2009年考研数学大纲数三78279

2009考研数学考试大纲解析之无穷级数
2009数学大纲已经正式出炉，数学一、数学二除了个别措辞及标点的修正与变动以外;而倍受关注原数学三、数学四变动方面，教育部决定从2009起，将原来的数学三、数学四进行整合。

整合后称为“数学三”。

 原使用数学三或数学四的招生专业从2009开始使用新的“数学三”，那幺对于按原数学四来复习的考生，今的数学三微积分中新增加了无穷级数的相关内容，具体如下：
 考试内容
 常数项级数的收敛与发散的概念收敛级数的和的概念级数的基本性质与收敛的必要条件几何级数与级数及其收敛性正项级数收敛性的判别法任意项级数的绝对收敛与条件收敛交错级数与莱布尼茨定理幂级数及其收敛半径、收敛区间(指开区间)和收敛域幂级数的和函数幂级数在其收敛区间内的基本性质简单幂级数的和函数的求法初等函数的幂级数展开式
 考试要求。

2009年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）函数3()sin x x f x xπ-=的可去间断点的个数为(A)1. (B)2.(C)3.(D)无穷多个.（2）当0x →时，()sin f x x ax =-与2()ln(1)g x x bx =-是等价无穷小，则(A)1a =，16b =-. （B ）1a =，16b =. (C)1a =-，16b =-. （D ）1a =-，16b =.（3）使不等式1sin ln x tdt x t>⎰成立的x 的范围是(A)(0,1).(B)(1,)2π. (C)(,)2ππ.(D)(,)π+∞.（4）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为则函数()()0xF x f t dt =⎰的图形为(A)(B)(C)(D)（5）设,A B 均为2阶矩阵，*,A B *分别为,A B 的伴随矩阵，若||2,||3A B ==，则分块矩阵O A B O ⎛⎫ ⎪⎝⎭的伴随矩阵为(A)**32O B A O ⎛⎫ ⎪⎝⎭.(B)**23OB AO ⎛⎫⎪⎝⎭. (C)**32O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭.(D)**23OA BO ⎛⎫⎪⎝⎭. （6）设,A P 均为3阶矩阵，TP 为P 的转置矩阵，且100010002T P AP ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若1231223(,,),(,,)P Q ααααααα==+，则TQ AQ 为(A)210110002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.(B)110120002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.(C)200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.(D)100020002⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭.（7）设事件A 与事件B 互不相容，则 (A)()0P AB =.(B)()()()P AB P A P B =.(C)()1()P A P B =-.(D)()1P A B ⋃=.（8）设随机变量X 与Y 相互独立，且X 服从标准正态分布(0,1)N ，Y 的概率分布为1{0}{1}2P Y P Y ====，记()z F Z 为随机变量Z XY =的分布函数，则函数()Z F z 的间断点个数为(A) 0.(B)1. (C)2. (D)3.二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9）cos x x →= .（10）设()y xz x e =+，则(1,0)zx ∂=∂ .（11）幂级数21(1)n n nn e x n ∞=--∑的收敛半径为 . （12）设某产品的需求函数为()Q Q P =,其对应价格P 的弹性0.2p ξ=，则当需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加 元.（13）设(1,1,1)T α=,(1,0,)Tk β=，若矩阵T αβ相似于300000000⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则k = .(14) 设1X ，2X ,…,m X 为来自二项分布总体(,)B n p 的简单随机样本，X 和2S 分别为样本均值和样本方差，记统计量2T X S =-，则ET = .三、解答题：15～23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分9分）求二元函数()22(,)2ln f x y x y y y =++的极值. （16）（本题满分10 分）计算不定积分ln(1dx +⎰(0)x >. （17）（本题满分10 分） 计算二重积分()Dx y dxdy -⎰⎰，其中22{(,)(1)(1)2,}D x y x y y x =-+-≤≥.（18）（本题满分11 分）（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理，若函数()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 上可导，则(),a b ξ∈，得证()'()()()f b f a f b a ξ-=-.（Ⅱ）证明：若函数()f x 在0x =处连续，在()0,,(0)σσ>内可导，且'0lim ()x f x A +→=，则'(0)f +存在，且'(0)f A +=. （19）（本题满分10 分）设曲线()y f x =，其中()f x 是可导函数，且()0f x >.已知曲线()y f x =与直线0,1y x ==及(1)x t t =>所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的t π倍，求该曲线的方程.（20）（本题满分11 分） 设111A=111042--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭,1112ξ-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭.（Ⅰ）求满足21A ξξ=，231A ξξ=的所有向量2ξ，3ξ.（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任意向量2ξ,3ξ，证明1ξ,2ξ,3ξ线性无关. （21）（本题满分11 分） 设二次型2221231231323(,,)(1)22f x x x ax ax a x x x x x =++-+-.（Ⅰ）求二次型f 的矩阵的所有特征值.（Ⅱ）若二次型f 的规范形为2212y y +，求a 的值.（22）（本题满分11 分）设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为0(,)0xe y xf x y -⎧<<=⎨⎩其他（Ⅰ）求条件概率密度()Y X f y x ； （Ⅱ）求条件概率{}11P X Y ≤≤. （23）（本题满分11分）袋中有一个红球，两个黑球，三个白球，现在放回的从袋中取两次，每次取一个，求以X 、Y 、Z 分别表示两次取球所取得的红、黑与白球的个数.（Ⅰ）求{}10P X Z ==；（Ⅱ）求二维随机变量(,)X Y 的概率分布.2009年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及答案解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）函数3()sin x x f x xπ-=的可去间断点的个数为()A .1()B . 2 ()C .3()D .无穷多个【答案】C 【解析】()3sin x x f x xπ-=则当x 取任何整数时，()f x 均无意义故()f x 的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是30x x -=的解1,2,30,1x =±320032113211131lim lim sin cos 132lim lim sin cos 132lim lim sin cos x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ππππππππππππ→→→→→-→---==--==--== 故可去间断点为3个，即0,1±（2）当0x →时，()sin f x x ax =-与2()ln(1)g x x bx =-是等价无穷小，则()A .1a =，16b =-()B . 1a =，16b = ()C .1a =-，16b =- ()D .1a =-，16b =【答案】 A【解析】2()sin ,()(1)f x x ax g x x ln bx =-=-为等价无穷小，则222200000()sin sin 1cos sin lim lim lim lim lim ()ln(1)()36x x x x x f x x ax x ax a ax a ax g x x bx x bx bx bx→→→→→---==-⋅---洛洛230sin lim 166x a ax a b b axa→==-=-⋅ 36a b ∴=- 故排除,B C 。

