湖北省武汉市吴家山中学2014届高三数学(理)模拟试题(7)

2014年普通高等学校招生全国统一考试〔湖北卷〕数学〔理科〕一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．〔1〕【2014年湖北，理1，5分】i 为虚数单位，则21i 1i -⎛⎫⎪+⎝⎭〔 〕〔A 〕1- 〔B 〕1 〔C 〕i - 〔D 〕i 【答案】A【解析】因为21i 2i11i 2i --⎛⎫==- ⎪+⎝⎭，故选A ． 【点评】此题考查复数的运算，容易题．〔2〕【2014年湖北，理2，5分】假设二项式72a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中31x 的系数是84，则实数a =〔 〕〔A 〕2 〔B 〕54 〔C 〕1 〔D 〕24【答案】D【解析】因为()77727722xrrr r r r a C x C a x x ---+⎛⎫⋅⋅=⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，令723r -+=-，得2r =，22727284C a -⋅⋅=，解得24a =，故选D ．【点评】此题考查二项式定理的通项公式，容易题． 〔3〕【2014年湖北，理3，5分】设U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A C ⊆，U B C C ⊆是“A B =∅”的〔 〕〔A 〕充分而不必要条件 〔B 〕必要而不充分条件 〔C 〕充要条件 〔D 〕既不充分也不必要条件【答案】A【解析】依题意，假设A C ⊆，则U U C C C A ⊆，U B C C ⊆，可得A B =∅；假设A B =∅，不能推出U B C C ⊆，故选A ．【点评】此题考查集合与集合的关系，充分条件与必要条件判断，容易题． 〔4〕【2014年湖北，理4，5分】根据如下样本数据x 3 4 5 6 7 8 y得到的回归方程为ˆybx a =+，则〔 〕 〔A 〕0a >，0b > 〔B 〕0a >，0b < 〔C 〕0a <，0b > 〔D 〕0a <，0b < 【答案】B【解析】依题意，画散点图知，两个变量负相关，所以0b <，0a >，故选B ． 【点评】此题考查根据已知样本数判断线性回归方程中的b 与a 的符号，容易题． 〔5〕【2014年湖北，理5，5分】在如下图的空间直角坐标系O xyz -中，一个四面体的顶点坐标分别是()0,0,2，()2,2,0，()1,2,1，()2,2,2，给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为〔 〕〔A 〕①和②〔B 〕③和①〔C 〕④和③〔D 〕④和② 【答案】D【解析】在坐标系中标出已知的四个点，根据三视图的画图规则判断三棱锥的正视图为④与俯视图为②，故选D ．【点评】此题考查空间由已知条件，在空间坐标系中作出几何体的形状，再正视图与俯视图，容易题． 〔6〕【2014年湖北，理6，5分】假设函数()f x ，()g x 满足()()110f x g x dx -=⎰，则称()f x ，()g x为区间[]1,1- 上的一组正交函数，给出三组函数：①()1sin 2f x x =，()1cos 2g x x =；②()1f x x =+，()1g x x =-；③()f x x =,()2g x x =，其中为区间[]1,1-的正交函数的组数是〔 〕〔A 〕0 〔B 〕1 〔C 〕2 〔D 〕3 【答案】C【解析】对①1111111111sin cos sin cos 02222x x dx x dx x ---⎛⎫⎛⎫⋅=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰，则()f x ，()g x 为区间[]1,1-上的正交函数；对②()()()11231111111103x x dx x dx x x ---⎛⎫+-=-=-≠ ⎪⎝⎭⎰⎰，则()f x ，()g x 不为区间[]1,1-上的正交函数；对③134111104x dx x --⎛⎫== ⎪⎝⎭⎰，则()f x ，()g x 为区间[]1,1-上的正交函数，所以满足条件的正交函数有2组，故选C ．【点评】新定义题型，此题考查微积分基本定理的运用，容易题．〔7〕【2014年湖北，理7，5分】由不等式0020x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪--≤⎩确定的平面区域记为1Ω，不等式12x y x y +≤⎧⎨+≥-⎩，确定的平面区域记为2Ω，在1Ω中随机取一点，则该点恰好在2Ω内的概率为〔 〕〔A 〕18〔B 〕14 〔C 〕34 〔D 〕78【答案】D【解析】依题意，不等式组表示的平面区域如图，由几何公式知，该点落在2Ω内的概率为：11221172218222P ⨯⨯-⨯⨯==⨯⨯，故选D ．【点评】此题考查不等式组表示的平面区域，面积型的几何概型，中等题． 〔8〕【2014年湖北，理8，5分】《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了有圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式21.36v L h ≈它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3．那么近似公式2275v L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为〔 〕〔A 〕227 〔B 〕258 〔C 〕15750 〔D 〕355113【答案】B【解析】设圆锥底面圆的半径为r ，高为h ，依题意，()22L r π=，()22122375r h r h ππ=，所以218375ππ=，即π的近似值为258，故选B ．【点评】此题考查《算数书》中π的近似计算，容易题．〔9〕【2014年湖北，理9，5分】已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123F PF π∠=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为〔 〕〔A 〕433 〔B 〕233〔C 〕3 〔D 〕2【答案】B【解析】设椭圆的短半轴为a ，双曲线的实半轴为1a ()1a a >，半焦距为c ，由椭圆、双曲线的定义得122PF PF a +=，1212PF PF a -=，所以11PF a a =+，21PF a a =-，因为1260F PF ∠=︒，由余弦定理得：()()()()22211114c a a a a a a a a =++--+-，所以222143c a a =+，即22221112222142a a a a a c c c c c ⎛⎫-=+≥+ ⎪⎝⎭，22111148e e e ⎛⎫∴+≤- ⎪⎝⎭，利用基本不等式可得椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为233，故选B ． 【点评】此题椭圆、双曲线的定义和性质，余弦定理及用基本不等式求最值，难度中等． 〔10〕【2014年湖北，理10，5分】已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2221()(|||2|3)2f x x a x a a =-+--，假设R x ∀∈，(1)()f x f x -≤，则实数a 的取值范围为〔 〕〔A 〕11,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 〔B 〕66,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 〔C 〕11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 〔D 〕33,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【答案】B【解析】依题意，当0x ≥时，()2222223220x a x a f x a a x a xx a ⎧->⎪=-<≤⎨⎪-≤≤⎩，作图可知，()f x 的最小值为2a -，因为函数()f x 为奇函数，所以当0x <时，()f x 的最大值为2a ，因为对任意实数x 都有，()()1f x f x -≤，所以，()22421a a --≤，解得6666a -≤≤，故实数a 的取值范围是66,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故选B ． 【点评】此题考查函数的奇函数性质、分段函数、最值及恒成立，难度中等．二、填空题：共6小题，考生需作答5小题，每题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．．．．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． 〔一〕必考题〔11-14题〕〔11〕【2014年湖北，理11，5分】设向量()3,3a =，()1,1b =-，假设()()a b a b λλ+⊥-，则实数λ= ． 【答案】3±【解析】因为()3,3a b λλλ+=+-，()3,3a b λλλ+=++，因为()()a b a b λλ+⊥-，所以()()()()33330λλλλ+-+++=，解得3λ±．【点评】此题考查平面向量的坐标运算、数量积，容易题． 〔12〕【2014年湖北，理12，5分】直线1:l y x a =+和2:l y x b =+将单位圆22:1C x y +=分成长度相等的四段弧，则22a b += ． 【答案】2【解析】依题意，圆心()0,0到两条直线的距离相等，且每段弧的长度都是圆周的14，即22a b =，2cos 4522a=︒=，所以221a b ==，故222a b +=． 【点评】此题考查直线与圆相交，点到直线的距离公式，容易题． 〔13〕【2014年湖北，理13，5分】设a 是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数．将组成a 的3个数字按从小到大排成的三位数记为()I a ，按从大到小排成的三位数记为()D a 〔例如815a =，则()158I a =，()851D a =〕．阅读如下图的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a ，输出的结果b = ． 【答案】495【解析】当123a =，则321123198123b =-=≠，当198a =，则981198783198b =-=≠；当783a =，则954459b a =-=，终止循环，故输出495b =．【点评】新定义题型，此题考查程序框图，当型循环结构，容易题． 〔14〕【2014年湖北，理14，5分】设()f x 是定义在()0,+∞上的函数，且()0f x >，对任意0a >,0b >,0a >,0b >，假设经过点()()af a ,()(),b f x ()()()()b f b a f a ,,,的直线与x 轴的交点为()0,c ，则称c 为a ,b 关于函数()f x 的平均数，记为[],f M a b ，例如，当()1f x =())0(1>=x x f 时，可得2f a bM c +==，即(),f M a b 为,a b 的算术平均数．〔1〕当()f x =________〔0x >〕时，(),f M a b 为,a b 的几何平均数； 〔2〕当()f x =________〔0x >〕时，(),f M a b 为,a b 的调和平均数2aba b+； 〔以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可〕【答案】〔1〕x 〔2〕x 〔或填〔1〕1k x 〔2〕2k x ，其中12,k k 为正常数均可〕【解析】设()()0f x x x =>，则经过点(),a a ，(),b b -的直线方程为y a b a x a b a ---=--，令0y =，所以2abc x a b ==+，所以当()()0f x x x =>，(),f M a b 为,a b 的调和平均数2aba b+．【点评】此题考查两个数的几何平均数与调和平均数，难度中等．〔一〕选考题〔请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑，如果全选，则按第15题作答结果计分．〕 〔15〕【2014年湖北，理15，5分】〔选修4-1：几何证明选讲〕如图，P 为O 的两条切线，切点分别为,A B ，过PA 的中点Q 作割线交O 于,C D 两点，假设1QC =，3CD =，则PB = _______． 【答案】4【解析】由切割线定理得()21134QA QC QD =⋅=⨯+=，所以2QA =，4PB PA ==． 【点评】此题考查圆的切线长定理，切割线定理，容易题．〔16〕【2014年湖北，理16，5分】〔选修4-4：坐标系与参数方程〕已知曲线1C 的参数方程是33x tty ⎧=⎪⎨=⎪⎩〔t 为参数〕，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2ρ=，则1C 与2C 交点的直角坐标为 ．【答案】()3,1【解析】由33x t t y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，消去t 得()2230,0x y x y =≥≥，由2ρ=得224x y +=，解方程组222243x y x y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，得1C 与2C 的交点坐标为()3,1．【点评】此题考查参数方程，极坐标方程与平面直角坐标方程的转化，曲线的交点，容易题．三、解答题：共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 〔17〕【2014年湖北，理17，11分】某实验室一天的温度〔单位：C ︒〕随时间t 〔单位：h 〕的变化近似满足函数关系；()103cossin,[0,24)1212f t t t t ππ=--∈．〔1〕求实验室这一天的最大温差；〔2〕假设要求实验室温度不高于11C ︒，则在哪段时间实验室需要降温？