2016届高考数学考点专项突破复习讲义：向量工具(PDF版)

备战高考数学复习考点知识与题型讲解第38讲平面向量的概念及线性运算考向预测核心素养主要考查平面向量的线性运算(加法、减法、数乘向量)及其几何意义、向量共线定理，有时也会有创新的新定义问题；题型以选择题、填空题为主，中低档难度．偶尔会在解答题中作为工具出现.数学抽象、直观想象一、知识梳理1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任意向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．[注意] (1)向量不同于数量，向量不仅有大小，而且还有方向．(2)任意向量a的模都是非负实数，即|a|≥0.2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求两个向量差的运算a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算|λ a|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λ a＝0λ(μ a)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μ_a；λ(a＋b)＝λa＋λb3.向量共线定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa．常用结论1．若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则OP→＝12(OA→＋OB→)．2．若G为△ABC的重心，则有(1)GA→＋GB→＋GC→＝0；(2)AG→＝13(AB→＋AC→)．3.OA→＝λOB→＋μOC→(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线，则λ＋μ＝1.二、教材衍化1．(人A必修第二册P4练习T1改编)给出下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨时间．其中不是向量的有( )A．3个 B.4个C.5个D.6个解析：选C.质量、路程、密度、功、时间只有大小，没有方向，所以是数量，不是向量．2．(人A 必修第二册P 14例6改编)已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝________，BC →＝________．(用a ，b 表示)解析：如图，DC →＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ，BC →＝OC →－OB →＝－OA →－OB →＝－a －b . 答案：b －a －a －b3．(人A 必修第二册P 15练习T 2)点C 在线段AB 上，且AC CB ＝52，则AC →＝________AB →，BC →＝________AB →.答案：57 －27一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．( ) (2)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．( )(3)若向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．( ) (4)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ 二、易错纠偏1．(多选)(向量概念理解不准确致误)下列命题错误的是( ) A ．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同B ．若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，且AB →＝DC →，则四边形ABCD 为平行四边形 C ．相反向量就是方向相反的向量 D ．a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b 答案：ACD2．(向量运算法则运用易错)点D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD →＝( )A．－BC→＋12BA→ B.－BC→－12BA→C.BC→－12BA→ D.BC→＋12BA→答案：A3．(多选)(向量共线概念含义不清易错)已知a，b为两个非零向量，则下列说法中正确的是( )A．2a与a的方向相同，且2a的模是a的模的2倍B．－2a与5a的方向相反，且－2a的模是5a的模的2 5C．－2a与2a是一对相反向量D．a－b与－(b－a)是一对相反向量解析：选ABC.A正确，因为2>0，所以2a与a的方向相同，且|2a|＝2|a|.B正确，因为5>0，所以5a与a的方向相同，且|5a|＝5|a|，又－2<0，所以－2a与a的方向相反，且|－2a|＝2|a|，所以5a与－2a的方向相反，且－2a的模是5a的模的25.C正确，按照相反向量的定义可以判断．D不正确，因为－(b－a)与b－a是一对相反向量，而a －b与b－a是一对相反向量，所以a－b与－(b－a)是相等向量.考点一平面向量的概念(自主练透)复习指导：了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示．