2009年考研数学(三)试卷答案速查一、选择题（1）C （2）A （3）A （4）D （5）B （6）A （7）D （8）B 二、填空题 （9）3e 2 （10）2ln 21+ （11）1e（12）8000 （13）2 （14）2np 三、解答题（15）极小值11(0,)e ef =−． （16）1ln(12x C +++−+． （17）83−． （18）略． （19）230y x +−=． （20）（Ⅰ）21101021k −⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭ξ （1k 为任意常数）． 323101/2100010k k −−⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ξ，（23,k k 为任意常数）． （Ⅱ）略．（21）（Ⅰ）特征值为1232,,1a a a λλλ=−==+．（Ⅱ）2a =．（22）（Ⅰ）10,()0,Y X y x f y x x ⎧, <<⎪=⎨⎪⎩其他. （Ⅱ）{}e 211e 1P X Y −=−．（23）（Ⅰ）4{10}P X Z ===. （Ⅱ）(,)X Y 的概率分布为2009年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）参考答案一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分．下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． （1）【答案】C ．【解答】当x 取任何整数时，sin π0x =，()f x 均无意义，所以()f x 的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点．由30x x −=解得0,1,1x =−．因为3200131lim lim sin ππcos ππx x x x x x x →→−−==，3211132lim lim sin ππcos ππx x x x x x x →→−−==， 3211132lim lim sin ππcos ππx x x x x x x →−→−−−==，故可去间断点为3个，即0,1,1x =−．故选C ． （2）【答案】A ． 【解答】222000()sin sin 1cos limlim lim lim 1()ln(1)()3x x x x f x x ax x ax a axg x x bx x bx bx →→→→−−−====−⋅−−， 因为2lim(3)0x bx →−=，所以0lim(1cos )0x a ax →−=，从而 1.a =再有，2220001()1cos 12lim lim lim 1()336x x x x f x x g x bx bx b→→→−===−=−−，得16b =−．故选A ． （3）【答案】A ． 【解答】令1sin ()d ln xtf x t x t=−⎰(0)x >， 有sin 1()0x f x x−'=(0)x >，从而()f x 当0x >时单调减少． 由(1)0f =知，当(0,1)x ∈时，()(1)0f x f >=，即1sin d ln x tt x t>⎰．故选A ． （4）【答案】D ． 【解答】0()()d xF x f t t =⎰，0()F x 表示()y f x =与x 轴、y 轴及0x x =所围的图形的代数面积．由()y f x =的图形可知，①因为()y f x =只有有限个第一类间断点，所以()F x 连续．②当[]1,0x ∈−时，()0F x ． ③当[]0,1x ∈时()0F x ，且单调递减．④[]1,2x ∈时()F x 单调递增，且(1)0,(2)0F F <>．⑤[]2,3x ∈时，()F x 为常函数．故选D ．（5）【答案】B ．【解答】因为当A 可逆时，1*−=A A A ，所以112211*−−⨯−⎛⎫⎛⎫⎛⎫==− ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（）O A O A O A O B A B B O B O B O AO 1123−**−**⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭OA B B OA B O B A B A O B A O A O ， 故选B ．（6）【答案】A ．【解答】因为1223123100100(,,)(,,)110110001001⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q P ααααααα，所以 T TT T 100100100100110110110110001001001001110100100210010010110110.001002001002⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪== ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭Q AQ P AP P AP 故选A ． （7）【答案】D ．【解答】因为,A B 互不相容，所以AB =∅，()0P AB =，从而()()1()1P A B P AB P AB ==−=，故选D ．（8）【答案】B ．【解答】由全概率公式，{}{}{}(),0,1Z F z P XY z P XY z Y P XY z Y ===+={}{}0,0,1P z Y P X z Y ==+=，因为X 与Y 相互独立，所以{}{}{}{}{}11()0010()22Z F z P z P Y P X z P Y P z z ==+==+Φ， 当0z <时，1()()2Z F z z =Φ；当0z 时， 11()()22Z F z z =+Φ．所以0z =为间断点，故选B ．二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （9）【答案】3e 2．【解答】原式cos 10x x −→=02e(1cos )lim13x x x→−=2021e 2lim 13x x x →⋅=3e 2=． （10）【答案】2ln 21+．【解答】因为z 对x 求偏导时，把y 当常数，所以不妨在(e )y xz x =+中令0y =，得(,0)(1)x z x x =+，于是d (1)(1)ln(1)d 1x x z x x x x x x ⎡⎤'⎡⎤=+=+++⎣⎦⎢⎥+⎣⎦， 从而(1,0)1d d x z zx x=∂==∂2ln 21+．（11）【答案】1e． 【解答】11211222e (1)e (1)(1)lim lim e,e (1)(1)e (1)n n n n n n n nn n n n n n ρ++++→∞→∞−−−−+==⋅=−−+−−所以该幂级数的收敛半径为11eR ρ==． （12）【答案】8000． 【解答】因为d 0.2d p p Q Q p ε=−=，得d 0.2d p QQ p=−， 收益函数()R pQ p =，边际收益d d d (1)(10.2)0.8d d d R Q p QQ p Q Q Q p p Q p=+=+=−=． 当10000Q =时，d 8000d Rp=，即价格增加1元会使产品收益增加8000元． （13）【答案】2．【解答】因为T αβ相似于300000000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，所以Tαβ的特征值为3,0,0，从而T T 1()3k tr =+==βααβ，2k =．（14）【答案】2np ．【解答】222()(1)ET E X S E X ES EX DX np np p np =−=−=−=−−=．三、解答题：15～23小题,共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （15）（本题满分9分）解：由22()2(2)0()210x y f x,y x y f x,y x y ln y ⎧'=+=⎪⎨'=++=⎪⎩解得10,e x y ==.而2212(2),2,4xxyy xyf y f x f xy y''''''=+ =+ =， 则1112(0,)(0,)(0,)eee12(2),0,e e xxxyyy A f B f C f ''''''==+====，因为20B AC −<而0A >，所以(,)f x y 有极小值11(0,)eef =−．（16）（本题满分10分） 原式2221ln(1)11ln(1)d()d 1111t t t t t t t +=+=−−−−+⎰⎰ 22ln(1)111d 14(1)4(1)2(1)t t t t t t ⎛⎫+=−−− ⎪−−++⎝⎭⎰ 2ln(1)111ln 1412(1)t t C t t t ++=+−+−−+1ln(12x C =++−−+．（17）（本题满分10分）解：在极坐标系下积分区域可化为2(sin cos )r θθ+，则3π2(sin cos )4π04()d d d (cos sin )d Dx y x y r r r r θθθθθ+−=−⎰⎰⎰⎰3π34π48(cos sin )(sin cos )d 3θθθθθ=−+⎰3π34π48(sin cos )d(sin cos )3θθθθ=++⎰ 3π44π4818(sin cos ).343θθ=⋅+=−（18）（本题满分11分）证明：（Ⅰ）作辅助函数()()()()()()f b f a F x f x f a x a b a−=−−−−，有()()F a F b =，且()()()()f b f a F x f x b a−''=−−．由罗尔定理存在(,)a b ξ∈，使得()0F ξ'=，即()()()()f b f a F b a ξ'−=−，结论成立．（Ⅱ）由拉格朗日中值定理，得()000()0()(0)lim lim lim ()x x x f x f f xf f x xξξ++++→→→−'''===，0x ξ<<. 因为()0lim x f x A +→'=，所以0lim ()x f A ξ+→'=，故'(0)f +存在，且'(0)f A +=．（19）（本题满分10分） 解：曲边梯形的面积为1()d tS f x x =⎰，旋转体的体积为21π()d tV f x x =⎰，由题，V tS π=，即211()d ()d tt f x x t f x x =⎰⎰，两边对t 求导可得21()()d ()tf t f x x tf t =+⎰， ①再对t 求导可得2()()2()()f t f t f t tf t ''=+， 即(2())()2()f t t f t f t '−=，把t 当成函数，()y f t =当成自变量，上式变为d 11d 2t t y y+=，解一阶线性微分方程得通解23t y =+． 在①式中令 1t =，得(1)1f =，代入通解得13C =，23t y =+．所以该曲线方程为：230y x =．（20）(本题满分11分)解：（Ⅰ）因为111111100(|)1111021104220000−−−⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−−⎝⎭⎝⎭A ξ，解得21101021k −⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭ξ ，其中1k 为任意常数． 因为2220220440⎛⎫ ⎪=−− ⎪ ⎪⎝⎭A ，有2122012201(|)2201000044020000−−⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭A ξ，解得3231102100010k k ⎛⎫−⎪−⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭ξ，其中23,k k 为任意常数．（Ⅱ）由于1212131121102221k k k k k k −−−−=−≠−−+，故123,,ξξξ线性无关． （21）(本题满分11分)解：（Ⅰ）二次型f 的矩阵为0101111a a a ⎛⎫ ⎪=− ⎪⎪−−⎝⎭A ，由01||01()(2)(1)111aa a a a a λλλλλλλ−−−=−=−−+−−−−+E A ，解得A 的特征值为1232,,1a a a λλλ=−==+．（Ⅱ）若二次型f 的规范形为2212y y +时，可知二次型相似于矩阵100010000⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则该二次型必有一个特征值为0，其余均大于0，故20a −=，2a =．（22）(本题满分11分) 解：（Ⅰ）边缘概率密度0e d e 0,()(,)d 0,0.xx x X y x x f x f x y y x −−+∞−∞⎧=, >⎪==⎨⎪⎩⎰⎰当0x >时，条件概率密度10,(,)()()0,Y X X y x f x y f y x xf x ⎧, <<⎪==⎨⎪⎩其他. （Ⅱ）{}111101,1(,)d d d e d 12e xx P X Y f x y x y x y −−−∞−∞===−⎰⎰⎰⎰，{}11101(,)d d d e d 1e x yP Y f x y x y y x +∞+∞−−−∞−∞===−⎰⎰⎰⎰，{}{}{}1,1e 2111e 1P X Y P X Y P Y −==−． （23）(本题满分11分)解：（Ⅰ）{}10P X Z ==表示在没有取到白球的条件下取了一次红球的概率，12113324{10}9C P X Z C C ====．（Ⅱ）,X Y 的可能取值为0,1,2，{}{}{}{}{}{}{}{}{}11133311116666112311116666121166112211661210,0,1,0,4611212,0,0,1,363211,1,2,10,910,2,1,20,2,20.9C C C P X Y P X Y C C C C C C P X Y P X Y C C C C C P X Y P X Y C C C C P X Y P X Y P X Y C C =================================综上，(,)X Y 的概率分布为。

