【课堂新坐标】高中数学北师大版必修五练习：3.4.1二元一次不等式(含答案解析)

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 3.2.1 一元二次不等式的解法课时训练北师大版必修5一、选择题1．不等式5－x2＞4x的解集为( )A．(－5，1)B．(－1，5)C．(－∞，－5)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(5，＋∞)【解析】不等式可化为x2＋4x－5＜0，y＝x2＋4x－5的开口方向向上，又x2＋4x－5＝0的两根为－5，1.由图像知原不等式的解集为(－5，1)．【答案】A2．设集合S＝{x||x|<5}，T＝{x|x2＋4x－21<0}，则S∩T＝( )A．{x|－7<x<－5} B．{x|3<x<5}C．{x|－5<x<3} D．{x|－7<x<5}【解析】S＝{x|－5<x<5}，T＝{x|－7<x<3}，∴S∩T＝{x|－5<x<3}．【答案】C3．(2013·西安高二检测)若全集U＝R，集合A＝{x|x2＋3x－4<0}，B＝{x|y＝log3(x ＋2)}，则∁U(A∩B)＝( )A．{x|x≤－4或x≥1} B．{x|x<－4或x>1}C．{x|x<－2或x>1} D．{x|x≤－2或x≥1}【解析】由题意可得A＝{x|－4<x<1}，B＝{x|x>－2}，所以A∩B＝{x|－2<x<1}，所以∁U(A∩B)＝{x|x≤－2或x≥1}．【答案】D4．在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围是( )A．(0，2) B．(－2，1)C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－1，2)【解析】由题意知x⊙(x－2)＝x2＋x－2，∴x2＋x－2<0解得－2<x<1.【答案】 B5．(2013·临沂高二检测)f (x )＝ax 2＋ax －1在R 上满足f (x )＜0，则a 的取值范围是( )A ．a ≤0B ．a ＜－4C ．－4＜a ＜0D ．－4＜a ≤0【解析】 当a ＝0时，f (x )＝－1＜0成立．当a ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＜0，即⎩⎨⎧a ＜0，a 2＋4a ＜0，解得－4＜a ＜0，综上可知：－4＜a ≤0时，在R 上f (x )＜0. 【答案】 D 二、填空题6．{x |－x 2－x ＋2>0}∩Z ＝________．【解析】 {x |－x 2－x ＋2>0}∩Z ＝{x |－2<x <1}∩Z ＝{－1，0}． 【答案】 {－1，0}7．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )的部分对应值如下表；【解析】 法一 二次函数的两个零点是x 1＝－2，x 2＝3，又根据所给数值，函数值随着x 的增大，先减后增，故开口向上，如图所示，故不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是{x |x >3或x <－2}．法二 由表中数据可求得a ＝1，b ＝－1，c ＝－6，代入原不等式得x 2－x －6>0，所以可解得解集为{x |x >3或x <－2}．【答案】 {x |>3或x <－2}8．(2013·福州高二检测)若2x 2＋1≤(14)x －2，则函数y ＝2x的值域是________．【解析】 ∵2x 2＋1≤(14)x －2＝2－2x ＋4，∴x 2＋1≤－2x ＋4，即x 2＋2x －3≤0.解得－3≤x ≤1，∴18≤y ≤2，∴函数y ＝2x的值域是[18，2]．【答案】 [18，2]三、解答题 9．解下列不等式： (1)2x 2－3x －2>0； (2)－6x 2－x ＋2≥0.【解】 (1)∵Δ＝(－3)2－4×2×(－2)＝25>0， ∴方程2x 2－3x －2＝0有两个不同实根，分别是－12，2，∴原不等式的解集为{x |x >2，或x <－12}．(2)原不等式可化为6x 2＋x －2≤0， ∵Δ＝12－4×6×(－2)＝49>0，∴方程6x 2＋x －2＝0有两个不同实根，分别是－23，12，∴原不等式的解集为{x |－23≤x ≤12}．10．解关于x 的不等式x 2－2mx ＋m ＋1>0.【解】 不等式对应方程的判别式Δ＝(－2m )2－4(m ＋1)＝4(m 2－m －1)． (1)当Δ>0，即m >1＋52或m <1－52时，由于方程x 2－2mx ＋m ＋1＝0的根是x ＝m ±m 2－m －1， 所以不等式的解集是{x |x <m －m 2－m －1或x >m ＋m 2－m －1}； (2)当Δ＝0，即m ＝1±52时，不等式的解集为{x |x ∈R ，且x ≠m }；(3)当Δ<0，即1－52<m <1＋52时，不等式的解集为R .11．已知不等式ax 2－3x ＋2>0的解集为{x |x <1或x >b }． (1)求a 、b 的值；(2)解关于x 的不等式x 2－b (a ＋c )x ＋4c >0.【解】 (1)由题意知，a >0且1，b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的根， ∴a ＝1.又1·b ＝2a，∴b ＝2.(2)不等式可化为x 2－2(c ＋1)x ＋4c >0，即(x－2c)(x－2)>0，当2c>2，即c>1时，不等式的解集为{x|x<2或x>2c}；当2c＝2，即c＝1时，不等式的解集为{x|x≠2}；当2c<2，即c<1时，不等式的解集为{x|x>2或x<2c}．综上：当c>1时，不等式的解集为{x|x<2或x>2c}；当c＝1时，不等式的解集为{x|x≠2}；当c<1时，不等式的解集为{x|x>2或x<2c}．。

二元一次不等式（组）与平面区域一．教学目标（1）知识与技能：了解二元一次不等式组的相关概念，并能画出二元一次不等式（组）来表示的平面区域（2）过程与方法：本节课首先借助一个实例提出二元一次不等式组的相关概念，通过例子说明如何用二元一次不等式（组）来表示的平面区域。

