2020高中数学专项复习《等差数列和等比数列公式》

2020年高考数学（理）总复习：等差数列与等比数列题型一等差、等比数列的基本运算【题型要点】方程思想在等差(比)数列的基本运算中的运用等差(比)数列的通项公式、求和公式中一共包含a1、d(或q)、n、an与Sn这五个量，如果已知其中的三个，就可以求其余的两个．其中a1和d(或q)是两个基本量，所以等差数列与等比数列的基本运算问题一般先设出这两个基本量，然后根据通项公式，求和公式构建这两者的方程组，通过解方程组求其值，这也是方程思想在数列问题中的体现．【例1】等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2a5＝2a3，且a4与2a7的等差中项为54，则S5等于()A．29B．31C．33 D．36【例2】．an是公差不为0的等差数列，满足a24＋a25＝a26＋a27，则该数列的前10项和S10等于()A．－10B．－5C．0D．5【例3】．已知递增数列{an}对任意n∈N*均满足an∈N*，aan＝3n，记bn＝a2•3n－1(n ∈N*)，则数列{bn}的前n项和等于()A．2n＋n B．2n＋1－1C.3n＋1－3n2D.3n＋1－32题组训练一等差、等比数列的基本运算1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＋a5＝4，S15＝60则a20等于()A．4B．6C．10D．122．在等差数列{an}中，2(a1＋a3＋a5)＋3(a8＋a10)＝36，则a6等于()A．8 B．6 C．4 D．33．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＋a3＝30，S4＝120，设bn＝1＋log3an，那么数列{bn}的前15项和为()A．152 B．135 C．80 D．16题型二等差、等比数列的性质及应用【题型要点】(1)解决此类问题的关键是抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解．(2)等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形．【例4】已知数列{an}，{bn}满足bn＝log2an，n∈N*，其中{bn}是等差数列，且a8•a2 008＝14，则b1＋b2＋b3＋…＋b2 015等于()A．log22 015 B．2 015 C．－2 015 D．1 0082．各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝10，S12＝130，则S8等于()A．－30 B．40C．40或－30 D．40或－503．等比数列{an}的首项为32，公比为－12，前n项和为Sn，则当n∈N*时，Sn－1Sn 的最大值与最小值之和为()A．－23 B．－712C.14D.56题组训练二等差、等比数列的性质及应用1．在等比数列{an}中，a3，a15是方程x2－7x＋12＝0的两根，则a1a17a9的值为()A．23 B．4 C．±22 D．±42．设公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，－217<d<－19，则当Sn 取最大值时n的值为________．3．若{an}是等差数列，首项a1＞0，a2 016＋a2 017＞0，a2 016•a2 017＜0，则使前n 项和Sn＞0成立的最大正整数n是()A．2 016B．2 017 C．4 032 D．4 033题型三等差、等比数列的综合问题【题型要点】关于等差、等比数列的综合问题多属于两者运算的综合题以及相互之间的转化，关键是求出两个数列的基本量：首项和公差(或公比)，灵活运用性质转化条件，简化运算，准确记忆相关的公式是解决此类问题的关键．【例3】已知等差数列{an}的公差为－1，且a2＋a7＋a12＝－6.(1)求数列{an}的通项公式an与前n项和Sn；(2)将数列{an}的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{bn}的前3项，记{bn}的前n项和为Tn，若存在m∈N*，使对任意n∈N*，总有Sn<Tm＋λ恒成立，求实数λ的取值范围．题组训练三等差、等比数列的综合问题已知数列{an}中，a1＝1，an•an＋1＝，记T2n为{an}的前2n项的和，bn＝a2n＋a2n －1，n∈N*.(1)判断数列{bn}是否为等比数列，并求出bn；(2)求T2n.题型四数列与其他知识的交汇【题型要点】数列在中学教材中既有相对独立性，又有较强的综合性，很多数列问题一般转化，特殊数列求解，一些题目常与函数、向量、三角函数、解析几何等知识交汇结合，考查数列的基本运算与应用．【例4】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若OB→＝a1OA→＋a2 016OC→，且A，B，C三点共线(该直线不过点O)，则S2 016等于()A．1 007B．1 008C．2 015D．2 016题组训练四数列与其他知识的交汇1．在由正数组成的等比数列{an}中，若a3a4a5＝3π，则sin(log3a1＋log3a2＋…＋log3a7)的值为()A.12B.32C．1 D．－322．已知各项都为正数的等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，存在两项am，an使得am•an ＝4a1，则1m＋4n的最小值为()A.32B.53C.256D.433．艾萨克•牛顿(1643年1月4日－1727年3月31日)英国皇家学会会长，英国著名物理学家，同时在数学上也有许多杰出贡献，牛顿用“作切线”的方法求函数f(x)的零点时给出一个数列xn满足xn＋1＝xn－′，我们把该数列称为牛顿数列．如果函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)有两个零点1,2，数列xn为牛顿数列，设an＝ln xn－2xn－1，已知a1＝2，xn>2，则an的通项公式an＝________.【专题训练】一、选择题1．等比数列{an}中，a4＝2，a7＝5，则数列{lg an}的前10项和等于()A．2B．lg 50C．10D．52．在正项等比数列{an}中，已知a3a5＝64，则a1＋a7的最小值为()A．64 B．32C．16 D．83．一个等比数列的前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列的项数是()A．13 B．12C．11 D．104．在数列{an}中，若a1＝2，且对任意正整数m，k，总有am＋k＝am＋ak，则{an}的前n项和Sn等于()A．n(3n－1) ＋C．n(n＋1) ＋5．记Sn为正项等比数列{an}的前n项和，若S12－S6S6－7•S6－S3S3－8＝0，且正整数m，n满足a1ama2n＝2a35，则1m＋8n的最小值是()A.157B.95C.53D.756．数列an是以a为首项，b为公比的等比数列，数列bn满足bn＝1＋a1＋a2＋…＋an(n ＝1,2，…)，数列cn满足cn＝2＋b1＋b2＋…＋bn(n＝1,2，…)，若cn为等比数列，则a＋b 等于()A.2 B．3 C.5 D．6二、填空题7．数列{an}的通项an＝n2•，其前n项和为Sn，则S30＝________.8．已知数列{an}满足a1＝2，且an＝2nan－1an－1＋n－1(n≥2，n∈N*)，则an＝________.9．在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增一十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问：几日相逢？()A．8日B．9日C．12日D．16日10．数列{logkan}是首项为4，公差为2的等差数列，其中k>0，且k≠1.设cn＝anlg an，若{cn}中的每一项恒小于它后面的项，则实数k的取值范围为________．三、解答题11．已知数列an的前n项和为Sn，且Sn＝2an－3n(n∈N*)．(1)求a1，a2，a3的值；(2)是否存在常数λ，使得数列{an＋λ}为等比数列？若存在，求出λ的值和通项公式an；若不存在，请说明理由．12.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn－1＝3(an－1)，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{bn}满足an＋1＝an•bn，若bn≤t对于任意正整数n都成立，求实数t的取值范围．2020年高考数学（理）总复习：等差数列与等比数列题型一 等差、等比数列的基本运算 【题型要点】方程思想在等差(比)数列的基本运算中的运用等差(比)数列的通项公式、求和公式中一共包含a 1、d (或q )、n 、a n 与S n 这五个量，如果已知其中的三个，就可以求其余的两个．其中a 1和d (或q )是两个基本量，所以等差数列与等比数列的基本运算问题一般先设出这两个基本量，然后根据通项公式，求和公式构建这两者的方程组，通过解方程组求其值，这也是方程思想在数列问题中的体现．