一、函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法函数的有界性．单调性．周期性和奇偶性复合函数．反函数．分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限和右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限：函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质考试要求1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系．2．了解函数的有界性．单调性．周期性和奇偶性．3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念．5．了解数列极限和函数极限（包括左极限与右极限）的概念．6．了解极限的性质与极限存在的两个准则，掌握极限的四则运算法则，掌握利用两个重要极限求极限的方法．7．理解无穷小的概念和基本性质．掌握无穷小量的比较方法．了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系．8．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．9．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性．最大值和最小值定理．介值定理)，并会应用这些性质．二、一元函数微分学考试内导数和微分的概念导数的几何意义和经济意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线与法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数．反函数和隐函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达（L'Hospital）法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性．拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值与最小值考试要求1．理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义与经济意义（含边际与弹性的概念），会求平面曲线的切线方程和法线方程．2．掌握基本初等函数的导数公式．导数的四则运算法则及复合函数的求导法则，会求分段函数的导数会求反函数与隐函数的导数．3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数．4．了解微分的概念，导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分．5．理解罗尔（Rolle）定理．拉格朗日( Lagrange)中值定理．了解泰勒定理．柯西（Cauchy)中值定理，掌握这四个定理的简单应用．6．会用洛必达法则求极限．7．掌握函数单调性的判别方法，了解函数极值的概念，掌握函数极值、最大值和最小值的求法及其应用．8．会用导数判断函数图形的凹凸性（注：在区间内，设函数具有二阶导数．当时，的图形是凹的；当时，的图形是凸的），会求函数图形的拐点和渐近线．9．会描述简单函数的图形．三、一元函数积分学考试内容原函数和不定积分的概念不定积分的基本性质基本积分公式定积分的概念和基本性质定积分中值定理积分上限的函数及其导数牛顿一莱布尼茨（Newton- Leibniz）公式不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法反常（广义）积分定积分的应用考试要求1．理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质和基本积分公式，掌握不定积分的换元积分法和分部积分法．2．了解定积分的概念和基本性质，了解定积分中值定理，理解积分上限的函数并会求它的导数，掌握牛顿一莱布尼茨公式以及定积分的换元积分法和分部积分法．3．会利用定积分计算平面图形的面积．旋转体的体积和函数的平均值，会利用定积分求解简单的经济应用问题．4．了解反常积分的概念，会计算反常积分．四、多元函数微积分学考试内容多元函数的概念二元函数的几何意义二元函数的极限与连续的概念有界闭区域上二元连续函数的性质多元函数偏导数的概念与计算多元复合函数的求导法与隐函数求导法二阶偏导数全微分多元函数的极值和条件极值．最大值和最小值二重积分的概念．基本性质和计算无界区域上简单的反常二重积分考试要求1．了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义．2．了解二元函数的极限与连续的概念，了解有界闭区域上二元连续函数的性质．3．了解多元函数偏导数与全微分的概念,会求多元复合函数一阶、二阶偏导数，会求全微分,会求多元隐函数的偏导数．4．了解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决简单的应用问题．5．了解二重积分的概念与基本性质，掌握二重积分的计算方法（直角坐标．极坐标）．了解无界区域上较简单的反常二重积分并会计算．五、无穷级数考试内容常数项级数收敛与发散的概念收敛级数的和的概念级数的基本性质与收敛的必要条件几何级数与级数及其收敛性正项级数收敛性的判别法任意项级数的绝对收敛与条件收敛交错级数与莱布尼茨定理幂级数及其收敛半径．收敛区间（指开区间）和收敛域幂级数的和函数幂级数在其收敛区间内的基本性质简单幂级数的和函数的求法初等函数的幂级数展开式考试要求1．了解级数的收敛与发散．收敛级数的和的概念．2．了解级数的基本性质和级数收敛的必要条件，掌握几何级数及级数的收敛与发散的条件，掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法．3．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系，了解交错级数的莱布尼茨判别法．4．会求幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域．5．了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项积分），会求简单幂级数在其收敛区间内的和函数6．了解．．．及的麦克劳林（Maclaurin）展开式．六、常微分方程考试内容常微分方程的基本概念变量可分离的微分方程齐次微分方程一阶线性微分方程线性微分方程解的性质及解的结构定理二阶常系数齐次线性微分方程及简单的非齐次线性微分方程差分与差分方程的概念差分方程的通解与特解一阶常系数线性差分方程微分方程的简单应用考试要求1．了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念．2．掌握变量可分离的微分方程．齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解方法．3．会解二阶常系数齐次线性微分方程．4．了解线性微分方程解的性质及解的结构定理，会解自由项为多项式．指数函数．正弦函数．余弦函数的二阶常系数非齐次线性微分方程．5．了解差分与差分方程及其通解与特解等概念．6．了解一阶常系数线性差分方程的求解方法．7．会用微分方程求解简单的经济应用问题．线性代数一、行列式考试内容行列式的概念和基本性质行列式按行（列）展开定理考试要求1.了解行列式的概念，掌握行列式的性质．2.会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式．二、矩阵考试内容矩阵的概念矩阵的线性运算矩阵的乘法方阵的幂方阵乘积的行列式矩阵的转置逆矩阵的概念和性质矩阵可逆的充分必要条件伴随矩阵矩阵的初等变换初等矩阵矩阵的秩矩阵的等价分块矩阵及其运算考试要求1．理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵的定义及性质，了解对称矩阵、反对称矩阵及正交矩阵等的定义和性质．2．掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质．3.理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵.4.了解矩阵的初等变换和初等矩阵及矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的逆矩阵和秩的方法．5.了解分块矩阵的概念，掌握分块矩阵的运算法则．三、向量考试内容向量的概念向量的线性组合与线性表示向量组的线性相关与线性无关向量组的极大线性无关组等价向量组向量组的秩向量组的秩与矩阵的秩之间的关系向量的内积线性无关向量组的正交规范化方法考试要求1．了解向量的概念，掌握向量的加法和数乘运算法则．2．理解向量的线性组合与线性表示、向量组线性相关、线性无关等概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法．3．理解向量组的极大线性无关组的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩．4．理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩之间的关系．5．了解内积的概念．掌握线性无关向量组正交规范化的施密特（Schmidt）方法．四、线性方程组考试内容线性方程组的克莱姆（Cramer）法则线性方程组有解和无解的判定齐次线性方程组的基础解系和通解非齐次线性方程组的解与相应的齐次线件方程组（导出组）的解之间的关系非齐次线性方程组的通解考试要求1.会用克莱姆法则解线性方程组．2.掌握非齐次线性方程组有解和无解的判定方法．3.理解齐次线性方程组的基础解系的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法．4.理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念．5.掌握用初等行变换求解线性方程组的方法．五、矩阵的特征值和特征向量考试内容矩阵的特征值和特征向量的概念、性质相似矩阵的概念及性质矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵实对称矩阵的特征值和特征向量及相似对角矩阵考试要求1.理解矩阵的特征值、特征向量的概念，掌握矩阵特征值的性质，掌握求矩阵特征值和特征向量的方法．2.理解矩阵相似的概念，掌握相似矩阵的性质，了解矩阵可相似对角化的充分必要条件，掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法．3.掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质．六、二次型考试内容二次型及其矩阵表示合同变换与合同矩阵二次型的秩惯性定理二次型的标准形和规范形用正交变换和配方法化二次型为标准形二次型及其矩阵的正定性考试要求1.了解二次型的概念，会用矩阵形式表示二次型，了解合同变换与合同矩阵的概念．2.了解二次型的秩的概念，了解二次型的标准形、规范形等概念，了解惯性定理，会用正交变换和配方法化二次型为标准形．3.理解正定二次型．正定矩阵的概念，并掌握其判别法．概率论与数理统计一、随机事件和概率考试内容随机事件与样本空间事件的关系与运算完备事件组概率的概念概率的基本性质古典型概率几何型概率条件概率概率的基本公式事件的独立性独立重复试验考试要求1．了解样本空间（基本事件空间）的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系及运算．2．理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和几何型概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式以及贝叶斯（Bayes）公式等．3．理解事件的独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法．二、随机变量及其分布考试内容随机变量随机变量的分布函数的概念及其性质离散型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率密度常见随机变量的分布随机变量函数的分布考试要求1．理解随机变量的概念，理解分布函数的概念及性质，会计算与随机变量相联系的事件的概率．2．理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0－1分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松（Poisson）分布及其应用．3．掌握泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布．4．理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布、正态分布、指数分布及其应用，其中参数为的指数分布的概率密度为5．会求随机变量函数的分布．三、多维随机变量的分布考试内容多维随机变量及其分布函数二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度随机变量的独立性和不相关性常见二维随机变量的分布两个及两个以上随机变量的函数的分布考试要求1．理解多维随机变量的分布函数的概念和基本性质．2．理解二维离散型随机变量的概率分布和二维连续型随机变量的概率密度、掌握二维随机变量的边缘分布和条件分布．3．理解随机变量的独立性和不相关性的概念，掌握随机变量相互独立的条件，理解随机变量的不相关性与独立性的关系．4.掌握二维均匀分布和二维正态分布，理解其中参数的概率意义．5．会根据两个随机变量的联合分布求其函数的分布，会根据多个相互独立随机变量的联合分布求其函数的分布．四、随机变量的数字特征考试内容随机变量的数学期望（均值）、方差、标准差及其性质随机变量函数的数学期望切比雪夫（Chebyshev）不等式矩、协方差、相关系数及其性质考试要求1．理解随机变量数字特征（数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数）的概念，会运用数字特征的基本性质，并掌握常用分布的数字特征．2．会求随机变量函数的数学期望．3．了解切比雪夫不等式．五、大数定律和中心极限定理考试内容切比雪夫大数定律伯努利（Bernoulli）大数定律辛钦（Khinchine）大数定律棣莫弗—拉普拉斯（De Moivre－Laplace）定理列维—林德伯格（Levy－Lindberg）定理考试要求1．了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律（独立同分布随机变量序列的大数定律）．2．了解棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理（二项分布以正态分布为极限分布）、列维—林德伯格中心极限定理（独立同分布随机变量序列的中心极限定理），并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率．六、数理统计的基本概念考试内容总体个体简单随机样本统计量经验分布函数样本均值样本方差和样本矩分布分布分布分位数正态总体的常用抽样分布考试要求1．了解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念，其中样本方差定义为2．了解产生变量、变量和变量的典型模式；了解标准正态分布、分布、分布和分布得上侧分位数，会查相应的数值表．3．掌握正态总体的样本均值．样本方差．样本矩的抽样分布．4.了解经验分布函数的概念和性质．七、参数估计考试内容点估计的概念估计量与估计值矩估计法最大似然估计法考试要求1．了解参数的点估计、估计量与估计值的概念．2．掌握矩估计法（一阶矩、二阶矩）和最大似然估计法。