始终渗透“直线定界，特殊点定域”的思想，帮助学生用集合的观点和语言来分析和描述结合图形的问题，使问题更清晰和准确。

教学中也特别提醒学生注意0(Ax By C ++>或<0)表示区域时不包括边界，而0(Ax By C ++≥≤或0)则包括边界（3）情感与价值：培养学生数形结合、化归、集合的数学思想二．教学重点、教学难点教学重点：灵活运用二元一次不等式（组）来表示的平面区域教学难点：如何确定不等式0(Ax By C ++>或<0)表示0Ax By C ++=的哪一侧区域三．学法与教学用具启发学生观察图象，循序渐进地理解掌握相关概念。

以学生探究为主，老师点拨为辅。

学生之间分组讨论，交流心得，分享成果，进行思维碰撞。

同时可借助计算机等媒体工具来进行演示。

直角板、投影仪（多媒体教室）四．教学设想1、 设置情境问一：在数轴上点x=0右边的射线可以用什么来表示？问二：在平面直角坐标系中，点集{(x,y)|x+y-1=0}表示一条直线，将平面分成几部分2、 新课讲授(1)问题: 二元一次不等式6<-y x 所表示的图形?(2)尝试在直角坐标系中,所有点被直线6=-y x 分成三类:一类是在直线6=-y x 上;二类是在直线6=-y x 左上方的区域内的点;三类是在直线6=-y x 右上方的区域内的点.设点P ),(1y x 是直线上的点,任取点A ),(2y x ,使它的坐标满足不等式6<-y x ,在图3.3-2中标出点P 和点A.(3)观察并讨论我们发现,在直角坐标系中,以二元一次不等式6<-y x 的解为坐标的点都在直线的左上方;反之,直线左上方点的坐标也满足不等式6<-y x .因此,在直角坐标系中,不等式6<-y x 表示直线6=-y x 左上方的平面区域.类似地, 不等式6>-y x 表示直线6=-y x 右上方的平面区域.我们称直线6=-y x 为这两个区域的边界.将直线6=-y x 画成虚线,表示区域不包括边界.(4)结论一般地, 在直角坐标系中,二元一次不等式0>++C By Ax 表示0=++C By Ax 某侧所有点组成的平面区域.我们把直线画成虚线,表示区域不包括边界.而不等式0≥++C By Ax 表示区域时则包括边界,把边界画成实线.(4)例1、画出2x+y-6＜0 表示的平面区域分析：画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方。

§4 简单线性规划4.1 二元一次不等式(组)与平面区域课后篇巩固探究A 组1.不等式2x+y+1<0表示的平面区域在直线2x+y+1=0的( )A.右上方B.右下方C.左上方D.左下方答案:D2.不等式组 - 表示的平面区域是( )A.矩形B.三角形C.直角梯形D.等腰梯形解析:画出平面区域(如图阴影部分),该区域是等腰梯形. 答案:D3.直线2x+y-10=0与不等式组- - 表示的平面区域的公共点有( )A.0个B.1个C.2个D.无数个解析:如图所示,不等式组表示的平面区域为阴影部分,直线与阴影只有一个公共点(5,0). 答案:B4.若不等式组--表示的平面区域经过四个象限,则实数λ的取值范围是()A.(-∞,4)B.[1,2]C.(1,4)D.(1,+∞)答案:D5.若点A(3,3),B(2,-1)在直线x+y-a=0的两侧,则a的取值范围是.解析:由题意得(3+3-a)(2-1-a)<0,解得1<a<6.答案:(1,6)6.若用三条直线x+2y=2,2x+y=2,x-y=3围成一个三角形,则三角形内部区域(不包括边界)可用不等式(组)表示为.答案:-7.若不等式组-表示的平面区域是一个三角形,则a的取值范围是.解析:如图,当直线y=a位于直线y=5和y=7之间(不含y=7)时满足条件,故a的取值范围应是5≤a<7.答案:[5,7)8.导学号33194067设f(x)=x2+ax+b,若1≤f(-1)≤2 2≤f(1)≤4 试求点(a,b)构成的平面区域的面积.解f(-1)=1-a+b,f(1)=1+a+b,由(-) ()得不等式组-即---作出不等式组表示的平面区域(如图阴影部分所示).可知平面区域为矩形ABCD,|AB|=,|BC|=,所以所求区域面积为=1.9.某工厂生产甲、乙两种产品,需要经过金工和装配两个车间加工,有关数据如下表:列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域.解设分别生产甲、乙两种产品x件和y件,于是满足条件∈∈所以满足的生产条件是图中阴影部分中的整数点.B组1.在平面直角坐标系中,若点A(-2,t)在直线x-2y+4=0的上方,则t的取值范围是()A.(-∞,1)B.(1,+∞)C.(-1,+∞)D.(0,1)解析:在直线方程x-2y+4=0中,令x=-2,则y=1,则点(-2,1)在直线x-2y+4=0上,又点(-2,t)在直线x-2y+4=0的上方,由图可知,t的取值范围是t>1,故选B.答案:B2.若不等式组所表示的平面区域被直线y=kx+分为面积相等的两部分,则k的值是()A. B. C. D.解析:不等式组表示的平面区域是如图所示阴影部分的△ABC.由得A(1,1),又B(0,4),C,所以S△ABC=-×1=.设y=kx+与3x+y=4的交点为D(x D,y D),则S△BCD=S△ABC=,所以x D=,所以y D=,所以=k×,所以k=.答案:A3.已知点(1,2)和点(-1,3)在直线2x+ay-1=0的同一侧,则实数a的取值范围是. 解析:因为(2a+1)(3a-3)>0,所以a<-或a>1.答案:--∪(1,+∞)4.导学号33194068若区域A为不等式组-表示的平面区域,则当a从-2连续变化到1时,动直线x+y=a扫过A 中的那部分区域的面积为.解析:如图,区域A表示的平面区域为△OBC内部及其边界组成的图形,当a从-2连续变化到1时扫过的区域为四边形ODEC所围成的区域.又D(0,1),B(0,2),E-,C(-2,0).所以S四边形ODEC=S△OBC-S△BDE=2-.答案:5.以原点为圆心的圆全部在不等式组--表示的平面区域的内部,则圆的面积的最大值为.解析:根据条件画出平面区域如图中阴影所示,要使以原点为圆心的圆面积最大,则圆与直线x-y+2=0相切.此时半径r=,此时圆面积为S=π()2=2π.答案:2π6.导学号33194069若不等式组-表示的平面区域是一个三角形,则a的取值范围是.解析:不等式表示的平面区域如图,当x+y=a过A时,表示的区域是△AOB,此时a=.当a>时,表示区域是三角形.当x+y=a过B(1,0)时,表示的区域是△DOB,此时a=1;当0<a<1时,表示区域是三角形;当a<0时,不表示任何区域,当1<a<时,表示区域是四边形.故当0<a≤1或a≥时,表示的平面区域为三角形.答案:(0,1]∪7.已知点P(1,-2)及其关于原点对称点均在不等式2x+by+1>0表示的平面区域内,求b的取值范围.解点P(1,-2)关于原点对称点为P'(-1,2),由题意知--解得<b<.故满足条件的b的取值范围为.8.一个小型家具厂计划生产两种类型的桌子A和B.每类桌子都要经过打磨、着色、上漆三道工序.桌子A需要10 min打磨,6 min着色,6 min上漆;桌子B需要5 min打磨,12 min着色,9 min上漆.如果一个工人每天打磨和上漆分别至多工作450 min,着色每天至多工作480 min,请列出满足生产条件的数学关系式,并在直角坐标系中画出每天生产两类桌子数量的允许范围.解设家具厂每天生产A类桌子x张,B类桌子y张.对于A类x张桌子需要打磨10x min,着色6x min,上漆6x min;对于B类y张桌子需要打磨5y min,着色12y min,上漆9y min.所以题目中包含的限制条件为∈∈上述条件表示的平面区域如图中阴影部分所示,每天生产两类桌子数量的允许范围为阴影内的整数点.。

