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完整版)三角函数知识点归纳三角函数一、任意角、弧度制及任意角的三角函数1．任意角1)角的概念的推广角可以按照旋转方向分为正角、负角和零角，也可以按照终边位置分为象限角和轴线角。
2)终边与角α相同的角可写成α＋k·360°(k∈Z)。
3)弧度制弧度制是一种角度量，1弧度的角是指长度等于半径长的弧所对的圆心角。
弧度与角度可以互相转换。
2．任意角的三角函数定义设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P(x，y)，它与原点的距离为r(x^2+y^2)，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sinα=y/r，cosα=x/r，tanα=y/x。
3．特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值可以通过计算得到，如30度角的正弦为1/2，余弦为√3/2，正切为√3/3，以此类推。
注意：删除了明显有问题的段落，同时对每段话进行了小幅度的改写以提高表达清晰度。
和周期；2掌握三角函数的图像及其性质；3熟练运用诱导公式和基本关系进行化简和求值。
二、同角三角函数的基本关系与诱导公式A.基础梳理1.同角三角函数的基本关系1)平方关系：sin^2α+cos^2α=1；（在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号）2)商数关系：sinα/cosα=tanα，cosα/sinα=1/tanα，1+tan^2α=sec^2α，1+ cot^2α=csc^2α。
2.诱导公式公式一：sin(α+2kπ)=sinα，cos(α+2kπ)=cosα，tan(α+2kπ)=tanα其中k∈Z.公式二：sin(π+α)=－sinα，cos(π+α)=－cosα，tan(π+α)=tanα.公式三：sin(π－α)=sinα，cos(π－α)=－cosα，XXX(π－α)=－tanα．公式四：sin(－α)=－sinα，cos(－α)=cosα，tan(－α)=－tanα.公式五：sin(π/2－α)=cosα，cos(π/2－α)=sinα.公式六：sin(π/2+α)=cosα，cos(π/2+α)=－sinα.诱导公式可概括为k·±α的各三角函数值的化简公式．口诀：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指的奇数22倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则函数名称要变(正弦变余弦，余弦变正弦)；若是偶数倍。
高考数学中的三角函数知识点概览数学是高考中的一门必修科目，而三角函数则是数学中重要的内容之一。
掌握好三角函数的知识点可以增加高考数学的成绩，本文将对高考数学中的三角函数知识点进行概览，帮助学生更好地备考。
1、三角函数的定义在平面直角坐标系中，通过将点P(x,y)沿x轴(或y轴，原点)作垂线得到点M(x,0)，点P与点M的连线与x轴的夹角为θ(0≤θ≤2π)，定义：(1)正弦函数(A是θ的集合)：f(θ)=sinθ=y/r(2)余弦函数(B是θ的集合)：f(θ)=cosθ=x/r(3)正切函数(C是θ的集合)：f(θ)=tanθ=y/x其中，r是点P到原点的距离，x和y分别是点P在x轴和y轴上的坐标。
2、基本性质(1)正弦函数和余弦函数的值域都是[-1,1]，而正切函数的定义域是整个实数集。
(2)正弦函数和余弦函数的图像是相似的，只是在垂直方向上有不同的偏移量。
(3)正弦函数和余弦函数的图像都是关于原点对称的。
(4)正切函数的图像是周期为π的函数，其图像是关于原点对称的。
(5)三角函数与三角恒等式有关，其中最常用的是：sin^2θ+cos^2θ=1tanθ=sinθ/cosθ3、三角函数的图像(1)正弦函数和余弦函数的图像在相同的坐标系中，画出正弦函数和余弦函数的图像，可以发现：正弦函数的图像是一条连续的波浪线，起伏在原点之上和之下。
它的周期是2π，在每个周期内，其最大值为1，在0、π、2π等点上取到；最小值为-1，在π/2、3π/2等点上取到。
余弦函数的图像与正弦函数的图像完全相似，只是在y轴上取值时，正弦函数是在原点上取到的，而余弦函数是在1和-1之间变化的。
它的周期也是2π，在每个周期内，其最大值为1，在π/2、3π/2等点上取到；最小值为-1，在0、π、2π等点上取到。
(2)正切函数的图像正切函数的图像是一条平移后的正弦函数图像。
其周期为π，其垂直渐近线为x=kπ（k∈Z），它的图像在x轴上有一个渐近点，在每个周期内，正切函数的值都在正无穷和负无穷之间变化。
1专题03 三角函数—2021高考数学（理）高频考点、热点题型归类强化【高频考点及备考策略】在备考时应注意以下几个方面：(1)加强对三角概念的理解，会求三角函数的值域或最值．(2)掌握三角函数的图象与性质，能够判断三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性等． (3)掌握三角函数图象变换，已知图象求参数，“五点法”作图．(4)加强对三角函数定义的理解，掌握同角三角函数的基本关系式和诱导公式． 5)掌握两角和与差的三角公式及二倍角公式． 考向预测：(1)三角函数在指定区间上的值域、最值问题．(2)已知三角函数奇偶性及对称性、周期性等性质求参数或求函数的单调区间． (3)三角函数的图象变换及求三角函数的解析式． (4)三角函数的概念与其他知识相结合；(5)以三角变换为基础，考查三角函数式的求值、三角函数的图象和性质．1．三角函数的图象与性质sin y x =cos y x = tan y x =图象必备知识函数 性 质2定义域 R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x k ππ=+()k ∈Z 时，max 1y =；当22x k ππ=-()k ∈Z 时，min 1y =-．当()2x k k π=∈Z 时，max 1y =；当2x k ππ=+()k ∈Z 时，min 1y =-．既无最大值 也无最小值周期性 2π 2ππ奇偶性奇函数 偶函数奇函数单调性在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是增函数；在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是减函数．在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在[]2,2k k πππ+()k ∈Z 上是减函数．在,22k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭()k ∈Z 上是增函数．对称性对称中心()(),0k k π∈Z对称轴()2x k k ππ=+∈Z对称中心(),02k k ππ⎛⎫+∈Z⎪⎝⎭ 对称轴()x k k π=∈Z对称中心(),02k k π⎛⎫∈Z⎪⎝⎭无对称轴2.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象3(1)“五点法”作图设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0、π2、π、3π2、2π，求出x 的值与相应的y 的值，描点连线可得．(2)函数x y sin =的图象经变换得到)0,0()sin(>>+=ωϕωA x A y 的图象的两种途径途径一：函数x y sin =的图象上所有点向左（右）平移ϕ个单位长度，得到函数)sin(ϕ+=x y 的图象；再将函数)sin(ϕ+=x y 的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的ω1倍（纵坐标不变），得到函数)sin(ϕω+=x y 的图象；再将函数)sin(ϕω+=x y 的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数)sin(ϕω+=x A y 的图象．途径二：函数x y sin =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的ω1倍（纵坐标不变），得到函数x y ωsin =的图象；再将函数x y ωsin =的图象上所有点向左（右）平移ωϕ个单位长度，得到函数)sin(ϕω+=x y 的图象；再将函数)sin(ϕω+=x y 的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数)sin(ϕω+=x A y 的图象．(3)函数)0,0()sin(>>+=ωϕωA x A y 的性质：①振幅：A ；②周期：ωπ2=T ；③频率：πω2=f ；④相位：ϕω+x ；⑤初相：ϕ． 3．三角函数的奇偶性(1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)是奇函数⇔φ＝k π(k ⇔Z)，是偶函数⇔φ＝k π＋π2(k ⇔Z)；(2)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)是奇函数⇔φ＝k π＋π2(k ⇔Z)，是偶函数⇔φ＝k π(k ⇔Z)；(3)函数y ＝A tan(ωx ＋φ)是奇函数⇔φ＝k π(k ⇔Z)． 4．三角函数的对称性(1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的对称轴由ωx ＋φ＝4k π＋π2(k ⇔Z)解得，对称中心的横坐标由ωx ＋φ＝k π(k ⇔Z)解得；(2)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的图象的对称轴由ωx ＋φ＝k π(k ⇔Z)解得，对称中心的横坐标由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ⇔Z)解得；(3)函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的图象的对称中心由ωx ＋φ＝k π2(k ⇔Z)解得．【重要公式】1．同角三角函数之间的关系(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1. (2)商数关系tan α＝sin αcos α.2．诱导公式(1)公式：S α＋2k π；S π±α；S π2±α.(2)巧记口诀：奇变偶不变，符号看象限，α当锐角看． 3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； (2)cos(α±β)＝cos αcos β⇔sin αsin β； (3)tan(α±β)＝tan α±tan β1⇔tan αtan β；(4)辅助角公式：a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)＝a 2＋b 2cos(α＋θ). 4．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝2sin αcos α；(2)cos2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)tan2α＝2tan α1－tan 2α.55．降幂公式(1)sin 2α＝1－cos2α2； (2)cos 2α＝1＋cos2α2.【易错警示】1．忽视定义域求解三角函数的单调区间、最值(值域)以及作图象等问题时，要注意函数的定义域． 2．重要图象变换顺序在图象变换过程中，注意分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．3．忽视A ，ω的符号在求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，要特别注意A 和ω的符号，若ω<0，需先通过诱导公式将x 的系数化为正的．4．易忽略对隐含条件的挖掘，扩大角的范围导致错误．5．同角关系应用错误：利用同角三角函数的平方关系开方时，忽略判断角所在的象限或判断出错，导致三角函数符号错误．6．诱导公式的应用错误：利用诱导公式时，三角函数名变换出错或三角函数值的符号出错．一、选择题1、（2020新课标Ⅰ卷·理科T7）同（2020新课标Ⅰ卷·文科T7）设函数()cos π()6f x x ω=+在[π,π]-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为（ ）真题体验6A.10π9 B. 7π6 C. 4π3D.3π2 【答案】C【解析】由图可得：函数图象过点4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭， 将它代入函数()f x 可得：4cos 096ππω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭又4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点， 所以4962πππω-⋅+=-，解得：32ω=所以函数()f x 的最小正周期为224332T πππω=== 故选：C【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.2、（2020新课标Ⅰ卷·理科T9）已知 π()0,α∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=（ ） A.53B.237C.135【答案】A【解析】3cos28cos 5αα-=，得26cos 8cos 80αα--=，即23cos 4cos 40αα--=，解得2cos 3α=-或cos 2α=（舍去）， 又25(0,),sin 1cos απαα∈∴=-=故选：A.【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.3、（2020新课标Ⅱ卷·理科T2）若α为第四象限角，则（ ） A. cos2α>0 B. cos2α<0C. sin2α>0D. sin2α<0【答案】D【解析】】方法一：由α为第四象限角，可得3222,2k k k Z ππαππ+<<+∈， 所以34244,k k k Z ππαππ+<<+∈此时2α的终边落在第三、四象限及y 轴的正半轴上，所以sin 20α< 故选：D.方法二：当6πα=-时，cos 2cos 03πα⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，选项B 错误； 当3πα=-时，2cos 2cos 03πα⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，选项A 错误；8由α在第四象限可得：sin 0,cos 0αα<>，则sin 22sin cos 0ααα=<，选项C 错误，选项D 正确； 故选：D.【点睛】本题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4、（2020新课标Ⅲ卷·理科T9） 已知2tan θ–tan(θ+π4)=7，则tan θ=（ ） A. –2 B. –1C. 1D. 2【答案】D【解析】2tan tan 74πθθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，tan 12tan 71tan θθθ+∴-=-， 令tan ,1t t θ=≠，则1271tt t+-=-，整理得2440t t -+=，解得2t =，即tan 2θ=. 故选：D.【点睛】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题. （2020新课标Ⅲ卷·文科T5）已知πsin sin =31θθ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，则πsin =6θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（ ）A.12B.3 C.23D.2 【答案】B【解析】由题意可得：13sin sin 12θθθ++=， 则：33sin 12θθ=313cos 2θθ+=9从而有：3sin coscos sin66ππθθ+=， 即3sin 63πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 故选：B.【点睛】本题主要考查两角和与差的正余弦公式及其应用，属于中等题.5、（2020山东省新高考全国Ⅰ卷·T10）同（2020海南省新高考全国Ⅱ卷·T1）下图是函数y = sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)= （ ）A. πsin(3x +）B. πsin(2)3x - C. πcos(26x +）D. 5πcos(2)6x - 【答案】BC【解析】由函数图像可知：22362T πππ=-=，则222T ππωπ===，所以不选A, 当2536212x πππ+==时，1y =-∴()5322122k k Z ππϕπ⨯+=+∈， 解得：()223k k ϕππ=+∈Z ， 即函数的解析式为：102sin 22sin 2cos 2sin 236263y x k x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.而5cos 2cos(2)66x x ππ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭ 故选：BC.【点睛】已知f (x )＝Asin (ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)由ω＝2Tπ即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.6、（2020山东省新高考全国Ⅰ卷·T15）同（2020海南省新高考全国Ⅱ卷·T16）某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与直线BC 的切点，四边形DEFG 为矩形，BC ⊥DG ，垂足为C ，tan ∠ODC =35，//BH DG ，EF =12 cm ，DE=2 cm ，A 到直线DE 和EF 的距离均为7 cm ，圆孔半径为1 cm ，则图中阴影部分的面积为________cm 2．