2020-2021学年高考数学(理)考点：三角函数的图象与性质

三角函数的图象与性质高考定位 三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容，主要从以下两个方面进行考查：1.三角函数的图象，涉及图象变换问题以及由图象确定解析式问题，主要以选择题、填空题的形式考查；2.利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等，主要以客观题或解答题其中一问的形式考查.1.(多选)(2020·新高考Ⅰ卷)如图是函数y ＝sin(ωx ＋φ)的部分图象，则sin(ωx ＋φ)＝( )A.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3B.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2xC.cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6D.cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2x答案 BC解析 由图象知T 2＝2π3－π6＝π2，得T ＝π，所以ω＝2πT ＝2.又图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，由“五点法”，结合图象可得φ＋π3＝π，即φ＝2π3，所以sin(ωx ＋φ)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，故A 错误；由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 知B 正确；由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6知C 正确；由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －5π6＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2x 知D 错误.综上可知，正确的选项为BC.2.(2021·全国乙卷)把函数y ＝f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图象，则f (x )＝( ) A.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－7π12B.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π12C.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －7π12D.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π12答案 B解析 依题意，将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图象向左平移π3个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得到f (x )的图象，所以y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图象y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12的图象―――――――――――――――――――→所有点的横坐标扩大到原来的2倍 f （x ）＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π12的图象．故选B.3．（2021·全国甲卷）已知函数f （x ）＝2cos （ωx ＋φ）的部分图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝ Ｗ．答案 － 3解析 由图象可得，函数的周期T ＝43×⎝ ⎛⎭⎪⎫13π12－π3＝π，所以ω＝2πT ＝2，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0代入f （x ）＝2cos （2x ＋φ）中，得2×π3＋φ＝2k π＋π2（k ∈Z ），解得φ＝2k π－π6（k ∈Z ），则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π2＋2k π－π6＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋5π6＝－ 3.4．（2020·全国Ⅲ卷）关于函数f （x ）＝sin x ＋1sin x 有如下四个命题： ①f （x ）的图象关于y 轴对称． ②f （x ）的图象关于原点对称．③f （x ）的图象关于直线x ＝π2对称． ④f （x ）的最小值为2.其中所有真命题的序号是 ． 答案 ②③解析 ∵f （x ）＝sin x ＋1sin x 的定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z }，关于原点对称，又 f （－x ）＝sin （－x ）＋1sin （－x ）＝－f （x ），而f （－x ）≠f （x ），∴f （x ）为奇函数，不是偶函数，①错误，②正确．∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝cos x ＋1cos x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ＝cos x ＋1cos x ， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ，∴f （x ）的图象关于直线x ＝π2对称，③正确． 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0时，f （x ）<0，④错误．故填②③.5．(2021·浙江卷)设函数f (x )＝sin x ＋cos x (x ∈R ). (1)求函数y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π22的最小正周期；(2)求函数y ＝f (x )f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值．解 (1)因为f (x )＝sin x ＋cos x ， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2 ＝cos x －sin x ，所以y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π22＝(cos x －sin x )2＝1－sin 2x .所以函数y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π22的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝2sin x ， 所以y ＝f (x )f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝2sin x ()sin x ＋cos x ＝2(sin x cos x ＋sin 2x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋22.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以当2x －π4＝π2，即x ＝3π8时，函数y ＝f (x )f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上取得最大值，且y max ＝1＋22.1．常用的三种三角函数的图象与性质(下表中k ∈Z ) 函数y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x图象递增区间 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2 [2k π－π，2k π] ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2 递减区间 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2 [2k π，2k π＋π]奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称中心 (k π，0) ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0 对称轴 x ＝k π＋π2x ＝k π 周期2π2ππ2.三角函数的常用结论(1)y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )求得． (2)y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )求得． (3)y ＝A tan(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数． 3．三角函数的两种常见变换 (1)y ＝sin x ―――――――――――――→向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φ|个单位y ＝sin(x ＋φ)y ＝sin(ωx ＋φ)―――――――――――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0).(2)y ＝sin xy ＝sin ωx ―――――――――――→向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φω|个单位y ＝sin(ωx ＋φ)―――――――――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0).热点一 三角函数的定义与同角关系式【例1】 (1)在平面直角坐标系中，AB ︵，CD ︵，EF ︵，GH ︵是圆x 2＋y 2＝1上的四段弧(如图)，点P 在其中一段上，角α以Ox 为始边，OP 为终边．若tan α<cos α<sin α，则点P 所在的圆弧是( )A.AB ︵B.CD ︵C.EF ︵D.GH ︵(2)如图，以Ox 为始边作角α(0＜α＜π)，终边与单位圆相交于点P ，已知点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45，则sin 2α＋cos 2α＋11＋tan α＝ ．答案 (1)C (2)1825解析 (1)设点P 的坐标为(x ，y )，且tan α＜cos α＜sin α，∴yx ＜x ＜y ，解之得－1＜x ＜0，且0＜y ＜1. 故点P (x ，y )所在的圆弧是EF ︵.(2)由三角函数定义，得cos α＝－35，sin α＝45，∴原式＝2sin αcos α＋2cos 2α1＋sin αcos α＝2cos α（sin α＋cos α）sin α＋cos αcos α＝2cos 2α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝1825.探究提高 1.任意角的三角函数值仅与角α的终边位置有关，而与角α终边上点P 的位置无关．若角α已经给出，则无论点P 在α终边上的什么位置，角α的三角函数值都是确定的．2．应用诱导公式与同角关系进行开方运算时，一定要注意三角函数值的符号；利用同角三角函数的关系化简要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．【训练1】 (1)若sin θ＝5cos(2π－θ)，则tan 2θ等于( ) A ．－53B.53C ．－52D.52(2)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A (1，a )，B (2，b )，且cos 2α＝23，则|a －b |＝( ) A.15 B.55 C.255D ．1答案 (1)C (2)B解析 (1)∵sin θ＝5cos(2π－θ)， ∴sin θ＝5cos θ，得tan θ＝5， ∴tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝251－（5）2＝－52. (2)由题意知cos α>0.因为cos 2α＝2cos 2α－1＝23，所以cos α＝306，sin α＝±66，得|tan α|＝55.由题意知|tan α|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －b 1－2，所以|a －b |＝55. 热点二 三角函数的图象【例2】 (1)(多选)(2021·唐山二模)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象为曲线E ，则( )A ．将曲线y ＝sin 2x 向右平移π3个单位长度，与曲线E 重合B ．将曲线y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，与曲线E重合C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0是曲线E 的一个对称中心 D ．若x 1≠x 2，且f (x 1)＝f (x 2)＝0，则|x 1－x 2|的最小值为π2(2)(2021·全国甲卷)已知函数f (x )＝2cos (ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，则满足条件⎝ ⎛⎭⎪⎫f （x ）－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π4⎝ ⎛⎭⎪⎫f （x ）－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＞0的最小正整数x 为 ．答案 (1)BD (2)2解析 (1)对于A 选项，曲线y ＝sin 2x 向右平移π3个单位长度，得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3的图象，(平移变换指的是对“x ”的变换)所以A 选项不正确；对于B 选项，曲线y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，可得到曲线y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以B 选项正确；对于C 选项，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝－1≠0，所以C 选项不正确；对于D 选项，因为x 1≠x 2，f (x 1)＝f (x 2)＝0，所以|x 1－x 2|的最小值为f (x )最小正周期的一半，即π2，所以D 选项正确．故选BD.(2)由题图可知，34T ＝13π12－π3＝3π4(T 为f (x )的最小正周期)，得T ＝π，所以ω＝2，所以f (x )＝2cos(2x ＋φ).点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0可看作“五点作图法”中的第二个点，则2×π3＋φ＝π2，得φ＝－π6，所以f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π4＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝⎛⎭⎪⎫－7π4－π6＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π3＝2cos π3＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×4π3－π6＝2cos 5π2＝0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫f （x ）－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π4⎝ ⎛⎭⎪⎫f （x ）－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＞0，即(f (x )－1)f (x )＞0，可得f (x )＞1或f (x )＜0，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＞12或cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＜0.当x ＝1时，2x －π6＝2－π6 ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，不符合题意；当x ＝2时，2x －π6＝4－π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，7π6，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＜0，符合题意，所以满足题意的最小正整数x 为2.探究提高 1.在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．这两种变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．2．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，一般把第一个“零点”作为突破口，可以从图象的升降找准第一个“零点”的位置．【训练2】 (1)(多选)(2021·湖南名校测评)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则( )A ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3B ．