【例1】等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 2a 5＝2a 3，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5等于( )A ．29B ．31C ．33D ．36【解析】 法一：设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 1qa 1q 4＝2a 1q 2a 1q 3＋2a 1q 6＝2×54，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12a 1＝16，所以S 5＝a 1(1－q 5)1－q＝31，故选B.法二：由a 2a 5＝2a 3，得a 4＝2.又a 4＋2a 7＝52，所以a 7＝14，所以q ＝12，所以a 1＝16，所以S 5＝a 2(1－q 5)1－q＝31，故选B.【答案】 B【例2】．{}a n 是公差不为0的等差数列，满足a 24＋a 25＝a 26＋a 27，则该数列的前10项和S 10等于( )A ．－10B ．－5C ．0D ．5【解析】 由题意，得a 24－a 27＝a 26－a 25，即()a 4－a 7()a 4＋a 7＝()a 6－a 5()a 6＋a 5，即－3d ()a 4＋a 7＝d ()a 6＋a 5，又因为d ≠0，所以a 4＋a 7＝a 6＋a 5＝0，则该数列的前10项和S 10＝10(a 1＋a 10)2＝5()a 6＋a 5＝0.故选C.【答案】 C【例3】．已知递增数列{a n }对任意n ∈N *均满足a n ∈N *，aa n ＝3n ，记b n ＝a 2·3n －1(n ∈N *)，则数列{b n }的前n 项和等于( )A ．2n ＋nB ．2n ＋1－1C.3n ＋1－3n 2D.3n ＋1－32【解析】 因为aa n ＝3n ，所以a 1≤3，若a 1＝1，那么a 1＝aa 1＝3×1＝3≠1矛盾，若a 1＝2，那么a 2＝aa 1＝3×1＝3成立，若a 1＝3，那么a 3＝aa 1＝3×1＝3＝a 1矛盾，所以a 2＝b 1＝2，当aa an ＝3a n ＝a 3n ，所以b n ＝a 2·3n －1＝a 3·2·3n －2＝3a 2·3n －2＝3b n －1，即b n b n －1＝3，数列{b n }是首项为2，公比为3的等比数列，所以前n 项和为b 1(1－q n )1－q ＝3(1－33)1－3＝3n ＋1－32，故选D.【答案】 D题组训练一 等差、等比数列的基本运算1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 5＝4，S 15＝60则a 20等于( ) A ．4 B ．6 C ．10 D ．12 【解析】 等差数列{a n }的前n 项和为S n ， ∵a 3＋a 5＝4，S 15＝60，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＋a 1＋4d ＝415a 1＋15×142d ＝60， 解得a 1＝12，d ＝12，∴a 20＝a 1＋19d ＝12＋19×12＝10.故选C.【答案】 C2．在等差数列{a n }中，2(a 1＋a 3＋a 5)＋3(a 8＋a 10)＝36，则a 6等于( ) A ．8 B ．6 C ．4D ．3【解析】 由等差数列的性质可知，2(a 1＋a 3＋a 5)＋3(a 8＋a 10)＝2×3a 3＋3×2a 9＝6(a 3＋a 9)＝6×2a 6＝12a 6＝36，∴a 6＝3.故选D.【答案】 D3．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＋a 3＝30，S 4＝120，设b n ＝1＋log 3a n ，那么数列{b n }的前15项和为( )A ．152B ．135C ．80D ．16【解析】 设等比数列{a n }的公比为q ，由a 1＋a 3＝30，a 2＋a 4＝S 4－(a 1＋a 3)＝90，所以公比q ＝a 2＋a 4a 1＋a 3＝3，首项a 1＝301＋q 2＝3，所以a n ＝3n ，b n ＝1＋log 33n＝1＋n ，则数列{b n }是等差数列，前15项的和为15×(2＋16)2＝135，故选B. 【答案】 B题型二 等差、等比数列的性质及应用 【题型要点】(1)解决此类问题的关键是抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解．(2)等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形．【例4】已知数列{a n }，{b n }满足b n ＝log 2a n ，n ∈N *，其中{b n }是等差数列，且a 8·a 2 008＝14，则b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2 015等于( ) A ．log 22 015B ．2 015C ．－2 015D ．1 008【解析】 ∵数列{a n }，{b n }满足b n ＝log 2a n ，n ∈N *，其中{b n }是等差数列，∴数列{a n }是等比数列，由a 8·a 2 008＝14，可得a 21 008＝14，即a 1 008＝12，∴a 1·a 2 015＝a 2·a 2 014＝…＝a 1 007·a 1 009＝a 21 008＝14，∴b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2 015＝log 2(a 1·a 2·…·a 2 015)＝log 2201521⎪⎭⎫⎝⎛＝－2 015.【答案】C2．各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝10，S 12＝130，则S 8等于( ) A ．－30 B ．40 C ．40或－30D ．40或－50【解析】 ∵数列{a n }为等比数列且数列{a n }的前n 项和为S n ，∴S 4，S 8－S 4，S 12－S 8也构成等比数列．∴(S 8－S 4)2＝S 4·(S 12－S 8)，∵S 4＝10，S 12＝130，各项均为正数的等比数列{a n }， ∴(S 8－10)2＝10·(130－S 8)，∴S 8＝40.故选B. 【答案】 B3．等比数列{a n }的首项为32，公比为－12，前n 项和为S n ，则当n ∈N *时，S n －1S n的最大值与最小值之和为( )A ．－23B ．－712C.14D.56【解析】 依题意得，S n ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-21121123n＝1－n⎪⎭⎫⎝⎛-21.当n 为奇数时，S n ＝1＋12n 随着n 的增大而减小，1＜S n ＝1＋12n ≤S 1＝32，S n－1S n 随着S n 的增大而增大，0＜S n －1S n ≤56；当n 为偶数时，S n ＝1－12n 随着n 的增大而增大，34＝S 2≤S n ＝1－12n ＜1，S n －1S n 随着S n 的增大而增大，－712≤S n －1S n ＜0.因此S n －1S n 的最大值与最小值分别为56、－712，其最大值与最小值之和为56－712＝312＝14，选C.【答案】 C题组训练二 等差、等比数列的性质及应用1．在等比数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2－7x ＋12＝0的两根，则a 1a 17a 9的值为( )A ．2 3B ．4C ．±2 2D ．±4【解析】 ∵a 3，a 15是方程x 2－7x ＋12＝0的两根，∴a 3a 15＝12，a 3＋a 15＝7，∵{a n }为等比数列，又a 3，a 9，a 15同号，∴a 9＞0，∴a 9＝a 3a 15＝23，∴a 1a 17a 9＝a 29a 9＝a 9＝2 3.故选A.【答案】 A2．设公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，－217<d <－19，则当S n 取最大值时n 的值为________．【解析】 因为等差数列{a n }的公差d 为负值，所以{a n }是递减数列．又a 1＝1，所以由a n ＝a 1＋(n －1)d >0得n <d －a 1d ，即n <1－1d ，因为－217<d <－19，所以192<1－1d <10，所以n ≤9，即当n ≤9时，a n >0，当n ≥10时，a n <0.所以当S n 取得最大值时n 的值为9.【答案】 93．若{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2 016＋a 2 017＞0，a 2 016·a 2 017＜0，则使前n 项和S n＞0成立的最大正整数n 是( )A ．2 016B ．2 017C ．4 032D ．4 033【解析】 因为a 1＞0，a 2 016＋a 2 017＞0，a 2 016·a 2 017＜0，所以d ＜0，a 2 016＞0，a 2 017＜0，所以S 4 032＝4 032(a 1＋a 4 032)2＝4 032(a 2 016＋a 2 017)2＞0，S 4 033＝4 033(a 1＋a 4 033)2＝4 033a 2017＜0，所以使前n 项和S n ＞0成立的最大正整数n 是4 032，故选C.