【答案】542π+【解析】设==OB OA r ，由题意7AM AN ==，12EF=，所以5NF =，11因为5AP =,所以45AGP ︒∠=，因为//BH DG ，所以45AHO ︒∠=，因为AG 与圆弧AB 相切于A 点，所以OA AG ⊥， 即OAH △为等腰直角三角形；在直角OQD △中，252OQ r =-，272DQ r =-， 因为3tan 5OQ ODC DQ ∠==，所以3252212522r r -=-， 解得22r =等腰直角OAH △的面积为11222242S =⨯=； 扇形AOB 面积(221322324S ππ=⨯⨯=，所以阴影部分的面积为1215422S S ππ+-=+. 故答案为：542π+. 【点睛】本题主要考查三角函数在实际中应用，把阴影部分合理分割是求解的关键，以劳动实习为背景，体现了五育并举的育人方针.127、（2020天津卷·T8）已知函数()sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭．给出下列结论： ①()f x 的最小正周期为2π；②2f π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最大值； ③把函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，可得到函数()y f x =的图象． 其中所有正确结论的序号是（ ） A. ① B. ①③C. ②③D. ①②③【答案】B【解析】因为()sin()3f x x π=+，所以周期22T ππω==，故①正确；51()sin()sin 122362f ππππ=+==≠，故②不正确； 将函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，得到sin()3y x π=+的图象， 故③正确. 故选：B.【点晴】本题主要考查正弦型函数的性质及图象的平移，考查学生的数学运算能力，逻辑分析那能力，是一道容易题.8、（2020浙江卷·T4）函数y =x cos x +sin x 在区间[–π，π]的图象大致为（ ）13A. B.C. D.【答案】A【解析】因为()cos sin f x x x x =+，则()()cos sin f x x x x f x -=--=-， 即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称， 据此可知选项CD 错误；且x π=时，cos sin 0y ππππ=+=-<，据此可知选项B 错误. 故选：A.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项． 二、填空题1、（2020新课标Ⅱ卷·文科T13）若2sin 3x =-，则cos2x =__________． 【答案】1914【解析】22281cos 212sin 12()1399x x =-=-⨯-=-=. 故答案：19. 【点睛】本题考查了余弦的二倍角公式的应用，属于基础题.2（2020北京卷·T14）若函数()sin()cos f x x x ϕ=++的最大值为2，则常数ϕ的一个取值为________．【答案】2π（2,2k k Z ππ+∈均可）【解析】因为()()()()22cos sin sin 1cos cos sin 1f x x x x ϕϕϕϕθ=++=+++，()22cos sin 12ϕϕ++=，解得sin 1ϕ=，故可取2ϕπ=. 故答案为：2π（2,2k k Z ππ+∈均可）.【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，辅助角公式的应用，以及平方关系的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题.3、（2020江苏卷·T8）已知32)4(sin 2=+απ，则sin 2α的值是____. 【答案】13【解析】22221sin ()()(1sin 2)4222παααα+=+=+121(1sin 2)sin 2233αα∴+=∴= 故答案为：13【点睛】本题考查两角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题.4、（2020江苏卷·T10）将函数y =πsin(2)43x ﹢的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最15近的对称轴的方程是____. 【答案】524x π=-【解析】3sin[2()]3sin(2)6412y x x πππ=-+=- 72()()122242k x k k Z x k Z πππππ-=+∈∴=+∈ 当1k =-时524x π=-故答案为：524x π=-【点睛】本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴，考查基本分析求解能力，属基础题. 5、（2020浙江卷·T13）已知tan 2θ=，则cos2θ=________；πtan()4θ-=______．【答案】 (1).35 (2). 13【解析】2222222222cos sin 1tan 123cos 2cos sin cos sin 1tan 125θθθθθθθθθ---=-====-+++， tan 1211tan()41tan 123πθθθ---===++，故答案为：31,53- 【点睛】本题考查二倍角余弦公式以及弦化切、两角差正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题.考点一 函数)0,0()sin(>>++=ωϕωA k x A y 的图像变换高频考点、热点题型强化16【典例】函数)2,0()sin()(πϕωϕω<>+=x x f 的最小正周期为π，其图像向左平移6π个单位长度后关于原点对称，则函数)(x f 在]2,0[π上的最小值为（ ）A. 21-B.23-C.21D.23【解析】因为函数)2,0()sin()(πϕωϕω<>+=x x f 的最小正周期为πωπ=2，所以2=ω，所以)2sin()(ϕ+=x x f .将函数)(x f 的图像向左平移6π个单位长度后， 可得函数)32sin(])6(2sin[)(ϕπϕπ++=++=x x x f 的图像.根据所得的图像关于原点对称，可得)(3Z k k ∈=+πϕπ，因为2πϕ<，所以3-πϕ=，所以函数)32sin()(π-=x x f又因为]2,0[π∈x ，所以]32,3[32πππ-∈-x ，故当332ππ-=-x ，即x=0时，函数)(x f 取得最小值23-.故选B.【备考策略】解决三角函数图像变换问题的两种方法分别为先平移后伸缩和先伸缩后平移.破解此类题的关键如下： （1）定函数：一定要看准是将哪个函数的图像变换得到另一个函数的图像. （2）变同名：函数的名称要一样.（3）选方法：即选择变换方法.要注意：对于函数)0(sin >=ωωx y 的图像，向左平移ϕ个单位长度得到的是函数)(sin ϕω+=x y 的图象，而不是函数)sin(ϕω+=x y 的图像.【类比演练】（1）函数y=cos (2x+ϕ)(-π≤ϕ<π)的图象向右平移π2个单位长度后,与函数y=sin(2x+π3)的图象17重合,则ϕ= .【解析】将y=cos (2x+ϕ)的图象向右平移π2个单位长度后得到y=cos[2(x -π2)+ϕ]的图象,化简得y=-cos (2x+ϕ),又可变形为y=sin(2x+ϕ-π2).由题意可得ϕ-π2=π3+2kπ(k⇔Z),所以ϕ=5π6+2kπ(k⇔Z),结合-π≤ϕ<π知ϕ=5π6. 答案：65π. （2）已知函数)0()sin()(>+=ωϕωx x f ,若f(x)的图象向左平移3π个单位所得的图象与f(x)的图象向右平移6π个单位所得的图象重合,则ω的最小值为________. 【解析】函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0),把f(x)的图象向左平移3π个单位所得的图象为 )3sin(])3(sin[ϕωπωϕπω++=++=x x y .把f(x)的图象向右平移6π个单位所得的图象为)6sin(])6(sin[ϕωπωϕπω+-=+-=x x y ， 根据题意可得)3sin(ϕωπω++=x y 和)6sin(ϕωπω+-=x y 的图象重合,故ϕωππϕωπ+-=+623k 求得ω=4k,故ω的最小值为4.答案:4考点二 求函数)0,0()sin(>>+=ωϕωA x A y 的图像的周期性、单调性、对称性【典例】已知向量)2sin ,1(),3,cos 2(2x n x m ==，设函数n m x f ⋅=)(，则下列关于函数)(x f y =的性质的描述正确的是（ ）A.图像关于直线12π=x 对称 B.图像关于点)0,125(π对称18C.周期为π2D.在)0,3(π-上单调递增【解析】由题意得1)62sin(21sin 32cos sin 3cos 2)(2++=++=+=πx x x x x x f ，当12π=x 时，13sin)62sin(±≠=+ππx ，所以函数)(x f 的图像不关于直线12π=x 对称 ；当125π=x 时，11)62sin(2,0)62sin(=++=+ππx x ，所以函数)(x f 的图像关于点)1,125(π对称； 由)(x f 的解析式易知函数)(x f 的最小正周期ππ==22T ； 当)0,3(π-∈x 时，)6,2(62πππ-∈+x ，所以函数)(x f 在在)0,3(π-上单调递增. 故选D. 【备考策略】 1、周期的计算公式:函数)0()cos(),sin(>+=+=ωϕωϕωx A y x A y 的周期为ωπ2=T ,函数)0()tan(>+=ωϕωx A y 的周期为ωπ=T 求解. 2、奇偶性的判断方法:三角函数中奇函数一般可化为x A y ωsin =或x A y ωtan =的形式， 而偶函数一般可化为b x A y +=ωcos 的形式.3、解决对称性问题的关键：熟练掌握三角函数的对称轴、对称中心. 方法：整体处理法、代入验证法对于函数)0()cos(),sin(>+=+=ωϕωϕωx A y x A y ,其对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心的横坐标一定是函数的零点,因此在判断直线0x x =或点)0,(0x 是否是函数的对称轴或对称中心时,可通过19检验)(0x f 的值进行判断.4、确定函数)0,0()sin(>>+=ωϕωA x A y 单调区间的方法采用“换元”法整体代换,将‘ϕω+x ’看作一个整体,可令“ϕω+=x z ”,即通过求z A y sin =的单调区间而求出函数的单调区间.若0<ω,则可利用诱导公式先将x 的系数转变为正数,再求单调区间. 【类比演练】已知函数)0()2sin(2)(πϕϕ<<+=x x f ,若将函数)(x f 的图象向右平移6π个单位后关于y 轴对称,则下列结论中不正确的是( )A.65πϕ=B.)0,12(π是)(x f 图象的一个对称中心 C.2)(-=ϕf D.6π-=x 是)(x f 图象的一条对称轴【解析】 函数)2sin(2)(ϕ+=x x f 的图象向右平移6π个单位,可得)32sin(2)(ϕπ+-=x x g ， 且)32sin(2)(ϕπ+-=x x g 的图象关于y 轴对称,所以Z k k ∈+=+-,23ππϕπ，解得Z k k ∈+=,65ππϕ，当k=0时可得65πϕ= ,故)652sin(2)(π+=x x f ，所以225sin 2)6535sin(2)(==+=πππϕf , 所以2)(-=ϕf 不正确.故选C.考点三 求函数)0,0()sin(>>++=ωϕωA k x A y 的解析式【典例】函数y=Asin(ωx+ϕ))2,0,0(πϕω<>>A 的部分图象如图所示,则( )A.y=sin(x -π3) B.y=sin(23x -2π9) C.y=cos(4x+π6) D.y=sin(2x+π3)20【解析】由题中图象知,A=1,34T=π3-(-5π12),所以T=2πω=π,所以ω=2. 又当x=π3时,y=0,所以0=sin(2×π3+ϕ),所以ϕ=kπ-2π3,k⇔Z. 当k=1时,ϕ=π3,所以y=sin(2x+π3),故选D. 【备考策略】由三角函数图像求y=Asin(ωx+ϕ))0,0(>>ωA 的解析式，通常由最高点或最低点确定A ，由周期确定ω，由特殊点确定ϕ.其中对于ϕ的求解，往往需结合题目中给出的ϕ的取值范围.【类比演练】（1）函数)cos()(ϕω+=x x f 的部分图象如图所示,则ϕω,,A 的值为( ) A. 41ππ，， B.41ππ，，-C.421π，，D.41ππ-，，【解析】.由题图知,周期T=241-452=）（,A=1所以22=ωπ,所以ω=π.由Z k k ∈+=+⨯,2241ππϕπ,得Z k k ∈+=,24ππϕ,不妨取4πϕ=.故选A. （2）已知函数f(x)=Asin(ωx+ϕ)(A>0,ω>0,-π2<ϕ<π2),则函数g(x)=f(2x -1)的单调递增区间是( )21A. [4k -1,4k+1](k⇔Z)B. [4k+1,4k+3](k⇔Z)C. [8k -2,8k+2](k⇔Z)D. [8k+2,8k+6](k⇔Z)【解析】显然A=3,2T =7-3=4,得ω=π4, 所以f(x)=3sin(π4x+ϕ),又f(5)=3sin(5π4+ϕ)=-3,得ϕ=π4, 所以f(x)=3sin(π4x+π4),所以g(x)=3sin[π4(2x -1)+π4]=3sinπ2x , 由不等式2kπ-π2≤π2x ≤2kπ+π2,k⇔Z, 解得4k -1≤x≤4k+1,k⇔Z,即函数g(x)的单调递增区间为[4k -1,4k+1](k⇔Z).故选A.考点四 三角恒等变换【典例】（1）已知cos （α+π6）-sin α=43,则sin （α+11π6）的值是( ) A.-23 B.-45C.23 D.45【解析】cos(α+π6)-sin α=43⇔3cos α-32sin α=43⇔3(12cosα-3sin α)=43⇔sin(π6-α)=45. sin(α+11π6)=sin[2π+(α-π6)]=sin(α-π6)=-sin （π6-α）=-45. 故选B. （2）已知sin α=5,sin(α-β)=-10,α,β均为锐角,则角β等于( )A.5π12B.π3C.π4D.π6【解析】因为α,β均为锐角,所以-π2<α-β<π2.22又sin(α-β)=10所以cos(α-310. 又5所以25 所以sin β=sin [α-(α-β)]=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β) 531025102. 所以β=π4.故选C.（3）若32cos )sin(),,0(=+-∈ααππα,则ααcos sin -的值为（ ）A.32 B.32- B.34 D.34- 【解析】由诱导公式得32cos sin cos )sin(=+=+-ααααπ, 平方得92cos sin 21)cos (sin 2=+=+αααα, 则097cos sin 2<-=αα, 所以916cos sin 2-1)cos (sin 2==-αααα, 又因为),0(πα∈,所以0cos sin >-αα,所以34cos sin =-αα，故选C. 【备考策略】1、“给值求值”关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异. ⇔一般可以适当变换已知式,求得另外函数式的值,以备应用; ⇔变换待求式,便于将已求得的函数值代入,从而达到解题的目的.232、“凑配角”：用已知角和特殊角将所求角表示出来，例如：);4(24);(;)(αππαπαββαββαα--=+--=-+= )]()[(21)];()[(21;22βαβαββαβαααα--+=-++=⋅=等.3、“给值求角”实质就是转化为“给值求值”.解决此类题的关键是： （1）求值.求出所求角的某种三角函数值.（2）界定范围.根据题设（隐含条件）确定所求角的取值范围.（3）求角.由所得函数值结合函数的单调性及角的取值范围确定角的大小.【类比演练】（1）计算020200155sin 155cos 20sin 110sin -的值为( ) A. 21-B.21C.23D.23-【解析】原式=2140sin 40sin 2150cos 20sin 20sin 25sin 25cos 20sin 70sin 00000020200===-. （2）已知α,β⇔(0,π),且tan(α-β)=12,tan β=-17,则2α-β的值为 .【解析】因为tan α=tan[(α-β)+β]=()()tan tan 1tan tan αββαββ-+--=112711127-+⨯=13>0,所以0<α<π2. 又因为tan 2α=22tan 1tan αα-=2123113⨯⎛⎫- ⎪⎝⎭=34>0,所以0<2α<π2, 所以tan(2α-β)=tan 2tan 1tan 2tan αβαβ-+=314731147+-⨯=1. 因为tan β=-17<0,所以π2<β<π,-π<2α-β<0,所以2α-β=-3π4.24（3）已知函数),0(),62sin()(ππ∈-=x x x f ，若方程53)(=x f 的解为)0(,2121π<<<x x x x ，则=-)sin(21x x （ ）A.54-B.53- C.32- D.33-【解析】因为π<<x 0，所以)611,6(62πππ-∈-x .令)(262Z k k x ∈+=-πππ，可得)(23Z k k x ∈+=ππ. 因为方程53)(=x f 的解为)0(,2121π<<<x x x x ，所以3221π=+x x ，所以1232x x -=π， 所以)62cos()322sin()sin(1121ππ--=-=-x x x x . 因为122132,x x x x -=<π，所以301π<<x ，所以)2,6(621πππ-∈-x .由53)62sin()(11=-=πx x f 得54)62cos(1=-πx ， 所以=-)sin(21x x 54-.故选A.1、若函数f (x )＝3sin(2x ＋θ)＋cos(2x ＋θ)(0<θ<π)的图象关于(π2，0)中心对称，则函数f (x )在[－π4，π6]上的最小值是( )A ．－1B ．－3C ．－12D ．－32[解析] f (x )＝2sin(2x ＋θ＋π6)，又图象关于(π2，0)中心对称，所以2×π2＋θ＋π6＝k π，k ⇔Z .强化训练25所以θ＝k π－7π6，又0<θ<π，所以θ＝5π6，所以f (x )＝－2sin2x ， 因为x ⇔[－π4，π6]，所以2x ⇔[－π2，π3]，f (x )⇔[－3，2]，所以f (x )的最小值是－ 3.2、已知ω>0，在函数y ＝2sin ωx 与y ＝2cos ωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则ω＝ .