解：〔1〕因为31()102(cos sin )102sin()212212123f t t t t ππππ=-+=-+，又024t ≤<，所以7,1sin()131233123t t ππππππ≤+<-≤+≤，当2t =时，sin()1123t ππ+=；当14t =时，sin()1123t ππ+=-，于是()f t 在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8，故实验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃．〔2〕依题意，当()11f t >时实验室需要降温，由〔1〕得()102sin()123f t t ππ=-+，故有102sin()11123t ππ-+>，即1sin()1232t ππ+<-，又024t ≤<，因此71161236t ππππ<+<，即1018t <<，在10时至18时实验室需要降温． 〔18〕【2014年湖北，理18，12分】已知等差数列{}n a 满足：12a =，且123,,a a a 成等比数列．〔1〕求数列{}n a 的通项公式；〔2〕记n S 为数列{}n a 的前n 项和，是否存在正整数n ，使得60800n S n >+?假设存在，求n 的最小值；假设不存在，说明理由．解：〔1〕设数列{}n a 的公差为d ，依题意，2,2,24d d ++成等比数列，故有2(2)2(24)d d +=+，化简得240d d -=，解得0d =或4d =，当0d =时，2n a =；当4d =时，2(1)442n a n n =+-⋅=-，从而得数列{}n a 的通项 公式为2n a =或42n a n =-．〔2〕当2n a =时，2n S n =，显然260800n n <+，此时不存在正整数n ，使得60800S n >+成立，当42n a n =-时，2[2(42)]22n n n S n +-==，令2260800n n >+，即2304000n n -->，解得40n >或10n <-〔舍去〕，此时存在正整数n ，使得60800n S n >+成立，n 的最小值为41综上，当2n a =时，不存在满足题意的n ；当42n a n =-时，存在满足题意的n ，其最小值为41．〔19〕【2014年湖北，理19，12分】如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,,,E F M N 分别是棱1111,,,AB AD A B A D 的中点，点,P Q 分别在棱1DD ，1BB 上移动，且 ()02DP BQ λλ==<<．〔1〕当1λ=时，证明：直线1BC 平面EFPQ ；〔2〕是否存在λ，使平面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角？假设存在，求出λ的值；假设不存在，说明理由．解：解法一：〔1〕如图1，连接1AD ，由1111ABCD A B C D =是正方体，知11//BC AD ，当1λ=时，P 是1DD 的中点，又F 是AD 的中点，所以1//FP AD ，所以1//BC FP ，而FP ⊂平面 EFPQ ，且1BC ⊄平面EFPQ ，故直线1//BC 平面EFPQ ．〔2〕如图2，连接BD ，因为E ，F 分别是AB ，AD 的中点，所以//EF BD ，且12EF BD =，又,//DP BQ DP BQ =，所以四边形PQBD 是平行四边形，故//PQ BD ，且PQ BD =，从而//EF PQ ，且12EF PQ =，在Rt EBQ ∆和Rt FDP ∆中，因为BQ DP λ==，1BE DF ==，于是21DQ FP λ==+，所以四边形EFPQ 是等腰梯形．同理可证四边形PQMN 是等腰梯形． 分别取,,EF PQ MN 的中点为,,H O G ，连接,OH OG ，则,GO PQ HO PQ ⊥⊥，而GO HO O =， 故GOH ∠是面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角的平面角．假设存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角，则90GOH ∠=，连接EM ，FN ，则 由//EF MN ，且EF MN =，知四边形EFNM 是平行四边形，连接GH ，因为H ，G 是EF ，MN 的中点，所以2GH ME ==，在GOH ∆中，22222214,1()22GH OH λλ==+-=+，2222211(2)()(2)22OG λλ=+--=-+，由222OG OH GH +=，得2211(2)422λλ-+++=，解得1λ=±，故存在1λ=±，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角． 解法二：以D 为原点，射线1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴的正半轴建立如图3所示的空间直角坐标系D xyz -，由已知 得(2,2,0)B ，1(0,2,2)C ，(2,1,0)E ，(1,0,0)F ，(0,0,)P λ，(2,0,2)BC -，(1,0,)FP λ-，(1,1,0)FE ． 〔1〕当1λ=时，(1,0,1)FP =-，因为1(2,0,2)BC =-，所以12BC FP =，即1//BC FP ，而FP ⊂平面EFPQ ，且1BC ⊄平面EFPQ ，故直线1//BC 平面EFPQ ． 〔2〕设平面EFPQ 的一个法向量为(,,)n x y z =，则由0FE n FP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，可得00x y x z λ+=⎧⎨-+=⎩，于是可取(,,1)n λλ=-，同理可得平面MNPQ 的一个法向量为(2,2,1)m λλ=--，假设存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角，则(2,2,1)(,,1)0m n λλλλ⋅=--⋅-=，即(2)(2)10λλλλ---+=，解得1λ=±．故存在1λ=±，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角． 〔20〕【2014年湖北，理20，12分】计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X (年入流量：一年内上游来水与库区降水之和．单位：亿立方米〕都在40以上．其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年．将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立． 〔1〕求未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率；〔2〕水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 限制，并有如下关系；假设某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；假设某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值到达最大，应安装发电机多少台？解：〔1〕依题意，110(4080)0.250p P X =<<==，235(80120)0.750p P X =≤≤==，35(120)0.150p P X =>==由二项分布，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为04134343433991(1)(1)()4()()0.9477101010p C p C p p =-+-=+⨯⨯=．〔2〕记水电站年总利润为Y 〔单位：万元〕〔1〕安装1台发电机的情形：由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润5000,()500015000Y E Y ==⨯=．〔2〕安装2台发电机的情形：依题意，当4080X <<时，一台发电机运行，此时50008004200Y =-=，因此1(4200)(4080)0.2P Y P X p ==<<==；当80X ≥时，两台发电机运行，此时5000210000Y =⨯=，因此(10000)(80)0.8P Y P X p p ==≥=+=；由此得Y 的分布列如下：所以，()E Y =〔3〕安装3台发电机的情形：当4080X <<时，一台发电机运行，此时500016003400Y =-=，因此1(3400)(4080)0.2P Y P X p ==<<==；当80120X ≤≤时，两台发电机运行，此时 500028009200Y =⨯-=，因此2(9200)(80120)0.7P Y P X p ==≤≤==；当120X >时，三台发电机运行，5000315000Y =⨯=，因此3(15000)(120)0.1P Y PX p ==>==， 由此得所以，()34000.292000.7150000.18620E Y =⨯+⨯+⨯=综上，欲使水电站年总利润的均值到达最大，应安装发电机2台．〔21〕【2014年湖北，理21，14分】在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F 的距离比它到y 轴的距离多1，记点M 的轨迹为C ．〔1〕求轨迹为C 的方程；〔2〕设斜率为k 的直线l 过定点()2,1p -，求直线l 与轨迹C 好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时k 的相应取值范围．解：〔1〕设点(,)M x y ，依题意得||||1MF x =+||1x =+，化简整理得22(||)y x x =+，故点M 的轨迹C 的方程为24,00,0x x y x ≥⎧=⎨<⎩．〔2〕在点M 的轨迹C 中，记212:4,:0(0)C y x C y x ==<，依题意，可设直线l 的方程为1(2)y k x -=+，由方程组21(2)4y k x y x-=+⎧⎨=⎩，可得244(21)0ky y k -++= ①〔1〕当0k =时，此时1y =，把1y =代入轨迹C 的方程，得14x =，故此时直线:1l y =与轨迹C 恰好有一个公共点1(,1)4〔2〕当0k ≠时，方程①的判别式为216(21)k k ∆=-+- ②设直线l 与x 轴的交点为0(,0)x ，则由1(2)y k x -=+，令0y =，得021k x k+=-③ 〔ⅰ〕假设000x ∆<⎧⎨<⎩由②③解得1k <-，或12k >，即当1(,1)(,)2k ∈-∞-⋃+∞时，直线l 与1C 没有公共点，与2C 有一个公共点，故此时直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点．〔ⅱ〕假设000x ∆=⎧⎨<⎩或000x ∆>⎧⎨≥⎩，由②③解得1{1,}2k ∈-，或102k -≤<，即当1{1,}2k ∈-时，直线l 与1C只有一个公共点，与2C 有一个公共点，当1[,0)2k ∈-时，直线l 与1C 有两个公共点，与2C 没有公共点，故当11[,0){1,}22k ∈--时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点．〔ⅲ〕假设000x ∆>⎧⎨<⎩由②③解得112k -<<-，或102k <<，即当11(1,)(0,)22k ∈--⋃时，直线l 与1C 有两个公共点，与2C 有一个公共点，故此时直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点．综合〔1〕〔2〕可知，当1(,1)(,){0}2k ∈-∞-⋃+∞⋃时，直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点；当11[,0){1,}22k ∈--时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点；当11(1,)(0,)22k ∈--时，直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点．〔22〕【2014年湖北，理22，14分】π为圆周率，e =2.71828……为自然对数的底数．〔1〕求函数xxx f ln )(=的单调区间； 〔2〕求33,3,,,3,e e e e ππππ这6个数中的最大数与最小数；〔3〕将33,3,,,3,eee e ππππ这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论．解：〔1〕函数()f x 的定义域为(0,)+∞，因为ln ()x f x x =，所以21ln ()xf x x-'=，当()0f x '>，即0x e <<时，函 数()f x 单调递增；当()0f x '<，即x e >时，函数()f x 单调递减．故函数()f x 的单调递增区间为(0,)e ，单调递减区间为(,)e +∞．〔2〕因为3e π<<，所以ln 33ln ,ln ln 3e e πππ<<，即ln3ln ,ln ln3e e e πππ<<，于是根据函数ln ,x y x y e ==， x y π=在定义域上单调递增，可得333,3e e e e ππππ<<<<，故这6个数的最大数在3π与3π之中，最小数在3e 与3e 之中．由3e π<<及〔1〕的结论，得()(3)()f f f e π<<，即ln ln3ln 3eeππ<<． 由ln ln33ππ<，得3ln ln 3ππ<，所以33ππ>；由ln 3ln 3e e<，得3ln 3ln e e <，所以33e e >． 综上，6个数中最大数是3π，最小数是3e．〔3〕由〔2〕知，3333,3e e e e πππ<<<<，又由〔2〕知，ln ln ee ππ<，得e e ππ<故只需比较3e 与e π和e π 与 3π的大小，由〔1〕知，当0x e <<时，1()()f x f e e <=，即ln 1x x e<，在上式中，令2e x π=，又2e e π<，则2ln e e ππ<，从而2ln e ππ-<，即得ln 2eππ>- ①由①得， 2.72ln (2) 2.7(2) 2.7(20.88) 3.02433.1e e e ππ>->⨯->⨯-=>，即ln 3e π>，亦即3ln ln e e π>，所以3e e π<，又由①得，33ln 66ee πππ>->->，即3ln ππ>，所以3e ππ<．综上可得，3333e e e e ππππ<<<<<，即6个数从小到大的顺序为333,,,,,3e e e e ππππ．。