【答案】 C题型三 等差、等比数列的综合问题 【题型要点】关于等差、等比数列的综合问题多属于两者运算的综合题以及相互之间的转化，关键是求出两个数列的基本量：首项和公差(或公比)，灵活运用性质转化条件，简化运算，准确记忆相关的公式是解决此类问题的关键．【例3】已知等差数列{a n }的公差为－1，且a 2＋a 7＋a 12＝－6. (1)求数列{a n }的通项公式a n 与前n 项和S n ；(2)将数列{a n }的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b n }的前3项，记{b n }的前n 项和为T n ，若存在m ∈N *，使对任意n ∈N *，总有S n <T m ＋λ恒成立，求实数λ的取值范围．【解析】 (1)由a 2＋a 7＋a 12＝－6，得a 7＝－2，∴a 1＝4， ∴a n ＝5－n ，从而S n ＝n (9－n )2.(2)由题意知b 1＝4，b 2＝2，b 3＝1，设等比数列{b n }的公比为q ，则q ＝b 2b 1＝12，∴T m ＝2112114-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-m ＝8⎪⎭⎫ ⎝⎛-m )21(1， ∵m⎪⎭⎫⎝⎛21随m 增加而递减， ∴{T m }为递增数列，得4≤T m <8. 又S n ＝n (9－n )2＝－12(n 2－9n )＝－12⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-481292n ，故(S n )max ＝S 4＝S 5＝10，若存在m ∈N *，使对任意n ∈N *总有S n <T m ＋λ， 则10<8＋λ，得λ>2.即实数λ的取值范围为(2，＋∞)． 题组训练三 等差、等比数列的综合问题已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ·a n ＋1＝n⎪⎭⎫ ⎝⎛21，记T 2n 为{a n }的前2n 项的和，b n ＝a 2n ＋a 2n －1，n ∈N *.(1)判断数列{b n }是否为等比数列，并求出b n ； (2)求T 2n .【解析】 (1)∵a n ·a n ＋1＝n⎪⎭⎫⎝⎛21，∴a n ＋1·a n ＋2＝121+⎪⎭⎫⎝⎛n ，∴a n ＋2a n ＝12，即a n ＋2＝12a n .∵b n ＝a 2n ＋a 2n －1，∴b n ＋1b n ＝a 2n ＋2＋a 2n ＋1a 2n ＋a 2n －1＝12a 2n ＋12a 2n －1a 2n ＋a 2n －1＝12所以{b n }是公比为12的等比数列．∵a 1＝1，a 1·a 2＝12，∴a 2＝12⇒b 1＝a 1＋a 2＝32.∴b n ＝32×121-⎪⎭⎫⎝⎛n ＝32n . (2)由(1)可知a n ＋2＝12a n ，所以a 1，a 3，a 5，…是以a 1＝1为首项，以12为公比的等比数列；a 2，a 4，a 6，…是以a 2＝12为首项，以12为公比的等比数列． ∴T 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝[]21121121211211-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⎪⎭⎫⎝⎛-nn ＝3－32n .题型四 数列与其他知识的交汇 【题型要点】数列在中学教材中既有相对独立性，又有较强的综合性，很多数列问题一般转化，特殊数列求解，一些题目常与函数、向量、三角函数、解析几何等知识交汇结合，考查数列的基本运算与应用．【例4】 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若OB →＝a 1OA →＋a 2 016OC →，且A ，B ，C 三点共线(该直线不过点O )，则S 2 016等于( )A ．1 007B ．1 008C ．2 015D ．2 016 【解析】 ∵A 、B 、C 三点共线∴AB →＝λAC →∴OB →－OA →＝λ(OC →－OA →)，OB →＝(1－λ)OA →＋λOC → 又∵OB →＝a 1·OA →＋a 2 016OC →，∴a 1＝1－λ，a 2 016＝λ ∴a 1＋a 2 016＝1∴S 2 016＝2 016(a 1＋a 2 016)2＝1 008，∴选B.【答案】 B题组训练四 数列与其他知识的交汇1．在由正数组成的等比数列{a n }中，若a 3a 4a 5＝3π，则sin(log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)的值为( )A.12B.32C ．1D ．－32【解析】 因为a 3a 4a 5＝3π＝a 34，所以a 4＝3π3，即log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7＝log 3(a 1a 2…a 7)＝log 3a 74＝7log 33π3＝7π3，所以sin(log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)＝32. 【答案】 B2．已知各项都为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，存在两项a m ，a n 使得 a m ·a n ＝4a 1，则1m ＋4n的最小值为( )A.32B.53C.256D.43【解析】 由a 7＝a 6＋2a 5，得a 1q 6＝a 1q 5＋2a 1q 4，整理得q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q＝－1(不合题意，舍去)，又由a m ·a n ＝4a 1，得a m a n ＝16a 21，即a 212m＋n －2＝16a 21，即有m ＋n－2＝4，亦即m ＋n ＝6，那么1m ＋4n ＝16(m ＋n )⎪⎭⎫⎝⎛+n m 41＝16⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅≥⎪⎭⎫ ⎝⎛++5426154m n n m m n n m ＝32，当且仅当4m n ＝n m ，即n ＝2m ＝4时取得最小值32.【答案】 A3．艾萨克·牛顿(1643年1月4日－1727年3月31日)英国皇家学会会长，英国著名物理学家，同时在数学上也有许多杰出贡献，牛顿用“作切线”的方法求函数f (x )的零点时给出一个数列{}x n 满足x n ＋1＝x n －f (x n )f ′(x n )，我们把该数列称为牛顿数列．如果函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)有两个零点1,2，数列{}x n 为牛顿数列，设a n ＝ln x n －2x n －1，已知a 1＝2，x n >2，则{}a n 的通项公式a n ＝________.【解析】 ∵ 函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)有两个零点1,2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋c ＝0，4a ＋2b ＋c ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2a ，b ＝－3a . ∴f (x )＝ax 2－3ax ＋2a ，则f ′(x )＝2ax －3a .则x n ＋1＝x n －ax 2n －3ax n ＋2a 2ax n －3a ＝x n －x 2n －3x n ＋22x n －3＝x 2n －22x n －3，∴x n ＋1－2x n ＋1－1＝x 2n －22x n －3－2x 2n －22x n －3－1＝x 2n －2－2(2x n －3)x 2n －2－(2x n －3)＝212⎪⎪⎭⎫⎝⎛--n n x x ， 则数列a n 是以2为公比的等比数列，又∵a 1＝2 ，∴ 数列{}a n 是以2为首项，以2为公比的等比数列，则a n＝2·2n－1＝2n.【答案】2n【专题训练】一、选择题1．等比数列{a n}中，a4＝2，a7＝5，则数列{lg a n}的前10项和等于()A．2B．lg 50C．10D．5【解析】∵等比数列{a n}中，a4＝2，a7＝5，∴a1a10＝a2a9＝…＝a4a7＝10，∴数列{lg a n}的前10项和S＝lg a1＋lg a2＋…＋lg a10＝lg a1a2…a10＝lg 105＝5，故选D【答案】 D2．在正项等比数列{a n}中，已知a3a5＝64，则a1＋a7的最小值为()A．64 B．32C．16 D．8【解析】在正项等比数列{a n}中，∵a3a5＝64，∴a3a5＝a1a7＝64，∴a1＋a7≥2a1a7＝264＝2×8＝16，当且仅当a1＝a7＝8时取等号，∴a1＋a7的最小值为16，故选C.【答案】 C3．一个等比数列的前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列的项数是()A．13 B．12C．11 D．10【解析】设等比数列为{a n}，其前n项积为T n，由已知得a1a2a3＝2，a n a n－1a n－2＝4，可得(a1a n)3＝2×4，a1a n＝2，∵T n＝a1a2…a n，∴T2n＝(a1a2…a n)2＝(a1a n)(a2a n－1)…(a n a1)＝(a1a n)n ＝2n＝642＝212，∴n＝12.