[解析] 由题意，两函数图象交点间的最短距离即相邻的两交点间的距离，设相邻的两交点坐标分别为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，易知|PQ |2＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2，其中|y 2－y 1|＝2－(－2)＝22，|x 2－x 1|为函数y ＝2sin ωx －2cos ωx ＝22sin(ωx －π4)的两个相邻零点之间的距离，恰好为函数最小正周期的一半，所以(23)2＝(2π2ω)2＋(22)2，ω＝π2. 3、设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间[π6，π2]上具有单调性，且f (π2)＝f (2π3)＝－f (π6)，则f (x )的最小正周期为 .[解析] 由f (x )在区间[π6，π2]上具有单调性，且f (π2)＝－f (π6)知，f (x )有对称中心(π3，0)，由f (π2)＝f (23π)知f (x )有对称轴x ＝12(π2＋23π)＝712π.记f (x )的最小正周期为T ，则12T ≥π2－π6，即T ≥23π.故712π－π3＝π4＝T4，解得T ＝π.4、已知⇔ABC 中,137cos sin -=+A A ,则tanA= . 【解析】解法一：列出方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+1cos sin 137cos sin 22A A A A由第一个方程得,A A sin 137cos --=,代入第二个方程得1)sin 137(sin 22=--+A A ，26即016960sin 137sin 2=-+A A ， 解得135sin =A 或1312sin -=A ， 因为⇔ABC 中0<A<π,所以sinA>0,135sin =A ，1312cos -=A ，所以125tan -=A . 答案:125-. 解法二：由已知得sinA>0,cosA<0, |sin A|<|cos A|,tanA>-1, 由137cos sin -=+A A 两边平方,整理得16960cos sin -=⋅A A ， 即16960cos sin cos sin 22-=+⋅A A A A ， 分子分母同除以A 2cos 得169601tan tan 2-=+A A ， 解得125tan -=A . 5、已知函数f (x )＝1＋2sin(2x －π3)，x ⇔[π4，π2]．若不等式f (x )－m <2在x ⇔[π4，π2]上恒成立，则实数m 的取值范围为 .[解析] 因为x ⇔[π4，π2]，所以2x －π3⇔[π6，2π3]，即1＋2sin(2x －π3)⇔[2,3]，所以f (x )max ＝3，不等式f (x )－m <2在x ⇔[π4，π2]上恒成立等价于m >f (x )max －2，即m 的取值范围是(1，＋∞)．6、将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ⇔R )的图象向左平移m (m >0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A ．π6B ．π1227C ．π3D ．5π6[解析] 设f (x )＝3cos x ＋sin x ＝2(32cos x ＋12sin x )＝2sin(π3＋x )， 向左平移m 个单位长度得g (x )＝2sin(x ＋m ＋π3)．⇔g (x )的图象关于y 轴对称， ⇔g (x )为偶函数， ⇔π3＋m ＝π2＋k π(k ⇔Z )， ⇔m ＝π6＋k π(k ⇔Z )，又m >0，⇔m 的最小值为π6.7、已知A ，B ，C ，D 是函数y ＝sin(ωx ＋π)(ω>0,0<φ<π2)一个周期内的图象上的四个点，如图所示，A (－π6，0)，B 为y 轴上的点，C 为图象上的最低点，E 为该图象的一个对称中心，B 与D 关于点E 对称，CD →在x 轴上的投影为π12，则( )A ．ω＝2，φ＝π3B ．ω＝2，φ＝π6C ．ω＝12，φ＝π3D ．ω＝12，φ＝π6[解析] 由题意可知T 4＝π6＋π12＝π4，⇔T ＝π，ω＝2ππ＝2.28又sin[2×(－π6)＋φ]＝0,0<φ<π2，⇔φ＝π3.故选A ．8、已知函数)23sin(2)3cos(2)(x x x f -+-=ππ. (1)求函数)(x f 的单调减区间.(2)求函数)(x f 的最大值并求)(x f 取得最大值时的x 的取值集合.(3)若56)(=x f ,求)32cos(π-x 的值. 【解析】f(x)=2cosxcos π3+2sinxsin π3-2cosx=cosx+3sinx -2cosx=3sinx -cosx=2sin (x -π6).(1)令2kπ+π2≤x -π6≤2kπ+32π(k⇔Z),所以2kπ+2π3≤x≤2kπ+5π3(k⇔Z),所以单调递减区间为)(],352,322[Z k k k ∈++ππππ. (2)f(x)取最大值2时,x -π6=2kπ+π2(k⇔Z),则x=2kπ+2π3(k⇔Z).所以f(x)的最大值是2,取得最大值时的x 的取值集合是{x |x =2kπ+2π3,k ∈Z}.(3)f(x)=65,即2sin (x -π6)=65,所以sin (x -π6)=35.所以cos (2x -p 3)=1-2sin 2(x -π6)=1-2×(35)2=725.。
2021年高考数学三角函数专项知识点总结知识点总结2-1tan2A=(2tanA)/(1-tanA )(注：SinA 是sinA的平方 sin2(A) )三倍角公式sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)三倍角公式推导sin3a=sin(2a+a)=sin2acosa+cos2asin)/2tan (α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))推导公式tanα+cotα=2/sin2αtanα-cotα=-2cot2α1+cos2α=2cos α1-cos2α=2sin α1+sinα=(sinα/2+cosα/2)=2sina(1-sin2a)+(1-2sin2a)sina=3sina-4sin3acos3a=cos(2a+a)=cos2acosa-sin2asina=(2cos2a-1)cosa-2(1-sin2a)cosa=4cos3a-3cosasin3a=3sina-4sin3a=4sina(3/4-sin2a)=4sina[(√3/2)2-sin2a]=4sina(sin260°-sin2a)=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)=4sina_2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]_2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] =4sinasin(60°+a)sin(60°-a)cos3a=4cos3a-3cosa=4cosa(cos2a-3/4)=4cosa[cos2a-(√3/2)2]=4cosa(cos2a-cos230°)=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)=4cosa_2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]_{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/ 2]}=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)上述两式相比可得tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)半角公式tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.sin (a/2)=(1-cos(a))/2cos (a/2)=(1+cos(a))/2tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))三角和sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·si nγ-sinα·sinβ·sinγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-si nα·cosβ·si nγ-sinα·sinβ·cosγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)两角和差cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)和差化积sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)积化和差sinαsinβ = [cos(α-β)-cos(α+β)] /2cosαcosβ = [cos(α+β)+cos(α-β)]/2sinαcosβ = [sin(α+β)+sin(α-β)]/2cosαsinβ = [sin(α+β)-s in(α-β)]/2诱导公式sin(-α) = -sinαcos(-α) = cosαtan (—a)=-tanαsin(π/2-α) = cosαcos(π/2-α) = sinαsin(π/2+α) = cosαcos(π/2+α) = -sinαsin(π-α) = sinαcos(π-α) = -cosαsin(π+α) = -sinαcos(π+α) = -cosαα) +(cosα) =1(2)1+(tanα) =(secα)(3)1+(cotα) =(cscα)证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα) ,第二个除(cosα) 即可(4)对于任意非直角三角形,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC证:A+B=π-Ctan(A+B)=tan(π-C)(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC得证同样可以得证,当_+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)(7)(cosA) +(cosB) +(cosC) =1-2cosAcosBcosC(8)(sinA) +(sinB) +(sinC) =2+2cosAcosBcosC(9)sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π_2/n)+sin(α+2π_3/n)+……+sin[α+2π_(n-1)/n]=0cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π_2/n)+cos(α+2π_3/n)+……+cos[α+2π_(n -1)/n]=0 以及sin (α)+sin (α-2π/3)+sin (α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0小编为大家提供的____年高考数学三角函数专项知识点总结最后祝考生们学习进步。
三角函数、解三角形一、任意角和弧度制及任意角的三角函数1.任意角的概念(1)我们把角的概念推广到任意角，任意角包括正角、负角、零角．①正角：按__逆时针__方向旋转形成的角．②负角：按__顺时针__方向旋转形成的角．③零角：如果一条射线__没有作任何旋转__，我们称它形成了一个零角．(2)终边相同角：与α终边相同的角可表示为：{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}，或{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．(3)象限角：角α的终边落在__第几象限__就称α为第几象限的角，终边落在坐标轴上的角不属于任何象限.象限角轴线角2．弧度制(1)1度的角：__把圆周分成360份，每一份所对的圆心角叫1°的角__.(2)1弧度的角：__弧长等于半径的圆弧所对的圆心角叫1弧度的角__.(3)角度与弧度的换算：360°＝__2π__rad,1°＝__π180＝(__180π__)≈57°18′.(4)若扇形的半径为r，圆心角的弧度数为α，则此扇形的弧长l＝__|α|·r__，面积S＝__12|α|r2__＝__12lr__.3．任意角的三角函数定义(1)设α是一个任意角，α的终边上任意一点(非顶点)P的坐标是(x，y)，它与原点的距离为r，则sinα＝__yr__，cosα＝__xr__，tanα＝__yx__.(2)三角函数在各象限的符号是：(3)三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的__正弦__线、__余弦__线和__正切__线．4．终边相同的角的三角函数sin(α＋k·2π)＝__sinα__，cos(α＋k·2π)＝__cosα__，tan(α＋k·2π)＝__tanα__(其中k∈Z)，即终边相同的角的同一三角函数的值相等．重要结论1．终边相同的角不一定相等，相等角的终边一定相同，在书写与角α终边相同的角时，单位必须一致．2．确定αk(k∈N*)的终边位置的方法(1)讨论法：①用终边相同角的形式表示出角α的范围．②写出αk的范围．③根据k的可能取值讨论确定αk的终边所在位置．(2)等分象限角的方法：已知角α是第m(m＝1,2,3,4)象限角，求αk是第几象限角．①等分：将每个象限分成k等份．②标注：从x轴正半轴开始，按照逆时针方向顺次循环标上1,2,3,4，直至回到x轴正半轴．③选答：出现数字m的区域，即为αk所在的象限．如α2判断象限问题可采用等分象限法．二、同角三角函数的基本关系式与诱导公式1．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：__sin 2x ＋cos 2x ＝1__. (2)商数关系：__sin xcos x ＝tan x __.2．三角函数的诱导公式1．同角三角函数基本关系式的变形应用：如sin x ＝tan x ·cos x ，tan 2x ＋1＝1cos 2x ，(sin x ＋cos x )2＝1＋2sin x cos x 等． 2．特殊角的三角函数值表“奇变偶不变，符号看象限”．“奇”与“偶”指的是诱导公式k ·π2＋α中的整数k 是奇数还是偶数．“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k 是奇数，则正、余弦互变；若k 为偶数，则函数名称不变．“符号看象限”指的是在k ·π2＋α中，将α看成锐角时k ·π2＋α所在的象限．4.sin x ＋cos x 、sin x －cos x 、sin x cos x 之间的关系sin x ＋cos x 、sin x －cos x 、sin x cos x 之间的关系为(sin x ＋cos x )2＝1＋2sin x cos x ，(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ，(sin x ＋cos x )2＋(sin x －cos x )2＝2.因此已知上述三个代数式中的任意一个代数式的值，便可求其余两个代数式的值．三、两角和与差的三角函数 二倍角公式1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin2α＝__2sin αcos α__；(2)cos2α＝__cos 2α－sin 2α__＝__2cos 2α__－1＝1－__2sin 2α__； (3)tan2α＝__2tan α1－tan 2α__(α≠k π2＋π4且α≠k π＋π2，k ∈Z )． 3．半角公式(不要求记忆) (1)sin α2＝±1－cos α2； (2)cos α2＝±1＋cos α2；(3)tan α2＝±1－cos α1＋cos α＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.重要结论1．降幂公式：cos 2α＝1＋cos2α2，sin 2α＝1－cos2α2. 2．升幂公式：1＋cos2α＝2cos 2α，1－cos2α＝2sin 2α. 3．公式变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan α·tan β)． 1－tan α1＋tan α＝tan(π4－α)；1＋tan α1－tan α＝tan(π4＋α)cos α＝sin2α2sin α，sin2α＝2tan α1＋tan 2α，cos2α＝1－tan 2α1＋tan 2α，1±sin2α＝(sin α±cos x )2.4．辅助角(“二合一”)公式： a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)， 其中cos φ＝，sin φ＝ 5.三角形中的三角函数问题在三角形中，常用的角的变形结论有：A ＋B ＝π－C ；2A ＋2B ＋2C ＝2π；A2＋B 2＋C 2＝π2.三角函数的结论有：sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C ，tan(A ＋B )＝－tan C ，sin A ＋B 2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C 2.A >B ⇔sin A >sin B ⇔cos A <cos B .四、三角函数的图象与性质1．周期函数的定义及周期的概念(1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做__周期函数__.非零常数T叫做这个函数的__周期__.如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小__正周期__.(2)正弦函数、余弦函数都是周期函数，__2kπ(k∈Z，k≠0)__都是它们的周期，最小正周期是__2π__.2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质π重要结论1．函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的五点作图法的五个关键点是__(0,0)__、__(π2，1)__、__(π，0)__、__(3π2，－1)__、__(2π，0)__.函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的五点作图法的五个关健点是__(0,1)__、__(π2，0)__、__(π，－1)__、__(3π2，0)__、__(2π，1)__.2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ＝2π|ω|，函数y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为T ＝π|ω|.3．