湖北省部分重点中学2014届高三第二次联考高三数学试卷（理科）参考答案CDDDBCACBB②和③ 3或13 2(0,]3 216．解：（Ⅰ）∵()2π3πcos 2cos 22cos 22323f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴.故函数()f x 的最小正周期为π；递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )（Ⅱ）解法一：π23B f B ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴π1sin 32B ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭． ∵0πB <<，∴ππ2π333B -<-<，∴ππ36B -=-，即π6B =． 由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-，∴2132a a =+-⨯，即2320a a -+=，故1a =（不合题意，舍）或2a =． 因为222134b c a +=+==，所以∆ABC 为直角三角形.解法二：π23B f B ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴π1sin 32B ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭． ∵0πB <<，∴ππ2π333B -<-<，∴ππ36B -=-，即π6B =．由正弦定理得：1πsin sin 6a A ==，∴sin C =，∵0πC <<，∴π3C =或2π3． 当π3C =时，π2A =；当2π3C =时，π6A =．（不合题意，舍） 所以∆ABC 为直角三角形. 17.(Ⅰ) 延长AD ，FE 交于Q ．因为ABCD 是矩形，所以BC ∥AD ，所以∠AQF 是异面直线EF 与B C 所成的角．在梯形ADEF 中，因为DE ∥AF ，AF ⊥FE ，AF＝2，DE ＝1得∠AQF ＝30°．(Ⅱ) 方法一：设AB ＝x ．取AF 的中点G ．由题意得DG ⊥AF ．因为平面ABCD ⊥平面ADEF ，A B ⊥AD ，所以AB ⊥平面ADEF ，(第17题图)所以AB ⊥DG ．所以DG ⊥平面ABF ．过G 作GH ⊥BF ，垂足为H ，连结DH ，则DH ⊥BF ，所以∠DHG 为二面角A －BF －D 的平面角．在直角△AGD 中，AD ＝2，AG ＝1，得DG．在直角△BAF 中，由AB BF ＝sin ∠AFB ＝GH FG ，得GH x， 所以GH．在直角△DGH 中，DG，GH，得DH＝． 因为cos ∠DHG ＝GH DH ＝13，得x所以AB方法二：设AB ＝x ．以F 为原点，AF ，FQ 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立空间直角坐标系Fxyz ．则 F (0，0，0)，A (－2，0，0)，E0，0)，D (－10)，B (－2，0，x )， 所以DF ＝(1，0)，BF ＝(2，0，－x )．因为EF ⊥平面ABF ，所以平面ABF 的法向量可取1n ＝(0，1，0)．设2n ＝(x 1，y 1，z 1)为平面BFD 的法向量，则111120,0,x z x x -=⎧⎪⎨-=⎪⎩ 所以，可取2n ＝，1． 因为cos<1n ，2n >＝1212||||n n n n ⋅⋅＝13，得 x所以AB18．解：（1）当1n =时，由111211a S a -=⇒=.又1121n n a S ++-=与21n n a S -=相减得：12n n a a +=，故数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，所以12n n a -=（2）设n a 和1n a +两项之间插入n 个数后，这2n +个数构成的等差数列的公差为(第17题图)n d ， 则11211n n n n a a d n n -+-==++， 又(12361)611952,2014195262+++++=-=， 故61616220146262262(621)2612.6363b a d =+-⋅=+⨯=⨯ 19 0.41,11120.41712.a b a b ++=⎧⎨+⨯+=⎩解得：0.5,0.1a b ==.（Ⅱ）X 2 的可能取值为4.12,11.76,20.40.()[]2 4.12(1)1(1)(1)P X p p p p ==---=-，()[]22211.761(1)(1)(1)(1)P X p p p p p p ==--+--=+-，()220.40(1)P X p p ==-.………9分（Ⅲ）由（Ⅱ）可得：()222 4.12(1)11.76(1)20.40(1)E X p p p p p p ⎡⎤=-++-+-⎣⎦ 211.76p p =-++. ………………11分因为E(X 1)< E(X 2)， 所以21211.76p p <-++.所以0.40.6p <<.当选择投资B 项目时，p 的取值范围是()0.4,0.620．解：（1）依题意，得2a =，c e a == 1,322=-==∴c a b c ；故椭圆C 的方程为2214x y += ． （2）方法一：点M 与点N 关于x 轴对称，设),(11y x M ，),(11y x N -， 不妨设01>y ．由于点M 在椭圆C 上，所以412121x y -=． （*） 由已知(2,0)T -，则),2(11y x TM +=，),2(11y x TN -+=，21211111)2(),2(),2(y x y x y x TN TM -+=-+⋅+=⋅∴3445)41()2(1212121++=--+=x x x x 51)58(4521-+=x ． 由于221<<-x ，故当581-=x 时，TM TN ⋅取得最小值为15-． 方法二：点M 与点N 关于x 轴对称，故设(2cos ,sin ),(2cos ,sin )M N θθθθ-， 不妨设sin 0θ>，由已知(2,0)T -，则)sin ,2cos 2()sin ,2cos 2(θθθθ-+⋅+=⋅TN TM3cos 8cos 5sin )2cos 2(222++=-+=θθθθ51)54(cos 52-+=θ． 故当4cos 5θ=-时，TM TN ⋅取得最小值为15-，此时83(,)55M -， (3) 方法一：设),(00y x P ，则直线MP 的方程为：)(010100x x x x y y y y ---=-， 令0y =，得101001y y y x y x x R --=， 同理：101001y y y x y x x S ++=， 故212021202021y y y x y x x x S R --=⋅ （**）又点M 与点P 在椭圆上，故)1(42020y x -=，)1(42121y x -=，代入（**）式，得： 4)(4)1(4)1(421202*********202021=--=----=⋅y y y y y y y y y y x x S R ． 所以4=⋅=⋅=⋅S R S R x x x x OS OR ，OR OS +的最小值为4 方法二：设(2cos ,sin ),(2cos ,sin )M N θθθθ-，不妨设sin 0θ>，)sin ,cos 2(ααP ，其中θαsin sin ±≠．则直线MP 的方程为：)cos 2(cos 2cos 2sin sin sin αθαθαα---=-x y ，令0y =，得θαθαθαsin sin )sin cos cos (sin 2--=R x ， 同理：θαθαθαsin sin )sin cos cos (sin 2++=S x ， 故4sin sin )sin (sin 4sin sin )sin cos cos (sin 42222222222=--=--=⋅θαθαθαθαθαS R x x ． 所以4=⋅=⋅=⋅S R S R x x x x OS OR ，OR OS +的最小值为421、解：（I ）'121()(1)2(1)(1)[(1)2]n n n n f x nx x x x x x n x x --=---=---， 当1[,1]2x ∈时，由'()0n f x =知1x =或者2n x n =+， 当1n =时，11[,1]232n n =∉+，又111()28f =，(1)0n f =，故118a =； 当2n =时，11[,1]222n n =∈+，又211()216f =，(1)0n f =，故2116a =； （II ）当3n ≥时，1[,1]22n n ∈+， ∵1[,)22n x n ∈+时，'()0n f x >；(,1)2n x n ∈+时，'()0n f x <； ∴()n f x 在2n x n =+处取得最大值，即2224()()22(2)n n n n n n a n n n +==+++ 综上所述，21,(1)84,(2)(2)n n n n a n n n +⎧=⎪⎪=⎨⎪≥⎪+⎩． 当2n ≥时，欲证 2241(2)(2)n n n n n +≤++，只需证明2(1)4n n+≥ ∵011222222(1)()()()n n n n n n n C C C C n n n n+=+⋅+⋅++⋅ 2(1)41212142n n n-≥++⋅≥++=，所以，当2n ≥时，都有21(2)n a n ≤+成立． （III ）当1,2n =时，结论显然成立；当3n ≥时，由（II ）知3411816n n S a a a =+++++2221111181656(2)n <++++++ 11111111()()()816455612n n <++-+-++-++ 1117816416<++=． 所以，对任意正整数n ，都有716n S <成立．。