考研数三2009真题答案考研数学是每年数万考生必须面对的一道难题。

其中，数学三是考研数学中最为困难的一门科目之一。

为了帮助考生更好地备考，本文将针对2009年的考研数学三真题进行解析和答案讲解。

首先，我们来看一下2009年考研数学三的试卷结构。

该试卷共分为两个部分，第一部分是选择题，共有10道题，每道题都有4个选项，考生需要选择其中的一个正确答案。

第二部分是主观题，共有5道题，考生需要详细解答每道题目。

在解答选择题时，考生需要注意以下几点。

首先，要仔细阅读题目，理解题意。

其次，要运用所学的数学知识，分析并解决问题。

最后，要注意选项的排除法，排除明显错误的选项，从而找到正确答案。

接下来，我们来看一下2009年考研数学三选择题的答案解析。

1. 题目：已知函数f(x)满足f'(x)=2x+1，且f(0)=1，则f(1)的值为多少？答案：根据题目中的已知条件，我们可以通过积分得到f(x)的表达式为f(x)=x^2+x+C，其中C为常数。

代入f(0)=1，可以得到C=1。

因此，f(x)=x^2+x+1。

代入x=1，可以得到f(1)=3。

2. 题目：设函数f(x)在区间[a,b]上连续，且满足f(a)=f(b)=0，证明：存在ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=ξf'(ξ)。

答案：根据题目中的已知条件，我们可以使用罗尔定理来证明。

由于f(x)在区间[a,b]上连续且在[a,b]的内部可导，根据罗尔定理，存在ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=0。

因此，f(ξ)=ξf'(ξ)。

3. 题目：设函数f(x)在区间[a,b]上连续，且在(a,b)内可导，证明：存在ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=(b-a)f(ξ)/(b-a+ξ-a)。

答案：根据题目中的已知条件，我们可以使用柯西中值定理来证明。

由于f(x)在区间[a,b]上连续且在(a,b)的内部可导，根据柯西中值定理，存在ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)=(0-0)/(b-a)=0。

据要求来看书名师解析2009数学考研大纲
主持人：2009考研大纲公布，我们很荣幸的有请到万学海文考研辅导名师程杞元教授．非常感谢程杞元老师在百忙之中抽出时间为09考研学子解析数学大纲．
 主持人：数学大纲已经正式出炉了，整体上都有什幺样的变化呢，今的新大纲有什幺新特色呢？
 程杞元：今最大的变化就是：教育部决定从今开始，将原来的数学三、数学四进行整合，整合后称为数学三．从整体上来看，新“数学三”较原数学四内容增加，难度有些加大．新“数学三”较原数学三内容减少，难度有些降低．
 主持人：整合后的“数学三”与原数学四的最大区别在那里？那些内容发生了变化？
 程杞元：新“数学三”比较原数学四的变化有：。

09考研数学大纲变化之常微分方程与差分方程
2009数学大纲已经正式出炉，数学一、数学二除了个别措辞及标点的修正与变动以外;而倍受关注原数学三、数学四变动方面，教育部决定从2009起，将原来的数学三、数学四进行整合。