1．下列命题正确的是( )A．|a|＝|b|⇒a＝b B.|a|>|b|⇒a>bC．a∥b⇒a＝b D.|a|＝0⇒a＝0解析：选D.对于A，两个向量的模相等，但是方向不一定相同，所以错误．对于B，两个向量不能比较大小，所以错误．对于C，向量平行只是方向相同或相反，不能得到向量相等，所以错误．对于D，若一个向量的模等于0，则这个向量是0，所以正确．2．设a，b都是非零向量，则下列四个条件中，使a|a|＝b|b|成立的充分条件是( )A．a＝－b B.a∥bC．a＝2b D.a∥b且|a|＝|b|解析：选C.因为向量a|a|的方向与向量a相同，向量b|b|的方向与向量b相同，且a|a|＝b|b|，所以向量a与向量b方向相同，故可排除选项A，B，D.当a＝2b时，a|a|＝2b|2b|＝b|b|，故“a＝2b”是“a|a|＝b|b|”成立的充分条件．3．给出下列命题：①若向量a∥b，b∥c，则a∥c；②若平面上所有单位向量的起点移到同一个点，则其终点在同一个圆上；③在菱形ABCD中，一定有AB→＝DC→.其中是真命题的为________．(填序号)解析：若b＝0，则向量a不一定与c平行，故①不正确．单位向量的长度为1，当所有单位向量的起点在同一点O时，终点都在以O为圆心，1为半径的圆上，故②正确．在菱形ABCD中，|AB→|＝|DC→|，AB→与DC→方向相同，故AB→＝DC→，故③正确．答案：②③4.如图，在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D.若AC→的模为2，BC→的模为3，AD→的模为1，则DB→的模为________．解析：如图，过点A作BC的平行线交CD的延长线于点E.因为∠ACD＝∠BCD＝∠E，所以|AC →|＝|AE →|.因为BC ∥AE ，所以△ADE ∽△BDC ， 所以|AD →||DB →|＝|AE →||BC →|＝|AC →||BC →|＝23，故|DB →|＝32.答案：32平面向量有关概念的四个关注点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的移动混淆．(4)非零向量a 与a |a |的关系：a|a |是与a 同方向的单位向量．考点二 平面向量的线性运算(综合研析)复习指导：1.掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义． 2．掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义．(1)(链接常用结论1)(一题多解)(2022·合肥市第二次质量检测)在△ABC 中，BD →＝13BC →，若AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝( )A.23a ＋13bB.13a ＋23b C.13a －23b D.23a －13b (2)(2022·芜湖第一中学高三月考)如图所示，在等腰梯形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝3AD ，点E为线段CD上靠近C的三等分点，点F为线段BC的中点，则FE→＝( )A．－1118AB→＋518AC→ B.－1118AB→＋119AC→C．－1118AB→＋49AC→ D.－12AB→＋56AC→【解析】(1)通解：如图，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点E，F，则四边形AEDF为平行四边形，所以AD→＝AE→＋AF→.因为BD→＝13BC→，所以AE→＝23AB→，AF→＝13AC→，所以AD→＝23AB→＋1 3AC→＝23a＋13b，故选A.优解一：AD→＝AB→＋BD→＝AB→＋13BC→＝AB→＋13(AC→－AB→)＝23AB→＋13AC→＝23a＋13b，故选A.优解二：由BD→＝13BC→，得AD→－AB→＝13(AC→－AB→)，所以AD→＝AB→＋13(AC→－AB→)＝23AB→＋13AC→＝2 3a＋13b，故选A.(2)FE→＝FC→＋CE→＝12BC→＋13CD→＝12(AC→－AB→)＋13⎝⎛⎭⎪⎫23CB→＋BA→＝12AC→－12AB→＋29()AB→－AC→－13AB→＝－1118AB→＋518AC→，故选A.【答案】(1)A (2)A向量线性运算的解题策略(1)向量的加减常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角形法则．(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．|跟踪训练|1.如图，在正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →＝( )A ．0B .BE →C .AD →D .CF →解析：选D .由于BA →＝DE →，故BA →＋CD →＋EF →＝CD →＋DE →＋EF →＝CF →. 2.(2022·安徽省宣城市郎溪县模拟)我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若BC →＝a ，BA →＝b ，BE →＝3EF →，则BF →＝( )A.1225a ＋925b B.1625a ＋1225b C.45a ＋35b D.35a ＋45b 解析：选B.BF →＝BC →＋CF →＝BC →＋34EA →＝BC →＋34(EB →＋BA →)＝BC →＋34⎝ ⎛⎭⎪⎫－34BF →＋BA →，即BF →＝BC →＋34⎝ ⎛⎭⎪⎫－34BF →＋BA →，解得BF →＝1625BC →＋1225BA →，即BF →＝1625a ＋1225b .3．