f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋xD ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x(2)将曲线y ＝f (x )·cos 2x 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π4个单位长度，得到曲线y ＝cos 2x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝( )A ．1B ．－1 C. 3D.－ 3答案 (1)ABD (2)D解析 (1)由题图可知5π6－π12＝3π4＝3T4(T 为f (x )的最小正周期)， 所以T ＝π＝2πω，解得ω＝2，则f (x )＝sin(2x ＋φ).由图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，1，得2×π12＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )， 得φ＝2k π＋π3(k ∈Z ).因为|φ|<π2，所以φ＝π3，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，因此A 选项正确；f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，所以B 选项正确； 令2x ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k 2π＋π12(k ∈Z )，即函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象的对称轴方程为x ＝k 2π＋π12(k ∈Z )，所以C 选项不正确；令2x ＋π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝k 2π－π6(k ∈Z )，即函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2π－π6，0(k ∈Z )，当k ＝1时，对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，所以D 选项正确.故选ABD.(2)把y ＝cos 2x 的图象向左平移π4个单位长度，得y ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x 的图象，再把所得图象各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，所得图象对应函数为y ＝－sin(2·2x )＝－sin 4x .依题设y ＝－sin 4x ＝f (x )·cos 2x .因此f (x )＝－2sin 2x ，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－2sin π3＝－ 3.热点三 三角函数的性质【例3】 (1)(多选)(2021·天津适应性考试)已知x 1，x 2是函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)的两个不同零点，且|x 1－x 2|的最小值是π2，则下列说法正确的是( )A.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增B.函数f (x )的图象关于直线x ＝－π6对称 C.函数f (x )的图象关于点(π，0)中心对称 D.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，函数f (x )的值域是[－2，1]答案 ABD解析 由题意可知，函数f (x )的最小正周期T ＝π＝2πω， ∴ω＝2，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. 对于选项A ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，故A 正确；对于选项B ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝⎛⎭⎪⎫－π6－π6 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝－2，∴f (x )的图象关于直线x ＝－π6对称，故B 正确；对于选项C ，f (π)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π6＝－1≠0，∴f (x )的图象不关于点(π，0)中心对称，故C 错误； 对于选项D ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，11π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，f (x )∈[－2，1]，故D 正确. 综上，选ABD.(2)(2021·南京调研)已知函数f (x )＝4a cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝1.①求a 的值及f (x )的最小正周期；②若f (x )在[0，m ]上单调递增，求m 的最大值.解 ①由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝4a ×12×12＝1，解得a ＝1.所以f (x )＝4cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝4cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x －12cos x ＝23sin x cos x －2cos 2x＝3sin 2x －cos 2x －1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1的最小正周期为π.②由①知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1.当x ∈[0，m ]时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，2m －π6， 若f (x )在[0，m ]上单调递增， 则有－π6<2m －π6≤π2，即0<m ≤π3.所以m 的最大值为π3.探究提高 1.讨论三角函数的单调性，研究三角函数的周期性、奇偶性与对称性，都必须首先利用辅助角公式，将函数化成一个角的一种三角函数.2.求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的单调区间，是将ωx ＋φ作为一个整体代入正弦函数增区间(或减区间)，求出的区间即为y ＝A sin(ωx ＋φ)的增区间(或减区间).【训练3】 (1)(2021·苏州调研)声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数模型.纯音的数学模型是函数y ＝A sin ωt ，通常我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数f (x )＝sin x ＋12sin 2x ，则下列有关函数f (x )的结论正确的是( ) A.2π不是f (x )的一个周期 B.f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增C.f (x )的最大值为334D.f (x )在[0，2π]上有2个零点(2)(多选)(2021·青岛模拟)已知函数f (x )＝(2cos 2ωx －1)sin 2ωx ＋12cos 4ωx (ω>0)，则下列说法正确的是( )A.若f (x )的两个相邻的极值点之差的绝对值等于π4，则ω＝2B.当ω＝12时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最小值为－12C.当ω＝1时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，0上单调递增D.当ω＝1时，将f (x )的图象向右平移π8个单位长度后得到g (x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π4的图象答案 (1)C (2)BD解析 (1)由于f (x ＋2π)＝sin(x ＋2π)＋12sin(2x ＋4π)＝sin x ＋12sin 2x ＝f (x )，∴2π是函数f (x )的一个周期，A 不正确；当x ∈[0，2π]时，f ′(x )＝cos x ＋cos 2x ＝cos x ＋cos 2x －sin 2x ＝2cos 2x ＋cos x －1，由f ′(x )>0，得12<cos x ≤1，所以0≤x <π3或5π3<x ≤2π；由f ′(x )<0，得－1<cos x <12，所以π3<x <5π3，所以函数f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π3，⎝ ⎛⎦⎥⎤5π3，2π上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5π3上单调递减，故B 不正确；易知x ＝π3为函数f (x )的极大值点，x ＝5π3为函数f (x )的极小值点，且f (0)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝334，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝－334，f (2π)＝0，所以f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝334，故C 正确；由f (x )＝sin x ＋12sin 2x ＝0，得sin x ＋sin x cos x ＝0，得sin x ＝0或cos x ＝－1，当x ∈[0，2π]时，x ＝0或x ＝π或x ＝2π，则f (x )在[0，2π]上有3个零点，故D 不正确.(2)f (x )＝12sin 4ωx ＋12cos 4ωx ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4ωx ＋π4.选项A ：由题意得T 2＝π4，∴12×2π4ω＝π4，∴ω＝1，A 不正确；选项B ：当ω＝12时，f (x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，故f (x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，22，B 正确； 选项C ：当ω＝1时，f (x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，0时，4x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4，故f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，0上不单调递增，C 不正确；选项D ：当ω＝1时，f (x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4，将f (x )的图象向右平移π8个单位长度后，所得图象的解析式为g (x )＝22sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π8＋π4＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π4，D 正确.故选BD. 热点四 三角函数性质与图象的综合应用【例4】 设函数f (x )＝sin ωx ·cos ωx －3cos 2ωx ＋32(ω>0)的图象上相邻最高点与最低点的距离为π2＋4. (1)求ω 的值；(2)若函数y ＝f (x ＋φ)(0<φ<π2)是奇函数，求函数g (x )＝cos(2x －φ)的单调递减区间. 解 (1)f (x )＝sin ωx ·cos ωx －3cos 2ωx ＋32＝12sin 2ωx －3（1＋cos 2ωx ）2＋32 ＝12sin 2ωx －32cos 2ωx ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3.设T 为f (x )的最小正周期，由f (x )的图象上相邻最高点与最低点的距离为π2＋4，得⎝ ⎛⎭⎪⎫T 22＋[2f (x )max ]2＝π2＋4. 又f (x )max ＝1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫T 22＋4＝π2＋4，解得T ＝2π.又ω>0，T ＝2π2ω＝2π，∴ω＝12. (2)由(1)可知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，∴f (x ＋φ)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φ－π3.∵y ＝f (x ＋φ)是奇函数，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ－π3＝0， 即φ－π3＝k π(k ∈Z )，又0<φ<π2，∴φ＝π3，∴g (x )＝cos(2x －φ)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.令2k π≤2x －π3≤2k π＋π，k ∈Z ，则k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，k ∈Z ，∴函数g (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z .探究提高 1.研究三角函数的图象与性质，关键是将函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋B )的形式，利用正余弦函数与复合函数的性质求解. 2.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ))的最小正周期T ＝2π|ω|.应特别注意y ＝|A sin(ωx ＋φ)|的最小正周期为T ＝π|ω|.【训练4】 (2021·武汉诊断)已知函数f (x )＝2sin 2ωx ＋23sin ωx cos ωx －1(ω>0)，且函数f (x )的最小正周期为π.(1)求f (x )的解析式，并求出f (x )的单调递增区间；(2)将函数f (x )的图象向左平移π4个单位长度得到函数g (x )的图象，求函数g (x )的最大值及g (x )取得最大值时x 的取值集合. 解 (1)f (x )＝2sin 2ωx ＋23sin ωx cos ωx －1 ＝1－cos 2ωx ＋3sin 2ωx －1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6.由函数f (x )的最小正周期T ＝2π2ω＝π，得ω＝1.所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z ，故f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3，k ∈Z .(2)g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π6 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，则g (x )的最大值为2，此时有2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝1，即2x ＋π3＝2k π＋π2，k ∈Z ，解得x ＝k π＋π12，k ∈Z ，所以当g (x )取得最大值时x 的取值集合为{x |x ＝k π＋π12，k ∈Z }.一、选择题1.(2021·湖南大联考)已知2sin(π－α)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α，则sin 2α－12sin 2α－cos 2α＝( ) A.513 B.－113C.－513D.113答案 B解析 由2sin(π－α)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α，得2sin α＝3cos α，所以tan α＝32，从而原式＝sin 2α－sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan α－1tan 2α＋1＝－113. 2.(2021·石家庄模拟)刘徽(约公元225年～295年)，魏晋时期伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一.他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作.割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n 边形等分成n 个等腰三角形(如图所示)，当n 变得很大时，这n 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积.运用割圆术的思想，估计sin 4°的值为( )A.0.052 4B.0.062 8C.0.078 5D.0.069 8答案 D解析 将一个单位圆平均分成90个扇形，则每个扇形的圆心角度数均为4°， 因为这90个扇形对应的等腰三角形的面积和近似于单位圆的面积，所以90×12×1×1×sin 4°＝45sin 4°≈π， 所以sin 4°≈π45≈0.069 8.3.(2021·北京卷)已知函数f (x )＝cos x －cos 2x ，则该函数为( ) A.奇函数，最大值为2 B.偶函数，最大值为2 C.奇函数，最大值为98 D.偶函数，最大值为98答案 D解析 函数f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝f (x )，则f (x )为偶函数.f (x )＝cos x －cos 2x ＝cos x －(2cos 2x －1)＝－2cos 2x ＋cos x ＋1＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －142＋98，又cos x ∈[－1，1]，故f (x )的最大值为98，故选D.4.