2014届江西师大附中高三三模数学理科数学试卷

2014年江西省南昌市高考数学三模试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）1. 设集合A ={x|−3≤2x −1≤3}，集合B ={x|y =lg(x −1)}，则A ∩B =( ) A (1, 2) B [1, 2] C [1, 2) D (1, 2]2. i 是虚数单位，2i 1−i的共轭复数为（ ）A −1+iB 1+iC −1−iD 1−i3. 常说“便宜没好货”，这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件如果y 与x 呈现线性相关且回归直线方程为y =bx +72，则b =( )A −12B 12C −110D 1105. △ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a =80，b =100，A =30∘，则此三角形（ ）A 一定是锐角三角形B 一定是直角三角形C 一定是钝角三角形D 可能是钝角三角形，也可能是锐角三角形6. 将正方体（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为（ ）A B C D7. 设{a n }为等差数列，且a 3+a 7−a 10=2，a 11−a 4=7，则数列{a n }的前13项的和为S 13=( )A 63B 109C 117D 2108. 若(ax−√x2)9的展开式中x 3的系数为94，则常数a 的值为（ ）A 1B 2C 3D 49. 设F 1，F 2分别为双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的左、右焦点，A 为双曲线的左顶点，以F 1F 2为直径的圆交双曲线某条渐过线于M ，N 两点，且满足∠MAN =120∘，则该双曲线的离心率为( ) A√213 B √193 C 23 D 7√3310. 已知函数f(x)=1ln(x+1)−x ，则y =f(x)的图象大致为( )A B C D二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）11. 函数f(x)=sin(x +π3)+asin(x −π6)的一条对称轴方程为x =π2，则a =________． 12. 在四边形ABCD 中，AB // CD ，AB =2CD ，M ，N 分别为CD 、BC 的中点，若AB →=λAM →+μAN →，则λ+μ=________． 13. 已知函数f(x)满足f(x +1)=1f(x)，且f(x)是偶函数，当x ∈[0, 1]时，f(x)=x ，若在区间[−1, 3]内，函数g(x)=f(x)−kx −k 有4个零点，则实数k 的取值范围是________． 14. 已知圆G:x 2+y 2−2√2x −2y =0经过椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点及上顶点．过椭圆外一点M(m, 0)(m >a)，倾斜角为23π的直线l 交椭圆于C ，D 两点，若点N(3, 0)在以线段CD 为直径的圆E 的外部，则m 的取值范围是________．选做题（两题任选一题作答，共5分）【坐标系与参数方程】15. 参数方程{x =t +1t y =2（t 为参数）表示（ ） A 一条直线 B 一条射线 C 抛物线 D 两条射线【不等式选讲】16. 若关于x 的不等式|x −1|−|x −2|≥a 2+a +1(x ∈R)的解集为空集，则实数a 的取值范围为（ ）A (0, 1)B (−1, 0)C (−∞, −1)D (−∞, −1)∪(0, +∞)四、解答题（共6小题，共75分）17. 已知A 、B 分别在射线CM 、CN （不含端点C ）上运动，∠MCN =23π，在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ．(Ⅰ)若a 、b 、c 依次成等差数列，且公差为2．求c 的值；(Ⅱ)若c =√3，∠ABC ＝θ，试用θ表示△ABC 的周长，并求周长的最大值．18. 随机抽取某中学高一年级学生的一次数学统测成绩得到一样本，其分组区间和频数：[50, 60),2：[60, 70),7：[70, 80),10：[80, 90),x[90, 100]，2，其频率分布直方图受到破坏，可见部分如图所示，据此解答如下问题： （1）求样本的人数及x 的值；（2）从成绩不低于80分的样本中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为ξ，求ξ的数学期望．19. 如图，在四棱锥S −ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AD 垂直于AB和DC ，侧棱SA ⊥底面ABCD ，且SA =2，AD =DC =1． （1）若点E 在SD 上，且AE ⊥SD ，证明：AE ⊥平面SDC ；（2）若三棱锥S −ABC 的体积V S−ABC =16，求面SAD 与面SBC 所成二面角的正弦值大小． 20. 已知函数f(x)=e x (ax +b)，曲线y =f(x)经过点P(0, 2)，且在点P 处的切线为l:y =4x +2．（1）求常数a ，b 的值；（2）求证：曲线y =f(x)和直线l 只有一个公共点；（3）是否存在常数k ，使得x ∈[−2, −1]，f(x)≥k(4x +2)恒成立？若存在，求常数k 的取值范围；若不存在，简要说明理由．21. 给定数列a 1，a 2，…，a n ．对i =1，2，…，n −1，该数列前i 项的最大值记为A i ，后n −i 项a i+1，a i+2，…，a n 的最小值记为B i ，d i =A i −B i ． (1)设数列{a n }为3，4，7，1，写出d 1，d 2，d 3的值；(2)设a 1，a 2，…，a n−1(n ≥4)是公比大于1的等比数列，且a 1>0．证明：d 1，d 2，…，d n−1是等比数列；(3)设d 1，d 2，…，d n−1是公差大于0的等差数列，且d 1>0．证明：a 1，a 2，…，a n−1是等差数列．22. 已知F 是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交椭圆于点D ，且BF →=53FD →．（1）求椭圆的离心率；（2）设动直线y =kx +m 与椭圆有且只有一个公共点P ，且与直线x =4相交于点Q ，若x 轴上存在一定点M(1, 0)，使得PM ⊥QM ，求椭圆的方程．2014年江西省南昌市高考数学三模试卷（理科）答案1. D2. C3. B4. B5. C6. B7. C8. D9. A10. B11. √312. 4513. (0,14]14. (72，2√303)15. D16. D17. （1）∵ a、b、c成等差，且公差为2，∴ a＝c−4、b＝c−2．又∵ ∠MCN=23π，cosC=−12，∴ a2+b2−c22ab =−12，∴ (c−4)2+(c−2)2−c22(c−4)(c−2)=−12，恒等变形得c2−9c+14＝0，解得c＝7，或c＝2．又∵ c>4，∴ c＝7．（2）在△ABC中，由正弦定理可得ACsin∠ABC =BCsin∠BAC=ABsin∠ACB，∴ ACsinθ=BCsin(π3−θ)=√3sin2π3=2，AC＝2sinθ，BC=2sin(π3−θ)．∴ △ABC的周长f(θ)＝|AC|+|BC|+|AB|=2sinθ+2sin(π3−θ)+√3=2[12sinθ+√32cosθ]+√3=2sin(θ+π3)+√3，又∵ θ∈(0,π3)，∴ π3<θ+π3<2π3，∴ 当θ+π3=π2，即θ=π6时，f(θ)取得最大值2+√3．18. 解：（1）由题意得，分数在[50, 60)之间的频数为2，频率为0.008×10=0.08，∴ 样本人数为n=20.08=25（人），∴ x的值为x=25−(2+7+10+2)=4（人）．（2）成绩不低于80分的样本人数为4+2=6人，成绩在90分以上的人数为2人，∴ ξ的取值为0，1，2，∵ P(ξ=0)=C42C62=615，P(ξ=1)=C41C21C62=815，P(ξ=2)=C22C62=115，∴ Eξ=0×615+1×815+2×115=23．19. （1）证明：∵ 侧棱SA⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，∴ SA⊥CD．…．∵ 底面ABCD直角梯形，AD垂直于AB和DC，∴ AD⊥CD，又AD∩SA=A，∴ CD⊥侧面SAD，…．∵ AE⊂侧面SAD∴ AE⊥CD，∵ AE⊥SD，CD∩SD=D，∴ AE⊥平面SDC；…．（2）解：连结AC，∵ 底面ABCD直角梯形，AD垂直于AB和DC，SA=2，AD=DC=1∴ AC=√2，∠ACB=π4，设AB=t，则S△ABC=√24AC⋅t=t2，∵ 三棱锥V=16=23⋅t2，∴ t=AB=12．…．如图建系，则A(0, 0, 0)，S(0, 0, 2)，D(0, 1, 0)，B(0.5, 0, 0)，C(1, 1, 0)， 由题意平面SAD 的一个法向量为m →=(1, 0, 0)， 不妨设平面SBC 的一个法向量为n →=(x, y, z)，则 ∵ SB →=(0.5, 0, −2)，SC →=(1, 1, −2)， ∴ {x −4z =0x +y −2z =0，不妨令z =1，则n →=((4, −2, 1)…． ∴ cos <m →，n →>=|m →||n →|˙=√21，…．设面SAD 与面SBC 所成二面角为θ，则sinθ=√10521…． 20. 解：（1）f′(x)=e x (ax +a +b)…，依题意，{f(0)=2f /(0)=4，即{e 0(a ×0+b)=2e 0(a ×0+a +b)=4…， 解得a =b =2…．（2）记g(x)=e x (ax +b)−(4x +2)=2e x (x +1)−2(2x +1)， 则g′(x)=2e x (x +2)−4…， 当x =0时，g′(x)=0； 当x >0时，g′(x)>0； 当x <0时，g′(x)<0…，∴ g(x)≥g(0)=0，等号当且仅当x =0时成立，即f(x)≥4x +2，等号当且仅当x =0时成立，曲线y =f(x)和直线l 只有一个公共点…． （3）x ∈[−2, −1]时，4x +2<0， ∴ f(x)≥k(4x +2)恒成立当且仅当k ≥f(x)4x+2=e x (x+1)2x+1…，记ℎ(x)=e x (x+1)2x+1，x ∈[−2, −1]， ℎ/(x)=e x (2x 2+3x)(2x+1)2…，由ℎ′(x)=0得x =0（舍去），x =−32… 当−2≤x <−32时，ℎ′(x)>0； 当−32<x ≤−1时，ℎ′(x)<0…， ∴ ℎ(x)=e x (x+1)2x+1在区间[−2, −1]上的最大值为ℎ(−32)=14e −32，常数k 的取值范围为[14e −32, +∞)．21. (1)解：当i =1时，A 1=3，B 1=1，故d 1=A 1−B 1=2， 同理可求d 2=3，d 3=6.(2)证明：因为 a 1>0，公比q >1，所以数列a 1,a 2,a 3，…，a n (n ≥4)是递增数列． 因此，对i =1,2，…，n −1,A i =a i ,B i =a i+1, 所以d i =A i −B i =a i −a i+1． 所以d i ≠0，且d i+1d i=q (i =1，2…，n −2）.所以数列d 1，d 2，…，d n−1是等比数列. (3)证明：设d 为d 1，d 2，…，d n−1的公差， 对1≤i ≤n −2，因为B i ≤B i+1，d >0，所以A i+1=B i+1+d i+1≥B i +d i +d >B i +d i =A i ， 又因为A i+1=max{A i , a i+1}，所以a i+1=A i+1>A i ≥a i ． 从而a 1，a 2，…，a n−1为递增数列． 因为A i =a i (i =1, 2,…n −1)，又因为B 1=A 1−d 1=a 1−d 1<a 1， 所以B 1<a 1<a 2<...<a n−1， 因此a n =B 1．所以B 1=B 2=…=B n−1=a n ． 所以a i =A i =B i +d i =a n +d i ，因此对i =1，2，…，n −2都有a i+1−a i =d i+1−d i =d ， 即数列a 1，a 2，…，a n−1是等差数列． 22. 