4.1 二元一次不等式(组)与平面区域课时目标 1.了解二元一次不等式表示的平面区域.2.会画出二元一次不等式(组)表示的平面区域．1．二元一次不等式(组)的概念含有________未知数，并且未知数的次数是____的不等式叫做二元一次不等式． 由几个二元一次不等式组成的不等式组称为________________． 2．二元一次不等式表示的平面区域在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax ＋By ＋C >0表示直线__________某一侧所有点组成的平面区域，把直线画成______以表示区域不包括边界．不等式Ax ＋By ＋C ≥0表示的平面区域包括边界，把边界画成______． 3．二元一次不等式(组)表示平面区域的确定(1)直线Ax ＋By ＋C ＝0同一侧的所有点的坐标(x ，y )代入Ax ＋By ＋C 所得的符号都______．(2)在直线Ax ＋By ＋C ＝0的一侧取某个特殊点(x 0，y 0)，由____________的符号可以断定Ax ＋By ＋C >0表示的是直线Ax ＋By ＋C ＝0哪一侧的平面区域．一、选择题1．如图所示，表示阴影部分的二元一次不等式组是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ y ≥－23x －2y ＋6>0x <0 B.⎩⎪⎨⎪⎧ y ≥－23x －2y ＋6≥0x ≤0C.⎩⎪⎨⎪⎧y >－23x －2y ＋6>0x ≤0D.⎩⎪⎨⎪⎧y >－23x －2y ＋6<0x <02．已知点(－1,2)和(3，－3)在直线3x ＋y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围是( ) A ．(－1,6) B ．(－6,1)C ．(－∞，－1)∪(6，＋∞)D ．(－∞，－6)∪(1，＋∞)3．如图所示，表示满足不等式(x －y )(x ＋2y －2)>0的点(x ，y )所在的区域为( )4．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ≤12，x －y >－1，y ≥0表示的平面区域内整点的个数是( )A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个5．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －y ＋4≥0，x ≤a(a 为常数)表示的平面区域的面积是9，那么实数a 的值为( )A ．32＋2B ．－32＋2C ．－5D ．16．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是( ) A.73 B.37 C.43 D.34二、填空题7．△ABC 的三个顶点坐标为A (3，－1)，B (－1,1)，C (1,3)，则△ABC 的内部及边界所对应的二元一次不等式组是________________．8．原点与点(1,1)有且仅有一个点在不等式2x －y ＋a >0表示的平面区域内，则a 的取值范围为________．9．原点与点(1,1)有且仅有一个点在不等式2x －y ＋a >0表示的平面区域内，则a 的取值范围为________．10．若A 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x ≤2表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x ＋y ＝a 扫过A 中的那部分区域的面积为________．三、解答题11．利用平面区域求不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥3y ≥26x ＋7y ≤50的整数解．12．若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋kx ＋my －4＝0相交于P 、Q 两点，且P 、Q 关于直线x ＋y ＝0对称，则不等式组⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋1≥0kx －my ≤0y ≥0表示的平面区域的面积是多少？能力提升13．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －11≥0，3x －y ＋3≥0，5x －3y ＋9≤0表示的平面区域为D .若指数函数y ＝a x 的图像上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是( )A ．(1,3]B ．[2,3]C ．(1,2]D ．[3，＋∞) 14．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a 表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是______________．1．二元一次不等式(组)的解集对应着坐标平面的一个区域，该区域内每一个点的坐标均满足不等式(组)．常用特殊点法确定二元一次不等式表示的是直线哪一侧的部分． 2．画平面区域时，注意边界线的虚实问题．3．求平面区域内的整点个数时，要有一个明确的思路，不可马虎大意，常先确定x 的范围，再逐一代入不等式组，求出y 的范围最后确定整数解的个数．§4 简单线性规划4．1 二元一次不等式(组)与平面区域答案知识梳理1．两个 1 二元一次不等式组 2.Ax ＋By ＋C ＝0 虚线 实线 3.(1)相同 (2)Ax 0＋By 0＋C 作业设计1．C [可结合图形，根据确定二元一次不等式组表示的平面区域的方法逆着进行．由图知所给区域的三个边界中，有两个是虚的，所以C 正确．]2．A [由题意知，(－3＋2－a )(9－3－a )<0，即(a ＋1)(a －6)<0，∴－1<a <6.] 3．B [不等式(x －y )(x ＋2y －2)>0等价于不等式组(Ⅰ)⎩⎪⎨⎪⎧ x －y >0，x ＋2y －2>0或不等式组(Ⅱ)⎩⎪⎨⎪⎧x －y <0，x ＋2y －2<0.分别画出不等式组(Ⅰ)和(Ⅱ)所表示的平面区域，再求并集，可得正确答案为B.]4．C [画出可行域后，可按x ＝0，x ＝1，x ＝2，x ＝3分类代入检验，符合要求的点有(0,0)，(1,0)，(2,0)，(3,0)，(1,1)，(2,1)共6个．] 5．D[区域如图，易求得A (－2,2)，B (a ，a ＋4)，C (a ，－a )．S △ABC ＝12|BC |·|a ＋2|＝(a ＋2)2＝9，由题意得a ＝1.]6．A [不等式组表示的平面区域如图所示．由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝⎛⎭⎫0，43. 因此只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋43能平分平面区域．因为A (1,1)，B (0,4)，所以AB 中点M ⎝⎛⎭⎫12，52. 当y ＝kx ＋43过点⎝⎛⎭⎫12，52时，52＝k 2＋43，所以k ＝73.] 7.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1≥0x －y ＋2≥02x ＋y －5≤0解析如图直线AB 的方程为x ＋2y －1＝0(可用两点式或点斜式写出)． 直线AC 的方程为2x ＋y －5＝0， 直线BC 的方程为x －y ＋2＝0， 把(0,0)代入2x ＋y －5＝－5<0， ∴AC 左下方的区域为2x ＋y －5<0.∴同理可得△ABC 区域(含边界)为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1≥0x －y ＋2≥02x ＋y －5≤0.8．－1<a ≤0解析 根据题意，分以下两种情况：①原点(0,0)在该区域内，点(1,1)不在该区域内．则⎩⎨⎧a >0a ＋1≤0.无解．②原点(0,0)不在该区域内，点(1,1)在该区域内，则⎩⎨⎧a ≤0a ＋1>0，∴－1<a ≤0.综上所述，－1<a ≤0.9．－1<a ≤0解析 根据题意，分以下两种情况：①原点(0,0)在该区域内，点(1,1)不在该区域内．则⎩⎨⎧a >0a ＋1≤0.无解．②原点(0,0)不在该区域内，点(1,1)在该区域内，则⎩⎨⎧a ≤0a ＋1>0，∴－1<a ≤0.综上所述，－1<a ≤0.10.74 解析如图所示，区域A 表示的平面区域为△OBC 内部及其边界组成的图形，当a 从－2连续变化到1时扫过的区域为四边形ODEC 所围成的区域．又D (0,1)，B (0,2)，E ⎝⎛⎭⎫－12，32，C (－2,0)． S 四边形ODEC ＝S △OBC －S △BDE ＝2－14＝74.11．解 先画出平面区域，再用代入法逐个验证．把x ＝3代入6x ＋7y ≤50，得y ≤327，又∵y ≥2，∴整点有：(3,2)(3,3)(3,4)；把x ＝4代入6x ＋7y ≤50，得y ≤267，∴整点有：(4,2)(4,3)． 把x ＝5代入6x ＋7y ≤50，得y ≤207，∴整点有：(5,2)；把x ＝6代入6x ＋7y ≤50，得y ≤2，整点有(6,2)；把x ＝7代入6x ＋7y ≤50，得y ≤87，与y ≥2不符．∴整数解共有7个为(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(5,2)，(6,2)．12.解 P 、Q 关于直线x ＋y ＝0对称，故PQ 与直线x ＋y ＝0垂直，直线PQ 即是直线y ＝kx ＋1，故k ＝1；又线段PQ 为圆x 2＋y 2＋kx ＋my －4＝0的一条弦，故该圆的圆心在线段PQ 的垂直平分线上，即为直线x ＋y ＝0，又圆心为(－k 2，－m2)，∴m ＝－k ＝－1，∴不等式组为⎩⎨⎧x －y ＋1≥0x ＋y ≤0y ≥0，它表示的区域如图所示，故面积为14.13．A [作出不等式组表示的平面区域D ，如图阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －11＝0，3x －y ＋3＝0，得交点A (2,9)． 对y ＝a x 的图像，当0<a <1时，没有点在区域D 上．当a >1，y ＝a x 恰好经过A 点时，由a 2＝9，得a ＝3.要满足题意，需满足a 2≤9，解得1<a ≤3.]14．0<a ≤1或a ≥43解析 不等式表示的平面区域如图所示，当x ＋y ＝a 过A ⎝⎛⎭⎫23，23时表示的区域是△AOB ，此时a ＝43； 当a >43时，表示区域是△AOB ；当x ＋y ＝a 过B (1,0)时表示的区域是△DOB ，此时a ＝1； 当0<a <1时可表示三角形；当a <0时不表示任何区域，当1<a <43时，区域是四边形．故当0<a ≤1或a ≥43时表示的平面区域为三角形．。