古希腊人早在公元前就知道，七弦琴发出不同的声音，是由于弦长度的不同.数学家傅里叶(公元1768年～1830年)关于三角函数的研究告诉我们：人类的声音，小提琴的奏鸣，动物的叫声——都可以归结为一些简单声音的组合，而简单声音是可以用三角函数模型描述的.已知描述百灵鸟的叫声时用到如图所示的图象，图象的解析式是f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<π)，则( )A.ω＝3，φ＝π6 B.ω＝6，φ＝π3 C.ω＝3，φ＝π4 D.ω＝6，φ＝5π6答案 C解析 由图象知，T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1112π－712π＝2π3，∴2πω＝2π3，则ω＝3.又A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3×7π12＋φ＝0，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫74π＋φ＝0，∴74π＋φ＝2k π(k ∈Z )，由φ∈(0，π)，得φ＝π4.5.(2021·广东七校联合体二联)如图，点P 在以AB 为直径的半圆弧上沿着BA ︵运动，AB ＝2，记∠BAP ＝x .将点P 到A ，B 两点的距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为( )答案 C解析 法一 由题意可知，△P AB 为直角三角形，P A ＝2cos x ，PB ＝2sin x ， 所以P A ＋PB ＝2cos x ＋2sin x ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，即y ＝f (x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2. 因为x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，所以x ＋π4∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，3π4，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1，所以22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4∈[2，22]，当x ＋π4＝π2，即x ＝π4时函数f (x )取得最大值22，故排除B ，D ；又函数f (x )的解析式为正弦型，故排除A ，故选C.法二 由题意可知，△P AB 为直角三角形.当x ＝π4时，△P AB 为等腰直角三角形，此时P A ＝PB ＝2，则P A ＋PB ＝22>2，故排除B ，D ； 当x ＝π6时，P A ＋PB ＝2cos π6＋2sin π6＝3＋1，当x ＝π12时，P A ＋PB ＝2cos π12＋2sin π12＝6＋22＋6－22＝6，又22－（3＋1）π4－π6≠（3＋1）－6π6－π12，所以当0<x <π4时，函数f (x )的图象不是直线型，故排除A ，故选C.6.(多选)(2021·南京调研)将函数f (x )＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位长度后，得到函数y ＝g (x )的图象，则( )A.函数g (x )的图象关于直线x ＝π12对称 B.函数g (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称C.函数g (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π12，－π6上单调递增D.函数g (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，7π6上有2个零点答案 ACD解析 将函数f (x )的图象向左平移π6个单位长度得y ＝g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象. 对于A ，由2x ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π12(k ∈Z )，当k ＝0时，x ＝π12，所以函数g (x )的图象关于直线x ＝π12对称，故A 正确；对于B ，当x ＝π6时，g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋π3＝sin 2π3＝32≠0，所以函数g (x )的图象不关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称，故B 不正确；对于C ，由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得－5π12＋k π≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )，当k ＝0时，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12，又⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π12，－π6⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12，所以函数g (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π12，－π6上单调递增，故C 正确； 对于D ，由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝0，得2x ＋π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝k π2－π6(k ∈Z ).当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，7π6时，x ＝π3，5π6，所以函数g (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，7π6上有2个零点，故D 正确.综上所述，选ACD. 二、填空题7.(2021·八省联考)写出一个最小正周期为2的奇函数f (x )＝ . 答案 sin πx (答案不唯一)解析 可考虑三角函数中的正弦型函数f (x )＝A sin ωx (A ≠0)，满足f (－x )＝ －A sin ωx ＝－f (x )，即是奇函数.根据最小正周期T ＝2πω＝2，可得ω＝π.故函数可以是f (x )＝A sin πx (A ≠0)中任一个，可取f (x )＝sin πx (答案不唯一).8.偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，其中△EFG是斜边为4的等腰直角三角形(E ，F 是函数图象与x 轴的交点，点G 在图象上)，则A ＝ ，f (1)的值为 .答案 22解析 依题设，T 2＝|EF |＝4，T ＝8，ω＝π4. ∵函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，且0<φ<π. ∴φ＝π2，在等腰直角△EGF 中，易求A ＝2.所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π2＝2cos π4x ，则f (1)＝ 2.9.(2021·山东中学联盟联考)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)在[0，π]上有且仅有3个零点，则函数f (x )在[0，π]上存在 个极小值点，实数ω的取值范围是 . 答案 1 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫136，196解析 根据三角函数图象的平移和伸缩变换，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6的图象可由y ＝ sin x 的图象向右平移π6个单位长度，然后所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的1ω得到，则f (x )的大致图象如图所示.图中O 点右侧的零点依次为π6ω，7π6ω，13π6ω，19π6ω，….由题意，f (x )在[0，π]上有且仅有3个零点，则f (x )在[0，π]上有1个极小值点，且13π6ω≤π<19π6ω，解得ω的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫136，196.三、解答题10.已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω＞0)的图象向左平移π2个单位长度后与函数g (x )＝cos(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的图象重合.(1)求ω和φ的值；(2)若函数h (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π8，求h (x )的单调递增区间及其图象的对称轴方程. 解 (1)由题意得ω＝2，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝cos(2x ＋φ).∵|φ|＜π2，∴φ＝π3.(2)由(1)知，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴h (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π8＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π12＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π12 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，令2x ＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ，解得x ＝k π2＋π12，k ∈Z ，∴h (x )图象的对称轴方程为x ＝k π2＋π12，k ∈Z .令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z .∴h (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z . 11.已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x ＋32. (1)求f (x )的最大值及取得最大值时x 的值；(2)若方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2，求cos(x 1－x 2)的值.解 (1)f (x )＝cos x sin x －32(2cos 2x －1)＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.当2x －π3＝π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝512π＋k π(k ∈Z )时，函数f (x )取最大值，且最大值为1.(2)令2x －π3＝π2＋k π(k ∈Z )，解得x ＝5π12＋k π2(k ∈Z )，∴函数f (x )图象的对称轴为x ＝512π＋k π2(k ∈Z )，∴当x ∈(0，π)时，对称轴为x ＝512π或x ＝11π12.又方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2.∴x 1＋x 2＝56π(易证x 1＋x 2＝11π6不合题意)，则x 1＝56π－x 2，∴cos(x 1－x 2)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π－2x 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－π3， 又f (x 2)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－π3＝23， 故cos(x 1－x 2)＝23.12.(多选)(2021·济南诊断)已知函数f (x )＝a sin(2x ＋φ1)＋b cos(2x ＋φ2)(f (x )不恒为0)，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，则下列说法一定正确的是( ) A.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12为奇函数 B.f (x )的最小正周期为πC.f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，5π12上单调递增 D.f (x )在区间[0，2 021π]上有4 042个零点答案 BD解析 f (x )＝a (sin 2x cos φ1＋cos 2x sin φ1)＋b (cos 2x cos φ2－sin 2x sin φ2) ＝(a cos φ1－b sin φ2)sin 2x ＋(a sin φ1＋b cos φ2)cos 2x .令m ＝a cos φ1－b sin φ2，n ＝a sin φ1＋b cos φ2， 则f (x )＝m sin 2x ＋n cos 2x ＝m 2＋n 2sin(2x ＋θ)(其中tan θ＝n m )，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，B 选项正确；由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，所以x ＝π6是f (x )的零点，其相邻的2个零点为x ＝π6－π2＝－π3和x ＝π6＋π2＝2π3，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12不是奇函数，A 选项错误； 零点x ＝π6相邻的两个对称轴方程为x ＝π6－π4＝－π12和x ＝π6＋π4＝5π12，所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，5π12上可能单调递增，也可能单调递减，C 选项错误； 由于f (x )在[0，π]上的零点有2个，而f (x )的最小正周期为π，所以f (x )在区间[0，2 021π]上有2 021×2＝4 042(个)零点，D 选项正确.故选BD.13.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g (x ).若g (x )的最小正周期为2π，且g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝ . 答案 2解析 由f (x )是奇函数可得φ＝k π(k ∈Z )，又|φ|<π，所以φ＝0.所以g (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12ωx .由g (x )的最小正周期为2π， 可得2π12ω＝2π，故ω＝2，所以g (x )＝A sin x ，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝A sin π4＝22A ＝2，所以A ＝2. 所以f (x )＝2sin 2x ，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝2sin 3π4＝ 2. 14.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2<φ<0满足下列4个条件中的3个，4个条件依次是①ω＝32；②周期T ＝π；③f (x )的图象过点(0，0)；④f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝32. (1)写出所满足的3个条件的序号(不需要说明理由)，并求f (x )的解析式；(2)求函数f (x )的图象与直线y ＝1相邻两个交点间的最短距离.解 (1)所满足的三个条件是②③④，∵f (x )的周期T ＝π，∴ω＝2，∴f (x )＝sin(2x ＋φ)＋m .又f (x )的图象过点(0，0)，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝32， ∴sin φ＋m ＝0，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＋m ＝32， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ－sin φ＝32， ∴32cos φ－12sin φ－sin φ＝32，∴3⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos φ－32sin φ＝32，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－φ＝32.又∵－π2<φ<0，∴φ＝－π6.又∵sin φ＋m ＝0，∴－12＋m ＝0，∴m ＝12，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12. (2)由f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12＝1， 得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝12， ∴2x －π6＝2k π＋π6或2x －π6＝2k π＋5π6，k ∈Z ，∴x ＝k π＋π6或x ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴函数f (x )的图象与直线y ＝1相邻两个交点间的最短距离为π2－π6＝π3.。