解：（1）∵ A(−a, 0)，设直线方程为y =2(x +a)，B(x 1, y 1) 令x =0，则y =2a ，∴ C(0, 2a)，----------------------∴ AB →=(x 1+a,y 1)，BC →=(−x 1,2a −y 1)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− ∵ AB →=613BC →，∴ x 1+a =613(−x 1)，y 1=613(2a −y 1)，整理得x 1=−1319a ，y 1=1219a −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−∵ B 点在椭圆上，∴ (1319)2+(1219)2⋅a 2b2=1，∴b 2a 2=34，----------------------∴a 2−c 2a 2=34，即1−e 2=34，∴ e =12−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−（2）∵b 2a 2=34，可设b 2=3t ．a 2=4t ，∴ 椭圆的方程为3x 2+4y 2−12t =0−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− 由{3x 2+4y 2−12t =0y =kx +m 得(3+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−12t =0−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−∵ 动直线y =kx +m 与椭圆有且只有一个公共点P ∴ △=0，即64k 2m 2−4(3+4m 2)(4m 2−12t)=0整理得m2=3t+4k2t−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−设P(x1, y1)则有x1=−8km2(3+4k2)=−4km3+4k2，y1=kx1+m=3m3+4k2∴ P(−4km3+4k2，3m3+4k2)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−又M(1, 0)，Q(4, 4k+m)若x轴上存在一定点M(1, 0)，使得PM⊥QM，∴ (1+4km3+4k2，−3m3+4k2)⋅(−3,−(4k+m))=0恒成立整理得3+4k2=m2，---------------------- ∴ 3+4k2=3t+4k2t恒成立，故t=1∴ 所求椭圆方程为x24+y23=1−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−。

江西省南昌大学附属中学2014届高三第三次月考数学（理）试卷总分：150分 时间：120分钟一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每个题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将答案填写在答卷纸上）.1.一扇形的中心角为2，中心角所对的弦长为2，则此扇形的面积为（ ） A ．2 B ．1 C ．21sin 1 D ．21cos 12.下列命题中的假命题．．．是（ ） A ．R x ∀∈，120x -＞ B ．N x *∀∈，()10x -2＞C ．R x ∃∈，lg x ＜1D ．R x ∃∈，tan 2x =3.已知角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点(sin120cos120)P ，，则α可以是（ ） A ．60B ． 330C ．150D ．1204.设ω>0,函数sin 23y x πω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图像向右平移43π个单位后与原图像重合，则ω的最小值是（ ）A ．23 B ．43 C ．32 D ．3 5.函数331x x y =-的图象大致是( )6.设()()sin f x x ωϕ=+，其中0ω>，则()f x 是偶函数的充要条件是( ) A.01f = B. 00f = C. '01f=D. ()'00f=7.④)(x f 的图象关于直线时，)(x f 的值域为（ ） A ．①②④ B ．③④⑤ C ．②③ D ．③④8.已知点P 在曲线41xy e =+上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（ ） A.3[,)4ππ B.[,)42ππ C.3(,]24ππ D.[0,4π) 9.已知函数()1cos(2)(0)22g x x ππϕϕ=-+<<的图象过点(1,2)，若有4个不同的正数i x 满足()i g x M =，且8(1,2,3,4)i x i <=，则1234x x x x +++等于（ ）A ．12B ．20C ．12或20D ．无法确定10.设函数21(),()(,,0)f x g x ax bx a b R a x==+∈≠，若()y f x =的图象与()y g x =图象有且仅有两个不同的公共点1122(,),(,)A x y B x y ,则下列判断正确的是 A. 当0a <时，12120,0x x y y +<+>B. 当0a <时，12120,0x x y y +>+<C. 当0a >时，12120,0x x y y +<+<D. 当0a >时，12120,0x x y y +>+>二.5分,共25分，把答案填在答题卷上）11.12. 如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔 底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15° 方向走10米到 位置D ，测得∠BDC ＝45°，则塔AB 的高是____米．13. 已知)3)(2()(++-=m x m x m x f ，22)(-=xx g ，若同时满足条件①R x ∈∀，0)(<x f 或0)(<x g ；②(),4x ∃∈-∞-, ()()0f x g x ⋅<. 则m 的取值范围是______________. 14. 4cos50tan 40-=_____________________.15. 已知定义域为0+∞（，）的函数()f x 满足：（1）对任意0x ∈+∞（，），恒有()()f 2x =2f x 成立；（2）当]x ∈（1,2时，()2f x x =-.给出如下结论：①对任意m Z ∈，有()2mf =0；②函数()f x 的值域为[0+∞，）；③存在Z n ∈，使得()n2+1=9f ；④“函数()f x 在区间(,)a b 上单调递减”的充要条件是 “存。

江西省南昌市名校2014届高考数学模拟卷（三）命题人：江西师大附中 审题人：江西师大附中一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{1,(1)}M z i =+，i 为虚数单位，{3,4}N =，若{1,2,3,4}M N =，则复数z 在复平面上所对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限2．函数()f x =的定义域为A ．(0,1)B ．(0,1]C ．[0,1)D ．[0,1]3．（理）若1110(1),(1),(sin 1)x a x dx b e dx c x dx=-=-=-⎰⎰⎰，则A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．a c b <<（文）若1sin 23α=，则2cos ()4πα+= A ．23B ． 12C ． 13D ． 164．设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比为q ，若223,15,63k k k S S S -+===，则q =A ．2-B ．2C ．4-D ．45．已知函数()sin()f x x ωϕ=+，对任意的实数x 均存在a 使得()()(0)f a f x f ≤≤成立，且||a 的最小值为2π，则函数()f x 的单调递减区间为（ ）A ．[,]()2k k k Z πππ-∈ B ．[,]()2k k k Z πππ+∈C ．[2,2]()2k k k Z πππ-∈ D ．[2,2]()2k k k Z πππ+∈6．已知椭圆:)20(14222<<=+b b y x ,左右焦点分别为21F F ，,,过1F 的直线l 交椭圆于,A B 两点，若||||22AF BF +的最大值为5，则b 的值是A ．1B ．2C ．23D ．37．已知平面α，命题甲：若//,//a b αα，则//a b ，命题乙：若,a b αα⊥⊥，则//a b ，则下列说法正确的是 A ．当,a b 均为直线时，命题甲、乙都是真命题； B ．当,a b 均为平面时，命题甲、乙都是真命题；C ．当a 为直线，b 为平面时，命题甲、乙都是真命题；D ．当a 为平面，b 为直线时，命题甲、乙都是假命题；8．（理）51()(2)a x x x x +-展开式中各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为A ．40-B ．20-C ．20D ．40（文）从[0,3]中随机取一个数a ，则事件“不等式|1||1|x x a ++-<有解”发生的概率为A ．56B ．23C ．16D ．139．已知函数2()2f x x x =+的图像在点11(,())A x f x 与点2212(,())(0)B x f x x x <<处的切线互相垂直，则21x x -的最小值为A ．12 B ．1C ．32 D ．210．一电子广告，背景是由固定的一系列下顶点相接的正三角形组成，这列正三角形的底边在同一 直线上，正三角形的内切圆由第一个正三角形的O 点沿三角形列的底边匀速向前滚动（如图），设滚动中的圆与系列正三角形的重叠部分（如图中的阴影）的面积S 关于时间t 的函数为()S f t =，则下列图中与函数()S f t =图像最近似的是二、填空题(本大题共5小题,每小题5分共25分．把答案填在答题卷中的横线上．) 11．已知两个不共线的单位向量,a b ，(1)c ta t b =+-，若()0c a b ⋅-=，则t = ．12．在OAB ∆中，120o AOB ∠=，OA OB ==，边AB 的四等分点分别为123,,A A A ，1A 靠近A ，执行下图算法后结果为 ．13．已知2()sin 21xf x x =++，则(2)(1)(0)(1)(2)f f f f f -+-+++= ．14．为了考察某校各班参加数学竞赛的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互相不相同，则样本数据中的最小值为 ．15．(理)（在下列两题中任选一题，若两题都做，按第①题给分）①（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，定点(2,)2A π，点B在直线cos sin 0ρθθ= 上运动，则线段AB 的最短长度为 ． ②（不等式选做题）若函数()2()log |1||5|f x x x a =-+--的值域为R ,则实数a 的取值范围为 ．（文）1234212,21334,2135456,213575678,⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯… 依此类推，第n 个等式为 ．三、解答题（本大题共6小题共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，32C ππ<<且sin 2sin sin 2b Ca b A C =--．（I ）判断ABC ∆的形状；（II ）若||2BA BC +=，求BA BC ⋅的取值范围． 17．（本小题满分12分）正项数列{}n a 的前n 项和为n S 满足：221220n n n n S S ++-=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令12(1)(1)n n n n b S a -=--，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：对于任意的*n N ∈，都有2n T <．