,[学生用书单独成册])[.基础达标]．不等式－－＞表示的平面区域在直线－－＝的( )．右上方．左上方．左下方．右下方解析：选.将(，)代入－－，得－＜，(，)点在不等式－－＞表示的平面区域的异侧．则所求区域在对应直线的右下方．．已知点(，－)既在直线＝－的上方，又在轴的右侧，则的取值范围是( )．(，＋∞)．(，＋∞)．(，)．(，)解析：选.因为(，－)在直线＝－的上方，所以－－(－)＜.即＜.又(，－)在轴右侧，所以＞.所以＜＜.．完成一项装修工程，木工和瓦工的比例为∶，请木工需付工资每人元，请瓦工需付工资每人元，现有工资预算元，设木工人，瓦工人，，满足的条件是( )解析：选.因为木工和瓦工各请、人，所以有∶＝∶，＋≤，且、∈＋.．设点(，)，其中，∈，满足＋≤的点的个数为( )．．．无数个．解析：选.当＝时，可取，，，，有个点；当＝时，可取，，，有个点；当＝时，可取，，有个点；当＝时，可取，有个点．故一共有个点．．在直角坐标系中，不等式－≤表示的平面区域是( )解析：选.原不等式等价于(＋)(－)≥，因此表示的平面区域为左右对顶的区域(包括边界)，故选.．不等式＋≤所表示的平面区域的面积为．解析：原不等式等价于其表示的平面区域如图中阴影部分．所以＝()＝.答案：．△的三个顶点坐标为(，－)，(－，)，(，)，则△的内部及边界所对应的二元一次不等式组是．解析：如图直线的方程为＋－＝(可用两点式或点斜式写出)．直线的方程为＋－＝，直线的方程为－＋＝，把(，)代入＋－＝－＜，所以左下方的区域为＋－＜，所以同理可得△区域(含边界)为答案：．若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围是．解析：不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示，用平行于轴的直线截该平面区域，若得到一个三角形，则的取值范围是≤＜.答案：[，)．某家具厂制造甲、乙两种型号的桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成．已知木工做一张甲、乙型号的桌子分别需要和，漆工油漆一张甲、乙型号的桌子分别需要和．又木工、漆工每天工作分别不得超过和．请列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域．解：设家具厂每天生产甲，乙型号的桌子的张数分别为和，它们满足的数学关系式为：分别画出不等式组中各不等式表示的平面区域，然后取交集，如图中的阴影部分所示，生产条件是图中阴影部分的整数点所表示的条件．．设不等式组表示的平面区域是.()求的面积；()若点(，)在平面区域内，求整数的取值的集合．解：()作出平面区域，它是一个等腰直角三角形(如图所示)．由。