【答案】 B4．在数列{a n }中，若a 1＝2，且对任意正整数m ，k ，总有a m ＋k ＝a m ＋a k ，则{a n }的前n 项和S n 等于( )A ．n (3n －1)B.n (n ＋3)2C ．n (n ＋1)D.n (3n ＋1)2【解析】 依题意得a n ＋1＝a n ＋a 1，即有a n ＋1－a n ＝a 1＝2，所以数列{a n }是以2为首项，2为公差的等差数列，a n ＝2＋2(n －1)＝2n ，S n ＝n (2＋2n )2＝n (n ＋1)，选C.【答案】 C5．记S n 为正项等比数列{a n }的前n 项和，若S 12－S 6S 6－7·S 6－S 3S 3－8＝0，且正整数m ，n满足a 1a m a 2n ＝2a 35，则1m ＋8n的最小值是( ) A.157 B.95 C.53D.75【解析】 ∵{a n }是等比数列，设{a n }的公比为q ， ∴S 12－S 6S 6＝q 6，S 6－S 3S 3＝q 3，∴q 6－7q 3－8＝0， 解得q ＝2(负值舍去)．又a 1a m a 2n ＝2a 35，∴a 31·2m＋2n －2＝2(a 124)3＝a 31213，∴m ＋2n ＝15，∴1m ＋8n ＝115⎪⎭⎫⎝⎛+n m 81(m ＋2n )＝17＋2n m ＋8m n 15≥17＋22n m ×8m n 15＝53，当且仅当2n m ＝8mn，即m ＝3，n ＝6时等号成立，∴1m ＋8n 的最小值是53，故选C. 【答案】 C6．数列{}a n 是以a 为首项，b 为公比的等比数列，数列{}b n 满足b n ＝1＋a 1＋a 2＋…＋a n (n ＝1,2，…)，数列{}c n 满足c n ＝2＋b 1＋b 2＋…＋b n (n ＝1,2，…)，若{}c n 为等比数列，则a ＋b 等于( )A. 2 B ．3 C. 5D ．6【解析】 由题意知，当b ＝1时，{c n }不是等比数列，所以b ≠1.由a n ＝ab n －1，则b n ＝1＋a (1－b n )1－b ＝1＋a 1－b －ab n 1－b ，得c n ＝2＋nb a ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+11－a 1－b ·b (1－b n )1－b ＝2－ab (1－b )2＋1－b ＋a 1－b n ＋abn ＋1(1－b )2，要使{}c n为等比数列，必有⎩⎪⎨⎪⎧2－ab(1－b )2＝0，1－b ＋a1－b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，a ＋b ＝3，故选B.【答案】 B 二、填空题7．数列{a n }的通项a n ＝n 2·⎪⎭⎫ ⎝⎛-3sin 3cos22ππn n ，其前n 项和为S n ，则S 30＝________. 【解析】 由题意可知，a n ＝n 2·cos 2n π3，若n ＝3k －2，则a n ＝(3k －2)2·⎪⎭⎫⎝⎛-21＝－9k 2＋12k －42(k ∈N *)；若n ＝3k －1，则a n ＝(3k －1)2·⎪⎭⎫ ⎝⎛-21＝－9k 2＋6k －12(k ∈N *)；若n ＝3k ，则a n ＝(3k )2·1＝9k 2(k ∈N *)，∴a 3k －2＋a 3k －1＋a 3k ＝9k －52，k ∈N *，∴S 30＝9－52＋90－522×10＝470.【答案】 4708．已知数列{a n }满足a 1＝2，且a n ＝2na n －1a n －1＋n －1(n ≥2，n ∈N *)，则a n ＝________.【解析】 由a n ＝2na n －1a n －1＋n －1，得n a n ＝n －12a n －1＋12，于是n a n －1＝12⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---111n a n (n ≥2，n ∈N *)． 又1a 1－1＝－12，∴数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-1nan 是以－12为首项，12为公比的等比数列，故n a n －1＝－12n ，∴a n ＝n ·2n2n －1(n ∈N *)．【答案】 n ·2n2n －19．在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增一十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问：几日相逢？( )A ．8日B ．9日C ．12日D ．16日【解析】由题可知，良马每日行程a n 构成一个首项为103，公差13的等差数列，驽马每日行程b n 构成一个首项为97，公差为－0.5的等差数列，则a n ＝103＋13(n －1)＝13n ＋90，b n ＝97－0.5(n －1)＝97.5－0.5n ，则数列{a n }与数列{b n }的前n 项和为1125×2＝2250，又∵数列{a n }的前n 项和为n 2×(103＋13n ＋90)，数列{b n }的前n 项和为n 2×(97＋97.5－0.5n )，n 2(103＋3n ＋90)＋n2(97＋97.5－0.5n )＝2250，整理得：25n 2＋775n －9 000＝0，即n 2＋31n －360＝0，解得：n ＝9或n ＝－40(舍)，即九日相逢．故选B.【答案】B10．数列{log k a n }是首项为4，公差为2的等差数列，其中k >0，且k ≠1.设c n ＝a n lg a n ，若{c n }中的每一项恒小于它后面的项，则实数k 的取值范围为________．【解析】 由题意得log k a n ＝2n ＋2，则a n ＝k2n ＋2，∴a n ＋1a n ＝k 2(n ＋1)＋2k2n ＋2＝k 2，即数列{a n }是以k 4为首项，k 2为公比的等比数列，c n ＝a n lg a n ＝(2n ＋2)·k 2n ＋2lg k ，要使c n <c n ＋1对一切n ∈N *恒成立，即(n ＋1)lg k <(n ＋2)·k 2·lg k 对一切n ∈N *恒成立；当k >1时，lg k >0，n ＋1<(n ＋2)k 2对一切n ∈N *恒成立；当0<k <1时，lg k <0，n ＋1>(n ＋2)k 2对一切n ∈N *恒成立，只需k 2<⎪⎭⎫ ⎝⎛++21n n min .∵n ＋1n ＋2＝1－1n ＋2单调递增，∴当n ＝1时，n ＋1n ＋2取得最小值，即⎪⎭⎫⎝⎛++21n n min ＝23，∴k 2＜23，且0<k <1，∴0<k <63.综上，k ∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛36,0∪(1，＋∞)．【答案】 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛36,0∪(1，＋∞) 三、解答题11．已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －3n (n ∈N *)．(1)求a 1，a 2，a 3的值；(2)是否存在常数λ，使得数列{a n ＋λ}为等比数列？若存在，求出λ的值和通项公式a n ；若不存在，请说明理由．【解】 (1)当n ＝1时，由S 1＝2a 1－3×1，得a 1＝3； 当n ＝2时，由S 2＝2a 2－3×2，可得a 2＝9； 当n ＝3时，由S 3＝2a 3－3×3，得a 3＝21.(2)令(a 2＋λ)2＝(a 1＋λ)·(a 3＋λ)，即(9＋λ)2＝(3＋λ)·(21＋λ)，解得λ＝3. 由S n ＝2a n －3n 及S n ＋1＝2a n ＋1－3(n ＋1)，两式相减，得a n ＋1＝2a n ＋3. 由以上结论得a n ＋1＋3＝(2a n ＋3)＋3＝2(a n ＋3)，所以数列{a n ＋3}是首项为6，公比为2的等比数列，因此存在λ＝3，使得数列{a n ＋3}为等比数列，所以a n ＋3＝(a 1＋3)×2n －1，a n ＝3(2n －1)(n ∈N *)．12.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n －1＝3(a n －1)，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足a n ＋1＝⎪⎭⎫ ⎝⎛23a n ·b n ，若b n ≤t 对于任意正整数n 都成立，求实数t 的取值范围．【解】 (1)由已知得S n ＝3a n －2，令n ＝1，得a 1＝1，又a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝3a n ＋1－3a n ⇒a n ＋1＝32a n ，所以数列{a n }是以1为首项，32为公比的等比数列，所以a n ＝123-⎪⎭⎫ ⎝⎛n .(2)由a n ＋1＝⎪⎭⎫⎝⎛23a n ·b n ，得b n ＝1a n log 32a n ＋1＝(23)n －1log 32(32)n ＝n ·123-⎪⎭⎫ ⎝⎛n ，所以b n ＋1－b n ＝(n ＋1)·n ⎪⎭⎫ ⎝⎛32－n ·132-⎪⎭⎫ ⎝⎛n ＝2n －13n (2－n )，所以(b n )max ＝b 2＝b 3＝43，所以t ≥43.。