（理）为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为3 5．（1）请将上面的列联表补充完整(不用写计算过程)；（2）能否认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；（3）若从女生中随机抽取2人调查，其中喜爱打篮球的人数为X，求X的分布列与期望．下面的临界值表供参考：(参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++)（文）一个袋中装有四个大小形状都相同的小球，它们的编号分别为1，2，3，4．（1）从袋中随机取两个小球，求取出的两个小球编号之和不大于4的概率；（2）先从袋中随机取一个小球，该球的编号为x，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个小球，该球的编号为y，求2y x<+的概率．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，1AD DC CB ===，060ABC ∠=，四边形ACEF 为矩形，平面ACEF ⊥平面ABCD ，1CF =． (1) 求证：BC ⊥平面ACEF ；(2)（文）若点M 在线段EF 上移动，点N 为AB 中点，且MN ∥平面 FCB ，试确定点M 的位置，并求此时MN 的长度．（理） 若点M 在线段EF 上移动，试问是否存在点M ，使得平面MAB 与 平面FCB 所成的二面角为045 ，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由． 20．（本小题满分13分）已知抛物线21:2(0)C y px p =>的焦点F 以及椭圆22222:1(0)y x C a b a b +=>>的上、下焦点及左、右顶点均在圆22:1O x y +=上． （1）求抛物线1C 和椭圆2C 的标准方程；（2）过点F 的直线交抛物线1C 于,A B 两不同点，交y 轴于点N ，已知12,NA AF NB BF λλ==，求12λλ+的值；（3）直线l 交椭圆2C 于,P Q 两不同点，,P Q 在x 轴的射影分别为'P 、'Q ，''10OP OQ OP OQ ⋅+⋅+=，若点S 满足OS OP OQ =+，证明：点S 在椭圆2C 上．（理）设函数321()(4)3f x mx m x =++，()ln g x a x =，其中0a ≠．（1）若函数()y g x =图象恒过定点M ,且点M 在()y f x =的图象上,求m 的值； (2)当8a =时,设()'()()F x f x g x =+,讨论()F x 的单调性；(3)在(1)的条件下,设(),1()(),1f x x G x g x x ≤⎧=⎨>⎩,曲线()y G x =上是否存在两点P 、 Q ,使OPQ ∆ (O 为原点)是以O 为直角顶点的直角三角形,且该三角形斜边的中 点在y 轴上?如果存在,求a 的取值范围;如果不存在,说明理由． （文）设函数322()=(0)f x x ax a x m a +-+>． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在[1,1]x ∈-内没有极值点，求a 的取值范围；（3）若对任意的[3,6]a ∈,不等式()1f x ≤在[2,2]x ∈-上恒成立,求m 的取值范围．参考答案11．12； 12．9； 13．5； 14．4 15．124a ≥（文）213(21)(1)(2)(2)nn n n n ⨯⨯⨯⨯-=+⨯+⨯⨯……三、解答题：（本大题共6小题共75分）16．解：（1）由sin 2sinA sin 2C b Ca b =--及正弦定理有sin sin 2B C =所以2B C =或2=2B C π+若2B C =，且32C ππ<<，所以23B ππ<<或B C π+>（舍）所以2=2B C π+，则A C =，所以ABC ∆为等腰三角形． （2）因为||2BA BC +=，所以222cos 4a c ac B ++⋅=，因为a c =，所以222cos a B a -=，而cos cos 2B C =-，32C ππ<<， 所以1cos 12B <<，所以2413a <<， 又2cos 2BA BC ac B a ⋅==-，所以2(,1)3BA BC ⋅∈17．解：（1）221220n n n n S S ++-=，122)0n n n n S S +-+=（)(，解得2nn S =当1n =时，112a S ==；当2n ≥时，111222n n n n n n a S S ---=-=-=（1n =不适合）所以12,1,2,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩（2）当1n =时，111211211(1)(1)(21)b S a -===---，1112T b ==<； 当2n ≥时，111211(21)(21)2121n n n n n n b ---==----- 22311111111()()()212121212121n n n T -=+-+-++------- 12221n=-<-综上，对于任意的*n N ∈，都有2n T <．18．（理）解：(1) 列联表补充如下： （2）∵2250(2015105)30202525K ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯8.3337.879≈> ∴有99.5%以上的把握认为喜爱打篮球与性别有关.（3）喜爱打篮球的女生人数X 的可能取值为0,1,2. 其概率分别为021*******(0)20C C P X C ===，1110152251(1)2C C P X C ===，2010152253(2)20C C P X C ===故X 的分布列为：X 的期望值为7134012202205EX =⨯+⨯+⨯= ．（文）解：（1）袋中随机取两球的基本事件共有1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)（， 其中编号之和不大于4的基本事件有1,2),(1,3)（两种，所求的概率21==63P ． (2)从袋中依次有放回地两次取球的基本事件总数为44=16⨯（种） 当1x =时，23x +=，此时y 可取1,2两种情况；当2x =时，24x +=，此时y 可取1,2,3三种情况；当3x =时，24x +>，此时y 可取1,23,4，四种情况； 当4x =时，24x +>，此时y 可取1,23,4，四种情况， 所以，所求事件的概率2344131616P +++==．19．解：(1) 证明：在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD=DC=CB=1，∠ABC=60o ， ∴ 2AB =，2222cos 603AC AB BC AC BC =+-⋅︒=，∴ 222AB AC BC =+，∴ AC BC ⊥，又平面ACEF ⊥平面ABCD ，AC 是交线，BC ⊂平面ABCD ， ∴ BC ⊥平面ACEF ．(2) （文）设M 为EF 的中点，G 为AC 的中点，连MG ，NG ，则NG ∥BC ． 因为四边形ACEF 为矩形，所以MG ∥FC ，所以平面MNG ∥平面BCF 因为MN ⊂平面MNG ，所以MN ∥平面FCB ，即M 为EF 的中点时符合题意．这时，1MG CF ==，011111cos 60222222NG BC AB ==⋅=⨯⨯=由（I ）BC ⊥平面ACEF ，所以NG ⊥平面ACEF ，所以NG ⊥MG即MNG ∆为直角三角形，得MN ===（理）由(1)知，AC 、BC 、CF 两两垂直，以C 为原点，AC 、BC 、CF所在的直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系（如图），则00)A ，(010)B ，，，设(01)M a ，，，则(AB =，(,1,1)BM a =-， 设(,,)m x y z =是平面AMB 的法向量，则300m AB y m BM ax y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，，取1x =，得(1,3,)m a =-，显然(1,0,0)n =是平面FCB 的一个法向量，于是cos m n <>==，，化简得22)0a +=，此方程无实数解， ∴ 线段EF 上不存在点M 使得平面MAB 与平面FCB 所成的二面角为45o ．20．解：（1）由抛物线21:2(0)C y px p =>的焦点(,0)2p F 在圆22:1O x y +=上得：214p =，2p ∴=，∴抛物线21:4C y x =同理由椭圆22222:1(0)y x C a b a b +=>>的上、下焦点(0,),(0,)c c -及左、右顶点(,0),(,0)b b -均在圆22:1O x y +=上可解得：1,b c a ==∴=． 得椭圆222:12y C x +=． （2）设直线AB 的方程为1122(1),(,),(,)y k x A x y B x y =-，则(0,)N k -．联立方程组24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩，消去y 得：2222(24)0,k x k x k -++= 216160,k ∴∆=+>且212212241k x x k x x ⎧++=⎪⎨⎪=⎩由12,NA AF NB BF λλ==得：111222(1),(1),x x x x λλ-=-=整理得：121212,11x x x x λλ==--2212121221212224221241()11k x x x x k k x x x x k λλ+-+-∴+===-+-++-+．（3）设(,),(,),(,)p p Q Q p Q p Q P x y Q x y S x x y y ∴++，则'(,0),'(,0)p Q P x Q x 由''10OP OQ OP OQ ⋅+⋅+=得21p Q p Q x x y y +=-…………①2212p p y x +=……………………② 2212Q Q y x +=……………………③由①+②+③得22()()12p Q p Q y y x x +++= ∴(,)p Q p Q S x x y y ++满足椭圆2C 的方程，命题得证．21．（理）解：(1)令ln 0x =,则1x =,即函数()y g x =的图象恒过定点(1,0)M , 则1(1)(4)03f m m =++=，∴3m =- ．(2)2()2(4)8ln F x mx m x x =+++,定义域为(0,)+∞, 8()2(82)F x mx m x '=+++ =22(82)8mx m x x +++=(28)(1).mx x x ++0x >,则10,x +>∴当0m ≥时,280,()0,mx F x '+>> 此时()F x 在(0,)+∞上单调递增,当0m <时,由()0F x '>得40x m <<- ,由()0F x '<得4x m >-,此时()F x 在4(0,)m -上为增函数, 在4(,)m -+∞为减函数,综上当0m ≥时,()F x 在(0,)+∞上为增函数；0m <时,在4(0,)m -上为增函数,在4(,)m -+∞为减函数．(3)由条件(1)知32,1,()ln , 1.x x x G x a x x ⎧-+≤=⎨>⎩ 假设曲线()y G x =上存在两点P 、Q 满足题意,则P 、Q 两点只能在y 轴两侧设(,())(0)P t G t t >,则32(,),Q t t t -+ 因为POQ ∆是以O 为直角顶点的直角三角形,所以0OP OQ ⋅=，232()()0t G t t t -++= ① 当01t <≤时,32()G t t t =-+，此时方程①为23232()()0t t t t t -+-++=,化简得4210t t -+=． 此方程无解,满足条件的P 、Q 两点不存在当1t >时,()ln G t a t =,方程①为232ln ()0t a t t t -+⋅+=,即1(1)ln ,t t a =+ 设()(1)ln (1)h t t t t =+>,则1()ln 1,h t t t '=++显然当1t >时()0h t '>即()h t 在(1,)+∞上为增函数,所以()h t 的值域为((1),)h +∞,即(0,)+∞,所以10a >，即0a >．综上所述,如果存在满意条件的P 、Q ,则a 的取值范围是0a >．（文）解：（1）∵22()=323()()3a f x x ax a x x a '+-=-+，又0a >，∴当x a <-或3a x >时，()0f x '>；当3a a x -<<时，()0f x '<． ∴函数()f x 的单调递增区间为(,)a -∞-，(,)3a +∞，单调递减区间为(,)3a a -． （2）由题设可知，方程22()=320f x x ax a '+-=在[1,1]-上没有实根， ∴(1)0(1)00f f a '-<⎧⎪'<⎨⎪>⎩，解得3a >．（3）∵[3,6]a ∈，∴由（Ⅰ）知[1,2]3a ∈，3a -≤-又[2,2]x ∈-，∴max (){(2),(2)}f x f f =-而2(2)(2)1640f f a --=-<，∴2max ()(2)842f x f a a m =-=-+++ 又∵()1f x ≤在[2,2]-上恒成立，∴max()1f x ≤，即28421a a m -+++≤ 即2942m a a ≤--在[3,6]a ∈上恒成立 ∵2942a a --的最小值为87-，∴87m ≤-．。