整合后称为“数学三”。

 原使用数学三或数学四的招生专业从2009开始使用新的“数学三”，那幺对于考原数学三的同学，“常微分方程与差分方程”具体的变化有：
 “考试内容”里去掉了差分方程的简单应用，在考试要求中第4点中去掉了要求解由自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程.第6点中由“掌握”改为“了解”.第7点中去掉了“会用差分方程求解简单的经济应用问题
 那幺对于考原数学四的同学，“常微分方程”具体的变化有：
 “考试内容”方面增加了：线性微分方程解的性质及解的结构定理二阶常系数齐次线性微分方程及简单的非齐次线性微分方程差分与差分方程的概念差分方程的通解与特解一阶常系数线性差分方程微分方程的简单应用。

2009年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）函数的可去间断点的个数为(A)1. (B)2.(C)3.(D)无穷多个.【答案】C. 【解析】则当取任何整数时，均无意义故的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是的解故可去间断点为3个，即（2）当时，与是等价无穷小，则(A)，. （B ），. (C)，.（D ），. 【答案】A.【解析】为等价无穷小，则3()sin x x f x xπ-=()3sin x x f x xπ-=x ()f x ()f x 30x x -=1,2,30,1x =±320032113211131lim lim sin cos 132lim lim sin cos 132lim lim sin cos x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ππππππππππππ→→→→→-→---==--==--==0,1±0x →()sin f x x ax =-2()ln(1)g x x bx =-1a =16b =-1a =16b =1a =-16b =-1a =-16b =2()sin ,()(1)f x x ax g x x ln bx =-=-故排除(B)、(C). 另外存在，蕴含了故排除(D).所以本题选(A).（3）使不等式成立的的范围是 (A). (B). (C).(D).【答案】A.【解析】原问题可转化为求成立时的取值范围，由，时，知当时，.故应选(A).（4）设函数在区间上的图形为则函数的图形为222200000()sin sin 1cos sin lim lim lim lim lim ()ln(1)()36x x x x x f x x ax x ax a ax a ax g x x bx x bx bx bx→→→→→---==-⋅---洛洛230sin lim 166x a ax a b b axa→==-=-⋅36a b ∴=-201cos lim3x a axbx →--1cos 0a ax -→()0x → 1.a =1sin ln xtdt x t>⎰x (0,1)(1,)2π(,)2ππ(,)π+∞111sin sin 1()ln xx x tt f x dt x dt dt t t t =-=-⎰⎰⎰11sin 11sin 0x x t t dt dt t t--==>⎰⎰x 1sin 0tt ->()0,1t ∈()0,1x ∈()0f x >()y f x =[]1,3-()()0xF x f t dt =⎰(A)(B)(C)(D)【答案】D.【解析】此题为定积分的应用知识考核，由的图形可见，其图像与轴及轴、所围的图形的代数面积为所求函数，从而可得出几个方面的特征：①时，，且单调递减. ②时，单调递增. ③时，为常函数.④时，为线性函数，单调递增. ⑤由于F(x)为连续函数结合这些特点，可见正确选项为(D).（5）设均为2阶矩阵，分别为的伴随矩阵，若，则分块矩阵的伴随矩阵为 ()y f x =x y0x x =()F x []0,1x ∈()0F x ≤[]1,2x ∈()F x []2,3x ∈()F x []1,0x ∈-()0F x ≤,A B *,A B *,A B ||2,||3A B ==O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭(A). (B). (C).(D). 【答案】B.【解析】根据，若 分块矩阵的行列式，即分块矩阵可逆 故答案为(B).（6）设均为3阶矩阵，为的转置矩阵，且，若，则为(A).(B).(C).(D).【答案】A.**32O B A O ⎛⎫⎪⎝⎭**23O B AO ⎛⎫⎪⎝⎭**32O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭**23O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭CC C E *=111,C C C C C C*--*==OA BO ⎛⎫⎪⎝⎭221236O A A B B O⨯=-=⨯=（）1111661O B BO A O A O A O B B O B O B O AO A O A **---*⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭1236132O BOB AO A O ****⎛⎫ ⎪⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭,A P T P P 100010002TP AP ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭1231223(,,),(,,)P Q ααααααα==+T Q AQ 210110002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭110120002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭100020002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】，即：（7）设事件与事件B 互不相容，则(A). (B).(C).(D).【答案】D.【解析】因为互不相容，所以 (A)，因为不一定等于1，所以(A)不正确.(B)当不为0时，(B)不成立，故排除. (C)只有当互为对立事件的时候才成立，故排除. (D)，故(D)正确.（8）设随机变量与相互独立，且服从标准正态分布，的概率分布为，记为随机变量的分布函数，则函数的间断点个数为（ ） (A) 0.(B)1. (C)2.(D)3.【答案】 B.【解析】122312312312100(,,)(,,)110(,,)(1)001Q E αααααααααα⎡⎤⎢⎥=+==⎢⎥⎢⎥⎣⎦12121212122112(1)[(1)][(1)](1)[](1)100(1)010(1)002110100100210010010110110001002001002T T TT Q PE Q AQ PE A PE E P AP E E E ===⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦A ()0P AB =()()()P AB P A P B =()1()P A P B =-()1P A B ⋃=,A B ()0P AB =()()1()P AB P AB P AB ==-()P AB (),()P A P B ,A B ()()1()1P AB P AB P AB ==-=X Y X (0,1)N Y 1{0}{1}2P Y P Y ====()z F Z Z XY =()z F Z ()()(0)(0)(1)(1)Z F z P XY z P XY z Y P Y P XY z Y P Y =≤=≤==+≤==独立（1）若，则 （2）当，则 为间断点，故选(B).二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9） .【答案】.【解析】. （10）设，则 . 【答案】. 【解析】由，故代入得，.（11）幂级数的收敛半径为 . 1[(0)(1)]21[(00)(1)]2P XY z Y P XY z Y P X z Y P X z Y =≤=+≤==⋅≤=+≤=,X Y 1()[(0)()]2Z F z P x z P x z ∴=⋅≤+≤0z <1()()2Z F z z =Φ0z ≥1()(1())2Z F z z =+Φ0z ∴=cos 0x x →=32e cos cos 10xx x x -→→=02(1cos )lim13x e x x→-=20212lim 13x e x x →⋅=32e =()y x z x e =+(1,0)zx ∂=∂2ln 21+()xy z x e=+()(),01xz x x =+()''ln(1)ln(1)1ln(1)1x x x x x dz x x e e x dx x ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+==++⎣⎦⎢⎥⎣⎦+⎣⎦1x =()ln 21,01ln 22ln 212ze x∂⎛⎫=+=+ ⎪∂⎝⎭21(1)n n nn e x n ∞=--∑【答案】. 【解析】由题意知，所以，该幂级数的收敛半径为（12）设某产品的需求函数为,其对应价格的弹性，则当需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加 元. 【答案】8000.【解析】所求即为 因为，所以 所以 将代入有.（13）设,，若矩阵相似于，则 .【答案】2.【解析】相似于，根据相似矩阵有相同的特征值，得到的特征值为3，0，0.而为矩阵的对角元素之和，，.1e()210nn n e a n --=>()()()()111122122111()11111n n n n n nnn nn e e ea n n e n a n e n e e +++++⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭--⎢⎥⎣⎦=⋅=⋅→→∞⎡⎤+--+⎛⎫--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦1e()Q Q P =P 0.2p ξ=()QP Q P Q ''=+0.2p Q PQξ'==-0.2Q P Q '=-()0.20.8QP Q Q Q '=-+=10000Q =()8000QP '=(1,1,1)T α=(1,0,)T k β=T αβ300000000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭k =T αβ300000000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦T αβT αβT αβ1300k ∴+=++2k ∴=(14)设，,…,为来自二项分布总体的简单随机样本，和分别为样本均值和样本方差，记统计量，则 .【答案】【解析】由.三、解答题：15～23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分9分）求二元函数的极值.