正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14周期．而正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期．4．三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx 的形式，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式．五、函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及应用1．五点法画函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0)的图象(1)列表：(2)描点：__(－φω，0)__，__(π2ω－φω，A )__，(πω－φω，0)，(3π2ω－φω，－A )__，(2πω－φω，0)__.(3)连线：把这5个点用光滑曲线顺次连接，就得到y ＝A sin(ωx ＋φ)在区间长度为一个周期内的图象．(4)扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得y ＝A sin(ωx ＋φ)在R 上的图象2．由函数y ＝sin x 的图象变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的步骤3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，x ∈[0，＋∞)的物理意义 (1)振幅为A . (2)周期T ＝__2πω__.(3)频率f ＝__1T __＝__ω2π__. (4)相位是__ωx ＋φ__. (5)初相是φ.重要结论1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间的“长度 ”为T2.2．“五点法”作图中的五个点：①y ＝A sin(ωx ＋φ)，两个最值点，三个零点；②y ＝A cos(ωx ＋φ)，两个零点，三个最值点．3．正弦曲线y ＝sin x 向左平移π2个单位即得余弦曲线y ＝cos x .六、正弦定理、余弦定理1．正弦定理和余弦定理 ①a ＝__2R sin A __，b ＝__2R sin B __，c ＝__2R sin C __；②sin A ＝__a 2R __，sin B ＝__b2R__，sin C＝__c2R __；③ab c ＝__sin Asin B sin C __④a sin B ＝b sin A ，b sin C ＝c sin B ，a sin C ＝c sin Aa <b sin A a ＝b sin A b sin A < a <b a ≥b a >b a ≤b (1)S ＝12a ·h a (h a 表示a 边上的高)．(2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A .(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为内切圆半径)．重要结论在△ABC 中，常有以下结论 1．∠A ＋∠B ＋∠C ＝π.2．在三角形中大边对大角，大角对大边．3．任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．4．sin(A ＋B )＝sin C ；cos(A ＋B )＝－cos C ；tan(A ＋B )＝－tan C ；sin A ＋B 2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C 2. 5．tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ·tan B ·tan C .6．∠A >∠B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ⇔cos A <cos B .7．三角形式的余弦定理sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C －2sin B sin C cos A ，sin 2B ＝sin 2A ＋sin 2C －2sin A sin C cos B ，sin 2C ＝sin 2A ＋sin 2B －2sin A sin B cos C .8．若A 为最大的角，则A ∈[π3，π)；若A 为最小的角，则A ∈(0，π3]；若A 、B 、C 成等差数列，则B ＝π3. 9.三角形形状的判定方法(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如a ＝2R sin A ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C 等)，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如sin A ＝sin B ⇔A ＝B ；sin(A －B )＝0⇔A ＝B ；sin2A ＝sin2B ⇔A ＝B 或A ＋B ＝π2等． (2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，如sin A ＝a 2R ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc等，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断．(3)注意无论是化边还是化角，在化简过程中出现公因式不要约掉，否则会有漏掉一种形状的可能．。
第七单元 三角函数考点一 三角函数求值1.(2017年北京卷)在平面直角坐标系xOy 中,角α与角β均以Ox 为始边,它们的终边关于y 轴对称.若sin α=13,则cos (α-β)= .【解析】∵α与β关于y 轴对称,∴α+β=π+2k π(k ∈Z ),则sin α=sin β=13,∴|cosα|=2√23,cos α=-cos β,∴cos (α-β)=-cos 2α+sin 2α=-79. 【答案】-792.(2016年全国Ⅲ卷) 若tan α=34,则cos 2α+2sin2α=( ).A .6425B .4825C .1D .1625【解析】cos2α+2sin2α=cos 2α+4sinαcosαcos 2α+sin 2α=1+4tanα1+tan 2α=1+4×341+(34)2=6425.【答案】A3.(2016年上海卷)方程3sin x=1+cos2x 在区间[0,2π]上的解为 .【解析】由3sin x=1+cos2x ,得3sin x=2-2sin 2x ,所以2sin 2x+3sin x-2=0,解得sin x=12或sin x=-2(舍去),所以原方程在区间[0,2π]上的解为π6或5π6.【答案】π6或5π6考点二 三角函数的图象与性质4.(2017年全国Ⅰ卷)已知曲线C 1:y=cos x ,C 2:y=sin (2x +2π3),则下面结论正确的是( ).A .把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线C 2B .把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线C 2C .把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线C 2D .把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线C 2【解析】因为C 2:y=sin (2x +2π3)=sin (2x +π2+π6)=cos (2x +π6),所以只需把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,再向左平移π12个单位长度,即得到曲线C 2.【答案】D5.(2017年全国Ⅲ卷)设函数f (x )=cos (x +π3),则下列结论错误的是( ).A .f (x )的一个周期为-2πB .y=f (x )的图象关于直线x=8π3对称C .f (x+π)的一个零点为x=π6D .f (x )在(π2,π)上单调递减【解析】函数f (x )的周期为2k π(k ∈Z ),故A 正确;由x+π3=k π(k ∈Z ),得x=k π-π3(k ∈Z ),当k=3时,x=8π3,故B 正确;f (x+π)=-cos (x +π3),则当x=π6时,f (x+π)=0,故C 正确;函数f (x )的图象是由函数y=cos x 的图象向左平移π3个单位长度得到的,故函数f (x )在(-π3,2π3)上单调递减,在(2π3,5π3)上单调递增,故D 错.【答案】D6.(2017年全国Ⅱ卷)函数f (x )=sin 2x+√3cos x-34(x ∈[0,π2])的最大值是 .【解析】f (x )=sin 2x+√3cos x-34=1-cos 2x+√3cos x-34=-(cosx -√32)2+1,∵x ∈[0,π2],∴cos x ∈[0,1],∴f (x )的最大值为1.【答案】17.(2017年天津卷)设函数f (x )=2sin (ωx+φ),x ∈R ,其中ω>0,|φ|<π.若f (5π8)=2,f (11π8)=0,且f (x )的最小正周期大于2π,则( ).A.ω=23,φ=π12B .ω=23,φ=-11π12C .ω=13,φ=-11π24D .ω=13,φ=7π24【解析】由题意知,函数f (x )的最小正周期为T=4(11π8-5π8)=3π,∴ω=23,即f (x )=2sin (23x +φ).∵|φ|<π,f (5π8)=2,∴φ=π12.【答案】A8.(2016年全国Ⅱ卷)若将函数y=2sin2x 的图象向左平移π12个单位长度,则平移后图象的对称轴为( ).A .x=kπ2-π6(k ∈Z )B .x=kπ2+π6(k ∈Z )C .x=kπ2-π12(k ∈Z )D.x=kπ2+π12(k∈Z)【解析】平移后的图象对应的解析式为y=2sin2(x+π12),令2(x+π12)=kπ+π2(k∈Z),得对称轴方程为x=kπ2+π6(k∈Z).【答案】B9.(2016年全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤π2),x=-π4为f(x)的零点,x=π4为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在(π18,5π36)上单调,则ω的最大值为().A.11B.9C.7D.5【解析】由已知可得-π4ω+φ=kπ,k∈Z,①π4ω+φ=mπ+π2,m∈Z,②由①+②,得2φ=(k+m)π+π2.因为|φ|≤π2,所以k+m=0或k+m=-1,即φ=±π4.由①-②,得ω=2(m-k)+1,即ω为正奇数.因为函数f(x)在区间(π18,5π36)上单调,所以只要该区间位于函数f(x)图象的两条相邻对称轴之间即可,且5π36-π18≤12×2πω,即ω≤12.①当φ=π4时,f(x)=sin(ωx+π4),则kπ-π2≤π18ω+π4且5π36ω+π4≤kπ+π2,k∈Z,解得36k-272≤ω≤36k+95.由于ω≤12,故k最大取1,此时4.5≤ω≤9,故ω的最大值为9.②当φ=-π4时,f(x)=sin(ωx-π4),则kπ-π2≤π18ω-π4且5π36ω-π4≤kπ+π2,k∈Z,解得36k-92≤ω≤36k+275.由于ω≤12,故k最大取0,此时ω≤275,故ω的最大值为5.综上可知,ω的最大值为9.【答案】B高频考点:三角函数的图象和性质、同角三角函数的基本关系式和诱导公式.命题特点:1.三角函数的图象和性质是高考考查的重点内容,而同角三角函数的基本关系式和诱导公式一般与性质和恒等变换相结合考查;2.关于函数图象的平移考查得比较多,而函数图象的性质考查得比较全面;3.以容易题和中档题为主,但考查的内容比较灵活.§7.1三角函数的概念、同角三角函数关系及诱导公式一角的概念1.任意角:(1)定义:角可以看成平面内的绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的.(2)分类:角按旋转方向分为、和.2.所有与角α终边相同的角,连同角α在内,构成的角的集合是S={β|β=k·360°+α,k∈Z}.3.象限角:使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,那么角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角;如果角的终边在坐标轴上,那么这个角不属于任何一个象限.二弧度制1.角度制和弧度制的互化:180°=πrad,1°=π180rad,1rad=(180π)°.2.扇形的弧长公式:l=|α|r ,扇形的面积公式:S=12lr=12|α|r 2.三 任意角的三角函数任意角α的终边与单位圆交于点P (x ,y )时,sin α= ,cos α= ,tan α=y x(x ≠0).四 同角三角函数的基本关系1.平方关系: .2.商数关系: .五 诱导公式组数一二三四 五六角 2k π+α(k ∈Z ) π+α -απ-απ2-α π2+α 正弦 sin α -sin α -sin α sin α 余弦 cos α -cos α cos α -cos α 正切tan αtan α -tan α -tan α口诀函数名不变符号看象限函数名改变 符号看象限记忆 规律奇变偶不变,符号看象限已知点P (sin α,cos α)在第二象限,则角α的终边在( ).A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限cos 2π3+tan225°=( ).A.12 B .-12C .32D .-32已知α∈(-π,-π2),且sin α=-12,则cos α等于( ).A .-12B .12C .-√32D .√32已知tan (2017π+α)=12,则cosα-3sinα2sinα+cosα等于( ).A .-2B .12C .-23D .-14在平面直角坐标系中,角α的终边过点P (2,1),则cos 2α+sin2α的值为 .已知一扇形的圆心角为α(0<α<2π),所在圆的半径为R.(1)若α=π3,R=10cm ,求扇形的弧长及面积;(2)若扇形的周长是一定值C (C>0),当α为多少弧度时,该扇形面积最大?知识清单一、1.(1)一条射线 图形 (2)正角 负角 零角 三、y x四、1.sin 2α+cos 2α=1 2.sinαcosα=tan α 五、cos α cos α sin α -sin α 基础训练1.【解析】由题意得{sinα<0,cosα>0,所以角α的终边在第四象限,故选D .【答案】D2.【解析】cos 2π3+tan225°=-12+1=12.【答案】A3.【解析】|cosα|=√1−sin 2α=√1−(-12)2=√32,∵α∈(-π,-π2),∴cos α<0,∴cos α=-√32,故选C .【答案】C4.【解析】tan (2017π+α)=tan α=12,所以cosα-3sinα2sinα+cosα=1−3tanα2tanα+1=-14,故选D .【答案】D5.【解析】∵平面直角坐标系中,角α终边过点P (2,1),∴x=2,y=1,r=|OP|=√5,∴cos α=x r =2√5=2√55,sin α=y r =1√5=√55,则cos 2α+sin2α=45+2sin αcos α=45+45=85.【答案】856.【解析】(1)设弧长为l ,扇形面积为S ,则α=π3,R=10,l=π3×10=10π3cm , S=12×10π3×10=50π3cm 2. (2)(法一)扇形周长C=2R+l=2R+αR ,α=CR-2,S 扇=12α·R 2=12(C R -2)R 2=12CR-R 2=-(R 2-C2R)=-(R -C 4)2+C 216,∴当R=C4时,扇形面积取最大值C 216,此时α=CR -2=2.(法二)扇形周长C=2R+l=2R+αR ,∴R=C 2+α. ∴S 扇=12α·R 2=12α·(C2+α)2=C 22α·14+4α+α2=C 22·1α+4α+4≤C 216.当且仅当α2=4,即α=2时,扇形面积取最大值C 216.题型一 任意角的三角函数【例1】已知角α的终边经过点P (x ,-√2)(x ≠0),且cos α=√55x ,则√5sin α+1tanα= .【解析】∵P (x ,-√2)(x ≠0),∴点P 到原点的距离r=√x 2+2.又cos α=√55x ,∴cos α=x√x 2+2=√55x.∵x ≠0,∴x=±√3,∴r=√5.当x=√3时,√5sin α+1tanα=-2√2+√62;当x=-√3时,√5sin α+1tanα=-2√2-√62.【答案】-2√2±√62【变式训练1】已知角2α的顶点在原点,始边与x 轴的正半轴重合,终边过点(-1,√3),2α∈[2π,4π),则sin α等于( ).A.-12B .12C .-√32D .23【解析】由题意得,角2α的终边在第二象限且tan2α=-√3,∴2α=2π+2π3,即α=π+π3,∴sin α=-√32.【答案】C题型二 扇形的弧长、面积公式的应用【例2】已知一扇形的圆心角为α(α>0),所在圆的半径为R.(1)若α=60°,R=10,求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积. (2)若扇形的周长为4,求当α为多少弧度时,该扇形有最大面积? 【解析】(1)设弧长为l ,弓形面积为S 弓,则α=60°=π3,l=π3×10=10π3, S 弓=S 扇-S △=12×10π3×10-12×102×sin π3 =50π3-50√32=50(π3-√32). (2)扇形周长2R+l=2R+αR=4,∴R=4α+2,∴S 扇=12αR 2=12α·(4α+2)2=8α4+4α+α2=84+α+4α≤1.当且仅当α=4α,即α=2时,扇形面积有最大值1.理清扇形的弧长与半径、弧度角的关系,熟记扇形面积和周长的公式.【变式训练2】一扇形的周长为20,当扇形的圆心角α等于多少弧度时,这个扇形的面积最大?【解析】设扇形的半径为r ,弧长为l ,则l+2r=20,即l=20-2r (0<r<10).∴扇形的面积S=12lr=12(20-2r )r=-r 2+10r=-(r-5)2+25. ∴当r=5时,S 有最大值25,此时l=10,α=l r=2rad.∴当α=2rad 时,扇形的面积取最大值.题型三 同角三角函数基本关系式的应用【例3】在△ABC 中,sin A+cos A=15.