高中数学三角函数及反三角函数图像性质、知识点总结高中数学中，三角函数及反三角函数是重要的内容之一。

在学习这一部分知识时，需要掌握其图像性质以及相关的知识点。

下面将对这些内容进行总结。

一、三角函数的图像性质1. 正弦函数（sin）的图像性质：- 周期性：sin函数的周期为2π，即在每个周期内，函数的图像重复出现；- 奇函数性质：sin函数关于原点对称；- 取值范围：sin函数的取值范围为[-1,1]，即函数的值始终在该区间内波动。

2. 余弦函数（cos）的图像性质：- 周期性：cos函数的周期为2π；- 偶函数性质：cos函数关于y轴对称；- 取值范围：cos函数的取值范围也为[-1,1]。

3. 正切函数（tan）的图像性质：- 周期性：tan函数的周期为π；- 奇函数性质：tan函数关于原点对称；- 无界性：tan函数的值域为实数集，即函数在某些点无界。

二、三角函数的知识点1. 基本正弦函数的性质：- 特殊角的正弦值：0°、90°、180°、270°和360°对应的正弦值分别为0、1、0、-1和0；- 正弦函数的增减性：在0°到180°的区间上，sin函数是单调递增的；- 正弦函数的奇偶性：sin(-x)=-sin(x)，即sin函数关于原点对称。

2. 基本余弦函数的性质：- 特殊角的余弦值：0°、90°、180°、270°和360°对应的余弦值分别为1、0、-1、0和1；- 余弦函数的增减性：在0°到180°的区间上，cos函数是单调递减的；- 余弦函数的奇偶性：cos(-x)=cos(x)，即cos函数关于y轴对称。

3. 基本正切函数的性质：- 特殊角的正切值：0°、90°、180°和270°对应的正切值分别为0、无穷大、0和无穷大；- 正切函数的周期性：tan(x+π)=tan(x)，即tan函数的周期是π。

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第20讲三角函数的图像与性质（精讲）题型目录一览一、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(下表中Zk∈)(1)在正弦函数xy sin=，]20[π，∈x的图象中，五个关键点是：3(00)(1)(0)(1)(20)22ππππ-，，，，，，，，，．(2)在余弦函数xy cos=，]20[π，∈x的图象中，五个关键点是：3(01)(0)(1)(0)(21)22ππππ-，，，，，，，，，．π二、正弦、余弦、正切函数的图象与性质1．对称与周期(1)正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是2T ； (2)正(余)弦曲线相邻两个对称中心的距离是2T ； (3)正(余)弦曲线相邻两条对称轴与对称中心距离4T ； 2．函数具有奇、偶性的充要条件(1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R )是奇函数⇔φ＝k π(k ∈Z )； (2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R )是偶函数⇔φ＝k π＋π2(k ∈Z )；(3)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)(x ∈R )是奇函数⇔φ＝k π＋π2(k ∈Z )；(4)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)(x ∈R )是偶函数⇔φ＝k π(k ∈Z )．题型一 正弦函数的图像与性质【题型训练】一、单选题1．函数(]2sin ,0,4πy x x =+∈的图象与直线2y =的交点的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42．“αβ=”是“sin sin αβ=”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既是充分条件，也是必要条件D ．既不充分也不必要条件二、多选题6．函数()sin 2|sin |,[0,2]f x x x x π=+∈的图象与直线y k =的交点个数可能是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3三、填空题题型二 余弦函数的图像与性质2π,π3⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎦⎣⎦5π,π6⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎦⎣⎦【题型训练】一、单选题1．函数y ＝|cos x |的一个单调增区间是（ ）A．B．C．D．⎫⎪⎭⎛ ⎝二、多选题70)sin18> 三、填空题21m =+，且m ∈题型三 正切函数的图像与性质【题型训练】一、单选题2,3ππ⎫⎛⎫⎪ ⎪⎭⎝⎭2,23ππ⎫⎛⎫⎪ ⎪⎭⎝⎭⎫⎪⎭二、多选题三、填空题。