高考文科数学数列专题复习数列常用公式数列的通项公式与前n 项的和的关系a n s , n 11s s ,n 2n n 1( 数列{a n} 的前n 项的和为s n a1 a2 a n ).等差数列的通项公式*a a1 (n 1)d dn a1 d(n N ) ；n等差数列其前n 项和公式为n(a a ) n(n 1)1 ns na1 d n2 2 d 12n (a d)n .12 2等比数列的通项公式an 1 1 n *a a1q q (n N )nq；等比数列前n 项的和公式为na (1 q )1s 1 qn , q 1或sna a q1 n1 q,q 1na ,q 1 1 na ,q 1 1一、选择题1.( 广东卷) 已知等比数列{a n} 的公比为正数，且a3 ·a9 =2 2a ，a2 =1，则a1 =5A. 12B.22C. 2D.22.（安徽卷）已知为等差数列，，则等于A. -1B. 1C. 3D.7 3（. 江西卷）公差不为零的等差数列{a n} 的前n项和为S n .若a4 是a3与a7 的等比中项, S8 32, 则S等于10A. 18B. 24C. 60D. 904（湖南卷）设S n 是等差数列a n 的前n 项和，已知a2 3，a6 11，则S7 等于【】第1页/ 共8页A ．13 B．35 C．49 D．633.（辽宁卷）已知a为等差数列，且a7 －2 a4 ＝－1, a3 ＝0, 则公差d＝n（A）－2 （B）－12 （C）12（D）24.（四川卷）等差数列｛a n ｝的公差不为零，首项a1 ＝1，a2 是a1 和a5 的等比中项，则数列的前10 项之和是A. 90B. 100C. 145D. 1905.（湖北卷）设x R, 记不超过x 的最大整数为[ x ], 令{x }= x -[ x ]，则{ 52 1} ，[ 521],521A.是等差数列但不是等比数列B.是等比数列但不是等差数列C.既是等差数列又是等比数列D.既不是等差数列也不是等比数列6.（湖北卷）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如：他们研究过图1 中的1，3，6，10，⋯，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16⋯这样的数成为正方形数。