(1)求sin A cos A 的值; (2)求tan A 的值.【解析】(1)∵sin A+cos A=15, ①∴两边平方得1+2sin A cos A=125,∴sin A cos A=-1225.(2)由(1)得sin A cos A=-1225<0, 又0<A<π,∴cos A<0.∵(sin A-cos A )2=1-2sin A cos A=1+2425=4925,又sin A>0,cos A<0,∴sin A-cos A>0,∴sin A-cos A=75. ②由①②可得sin A=45,cos A=-35,∴tan A=sinA cosA =45-35=-43.【变式训练3】(1)已知tan α=2,则sin 2α+sin αcos α-2cos 2α= .(2)已知sin 2α=3sin 2β,tan α=2tan β,则cos 2α= .【解析】(1)sin 2α+sin αcos α-2cos 2α=sin 2α+sinαcosα-2cos 2αsin 2α+cos 2α=tan 2α+tanα-2tan 2α+1=45.(2)∵sin 2α=3sin 2β, ①tan 2α=4tan 2β, ②由①÷②得,4cos 2α=3cos 2β, ③由①+③得,sin 2α+4cos 2α=3,∴cos 2α=23.【答案】(1)45 (2)23题型四 三角函数诱导公式的应用【例4】已知sin α,1cos (θ+π6)分别是方程5x 2-12x-9=0的两根.(1)求cos (5π6-θ)和sin (θ+2π3)的值; (2)若3π<α<7π2,求sin(5π-α)cos(2π-α)cos (3π2-α)-sin 2αcos (π2-α)sin(−π-α)的值.【解析】∵sin α,1cos (θ+π6)分别是方程5x 2-12x-9=(5x+3)(x-3)=0的两根,∴sin α=-35,1cos (θ+π6)=3,∴cos (θ+π6)=13.(1)cos (5π6-θ)=cos [π-(π6+θ)]=-cos (π6+θ)=-13, sin (θ+2π3)=sin [π2+(θ+π6)]=cos (θ+π6)=13.(2)∵3π<α<7π2,∴α是第三象限角.∵sin α=-35,∴cos α=-45.sin(5π-α)cos(2π-α)cos (3π2-α)-sin 2αcos (π2-α)sin(−π-α)=-sin 2αcosα-sin 2αsin 2α=-1-cos α =-15.【变式训练4】已知f (π12+x)= sin(π-x)cos(2π-x)tan(π-x)cos (-π2+x ).(1)求f (-9π4)的值. (2)若f (x )=14,求sin (x +23π12)+cos (x +17π12)的值. 【解析】f (π12+x)=sinx ·cosx ·(-tanx)sinx=-cos x ·tan x=-sin x. (1)令π12+x=-9π4,则x=-9π4-π12=-7π3,∴f (-9π4)=-sin (-7π3)=sin π3=√32. (2)∵f (x )=-sin (x -π12)=14, ∴sin (x -π12)=-14,∴sin (x +23π12)+cos (x +17π12) =sin [2π+(x -π12)]+cos [π+(x +5π12)]=sin (x -π12)-cos (x +5π12)=sin (x -π12)-cos [π2+(x -π12)]=2sin (x -π12)=-12.方法一 数形结合思想在三角函数线中的应用当给出一个象限角时,欲判断该角的半角或倍角的符号或比较它们三个三角函数值的大小时,由于没有给出具体的角度,所以用图形可以更直观地表示,可先画出三角函数线,借助三角函数线比较大小.【突破训练1】设θ是第二象限角,试比较sin θ2,cos θ2,tan θ2的大小.【解析】∵θ是第二象限角,∴π2+2kπ<θ<π+2kπ,k∈Z,∴π4+kπ<θ2<π2+kπ,k∈Z,∴θ2是第一象限角或第三象限角.如图,结合单位圆上的三角函数线可得,①当θ2是第一象限角时,sinθ2=AB,cosθ2=OA,tanθ2=CT,故cosθ2<sinθ2<tanθ2.②当θ2是第三象限角时,sinθ2=EF,cosθ2=OE,tanθ2=CT,故sinθ2<cosθ2<tanθ2.综上可得,当θ2在第一象限时,cosθ2<sinθ2<tanθ2;当θ2在第三象限时,sinθ2<cosθ2<tanθ2.方法二分类讨论思想在三角函数化简中的应用角中含有变量n,因而需对n的奇偶进行分类讨论.利用诱导公式,需将角写成符合公式的某种形式,这就需要将角中的某一部分看作一个整体.【突破训练2】求sin(4n-14π-α)+cos(4n+14π-α)(n∈Z)的值.【解析】当n为偶数时,设n=2k(k∈Z),则原式=sin(8k-14π-α)+cos(8k+14π-α)=sin[2kπ+(-π4-α)]+cos[2kπ+(π4-α)]=sin(-π4-α)+cos(π4-α)=-sin(π4+α)+cos[π2-(π4+α)]=-sin(π4+α)+sin(π4+α)=0;当n为奇数时,设n=2k+1(k∈Z),则原式=sin(8k+34π-α)+cos(8k+54π-α)=sin[2kπ+(3π4-α)]+cos[2kπ+(5π4-α)]=sin(3π4-α)+cos(5π4-α)=sin[π-(π4+α)]+cos[π+(π4-α)]=sin(π4+α)-cos(π4-α)=sin(π4+α)-cos[π2-(π4+α)]=sin(π4+α)-sin(π4+α)=0.故sin(4n-14π-α)+cos(4n+14π-α)=0.1.(2017日照市三模)若sin (π-α)=13,且π2≤α≤π,则cos α的值为( ).A.2√23B .-2√23C .4√29D.-4√29【解析】因为sin (π-α)=sin α=13,π2≤α≤π,所以cos α=-√1−sin 2α=-2√23. 【答案】B2.(2017江西师大附中三模)已知sin (-π+θ)+2cos (3π-θ)=0,则sinθ+cosθsinθ-cosθ=( ).A.3B.-3C.13 D.-13【解析】因为sin (-π+θ)+2cos (3π-θ)=0,所以-sin θ-2cos θ=0,可得tan θ=-2,所以sinθ+cosθsinθ-cosθ=tanθ+1tanθ-1=-2+1-2-1=13,故选C .【答案】C3.(2017江西八校联考)已知cos α-sin α=√24,则sin2α的值为( ).A.18B.-18C.78D.-78【解析】∵cos α-sin α=√24,∴1-sin2α=18,∴sin2α=78.【答案】C4.(2017临城质检)已知角θ的顶点为坐标原点,始边为x 轴的正半轴,若P (4,y )是角θ终边上一点,且sin θ=-2√55,则y=( ).A.-8B.-4C.2D.4 【解析】因为sin θ=y4+y =-2√55,所以y<0,且y 2=64,所以y=-8.【答案】A5.(2017宁德三模)已知sin (α+π6)=45,则cos (α-π3)的值为( ).A.35B.45C.-45D.-35【解析】cos (α-π3)=cos (α+π6-π2)=sin (α+π6)=45,故选B.【答案】B6.(2017南昌二模)已知sin θ+2cos θ=0,则1+sin2θcos 2θ= .【解析】由sin θ+2cos θ=0,得sin θ=-2cos θ, 则1+sin2θcos 2θ=sin 2θ+cos 2θ+2sinθcosθcos 2θ=1. 【答案】17.(2016湖北二模)设f (x )={sinπx,x <1,√2f(x -2),x ≥1,则f (-236)+f (94)= .【解析】f (-236)+f (94)=sin (-23π6)+√2f (94-2)=12+√2sin π4=32. 【答案】328.(2017郴州市四检)已知3cos 2θ=tan θ+3,且θ≠k π(k ∈Z ),则sin [2(π-θ)]= .【解析】由题意可得3cos 2θ-3=tan θ,即-3sin 2θ=sinθcosθ,因为θ≠k π(k ∈Z ),所以sin θcos θ=-13,即sin2θ=-23,所以sin [2(π-θ)]=-sin2θ=23.【答案】239.(2016许昌二模)已知点P (sin α-cos α,tan α)在第二象限,则α的一个变化区间是( ).A.(-π,-π2) B.(-π4,π4)C.(-3π4,-π2) D.(π2,π)【解析】因为点P(sinα-cosα,tanα)在第二象限,所以{sinα-cosα<0,tanα>0,根据三角函数的性质可知选项C 正确.【答案】C10.(2016柳州二模)若角α满足α=2kπ3+π6(k∈Z),则α的终边一定在().A.第一象限或第二象限或第三象限B.第一象限或第二象限或第四象限C.第一象限或第二象限或x轴非正半轴上D.第一象限或第二象限或y轴非正半轴上【解析】当k=0时,α=π6,终边位于第一象限,当k=1时,α=5π6,终边位于第二象限,当k=2时,α=3π2,终边位于y轴的非正半轴上,当k=3时,α=2π+π6,终边位于第一象限.综上可知,α的终边一定在第一象限或第二象限或y轴非正半轴上.故选D.【答案】D11.(2016上饶月考)当0<x<π4时,函数f(x)=cos2xcosxsinx-sin2x的最小值是().A.14B.12C.2D.4【解析】当0<x<π4时,0<tan x<1,f(x)=cos2xcosxsinx-sin2x=1tanx-tan2x,设t=tan x,则0<t<1,y=1t-t2=1t(1-t)≥4.当且仅当t=1-t,即t=12时等号成立.【答案】D12.(2017金华质检)若2tanα=3tan2π5,则cos(α-π10)sin(α-2π5)=.【解析】cos(α-π10)sin(α-2π5)=sin(α+2π5) sin(α-2π5)=sinαcos2π5+cosαsin2π5sinαcos2π5-cosαsin2π5=tanα+tan2π5tanα-tan2π5=5.【答案】513.(2016西宁联考)已知A,B,C是三角形的内角,√3sin A,-cos A分别是方程x2-x+2a=0的两根.(1)求角A.(2)若1+2sinBcosBcos2B-sin2B=-3,求tan B.【解析】(1)由已知可得,√3sin A-cos A=1,①又sin2A+cos2A=1,∴sin2A+(√3sin A-1)2=1,即4sin2A-2√3sin A=0,得sin A=0(舍去)或sin A=√32,∴A=π3或A=2π3,将A=π3或A=2π3代入①知A=2π3时等式不成立,∴A=π3.(2)由1+2sinBcosBcos2B-sin2B=-3,得sin2B-sin B cos B-2cos2B=0.∵cos B≠0,∴tan2B-tan B-2=0,∴tan B=2或tan B=-1.当tan B=-1时,cos2B-sin2B=0,不合题意,舍去,∴tan B=2.§7.2三角函数的图象与性质一用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点分别是、(π2,-1)、(3π2,-1)、.二三角函数的图象和性质(表中k∈Z)函数性质y=sin x y=cos x y=tan x定义域R R图象值域[-1,1][-1,1]R对称轴对称中心(kπ,0)周期2π2ππ单调性增区间为减区间为增区间为减区间为增区间为无减区间奇偶性奇函数偶函数奇函数设点P是函数f(x)=sinωx(ω>0)的图象C的一个对称中心,若点P到图象C的对称轴的距离的最小值是π3,则ω=.函数y=2-3cos(x+π4)的最大值为,此时x=.函数f(x)=sin(x-π4)的图象的一条对称轴是().A.x=π4B.x=π2C.x=-π4D.x=-π2知识清单一、(0,0)(π,0)(2π,0)二、{x|x≠kπ+π2}x=kπ+π2x=kπ(kπ+π2,0)(kπ2,0)[2kπ-π2,2kπ+π2][2kπ+π2,2kπ+3π2][2kπ-π,2kπ][2kπ,2kπ+π](kπ-π2,kπ+π2)基础训练1.【解析】由正弦函数的图象知对称中心与对称轴的距离的最小值为最小正周期的14,故f(x)的最小正周期为T=4×π3=4π3,∴ω=2πT=32.【答案】322.【解析】当cos(x+π4)=-1时,函数y=2-3cos(x+π4)取得最大值5,此时x+π4=π+2kπ(k∈Z),从而x=34π+2kπ,k∈Z.【答案】534π+2kπ,k∈Z3.【解析】∵正弦函数图象的对称轴过图象的最高点或最低点,故令x-π4=kπ+π2,k∈Z,∴x=kπ+3π4,k∈Z.取k=-1,则x=-π4.【答案】C题型一三角函数的定义域【例1】函数f(x)=lg(3+2x-x2)+√sinx的定义域为.【解析】由题意得{3+2x-x2>0,sinx≥0,即{-1<x<3,2kπ≤x≤2kπ+π(k∈Z),解得0≤x<3,所以函数f(x)的定义域为[0,3).【答案】[0,3)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式,常借助三角函数线或三角函数图象来求解.【变式训练1】函数y=√sin2x -cos2x 的定义域为 .【解析】由题意得sin2x-cos2x ≥0,即√2sin (2x -π4)≥0,则2k π≤2x-π4≤2k π+π,解得k π+π8≤x ≤k π+5π8(k ∈Z ),所以函数的定义域为{x|kπ+π8≤x ≤kπ+5π8,k ∈Z}. 【答案】{x|kπ+π8≤x ≤kπ+5π8,k ∈Z}题型二 三角函数的值域【例2】求函数f (x )=cos 2x+sin x+14在区间[-π6,π4]上的最大值与最小值.【解析】f (x )=cos 2x+sin x+14=1-sin 2x+sin x+14=-(sinx -12)2+32.∵x ∈[-π6,π4],∴sin x ∈[-12,√22], ∴当sin x=-12时,函数f (x )取最小值12,当sin x=12时,函数f (x )取最大值32.形如y=a sin 【变式训练2】已知函数f (x )=cos (2x -π3)+2sin (x -π4)·sin (x +π4),求函数f (x )在区间[-π12,π2]上的最大值与最小值.【解析】由题意得f (x )=12cos2x+√32sin2x+(sin x-cos x )·(sin x+cos x )=12cos2x+√32sin2x+sin 2x-cos 2x=12cos2x+√32sin2x-cos2x=sin (2x -π6).又x ∈[-π12,π2],∴2x-π6∈[-π3,5π6], ∴sin (2x -π6)∈[-√32,1].故当x=π3时,f (x )取最大值1;当x=-π12时,f (x )取最小值-√32.题型三 三角函数的单调性与周期性【例3】(2017北京海淀区高三适应性考试)已知函数f (x )=4cos ωx ·sin (ωx +π4)(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值;(2)求函数f (x )的单调递增区间. 【解析】(1)f (x )=4cos ωx ·sin (ωx +π4)=2√2sin ωx ·cos ωx+2√2cos 2ωx=√2(sin2ωx+cos2ωx )+√2=2sin (2ωx +π4)+√2.因为f (x )的最小正周期为π,且ω>0, 所以2π2ω=π,故ω=1.(2)由(1)知f (x )=2sin (2x +π4)+√2,令-π2+2k π≤2x+π4≤π2+2k π,k ∈Z ,所以-3π4+2k π≤2x ≤π4+2k π,k ∈Z ,所以-3π8+k π≤x ≤π8+k π,k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为[-3π8+kπ,π8+kπ],k ∈Z .先将y=f (x )化成y=A sin (ωx+φ)或y=A cos (ωx+φ)(其中A ≠0,ω>0)形式,再结合求周期公式和求单调区【变式训练3】已知函数f (x )=sin ωx (cosωx -√3sinωx)+√32(ω>0)的最小正周期为π2.(1)求ω的值;(2)求函数f (x )的单调递减区间.【解析】f (x )=sin ωx (cosωx -√3sinωx)+√32=sin ωx ·cos ωx -√3sin 2ωx+√32=12sin2ωx+√32cos2ωx=sin (2ωx +π3).(1)∵函数f (x )的最小正周期为π2,∴2π2ω=π2,解得ω=2.(2)由(1)知f (x )=sin (4x +π3),令2k π+π2≤4x+π3≤2k π+3π2,k ∈Z ,得2k π+π6≤4x ≤2k π+7π6,k ∈Z ,∴kπ2+π24≤x ≤kπ2+7π24,k ∈Z .∴函数f (x )的单调递减区间是[kπ2+π24,kπ2+7π24],k ∈Z .题型四三角函数的对称性与奇偶性【例4】设函数f(x)=sin2x+√3cos2x(x∈R).(1)若函数y=f(x+φ)(|φ|≤π2)的图象关于直线x=0对称,求φ的值;(2)若函数y=f(x+π+6φ12)的图象关于点(4π3,0)中心对称,求|φ|的最小值.【解析】f(x)=sin2x+√3cos2x=2sin(2x+π3).(1)∵y=f(x+φ)=2sin(2x+π3+2φ)的图象关于直线x=0对称,∴f(x+φ)为偶函数,∴π3+2φ=π2+kπ,k∈Z,则φ=kπ2+π12,k∈Z.∵|φ|≤π2,∴φ=-5π12或φ=π12.(2)∵y=f(x+π+6φ12)=2sin(2x+φ+π2)=2cos(2x+φ)的图象关于点(4π3,0)中心对称,∴2cos(2×4π3+φ)=2cos(2π3+φ+2π)=2cos(2π3+φ)=0,∴2π3+φ=kπ+π2,k∈Z,∴φ=kπ-π6,k∈Z,取k=0,得|φ|的最小值为π6.【变式训练4】设函数f(x)=2sin(2x+φ)(-π<φ<0).(1)若f (π4-x)=f (x ),求φ;(2)若函数y=f (x )是奇函数,求函数g (x )=cos (2x +32φ)的单调递减区间.【解析】(1)∵f (π4-x)=f (x ),∴函数f (x )的图象关于直线x=π8对称,令2×π8+φ=k π+π2,k ∈Z ,则φ=k π+π4,k ∈Z ,又-π<φ<0,则-54<k<-14,k ∈Z .∴k=-1,则φ=-3π4.(2)∵函数y=f (x )是奇函数,-π<φ<0,∴φ=-π2,∴g (x )=cos (2x -3π4). 令2k π≤2x-3π4≤π+2k π,k ∈Z ,可解得3π8+k π≤x ≤7π8+k π,k ∈Z ,∴y=g (x )的单调递减区间为[3π8+kπ,7π8+kπ],k ∈Z .方法 方程思想在三角函数中的应用此类题目主要解决方程中的参量问题,首先利用正弦函数、余弦函数的有界性或单调性求出y=A sin (ωx+φ)或y=A cos (ωx+φ)的最值,但要注意对参量的符号进行讨论,以便确定函数的单调性,其次由已知列方程求解.