三角函数的图象和性质（1）一、知识梳理1二、例题讲解 1、函数的定义域例1、求下列函数的定义域 （1）xxx x f cos 1tan cos )(+⋅=（2）29)3sin 2lg()(x x x f -++=2、函数的值域例2、求下列函数的值域（1）x x x y cos sin 42cos 31++= （)22(cos 3sin ππ≤≤-+=x x x y ）（2）)3sin(sin π-=x x y （()()1cos 1sin ++=x x y ）(3) 1sin 23sin 4-+=x x y （2cos 1sin 2+-=x x y ）例3、（1）若ππ2<<x ，kk x --=432sin 有意义，求实数k 的取值范围； （2）问a 为何值时，函数()1sin 2cos 3log )(221++=x a x x f 的定义域为R ？例4、已知函数b a x x a x a x f ++-=cos sin 32sin 2)(2的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π，值域为[]1,5-，求常熟b a ,的值。

作业：1、 1. 求函数x x y tan log 221++=的定义域；2. 已知函数)0)(63sin(>+-=b x b a y π的最大值为23，最小值为21-，分别求出b a ,的值。

3. 若x x f ωsin 2)(=（10<<ω）在区间]3,0[π上的最大值是2，求ω的值。

4. 求函数11()(sin cos )sin cos 22f x x x x x =+--的值域 5. 若函数)2cos(2sin )2sin(42cos 1)(xx a x x x f --++=ππ的最大值为2，试确定常数a 的值。

6. 求函数xx xx y cos sin 1cos sin ++⋅=的最大值和最小值。

7. 已知函数a x x x f ++-=sin sin )(2。

重难点11 三角函数的图像与性质1.三角函数定义域的求法①以正切函数为例，应用正切函数y ＝tan x 的定义域求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的定义域． ②求复杂函数的定义域转化为求解简单的三角不等式． (2)简单三角不等式的解法 ①利用三角函数线求解． ②利用三角函数的图象求解．2.求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型：(1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋c 的形式，再求值域(最值)； (2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；(3)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．3.函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种作法五点法设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象图象变 换法由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”多少值．4.确定y ＝Asin(ωx ＋φ)＋b(A ＞0，ω＞0)的步骤和方法(1)求A ，b ，确定函数的最大值M 和最小值m ， 则A ＝M －m 2，b ＝M ＋m2. (2)求ω，确定函数的最小正周期T ，则可得ω＝2πT .(3)求φ，常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)；②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx ＋φ ＝π2＋2k π(k ∈Z )；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx ＋φ＝3π2＋2k π(k ∈Z )．2023年高考仍将重点考查三角函数的图像与性质及三角函数变换，特别是这些知识点的组合考查是考查的热点，题型仍为选择题或填空题，难度可以为基础题或中档题，也可以是压轴题.（建议用时：40分钟）一、单选题1．为了得到函数2sin3y x =的图象，只要把函数π2sin 35y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有的点（ ）A ．向左平移π5个单位长度B ．向右平移π5个单位长度C ．向左平移π15个单位长度 D ．向右平移π15个单位长度 2．函数ππ4sin 33cos 344y x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期是( )A ．6πB ．2πC ．2π3 D ．π33．函数()cos cos 2f x x x =-是（ ） A ．奇函数，且最大值为2B ．偶函数，且最大值为2C ．奇函数，且最大值为98D ．偶函数，且最大值为984．函数f （x ）＝sin x 3x （x ∈[﹣π，0]）的单调递增区间是（ ） A ．[﹣π，﹣56π] B ．[﹣56π，﹣6π] C ．[﹣3π，0] D ．[﹣6π，0] 5．将函数π()sin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向左平移π2个单位长度后得到曲线C ，若C 关于y 轴对称，则ω的最小值是（ ） A ．16B ．14C ．13D ．126．为得到函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将sin 2y x =的图象（ ）A ．向左平移512π个单位长度 B ．向右平移512π个单位长度 C ．向左平移56π个单位长度 D ．向右平移56π个单位长度 7．下列函数中，图象的一部分如图所示的是（ ）A ．sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．cos 43y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭8．设函数π()sin 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是（ ） A ．513,36⎫⎡⎪⎢⎣⎭B ．519,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．138,63⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1319,66⎛⎤ ⎥⎝⎦9．将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数（ ） A ．在区间35[,]44ππ上单调递增 B ．在区间3[,]4ππ上单调递减 C ．在区间53[,]42ππ上单调递增 D ．在区间3[,2]2ππ上单调递减 10．下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2π)单调递增的是（ ） A ．f (x )=│cos 2x │ B ．f (x )=│sin 2x │ C ．f (x )=cos│x │D ．f (x )= sin│x │11．设函数f (x )=cos (x +3π)，则下列结论错误的是（ ） A ．f (x )的一个周期为−2π B ．f (x )的图像关于直线x=83π对称 C ．f (x +π)的一个零点为x=6π D ．f (x )在(2π,π)单调递减 12．已知1()sin 22f x x =，关于该函数有下列四个说法：①()f x 的最小正周期为2π；②()f x 在ππ[,]44-上单调递增；③当ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x 的取值范围为33,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦； ④()f x 的图象可由1πg()sin(2)24x x =+的图象向左平移π8个单位长度得到．以上四个说法中，正确的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案二、填空题13．记函数()()cos (0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的最小正周期为T ，若3()2f T =，9x π=为()f x 的零点，则ω的最小值为____________．14．函数()sin 3cos f x x x =+在区间02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最小值为__________．15．已知函数()()2cos f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭_______________.16．关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题： ①f （x ）的图象关于y 轴对称． ②f （x ）的图象关于原点对称． ③f （x ）的图象关于直线x =2π对称． ④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________． 三、解答题17．已知函数22()sin 3cos 2cos ,f x x x x x x =+∈R ．（1）求函数()f x 的最小正周期和严格增区间；（2）函数()f x 图像可以由函数sin2()y x x =∈R 的图象经过怎样的变换得到？18．设函数()sin()sin()62f x x x ππωω=-+-，其中03ω<<.已知()06f π=.（1）求ω；（2）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在3[,]44ππ-上的最小值.。

新高考三角函数知识点归纳总结三角函数在新高考数学考试中扮演着重要的角色。

掌握三角函数的相关知识点，不仅可以帮助我们解决各类与角度、长度及图形性质相关的问题，还能够为以后的高等数学学习打下坚实的基础。

本文将对新高考中的三角函数知识点进行归纳总结，以帮助同学们更好地复习和应对考试。

一、三角函数的基本概念和性质三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，它们都是角的函数，表示角与某一边的长度的比值。