已知D为△ABC的边BC的中点，点P满足PA→＋BP→＋CP→＝0，AP→＝λPD→，则实数λ的值为________．解析：因为D为边BC的中点，所以PB→＋PC→＝2PD→，又PA→＋BP→＋CP→＝0.所以PA→＝PB→＋PC→＝2PD→，所以AP→＝－2PD→，所以λ＝－2.答案：－2考点三向量共线定理的应用(多维探究)复习指导：理解两个向量共线的含义，了解向量的线性运算性质及其几何意义．角度1 判定向量共线、点共线已知O，A，M，B为平面上四点，且OM→＝λOB→＋(1－λ)OA→(λ∈R，λ≠0，且λ≠1)．(1)求证：A，B，M三点共线；(2)若点B在线段AM上，求实数λ的取值范围．【解】(1)证明：因为OM→＝λOB→＋(1－λ)OA→，所以OM→＝λOB→＋OA→－λOA→，OM→－OA→＝λOB→－λOA→，所以AM→＝λAB→(λ∈R，λ≠0，且λ≠1)．又AM→与AB→有公共点A，所以A，B，M三点共线．(2)由(1)知，AM→＝λAB→，若点B在线段AM上，则AM→与AB→同向，且λ≠0，λ≠1，所以|AM→|>|AB→|>0，所以λ>1.故实数λ的取值范围为(1，＋∞)．角度2 利用向量共线定理求参数(链接常用结论3)(1)(一题多解)在△ABC中，若AD→＝2DB→，CD→＝13CA→＋λCB→，则λ＝________．(2)如图所示，在△ABC中，AN→＝13AC→，P是BN上的一点，若AP→＝mAB→＋211AC→，则实数m的值为________．【解析】(1)方法一：由AD→＝2DB→，知A，B，D三点共线．所以13＋λ＝1，从而λ＝23.方法二：由题意知CD→＝CA→＋AD→①，CD→＝CB→＋BD→②，且AD→＋2BD→＝0.①＋②×2，得3CD→＝CA→＋2CB→.所以CD→＝13CA→＋23CB→，所以λ＝23. (2)注意到N，P，B三点共线，因此有AP→＝mAB→＋211AC→＝mAB→＋611AN→，从而m＋611＝1，所以m＝5 11 .【答案】(1)23(2)511[提醒] 证明三点共线时，需说明共线的两个向量有公共点．|跟踪训练|1．已知向量a与b不共线，AB→＝a＋m b，AC→＝n a＋b(m，n∈R)，则AB→与AC→共线的条件是( )A ．m ＋n ＝0 B.m －n ＝0 C ．mn ＋1＝0D.mn －1＝0解析：选 D.由AB →＝a ＋m b ，AC →＝n a ＋b (m ，n ∈R )共线，得a ＋m b ＝λ(n a ＋b )，即⎩⎨⎧1＝λn ，m ＝λ，所以mn －1＝0. 2．如图，一直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB ，AD 分别交于E ，F 两点，且交对角线AC 于点K ，其中AE →＝25AB →，AF →＝12AD →，AK →＝λAC →，则λ＝________．解析：因为AE →＝25AB →，AF →＝12AD →，所以AB →＝52AE →，AD →＝2AF →.由向量加法的平行四边形法则可知， AC →＝AB →＋AD →，所以AK →＝λAC →＝λ(AB →＋AD →)＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫52AE →＋2AF →＝52λAE →＋2λAF →， 由E ，F ，K 三点共线，可得52λ＋2λ＝1，λ＝29.答案：29[A 基础达标]1．(2022·成都市高三高考适应性考试)设a 是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( )A ．a 与λa 的方向相反 B.a 与λ2a 的方向相同 C ．|－λa |≥|a |D.|－λa |≥|λ|a解析：选B.对于A ，当λ>0时，a 与λa 的方向相同，当λ<0时，a 与λa 的方向相反，故A 不正确，B 正确；对于C ，|－λa |＝|－λ||a |，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa |与|a |的大小关系不确定，故C 不正确；对于D ，|λ|a 是向量，而|－λa |表示长度，两者不能比较大小，故D 不正确．2．若D 为△ABC 的边AB 的中点，则CB →＝( ) A ．2CD →－CA → B.2CA →－CD → C ．2CD →＋CA → D.2CA →＋CD →解析：选A.如图，2CD →－CA →＝CD →＋(CD →－CA →)＝CD →＋AD →＝CD →＋DB →＝CB →.3．(2022·唐山二模)已知O 是正方形ABCD 的中心．若DO →＝λAB →＋μAC →，其中λ，μ∈R ，则λμ＝( )A ．－2 B.－12C.－ 2D. 2解析：选A.DO →＝DA →＋AO →＝CB →＋AO →＝AB →－AC →＋12AC →＝AB →－12AC →，所以λ＝1，μ＝－12，因此λμ＝－2.4．(2022·丹东五校协作体联考)P 是△ABC 所在平面上的一点，满足PA →＋PB →＋PC →＝2AB →，若S △ABC ＝6，则△PAB 的面积为( )A ．2 B.3 C.4D.8解析：选A.