江西省师大附中2014届 高三三模数学（文）试题一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将答案填在答题卷相应表格内. 1．设复数1z i =--(i 是虚数单位），z 的共轭复数为z ，则(1)z z -⋅=( ) A ．10 B ．2 C ．2 D ．1 2．已知集合{11}A x x =+<,1{|()20}2xB x =-≥,则R AB =ð( )A ．)1,2(--B ．]1,2(--C ．)0,1(-D ．)0,1[-3．等差数列中，若，，则{}n a 的前9项和为( )A ．297B ．144C ．99D ．664．下列命题中错误．．的是( ) A ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，l αβ=，那么l γ⊥B ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD ．如果平面α⊥平面β，l αβ=，过α内任意一点作l 的垂线m ，则m β⊥5．将函数sin(4)6y x π=-图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移4π个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是( ) A ．12x π=B ．6x π=C ．3x π=D ．12x π=-6．若如下框图所给的程序运行结果为35S =，那么判断框中应填入的关于k 的条件是( )A ．7=kB ．6≤kC ．6<kD ．6>k 7．下列命题正确的个数是( )①命题“020031,x x R x >+∈∃”的否定是“x x R x 31,2≤+∈∀”；②“函数ax ax x f 22sin cos )(-=的最小正周期为π”是“1=a ”的必要不充分条件； ③ax x x ≥+22在]2,1[∈x 上恒成立max min 2)()2(ax x x ≥+⇔在]2,1[∈x 上恒成立； ④“平面向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“0<⋅”. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 8．双曲线的左、右焦点分别是21,F F ，过1F 作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为( )1 4 7 39 a +a +a= { } n aA ．2B ．3C ．5D ．69．设函数)(x f 的定义域为R ，⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<<--=10,1,1)31()(x x x x f x，且对任意的R x ∈都有)1()1(-=+x f x f ，若在区间]5,1[-上函数m mx x f x g --=)()(恰有6个不同零 点，则实数m 的取值范围是( )A ．11(,]46B ．11(,]34C ．1(0,]5D ．1(0,]610．如图所示，正四棱柱1111D C B A ABCD -中，1,21==AB AA ，M ，N 分别在BCAD ,1上移动，始终保持MN ∥平面11D DCC ，设y MN x BN ==,，则函数)(x f y =的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卷相应横线上. 11．将参加夏令营的100名学生编号为001， 002，⋅⋅⋅，100.先采用系统抽样方法抽取一个容量为20的样本，若随机抽得的号码为003，那么从048号到081号被抽中的人 数是 . 12．下图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为 .13．已知||1OA =，||1OB =，23AOB π∠=，1124OC OA OB =+，则OA 与OC 的夹角大小为 ．14．已知点O 是ABC ∆的外接圆圆心，且3,4AB AC ==．若存在非零实数．．．．,x y ，使得 AO xAB y AC =+，且21x y +=，则cos BAC ∠=.O19题图181716151413秒频率组距0.060.080.160.320.3815．观察下列等式： ,39323322320319317316,123113103837,13231=+++++=+++=+， 则当m n <且N n m ∈,时，=-+-+++++313323323313m m n n . （最后结果用,m n 表示）三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（本小题满分12分） 已知函数2()sin(22cos 16f x x x π=-+-. （1）求函数()f x 的单调增区间；（2）在ABC ∆中，a b c 、、分别是角A B C 、、的对边，且2,1=+=c b a ， 21)(=A f ，求ABC ∆的面积. 17．（本小题满分12分）某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[)13,14，第二组)15,14[，…，第五组[]17,18．右图是 按上述分组方法得到的频率分布直方图.（1）若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好， 求该班在这次百米测试中成绩良好的人数；（2）设n m ,表示该班某两位同学的百米测试成绩，且已知 ]18,17[)14,13[, ∈n m ，求事件“1>-n m ”的概率. 18．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 为矩形，四边形ADEF 为梯形，AD ∥FE ， 60=∠AFE ，且平面⊥ABCD 平面ADEF ，122AF FE AB AD ====，点G 为AC 的中点． （1）求证：EG ∥平面ABF ； （2）求三棱锥AEG B -的体积；（3）试判断平面BAE 与平面DCE 是否垂直？ 若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由．19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，t a =1，且121,n n a S n N *+=+∈.（1）当实数t 为何值时，数列{}n a 是等比数列？（2）在（1）的结论下，设31log n n b a +=，数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ，证明94n T <． 20．（本小题满分13分）已知函数2()2ln 1f x x x a x =-++有两个极值点21,x x ，且21x x <． （1）求实数a 的取值范围，并讨论)(x f 的单调性； （2）证明:.42ln 21)(2->x f 21．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，以原点O 为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -=相切． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线m kx y l +=:与椭圆C 相交于B A ,两点，且22OA OBb k k a⋅=-，判断AOB ∆的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．O19题图181716151413秒频率组距0.060.080.160.320.38江西师大附中三模文科数学试题答案一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.二.填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分. 11. 7 12.34π 13. 030AOC ∠= 14.3215.22n m - 三.解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17.解：(1)由直方图知，成绩在)16,14[内的人数为：2738.05016.050=⨯+⨯（人）所以该班成绩良好的人数为27人. ┉┉ ┉┉3分 （2）由直方图知，成绩在)14,13[的人数为306.050=⨯人， 设为z y x ,,；成绩在)18,17[的人数为408.050=⨯人， 设为.,,,D C B A若)14,13[,∈n m 时，有yz xz xy ,,3种情况；5分若)18,17[,∈n m 时，有CD BD BC AD AC AB ,,,,,6种情况┉7分 若n m ,分别在)14,13[和)18,17[内时，共有12种情况. …………9分所以基本事件总数为21种.记事件“1>-n m ”为事件E ,则事件E 所包含的基本事件个数有12种. ………10分∴.742112)(==E P 即事件“1>-n m ”的概率为47. …………12分 18.解：（1）证明：取AB 中点M ，连GM FM ,．∵G 为对角线AC 的中点，∴GM ∥AD ，且AD GM 21=，又∵FE ∥AD 21，∴ GM ∥FE 且FE GM =． ∴四边形GMFE 为平行四边形，即EG ∥FM ．又∵⊄EG 平面ABF ，FM ⊂平面ABF ∴ EG ∥平面ABF ．…4分 （2）作AD EN ⊥于N ，由平面ABCD ⊥平面AFED ，面ABCD ∩面 AFED=AD ，得EN ⊥平面ABCD ，即EN 为三棱锥ABG E -的高．∵ 在AEF ∆中，AF=FE ， ∠AFE=60º， ∴ AEF ∆是正三角形．∴ ∠AEF=60º，由EF//AD 知∠EAD=60º，∴ EN=AE ∙sin60º∴11122332B AEG E ABG ABG V V S EN --∆==⋅=⨯⨯⨯=．………………8分（3）平面BAE ⊥平面DCE ．证明如下：∵ 四边形ABCD 为矩形，且平面ABCD ⊥平面AFED ， ∴ CD ⊥平面AFED ， ∴ CD ⊥AE ．∵ 四边形AFED 为梯形，FE ∥AD ，且60AFE ∠=°， ∴ =120FAD ∠°．又在AED ∆中，EA=2， AD=4，60EAD ∠=°，由余弦定理，得ED=． ∴222AD ED EA =+， ∴ ED ⊥AE ． 又∵ ED ∩CD=D ，∴ AE ⊥平面DCE ，又AE ⊂面BAE ，∴平面BAE ⊥平面DCE ． 12分 19.解：（1）方法1：由题意得112121(2)n n n n a S a S n +-=+=+≥， 两式相减得1112)23(2)n n n n n n n a a S S a a a n +-+-=-=⇒=≥（…………………2分 所以当2n ≥时，{}n a 是以3为公比的等比数列． 