1. 正弦函数（sin）：在直角三角形中，正弦值等于对边与斜边的比值，即sin(A) = a/c。

2. 余弦函数（cos）：在直角三角形中，余弦值等于邻边与斜边的比值，即cos(A) = b/c。

3. 正切函数（tan）：在直角三角形中，正切值等于对边与邻边的比值，即tan(A) = a/b。

此外，我们还需了解三角函数在单位圆上的定义和性质：4. 单位圆的角度：单位圆的半径为1，角度以弧度制表示，其中360°等于2π弧度。

5. 弧度与角度的转换关系：1弧度约等于57.3°，即1弧度≈ 57.3°。

6. 三角函数的周期性：正弦函数和余弦函数的周期为2π，而正切函数的周期为π。

二、三角函数的基本关系及推导1. 三角函数之间的基本关系：根据三角恒等式，我们可以推导出三角函数之间的基本关系。

例如，sin²A + cos²A = 1，tanA = sinA/cosA等。

2. 三角函数的和差化积公式：通过和差化积公式，我们可以将两个三角函数的和差表示为一个三角函数的乘积。

三、三角函数的图像和性质1. 正弦函数的图像和性质：正弦函数的图像是一条连续的波浪线，振幅为1，在0～2π的区间内周期性重复。

2. 余弦函数的图像和性质：余弦函数的图像也是一条连续的波浪线，振幅为1，在0～2π的区间内周期性重复，与正弦函数的图像相位差90°。

3. 正切函数的图像和性质：正切函数的图像有无数个渐近线，它在每个π的整数倍处有一个垂直渐近线，且在每个π/2的整数倍处有一个水平渐近线。

三角函数的图象与性质1．正弦、余弦、正切函数的图象与性质2.周期函数的定义对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期；函数y＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的周期均为T ＝2π|ω|；函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的周期为T ＝π|ω|. 3．对称与周期正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻的两个对称中心之间的距离是半个周期．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)y ＝cos x 在第一、二象限内是减函数．( ) (2)若y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值是k ＋1.( )(3)若非零实数T 是函数f (x )的周期，则kT (k 是非零整数)也是函数f (x )的周期．( ) (4)函数y ＝sin x 图象的对称轴方程为x ＝2k π＋π2(k ∈Z )．( )(5)函数y ＝tan x 在整个定义域上是增函数．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×函数y ＝tan 3x 的定义域为( ) A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠3π2＋3k π，k ∈Z B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠π6＋k π，k ∈ZC ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠－π6＋k π，k ∈ZD ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠π6＋k π3，k ∈Z解析：选D.由3x ≠π2＋k π(k ∈Z )，得x ≠π6＋k π3，k ∈Z .故选D.(2019·温州市十校联合体期初)下列函数中，最小正周期为π的是( ) A ．y ＝cos 4x B ．y ＝sin 2x C ．y ＝sin x 2D ．y ＝cos x4解析：选B.A.y ＝cos 4x 的周期T ＝2π4＝π2，本选项错误；B.y ＝sin 2x 的周期T ＝2π2＝π，本选项正确；C.y ＝sin x 2的周期为T ＝2π12＝4π，本选项错误；D.y ＝cos x4的周期为T＝2π14＝8π，本选项错误，则最小正周期为π的函数为y ＝sin 2x. (2019·金华十校联考)函数y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值为________，此时x ＝________．解析：函数y ＝3－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值为3＋2＝5，此时x ＋π4＝π＋2k π(k ∈Z )，即x ＝3π4＋2k π(k ∈Z )．答案：53π4＋2k π(k ∈Z) 函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，x ∈[0，π]的减区间为________．解析：当2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ，即2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z 时，函数f (x )是减函数．又x ∈[0，π]，所以f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π三角函数的定义域和值域(1)(2017·高考全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值是________．(2)函数y ＝lg(2sin x －1)＋1－2cos x 的定义域是________．【解析】 (1)依题意，f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34＝－cos 2x ＋3cos x ＋14＝－⎝⎛⎭⎪⎫cos x －322＋1，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以cos x ∈[0，1]，因此当cos x ＝32时，f (x )max ＝1.(2)要使函数y ＝lg(2sin x －1)＋1－2cos x 有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧2sin x －1>0，1－2cos x ≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >12，cos x ≤12.解得2k π＋π3≤x <2k π＋5π6，k ∈Z .即函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫2k π＋π3，2k π＋5π6，k ∈Z .【答案】 (1)1 (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫2k π＋π3，2k π＋5π6，k ∈Z(1)三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．(2)三角函数值域的不同求法①利用sin x 和cos x 的值域直接求；②把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式求值域；③(换元法)把sin x 或cos x 看作一个整体，转换成二次函数求值域；④(换元法)利用sin x ±cos x 和sin x cos x 的关系转换成二次函数求值域．1．函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－332，332D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－332，3 解析：选B.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，故3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈[－32，3]，即此时函数f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3.2．(2019·温州市十校联合体期初)已知函数f (x )＝2cos x ·(sin x －cos x )，x ∈R ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________，f (x )的最大值是________． 解析：f (x )＝2cos x (sin x －cos x ) ＝2cos x sin x －2cos 2x ＝sin 2x －1－cos 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4－1. 当x ＝π4时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π4－π4－1＝0.由正弦函数的图象和性质可得，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的最大值为1.所以f (x )的最大值为2－1. 答案：02－1三角函数的单调性(高频考点)三角函数的单调性是每年高考命题的热点，题型既有选择题也有填空题，或解答题某一问出现，难度为中档题．主要命题角度有：(1)求已知三角函数的单调区间； (2)已知三角函数的单调区间求参数； (3)利用三角函数的单调性比较大小；(4)利用三角函数的单调性求值域(或最值)．(见本节例1(1)及跟踪训练T1)角度一 求已知三角函数的单调区间(2017·高考浙江卷)已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x －23sin x cos x (x ∈R )． (1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫2π3的值；(2)求f (x )的最小正周期及单调递增区间．【解】 (1)由sin 2π3＝32，cos 2π3＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322－⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－23×32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝2.(2)由cos 2x ＝cos 2x －sin 2x 与sin 2x ＝2sin x cos x 得f (x )＝－cos 2x －3sin 2x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.所以f (x )的最小正周期是π.由正弦函数的性质得π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z ， 所以，f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z )．角度二 已知三角函数的单调区间求参数函数f (x )＝sin(x ＋φ)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2π3上单调递增，则常数φ的值可能是( )A ．0B ．π2C ．πD ．3π2【解析】 法一：结合选项，当φ分别取选项中的值时，A ：f (x )＝sin x ；B ：f (x )＝cos x ；C ：f (x )＝－sin x ；D ：f (x )＝－cos x ．验证得D 选项正确．法二：⎝⎛⎭⎪⎫π3，2π3⊆f (x )的递增区间，⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2π3⊆⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－φ＋2k π，π2－φ＋2k π，⇒－5π6＋2k π≤φ≤－π6＋2k π(k ∈Z )，k ＝0，选项中无值符合；k ＝1，7π6≤φ≤11π6，φ＝3π2符合； k ＝2，19π6≤φ≤23π6，选项中无值符合．可知φ的可取值逐渐增大，故只有D 选项符合题意．【答案】 D角度三 利用三角函数的单调性比较大小已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，则a ，b ，c的大小关系是( )A ．a <c <bB ．c <a <bC ．b <a <cD ．b <c <a【解析】 a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7＝2sin 1021π，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin π2＝2，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin 2π3＝2sin π3， 因为y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上递增，所以c <a <b .【答案】 B(1)求三角函数单调区间的两种方法①代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u (或t )，利用复合函数的单调性列不等式求解．②图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间．[提醒] 要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时ω的符号，若ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数．同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域．(2)利用单调性确定ω的范围的方法对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷．(3)利用单调性比较大小的方法首先利用诱导公式把已知角转化为同一区间内的角且函数名称相同，再利用其单调性比较大小．1．(2019·浙江宁波质检)已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值为－2，则ω的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪[6，＋∞)B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－92∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞C ．(－∞，－2]∪[6，＋∞)D ．(－∞，－2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞解析：选D.当ω>0时，由题意知－π3ω≤－π2，即ω≥32；当ω<0时，由题意知π4ω≤－π2，所以ω≤－2.综上可知，ω的取值范围是(]－∞，－2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.2．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为 ( )A ．－1B ．－22C ．22D ．0解析：选B.由已知x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，得2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，故函数f (x )＝sin(2x －π4)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为－22.3．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调减区间为________． 解析：(同增异减法)y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，它的减区间是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的增区间．由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故其单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z .答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )三角函数的奇偶性、周期性及对称性(1)设函数f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ，则f (x )的最小正周期( ) A ．与b 有关，且与c 有关 B ．与b 有关，但与c 无关 C ．与b 无关，且与c 无关 D ．与b 无关，但与c 有关(2)已知ω>0，f (x )＝1＋tan ωx 1－tan ωx ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象与f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称，则ω的最小值为( )A ．12 B ．1 C ．32D ．2(3)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<π)是奇函数，直线y ＝2与函数f (x )的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为π2，则( )A ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递减B ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，3π8上单调递减C ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递增D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，3π8上单调递增 【解析】 (1)由于f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ＝1－cos 2x 2＋b sin x ＋c .当b ＝0时，f (x )的最小正周期为π；当b ≠0时，f (x )的最小正周期为2π.c 的变化会引起f (x )图象的上下平移，不会影响其最小正周期．故选B.(2)因为f (x )＝1＋tan ωx 1－tan ωx ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋ωπ3＋π4， 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象与f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称， 所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4＋tan ⎝ ⎛ω2π3－ωx ＋ωπ3＋⎭⎪⎫π4＝0， 即tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －ωπ－π4，所以π4＝－ωπ－π4＋k π，(k ∈Z )，ω＝－12＋k ，(k ∈Z )，因为ω>0，所以当k ＝1时，ω取最小值为12，故选A.(3)f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)＝2sin(ωx ＋φ＋π4)，因为0<φ<π且f (x )为奇函数，所以φ＝3π4，即f (x )＝－2sin ωx ，又直线y ＝2与函数f (x )的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为π2，所以函数f (x )的最小正周期为π2，由2πω＝π2，可得ω＝4，故f (x )＝－2sin 4x ，由2k π＋π2≤4x ≤2k π＋3π2，k ∈Z ，即k π2＋π8≤x ≤k π2＋3π8，k ∈Z ，令k ＝0，得π8≤x ≤3π8，此时f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，3π8上单调递增． 【答案】 (1)B (2)A (3)D三角函数的奇偶性、对称性和周期问题的解题思路(1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx 的形式，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式．(2)周期的计算方法：利用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)，y ＝A cos(ωx ＋φ)(ω>0)的周期为2πω，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0)的周期为πω求解．(3)解决对称性问题的关键：熟练掌握三角函数的对称轴、对称中心．[提醒] 对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0，0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．1．(2019·舟山市普陀三中高三期中)设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|<π2为偶函数，则φ＝( )A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6解析：选C.f (x )＝sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π4， 因为函数f (x )为偶函数，所以f (－x )－f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋φ＋π4－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π4＝0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋φ＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π4，所以－2x ＋φ＋π4＝2x ＋φ＋π4＋2k π，或－2x ＋φ＋π4＋2x ＋φ＋π4＝π＋k π，即x ＝－k π2，k ∈Z (舍)或φ＝π4＋k π2，k ∈Z . 