等差数列与等比数列的求和公式数列在数学中是一种重要的数学概念，它由一系列按照一定规律排列的数组成。

等差数列和等比数列是最常见的数列类型，它们在数学和其他学科中的应用非常广泛。

本文将介绍等差数列与等比数列的概念，并详细阐述它们的求和公式。

一、等差数列等差数列是指数列中相邻两项之差保持不变的数列。

若数列的首项为a，公差为d，则等差数列可以表示为a，a+d，a+2d，a+3d......。

等差数列的求和公式可由以下方法得出：设等差数列的首项为a，末项为L，共有n项，求和结果为S。

则有：S = (首项 + 末项) ×项数 ÷ 2即 S = (a + L) × n ÷ 2二、等比数列等比数列是指数列中相邻两项之比保持不变的数列。

若数列的首项为a，公比为r，则等比数列可以表示为a，ar，ar²，ar³......。

等比数列的求和公式可由以下方法得出：当公比r为1时，等比数列所有项相等，求和公式为S = a ×项数。

当公比r不为1时，求和公式为S = a × (rⁿ - 1) ÷ (r - 1)，其中n为项数。

三、等差数列与等比数列求和公式的应用等差数列和等比数列的求和公式在数学和其他领域都具有广泛的应用。

其中，等差数列的求和公式常用于计算等差数列的总和，而等比数列的求和公式常用于计算等比数列的总和。

在数学中，等差数列与等比数列的求和公式可用于解决一些数列相关的问题，如计算物理实验中的位移、速度、加速度等的变化情况，或者解决一些金融、经济中的增长与减少等问题。