4。

1二元一次不等式（组)与平面区域课时过关·能力提升1.不在不等式3x+2y〈6表示的平面区域内的一个点是(）A.(0,0）B。

（1，1）C。

（0,2) D。

(2，0）3x+2y<6中,若不等式成立，则该点在不等式3x+2y<6表示的平面区域内;反之，则不在.由计算知点（2,0)不在不等式3x+2y<6表示的平面区域内.2.若点(a,b）在直线x—2y-3=0的右下方,则下列不等式成立的是(）A。

a—2b-3〉0 B.a-2b-3<0C.a-2b—3=0 D。

a—2b-3≤0x—2y—3=0，由于点（0，0)在该直线的左上方,故x=0，y=0是不等式x-2y-3<0的一个解.因为点(a，b）在直线x-2y—3=0的右下方，所以a-2b-3〉0。

3.下列各点中,与点(1,2）位于直线x+y—1=0的同一侧的是(）A。

(0，0) B.(-1，1）C。

（-1,3) D.(2，—3）1,2)使x+y-1>0,点(—1，3)使x+y—1〉0，所以这两点位于直线x+y-1=0的同一侧.4.在平面直角坐标系中，不等式x2—y2〉0表示的平面区域是()A B C D于{x+y>0,x-y>0或{x+y<0,x-y<0,故选B。

5.在平面直角坐标系中,若不等式组{x+y-1≥0,x-1≤0,ax-y+1≥0(a为常数)表示的平面区域的面积等于2,则a的值为()A.—5 B。

1 C.2 D。

3ax-y+1=0恒过定点(0，1）,如图所示,阴影部分即△MNP是不等式组表示的平面区域,则M(1，0)，N(1,a+1）,P(0，1),故|MN｜=|a+1|，点P到MN的距离为1，则△MNP的面积为12×1×(a+1)=2,解得a=3.6。