因为|φ|<π2，所以φ＝π4.2．(2019·浙江省名校协作体高三联考)已知函数f (x )＝sin 2x ·(1－2sin 2x )＋1，则f (x )的最小正周期T ＝________，f (T )＝________．解析：由题意得，f (x )＝sin 2x cos 2x ＋1＝12sin 4x ＋1，所以最小正周期T ＝2π4＝π2，f (T )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1.答案：π213．已知函数f (x )＝sin x 的图象与直线kx －y －k π＝0(k >0)恰有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大分别为x 1，x 2，x 3，则tan （x 2－x 3）x 1－x 3＝________．解析：如图所示，易知x 2＝π，x 1＋x 3＝2x 2＝2π，则k ＝sin x 3－0x 3－x 2＝sin x 312（x 3－x 1），又直线与y ＝sin x 相切于点A (x 3，sin x 3)， 则k ＝cos x 3， 则sin x 312（x 3－x 1）＝cos x 3⇒tan （x 2－x 3）x 1－x 3＝tan x 3x 3－x 1＝12，故答案为12.答案：12奇偶性对于y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ≠0)，若为奇函数，则φ＝k π(k ∈Z )；若为偶函数，则φ＝π2＋k π(k ∈Z )．对于y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ≠0)，若为奇函数，则φ＝π2＋k π(k ∈Z )；若为偶函数，则φ＝k π(k ∈Z )．对于y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ≠0)，若为奇函数，则φ＝k π2(k∈Z )．函数图象的对称中心、对称轴(1)求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的函数图象的对称轴或对称中心时，都是先把“ωx ＋φ”看作一个整体，然后根据y ＝sin x 和y ＝cos x 图象的对称轴或对称中心进行求解． (2)在判断对称轴或对称中心时，用以下结论可快速解题：设y ＝f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，g (x )＝A cos(ωx ＋φ)，x ＝x 0是对称轴方程⇔f (x 0)＝±A ，g (x 0)＝±A ；(x 0，0)是对称中心⇔f (x 0)＝0，g (x 0)＝0.易错防范(1)闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．(2)要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时A 和ω的符号，尽量化成ω>0时的情况，避免出现增减区间的混淆．[基础达标]1．最小正周期为π且图象关于直线x ＝π3对称的函数是( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3 解析：选B.由函数的最小正周期为π，可排除C.由函数图象关于直线x ＝π3对称知，该直线过函数图象的最高点或最低点，对于A ，因为sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π3＋π3＝sin π＝0，所以选项A 不正确．对于D ，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3－π3＝sin π3＝32，所以D 不正确，对于B ，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3－π6＝sin π2＝1，所以选项B 正确，故选B.2．(2019·合肥市第一次教学质量检测)函数y ＝sin(ωx ＋π6)在x ＝2处取得最大值，则正数ω的最小值为( )A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6解析：选D.由题意得，2ω＋π6＝π2＋2k π(k ∈Z )，解得ω＝π6＋k π(k ∈Z )，因为ω>0，所以当k ＝0时，ωmin ＝π6，故选D.3．(2019·浙江省名校协作体高三联考)下列四个函数：y ＝sin|x |，y ＝cos|x |，y ＝|tanx |，y ＝－ln|sin x |，以π为周期，在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递减且为偶函数的是( )A ．y ＝sin|x |B ．y ＝cos|x |C ．y ＝|tan x |D ．y ＝－ln|sin x |解析：选D.A.y ＝sin|x |在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增，故A 错误；B.y ＝cos|x |＝cos x 周期为T ＝2π，故B 错误；C.y ＝|tan x |在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增，故C 错误；D.f (x ＋π)＝－ln|sin(x ＋π)|＝－ln|sin x |，周期为π，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，y ＝－ln(sin x )是在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递减的偶函数，故D 正确，故选D.4．(2017·高考全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝cos(x ＋π3)，则下列结论错误的是( )A ．f (x )的一个周期为－2πB ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在(π2，π)单调递减解析：选D.根据函数解析式可知函数f (x )的最小正周期为2π，所以函数的一个周期为－2π，A 正确；当x ＝8π3时，x ＋π3＝3π，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝－1，所以B 正确；f (x ＋π)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4π3，当x ＝π6时，x ＋4π3＝3π2，所以f (x ＋π)＝0，所以C 正确；函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，23π上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫23π，π上单调递增，故D 不正确．所以选D.5．若函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)在区间(π，2π)内没有最值，则ω的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，112∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，16∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23 解析：选B.易知函数y ＝sin x 的单调区间为 [k π＋π2，k π＋3π2]，k ∈Z ，由k π＋π2≤ωx ＋π6≤k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π3ω≤x ≤k π＋4π3ω，k ∈Z ，因为函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)在区间(π，2π)内没有最值，所以f (x )在区间(π，2π)内单调，所以(π，2π)⊆⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤k π＋π3ω，k π＋4π3ω，k ∈Z ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧k π＋π3ω≤π，k π＋4π3ω≥2π，k ∈Z ，解得k ＋13≤ω≤k 2＋23，k ∈Z ，由k ＋13≤k 2＋23，得k ≤23，当k ＝0时，得13≤ω≤23；当k ＝－1时，得－23≤ω≤16.又ω>0，所以0<ω≤16.综上，得ω的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，16∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23.故选B. 6．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π12，f ′(x )是f (x )的导函数，则函数y ＝2f (x )＋f ′(x )的一个单调递减区间是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6解析：选A.由题意，得f ′(x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π12，所以y ＝2f (x )＋f ′(x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π12＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π12＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π12＋π4＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.由2k π＋π2≤2x ＋π3≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得k π＋π12≤x ≤k π＋7π12(k ∈Z )，所以y ＝2f (x )＋f ′(x )的一个单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12，故选A.7．函数y ＝lg sin x ＋cos x －12的定义域为________．解析：要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x －12≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x <π＋2k π，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )， 所以2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z .所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z .答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z8．函数y ＝(4－3sin x )(4－3cos x )的最小值为________． 解析：y ＝16－12(sin x ＋cos x )＋9sin x cos x ， 令t ＝sin x ＋cos x ，则t ∈[－2，2]，且sin x cos x ＝t 2－12，所以y ＝16－12t＋9×t 2－12＝12(9t 2－24t ＋23)． 故当t ＝43时，y min ＝72.答案：729．(2019·温州市高中模考)已知函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，32，则b －a 的最大值和最小值之差等于________．解析：如图，当x ∈[a 1，b ]时，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，32且b －a 最大；当x ∈[a 2，b ]时，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，32，且b －a 最小，所以最大值与最小值之差为(b －a 1)－(b －a 2)＝a 2－a 1＝－π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π3＝5π6.答案：5π610．(2019·杭州学军中学质检)已知f (x )＝sin 2x －3cos 2x ，若对任意实数x ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π4，都有|f (x )|<m ，则实数m 的取值范围是________． 解析：因为f (x )＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π4，所以⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－π3，π6，所以2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3∈(－3，1]，所以|f (x )|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3<3，所以m ≥ 3.答案：[3，＋∞)11．(2019·杭州市名校协作体高三下学期考试)已知0≤φ＜π，函数f (x )＝32cos(2x ＋φ)＋sin 2x .(1)若φ＝π6，求f (x )的单调递增区间；(2)若f (x )的最大值是32，求φ的值．解：(1)由题意f (x )＝14cos 2x －34sin 2x ＋12＝12cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋12，由2k π－π≤2x ＋π3≤2k π，得k π－2π3≤x ≤k π－π6.所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－2π3，k π－π6，k ∈Z .(2)由题意f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos φ－12cos 2x －32sin φsin 2x ＋12，由于函数f (x )的最大值为32，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos φ－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin φ2＝1，从而cos φ＝0，又0≤φ＜π，故φ＝π2.12．(2019·台州市高三期末评估)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|≤π2的最小正周期为π，且x ＝π12为f (x )图象的一条对称轴．(1)求ω和φ的值；(2)设函数g (x )＝f (x )＋f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，求g (x )的单调递减区间．解：(1)因为f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|≤π2的最小正周期为π，由T ＝2πω＝π，所以ω＝2，由2x ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，所以f (x )的图象的对称轴为x ＝k π2＋π4－φ2，k ∈Z . 由π12＝k π2＋π4－φ2，得φ＝k π＋π3. 又|φ|≤π2，则φ＝π3.(2)函数g (x )＝f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋sin 2x ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＋sin 2x＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.所以g (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z .[能力提升]1．(2019·湖州市高三期末考试)若α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，且αsin α－βsin β＞0，则必有( )A ．α2＜β2B ．α2＞β2C ．α＜βD ．α＞β解析：选B.α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，且αsin α－βsin β＞0，即αsin α＞βsin β，再根据y ＝x sin x 为偶函数，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增，可得|α|＞|β|，即α2＞β2，故选B.2．若f (x )＝cos 2x ＋a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2上是增函数，则实数a 的取值范围为( )A ．[－2，＋∞)B ．(－2，＋∞)C ．(－∞，－4)D ．(－∞，－4]解析：选D.f (x )＝1－2sin 2x －a sin x ，令sin x ＝t ，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，则g (t )＝－2t 2－at＋1，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，因为f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2上单调递增，所以－a 4≥1，即a ≤－4，故选D. 3．(2019·浙江“七彩阳光”联盟高三联考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，若f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立，则ω的值为________；当ω最小时，函数g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－22在区间[0，22]的零点个数为________．解析：由题意得φ＝π3，且当x ＝π6时，函数f (x )取到最大值，故π6ω＋π3＝π2＋2kπ，k ∈Z ，解得ω＝1＋12k ，k ∈N ，又因为ω＞0，所以ω的最小值为1，因此，g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－22＝sin x －22的零点个数是8个． 答案：1＋12k (k ∈N ) 84．(2019·金华市东阳二中高三调研)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6－2cos 2ω2x ＋1(ω>0)，直线y ＝3与函数f (x )图象相邻两交点的距离为π.(1)求ω的值；(2)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若点⎝ ⎛⎭⎪⎫B2，0是函数y ＝f (x )图象的一个对称中心，且b ＝3，求△ABC 面积的最大值．解：(1)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6－2cos 2ω2x ＋1＝sin ωx cos π6－cos ωx sin π6－2·1＋cos ωx2＋1＝32sin ωx －32cos ωx ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π3.因为f (x )的最大值为3，所以f (x )的最小正周期为π， 所以ω＝2.(2)由(1)知f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，因为3sin ⎝⎛⎭⎪⎫B －π3＝0⇒B ＝π3，因为cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－92ac ＝12，所以ac ＝a 2＋c 2－9≥2ac －9，ac ≤9， 故S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ≤934.故△ABC 面积的最大值为934.5．已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1. (1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．解：(1)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6. 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，所以－2a sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]．所以f (x )∈[b ，3a ＋b ]，又因为－5≤f (x )≤1， 所以b ＝－5，3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得，f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6－1＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1， 又由lg g (x )>0，得g (x )>1，所以4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1>1，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6>12，所以2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π<x ≤k π＋π6，k∈Z ，所以g (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6，k ∈Z .又因为当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z .所以g (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .。