要使*n N ∈时，{}n a 是等比数列，则只需212131a t t a t+==⇒= …………………4分 方法2：由题意，1a t =，212121a S t =+=+，3212212()12(31)163a S a a t t =+=++=++=+ 若{}n a 为等比数列，则22213(21)(63)a a a t t t =⇒+=+⇒22244163210t t t t t t ++=+⇒--= 解得1t =或12t =-（12t =-时，20a =，不合题意，舍去），1t =时，3q =，13n n a -=，1131(31)213132n nn n n n S S a +-==-⇒+==-符合题意．.1=∴t……………………4分（2）由（1）得知13n n a -=，31log n n b a n +==…6分111()33n n n n b n n a --==⋅……7分 2311111123()4()()3333n n T n -=+⨯+⨯+⨯++⨯ ①23111111112()3()(1)()()333333n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯ ②①-②得2312111111()()()()333333n n n T n -=+++++-⨯11()13()1313nnn -=-⨯-∴99319()()44234nn T n =-+<．…………………12分 20.解：（1）函数)(x f 的定义域为),0(+∞，xax x x f +-='22)(2，且0)(='x f 有两个不同的根21,x x ，0222=+-∴a x x 的判别式084>-=∆a 即21<a ，且 .00.22112211121>>-+=--=a x ax a x ，故又，).21,0(∈∴a ………………4分()()0;002121<'<<>'><<x f x x x x f x x x x 时，当时，或当.因此 ()()()上单调递减，上单调递增，在，和，在21210)(x x x x x f ∞+.…………………6分(2)由(1)可知()22212121122,2,1x x x x a ax x x x -====+所以,因此()()()121ln 121ln 1)(2222222222<<-+-=+-=x x x x x x a x x f ，其中. ………………9分()()()则设),121(ln 1212<<-+-=t t t t t t h()()()()(),0ln 21211ln 21212>-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+-='t t t t t t t t t h∴42ln 21)21()(121)(-=>⎪⎭⎫ ⎝⎛h t h t h 单调递增，所以，在.即42ln 21)(2->x f . 13分21.解：（1）由题意知12c e a ==，∴22222214c a b e a a -===，即2243a b =……………2分 又b ==224,3a b ==， ∴椭圆的方程为22143y x +=………………6分(2)设1122(,),(,)A x y B x y ，由22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得 222(34)84(3)0k x mkx m +++-=，22226416(34)(3)0m k k m ∆=-+->，22340k m +->.212122284(3),.3434mk m x x x x k k -+=-⋅=++……………………8分22221212121223(4)()()().34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k-⋅=+⋅+=+++=+……………9分 34OA OBk k ⋅=-,121234y y x x =-, 121234y y x x =-,222223(4)34(3)34434m k m k k --=-⋅++ 22243m k -=,。

江西师大附中高三年级数学（理）期中考试卷命题人：刘芬 审题人：占华平 2013．11一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．设集合22{(,)|1}416x y A x y =+=，{(,)|3}x B x y y ==，则A ∩B 的子集的个数是( ) A ．4 B ．3C ．2D ．12．函数y =的定义域为( )A ． 3(,1)4B ．3(,)4+∞ C ．(1，+∞) D ．3(,1)(1,)4+∞3． 已知tan 2α=2， 则6sin cos 3sin 2cos αααα+-的值为（ ）A ．76 B ．7 C ．－ 67 D ．－74．设01,a b <<<则下列不等式成立的是( )A ．33a b >B ．11a b< C ．1ba >D ．()lg 0b a -<5． 已知等比数列{},n a 前n 项和为3612,2,6,n S S S S ===则( ) A ．10B ．20C ．30D ．406．将函数()2sin()(0)3f x x πωω=->的图象向左平移3πω个单位，得到函数()y g x =的图象．若()y g x =在[0,4π]上为增函数，则ω的最大值( ) A ．1B ．2C ．3D ．47．如图，P A 垂直于圆O 所在的平面，AB 是圆O 的直径，C 是圆O 上的一点，E , F 分别是点A 在P B , P C 上的射影，给出下列结论： ①AF PB ⊥；②EF PB ⊥；③AF BC ⊥；④AE BC ⊥． 其中正确命题的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48. 已知在等差数列{}n a 中2737a a =,10a >,则下列说法正确的是（ ） A ．110a >B ．10S 为n S 的最大值C ．0d >D ．416S S >9．如图所示,P 为∆AOB 所在平面上一点，且P 在线段AB 的垂直平分线上，若||3,||2OA OB ==，则()OP OA OB ⋅- 的值为( )A ．5B ．3C ．52D ．3210．定义域为R 的函数()f x 满足(+2)=2()f x f x ，当x ∈[0，2)时，2|x 1.5|,[0,1)()=(0.5),[1,2)x x x f x x -⎧-∈⎨-∈⎩．若[4,2]x ∈--时，1()42t f x t ≥-恒成立，则实数t 的取值范围是( )A ．[)()2,00,1-B ．[)[)2,01,-+∞C ．[]2,1-D ．(](],20,1-∞-二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知向量(sin ,2)a θ=- 与(1,cos )b θ= 互相垂直，其中(0,)2πθ∈．则cos _____θ=.12．已知实数x ，y 满足30102x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩若22z x y =+，则z 的最大值为_______.13．设,,x y z 为正实数，满足230x y z -+=，则2y xz的最小值是 ．14．已知函数f (x )＝lg(x ＋x ，如果f (1－a )＋f (1－a 2)<0，则a 的取值范围是_____15．数列{}n a 的前n 项和是n S ，若数列{}n a 的各项按如下规则排列：11212312341, , , , , , , , , , , 23344455556， 若存在正整数k ，使10k S <，110k S +≥，则k a = ．三、解答题:本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知()()||4,||3,23261,a b a b a b ==-⋅+= 求（1）a b 与的夹角；（2）||a b +的值．17．在ABC ∆中，,,A B C 的对边分别为,,a b c 且cos ,cos ,cos a C b B c A 成等差数列． （1）求B 的值；（2）求22sin cos()A A C +-的取值范围．18．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是菱形，ADNM 是矩形，平面ADNM ⊥平面ABCD ，=60DAB ∠，2AD =，1AM =，E 是AB 的中点． （Ⅰ）求证：AN //平面MEC（Ⅱ）在线段AM 上是否存在点P ，使二面角P EC D --的大小为6π？若存在，求出AP 的长h ；若不存在，请说明理由.19．数列{}n a 的通项222(cos sin )33n n n a n ππ=-，其前n 项和为n S ． （1）求3n S . （2）3,4nn nS b n =⋅求数列｛n b ｝的前n 项和n T ．20．在周长为定值的∆DEC 中,已知||8DE =,动点C 的运动轨迹为曲线G,且当动点C 运动时,cos C 有最小值725-． （1）以DE 所在直线为x 轴,线段DE 的中垂线为y 轴建立直角坐标系,求曲线G 的方程; （2）直线l 分别切椭圆G 与圆222:M x y R +=(其中35R <<)于A 、B 两点,求|AB |的取值范围．21．已知函数()2ln .f x x ax x =++（1）若()f x 在()0,+∞是增函数，求a 的取值范围；（2）已知0a <，对于函数()f x 图象上任意不同两点()11,A x y ,()22,B x y ，其中21x x >，直线AB 的斜率为k ，记(),0N u ，若()12,AB ANλλ=≤≤求证：()f u k '<.。

江西省师大附中2014届高三数学三模考试试题 文 新人教A 版（含解析）【试卷综析】本次考前模拟训练数学试题，具体来说比较平稳，基本符合高考复习的特点，重点考察高中数学基础知识和基本方法和基本的思想方法，同时侧重考察了学生的学习方法和思维能力的考察，有相当一部分的题目灵活新颖，知识点综合与迁移。

适当地降低了试题运算量，降低了对运算能力，特别是数值计算的要求，重点考查代数式化简和变形的能力以及思维方法和计算方法，重点考查了学生思维能力：直观感知、观察发现、归纳类比、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等核心数学能力，重点考察了数形结合、简单的分类讨论、化归等数学基本思想方法试题中无偏题，怪题，起到了引导高中数学向全面培养学生数学素质的方向发展的作用。

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将答案填在答题卷相应表格内. 1．设复数1z i =--(i 是虚数单位），z 的共轭复数为z ，则(1)z z -⋅= A ．10 B ．2 C ．2 D ．1 【知识点】复数的基本运算; 复数代数形式的乘除运算；复数求模．力，此题是基础题．2．已知集合{11}A x x =+<,1{|()20}2xB x =-≥,则R A B =I ðA ．)1,2(--B ．]1,2(--C ．)0,1(-D ．)0,1[- 【知识点】绝对值不等式的解法；指数不等式的解法；集合交集、补集的定义.【答案解析】C 解析 ：解：由题意可解得：{}{}|20,|1A x x B x x =-<<=≤-，所以{}|1R C B x x =>-,即R A B =I ð{}|10x x -<<，故选C.【思路点拨】先解出两个集合，再利用集合交集、补集的定义即可得到结果. 3．等差数列{}n a 中，若14739a a a ++=，36927a a a ++=，则{}n a 的前9项和为 A ．297 B ．144 C ．99 D ．66 【知识点】等差中项公式;等差数列的前n 项和公式.【答案解析】C 解析 ：解：因为14739a a a ++=44339,13a a ∴==，36927a a a ++=则69a =，由等差中项公式：465112a a a +==，所以199599992a aS a +=⨯==，故选C.【思路点拨】先通过等差中项公式得到6a ，再利用等差数列的前n 项和公式即可. 4．下列命题中错误．．的是A ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，l αβ=I ，那么l γ⊥B ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD ．如果平面α⊥平面β，l αβ=I ，过α内任意一点作l 的垂线m ，则m β⊥【知识点】命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系． 