2014年湖北省七市(州)高三年级联合考试数学试题(理工类)第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U=R，集合A={x|lgx≤0)，B=，则A∪B=A．ø2．下列说法错误的是A．命题“若x2-5x+6=0，则x=2”的逆否命题是“若x≠2，则x2-5x+6≠0”B．已知命题p和q，若p∨q为假命题，则命题p与q中必一真一假C．若x，y∈R，则“x=y”是的充要条件D．若命题p：∈R，则3．为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计两科成绩得到如图所示的散点图(两坐标轴单位长度相同)，用回归直线近似的刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是A．线性相关关系较强，b的值为1．25B．线性相关关系较强，b的值为O．83C．线性相关关系较强，b的值为-0．87D．线性相关关系太弱，无研究价值4．某个几何体的三视图如图所示(其中正视图中的圆弧是半径为2的半圆)，则该几何体的表面积为A．92+24B．82+24C．92+14D．82+145．阅读如图所示的程序框图，则输出结果s的值为6．已知函数f（x)与g（x)x)=g（x)有实数解的区间是A．(-1，0) B．(0，1) C7．已知O为坐标原点，A，B两点的坐标均满足不等式组，设与的夹角为θ，则tanθ的最大值为8．设两条直线的方程分别为x+y+a=0，x+y+b=0，已知a，b是方程x2+x+c=0的两个实根，且0≤c≤，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是9．如果对定义在R上的函数f（x)，对任意x1≠x2，都有x1f（x1)+x2f（x2)>x1f（x2)+x2f（x1)则称函数f（x)为“H函数”．给出下列函数：①y=-x3+x+1；②y=3x-2(sinx-cosx)；．其中函数式“H函数”的个数是：A．4 B．3 C．2 D．110．已知双曲线的两个焦点为F1、F2，其中一条渐近线方程为P 为双曲线上一点，且满足|OP|<5(其中O为坐标原点)，若|PF1|、|F1F2|、|PF2|成等比数列，则双曲线C的方程为第Ⅱ卷(非选择题，共100分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，考生共需作答5题，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，横棱两可均不得分．(一)必考题：(11-14题)11．若i为虚数单位，图中网格纸的小正方形的边长是1，复平面内点Z表示复数z，则复数的共轭复数是．12．设，则a4= ．13．物体A以速度v=3t2+1(t的单位：s，v的单位：m／s)在一直线上运动，在此直线上与物体A出发的同时，物体B在物体A的正前方5m处以v=10t(t的单位：s，v的单位：m／s)的速度与A同向运动，则两物体相遇时物体A运动的距离为m．14．将长度为l，（l≥4，l∈N*）的线段分成n（n≥3）段，每段长度均为正整数，并要求这n段中的任意三段都不能构成三角形．例如，当l=4时，只可以分为长度分别为1，1，2的三段，此时n的最大值为3；当l=7时，可以分为长度分别为1，2，4的三段或长度分别为1，1，1，3的四段，此时n 的最大值为4．则：（1）当l=12时，n的最大值为；（2）当l=100时，n的最大值为．(二)选考题：请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号的方框用2B铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．15．(几何证明选讲)如图，已知PA是⊙O的切线，A是切点，直线PO交⊙O于B，C两点，D是OC的中点，连接AD并延长交⊙O于点E，若PA=2；∠APB=30°，则AE= ．16．(坐标系与参数方程)在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点、x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点M的极坐标为，曲线C的参数方程为(α为参数)，则点M到曲线C上的点的距离的最小值为．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)已知向量，设函数(1)求函数f（x)的单调递增区间：(2)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足求f（C）的值．18．(本小题满分12分)已知数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，其中a1=b1=1，a2≠b2，且b2为a1、a2的等差中项，a2为b2、b3的等差中项．(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；(2)记，求数列{cn}的前n项和Sn．三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．18．（本小题满分12分）己知向量设函数（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足求f（C）的值．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，AD∥BC，且PA=AD=2，AB=BC=1，E为PD的中点．(Ⅰ)设PD与平面PAC所成的角为α，二面角P-CD-A的大小为β，求证：tanα=cosβ.(Ⅱ)在线段AB上是否存在一点F(与A，B两点不重合)，使得AE∥平面PCF?若存在，求AF的长；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分12分）小明家订了一份报纸，寒假期间他收集了每天报纸送达时间的数据，并绘制成频率分布直方图，如图所示．（Ⅰ）根据图中的数据信息，求出众数x0；（Ⅱ）小明的父亲上班离家的时间y在上午7：00至7：30之间，而送报人每天在x0时刻前后半小时内把报纸送达（每个时间点送达的可能性相等）①求小明的父亲在上班离家前能收到报纸（称为事件A）的概率；②求小明的父亲周一至周五在上班离家前能收到报纸的天数X的数学期望．21．（本小题满分13分）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设A（-4，0），过点R（3，0）作与X轴不重合的直线l交椭圆于P、Q两点，连结AP、AQ分别交直线于M、N两点，试问直线MR、NR的斜率之积是否为定值，若为定值，请求出；若不为定值，请说明理由．22．（本小题满分14分）已知函数(Ⅰ)设F(x)=f(x)+g(x)，求函数F(x)的图像在x=1处的切线方程：(Ⅱ)求证：对任意的x∈(0，+∞)恒成立；(Ⅲ)若a，b，c∈R+，且求证：参考答案说明1．本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分。