【解析】，，故. . 则，，.而 二元函数存在极小值.（16）（本题满分10 分） 计算不定积分 .得而1X 2X n X (,)B n p X 2S 2T X S =-ET =2np 222()(1)ET E X S EX ES np np p np =-=-=--=()22(,)2ln f x y x y y y =++2(,)2(2)0x f x y x y '=+=2(,)2ln 10y f x y x y y '=++=10,x y e= =2212(2),2,4xxyy xyf y f x f xy y''''''=+ =+ =12(0,)12(2)xx ef e''=+1(0,)0xyef ''=1(0,)yyef e ''=0xxf ''>2()0xy xx yy f f f ''''''-<∴11(0,)f e e=-ln(1dx +⎰(0)x >t =22212,1(1)tdtx dx t t -= =--2221ln(1ln(1)1ln(1)11111dx t d t t dt t t t =+-+=---+⎰⎰⎰所以（17）（本题满分10 分）计算二重积分，其中.【解析】由得，.22111112()11411(1)111ln(1)ln(1)2441dt dtt t t t t t t C t =---+-++--++++⎰⎰2ln(1)111ln(1ln 1412(1)1ln(1.2t t dx C t t t x C ++=+-+--+=++⎰()Dx y dxdy -⎰⎰22{(,)(1)(1)2,}D x y x y y x =-+-≤≥22(1)(1)2x y -+-≤2(sin cos )r θθ≤+32(sin cos )4()(cos sin )04Dx y dxdy d r r rdr πθθθθθπ+∴-=-⎰⎰⎰⎰332(sin cos )14(cos sin )034r d πθθθθθπ⎡+⎤=-⋅⎢⎥⎣⎦⎰2384(cos sin )(sin cos )(sin cos )34d πθθθθθθθπ=-⋅+⋅+⎰3384(cos sin )(sin cos )34d πθθθθθπ=-⋅+⎰3344438814(sin cos )(sin cos )(sin cos )3344d πππθθθθθθπ=++=⨯+⎰83=-（18）（本题满分11 分）（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理，若函数在上连续，在上可导，则，得证.（Ⅱ）证明：若函数在处连续，在内可导，且，则存在，且. 【解析】（Ⅰ）作辅助函数，易验证满足：；在闭区间上连续，在开区间内可导，且. 根据罗尔定理，可得在内至少有一点，使，即（Ⅱ）任取，则函数满足：在闭区间上连续，开区间内可导，从而有拉格朗日中值定理可得：存在，使得……又由于，对上式（*式）两边取时的极限可得： 故存在，且.（19）（本题满分10 分）设曲线，其中是可导函数，且.已知曲线与直线及所围成的曲边梯形绕轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的倍，求该曲线的方程.【解析】旋转体的体积为()f x [],a b (),a b (),a b ξ∈()'()()()f b f a f b a ξ-=-()f x 0x =()0,,(0)σσ>'0lim ()x f x A +→='(0)f +'(0)f A +=()()()()()()f b f a x f x f a x a b aϕ-=----()x ϕ()()a b ϕϕ=()x ϕ[],a b (),a b ''()()()()f b f a x f x b aϕ-=--(),a b ξ'()0ϕξ='()f ξ'()()0,()()()()f b f a f b f a f b a b aξ--=∴-=--0(0,)x δ∈()f x []00,x ()00,x ()()000,0,x x ξδ∈⊂()0'00()(0)x f x f f x ξ-=-()*()'0lim x f x A +→=00x +→()()000000'''0000()00lim lim ()lim ()0x x x x x f x f f f f A x ξξξ++++→→→-====-'(0)f +'(0)f A +=()y f x =()f x ()0f x >()y f x =0,1y x ==(1)x t t =>x t π22()()11x x t tV f dx f dx ππ==⎰⎰曲边梯形的面积为：，则由题可知两边对t 求导可得继续求导可得，化简可得，解之得在式中令，则，代入得.所以该曲线方程为：.（20）（本题满分11 分）设,. （Ⅰ）求满足，的所有向量，. （Ⅱ）对（Ⅰ）中的任意向量,，证明,,线性无关. 【解析】（Ⅰ）解方程故有一个自由变量，令，由解得， 求特解，令，得()1x ts f dx =⎰22()()()()1111x x x x t t t tV ts f dx t f dx f dx t f dx πππ=⇒=⇒=⎰⎰⎰⎰22()()()()()()11t x t t t x t tf f dx tf f tf f dx =+⇒-=⎰⎰''2()()()()()f t f t f t tf t f t --='1(2())()2()12dt f t t f t f t t dy y-=⇒+=1223t c y y -=⋅+1t =2(1)(1)0,()0,(1)1f f f t f -=>∴=1223t cyy -=+11,2)33c t y =∴=230y x =111A=111042--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭1112ξ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭21A ξξ=231A ξξ=2ξ3ξ2ξ3ξ1ξ2ξ3ξ21A ξξ=()1111111111111,111100000211042202110000A ξ---------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2r A =32x =0Ax =211,1x x =-=120x x ==31x =故 ，其中为任意常数解方程故有两个自由变量，令，由得 令，由得求得特解故 ，其中为任意常数（Ⅱ）证明：由于故 线性无关.（21）（本题满分11 分）21101021k ξ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1k 231A ξξ=2220220440A ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭()21111022012,2201000044020000A ξ-⎛⎫ ⎪-⎛⎫⎪ ⎪=--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭231,0x x =-=20A x =11x =230,1x x ==-20A x =10x =21200η⎛⎫- ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭3231102100010k k ξ⎛⎫-⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭23,k k 12121212122111121112(21)()2()(21)22221k k k k k k k k k k k k k -+--=+++-+-+-+102=≠123,,ξξξ设二次型. （Ⅰ）求二次型的矩阵的所有特征值.（Ⅱ）若二次型的规范形为，求的值.【解析】（Ⅰ）.（Ⅱ） 若规范形为，说明有两个特征值为正，一个为0.则1) 若，则 ， ，不符题意 2) 若 ，即，则，，符合3) 若 ，即，则 ，，不符题意 综上所述，故（22）（本题满分11 分）设二维随机变量的概率密度为（Ⅰ）求条件概率密度 （Ⅱ）求条件概率 【解析】2221231231323(,,)(1)22f x x x ax ax a x x x x x =++-+-f f 2211y y +a 0101111a A aa ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭110||01()1111111aa aE A aa a a λλλλλλλλ-----=-=---+---+222()[()(1)1][0()]()[()(1)2]()[22]19(){[(12)]}24()(2)(1)a a a a a a a a a a a a a a a a a λλλλλλλλλλλλλλλλ=---+--+-=---+-=--++--=-+--=--+--123,2,1a a a λλλ∴==-=+2212y y +10a λ==220λ=-<31λ=20λ=2a =120λ=>330λ=>30λ=1a =-110λ=-<230λ=-<2a =(,)X Y 0(,)0x e y x f x y -⎧<<=⎨⎩其他()Y X f y x 11P X Y =⎡≤≤⎤⎣⎦（Ⅰ）由得其边缘密度函数故 即（Ⅱ）而.（23）（本题满分11分）袋中有一个红球，两个黑球，三个白球，现在放回的从袋中取两次，每次取一个，求以、、分别表示两次取球所取得的红、黑与白球的个数. ①求.②求二维随机变量的概率分布.【解析】（Ⅰ）在没有取白球的情况下取了一次红球，利用压缩样本空间则相当于只有1个红球，2个黑球放回摸两次，其中摸了一个红球.（Ⅱ）X ，Y 取值范围为0，1，2，故0(,)0x y xe f x y -<<⎧= ⎨⎩其它0()0xx xx f x e dy xe x --== >⎰|(,)1(|)0()y x x f x y f y x y x f x x== <<|1(|)0y x y xf y x x ⎧ 0<<⎪=⎨⎪ ⎩其它[1,1][1|1][1]P X Y P X Y P Y ≤≤≤≤=≤111011[1,1](,)12xx x x y P X Y f x y dxdy dx e dy xe dx e ---≤≤≤≤====-⎰⎰⎰⎰⎰()|,0x x y Y yf y e dx e e y y+∞---+∞==-= >⎰11101[1]|110y y P Y e dy e e e ----∴ ≤==-=-+=-⎰11122[1|1]11e e P X Y e e ----∴ ≤≤==--X Y Z 10P X Z ⎡==⎤⎣⎦(,)X Y 12113324(10)9C P X Z C C ⨯∴====⋅()()()()()()()()()1111332311116666111223111166661122116611221166110,0,1,0461112,0,0,136311,1,2,10910,291,20,2,20C C C C P X Y P X Y C C C C C C C P X Y P X Y C C C C C C P X Y P X Y C C C C P X Y C C P X Y P X Y ⋅⋅========⋅⋅⋅⋅========⋅⋅⋅=======⋅⋅====⋅======。