【答案解析】D 解析 ：解： ①如图，设平面α⊥平面γ=a ，平面β⊥平面γ=b ，在γ内直线a 、b 外任取一点O ，作OA ⊥a ，交点为A ，因为平面α⊥平面γ，所以OA ⊥α，所以OA ⊥l ，作OB ⊥b ，交点为B ，因为平面β⊥平面γ，所以OB ⊥β，所以OB ⊥l ，又OA ∩OB=O ， 所以l γ⊥．所以①正确．②如图，平面α⊥平面β，α∩β=l ，a ⊂α，若a ∥l ，则a ∥β，所以②正确；③若平面α内存在直线垂直于平面β，根据面面垂直的判定，则有平面α垂直于平面β，与平面α不垂直于平面β矛盾，所以，如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β正确；④如果过α内任意一点选择在直线l 上，明显错误，故选D.【思路点拨】命题①②可以通过作图说明；命题③可以运用反证法的思维方式说明是正确的；命题④可以直接进行证明． 5．将函数sin(4)6y x π=-图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移4π个单 位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是 A ．12x π=B ．6x π=C ．3x π=D ．12x π=-【知识点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换． 【答案解析】A 解析 ：解：将函数y=sin （4x-6π）图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到的函数解析式为：g （x ）=sin （2x- 6π）， 再将g （x ）=sin （2x-6π）的图象向左平移4π个单位（纵坐标不变）得到y=g （x+ 4π）=sin[2（x+ 4π）-6π]=sin （2x+2π-6π）=sin （2x+3π）， 由2x+3π=k π+2π（k ∈Z ），得：x=122k ππ+，k ∈Z ．∴当k=0时，x= 12π，即x= 12π是变化后的函数图象的一条对称轴的方程，故选：A ．【思路点拨】利用函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换，可求得变换后的函数的解析式为y=sin （8x-6π），利用正弦函数的对称性即可求得答案． 6．若如下框图所给的程序运行结果为35S =，那么判断框中应填入的关于k 的条件是A ．7=kB ．6≤kC ．6<kD ．6>k 【知识点】程序框图．【答案解析】D 解析 ：解：框图首先给累加变量S 赋值1，给循环变量k 赋值10． 判断10＞6，执行S=1+10=11，k=10-1=9； 判断9＞6，执行S=11+9=20，k=9-1=8； 判断8＞6，执行S=20+8=28，k=8-1=7； 判断7＞6，执行S=28+7=35，k=6； 判断6≤6，输出S 的值为35，算法结束． 所以判断框中的条件是k ＞6？．【思路点拨】根据赋值框中对累加变量和循环变量的赋值，先判断后执行，假设满足条件，依次执行循环，到累加变量S 的值为35时，再执行一次k=k+1，此时判断框中的条件不满足，由此可以得到判断框中的条件． 7．下列命题正确的个数是①命题“020031,x x R x >+∈∃”的否定是“x x R x 31,2≤+∈∀”；②“函数ax ax x f 22sin cos )(-=的最小正周期为π”是“1=a ”的必要不充分条件； ③ax x x ≥+22在]2,1[∈x 上恒成立max min 2)()2(ax x x ≥+⇔在]2,1[∈x 上恒成立； ④“平面向量a 与b 的夹角是钝角”的充分必要条件是“0<⋅b a ”. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【知识点】命题的真假判断与应用；平面向量数量积的运算． 【答案解析】B 解析 ：解：（1）根据特称命题的否定是全称命题，∴（1）正确；1cos 2cos 22axax -=π=⇒a=±1， ∴（2）正确；（3）例a=2时，222x x x +≥在x ∈[1，2]上恒成立，而22324min max x x x +==（）＜，∴（3）不正确；（4）|||0|a b a b cos a b a b a b π⋅==⋅r r r r r r r r Q r rQ ＜，＞，＜，＞时＜，∴（4）错误． 故选B 【思路点拨】（1）根据特称命题的否定是全称命题来判断是否正确； （2）化简三角函数，利用三角函数的最小正周期判断； （3）用特例法验证（3）是否正确；（4）根据向量夹角为π时，向量的数量积小于0，来判断（4）是否正确． 【典型总结】本题借助考查命题的真假判断，考查命题的否定、向量的数量积公式、三角函数的最小正周期及恒成立问题8．双曲线22221(0,0)x y ab a b-=>>的左、右焦点分别是21,F F ，过1F 作倾斜角为30o 的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为A ．2B ．3C ．5D ．6 【知识点】双曲线的简单性质．【答案解析】B 解析 ：解：将x=c 代入双曲线的方程得y= 2b a ）,在△MF 1F 2中tan30°= 22b a c ＝tan30°,解得e ＝c a =故选B.【思路点拨】将x=c 代入双曲线方程求出点M 的坐标，通过解直角三角形列出三参数a ，b ，c 的关系，求出离心率的值．9．设函数)(x f 的定义域为R ，⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<<--=10,1,1)31()(x x x x f x，且对任意的R x ∈都有)1()1(-=+x f x f ，若在区间]5,1[-上函数m mx x f x g --=)()(恰有6个不同零 点，则实数m 的取值范围是A ．11(,]46B ．11(,]34C ．1(0,]5D ．1(0,]6【知识点】根的存在性及根的个数判断．【答案解析】D 解析 ：解：由题意，f （x+2）=f[（1+x ）+1]=f[（1+x ）-1]=f （x ），所以2是f （x ）的周期令h （x ）=mx+m ，则函数h （x ）恒过点（-1，0）函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<<--=1,1,1)31()(xxxxfx在区间[-1，5]上的图象如图所示由x=5时，f（5）=1，可得1=5m+m，则m=16∴在区间[-1，5]上函数g（x）=f（x）-mx-m恰有四个不同零点时，实数m的取值范围是（0，16]故选D．【思路点拨】先确定2是f（x）的周期，作出函数的图象，利用在区间[-1，5]上函数g（x）=f（x）-mx-m恰有6个不同零点，即可求实数m的取值范围．10．如图所示，正四棱柱1111DCBAABCD-中，1,21==ABAA，M，N分别在BCAD,1上移动，始终保持MN∥平面11DDCC，设yMNxBN==,，则函数)(xfy=的图象大致是A． B． C． D．【知识点】函数的图象与图象变化；直线与平面平行的性质．【答案解析】C 解析：解：若MN∥平面DCC1D1，则|MN|= 222(2BN)41CD x+=+即函数y=f（x）的解析式为f（x）= 24101x x=+≤≤（）其图象过（0，1）点，在区间[0，1]上呈凹状单调递增故选C【思路点拨】由MN∥平面DCC1D1，我们过M点向AD做垂线，垂足为E，则ME=2AE=BN，由此易得到函数y=f（x）的解析式，分析函数的性质，并逐一比照四个答案中的图象，我们易得到函数的图象．二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卷相应横线上. 11．将参加夏令营的100名学生编号为001， 002，⋅⋅⋅，100.先采用系统抽样方法抽取一个容量为20的样本，若随机抽得的号码为003，那么从048号到081号被抽中的人 数是 .【知识点】系统抽样方法． 【答案解析】7 解析 ：解：：∵样本容量为20，首个号码为003， ∴样本组距为100÷20=5∴对应的号码数为3+5（x-1）=5x-2， 由48≤5x -2≤81， 得10≤x≤16.6，即x=10，11，12，13，14，15，16，共7个， 故答案为：7．【思路点拨】根据系统抽样的定义，即可得到结论．12．右图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为 . 【知识点】由三视图还原实物图． 【答案解析】34π解析 ：解：由三视图还原几何体为下面是圆柱，上面是球的14，所以此组合体的体积为23144111433πππ⨯⨯+⨯⨯=，故答案为43π。

【文·江西师大附中高三三模·2014】2．已知集合{11}A x x =+<,1{|()20}2xB x =-≥,则R A B = ðA ．)1,2(--B ．]1,2(--C ．)0,1(-D ．)0,1[-【知识点】绝对值不等式的解法；指数不等式的解法；集合交集、补集的定义. 【答案解析】C 解析 ：解：由题意可解得：{}{}|20,|1A x x B x x =-<<=≤-，所以{}|1R C B x x =>-,即R A B = ð{}|10x x -<<，故选C.【思路点拨】先解出两个集合，再利用集合交集、补集的定义即可得到结果.【文·陕西高二月考·2014】19.已知函数()243ax x .1f x 3⎛⎫⎪⎝⎭－＋＝(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值．(3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的取值范围．【知识点】函数单调区间；函数的最值；指数函数有关的性质;利用换元法结合复合函数之间的关系.【答案解析】（1）函数f (x )的递增区间是(－2，＋∞)，递减区间是(－∞，－2)．（2）a ＝1（3）a ＝0.解析 ：解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝2x -4x+313⎛⎫⎪⎝⎭，令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增， 即函数f (x )的递增区间是(－2，＋∞)，递减区间是(－∞，－2)．(2)令h (x )＝ax 2－4x ＋3，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13h (x )，由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎨⎧a >012a －164a＝－1，解得a ＝1.即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1.(3)由指数函数的性质知，要使y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13h (x )的值域为(0，＋∞)．应使h (x )＝ax 2－4x ＋3的值域为R ，因此只能有a ＝0.因为若a ≠0，则h (x )为二次函数，其值域不可能为R .故a 的取值范围是a ＝0.【思路点拨】(1)先代入a ＝－1得f (x )＝2x -4x+313⎛⎫⎪⎝⎭，再利用换元法结合复合函数的单调性求出单调区间.(2)令h (x )＝ax 2－4x ＋3，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13h (x )，由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1，可解得a.(3)由指数函数的性质知，要使y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13h (x )的值域为(0，＋∞)．应使h (x )＝ax 2－4x ＋3的值域为R ，因此只能有a ＝0.因为若a ≠0，则h (x )为二次函数，其值域不可能为R .故a 的取值范围是a ＝0.【文·陕西高二月考·2014】14.定义：区间[x 1，x 2](x 1<x 2)的长度为x 2－x 1.已知函数y ＝2|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1,2]，则区间[a ，b ]的长度的最大值与最小值的差为________．【知识点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域． 