秘密★启用前2013～2014年度湖北省部分重点中学高三十月联考数学（理科）试题★祝考试顺利★注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用统一提供的2B 铅笔将答题卡上的方框涂黑。

2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答在试题卷、草稿纸上无效。

3.用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

答在试题卷、草稿纸上无效。

4. 考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知全集=N ，集合P ={}，6，4，3，2，1Q={}1,2,3,5,9则()P C Q =( )A ．{}3,2,1B ．{}6,4C ．{}9,5D {}6,4,3,2,1 2．已知集合A ={}5,4,3,2,1，(){},/,,B x y x A y A x y A =∈∈-∈,则B 中所含元素的个数为 A ．6B ．12C ．16D ．203．下列命题中错误的是A ．命题“若2560x x -+=，则3x =”的逆否命题是“若3x ≠，则2560x x -+≠”B ．若x 、y ∈R ，则“x y =”是2()2x y xy +≥成立的充要条件 C ．已知命题p 和q ，若p ∨q 为假命题，则命题p 与q 中必一真一假D ．对命题p ：x R ∃∈，使220x x ++<，则:p x R ⌝∀∈，则220x x ++≥ 4．将函数()sin()f x x ωϕ=+的图象向左平移2π个单位，若所得图象与原图象重合，则ω的值不可能等于（ ） A.4B.6C.8D.125．已知函数()f x 的图象向右平移()0a a >个单位后关于1x a =+对称，当211x x >>时，[]2121()()()f x f x x x --＜0恒成立，设1()2a f =-，(2)b f =，()c f e =，则,,a b c 的大小关系为 A ．c ＞a ＞bB ．c ＞b ＞aC ．a ＞c ＞bD ．b ＞a ＞c6．已知函数32()f x ax bx cx d =+++的图象如图所示，k R ∈，则()()f k f k +-的值一定A ．等于0B ．不小于0C ．小于0D ．不大于07．若),0(π∈α，且)4sin(2cos 3α-π=α，则α2sinA ．1或1817-B ．1C ．1817D ．1817-8．已经函数21()()sin ,23x f x x a R a a =-∈++，则()f x 在[0，2π]上的零点个数为 A ．1B ．2C ．3D ．49．已知()||xf x x e =⋅，方程()2()()10f x tf x t R ++=∈有四个实数根，则t 的取值范围为A ．21(,)e e++∞B ．21,e e ⎛⎫+-∞- ⎪⎝⎭C ．21,2e e ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭D ．212,e e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭10．定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x -=，当[]0,1x ∈时，()f x =又()cos2xg x π=，则集合{}|()()x f x g x =等于A ．1|4,2x x k k z ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭B ．1|2,2x x k k z ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭C ．1|4,2x x k k z ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭D ．{}|21,x x k k z =+∈x二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．设有两个命题：p ：不等式1()42x +＞m ＞22x x -对一切实数x 恒成立；q :()(92)x f x m =--是R 上的减函数，如果p 且q 为假命题，则实数m 的取值范围是;12. 在△ABC 中，060,C AB AB ∠==边上的高为83，则AC BC += ; 13. 已知函数()()()222,log ,log 2xf x xg x x xh x x =+=+=-的零点依次为a , b , c ，则a ,b ,c 的大小关系是 。

湖北省八市2014届高三下学期3月联考数学（理）试题本试卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1．考生在答题前，请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷上无效．3．填空题和解答题用0．5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内．答在试题卷上无效．一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．复数321i i -（i 为虚数单位）的虚部是A ．15iB ．15C ．15i -D ．15-2．设全集U=R ，A={x|2x （x-2）<1}，B={x|y=1n （l －x ）}，则右图中阴影部分表示的集合为 A ．{x |x≥1} B ．{x |x≤1} C ．{x|0<x≤1} D ．{x |1≤x<2}3．等比数列{a n }的各项均为正数，且564718a a a a +=，则log 3 a 1+log 3a 2+…+log 3 a l0= A ．12 B ．10C ．8D ．2+log 3 54．若x=6π是f （x ）sin x ω+cos x ω的图象的一条对称轴，则ω可以是 A ．4 B ．8 C ．2 D ．15．己知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A π+B 2πC ．2πD ．π6．我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有’5架舰载机准备着舰．如果甲乙2机必须相邻着舰，而丙丁不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有（ ）种 A ．12 B ．18 C ．24 D ．487．已知M=3(,)|3,{(,)|20}2y x y N x y ax y a x -⎧⎫==++=⎨⎬-⎩⎭且M N =∅I ，则a= A ．-6或-2 B ．-6 C ．2或-6 D ．-28．某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%．己知在过滤过程中废气中的污染物数量尸（单位：毫克／升）与过滤时间t （单位：小时）之间的函数关系为：P= P 0e －kt ，（k ，P 0均为正的常数）．若在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%．那么，至少还需（ ）时间过滤才可以排放． A ．12小时 B ．59小时 c ．5小时 D ．10小时9．己知抛物线22(0)y px p =>的焦点F 恰好是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，且两条曲线的交点的连线过点F ，则该双曲线的离心率为A +1B ．2CD －110．实数a i （i =1,2,3,4,5,6）满足（a 2－a 1）2+（a 3－a 2）2+（a 4－a 3）2+（a 5－a 4）2+（a 6－a 5）2=1则（a 5+a 6）－（a 1+a 4）的最大值为A ．3B ． CD ．1二、填空题（本大题共6小题，考生共需作答5小题．每小题5分，共25分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．）（一）必考题．（11－14题） 11．己知0(sin cos )xa t t dt =+⎰，则（1x ax-）6的展开式中的常数项为 。