因为PA →＋PB →＋PC →＝2AB →＝2(PB →－PA →)，所以3PA →＝PB →－PC →＝CB →，所以PA →∥CB →，且方向相同，所以S △ABC S △PAB ＝BC AP ＝|CB →||PA →|＝3，所以S△PAB ＝S △ABC 3＝2.5．(多选)(2022·武汉市高三模拟)在△ABC 中，下列命题正确的是( ) A.AB →－AC →＝BC → B.AB →＋BC →＋CA →＝0C ．若(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 为等腰三角形D ．若AC →·AB →＞0，则△ABC 为锐角三角形解析：选BC .由向量的运算法则知AB →－AC →＝CB →，AB →＋BC →＋CA →＝0，故A 错误，B 正确； 因为(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝AB →2－AC →2＝0， 所以AB →2＝AC →2，即|AB →|＝|AC →|， 所以△ABC 为等腰三角形，故C 正确；因为AC →·AB →＞0，所以角A 为锐角，但△ABC 不一定是锐角三角形，故D 错误．故选BC .6．(多选)设a ，b 是不共线的两个平面向量，已知PQ →＝a ＋sin α·b ，其中α∈(0，2π)，QR →＝2a －b .若P ，Q ，R 三点共线，则角α的值可以为( )A.π6B.5π6C.7π6D.11π6解析：选CD.因为a ，b 是不共线的两个平面向量，所以2a －b ≠0.即QR →≠0，因为P ，Q ，R 三点共线，所以PQ →与QR →共线，所以存在实数λ，使PQ →＝λQR →，所以a ＋sin α·b ＝2λa －λb ，所以⎩⎨⎧1＝2λ，sin α＝－λ，解得sin α＝－12.又α∈(0，2π)，故α的值可以为7π6或11π6.7．已知向量e 1，e 2是两个不共线的向量，若a ＝2e 1－e 2与b ＝e 1＋λe 2共线，则λ＝________．解析：因为a 与b 共线，所以存在实数x ，使a ＝x b ，所以2e 1－e 2＝x e 1＋λx e 2，所以⎩⎨⎧x ＝2，λx ＝－1，故λ＝－12.答案：－128.如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，且AB →＝a ，AD →＝b ，则BE →＝________． 解析：BE →＝BA →＋AD →＋12DC →＝－a ＋b ＋12a ＝b －12a .答案：b －12a9．(2022·河南八市联考改编)在等腰梯形ABCD 中，AB →＝2DC →，点E 是线段BC 的中点，若AE →＝λAB →＋μAD →，则λ＝________，μ＝________．解析：取AB 的中点F ，连接CF (图略)，则由题意可得CF ∥AD ，且CF ＝AD . 因为AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋12BC →＝AB →＋12(FC →－FB →)＝AB →＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－12AB →＝34AB →＋12AD →，所以λ＝34，μ＝12. 答案：3412[B 综合应用]10．(多选)设点M 是△ABC 所在平面内一点，则下列说法正确的是( ) A ．若AM →＝12AB →＋12AC →，则点M 是边BC 的中点B ．若AM →＝2AB →－AC →，则点M 在边BC 的延长线上 C ．若AM →＝－BM →－CM →，则点M 是△ABC 的重心D ．若AM →＝xAB→＋yAC →，且x ＋y ＝12，则△MBC 的面积是△ABC 面积的12解析：选ACD.若AM →＝12AB →＋12AC →，则点M 是边BC 的中点，故A 正确；若AM →＝2AB →－AC →，即有AM →－AB →＝AB →－AC →，即BM →＝CB →， 则点M 在边CB 的延长线上，故B 错误； 若AM →＝－BM →－CM →， 即AM →＋BM →＋CM →＝0，则点M 是△ABC 的重心，故C 正确；如图，AM →＝xAB →＋yAC →，且x ＋y ＝12，可得2AM →＝2xAB →＋2yAC →， 设AN →＝2AM →， 则M 为AN 的中点，则△MBC 的面积是△ABC 面积的12，故D 正确．11．(多选)定义一种向量运算“”：ab ＝⎩⎨⎧a ·b ，当a ，b 不共线时，|a －b |，当a ，b 共线时(a ，b 是任意的两个向量)．对于同一平面内的向量a ，b ，c ，e ，则下列结论正确的是( )A ．a b ＝b aB ．λ(a b )＝(λa )b (λ∈R )C ．(a ＋b )c ＝ac ＋bcD ．若e 是单位向量，则|ae |≤|a |＋1解析：选AD.当a ，b 共线时，ab ＝|a －b |＝|b －a |＝ba ，当a ，b 不共线时，a b ＝a ·b ＝b ·a ＝b a ，故A 是正确的；当a ，b 共线且λ＝0，b ≠0时，λ(ab )＝0，(λa )b ＝|0－b |≠0，故B 是错误的；当a ＋b 与c 共线时，则存在a ，b 与c 不共线，(a ＋b )c ＝|a ＋b －c |，ac ＋bc ＝a ·c ＋b ·c ，显然|a ＋b －c |≠a ·c ＋b ·c ，故C 是错误的； 当e 与a 不共线时，|a e |＝|a ·e |<|a |·|e |＝|a |<|a |＋1，当e 与a 共线时，|ae |＝|a －e |≤|a |＋1，故D 是正确的．