此外，在计算机科学、统计学和经济学等学科中，等差数列与等比数列的求和公式也被广泛应用于算法设计、数据分析和模型建立等方面。

总结：等差数列与等比数列是常见的数列类型，在数学以及其他学科中都有着重要的应用。

它们的求和公式提供了一种有效的解决数列相关问题的方法。

通过学习掌握这些公式，我们可以更好地理解和应用数列的性质，解决实际问题，提升数学与科学的能力。

等比等差数列的所有公式等差数列和等比数列是数学领域里比较基础且常见的两种数列。

它们不仅在高中阶段的数学学习中出现，同时也在大学的高级数学科目中应用广泛。

本文将会全面介绍等差数列和等比数列的定义、公式以及应用，以期为读者提供一个全面且清晰的了解。

一、等差数列等差数列是指一种数列，其任意两个相邻项之间的差值是相等的，这个相等的差值叫做公差。

举个例子，1，3，5，7，9....，就是一个公差为2的等差数列。

等差数列的通项公式对于任意一个等差数列，其通项公式可以表示为an=a1+(n-1)d，其中an表示该数列的第n项，a1表示该数列的首项，d表示该数列的公差。

这个公式用起来非常方便，读者只需要知道该数列的首项和公差，就可以轻松地得出该数列的任意一项。

等差数列的和公式等差数列的和公式就是数列的所有数值之和，它能够帮助我们快速计算数列中所有数值之和。

韦达定理是该公式的基础，韦达定理是指求等差数列和时将数列上下颠倒，在叠加两个相同的数列使其首项与末项分别相加后，其中的所有项均相等，其和是所求等差数列的和的两倍。

求和公式： Sn=n(a1+an)/2其中n表示项数，a1表示首项，an表示末项。

（特殊情况下）如果公差为1，那么求和公式可以变为：Sn=n(a1+an)/2=n(a1+1)/2 。

二、等比数列等比数列是指一种数列，其任意两个相邻项之间的比值是相等的，这个相等的比值叫做公比。

例如，1，2，4，8，16....就是一个公比为2的等比数列。

等比数列的通项公式对于任意一个等比数列，其通项公式可以表示为an=a1×r^(n-1)，其中an表示该数列的第n项，a1表示该数列的首项，r表示该数列的公比。

与等差数列的情况类似，知道等比数列的首项和公比，就可以很容易地得出该数列的任意一项。

等比数列的和公式等比数列的和公式可以帮助我们快速计算数列中所有数值之和。

其中，如果公比r=1，那么求和公式就是Sn=na1，这个公式表示如果公比为1的等比数列中有n个元素，那么这个数列的和就是该数列第一个元素的值与这n 个元素数值之和相等。