（考试时间：120分钟，满分150分）第I 卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数z ＝－3＋i2＋i的共轭复数是（ ）A ．2＋iB ．2－iC ．－1＋iD ．－1－i2．函数f (x )＝ln x 的图象与函数g (x )＝x 2－4x ＋4的图象的交点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．33．如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则→OP＋→OQ＝（）A．→OH B．→OG C．→EO D．→FO4．已知正三角形ABC的顶点A(1，1)，B(1，3)，顶点C在第一象限，若点（x，y）在△ABC 内部，则z＝－x＋y的取值范围是（）A．(1－3，2) B．(0，2) C．(3－1，2) D．(0，1＋3)5．给定两个命题p，q．若﹁p是q的必要而不充分条件，则p是﹁q的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．一几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（）A ．200＋9πB ．200＋18πC ．140＋9πD ．140＋18π7．某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N (1000，502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为（ ）A ．12B ．38C ．14D ．188．直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于（ ）A ．43B ．2C ．83D ．1623【答案】C 【解析】9．椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A 1、A 2，点P 在C 上且直线P A 2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA 1斜率的取值范围是（ ） A ．[12，34] B ．[38，34] C ．[12，1] D ．[34，1]10．已知函数f (x )＝cos x sin2x ，下列结论中错误的是（ ）A ．y ＝f (x )的图象关于点(π，0)中心对称B ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π2对称C ．f (x )的最大值为32 D ．f (x )既是奇函数，又是周期函数 【答案】C 【解析】第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3，x ﹤0，－tan x ，0≤x ＜π2．则f (f (π4))＝ ．12．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 ．13．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91．现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示，则7个剩余分数的方差为．14．从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是．（用数字作答）【答案】59015．下表中的数阵为“森德拉姆素数筛”，其特点是每行每列都成等差数列，记第i行第j列的数为a i，j（i，j∈N*），则（Ⅰ）a9，9＝；（Ⅱ）表中的数82共出现次．三、解答题（解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．）16．（本小题满分12分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac．（Ⅰ）求B ； （Ⅱ）若sin A sin C ＝3－14，求C ．cos()cos cos sin sin cos cos sin sin 2sin sin A C A C A C A C A C A C ∴-=+=-+112242=+⨯= 6A C π∴-=或6A C π-=-12C π∴=或4C π=考点：1.余弦定理；2.两角的和差公式.17．（本小题满分12分）已知等比数列{a n}的前n项和S n＝2n－a，n∈N*．设公差不为零的等差数列{b n}满足：b1＝a1＋2，且b2＋5，b4＋5，b8＋5成等比数列．（Ⅰ）求a的值及数列{b n}的通项公式；a n}的前n项和为T n．求使T n＞b n的最小正整数n．（Ⅱ）设数列{log218．（本小题满分12分）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%．（Ⅰ）确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；（Ⅱ）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率．（注：将频率视为概率）【答案】（Ⅰ）x＝15，y＝20．E(X)＝1.9；（Ⅱ）980【解析】＝320×320＋320×310＋310×320＝980．故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为980．考点：1.离散型随机变量的分布列与数学期望;2.以及相互独立事件的概率的求法.19．（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°． （Ⅰ）证明：AB ⊥A 1C ；（Ⅱ）若平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，AB ＝CB ，求直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值．∴OA ,OC 1OA 两两相互垂直，以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴正方向，|OA |为单位长度，建立如图所示空间直角坐标系O xyz -，设2AB CB ==20．（本小题满分13分）已知平面内一动点P到点F(1，0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1．（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹C相交于点A，B，l2与轨迹C相交于点D，E，求→AD·→EB的最小值．【答案】（Ⅰ）当x≥0时，y2＝4x；当x＜0时，y＝0；（Ⅱ）16.【解析】试题分析：（Ⅰ）要求动点P的轨迹C，设动点P的坐标为(x，y)，根据题意列出关系式(x－1)2＋y2－|x|＝1，化简得y2＝2x＋2|x|，式中有绝对值，需要根据x讨论为当x≥0时，y2＝4x；当x＜0时，y＝0；（Ⅱ）当且仅当k2＝1k2，即k＝±1时，→AD·→EB取最小值16．考点：1.曲线的轨迹方程求解；2.直线与圆锥曲线问题.21．（本小题满分14分）已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且对任意x ＞0，都有f ′(x )＞f (x )x ．（Ⅰ）判断函数F (x )＝f (x )x在(0，＋∞)上的单调性；（Ⅱ）设x 1，x 2∈(0，＋∞)，证明：f (x 1)＋f (x 2)＜f (x 1＋x 2)； （Ⅲ）请将（Ⅱ）中的结论推广到一般形式，并证明你所推广的结论．。

2014年湖北省高考数学理科试题及解析1. i 为虚数单位，=+-2)11(ii A. －1 B.1 C. －i D. i 【解题提示】利用复数的运算法则进行计算 【解析】选A . 122)1)(1()1)(1()11(2-=-=++--=+-iii i i i i i 2.若二项式7)2(x a x +的展开式中31x 的系数是84，则实数a ＝ A. 2 B.34 C.1 D.42【解题提示】 考查二项式定理的通项公式 【解析】选C . 因为1r T += r r r r rrrx a C xa x C 2777772)()2(+---⋅⋅⋅=⋅⋅，令327-=+-r ，得2=r ，所以84227227=⋅⋅-a C ，解得a ＝1. 3.设U 为全集，B A ,是集合，则“存在集合C 使得,U A C B C ⊆⊆”是“∅=B A ”的A. 充分而不必要的条件B. 必要而不充分的条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要的条件【解题提示】考查集合与集合的关系，充分条件与必要条件的判断 【解析】选C . 依题意，若C A ⊆，则UUC A ⊆，当UB C ⊆，可得∅=B A ；若∅=B A ，不妨另C A = ，显然满足,UA CBC ⊆⊆，故满足条件的集合C 是存在的.4.得到的回归方程为a bx y +=ˆ，则A.0,0>>b aB.0,0<>b aC.0,0><b aD.0.0<<b a【解题提示】 考查根据已知样本数判绘制散点图，由散点图判断线性回归方程中的b 与a 的符号问题【解析】选B .画出散点图如图所示，y 的值大致随x 的增加而减小，因而两个变量呈负相关，所以0<b ，0>a5..在如图所示的空间直角坐标系xyz O -中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为A.①和②B.③和①C. ④和③D.④和②【解题提示】 考查由已知条件，在空间坐标系中作出几何体的大致形状，进一步得到正视图与俯视图 【解析】选D . 在坐标系中标出已知的四个点，根据三视图的画图规则判断三棱锥的正视图为④与俯视图为②，故选D . 6.若函数f(x)，()g x 满足11()g()d 0f x x x -=⎰，则称f(x)，()g x 为区间[-1,1] 上的一组正交函数，给出三组函数：①11()sin,()cos 22f x x g x x ==；②()1,g()1f x x x x =+=-；③2(),g()f x x x x ==其中为区间]1,1[-的正交函数的组数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3【解题提示】 考查微积分基本定理的运用【解析】选C . 对①，1111111111(sin cos )(sin )cos |02222x x dx x dx x ---⋅==-=⎰⎰，则)(x f 、)(x g 为区间]1,1[-上的正交函数；对②，1123111114 (1)(1)(1)()|033x x dx x dx x x---+-=-=-=-≠⎰⎰，则)(x f、)(x g不为区间]1,1[-上的正交函数；对③，1341111()|04x dx x--==⎰，则)(x f、)(x g为区间]1,1[-上的正交函数.所以满足条件的正交函数有2组.7.由不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥≤2xyyx确定的平面区域记为1Ω，不等式⎩⎨⎧-≥+≤+21yxyx，确定的平面区域记为2Ω，在1Ω中随机取一点，则该点恰好在2Ω内的概率为（）A.81B.41C.43D.87【解题提示】首先根据给出的不等式组表示出平面区域，然后利用面积型的几何概型公式求解【解析】选D. 依题意，不等式组表示的平面区域如图，由几何概型概率公式知，该点落在2Ω内的概率为111221722218222BDF CEFBDFS SPS⨯⨯-⨯⨯-===⨯⨯.8.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，另相乘也。

排列、组合、二项式定理之三――综合篇排列、组合、二项式定理既是近代组合数学、概率统计的基础，又是每年高考必考内容之一．每年高考的排列组合试题大多以应用题形式出现，且具有容知识性与趣味性、能力型与应用性于一体，小、巧、活、新的特点．本部分内容公式不多却运用广泛，题型多变且解法灵活，是考察抽象思维能力、逻辑推理能力、数学应用意识和实践能力的较好素材．因此，在学习过程中应熟练掌握和运用化归与转化、分类讨论等数学思想，掌握常见题型的常用解法，以提高综合解决问题的能力．对排列组合的综合问题，常用方法是“先选之，再排之”.在分清分类与分步的标准与方式的基础上，遵循两个原则：按元素的性质分类和按事情发生的过程分步.在具体应用中，要注意“类”与“类”间的独立性与并列性，“步”与“步”间的连续性.这要求我们要有周密的逻辑思维能力和准确的计数能力，以及灵活、正确运用基础知识的能力.例1、、一种玩掷骰子放球的游戏，规则是：若掷出1点，甲盒中放一球；若掷出2点或3点，乙盒中放一球；若掷出4点或5点或6点，丙盒中放一球．设掷n 次后，甲、乙、丙各盒内的球数分别为x ，y ，z ．⑴若n =3，且x ，y ，z 成等差数列，则不同的掷法有 种；⑵若n =6，且x ，y ，z 成等比数列，则不同的掷法有 种．解：⑴n =3，即掷了三次，此时甲、乙、丙三个盒子中总共有三个球，由于三个盒中的球数成等差数列，故有且只有以下三种情形：①0=x ，1=y ，2=z ，此即表示掷三次，1次出现2点或3点，2次出现4点或5点或6点，有C 13种掷法；②1===z y x ，此即表示掷三次，1次出现1点，1次出现2点或3点，1次出现4点或5点或6点，有A 33种掷法；③2=x ，1=y ，0=z ，此即表示掷三次，2次出现1点，1次出现2点或3点，有C 13种掷法。