若点(a，1）在直线x—2y+4=0的右下方，则a的取值范围是。

(a,1）在直线x—2y+4=0的右下方,则a—2+4>0,解得a>—2.—2,+∞）★7.已知点A(1，-1)，B(3，0），C(2,1）。

§4简单线性规划4.1二元一次不等式(组)与平面区域二元一次不等式(组)与平面区域阅读教材P96～P98“练习1”以上部分，完成下列问题．(1)一般地，直线l：ax＋by＋c＝0把直角坐标平面分成了三部分．①直线l上的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c＝0；②直线l一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c＞0；③直线l另一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c＜0.(2)在直线l的某一侧的平面区域内，任取一特殊点(x0，y0)，从ax0＋by0＋c值的正负，即可判断不等式表示的平面区域．(3)二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．(4)一般地，把直线l：ax＋by＋c＝0画成实线，表示平面区域包括这一边界直线；若把直线画成虚线，则表示平面区域不包括这一边界直线．(5)由于对直线ax＋by＋c＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入ax ＋by＋c，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，从ax0＋by0＋c的符号即可判断ax＋by＋c＞0(＜0)表示直线哪一侧的平面区域．当c≠0时，常取坐标原点作为特殊点．不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示平面点集的交集，因而是各个不等式所表示平面区域的公共部分．思考：(1)不等式ax ＋by ＋c ＞0表示的平面区域在直线ax ＋by ＋c ＝0的上方，ax ＋by ＋c ＜0表示的平面区域在直线ax ＋by ＋c ＝0的下方，这种说法正确吗？[提示] 不正确，不等式2x －y －2＞0就表示直线2x －y －2＝0下方的平面区域，而不等式2x －y ＋2＜0表示直线2x －y ＋2＝0上方的平面区域．(2)任何一个不等式组都能表示平面内的一个平面区域，这种说法正确吗？[提示] 不正确，如不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋3＞02x －y ＋3＜0就不表示任何平面区域．1．下列不是二元一次不等式的是( )A ．－x －y ＋2<0B ．2x ＋y －1>0C ．y 2≥2xD ．x ＋2y >1－3x －y[答案] C2．不等式组⎩⎨⎧x ＞2，x －y ＋3＜0表示的平面区域是( )A BC DD [用特殊点(0,0)验证即可．]3．若点(－2,1)在不等式x ＋3y ＋a ≥0表示的平面区域内，则实数a 的取值范围是________．[－1，＋∞) [由题意知－2＋3×1＋a ≥0，故a ≥－1.]4．点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方，则实数t 的取值范围是________． ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ [据题意得不等式2×(－2)－3t ＋6<0， 解得t >23，故t 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞.](2)画出不等式3x ＋2y ＜0表示的平面区域．[解] (1)先画直线3x －4y －12＝0，取原点(0,0)，代入3x －4y －12得－12＜0， 所以原点在3x －4y －12＜0表示的平面区域内，所以不等式3x －4y －12≥0表示的平面区域如图①阴影部分所示．(2)先画直线3x ＋2y ＝0(画成虚线)．因为点(1,0)在3x ＋2y ＞0表示的平面区域内，所以不等式3x ＋2y ＜0表示的平面区域如图②阴影部分所示．图① 图②二元一次不等式表示平面区域的判定方法：第一步：直线定界．画出直线ax＋by＝0，不等式为ax＋by＋c＞0(＜0)时直线画虚线，不等式为ax＋by＋c≥0(≤0)时画成实线；第二步：特殊点定域．在平面内取一个特殊点，当c≠0时，常取原点(0,0)．若原点(0,0)满足不等式，则原点所在的一侧即为不等式表示的平面区域；若原点不满足不等式，则原点不在的一侧即为不等式表示的平面区域．当c＝0时，可取(1,0)或(0,1)作为测试点．简记为：直线定界，特殊点定域．1．画出下列不等式所表示的平面区域：(1)x－2y＋4≥0；(2)y＞2x.[解](1)先画直线x－2y＋4＝0，取原点(0,0)代入x－2y＋4，得4＞0，所以原点在x－2y＋4＞0表示的平面区域内．所以不等式x－2y＋4≥0表示的平面区域如图①阴影部分表示．(2)先画直线y－2x＝0(画成虚线)，因为点(1,0)不在y－2x＞0表示的平面区域内，所以不等式y＞2x表示的平面区域如图②阴影部分所示．图①图②【例2】 画出不等式组⎩⎨⎧ 2x ＋y －4≤0，x ＞2y ，y ≥0所表示的平面区域．[解] 先画出直线2x ＋y －4＝0，由于含有等号，所以画成实线．取直线2x ＋y －4＝0左下方的区域的点(0,0)，由于2×0＋0－4＜0，所以不等式2x ＋y －4≤0表示直线2x ＋y －4＝0及其左下方的区域．同理对另外两个不等式选取合适的测试点，可得不等式x ＞2y 表示直线x ＝2y 右下方的区域，不等式y ≥0表示x 轴及其上方的区域．取三个区域的公共部分，就是上述不等式组所表示的平面区域，如图所示．二元一次不等式表示平面区域的画法(1)不等式组的解集是各个不等式解集的交集，所以不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．(2)在画二元一次不等式组表示的平面区域时，应先画出每个不等式表示的区域，再取它们的公共部分即可．其步骤：①画线；②定侧；③求“交”；④表示．但要注意是否包括边界．2．