全国硕士研究生入学统一考试数学三试题答案速查：一、选择题二、填空题三、解答题（15）极小值11(0,)fe e=-（16）1ln(12x C++（17）83-（18）略（19）230y x+-=（20）（Ⅰ）21101021kξ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-+⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中1k为任意常数；321121000kξ⎛⎫⎪⎛⎫⎪⎪=-+ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，其中2k为任意常数（Ⅱ）略（21）（Ⅰ）123,2,1a a aλλλ==-=+；（Ⅱ）2a=（22）（Ⅰ）|1(|)0y x y xf y x x ⎧ 0<<⎪=⎨⎪ ⎩其它；（II ）2[1|1]1e P X Y e - ≤≤=-（23）（Ⅰ）4(10)9P X Z ===； （Ⅱ）二维随机变量(),X Y 概率分布为一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）函数()3sin x x f x xπ-=的可去间断点的个数为（ ）（A ）1. （B ）2. （C ）3.（D ）无穷多个.【答案】（C ） 【考点】可去间断点 【难易度】★★ 【详解】解析：由于()3sin x x f x xπ-=,则当x 取任何整数时,()f x 均无意义.故()f x 的间断点有无穷多个,但可去间断点为极限存在的点,故应是30x x -=的解1,2,30,1x =±.320001lim lim lim(1)sin sin x x x x x x x x x πππ→→→-=-=，3211132lim lim sin cos x x x x x x x ππππ→→--==， 3211132lim lim sin cos x x x x x x x ππππ→-→---==， 故函数()3sin x x f x xπ-=有三个可去间断点，应选C.（2）当0x →时，()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-等价无穷小，则（ ）（A ）11,6a b ==-. （B ）11,6a b ==. （C ）11,6a b =-=- （D ）11,6a b =-=【答案】（A ）【考点】等价无穷小、洛必达法则 【难易度】★★ 【详解】解析：0x →Q 时，2()sin ,()ln(1)f x x ax g x x bx =-=-为等价无穷小20sin lim1ln(1)x x ax x bx →-∴=-即20sin lim 1()x x axx bx →-∴=-（0x →时，ln(1)bx bx --:） 2001cos lim1lim(1cos )013x x a axa ax a bx →→-∴=⇒-=⇒=-于是220001cos 1cos sin 11lim lim lim 133666x x x a ax x x b bx bx bx b →→→--===-=⇒=---- 所以本题选A. （3）使不等式1sin ln xtdt x t>⎰成立的x 的范围是（ ） （A ）(0,1)（B ）(1,)2π（C ）(,)2ππ （D ）(,)π+∞【答案】（A ）【考点】函数单调性的判别，积分上限的函数及其导数 【难易度】★★ 【详解】 解析：令1sin ()ln xtF x dt x t =-⎰，可知()F x 在(0,)+∞可导，sin 11sin ()x xF x x x x-'=-=-当22x k ππ=+(0,1,2,)k =L 时，()0F x '=；当0x >且22x k ππ≠+时，()0F x '<.故()F x 在(0,)+∞严格单调减少.当(0,1)x ∈时，()(1)0F x F >=；当(1,)x ∈+∞时，()(1)0F x F <=. 故应选A.（4）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为：则函数()()0x F x f t dt =⎰的图形为（ ）（A ）（B ）（C ）（D ）【答案】（D ）【考点】积分上限的函数及其导数 【难易度】★★ 【详解】解析：本题主要考查积分上限的函数的性质，函数与原函数的关系、以及图像间的关系. 由于00(0)()0F f t dt ==⎰，故排除C ；当2x ≥时，22()()0(2)xF x f t dt dt F =+=⎰⎰，即()F x 在2x =处连续，故排除B ；当[1,0)x ∈-时，()1f t =，0()()0xF x f t dt =<⎰，故排除A.应选D.（5）设,A B 均为2阶矩阵，**,A B 分别为,A B 的伴随矩阵，若2A =，3B =，则分块矩阵O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭的伴随矩阵为（ ）（A ）**32O B A O ⎛⎫ ⎪⎝⎭.（B ）**23OB A O ⎛⎫⎪⎝⎭. （C ）**32O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭.（D ）**23O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭. 【答案】（B ）【考点】分块矩阵的计算，伴随矩阵 【难易度】★★★ 【详解】 解析：22(1)60O AA B B O⨯=-=≠⇒矩阵O A B O ⎡⎤⎢⎥⎣⎦可逆 **11*1**126613O BB O A O A O A O B OB B O B O B O AO A O A O A---⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⇒====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦. 故选（B ）.（6）设A ，P 均为3阶矩阵，TP 为P 的转置矩阵，且100010002T P AP ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，若123(,,)P ααα=，1223(,,)Q αααα=+，则T Q AQ 为（ ）（A ）210110002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（B ）110120002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭（C ）200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（D ）100020002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】（A ）【考点】矩阵的线性运算、初等矩阵 【难易度】★★ 【详解】解析：1223123100(,,)(,,)110001Q ααααααα⎡⎤⎢⎥=+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，即100110001Q P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，于是100100110100110110010()110001*********TT T Q AQ P A P P AP ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 110100100210010010110110001002001002⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦故应选A.（7）设事件A 与事件B 互不相容，则（ ） （A ）()0P AB =（B ）()()()P AB P A P B = （C ）()1()P A P B =-（D ）()1P A B ⋃=【答案】（D ）【考点】事件的关系与运算 【难易度】★★ 【详解】解析：因为,A B 互不相容，所以()0P AB =.（A ）()()1()P AB P A B P A B ==-U U ，因为()P A B U 不一定等于1，故（A ）不正确； （B ）当(),()P A P B 不为0时，（B ）不成立； （C ）只有当,A B 互为对立事件的时候才成立；（D ）()()1()1P A B P AB P AB ==-=U ，故应选（D ）.（8）设随机变量X 与Y 相互独立，且X 服从标准正态分布()0,1N ，Y 的概率分布为{}{}1012P Y P Y ====，记()Z F z 为随机变量Z XY =的分布函数，则函数()Z F z 的间断点个数为（ ） （A ）0. （B ）1. （C ）2. （D ）3. 【答案】（B ）【考点】两个及两个以上随机变量简单函数的分布 【难易度】★★★ 【详解】解析：{}{}()()(),0,1Z F z P Z z P XY z P XY z Y P XY z Y =≤=≤=≤=+≤=(0)(0)(1)(1)P XY z Y P Y P XY z Y P Y =≤==+≤== X Y Q 、相互独立，且{}{}1012P Y P Y ====，∴0z <时，11111()(0)(1)()()()22222Z F z P X z P X z Y P P X z z =⋅≤+≤==∅+≤=Φ0z ≥时，111111()(0)(1)()()()222222Z F z P X z P X z Y P P X z z =⋅≤+≤==Ω+≤=+Φ因此函数()Z F z 仅在0z =处间断，故选B.