【答案解析】1 解析 ：解：当x≥0时，y=2x ，因为函数值域为[1，2]即1=20≤2x ≤2=21，根据指数函数的增减性得到0≤x≤1；当x≤0时，y=2-x ，因为函数值域为[1，2]即1=20≤2-x ≤2=21，根据指数函数的增减性得到0≤-x≤1即-1≤x≤0．故[a ，b]的长度的最大值为1-（-1）=2，最小值为1-0=1或0-（-1）=1，则区间[a ，b]的长度的最大值与最小值的差为1 故答案为1【思路点拨】根据题意可知当x≥0时，函数的定义域为[0，1]；当x≤0时，函数的定义域为[-1，0]．所以函数的定义域为[-1，1]此时长度为最大等于1-（-1）=2，而[0，1]或[-1，0]都可为区间的最小长度等于1，所以最大值与最小值的差为1．【文·陕西高二月考·2014】4.若0m n <<，则下列结论正确的是（ ） A ．22mn>B ．22log log m n >C ．1122log log m n >D ． 1122m n⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭小于1时单调递减的性质进行做题．【文·四川成都七中高二零诊·2014】4.已知实数,x y 满足(01)xya a a <<<，则下列关系式恒成立的是（）A ．33x y > B.sin sin x y > C. 22ln(1)ln(1)x y +>+ D . 221111x y >++ 【知识点】指数函数的图像与性质．【答案解析】A 解析：解：∵实数x ，y 满足a x ＜a y （0＜a ＜1），∴x ＞y ， A ．当x ＞y 时，x 3＞y 3，恒成立， B ．当x=π，y=时，满足x ＞y ，但sinx ＞siny 不成立．C ．若ln （x 2+1）＞ln （y 2+1），则等价为x 2＞y 2成立，当x=1，y=﹣1时，满足x ＞y ，但x 2＞y 2不成立．D ．若＞，则等价为x 2+1＜y 2+1，即x 2＜y 2，当x=1，y=﹣1时，满足x ＞y ，但x 2＜y 2不成立． 故选：A ．【思路点拨】不等式的大小比较，利用函数的单调性的性质依此判断即可.【理·湖南雅礼中学模拟·2014】17、已知ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c且()22223a b c ab +-=。

江西师大附中高三年级三模数学〔理〕试卷第一卷〔共60分〕一、选择题：共12小题，每题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的一项．{|4}A x y x ==-，{|1210}B x x =-≤-≤，那么()R C A B = ( )A.]21,0[B.),4(+∞C.]4,21(D.]4,1(2.z 是纯虚数，且3(2)1i z ai +=+〔i 是虚数单位，a R ∈〕，那么||a z +=( )B.3 D.5 3.执行如下图的程序框图，其输出结果是( ) B.62C.63D.644.给出以下三个命题：①“假设2230x x +-≠，那么1x ≠〞为假命题； ②假设p ∧q 为假命题,那么p ,q 均为假命题；③命题p ：,20x x R ∀∈>，那么00:,20x p x R ⌝∃∈≤.其中正确的个数是( ) {}n a 的前n 项和为n S ，3215S a a =+,72a =，那么5a =( )A.12B.12- D.2-,a b R ∈，假设:p a b <，11:0q b a<<，那么p 是q 的( )7.假设()sin()cos()f x x x ωϕωϕ=+++(0)ω>的最小正周期为π，(0)2f =，那么( )A. ()f x 在(,)44ππ-单调递增B. ()f x 在(,)44ππ-单调递减C.()f x 在(0,)2π单调递增 D. ()f x 在(0,)2π单调递减x 、y 满足约束条件22121x y x y x y +≥⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩且向量(3,2)a =，(,)b x y =，那么a b ⋅的取值范围是( )A.[54 ,4]B.[72 ,5]C.[54 ,5]D.[72,4]9.我国南北朝数学家何承天创造的“调日法〞是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x 的缺乏近似值和过剩近似值分别为b a 和d c 〔*,,,a b c d N ∈〕，那么b da c++是x 的更为精确的缺乏近似值或过剩近似值，我们知道 3.14159π=⋅⋅⋅，假设令31491015π<<，那么第一次用“调日法〞后得165是π的更为精确的过剩近似值，即3116105π<<，假设每次都取最简分数，那么第三次用“调日法〞后可得π的近似分数为( )A.227B.7825C.6320D.1093510.某几何体的三视图如下图(单位：cm)，那么该几何体的体积等于( )cm 3. A.6+32π B. 623π+C. 4+32πD.4+23π11.焦点在x 轴上的椭圆方程为222141x y a a +=+，随着a 的增大该椭圆的形状( )D.先越扁后接近于圆R 上的函数)(x f 和)(x g 分别满足222'(1)()2(0)2x f f x e x f x -=⋅+-⋅，0)(2)('<+x g x g ，那么以下不等式成立的是( ) A.(2)(2015)(2017)f g g ⋅< B.(2)(2015)(2017)f g g ⋅> C.(2015)(2)(2017)g f g <⋅ D.(2015)(2)(2017)g f g >⋅第二卷(共90分)二、填空题：本大题共四小题，每题5分。

一、选择题（本题共13小题，每小题6分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1.已知生物种类之间个体分配的均匀性增加会使多样性提高。

下图代表一定区域中不同物种的分布状况，其中物种多样性最高的是ABCD 2.关于右图，下列说法错误的是（ ） A.过程①表示光反应，a代表水 B.肝细胞中，过程②只发生在线粒体内膜 C.过程③受b的制约，还受过程①的影响 D.所有生物都有过程④所需的各种酶 3．下列垂体细胞中物质运输的途径，不存在的是( ) A．葡萄糖：细胞外→细胞膜→细胞质基质→线粒体 B．CO2：线粒体基质→细胞质基质→细胞膜→细胞外 C．RNA聚合酶：核糖体→细胞质基质→细胞核 D．生长激素：核糖体→内质网→高尔基体→细胞膜→细胞外 4.某研究所的科研人员为了探究神经系统对胰岛素分泌的影响，选取体征相同以及对饲喂信号（铃声）反应一致的空腹实验狗，进行的操作及实验结果记录如下表及右图：编号实验措施结果①不处理a曲线②给予饲喂信号后饲喂食物X③给予饲喂信号不饲喂食物（假饲）e曲线④注射胰岛素溶液b曲线⑤注射葡萄糖溶液Y上表中X、Y对应的胰岛素含量变化曲线依次为：A. d、cB. b、cC. c、eD. e、d 5.下列有关生物学现象和分析，正确的是（ ） A．迁入、迁出能引起种群的基因频率定向改变 B．基因型为Aa的豌豆，自交后代中AA个体所占比例增大，种群发生了进化 C．原本肥沃的农田被废弃后杂草丛生，该过程属于群落的次生演替 D．若生产者固定的太阳能等于消费者呼吸散失的能量，则该自然生态系统处于稳态 6.下列说法正确的是A.基因突变只发生在DNA复制的过程中B.染色体变异只发生在减数分裂过程中C.基因的自由组合定律只适用于核基因D.只有存在异常基因时才能表现遗传病 7．下列说法不正确的是（ ） A．臭氧（O3）是一种有鱼腥味、氧化性极强的淡蓝色气体，可用作自来水的消毒剂 B．人造纤维可利用竹子、棉花、麻类的纤维材料制成，而合成纤维是利用自然界的非纤维材料（如石油、煤）通过化学合成方法得到 C．铝及其合金是电气、工业、家庭广泛使用的材料，是因为铝的冶炼方法比较简单 D．有机玻璃是以有机物A（甲基丙烯酸甲酯）为单体，通过加聚反应得到，合成A的一种途经是：CH3C≡CH+CO+CH3OH，其过程符合绿色化学的原则 8．下列叙述不正确的是（ ） A．根据某元素原子的质子数和中子数，可以确定该元素的相对原子质量 B．CaCl2、MgCl2晶体都容易潮解，它们潮解的实质是晶体表面吸水形成溶液 C．根据金属活动性顺序表，可以推断冶炼金属时可能的方法 D．根据酸、碱、盐的溶解性表，可以判断某些溶液中的复分解反应能否进行 9．人体血液里存在重要的酸碱平衡：使人体血液pH保持在7.35～7.45，否则就会发生酸中毒或碱中毒。

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至2页，第Ⅱ卷第3至第4页.满分150分，考试时间120分钟. 考生注意：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2.第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.第II 卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答题无效.3.考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交. 参考公式：锥体体积公式13V Sh =，其中S 为底面积，h 为高. 第Ⅰ卷一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若iiz 21+=,则复数z 的虚部为 ( B ) A.i - B. 1- C. 2 D.i -22.已知),0(πα∈，且sin cos 2αα+=αtan =（A ）A ．1 B.-1 C. 2 D. 33.已知向量，的夹角为602=a 1=b ，则向量与2+的夹角为（ D ）A ． 50B ． 120C ．60 D ．304. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （ C ） A.2 B. 1 C.23 D.135．为了考察两个变量x 和y 之间的线性相关性，甲、乙两位同学各自独立地做10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直 线分别为l 1和l 2，已知两个人在试验中发现对变量x 的观测数据的平均 值都是s ，对变量y 的观测数据的平均值都是t ，那么下列说法正确的（ B ） A ．l 1和l 2必定平行 B ．l 1和l 2有交点（,s t ）C ．l 1与l 2必定重合D ．l 1与l 2相交，但交点不一定是（,s t ） 6．某会议室第一排有9个座位，现安排4人就座，若要求每人左右均有空位，则不同的坐法种数为( C )A.8B. 16C. 24D. 607．已知双曲线x 24－y 2b2＝1的右焦点F 与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，则该双曲线的右焦点F 作其渐近线垂线，垂足为M ，则点M 纵坐标为 ( C )A.34 B ．34± C ．352± D ．3528. 定义在R 上的可导函数f (x ),且f (x )图像连续,当x ≠0时, 1'()()0f x x f x -+>,则函数1()()g x f x x -=+的零点的个数为（ C ）A ．1B ．2C ．0D ．0或29.数列{}n a 满足121a a ==，122cos()3n n n n a a a n N π*++++=∈，若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2012S 的值为( D )A. 672-B. 671-C. 2012D. 67210.如图，液体从圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经3分钟漏完．已 知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H 是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则H 与下落 时间t (分)的函数关系表示的图象只可能是（ B ）第Ⅱ卷注：第Ⅱ卷共2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答，答案无效. 二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 11.