故符合条件的掷法共有C 13＋A 33＋C 13=12种．⑵n =6，即掷了六次，此时甲、乙、丙三个盒子中总共有6个球，由于三个盒中的球数成等比数列，故只有2===z y x 一种情形，共有掷法（与顺序有关）C C C 222426=90种． 例2、三个学校分别有1名、2名、3名学生获奖，这6名学生排成一排合影，则同校的任何两名学生都不能相邻的排法有 种.解：由题意可分两类：①先在6个位置上排第一个学校的三名学生，两两不相邻（如图），3名学生每两名隔一个空位有2种排法，剩下的三个空位中再选2个排第二个学校的2名同学，最后一名同学自动确定位子，此时有232323272C A A =种排法；②第一个学校的3名同学中有两名中间隔两个位子的有两种排法，剩下的3个位子中，挨着的两个不能同时选（如图），所以从另外两个中选，最后一名同学自动确定位子，此时有132322248C A A =种排法.故满足题设条件的排法共有120种排法.例3、在某次商品的有奖销售活动中，有n （n ≥4）个人获三等奖。

2014武汉市高考数学5月模拟训练（含答案理科）2014武汉市高考数学5月模拟训练（含答案理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合A={x∈R|ax2+ax+1=0}中只有一个元素，则a=A．4B．2C．0D．0或42．已知向量m＝(λ＋1，1)，n＝(λ＋2，2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝A．－4B．－3C．－2D．－13．“a≤0”是“函数在区间内单调递增”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象,若的图象都经过点,则的值可以是A．B．C．D．5．执行右面的程序框图，如果输入的t∈－1，3]，则输出的s属于A．－3，4]B．－5，2]C．－4，3]D．－2，5]6．从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为a，b，共可得到的不同值的个数是A．9B．10C．18D．207．设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则8．已知与之间的几组数据如下表：123456021334假设根据上表数据所得线性回归直线方程为．若某同学根据上表中前两组数据和求得的直线方程为，则以下结论正确的是A．B．C．D．9．点P在直线l：y＝x－1上，若存在过P的直线交抛物线y＝x2于A，B两点，且|PA|＝|AB|，则称点P为“点”，那么下列结论中正确的是A．直线l上的所有点都是“点”B．直线l上仅有有限个点是“点”C．直线l上的所有点都不是“点”D．直线l上有无穷多个点（但不是所有的点）是“点”10．已知函数f(x)＝－x2＋2x，x≤0ln(x＋1)，x＞0，若|f(x)|≥ax，则a 的取值范围是A．(－∞，0]B．(－∞，1]C．－2，1]D．－2，0]二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．（一）必考题（11—14题）11．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间481,720]的人数为．12．已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是．13．设,其中实数满足,若的最大值为12，则实数．14．当时，有如下表达式：两边同时积分得：从而得到如下等式：请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：．（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．）15．（选修4-1：几何证明选讲）如图，AB是圆的直径，点在圆上，延长到使，过作圆的切线交于.若，，则_____．16．（选修4-4：坐标系与参数方程）设直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，另一直线的方程为，若直线与间的距离为，则实数的值为9或-11.三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）如图，游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径.一种是从沿直线步行到，另一种是先从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到.现有甲、乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为.在甲出发后,乙从乘缆车到，在处停留后，再从匀速步行到.假设缆车匀速直线运行的速度为，山路长为，经测量，，.（Ⅰ）求索道的长；（Ⅱ）为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？18．（本小题满分12分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设数列的前n项和为，且（为常数）．令．求数列的前n项和．19．（本小题满分12分）如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点．（Ⅰ）证明B1C1⊥CE；（Ⅱ）求二面角B1-CE-C1的正弦值；（Ⅲ）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为,求线段AM的长．20．（本小题满分12分）现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．（Ⅰ）求张同学至少取到1道乙类题的概率；（Ⅱ）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立．用表示张同学答对题的个数，求的分布列和数学期望．21．（本小题满分13分）如图，椭圆E：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e＝12，过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8.（Ⅰ）求椭圆E的方程.（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相较于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由. 22．（本小题满分14分）已知函数．（Ⅰ）当时，函数取得极大值，求实数的值；（Ⅱ）已知结论：若函数在区间内存在导数，则存在，使得.试用这个结论证明：若函数（其中），则对任意，都有；（Ⅲ）已知正数满足，求证：对任意的实数，若时，都有．武汉市2014届高三5月供题（二）数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题1．A2．B3．C4．B5．A6．C7．D8．C9．A10．D二、填空题11．1212．12π13．214．15．2316．9或-11三、解答题17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵,∴∴,∴根据得（Ⅱ）由正弦定理得(m)乙从B出发时,甲已经走了50(2+8+1)=550(m),还需走710m才能到达C设乙的步行速度为V,则∴∴∴为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟,乙步行的速度应控制在范围内18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，则4a1＋6d＝8a1＋4d，a1＋(2n－1)d＝2a1＋2(n－1)d＋1．解得a1＝1，d ＝2．∴an＝2n－1，n∈N*．（Ⅱ）由题意，知，所以时,，故，所以，则，两式相减得整理得所以数列数列的前n项和19．（本小题满分12分）解：20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设事件A＝“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”，∴的分布列为21．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）22．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题设，函数的定义域为，且，所以，得，此时，当时，，函数在区间上单调递增；当时，，函数在区间上单调递减．∴函数在处取得极大值，故．（Ⅱ）令，则．因为函数在区间上可导，则根据结论可知：存在，使得．又，，∴当时，，从而单调递增，；当时，，从而单调递减，；故对任意，都有．（Ⅲ）∵，且，，，，∴由（Ⅱ）知对任意，都有，从而．。