二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9）cos 0x x →= .【答案】32e 【考点】等价无穷小 【难易度】★★ 【详解】解析：当0x →时，cos 1211(cos 1)2x ex x ----::，12231(1)13x x +-:.2cos cos 11002231(1)32lim lim 12(1)13x x x x x e xe e I e x x -→→→⋅-====+-. （10）设()y xz x e =+，则(1,0)zx ∂=∂【答案】2ln21+【考点】多元复合函数一阶偏导数的求法 【难易度】★★ 【详解】解析：由题设知(,0)(1)xz x x =+.ln(1)ln(1)(,0)[(1)][][ln(1)]x x x x x z z x x e e x x x x++∂∂'''==+==⋅+∂∂ ln(1)[ln(1)](1)[ln(1)]11x x x x xe x x x x x +=++=+++++代入1x =，得(1,0)zx ∂=∂ln 21(ln 2)2ln 212e +=+.（11）幂级数21(1)n n nn e x n ∞=--∑的收敛半径为【答案】1e【考点】幂级数收敛半径的求法 【难易度】★★ 【详解】解析：记2(1)(1,2,3,)n nn e a n n--==L . 11122111()(1)limlim ()lim()11(1)11()n n n n n nn n n nn a n e n e e e a n e n eρ++++→∞→∞→∞----====+--+-- 所以收敛半径11R e ρ==. （12）设某产品的需求函数为()Q Q p =，其对价格p 的弹性0.2p ε=，则当需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加 元 【答案】8000【考点】导数的经济意义 【难易度】★★ 【详解】解析：由于需求函数()Q Q p =是减函数，因而需求价格弹性p dQQ dp为负值.由题设0.2p ε=表明p p dQQ dpε=-.将收益函数R pQ =对p 求导，得 (1)(1)p dR dQ p dQ Q p Q Q dp dp Q dpε=+=+=- 由此可得(1)p R Q p ε∆=-∆.把1p ∆=（元/件），10000Q =（件），0.2p ε=代入即得当需求量为10000件时每件产品价格增加1元会使产品收益增加10000(10.2)18000R ∆=⨯-⨯=（元）.（13）设(1,1,1)T α=，(1,0,)T k β=，若矩阵Tαβ相似于300000000⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则k =【答案】2【考点】相似矩阵的性质 【难易度】★★ 【详解】解析：1101(10)10110Tk k k k αβ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦由300Tαβ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦:知它们有相同的迹，即10300k ++=++，2k =. (14)设12,,,m X X X L 是来自二项分布总体(,)B n p 的简单随机样本，X 和2S 分别为样本均值和样本方差，记统计量2T X S =-，则ET = 【答案】2np【考点】二项分布、简单随机样本、样本均值、样本方差【难易度】★★★ 【详解】解析：设总体为X ，则EX np =，(1)DX np p =-.根据简单随机样本的性质，12,,,m X X X L 相互独立且与总体X 同分布，即i EX np μ=@，2(1)i DX np p σ=-@， 2222()i i i EX DX EX σμ=+=+.又1111()m m i i i i E X E X EX np m m μ======∑∑，21DX DX m mσ==，2222()E X DX E X mσμ=+=+，22221111[()]()11m mi ii i ES E X X E X mX m m ===-=---∑∑ 22222211()()1111m i i m m m EX E X m m m m mσσμμ==-=+-+----∑ 2(1)np p σ==-，故22(1)ET E X ES np np p np =-=--=.三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分9分） 求二元函数()22(,)2ln f x y xy y y =++的极值.【考点】多元函数的极值 【难易度】★★ 【详解】解析：先求驻点.解方程组222(2)0,2ln 10,f x y xf x y y y∂⎧=+=⎪∂⎪⎨∂⎪=++=∂⎪⎩得(,)f x y 的唯一驻点1(0,)e由于1(0,)22221(0,)12(2)2(2)eefA y x e∂==+=+∂， 21(0,)1(0,)40eef B xy x y ∂===∂∂，22211(0,)(0,)1(2)eef C x e y y ∂==+=∂，2212(2)0B AC e e⇒-=-+<且0A > 故(,)f x y 在1(0,)e取极小值，极小值为11(0,)f ee=-. （16）（本题满分10 分）计算不定积分ln(1dx +⎰(0)x > 【考点】不定积分的换元法、不定积分的分部积分法 【难易度】★★ 【详解】解析：令t =22212,1(1)tdtx dx t t -= =--原式2222221ln(1)ln(1)(1)(1)(1)t t dt t d t t t --=+=+---⎰⎰ 2221ln(1)11ln(1)()1111t t d dt t t t t +=+=-⋅---+⎰⎰ 22ln(1)1(1)(1)12(1)(1)t t t dt t t t +--+=+--+⎰ 22ln(1)111112(1)2(1)(1)t dt dt t t t t +=+--+-+⎰⎰22ln(1)11111()12(1)411t dt dt t t t t +=+---+-+⎰⎰2ln(1)1111ln 12141t t C t t t +-=--+-++1ln(14x C =+1ln(12x C =+-+，C 为任意常数.（17）（本题满分10 分） 计算二重积分()Dx y dxdy -⎰⎰，其中()()(){}22,112,D x y x y y x =-+-≤≥【考点】利用极坐标计算二重积分 【难易度】★★★ 【详解】解析：作极坐标变换cos x r θ=，sin y r θ=，则D 的极坐标表示是02(cos sin )r θθ≤≤+，344πθπ≤≤ 于是32(cos sin )44()(cos sin )DI x y d d r rdr πθθπσθθθ+=-=-⎰⎰⎰⎰32(cos sin )34041(cos sin )3r d πθθπθθθ+=-⋅⎰33448(cos sin )(cos sin )3d ππθθθθθ=-+⎰33448(cos sin )(cos sin )3d ππθθθθ=++⎰344481818(cos sin )(4)34343ππθθ=⋅+=⋅⋅-=-（18）（本题满分11 分）（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数()f x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内可导，则存(),a b ξ∈，使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-.（Ⅱ）证明：若函数()f x 在0x =处连续，在()()0,0δδ>内可导，且()0lim x f x A +→'=， 则()0f +'存在，且()0f A +'=.【考点】罗尔定理、拉格朗日中值定理 【难易度】★★★ 【详解】解析：（Ⅰ）取()()()()()f b f a F x f x x a b a-=---，由题意()F x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()()()()()()f b f a F a f a a a f a b a -=--=-，()()()()()()f b f a F b f b b a f a b a-=--=-.根据罗尔定理，存在(,)a b ξ∈，使得()()()()0f b f a F f b aξξ-''=-=-，即()()()()f b f a f b a ξ'-=-（Ⅱ）按右导数定义，只需考察0()(0)lim x f x f x+→-.(0,)x δ∀∈，在[0,]x 上由拉格朗日中值定理得，(0,)x ξ∃∈，()(0)()f x f f xξ-'=当0x →+时0ξ→+，于是000()(0)(0)lim lim ()lim ()x x x f x f f f f x A xξ++++→→→-'''====. （19）（本题满分10 分）设曲线()y f x =，其中()f x 是可导函数，且()0f x >.已知曲线()y f x =与直线0,1y x ==及(1)x t t =>所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周所得的立体体积值是绕曲边梯形面积值的t π倍，求该曲线的方程。