不等式组⎩⎨⎧x －y ≤0，x ＋y ≤0表示的平面区域是( )A BC DC [取特殊点坐标(如：(0，－1)，(－1,0)等)代入不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y ≤0，检验可得C 符合．][1．已知直线x ＋y －3＝0上两点A (1,2)，B (0,3)，又点C 的坐标为(4,5)，则△ABC 的面积是什么？[提示] |AB |＝2，又点C (4,5)到直线x ＋y －3＝0的距离为d ＝|4＋5－3|2＝3 2. 故S △ABC ＝12×2×32＝3. 2．(1)直线方程x ＋y －a ＝0中，实数a 的几何意义是什么？(2)直线l 1：x ＋y －2＝0，l 2：x ＋y －1＝0的位置关系如何？[提示] (1)直线x ＋y －a ＝0在y 轴上的截距．(2)直线l 1与l 2平行．【例3】 (1)不等式组⎩⎨⎧ x ＋2y －1≥0，2x ＋y －5≤0，y ≤x ＋2所表示的平面区域的面积是________． (2)若不等式组⎩⎨⎧ x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域的形状是三角形，则a 的取值范围是( )A ．a ≥43B ．0＜a ≤1C ．1≤a ≤43D ．0＜a ≤1或a ≥43思路探究：(1)画出不等式组表示的平面区域，确定其形状并求面积．(2)首先画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域，然后平移直线x ＋y ＝a ，根据平面区域的形状确定a 的取值范围．(1)6 (2)D [(1)如图所示，其中的阴影部分便是不等式组所表示的平面区域．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x ＋y －5＝0，得A (1,3)．同理得B (－1,1)，C (3，－1)．∴|AC |＝22＋(－4)2＝25，而点B 到直线2x ＋y －5＝0的距离为d ＝|－2＋1－5|5＝65， ∴S △ABC ＝12|AC |·d ＝12×25×65＝6. (2)作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域(如图中阴影部分)．由图知，要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角形，只需动直线l ：x ＋y ＝a 在l 1，l 2之间(包括l 2，不包含l 1)或l 3上方(包含l 3)．]1．(变条件)把例3(1)中的不等式组换为⎩⎨⎧ x ＋y －2≥0，x ＋2y －4≤0，x ＋3y －2≥0求其表示平面区域的面积． [解] 如图所示，阴影部分为不等式组表示的平面区域由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －2＝0x ＋2y －4＝0，得A (8，－2)， 所以面积S ＝12×2×2＋12×2×2＝4. 2．(变条件)把例3(2)中的不等式组换为⎩⎨⎧ x －y ＋5≥0，y ≥a ，0≤x ≤2若其仍然表示一个三角形，求实数a 的取值范围． [解] 如图所示，当直线y ＝a 介于直线y ＝5(含该直线)与直线y ＝7(不含该直线)之间时，不等式组表示的平面区域是一个三角形，所以5≤a ＜7.1．求平面区域面积的方法求平面区域的面积，先画出不等式组表示的平面区域，然后根据区域的形状求面积，若画出的图形为规则的，则直接利用面积公式求解；若图形为不规则的，可采用分割的方法，将平面区域分为几个规则图形后求解．2．已知平面区域的形状求参数取值范围的注意点(1)要首先画出不含参数的不等式所表示的平面区域，注意直线的虚实．(2)理解字母的几何意义，根据字母值的变化变动直线，查看满足题目条件时字母的值，确定其取值范围．1．一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0或Ax＋By＋C<0在平面直角坐标系内表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域．2．在画二元一次不等式表示的平面区域时，应用“直线定边界，特殊点定区域”的方法来画区域，取点时，若直线不过原点，一般用“原点定区域”；若直线过原点，则取点(1,0)即可，总之，尽量减少运算量．3．画平面区域时，注意边界线的虚实问题.1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)点(2,4)在不等式x＋2y＜1表示的平面区域内．()(2)由于不等式2x－1＞0不是二元一次不等式，故不能表示平面的某一区域．()(3)不等式Ax＋By＋C＞0与Ax＋By＋C≥0表示的平面区域是相同的．()[答案](1)×(2)×(3)×[提示](1)错误，由于2＋2×4＝10＞1，所以点(2,4)不在不等式x＋2y＜1表示的平面区域内．(2)错误，不等式2x－1＞0表示直线x＝12右侧的平面区域．(3)错误，不等式Ax＋By＋C＞0表示的平面区域不包含直线Ax＋By＋C＝0上的一点，而Ax＋By＋C≥0表示的平面区域则包含直线Ax＋By＋C＝0上的点．2．不等式x－2y＋6≤0表示的区域在直线x－2y＋6＝0的()A．右上方B．右下方C．左上方D．左下方2019-2020年北师大版数学必修五讲义：第3章+§4+4.1+二元一次不等式（组）与平面区域及答案- 11 - / 11 C [如图，作出直线x －2y ＋6＝0，又(0,0)不满足x －2y ＋6＜0，故其表示的平面区域在直线x －2y ＋6＝0的左上方．]3．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎨⎧ x ＋y ≥0，x －y ＋4≥0，x ≤1表示的平面区域的面积是________． 9 [平面区域如图阴影部分所示，平面区域是△ABC ，且A (－2,2)，B (1,5)，C (1，－1)，则BC 边上的高h ＝3，|BC |＝6，所以平面区域的面积是S ＝12×3×6＝9.]4．画出不等式组⎩⎨⎧ x ＋y ≤5，x －2y ＞3，x ＋2y ≥0表示的平面区域．[解] 不等式x ＋y ≤5表示直线x ＋y －5＝0及左下方(包括直线)的区域． 不等式x －2y ＞3表示直线x －2y －3＝0右下方(不包括直线)的区域．不等式x ＋2y ≥0表示直线x ＋2y ＝0及右上方(包括直线)的区域．所以不等式组表示的平面区域如图．。