【突破训练】已知函数f (x )=sin 2x+2√3sin x cos x+3cos 2x-2.(1)当x∈[0,π2]时,求函数f(x)的单调递增区间;(2)若函数g(x)=-(1+λ)f2(x)-2f(x)+1在[-π3,π6]上单调递减,求实数λ的取值范围.【解析】f(x)=sin2x+2√3sin x cos x+3cos2x-2=√3sin2x+cos2x=2sin(2x+π6).(1)令-π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ,k∈Z.解得2kπ-2π3≤2x≤2kπ+π3,k∈Z,即kπ-π3≤x≤kπ+π6,k∈Z.∵x∈[0,π2],∴f(x)的单调递增区间为[0,π6].(2)由(1)知函数f(x)在[-π3,π6]上单调递增,设f(x)=t,则-1≤t≤1,∴k(t)=-(1+λ)t2-2t+1(-1≤t≤1),①当λ=-1时,k(t)=-2t+1在[-1,1]上单调递减,即λ=-1符合题意;②当λ<-1时,-(1+λ)>0,则-11+λ≥1,得-2≤λ<-1;③当λ>-1时,-(1+λ)<0,则-11+λ≤-1,得-1<λ≤0.综上,λ∈[-2,0].1.(2017江西二模)函数y=2sin2(x+3π2)-1是().A.最小正周期为π的偶函数B.最小正周期为π的奇函数C.最小正周期为π2的偶函数D.最小正周期为π2的奇函数【解析】∵y=2sin2(x+3π2)-1=-cos(2x+3π)=cos2x,∴y=2sin2(x+3π2)-1是最小正周期为π的偶函数.【答案】A2.(2017广东联考)函数f(x)=2sin(x2-π8)cos(x2-π8)的图象的一个对称中心可以是().A.(-π,0)B.(-3π4,0) C.(3π2,0) D.(π2,0)【解析】由题意知f(x)=sin(x-π4),令x-π4=kπ(k∈Z),则x=kπ+π4(k∈Z).由k=-1,得x=-3π4,即f(x)=sin(x-π4)的一个对称中心是(-3π4,0).【答案】B3.(2017西宁二模)同时具有性质“①最小正周期是π;②图象关于直线x=π3对称;③在[-π6,π3]上是增函数.”的一个函数为().A.y=sin(x2+π6) B.y=cos(x2-π6)C.y=cos(2x+π6)D.y=sin(2x-π6)【解析】根据性质①最小正周期是π,排除选项A和B;对于选项C,当x=π3时,y=cos(2×π3+π6)=cos5π6=-√32,不是最值,所以排除选项C,故选D.【答案】D4.(2017沈阳三模)已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A>0,|φ|<π2)的图象在y轴左侧的第一个最高点为(-π6,3),第一个最低点为(-2π3,m),则函数f(x)的解析式为().A.f(x)=3sin(π6-2x) B.f(x)=3sin(2x-π6)C.f(x)=3sin(π3-2x) D.f(x)=3sin(2x-π3)【解析】由题意得A=3,T=2(-π6+2π3)=π,∴ω=±2πT=±2,当ω=-2时,f(x)=3sin(φ-2x),且过点(-π6,3),则π3+φ=2kπ+π2,得φ=π6.当ω=2时,不合题意.故选A.【答案】A5.(2017佳木斯市三模)若函数f(x)=sin(ωx+φ),其中ω>0,|φ|<π2,两相邻的对称轴的距离为π2,f(π6)为最大值,则函数f(x)在区间[0,π]上的单调递增区间为().A.[0,π6] B.[2π3,π]C.[0,π6]和[π3,π] D.[0,π6]和[2π3,π]【解析】∵两相邻的对称轴的距离为π2,∴T2=π2,解得T=π,∴ω=2.又f(π6)为最大值,令2×π6+φ=π2+2kπ,k∈Z,解得φ=π6+2kπ,k∈Z,令k=0得φ=π6,∴函数f(x)=sin(2x+π6).令-π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ,k∈Z,当k=0时,x∈[-π3,π6],当k=1时,x∈[2π3,7π6],∴f(x)在区间[0,π]上的单调增区间为[0,π6]和[2π3,π].【答案】D6.(2017中卫市二模)函数f(x)=cos2x+sin(π2+x)的最小值是.【解析】f(x)=cos2x+sin(π2+x)=2cos2x+cos x-1=2(cosx+14)2-98,故f(x)min=-98.【答案】-987.(2017菏泽联考)已知函数f (x )=A tan (ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2),y=f (x )的部分图象如图所示,则f (π24)= .【解析】由图象知,T=2(3π8-π8)=π2,∴ω=2.由2×3π8+φ=k π,k ∈Z ,得φ=k π-3π4,k ∈Z .又∵|φ|<π2,∴φ=π4.由A tan (2×0+π4)=1,知A=1,∴f (x )=tan (2x +π4),∴f (π24)=tan (2×π24+π4)=tan π3=√3.【答案】√38.(2017百校联盟)已知函数f (x )=98cos2x+16-sin 2x ,则当f (x )取最小值时cos2x 的值为 .【解析】f (x )=98cos2x+16+cos2x -12=98cos2x+2+cos2x+22-32,∵cos2x+2>0,∴f (x )≥2×34-32=0,当且仅当98cos2x+2=cos2x+22,即cos2x=-12时等号成立.【答案】-129.(2017辽宁四模)已知函数f (x )=sin (ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的图象过点(0,12),若f (x )≤f (π12)对x ∈R 恒成立,则ω的最小值为( ).A.2B.4C.10D.16【解析】函数图象过点(0,12),则sin φ=12.结合|φ|<π2可得,φ=π6,由f (x )≤f (π12)对x ∈R 恒成立,可得π12×ω+π6=2k π+π2(k ∈Z ),解得ω=24k+4(k ∈Z ),令k=0可得ωmin =4.【答案】B10.(2017宁夏四模)已知函数f (x )=sin (ωx +π3)-12cos (ωx -7π6)(ω>0),满足f (-π6)=34,则满足题意的ω最小值为( ).A.13B.12C.1D.2【解析】由题意可得,f (x )=sin (ωx +π3)-12cos (π2+ωx +π3)=sin (ωx +π3)+12sin (ωx +π3)=32sin (ωx +π3),则f (-π6)=32sin (-π6ω+π3)=34,∴-π6ω+π3=2k π+π6或-π6ω+π3=2k π+5π6(k ∈Z ),则ω=1-12k 或ω=-12k-3(k ∈Z ).结合ω>0可得,令k=0,ωmin =1. 【答案】C11.(2017娄底二模)已知函数f (x )=2sin (ωx+φ)+1(ω>0,|φ|<π2),f (α)=-1,f (β)=1,若|α-β|的最小值为3π4,且f (x )的图象关于点(π4,1)对称,则函数f (x )的单调递增区间是( ).A.[-π2+2kπ,π+2kπ],k ∈ZB.[-π2+3kπ,π+3kπ],k ∈ZC.[π+2kπ,5π2+2kπ],k ∈Z D.[π+3kπ,5π2+3kπ],k ∈Z 【解析】由题设知f (x )的周期T=4|α-β|min =3π,所以ω=2πT =23,又f (x )的图象关于点(π4,1)对称,从而f (π4)=1,即sin (23×π4+φ)=0,因为|φ|<π2,所以φ=-π6,故f (x )=2sin (23x -π6)+1.由-π2+2k π≤23x-π6≤π2+2k π,k ∈Z ,得-π2+3k π≤x ≤π+3k π,k ∈Z ,故选B.【答案】B12.(2017马鞍山三模)已知函数y=A sin (ωx+φ)(A>0,ω>0,-π<φ<0)的部分图象如图所示,则φ= .【解析】由图象知sin φ=-12⇒φ=2k π-5π6(k ∈Z ),又3T 4<5π6<T ⇒5π6<T<10π9⇒95<ω<125. 再由sin (5π6ω+φ)=0⇒5π6ω+φ=2k π+π(k ∈Z )⇒φ∈(2kπ-π,2kπ-π2),解得φ=-5π6.【答案】-5π613.(2017盐城二模)已知a>0,函数f(x)=-2a sin(2x+π6)+2a+b,当x∈[0,π2]时,-5≤f(x)≤1.(1)求常数a,b的值;(2)设g(x)=f(x+π2)且lg g(x)>0,求g(x)的单调区间.【解析】(1)∵x∈[0,π2],∴2x+π6∈[π6,7π6].∴sin(2x+π6)∈[-12,1],∴-2a sin(2x+π6)∈[-2a,a],∴f(x)∈[b,3a+b].又∵-5≤f(x)≤1,∴b=-5,3a+b=1,因此a=2,b=-5.(2)由(1)得,f(x)=-4sin(2x+π6)-1,g(x)=f(x+π2)=-4sin(2x+7π6)-1=4sin(2x+π6)-1.又由lg g(x)>0,得g(x)>1,∴4sin(2x+π6)-1>1,∴sin(2x+π6)>12,∴2kπ+π6<2x+π6<2kπ+5π6,k∈Z,其中当2kπ+π6<2x+π6≤2kπ+π2,k∈Z时,g(x)单调递增,即kπ<x≤kπ+π6,k∈Z,∴g(x)的单调递增区间为(kπ,kπ+π6],k∈Z.又∵当2kπ+π2<2x+π6<2kπ+5π6,k∈Z时,g(x)单调递减,即kπ+π6<x<kπ+π3,k∈Z.∴g(x)的单调递减区间为(kπ+π6,kπ+π3),k∈Z.§7.3函数y=A sin(ωx+φ)的图象及应用一y=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的有关性质1.定义域:R;2.值域:[-A,A];;3.周期:T=2πω4.对称轴方程:;5.对称中心坐标:(kπ-φ,0)(k∈Z);ω6.单调递增区间:,单调递减区间:.二图象的变换函数y=sin x的图象经变换得到y=A sin(ωx+φ)的图象的步骤如下:把函数y=sin (3x +π3)的图象向右平移π4个单位长度,再把所得函数图象上各点的横坐标缩短为原来的12,所得的函数解析式为 .已知简谐运动f (x )=A sin (ωx+φ)(|φ|<π2)的部分图象如图所示,则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为 .求函数f (x )=cos (2x +π6)的单调递减区间.知识清单 一、4.x=kπ+π2-φω(k ∈Z )6.[2kπ-π2-φω,2kπ+π2-φω](k ∈Z )[2kπ+π2-φω,2kπ+3π2-φω](k ∈Z )二、|φ| |φω|基础训练1.【解析】将原函数的图象向右平移π4个单位长度,得到函数y=sin (3x -5π12)的图象,再把所得函数图象上各点的横坐标缩短为原来的12,得到函数y=sin (6x -5π12)的图象.【答案】y=sin (6x -5π12) 2.【解析】由图象易知A=2,T=6,∴ω=π3,又图象过点(1,2),∴sin (π3×1+φ)=1,∴φ+π3=2k π+π2,k ∈Z ,又|φ|<π2,∴φ=π6.【答案】6和π63.【解析】由不等式2k π≤2x+π6≤2k π+π(k ∈Z )得k π-π12≤x ≤k π+5π12(k ∈Z ),所以函数f (x )的单调递减区间为[kπ-π12,kπ+5π12](k ∈Z ).题型一 函数y=A sin (ωx+φ)的图象及变换【例1】已知函数y=2sin (2x +π3),(1)用“五点法”作出它在一个周期内的图象;(2) 写出该函数的振幅、周期、初相,说明y=2sin (2x +π3)的图象可由y=sin x 的图象经过怎样的变换而得到.【解析】(1)令X=2x+π3,则y=2sin (2x +π3)=2sin X.列表,并描点画出图象:x-π6π12 π3 7π12 5π6X 0 π2π 3π22πy=sin X0 1 0 -1 0y=2sin (2x +π3)0 2 0 -2 0(2)振幅A=2,周期T=2π2=π,初相φ=π3.(法一)把y=sin x 的图象上所有的点向左平移π3个单位长度,得到y=sin (x +π3)的图象;再把y=sin (x +π3)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变),得到y=sin (2x +π3)的图象;最后把y=sin (2x +π3)上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),即可得到y=2sin (2x +π3)的图象.(法二)把y=sin x 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变),得到y=sin2x 的图象;再把y=sin2x 的图象上所有的点向左平移π6个单位长度,得到y=sin2(x +π6)=sin (2x +π3)的图象;最后把y=sin (2x +π3)的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变),即可得到y=2sin (2x +π3)的图象.【变式训练1】(2017厦门第二次质检)将函数f (x )=cos (ωx -π2)(ω>0)的图象向右平移π4个单位长度,所得的图象经过点(3π4,0),则ω的最小值是( ).A.13B.1C.53D.2【解析】f (x )=sin ωx 的图象向右平移π4个单位长度后得g (x )=sin (x -π4)ω的图象,故g (3π4)=sin π2ω=0,所以π2ω=k π,k ∈Z ,即ω=2k ,当k=1时,ω取最小值2.【答案】D题型二 求函数y=A sin (ωx+φ)的解析式【例2】(2017河北石家庄二模)已知函数f (x )=sin (ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的图象如图所示,则f (0)的值为 .【解析】由图知T=2π,∴ω=1,则f (x )=sin (x+φ),且f (π4)=0,∴π4+φ=k π,∴φ=k π-π4,∴φ=3π4,∴f (x )=sin (x +3π4),∴f (0)=sin 3π4=√22. 【答案】√22【变式训练2】已知函数f (x )=A sin (ωx+φ)(A >0,|φ|<π2,ω>0)的图象的一部分如图所示,则该函数的解析式为 .【解析】观察图象可知,A=2且点(0,1)在图象上,∴1=2sin (ω·0+φ),即sin φ=12.∵|φ|<π2,∴φ=π6.又∵11π12是函数的一个零点,且是函数图象递增穿过x 轴形成的零点,∴11π12ω+π6=2π,∴ω=2,∴f (x )=2sin (2x +π6).【答案】f(x)=2sin(2x+π6)题型三三角函数模型的应用【例3】如图,一个水轮的半径为4m,水轮圆心O距离水面2m,已知水轮每分钟按逆时针转动5圈,若当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间.(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数.(2)点P第一次到达最高点大约需要多少时间?【解析】(1)如图所示,建立平面直角坐标系,设角φ(-π2<φ<0)是以Ox为始边,OP0为终边的角.OP每秒钟内所转过的角为5×2π60=π6 ,所以OP在时间t(s)内所转过的角为π6t.由题意可知水轮逆时针转动,得z=4sin(π6t+φ)+2.当t=0时,z=0,得sin φ=-12,即φ=-π6.故所求的函数关系式为z=4sin (π6t -π6)+2.(2)令z=4sin (π6t -π6)+2=6,得sin (π6t -π6)=1.令π6t-π6=π2,得t=4,故点P 第一次到达最高点大约需要4s .【变式训练3】如图,某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似地满足函数y=A sin (ωx+φ)+b. (1)求这段时间的最大温差; (2)写出这段曲线的函数解析式.【解析】(1)由图可知这段时间的最大温差是30-10=20(℃).(2)由图可知从6时到14时的图象是函数y=A sin (ωx+φ)+b 的半个周期的图象, 所以12×2πω=14-6,解得ω=π8.由图可知A=12×(30-10)=10,b=12×(30+10)=20,故y=10sin (π8x +φ)+20.。
高考数学三角函数考点解析命题题型最全汇总，超详细！（附习题及公式汇总）三角函数专题的内容主要包括三角函数的图象与性质、平面向量、简单的三角恒等变换、解三角形。
高考在该部分一般有两个试题。
一个试题是，如果在解答题部分没有涉及到正、余弦定理的考查，会有一个与正余弦定理有关的题目，如果在解答题中涉及到了正、余弦定理，可能是一个和解答题相互补充的三角函数图象、性质、恒等变换的题目；一个试题是以考查平面向量为主的试题。
命题方式—平面向量主要命题方向有两个：（1）以平面向量基本定理、共线向量定理为主（2）以数量积的运算为主；三角函数解答题的主要命题方向有三个：（1）以三角函数的图象和性质为主体的解答题，往往和平面向量相结合；（2）以三角形中的三角恒等变换为主题，综合考查三角函数的性质等；（3）以实际应用题的形式考查正余弦定理、三角函数知识的实际应用．考点解析—该专题的主要考点是：三角函数的概念和性质（单调性，周期性，奇偶性，最值），三角函数的图象，三角恒等变换（主要是求值），三角函数模型的应用，正余弦定理及其应用，平面向量的基本问题及其应用。
图像经典1.正弦函数图像（几何法）2.正切函数图像3.三角函数的图像与性质4.主要研究方法5.三角函数解题技巧三角函数是高考数学核心考点之一。
它侧重于考查学生的观察能力、思维能力和综合分析能力，在高考试题中始终保持'一大一小'甚至是'一大两小'的模式。
一、见“给角求值”问题，运用“新兴”诱导公式一步到位转换到区间(-90o，90o)的公式.1、sin(kπ+α)=(-1)ksinα(k∈Z)；2、cos(kπ+α)=(-1)kcosα(k∈Z)；3、tan(kπ+α)=(-1)ktanα(k∈Z)；4、cot(kπ+α)=(-1)kcotα(k∈Z).二、见“sinα±cosα”问题，运用三角“八卦图”1、sinα+cosα>0(或<>2、sinα-cosα>0(或<>3、|sinα|>|cosα|óα的终边在Ⅱ、Ⅲ的区域内；4、|sinα|<>三、见“知1求5”问题，造Rt△，用勾股定理，熟记常用勾股数(3，4，5)，(5，12，13)，(7，24，25)，仍然注意“符号看象限”。
高考数学知识点：三角函数
下面是编辑教员整理的2021年高考数学知识点：三角函数，希望对您提高学习效率有所协助.
