =时，n b 最大,此时最大值为38，31 / 91所以538m ->，即337858m <-=，所以m 的最大整数为4，故选B .故选：B【点评】本题主要考查了数列的递推公式求数列的通项公式，以及不等式的恒成立问题的求解，属于较难题. 12．A【分析】按照n 的奇偶分类讨论，可得21261k k a a k ++=-以及24212k k a a +-=，再根据等差数列的定义可得202026061a a =-，而212a a -=，即可求出120206059a a +=为定值，采用并项求和的方式即可求出1009202016059(61)i S k ==+-∑也为定值．【解析】当()*2n k k N =∈，则21261k k a a k ++=-，222162k k a a k ++-=+，∴222121k k a a k ++=+，即有2413a a =-，24221213k k a a k +++=+，作差得24212k k a a +-=，∴()2020422125041360486061a a a a =+⨯=-+=-， ∴12020126061a a a a +=+-，令1n =可得，212a a -=， ∴12020606126059a a +=-=为定值．而()()()()()10092020120202345201820191605961k S a a a a a a a a k ==++++++++=+-∑也为定值． 故选：A ．【点评】本题主要考查利用数列的递推式判断数列的性质，以及并项求和法的应用，意在考查学生的逻辑推理能力和数学运算能力，属于较难题． 13．B【分析】【解析】由题意得1n n a a ＋＝，所以数列{}n a 是常数列，故1n a a =．∵111=222n n n n n nn n c a b a b c b c a +++++++=+， ∴111111111121112? (2)(2)(2)0222n n n n n n n b c a b c a b c a b c a ++--+-=+-=+-==+-=， ∴12?n n b c a +=，即1||2n n n n A B A C a +=．∴n n n A B C ∆是以点n n B C ，为焦点，长轴长为12a 的椭圆的焦点三角形， 又11b c >，所以n n n A B C ∆的形状和位置如下图所示：∵11 222n n n n n n n n c a b a b c b c ++++--=-=-， ∴数列{}n n b c -是首项为11b c -，公比为12-的等比数列，∴1111()()2n n n b c b c --=--，故当n →+∞时，0,n n n n b c b c -→→，∴点n A 的位置无限趋近于椭圆的短轴的端点P ．33 / 91∴n n n A B C ∆的边n n B C 上的高n h 单调递增， ∴1122n n n n n n S B C h a h ==单调递增， ∴数列{}n S 为递增数列．选B ．点睛：本题将数列、解析几何等知识相结合，综合考查学生分析问题、解决问题的能力．首先，在数列运算的基础上，要处理好数列{}{}{}n n n a b c ，，之间的关系，掌握数列变化中的确定性；其次，在解析几何特征分析上，确定出点n A 的几何特征；最后由椭圆的定义将问题加以解决． 14．C【分析】由1311n n n a a a +-=+得1111121n n a a +-=--，所以数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为等差数列,则()()1311121121n a n an a a a -+--=+=---，求出数列{}n a ，当分母为0，得()130a n a -⨯+-=，即31n a n -=-时，数列{}n a 为有穷数列，得出2n n b n -=，即2017200920191010a <<，又()202021120192017a a a -=+-，20211110101009a a a -=+-，根据单调性可得答案. 【解析】由1311n n n a a a +-=+，得()121311111n n n n n a a a a a +--=-=++-则()()11211212111211n n n n n n a a a a a a +++===+-----，即1111121n n a a +-=--所以数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为等差数列,则()()1311121121n a n an a a a -+--=+=--- 则()()21113n a a a n a --=-+-，所以()()21113n a a a n a -=+-+-当1n =时, ()()1211113a a a a a-=+=-⨯+-，满足条件.当分母为0，得()130a n a -⨯+-=，即3(1)1n a n n -=>-时，数列{}n a 为有穷数列. 当1a =-时, 数列{}n a 为有穷数列.则11b =-当分母为0时，n a 无意义，此时数列{}n a 为有穷数列，此时对应a 的值为1n b + 所以2n n b n -=，由201912020b a b <<，则1201720182009201920201010a <<=，即2017200920191010a << ()()()202021211112020320192017a a a a aa --+=+-⨯+--=设()()21120192017x f x x -=+-，则()()24020192017f x a '=>- 所以()f x 在2017200920191010，⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增. 