等差数列和等比数列数列是数学中常见的概念，它是由一系列数字按照一定规律排列而成的。

在数列中，等差数列与等比数列是两类常见的数列形式。

本文将介绍等差数列和等比数列的概念、性质以及求和公式。

一、等差数列等差数列是指数列中相邻的两个数之差保持恒定的数列。

我们用a1、a2、a3……表示等差数列的各项，其中a1是首项，d是公差（相邻两项的差值）。

等差数列的通项公式如下：an = a1 + (n-1) * d其中，an表示第n项，a1是首项，d是公差。

等差数列的性质很多，这里我们介绍两个重要的性质。

1. 等差数列的前n项和公式：Sn = (n/2) * (a1 + an)其中，Sn表示等差数列的前n项和，an表示第n项。

2. 等差数列的性质：首项、末项和项数之间的关系an = a1 + (n-1) * d通过这个公式，我们可以计算等差数列中任意一项的值。

二、等比数列等比数列是指数列中相邻的两个数之比保持恒定的数列。

我们用a1、a2、a3……表示等比数列的各项，其中a1是首项，r是公比（相邻两项的比值）。

等比数列的通项公式如下：an = a1 * r^(n-1)其中，an表示第n项，a1是首项，r是公比。

等比数列也有一些重要的性质。

1. 等比数列的前n项和公式：Sn = (a1 * (1 - r^n)) / (1 - r)其中，Sn表示等差数列的前n项和，a1表示首项，r表示公比。

2. 等比数列的性质：首项、末项和项数之间的关系an = a1 * r^(n-1)通过这个公式，我们可以计算等比数列中任意一项的值。

综上所述，等差数列和等比数列都是常见的数列形式。

了解它们的概念、性质以及求和公式，将有助于我们在数学问题中的解答和计算。

文末以上是对等差数列和等比数列的介绍。

通过本文我们了解到了等差数列的概念、性质以及求和公式，以及等比数列的概念、性质以及求和公式。

熟练掌握这些知识，我们可以更好地解决与数列相关的问题。

一、等差数列1.定义：)(1常数d a a n n =-+2.通项公式：d n a )1(a 1n -+=3.变式：d m n a m n )(a -+= mn a a d m n --= 4.前n 项和：2)(1n a a S n n +=或 d n n n a S n 2)1(1-+= 5.几何意义： ①d dn a d n a a n -+=-+=11)1(即q pn a n += 类似 q px y += ②n d a n d S n )2(212-+= 即 Bn An S n +=2 类似 Bx Ax y +=2 6.}{n a 等差d a a a a a Bn An S q pn a n n n n n n n =-⇔+=⇔+=⇔+=⇔++-11122 7.性质① q p n m +=+则 q p n m a a a a +=+② p n m 2=+ 则 p n m a a a 2=+③ =+=+=+--23121n n n a a a a a a④ m S 、m -m 2S 、2m -m 3S 等差⑤ }{n a 等差,有12+n 项,则n S S 1n +=偶奇 ⑥ 1212-=-n S a n n 二、等比数列1.定义：常数）(a 1q a nn =+ 2.通项公式：11a -=n n q a3.变式： m n m n q a -=a m n mn q a a -= 4. ⎪⎨⎧-==)1()1( 1q a q na S n 前n 项和：n a S n 1= )1(=q 或 qq a S n n --=11()1 )1(≠q 5.变式：m nm n qq S S --=11 )1(≠q 6.性质：① r p n m +=+则 r p n m a a a a ⋅=⋅② p n m 2=+ 则 2p n m a a a =⋅③ =⋅=⋅=⋅--23121n n n a a a a a a④ m S 、m -m 2S 、2m -m 3S 等比⑤ }{n a 等比,有12+n 项偶奇qS a a a a q a a a a S n n +=++++=++++=+1242112531)(a三、等差与等比的类比{}n a 等差{}n b 等差 和积 差商 系数指数 “0”“1”四、数列求和1.分组求和 本数列的和公式求和．进行拆分，分别利用基，则可或等比数列的和的形式数列，但通项是由等差通项虽不是等差或等比 项的和：前如求n n n )}1({+ )2)(1(31 )1(21)12)(1(61 )321()321( )()22()11(])1(22222222++=++++=++++++++=++++++=∴+=+n n n n n n n n n n n n S n n n n n2．裂项相消法．11111 用于通从而计算和的方法，适别裂开后，消去一部分把数列和式中的各项分常见的拆项方法有：).2()7(!)!1(!)6()5()(11)4(])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1)3()121121(21)12)(12(1)2(111)1(1)1(111≥-=-+=⋅-=--=+++-+=+++--=+-+-=+-+-n S S a n n n n C C C b a b a ba n n n n n n n n n n n n n n n n n n m n m n m n ；；；；；； 3.错位相减法．列的求和．数列对应项相乘所得数列和一个等比可解决形如一个等差数的推导方法求解，一般利用等比数列求和公式 项和公式的推导：前如：等比数列n a n }{11132321)1(++-=-⇒⎩⎨⎧++++=++++=n n n n n n n a a S q a a a a qS a a a a S .)1(11)1()1( 111⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--=⇒q q q a a qq a q na n n 初夏早上六点，清亮透明的月儿还躲藏在云朵里，不忍离去，校园内行人稀少，我骑着单车，晃晃悠悠的耷拉着星松的睡眼。

数列的等差数列与等比数列的计算数列是数学中常见的概念，它是由一串数按照一定规律排列而成的序列。

其中，等差数列和等比数列是两种常见的数列形式。

本文将会介绍等差数列和等比数列的计算方法。

一、等差数列的计算等差数列是指数列中相邻两项之间的差值保持恒定。

设等差数列的首项为a₁，公差为d。

则数列的通项公式为：an = a₁ + (n - 1)d其中，an表示数列的第n项。

1. 求首项和公差若已知等差数列的前n项和Sn、项数n以及末项an，可通过下列公式求得首项a₁和公差d：a₁ = (2S₁- nₐₙd) / (n + 1)d = (an - a₁) / (n - 1)2. 求和公式等差数列的前n项和Sn的计算公式为：Sn = (n / 2)(a₁ + an)二、等比数列的计算等比数列是指数列中相邻两项之间的比值保持恒定。

设等比数列的首项为a₁，公比为q。

则数列的通项公式为：an = a₁ * q^(n-1)其中，an表示数列的第n项。

1. 求首项和公比若已知等比数列的前n项和Sn、项数n以及末项an，可通过下列公式求得首项a₁和公比q：a₁ = Sn / (q^n - 1) + n / (1 - q)q = (an / a₁)^(1 / (n - 1))2. 求和公式等比数列的前n项和Sn的计算公式为：Sn = a₁ * (q^n - 1) / (q - 1)三、例题解析现有一个等差数列，前6项的和为45，公差为3，求首项和第8项。

解：根据已知信息可列出方程：45 = (n/2)(a₁ + a₈) ①a₈ = a₁ + (8 - 1)d ②代入公差d = 3，首项a₁ = ?，化简方程：45 = 4.5(a₁ + 7d)10 = a₁ + 21da₁ = 10 - 21d将公差代入，得到首项：a₁ = 10 - 21 * 3a₁ = -53将首项代入公式②，求得第8项a₈：a₈ = -53 + 7 * 3a₈ = -32所以，该等差数列的首项为-53，第8项为-32。

数学等差等比数列公式总结好嘞，今天咱们来聊聊数学里的“等差数列”和“等比数列”。

你别看这些名词听着挺专业，实际上它们在生活中无处不在，就好像大街上的小摊儿，随处可见。

只不过有时候我们没留心，没注意到而已。

不过别着急，今天咱们就来轻松聊聊，保证让你听得懂，记得牢。

先说说“等差数列”。

咱们从一个简单的例子开始，想象一下你在楼梯上往上爬。

每次你往上走一阶，都会比上一次多走一个固定的台阶数。

比如你从1楼开始，第一阶爬2个台阶，第二阶再爬2个，第三阶再爬2个，依此类推。

这样，你每次走的台阶数是固定的，增加的数量一样，那不就是等差数列嘛。

嗯，简单理解就是，每一步和上一步的差一样。

这种数列看似普通，其实很有意思。

你一开始也许觉得它很枯燥，毕竟，每次加的数都差不多。

但是别忘了，它其实反映了咱们生活中一种常见的规律，像我们每个月涨工资，可能每个月都多发几百块，虽不至于一夜暴富，但也是稳步上涨，咱们就可以用等差数列来描述这种“步步高升”的感觉。

讲到这里，可能有人会好奇，那等差数列到底有什么公式呢？别急！公式来了，给你个简单的公式，让你记得清清楚楚：(a_n = a_1 + (n1) cdot d)，看见没，就是这么简单！其中，(a_n)代表你想求的第n项，(a_1)是你数列的第一个数，(n)就是你要找的是第几项，(d)则是每一项和前一项之间的差值。

举个例子来说，你第一步是爬2个台阶，每次增加的台阶也是2个，那么你想知道第10个台阶是多少，只需要代进去，看看结果就好。

你会发现，等差数列就是这么不复杂，关键是把公式记住了，应用起来就像吃饭一样简单。

好啦，接下来我们要聊的就是“等比数列”。

这可有点意思了，等比数列和等差数列不一样，它的每一项和前一项之间的关系是通过乘法，而不是加法来体现的。

要不怎么说，这个世界上有些事，真的是“变化无常”，你看，等比数列就给你来了个大反转。

一开始，它可能看起来平平无奇，但过一会儿，突然就发生了质的飞跃。