.正角、负角、零角、象限角的概念你清楚吗?，假定角的终边在坐标轴上，那它归哪个象限呢?你知道锐角与第一象限的角;终边相反的角和相等的角的区别吗?
.三角函数的定义及单位圆内的三角函数线(正弦线、余弦线、正切线)的定义你知道吗?
.在解三角效果时，你留意到正切函数、余切函数的定义域了吗?你留意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗?
.你还记得三角化简的通性通法吗?(切割化弦、降幂公式、用三角公式转化出现特殊角。
异角化同角，异名化同名，高次化低次)
.反正弦、反余弦、反正切函数的取值范围区分是
.你还记得某些特殊角的三角函数值吗?
.掌握正弦函数、余弦函数及正切函数的图象和性质。
你会写三角函数的单调区间吗?会写复杂的三角不等式的解集吗?(要留意数形结合与书写规范，可别忘了)，你能否清楚函数的图象可以由函数经过怎样的变换失掉吗?
.函数的图象的平移，方程的平移以及点的平移公式易混：
(1)函数的图象的平移为左+右-，上+下-;
(2)方程表示的图形的平移为左+右-，上-下+;
(3)点的平移公式：点按向量平移到点，那么。
.在三角函数中求一个角时，留意思索两方面了吗?(先求出某一个三角函数值，再判定角的范围)
.正弦定理时易忘比值还等于2R.
2021年高考数学知识点：三角函数曾经呈如今各位考生面前，更多精彩尽在高考频道!。
2.专题09三角函数【2021年高考全国I卷理数】函数sinxf(x)=一cosxx—在［,］的图像大致为xA.-ITC.门Tsin( x) ( x)【斛析】由 f ( x) 2cos( x) ( x)称,排除A.又fsin x x2cosx x- 1,f(力f(x),得f(x)是奇函数,其图象关于原点对立.........——2 0 ,排除B, C,应选D.1冗【名师点睛】此题考查函数的性质与图象,渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养,采取性质法或赋值法,利用数形结合思想解题.解答此题时,A,再注意到选项的区别,利用特殊值得正确答案.【2021年高考全国I卷理数】关于函数f(x)先判断函数的奇偶性,得f(x)是奇函数,排除sin |x| |sin x|有下述四个结论:①f(x)是偶函数③f(x)在［,］有4个零点②f(x)在区间(一,)单调递增2④f(x)的最大值为2其中所有正确结论的编号是A.①②④B.②④C.①④D.①③冗当一x2/时,fx九时,fsin sin x sin2sinx,它在区间一22sinx ,它有两个零点:sin x f x , f x为偶函数,故①正确.单调递减,故②错误.0 ；当兀x 0时,f x sin x sinx当 x 2k ,2k k N 时,f x 2sin x ；当 x 2k , 2k 2 k N 时,f x sinx sinx 0,又f x 为偶函数,f x 的最大值为2,故④正确.综上所述,①④正确,应选 C. 【名师点睛】此题也可画出函数f x sin x sinx 的图象(如以下图),由图象可得①④正确.3.【2021年高考全国n 卷理数】以下函数中,以3为周期且在区间(7, 3)单调递增的是A . f(x)=|cos2x|B . f(x)=|sin2x| C. f(x)=cos|x| D . f(x)=sin|x|【答案】A【解析】作出由于 y sin |x|的图象如以下图1,知其不是周期函数,排除 D ；由于y cos|x| cosx,周期为2兀,排除C ； 作出ycos2x|图象如图2,由图象知,其周期为 -,在区间(一,一)单调递增,A 正确；24 2....一 一 一一一,一___ __________ 兀 •一、一作出y sin2x 的图象如图3,由图象知,其周期为 一,在区间(一,一)单调递减,排除 B,2 4 2应选A.2sin x ,它有一个零点:冗,故f x 在有3个零点:,故③错误.图3【名师点睛】此题主要考查三角函数的图象与性质,渗透直观想象、逻辑推理等数学素养,画出各 函数图象,即可作出选择.此题也可利用二级结论：①函数 y f (x)的周期是函数y f(x)周期 的一半；②y sin x 不是周期函数2222I2sin a cos a,又sin cos 1, 5sin a 1,sin a 一,又 sin 0, sin 5B.【名师点睛】此题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数根本关系式的考查,中等难度,判断 正余弦的正负,运算准确性是关键,题目不难,需细心,解决三角函数问题,研究角的范围后得出 三角函数值的正负很关键,切记不能凭感觉.解答此题时,先利用二倍角公式得到正余弦关系,再利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案.5.【2021年高考全国 出卷理数】设函数f x =sin ( x —)( >0),f X 在0,2有且仅有5个零点,下述四个结论:①f x 在(0,2 )有且仅有3个极大值点 ②f x 在(0,2 )有且仅有2个极小值点4. 2021年高考全国n 卷理数】(0, —),2sin2 a=cos2 o+1,贝U sin OF2B.Q2sin2 a cos2 a 1,4sin c cos 2 2cos a.Q 瓜cos 0 0 , sin0,图2③f x在(0, —)单调递增10④的取值范围是［但,29) 5 10其中所有正确结论的编号是A.①④B.②③C.①②③D.①③④【解析】①假设f(x)在［0,2句上有5个零点,可画出大致图象,由图1可知,f(x)在(0,2时有且仅有3个极大值点.故①正确;②由图1、2可知,f (x)在(0,2时有且仅有2个或3个极小值点.故②错误;④当f x =sin ( x -)=0 时, x —=k Tt (kC Z)5 5,所以x由于f(x)在［0,2 句上有5个零点,所以当k=5时,* 2/当k=6时,12,解得—529w —,10故④正确.③函数f x =sin x 一)5 的增区间为:2k z 九10 130 2k7t取k=0,7,12 ,〜71当 一时,单调递增区间为 一冗x 一冗, 5 24 829 ....................... 7 3当 —时,单倜递增区间为 —x x —%,10 29 29一. 一 _.冗 ........... .. .综上可得,f X 在0,— 单调递增.故③正确.所以结论正确的有①③④.故此题正确答案为 D.【名师点睛】此题为三角函数与零点结合问题,难度大,可数形结合,分析得出答案,要求高,理 解深度高,考查数形结合思想.注意此题中极小值点个数是动态的, 易错,正确性考查需认真计算,易出错.6.【2021年高考天津卷理数】函数 f(x) Asin( x )(A 0,0,| | )是奇函数,将f X 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为C.x .假设g x 的最小正周期为2私且g"那么f,2【解析】••• f(x)为奇函数,,f (0) Asin 0, Z, k 0, 0;g(x)八. 1-I- 2冗Asin - x, T -- 2 区22,f(x)32sin2x, f (一)V 2.应选 C.8【名师点睛】此题主要考查函数的性质和函数的求值问题,解题关键是求出函数 g x ,再根据函数性质逐步得出A,,的值即可.17 .【2021年局考全国 出卷理数】假设sin -,那么cos27 - 98 - 9 819 7-9♦ ♦B D1 9 7【解析】cos2 1 2sin 2 1 2 (―)2 —3 9应选B.【名师点睛】此题主要考查三角函数的求值,考查考生的运算求解水平,考查的核心素养是数学运 算.8.【2021年高考全国卷II 理数】假设f x cosx sinx 在 a,a 是减函数,那么a 的最大值是 花A . 一43冗 C.—— 4【答案】A(2)周期T求对称轴.⑶由 2k 冗 2ku k Z花求增区间；由一 2k ：t23冗—2ku k Z 求 2减区间 9.【2021年高考天津理数】将函数 y sin(2x一)的图象向右平移 一个单位长度,所得图象对应的函5 103 5 ............A,在区间［3—,5—］上单调递增4 4,一一 .3 一B .在区间［,］上单调递减4【解析】由于fcosxsinx A /2cos x —,4所以由0 2k/花2kXk Z)得一43冗——2kXk Z), 4因此 a,a兀 ................ TT 一,从而a 的取大值为一, 4应选A.【名师点睛】 解答此题时,先确定三角函数单调减区间, 再根据集合包含关系确定a 的最大值 .函数y Asin B(A 0,.)的性质:⑴ y max =A+B, y min AB .令k 1可得一个单调递增区间为令k 1可得一个单调递减区间为:应选A.【名师点睛】此题主要考查三角函数的平移变换,三角函数的单调区间的判断等知识,意在考查学 生的转化水平和计算求解水平10.【2021年高考浙江卷】函数 y=2"sin2x 的图象可能是C.在区间［3 ......... ,3-］上单调递增D.在区间3 -［斗［万,2 ］上单调递减【解析】由函数图象平移变换的性质可知:sin 2x的图象向右平移二个单位长度之后10的解析式为y sin 2 x7t 10 7t5sin2x .那么函数的单调递增区间满足 2k%2x 2ku花,即 k ：t — x4.......................... 冗函数的单调递减区间满足： 2 k 冗22x 3冗2k 冗—k Z , IP k u — x243冗 k k ——k4A . 【答案】DB.D.f x2忸sin2x 为奇函数,排除选项 A, B ；...兀. 一_ 一一 ... . . .由于x —,冗时,f x 0,所以排除选项C, 2应选D.............. ....................... ............ 冗 ................................ 【名师点睛】解答此题时,先研究函数的奇偶性,再研究函数在 一,冗上的符号,即可作出判断2有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路:(1)由函数的定义域,判断图象的左、右位置,由函数的值域,判断图象的上、下位置; (2)由函数的单调性,判断图象的变化趋势; (3)由函数的奇偶性,判断图象的对称性; (4)由函数的周期性,判断图象的循环往复.C1: y=cos x, C2： y=sin (2x+ 2^),那么下面结论正确的选项是3得到曲线C 2得到曲线C 2得到曲线C 2得到曲线C 2【解析】由于 C I ,C 2函数名不同,所以先将 C 2利用诱导公式转化成与 C I 相同的函数名,那么_ _ 2 7t _ 27t 冗 _ 冗 . .一 .................................. 1 C 2: y sin(2x ——)cos(2x —— 一)cos(2x —),那么由C 1上各点的横坐标缩短到原来的 一3 3 2 6 2,、、. _ . ....... .. 兀. .............. 4 倍变为y cos2x,再将曲线向左平移 一个单位长度得到c 2,应选D.12【名师点睛】对于三角函数图象变换问题,首先要将不同名函数转换成同名函数,利用诱导公式,【解析】令f x 2l x sin2x ,由于x R, f x2 x sin2 x2〞sin2 x11.【2021年高考全国 出理数】曲线 把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变, 再把得到的曲线向右平移 」个单位长度,6B. 把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变, 再把得到的曲线向左平移—个单位长度,12C. 把C 1上各点的横坐标缩短到原来的1 ............. ....... 一倍,纵坐标不变, 2再把得到的曲线向右平移 」个单位长度, 6 D .把C 1上各点的横坐标缩短到原来的1 ............. .......一倍,纵坐标不变, 2再把得到的曲线向左平移—个单位长度,12y Asin x 或 y Acos x b 的形式...,、一...、_ ____________________________ _ 冗(2)求f x Asin( x ) 0的对称轴,只需令 x ku - k Z,求x ；求f(x)的2对称中央的横坐标,只需令 xkXk Z)即可.5.一.一 —兀 兀 . ..需要重点记住sin cos( -),cos sin( -)；另外,在进行图象变换时,提倡先平移后伸 2 2缩,而先伸缩后平移在测试中也经常出现,无论哪种变换,记住每一个变换总是对变量x 而言.12.【2021年高考全国出理数】设函数 f x cos(x1,那么以下结论错误的选项是A. f(x)的一个周期为 2几8B. y f(x)的图象关于直线x 8^对称 3C. f (x 花)的一个零点为x -6D. f(x)在(/)单调递减【答案】D____ _ _ _…… 2兀 _ _ 【解析】函数f (x)的最小正周期为T —— 2/,那么函数f(x)的周期为T 2k ：tk Z ,取k 1,1可得函数f x 的一个周期为 2任,选项A 正确;一…,―......TT函数f (x)图象的对称轴为 x — k u k Z,即x 38关于直线x —对称,选项B 正确；3冗一 一 .一 ..一,ku — k Z ,取k 3,可得y=f(x)的图象 37tcos x37tcos x —,函数f(x)的零点满足x — ku k Z ,即332, 冗. _ 「I x k 冗—k Z,取 k 60,可得f (x-- -一TT ... .冗)的一个零点为x -,选项C 正确;6-,冗时,x -52,4』,函数f (x)在该区间内不单调,选项 D 错误.23 6 3应选D. 【名师点睛】1)求最小正周期时可先把所给三角函数式化为y Asin( x )或 y Acos( x)的形式,那么最小正周期为T奇偶性的判断关键是解析式是否为13.