下列四个命题:①集合{}4321,,,a a a a 的真子集的个数为15；②⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x 6的二项展开式中的常数项为160③1201321(sin 1)2x x dx π--=⎰④已知R ∈x ，条件p ：x x <2，条件q ：11≥x，则p 是q 的充分必要条件 其中真命题的个数是________2 12．右图给出的是计算201614121+⋅⋅⋅+++的值的一个程序框图， 其中判断框内应填入的条件是i>________ i >1013.已知01cos sin 2=-+θθa a 与01cos sin 2=-+θθb b (b a ≠)． 直线MN 过点),(2a a M 与点),(2b b N ，则坐标原点到直线MN 的距离是 ．114.函数{}()min 2f x x =-，其中{},min ,,a a ba b b a b≤⎧=⎨>⎩，若动直线y m =与函数()y f x =的图像有三个不同的交点，它们的横坐标分别为123,,x x x ，则123x x x ⋅⋅是否存在最大值？若存在，在横线处填写其最大值；若不存在，直接填写“不存在”________.1 三.选做题：请在下列两题中任选一题作答.若两题都做，则按第一题评阅计分.本题共5分. 15．（1）（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 和2C 从参数方程分别为x t y =⎧⎪⎨=⎪⎩（t为参数）和x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）.则曲线1C 与2C 的交点坐标为 . )1,1(（2）对于实数x y ，,若11,21,21x y x y -≤-≤-+则的最大值为 5 四．解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.已知向量)1,(sin x m ω=，)2cos ),6cos(4(x x n ωπω-=，其中ω>0.函数x f ⋅=)(最小正周期为π，x ∈R . （1）求f (x )单调递增区间；(2)在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知222,b ac a c ac bc =-=-且，求f (A )值.解：（1）x x x x f ωπωωcos )6cos(sin 4)(+-==12sin 3+x ω由πωπ==22T 得1=ω 12sin 3)(+=∴x x fππππk x k 22222+≤≤+-∴，解得f(x)单调递增区间为z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-,4,4ππππ；（2）联立⎪⎩⎪⎨⎧-=-=bcac c a ac b 222得：bc c b a -+=22221cos =∴A ，即3π=A 25)3()(==πf A f17.师大附中红五月举行投篮比赛，比赛规则如下：每次投篮投中一次得2分，未中扣1分，每位同学原始积分均为0分，当累积得分少于或等于-2分则停止投篮，否则继续，每位同学最多投篮5次.且规定总共投中5、4、3次的同学分别为一、二、三等奖，奖金分别为30元、20元、10元.某班甲、乙、丙同学相约参加此活动，他们每次投篮命中的概率均为21，且互不影响.（1）求甲同学能获奖的概率；（2）记甲、乙、丙三位同学获得奖金总数为X ，求X 的期望EX. 解：（1）3215)21()21()21()21(55455535=++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=C C P ；（2855=∴EY ，81653==EY EX 18.如图，三棱锥P -ABC 中，平面PAB ⊥平面ABC ，PAB ∆是边长为6的等边三角形，︒=∠90BAC ，AC =6，D 、E 分别为PB 、BC 中点，点F 为线段AC 上一点，且满足AD //平面PEF. （1）求FCAF值；（2）求二面角A-PF-E 的余弦值.解：连结CD 交PE 于点G ，过点G 作AD GF //交 AC 于点F ，则AD //平面PEF.G 为PBC ∆重心，2=∴GDCG又AD GF //，所以21==CG DG FC AF（2）如图以AB 中点O 为原点建系，则)33,0,0(P ，)0,0,3(-A ，)0,2,3(-F ，)0,3,0(E分别设平面PAF 、面PEF 的法向量为),,(111z y x m =、),,(222z y x n =则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅⋅=⋅00m AF ，取)1,0,3(-=m ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0n PE EF ，取)3,3,1(-=n 1339,cos cos =><=∴θP ABCED19.已知数列{a n }满足761-=a ，12110n n a a a a +++++-λ=(其中λ≠0且λ≠–1，n ∈N *)，n S 为数列{a n }的前n 项和．(1) 求数列{a n }的通项公式n a ； (2)当13λ=时，数列{a n }中是否存在三项构成等差数列，若存在，请求出此三项；若不存在，请说明理由．解:(1) 由题意01121=-+⋅⋅⋅++++n n a a a a λ，可得：)2(01121≥=-+⋅⋅⋅+++-n a a a a n n λ，所以有0)1(1=-++n n a a λλ)2(≥n ，又1,0-≠≠λλ.得到：)2(11≥+=+n a a n n λλ，故数列}{n a 从第二项起是等比数列又因为λ712=a ，所以n ≥2时，2)1(71-+=n n a λλλ……………………………4分 所以数列{a n }的通项⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+=-=-.2)1(71,1762n n a n n λλλ…………………………………6分(2) 因为31=λ 所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥⋅=-=-.2473,1762n n a n n ……………………………………8分假设数列{a n }中存在三项a m 、a k 、a p 成等差数列，①不防设m >k >p ≥2，因为当n ≥2时，数列{a n }单调递增，所以2a k =a m +a p 即：2⨯(37)⨯4k –2 = 37⨯4m –2 + 37⨯4p –2，化简得：2⨯4k - p = 4m –p +1 即22k –2p +1=22m –2p+1，若此式成立，必有：2m –2p =0且2k –2p +1=1，故有：m=p=k ，和题设矛盾………………………………………………………………10分 ②假设存在成等差数列的三项中包含a 1时，不妨设m =1，k >p ≥2且a k >a p ，所以2a p = a 1+a k ， 2⨯(37)⨯4p –2 = –67 + (37)⨯4k –2，所以2⨯4p –2= –2+4k –2，即22p –4 = 22k –5– 1 因为k > p ≥ 2，所以当且仅当k =3且p =2时成立因此，数列{a n }中存在a 1、a 2、a 3或a 3、a 2、a 1成等差数列……………………………12分20．（本题满分13分 ）已知椭圆:C )0(12222>>=+b a b x a y 经过点)3,21(，一个焦点是)3,0(-F ．（1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆C 与y 轴的两个交点为1A 、2A ，点P 在直线2a y =上，直线1PA 、2PA 分别与椭圆C 交于M 、N 两点．试问：当点P 在直线2a y =上运动时，直线MN 是否恒经过定点Q ？证明你的结论．解答：解：（I ）一个焦点是F （0，﹣），故c=，可设椭圆方程为 …（2分） ∵点（，）在椭圆上，∴∴b 2=1，（舍去）∴椭圆方程为 …（4分）（II ）直线MN 恒经过定点Q （0，1），证明如下：当MN 斜率不存在时，直线MN 即y 轴，通过点Q （0，1），…（6分） 当点P 不在y 轴上时，设P （t ，4），A 1（0，2）、A 2（0，﹣2），M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 直线PA 1方程y=，PA 2方程y=，y=代入得（1+t 2）x 2+2tx=0，得x 1=﹣，y 1=，∴，…（8分）y=代入得（9+t 2）x 2﹣6tx=0得x 2=，y 2=，∴，…（10分）∴k QM =k QN ，∴直线MN 恒经过定点Q （0，1）． …（12分）21.设函数322()21f x x mx m x m =---+-（其中2m >-）的图像在2x =处的切线与直线5120x y --=垂直．（1）求函数()f x 的极值与零点；（2）设1()ln xg x x kx-=+，若对任意1[0,1]x ∈，存在2(0,1]x ∈，使12()()f x g x >成立，求实数k 的取值范围；（3）若0a ≥，0b ≥，0c ≥，且1a b c ++=，证明：222911110a b c a b c ++≤+++． 解：（1）因为22()34f x x mx m '=---，所以2(2)1285f m m '=---=-， 解得：1m =-或7m =-，又2m >-，所以1m =-，由2()3410f x x x '=-+-=，解得11x =，213x =，所以150()()327f x f ==极小值，()(1)2f x f ==极大值，因为322()22(2)(1)f x x x x x x =-+-+=--+，所以函数()f x 的零点是2x =．（2）由（1）知，当[0,1]x ∈时，min 50()27f x =，“对任意1[0,1]x ∈，存在2(0,1]x ∈，使12()()f x g x >”等价于“()f x 在[0,1]上的最小值大于()g x 在(0,1]上的最小值，即当(0,1]x ∈时，min 50()27g x <”,22111()x k g x kx x x-'=-+=， ① 当0k <时，因为(0,1]x ∈，所以150()ln 027x g x x kx -=+≤<，符合题意； ② 当01k <≤时，11k≥，所以(0,1]x ∈时，()0g x '≤，()g x 单调递减，所以min 50()(1)027g x g ==<，符合题意；③ 当1k >时，101k <<，所以1(0,)x k ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，1(,1)x k∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，所以(0,1]x ∈时，min 111()()1ln g x g k k k==-+，令23()ln 27x x x ϕ=--（01x <<），则1()10x xϕ'=->，所以()x ϕ在(0,1)上单调递增，所以(0,1)x ∈时，50()(1)027x ϕϕ<=-<，即23ln 27x x -<， 所以min 1112350()()1ln 12727g x g k k k ==-+<+=，符合题意，综上所述，若对任意1[0,1]x ∈，存在2(0,1]x ∈，使12()()f x g x >成立，则实数k 的取值范围是(,0)(0,)-∞+∞．（3）证明：由（1）知，当[0,1]x ∈时，250(1)(2)27x x +-≥，即2227(2)150x x x x ≤-+， 当0a ≥，0b ≥，0c ≥，且1a b c ++=时，01a ≤≤，01b ≤≤，01c ≤≤，所以2222222222727[2()()][2()]1115050a b c a b c a b c a b c a b c ++≤++-++=-+++++ 又因为2222222()2223()a b c a b c ab ac bc a b c ++=+++++≤++，所以22213a b c ++≥，当且仅当13a b c ===时取等号，所以222222272719[2()](2)1115050310a b c a b c a b c ++≤-++≤-=+++，当且仅当13a b c ===时取等号．。