[学业水平训练]1．以下不等式所表示的平面区域中包含原点的是( ) A ．x －y ＋1<0 B ．2x ＋3y －6>0 C ．2x ＋5y －10≥0 D ．4x －3y ≤12解析：选D.将(0，0)代入A ，B ，C ，D 逐一验证可知，D 正确． 2．下列说法正确的个数是( )(1)图中表示的区域是不等式2x －y ＋1≤0的解集 (2)图中表示的区域是不等式3x ＋2y －1<0的解集 (3)图中表示的区域是不等式Ax ＋By ＋C ≥0的解集A ．0B ．1C ．2D ．3 解析：选B.把原点O (0，0)分别代入不等式， 可知(1)2×0－0＋1>0，故(1)正确． (2)边界应为虚线．(3)A ×0＋B ×0＋C ＝C ，与0的大小不确定．3．如图，不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)<0表示的平面区域正确的是( )解析：选A.原不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)<0等价于⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1>0，x ＋y －3<0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1<0，x ＋y －3>0，且不含边界，故选A.4．设点P (x ，y )，其中x ，y ∈N ，满足x ＋y ≤3的点P 的个数为( ) A ．10 B ．9 C ．3 D ．无数个解析：选A.当x ＝0时，y 可取0，1，2，3，有4个点；当x ＝1时，y 可取0，1，2，有3个点；当x ＝2时，y 可取0，1，有2个点；当x ＝3时，y 可取0，有1个点．故一共有10个点．5．已知点P (2，－3)，Q (3，2)，直线ax ＋y ＋2＝0与线段PQ 相交，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－43，12B.⎣⎡⎦⎤－43，13C.⎣⎡⎦⎤－12，12 D.[]－3，3解析：选A.∵P ，Q 两点在直线ax ＋y ＋2＝0的异侧或有一点在直线上，∴(2a －3＋2)(3a＋2＋2)≤0，∴－43≤a ≤12.6．点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方，则t 的取值范围是________． 解析：据题意得不等式2×(－2)－3t ＋6<0，解得t >23.故t 的取值范围是⎝⎛⎭⎫23，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫23，＋∞7．已知点(－3，－1)和(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0同侧，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意(－9＋2－a )(12＋12－a )>0，解得a >24或a <－7. 答案：(－∞，－7)∪(24，＋∞)8．某高校录取新生对语文、数学、英语的高考分数(满分为150分)的要求是：①语文不低于70分；②数学应高于80分；③三科成绩之和不少于230分．若张三被录取到该校，则张三的语、数、英成绩x ，y ，z 应满足的限制条件是________．答案：⎩⎪⎨⎪⎧70≤x ≤150，80<y ≤150，0≤z ≤150，x ＋y ＋z ≥2309．设集合A ＝{(x ，y )|x ，y ，1－x －y 是三角形的三边长}．画出集合A 表示的平面区域． 解：由题意可知，集合A 可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y >1－x －yx ＋1－x －y >y y ＋1－x －y >x x >0，y >01－x －y >0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －12>00<y <120<x <12x ＋y <1.画出可行域如图所示．10．一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料需要的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨．现有库存磷酸盐10吨，硝酸盐66吨，并在此基础上进行生产．请列出满足生产条件的数学关系式，并画出平面区域．解：设x ，y 分别为计划生产甲，乙两种混合肥料的车皮数，它们所满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y ≤10，18x ＋15y ≤66，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N .在直角坐标系中分别画出不等式组中的各不等式表示的区域，然后取交集，如图(阴影)所示的平面区域内的整点，就是不等式组所表示的平面区域．[高考水平训练]1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3，x ＋y ≥0，x －y ＋2≥0表示的平面区域的面积等于( )A ．28B ．16 C.394D ．121解析：选B.先画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3，x ＋y ≥0，x －y ＋2≥0表示的平面区域．如图阴影部分所示．∵直线x ＋y ＝0与直线x －y ＋2＝0垂直， ∴△ABC 为直角三角形．易得A (－1，1)，B (3，－3)，C (3，5)． ∴|AC |＝（3＋1）2＋（5－1）2＝42，|AB |＝（3＋1）2＋（－3－1）2＝4 2.∴S △ABC ＝12|AB |·|AC |＝12×(42)2＝16.2．由直线x ＋y ＋2＝0，x ＋2y ＋1＝0和2x ＋y ＋1＝0围成的三角形区域(包括边界)用不等式(组)可表示为________．解析：画出三条直线，并用阴影表示三角形区域，如图，取原点(0，0)，将x ＝0，y ＝0代入验证，∵0＋0＋2>0，∴点(0，0)在不等式x ＋y ＋2>0表示的区域内． 又∵0＋2×0＋1＝1>0，∴点(0，0)在不等式x ＋2y ＋1>0表示的区域内． 又∵2×0＋0＋1＝1>0，∴点(0，0)在不等式2x ＋y ＋1>0表示的区域内． 结合图形，三角形区域可用不等式组表示为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋2≥0，x ＋2y ＋1≤0，2x ＋y ＋1≤0. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋2≥0，x ＋2y ＋1≤0，2x ＋y ＋1≤03．若S 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x ≤2表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，求动直线x ＋y ＝a 扫过S 中的那部分区域的面积．解：如图，作出不等式组所表示的平面区域S ，则直线x ＋y ＝a 扫过S 中的区域为四边形AOBC ，且A (－2，0)，B (0，1)，C ⎝⎛⎭⎫－12，32，D (0，2)．∴S 四边形AOBC ＝S △AOD －S △CBD ＝12×2×2－12×1×12＝74.4．某人准备投资1 200万元兴办一所学校，对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格(以班级为单位)(注：初、高中的教育周期均为三年，办学规模以20～30个班为宜，老师实行聘任制).解：设开设初中班x 个，高中班y 个．根据题意，总共招生班数应限制在20～30之间，所以有20≤x ＋y ≤30. 考虑到所投资金的限制，得到26x ＋54y ＋2×2x ＋2×3y ≤1 200， 即x ＋2y ≤40.另外，开设的班数不能为负且为整数，则 x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N .把上面不等式合在一起，得到： ⎩⎪⎨⎪⎧20≤x ＋y ≤30，x ＋2y ≤40，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N .用图形表示这个限制条件，得到如图中的平面区域(阴影部分，且为阴影部分中的整数点)．。