【2021年高考天津卷理数】设函数f(x) 2sin( x ) , x R ,其中0, | | •假设f (一)2,8【解析】由题意得11 8又T 2- 2 ,所以0 1,所以 2,2k 1—,3 12由 得 —,应选A. 12【名师点睛】关于 y Asin( x )的问题有以下两种题型： ①提供函数图象求解析式或参数的取值范围, 一般先根据图象的最高点或最低点确定A,再根据最小正周期求,最后利用最高点或最低点的坐标满足解析式,求出满足条件的的值；②题目用文字表达函数图象的特点,如对称轴方程、曲线经过的点的坐标、最值等,根据题意自己 画出大致图象,然后寻求待定的参变量,题型很活,一般是求 或 的值、函数最值、取值范围等.【2021年高考北京卷理数】函数 f (x) =sin 22x 的最小正周期是 . , 冗 【答案】- 2【解析】函数f x sin 22x 1 co s4x ,周期为-.2 2【名师点睛】此题主要考查二倍角的三角函数公式 ？三角函数的最小正周期公式,属于根底题 .将所 给的函数利用降哥公式进行恒等变形,然后求解其最小正周期即可f( .) 0,且f(x)的最小正周期大于 2 ,那么12B.12C.24D.2414.2k l 一12............ _,其中k 1,k 2 Z ,所以k215. 【2021年高考江苏卷】tan tan —4一,那么sin 2 一 的值是 ▲3 410tan 21类讨论和转化与化归思想解题.由题意首先求得tan 的值,然后利用两角和的正弦公式和二倍角公 式将原问题转化为齐次式求值的问题,最后切化弦求得三角函数式的值即可 16.【2021年高考全国I 理数】 函数f x 2sinx sin2x,那么f x 的最小值是21【斛析】f x 2cos x 2cos 2x 4cos x 2cos x 2 4 cosx 1 cosx 一 ,21 (1)所以当cosx -时函数单调递减,当 cosx 一时函数单调递增,从而得到函数的递减区间为 2 2 2k ：t 55,2kTt - k Z ,函数的递增区间为 2ku -, 2k u - k Z , 33 33tantan tan 1 tan2 「 九 tan 1 tan 13'tan 一—41 tan2 ,或 tan1 .3【解析】由解得tan得 3tan 2 5tan 2 0,sin 2 sin 2花cos- 4 cos2 冗 sin 一4工~2~sin 2 cos2 2sin 2cos cos_■ 2sin2tan1 tan2 2 sin 2 cos当tan2时,上式=立 2 2 2 22 1 221W ；当tan1 ,,, 一时,上式= 32 [—〔3〕2〔J 〕213一10综上,sin、210【名师点睛】 此题考查三角函数的化简求值,渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法,利用分_冗 _ . __ ... .x 2k u — ,k Z 时,函数f x 取得最小值,此时 sinx3【名师点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的最小值问题,在求解的过程中,需要明确相关 的函数的求导公式, 需要明白导数的符号与函数的单调性的关系,确定出函数的单调增区间和单调减区间,进而求得函数的最小值点,从而求得相应的三角函数值,代入求得函数的最小值_........................................ .... ................ 7t..7t ........................................... ..17.【2021年高考北京卷理数】设函数 f (x) =cos( x -)(0),假设f(x)f(-)对任意白^实数x 都成64立,那么3的最小值为【名师点睛】此题主要考查三角函数的图象和性质,考查考生的逻辑推理水平以及运算求解水平, 考查的核心素养是逻辑推理、数学运算查的核心素养是数学运算所以当 所以f x .2min二垓",故答案是空3sin2 x 2由于f对任意白^实数x 都成立,所以f -取最大值,4所以-42ku6由于0,所以当 0时,..... ............. 2 w 取取小值为一318.【2021年高考全国出理数】函数cos兀的零点个数为Q0 x花3x619 7t由题可知3x解得xx4」,或7J ,故有3个零点.【名师点睛】 此题主要考查三角函数的图象与性质, 考查数形结合思想和考生的运算求解水平,考19.【2021年高考江苏卷】 函数y sin 2x一〕的图象关于直线x —对称, 23值是减区间.【解析】化简三角函数的解析式:【名师点睛】此题经三角函数式的化简将三角函数的问题转化为二次函数的问题,二次函数、二次 方程与二次不等式统称 三个二次〞,它们常结合在一起,有关二次函数的问题,数形结合,密切联 系图象是探求解题思路的有效方法 .一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值 符号四个方面分析.21.【2021年高考北京卷理数】在平面直角坐标系xOy 中,角〞与角3均以Ox 为始边,它们的终边关1于y 轴对称.右sin-,贝U cos( ) =.【解析】由题意可得 sin kXk Z),由于花所以20,【名师点睛】 由对称轴得kXk Z),再根据限制范围求结果.函数y Asin(A>0,3>0)的性质:(1) ymaxAB, y min(2)最小正周期 ⑶由 x-ku k Z~. 一冗 ~2k u k Z 求增区间；由一2k/2 3冗—2k 冗 k 220.【2021年高考全国n 理数】函数x sin 2 x \ 3 cosx3 4(x花0,一2)的最大值是 f x 1 cos 2 x \ 3 cosx cos 2 x _ 3 cosxcosx由自变量的范围:0 -可得: ’2cosx 0,1 ,当cosx 立时, 2函数f x 取得最大值1.1,cos 2是数学运算.23.【2021年高考江苏卷】假设tan(」) 4【考点】两角和的正切公式【名师点睛】三角函数求值的三种类型(2)给值求值：关键是找出式与待求式之间的联系及函数的差异.一般有如下两种思路: ①适当变换式,进而求得待求式的值；②变换待求式,便于将式的值代入,从而到达解题的目的. (3)给值求角：实质是转化为“给值求值〞,先求角的某一函数值, 再求角的范围,进而确定角.24.【2021年高考浙江卷】设函数 f(x) sinx,x R .【解析】 由于和 关于y 轴对称,所sinsincoscos2.2 3(或 cos cos2J ) 3 所以coscos cos sin sin2. 2c • 2/cossin2sin 1【名师点睛】此题考查了角的对称关系,以及诱导公式,常用的一些对称关系包含：假设 边关于y 轴对称,那么冗2ku,k Z ,假设 与 的终边关于x 轴对称,那么2kRk Z ,假设 与 的终边关于原点对称,那么22.【2021年高考全国n 理数】 sin a cos 3 1, cos a sin 3 0 ,那么sin( a3)【解析】由于sin cos 1, cos sin0, 所以sincos1,所以sin因止匕sin1sin cos cos sin 一22cos. 2sin【名师点睛】 此题主要考查三角恒等变换,考查考生分析问题、解决问题的水平, 4考查的核心 【解析】tan tan[( 4)-]tan( ) tan — 4 41 tan( ) tan —4 41 16_ 1」 6(1)给角求值：关键是正确选用公式, 以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(1) ［0,2工函数f (x )是偶函数,求 的值;；(2) [1即 sinxcos cosxsin sinxcos cosxsin ,故 2sinxcos 0 , 所以cos 0 . 又 [0, 2冗),1 3cos 2x 『2 3【名师点睛】此题主要考查三角函数及其恒等变换等根底知识,同时考查运算求解水平25.【2021年高考浙江卷】函数f (x) sin 2 x cos 2 x 2V3sin xcosx(x f(—)的值.3f(x)的最小正周期及单调递增区间.单调递增区间是［—k ,2 6 3(2)求函数y［f(x万『［f(x产值域・【解析】(1)由于 f(x sin(x )是偶函数,所以,对任意实数x 都有sin(x ) sin( x ),(1)由.2sin 一3.32 , cos —2.3 2 1 2“于(万)(2)得f (23 )2.(2)由 cos2x.2sin x 与 sin 2x2sin xcosx 得 f (x)cos2x、、3sin2x]•因此,或上7tx127t4sin 27tx 一12sin 2 xcos 2xcos 2x&os2x 2久in2x2因此,函数的值域是［1,3 .3 y ,1 一 ]•(1)求 (2)求2sin(2 x -). 6所以 ^3cosx 3sin x .于是tan x又x 0,冗即x 0时,f x 取到最大值3;5工时,f x 取到最小值 266所以f(x)的最小正周期是 .由正弦函数的性质得 一 2k2-2斛得一k x — k , k63所以,f(x)的单调递增区间是32x -——2k ,k Z , 6 2Z ,[-k ,— k ], k Z . 6 3【名师点睛】此题主要考查了三角函数的化简,以及函数y Asin x的性质,是高考中的常考知识点,属于根底题,强调根底的重要性；三角函数解做题中,涉及到周期,单调性,单调区间 以及最值等考点时,都属于考查三角函数的性质,首先应把它化为三角函数的根本形式即y Asin x ,然后利用三角函数 y Asin u 的性质求解.26.【2021年高考江苏卷】向量a (cosx, sin x),b (3,扃x [0,4(1)假设 a// b,求x 的值; (2)记f(x) a b ,求f (x)的最大值和最小值以及对应的一 5冗 _(1) x ——；(2) x 0 时, 6x 取到最大值3；5冗x ——时,f x 取到最小值 2 J3 . 6(1)由于 a (cosx,sin x),(3, V 3) , all b,假设 cosx 0, 那么 sin x 0 ,与 sin 2 xcos 2 x 1 矛盾,故 cosx0.(2) f (x)a b (cos x,sin x) (3,、3) 3cos x \ 3 sin x「 兀2,3cos(x -).6由于x0,所以 冗 冗7冗x -[-,-],6 6 6从而cos(x27.【2021年高考浙江卷】角 a 的顶点与原点 O 重合,始边与x 轴的非负半轴重合,它的终边过点45)(1)求sin ( a+兀)的值;5 〜(2)右角3满足sin ( a+优=一,求cos 3的值.134【答案】(1) — ; (2) COS5【解析】(1)由角 的终边过点 所以sin( 访 sin【名师点睛】此题主要考查三角函数的定义、诱导公式、两角差的余弦公式,考查考生分析问题、 解决问题的水平,运算求解水平,考查的数学核心素养是数学运算求解三角函数的求值问题时,需综合应用三角函数的定义、诱导公式及三角恒等变换 (1)首先利用三角函数的定义求得 sin ,然后利用诱导公式,计算 sin (妙兀)的值;结合同角三角函数的根本关系,计算 cos( )的值,要注意该值的,利用两角差的余弦公式,通过分类讨论,求得 cosB 的值(1)求cos2的值；(2)求tan( )的值.【答案】(1)—；(2)-.25 11【解析】(1)由于tan 4 , tan §n 一3cos4— cos 356T 16 瓦或cos —3 4『P( -, 一Win5 5(2)由角 由 sin( 由 ( 34的终边过点P( 一,一)得cos 5 5 、5 3 , 、 12)而得.问)行) 得 cos cos( )cossin()sin ,所以cos史或cos6516 65(2)根据sin (廿3)的值, 正负,然后根据 28.【2021年高考江苏卷】为锐角,tan4一,cos( 3所以sin 由于sin 22cos因此tan(因此,tan( ) tan[2 (tan 2 tan( )2"1 tan 2 tan( )11由于tan4-, 八一,所以tan 2 3 2 tan 1 tan 2 24一,7【名师点睛】本小题主要考查同角三角函数关系、两角和(差)及二倍角的三角函数,考查运算求 解水平.三角函数求值的三种类型:(1)给角求值：关键是正确选用公式,以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数. (2)给值求值：关键是找出式与待求式之间的联系及函数的差异. 般有如下两种思路:①适当变换式,进而求得待求式的值;②变换待求式,便于将式的值代入,从而到达解题的目的.(3)给值求角：实质是转化为 给值求值〞,先求角的某一函数值, 再求角的范围,进而确定角. _ .............. .... ... 冗29.【2021年局考山东卷理数】设函数 f(x) sin( x —) sin( x 6」),其中0 2 3. 花 f(-) 0. 6 (1)求 (2)将函数y f (x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2倍 (纵坐标不变),再将得到的图象 向左平移」个单位,得到函数y g(x)的图象,求g(x)在［-,3」］上的最小值 44 4 3 【答案】(1) 2 ; (2)最小值为 一. 2_ __ 冗冗【斛析】(1)由于 f (x) sin( x —) sin( x —), 62一, o 9 所以cos——,因此,cos2 2cos 2 17 25(2)由于,为锐角,所以(0, ).又由于cos(所以sin(...1 cos 2(2、5 ----- , 5所以f(x) .3 1——sin x cos x cos x 2 23；「 3 ———sin x —cos x2 23(』sin x -cos x)2 2、.3sin( x -). 3,-.一. Tt由题设知f (-) 0,6- Tt Tt . 一所以」」ku, k Z.6 3故6k 2 , k Z ,又0 3 ,所以2.(2)由(1)得f (x) >/3sin 2x —3所以g (x) . 3 sin x ——4 3 ?3 sin x —12所以x122 3, 3〜…,.,、 3所以当x 一一,即x 一时,g(x)取得最小值一.12 3 4 2【名师点睛】此类题目是三角函数问题中的典型题目,可谓相当经典.解答此题时,关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质,此题易错点在于一是图象的变换与解析式的对应,二是无视设定角的范围.难度不大,能较好地考查考生的根本运算求解水平及复杂式子的变形水平(1) 2; (2) f(x)的最小正周期是。