7．3.2 正弦型函数的性质与图像［课程目标］1。

了解正弦型函数y＝A sin（ωx＋φ)的实际意义及各参数对图像变化的影响，会求其周期、最值、单调区间等．2．会用“五点法”及“图像变换法”作正弦型函数y＝A sin(ωx＋φ)的图像．［填一填］1．正弦型函数（1）形如y＝A sin(ωx＋φ)（其中A，ω,φ都是常数,且A≠0，ω≠0)的函数，通常叫做正弦型函数．（2）函数y＝A sin（ωx＋φ)(其中A≠0，ω>0，x∈R）的周期T＝错误!,频率f＝错误!，初相为φ，值域为[－｜A|，|A｜］，｜A|也称为振幅,|A|的大小反映了y＝A sin（ωx＋φ）的波动幅度的大小．2．正弦型函数的性质正弦型函数y＝A sin（ωx＋φ)( A〉0,ω〉0）有如下性质．(1）定义域:R。

(2)值域：［－A，A]．(3）周期:T＝错误!。

(4)单调区间：单调增区间由2kπ－错误!≤ωx＋φ≤2kπ＋错误!(k∈Z）求得，单调减区间由2kπ＋π2≤ωx＋φ≤2kπ＋32π(k∈Z）求得．3．利用图像变换法作y＝A sin（ωx＋φ)＋b的图像［答一答] 1．怎样得到y＝A sin（ωx＋φ)的图像？提示:(1)“五点法”画函数y＝A sin(ωx＋φ)的图像：画函数y＝A sin(ωx＋φ）的简图,主要是先找出确定曲线形状时起关键作用的五个点．这五个点应该是使函数取得最大值、最小值及曲线与x轴相交的点，找出它们的方法是作变量代换．设X＝ωx＋φ，由X取0，错误!，π，错误!，2π来确定对应的x 值．(2）由函数y＝sin x图像变换到y＝A sin(ωx＋φ)的图像:步骤1:画出正弦曲线在长度为2π的某闭区间上的简图．步骤2：沿x轴平行移动，得到y＝sin(x＋φ）在长度为2π的某闭区间上的简图．步骤3：横坐标伸长或缩短，得到y＝sin（ωx＋φ)在长度为一个周期的闭区间上的简图．步骤4：纵坐标伸长或缩短,得到y＝A sin(ωx＋φ)在长度为一个周期的闭区间上的简图．步骤5：沿x轴伸展,得到y＝A sin（ωx＋φ），x∈R的简图．上述变换步骤概括如下：步骤1错误!步骤2错误!步骤3错误!步骤4―→步骤5其中相位变换中平移量为｜φ|单位,φ>0时向左移，φ<0时向右移;周期变换中的纵坐标不变,横坐标变为原来的错误!倍；振幅变换中，横坐标不变，而纵坐标变为原来的A倍．2．三角函数图像的平移变换和伸缩变换的规律是什么?提示：(1）平移变换：①沿x轴平移，按“左加右减"规律；②沿y轴平移，按“上加下减"规律．（2）伸缩变换:①沿x轴伸缩：ω>1时,横坐标缩短到原来的错误!倍，0<ω〈1时,横坐标伸长到原来的1ω倍，纵坐标保持不变；②沿y轴伸缩：当A>1时，把纵坐标伸长到原来的A倍,当0〈A〈1时，纵坐标缩短到原来的A倍，横坐标保持不变．3．怎样由图像或部分图像求正弦函数y＝A sin（ωx＋φ）的解析式？提示：关键在于确定参数A，ω，φ。