武汉市2014届高中毕业生五月模拟考试理 科 数 学2014.5.8一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设复数1a iz i+=+)(R ∈a ，若z 的实部为2，则z 的虚部为 A ．－i B ．i C ．－1 D ．1 2．命题“若α=4π，则tan α=1”的逆否命题是 A ．若α≠4π，则tanα≠1 B ．若α=4π，则tanα≠1C ．若tanα≠1，则α≠4πD ．若tanα≠1，则α=4π3．总体有编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5A 4．设x x x a d )23(212-=⎰，则二项式261()-ax x展开式中的第4项为A ．31280-xB ．1280-C ．240D ．240-5．已知全集U ＝Z ，如右图程序框图所示，集合A ＝{x |框图中输出的x 值}， B ＝{y |框图中输出的y 值}；当x ＝－1时，(∁U A )∩B ＝ A ．{－3，－1，5} B ．{－3，－1，5，7} C ．{－3，－1，7} D ．{－3，－1，7，9}6．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ．1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=且a b >，则=BA.6π B.3πC.23πD.56π7．某几何体的三视图如图所示，则该 几何体的体积为 A ．16+8π B ．8+8π C ．16+16πD ．8+16π8．某工厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x ≤10），每小时可获得的利润是100(5x ＋1－3x)元．若生产该产品900千克，则该工厂获得最大利润时的生产速度为A ．5千克/小时B ．6千克/小时C ．7千克/小时D ．8千克/小时9．设双曲线C 的中心为点O ,若有且只有一对相较于点O 、所成的角为60的直线11A B 和22A B ,使1122A B A B =,其中1A、1B 和2A 、2B 分别是这对直线与双曲线C 的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是 A．(2]3 B．[2)3C．(,)3+∞ D．[)3+∞ 10．已知R ∈x ，符号[]x 表示不超过x 的最大整数，若函数()[]()0x f x ax x=-≠有且仅有3个零点，则a 的取值范围是A ．3443,,4532⎛⎤⎡⎫ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭B ．3443,,4532⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦C ．1253,,2342⎛⎤⎡⎫ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭D ．1253,,2342⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡．．．对应题号．．．．的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． （一）必考题（11—14题）11．在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组220,210,380,x y x y x y --≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为 ． 12．从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的概率为 （结果用数值表示）． 13．如图，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，且AP ＝3，则→AP ·→AC ＝ ． 14．在圆中有如下结论：“如图，AB 是圆O 的直径，直线AC ，BD 是圆O 过A ，B 的切线，P 是圆O 上任意一点，CD 是过P 的切线，则有PC ·PD ＝PO 2”．类比到椭圆：“如图，AB 是椭圆的长轴（其中O 为椭圆的中心，F 1、F 2为椭圆的两个焦点），直线AC ，BD 是椭圆过A ，B 的切线，P 是椭圆上任意一点，CD 是过P 的切线，则有PC ·PD ＝ ”． （二）选考题15．（选修4-1：几何证明选讲）如图，△ABC 为圆的内接三角形，BD 为圆的弦， 且BD ∥AC ．过点A 作圆的切线与DB 的延长线交于点E ，AD 与BC 交于点F ．若AB ＝AC ，AE ＝6， BD ＝5，则线段CF 的长为__ __． 16．（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线⎪⎩⎪⎨⎧==32,ty t x （t 为参数）相交于A ，B 两点，则|AB |＝ ．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知函数f (x )＝sin(x －π6)＋cos(x －π3)，g (x )＝2sin 2x2．（Ⅰ）若α是第一象限角，且f (α)＝335，求g (α)的值；（Ⅱ）求使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合．18．（本小题满分12分）已知数列{a n }是正项数列，{b n }是等差数列，b n ，a n ，b n ＋2成等比数列，且a 1＝3， a 3＝15．（Ⅰ）求数列{b n }的通项公式；（Ⅱ）设数列{1a n }的前n 项和为S n ，证明：S n ＜34．19．（本小题满分12分）在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，已知AB ＝AC ＝AA 1＝5，BC ＝4，点A 1在底面ABC 的投影是线段BC 的中点O ．（Ⅰ）证明在侧棱AA 1上存在一点E ，使得OE ⊥平面BB 1C 1C ，并求出AE 的长； （Ⅱ）求平面A 1B 1C 与平面BB 1C 1C 夹角的正弦值．20．（本小题满分12分）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t 亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t 该农产品，以X （单位：t ，150100≤≤X ）表示下一个销售季度内的市场需求量，T （单位：元）表示下一个销售季度内销商该农产品的利润． （Ⅰ）将T 表示为X 的函数；（Ⅱ）根据直方图估计利润T 不少于57000元的概率；（Ⅲ）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值,需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若[100,110)X ∈，则取105X =，且105X =的概率等于需求量落入[100,110)的概率），求利润T 的数学期望．21．（本小题满分13分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的点均在C 2：（x -5）2＋y 2=9外，且对C 1上任意一点M ，M 到直线x =﹣2的距离等于该点与圆C 2上点的距离的最小值. （Ⅰ）求曲线C 1的方程；（Ⅱ）设P (x 0,y 0)（y 0≠±3）为圆C 2外一点，过P 作圆C 2的两条切线，分别与曲线C 1相交于点A ，B 和C ，D.证明：当P 在直线x =﹣4上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值.22．（本小题满分14分）已知函数f (x )=ln x ，g (x )=k ·11+-x x . （Ⅰ）求函数F (x )= f (x )－g (x )的单调区间； （Ⅱ）当x >1时，函数f (x )＞g (x )恒成立，求实数k 的取值范围； （Ⅲ）设正实数a 1，a 2，a 3，…，a n 满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝1，求证：ln(1＋211a )+ln(1＋221a )＋…＋ln(1＋21n a )>222+n n ．武汉市2014届高中毕业生5月模拟考试 数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题1．C 2．C 3．D 4．A 5．D 6．A 7．A 8．B 9．A 10．A 二、填空题11．13- 12．45 13．18 14．PF 1·PF 2 15．83 16．16三、解答题17．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）f (x )＝32sin x －12cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝3sin x ，g (x )＝1－cos x ． 由f (α)＝335，得sin α＝35．又α是第一象限角，所以cos α＞0，从而g (α)＝1－cos α＝1－1－sin 2α＝1－45＝15．（Ⅱ）f (x )≥g (x )等价于3sin x ≥1－cos x ，即3sin x ＋cos x ≥1，于是sin(x ＋π6)≥12．从而2k π＋π6≤x ＋π6≤2k π＋5π6，k ∈Z ，即2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z ．故使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合为{x |2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z }．18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由b n ，a n ，b n ＋2成等比数列，得a n ＝b n b n ＋2．设数列{b n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ b 1(b 1＋2d )＝a 1＝3，(b 1＋2d )(b 1＋4d )＝a 3＝15． 解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝1，d ＝1．或⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝－1，d ＝－1．∴b n ＝n ，或b n ＝－n ．（Ⅱ）由（Ⅰ），得a n ＝n (n ＋2)，∴1a n ＝1n (n ＋2)＝12(1n －1n ＋2)， ∴S n ＝12[(1－13)＋(12－14)＋(13－15)＋…＋(1n －1－1n ＋1)＋(1n －1n ＋2)]＝12[(1＋12)－(1n ＋1＋1n ＋2)]＜12(1＋12)＝34． 故S n ＜34．19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）连结AO ，在1AOA ∆中，作1AA OE ⊥于点E . 因为11//BB AA ，得1BB OE ⊥. 因为⊥O A 1平面ABC ，所以⊥O A 1BC. 因为AB =AC ，OB =OC ，得⊥AO BC . 所以BC ⊥平面O AA 1，所以OE BC ⊥. 所以⊥OE 平面C C BB 11. 又5,1122==-=AA BO AB AO ，所以5512==AA AO AE . （Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系，则A （1，0，0），B （0，2，0），C （0，-2，0），1A （0，0，2）. 由151AA =，得)52,0,54(E .由（Ⅰ）得平面C C BB 11的法向量是)52,0,54(=. 设平面C B A 11的法向量为),,(z y x =，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,01C A n 得⎩⎨⎧=+=+-.0,02z y y x 令1=y ，得)1,1,2(-=. 所以1030||||,cos =⋅>=<n OE ，于是1070,sin >=<n OE 所以平面C C BB 11与平面C B A 11的夹角的正弦值为107020．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）当)130,100[∈X 时，)130(300500X X T --=39000800-=X . 当]150,130[∈X 时，65000300500=⨯=T .所以⎩⎨⎧≤≤<≤-=.150130,65000,130100,39000800X X X T（Ⅱ）由（Ⅰ）知，利润T 不少于57000元，当且仅当150120≤≤X . 由直方图知需求量]150,120[∈X 的频率为0.7.所以下一个销售季内的利润T 不少于57000元的概率的估计值为0.7.所以594004.0650003.0610002.0530001.045000)(=⨯+⨯+⨯+⨯=x E .21．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）解法1：设M 的坐标为(,)x y ，由已知得23x +=，易知圆2C 上的点位于直线2x =-的右侧.于是20x +>，所以5x =+.化简得曲线1C 的方程为220y x =.解法2：由题设知，曲线1C 上任意一点M 到圆心2C (5,0)的距离等于它到直线5x =-的距离，因此，曲线1C 是以(5,0)为焦点，直线5x =-为准线的抛物线，故其方程为220y x =. （Ⅱ）当点P 在直线4x =-上运动时，P 的坐标为0(4,)y -，又03y ≠±，则过P 且与圆2C 相切得直线的斜率k 存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为0(4),y y k x -=+0即kx-y+y +4k=0.3.=整理得2200721890.k y k y ++-= ①设过P 所作的两条切线,PA PC 的斜率分别为12,k k ，则12,k k 是方程①的两个实根，故001218.724y yk k +=-=- ② 由101240,20,k x y y k y x -++=⎧⎨=⎩得21012020(4)0.k y y y k -++= ③设四点A ,B ,C ,D 的纵坐标分别为1234,,,y y y y ，则是方程③的两个实根， 所以0112120(4).y k y y k +⋅=④同理可得0234220(4).y k y y k +⋅=⑤于是由②，④，⑤三式得010*******400(4)(4)y k y k y y y y k k ++=2012012124004()16y k k y k k k k ⎡⎤+++⎣⎦=22001212400166400y y k k k k ⎡⎤-+⎣⎦=.所以，当P 在直线4x =-上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值6400.22．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）1()ln 1x F x x k x -=-⋅+， 222122(1)1()(1)(1)x k x F x k x x x x +-+=-⋅=++． 由22(1)10x k x +-+=的判别式224(1)44(2)k k k ∆=--=-，①当0∆≤即[]0,2k ∈时，()0F x '≥恒成立，则()F x 在(0,)+∞单调递增． ②当0k <时，()0F x '>在(0,)+∞恒成立，则()F x 在(0,)+∞单调递增．③当2k >时，方程22(1)10x k x +-+=的两正根为11k k --则()F x在(0,1k -单调递增，(11k k --+单调递减，(1,)k -+∞单调递增． 综上，当2k ≤时，只有单调递增区间(0,)+∞；当2k >时，单调递增区间为(0,1k -，(1)k -+∞；单调递减区间为(11k k --+．（Ⅱ）即1x >时，()0F x >恒成立，当2k ≤时，()F x 在(0,)+∞单调递增 ∴当1x >时，()(1)0F x F >=满足条件， 当2k >时，()F x在(11k k --单调递减， 则()F x在(1,1k -单调递减， 此时()(1)0F x F <=不满足条件， 故实数k 的取值范围为(],2-∞．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，1ln 21x x x ->⋅+在(1,)+∞恒成立 令211nx a =+ 则 22221122ln(1)2121212n n n n na a a a a +>⋅=>+++， ∴21121111ln(1)2()212121ni i n a a a a =+>++++++∑， 又[]21212111()(21)(21)(21)212121n n a a a n a a a +++++++++≥+++，∴21211122()2121212n n a a a n +++≥++++， ∴22112ln(1)2ni in a n =+>+∑．。