所以20201009211010111009201920171010a ⎛⎫- ⎪⎝⎭+=-⨯-< ()()20212111112021310101009a a a a aa --+=+-⨯+--=设设()1110101009x g x x -=+-，则()()21010101009g x x '=>- 所以()g x 在2017200920191010，⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增.35 / 91所以2020202712019132027101010092019a -+=⨯-> 所以选项C 正确 故选：C【点评】本题考查根据递推公式求数列的通项公式，考查新定义，考查求数列中项的范围，属于难题. 15．C【分析】递推关系变形可得211(2)22n n n a a a m +-=-+-，分析可知2m >时不满足题意，再验证2m =时满足题意，即可得解．【解析】2112n nn a a a m +=-+， ∴221112(2)222n n n n n a a a a m a m +-=-+=-+-，若2m >，则211(2)202n n n a a a m +-=-+->，则12n n a a m +>+-， 则1(1)(2)n a a n m >+--，那么n a 可以无限的大下去，不符合题意； 若2m =，则10n n a a +->，则1n n a a +>，数列{}n a 单调递增， 又112a =，故0n a >， 又112(2)2n n n a a a +-=-，故12n a +-与2n a -同号，则2n a <，符合题意； 故选：C ．【点评】本题考查数列的递推关系，考查逻辑推理能力，属于中档题．16．D【分析】先判断1q ≠，由228mmS S =，利用等比数列求和公式可得27m q =，结合22212m m a m a m +=-可得3m =，从而根据327q =可得结果. 【解析】设等比数列公比为q 当1q =时，2228mmS S =≠，不符合题意， 当1q ≠时，()()21211128,12811m mm m m a q S q q S q a q--=∴⋅=+=--， 得27m q =，又2221221,22m m m a m m q a m m ++=∴=--， 由221272m m +=-，得3m =， 327,3q q ∴=∴=，故选D.【点评】本题主要考查等比数列的通项公式与求和公式的应用，意在考查对基本公式的掌握与应用，考查了分类讨论思想的应用，属于中档题.解有关等比数列求和的题的过程中，如果公比是参数一定要讨论1q ≠与1q =两种情况，这是易错点. 17．A【分析】由n S 与n a 的关系1(1)n n n a S S n -=->化简即可求出n S 及n a ，可得n b ，分析单调性即可求解.【解析】∵1(1)n n n a S S n -=->,37 / 91∴1n n n S a S --=,则21(1)n S n -=-,即2*(N )n S n n =∈,∴22(1)21n a n n n =--=-.易知0n b >,∵212+1+14422+1n n n n b b n n -==，（）, 244142()(1)1n n b n b n n +∴==++当11n >+时, 1n >+, ∴当13n ≤<时, 1n n b b +>, 当3n ≥时,1n n b b +<,又23132,281b b ==,∴当3n =时, n b 有最小值. 故选：A【点评】本题主要考查了数列n S 与n a 的关系，数列的单调性，属于中档题. 18．A【分析】由递推公式利用累加法即可求得数列{}n a 的通项公式，由()22211n n n n <++<+可得n ==，再利用等差数列求和公式求和即可. 【解析】122n n a a n +-=+，()-12122n n a a n n --+∴==，1222n-n-a n a =--，，326a a -=，214a a -=，累加可得()()()121424622222n n n a a n n n n -+-=+++-+==+-，又13a =，()2*1n a n n n N ∴=++∈，()22211n n n n <++<+，n ∴==，2020202020211232020101020212a ⨯⎡⎤+++=++++==⨯⎣⎦. 故选：A【点评】本题考查数列创新问题、等差数列的前n 项和公式，属于中档题. 19．D【分析】【解析】由于数列{a n }满足a n+1+（﹣1）n a n =2n ﹣1，故有 a 2﹣a 1=1，a 3+a 2=3，a 4﹣a 3=5，a 5+a 4=7，a 6﹣a 5=9，a 7+a 6=11，…a 50﹣a 49=97．从而可得 a 3+a 1=2，a 4+a 2=8，a 7+a 5=2，a 8+a 6=24，a 9+a 11=2，a 12+a 10=40，a 13+a 15=2，a 16+a 14=56，… 从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列． {a n }的前60项和为 15×2+（15×8+）=1830，故选D ．。