12．(一题多解)在△ABC 中，点D 在线段BC 上，且BD →＝2DC →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)．若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，则x 的取值范围是________．解析：方法一：AO →＝xAB →＋(1－x )AC →＝x (AB →－AC →)＋AC →，即AO →－AC →＝x (AB →－AC →)，所以CO →＝xCB →，所以|CO →||CB →|＝x ，因为BD →＝2DC →，所以BC →＝3DC →，则0<x <|DC →||BC →|＝13，所以x 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫0，13.方法二：设BO →＝λBC →，λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1，则AO →＝AB →＋BO →＝AB →＋λBC →＝(1－λ)AB →＋λAC →＝xAB →＋(1－x )·AC →，则x ＝1－λ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，13.答案：⎝⎛⎭⎪⎫0，1313．经过△OAB 重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP →＝mOA →，OQ →＝nOB →(m ，n ∈R )，则1n ＋1m＝________．解析：设OA →＝a ，OB →＝b ，则OG →＝13(a ＋b )，PQ →＝OQ →－OP →＝n b －m a ，PG →＝OG →－OP →＝13(a ＋b )－m a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b .由P ，G ，Q 三点共线得，存在实数λ使得PQ →＝λPG →， 即n b －m a ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13λb ，则⎩⎪⎨⎪⎧－m ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m ，n ＝13λ，消去λ，得1n ＋1m ＝3.答案：3。

1．有以下命题：①如果向量a ，b 与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那么a ，b 的关系是不共线； ②O ，A ，B ，C 为空间四点，且向量OA →，OB →，OC →不构成空间的一个基底，那么点O ，A ，B ，C 一定共面；③已知向量a ，b ，c 是空间的一个基底，则向量a ＋b ，a －b ，c 也是空间的一个基底． 其中正确的命题是( ) A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③答案 C 2．已知a ＝(2，－1，3)，b ＝(－1，4，－2)，c ＝(7，5，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则实数λ等于( )A.627B.637C.607D. 657解析 由题意得c ＝t a ＋μb ＝(2t －μ，－t ＋4μ，3t －2μ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧7＝2t －μ，5＝－t ＋4μ，λ＝3t －2μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝337，μ＝177，λ＝657.答案 D3．已知点B 是点A (3，7，－4)在xOz 平面上的射影，则OB →2等于( ) A ．(9，0，16) B ．25 C ．5D ．13解析 A 在xOz 平面上的射影为B (3，0，－4)，则OB →＝(3，0，－4)，OB →2＝25. 答案 B4．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M 在AC 1→上，且AM →＝12MC 1→，N 为B 1B 的中点，则|MN →|为( )A.216B.66C.156D.153解析 如图，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ， 则a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0.由条件知MN →＝MA →＋AB →＋BN → ＝－13(a ＋b ＋c )＋a ＋12c ＝23a －13b ＋16c ，∴MN →2＝49a 2＋19b 2＋136c 2＝2136， ∴|MN →|＝216. 答案 A5．已知向量m ， n 分别是直线l 和平面α的方向向量和法向量，若cos 〈m ，n 〉＝－12，则l 与α所成的角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°答案 A6．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱AA 1和BB 1的中点，则sin 〈CM →，D 1N →〉的值为( )A.19B.459C.259D.23解析 设正方体棱长为2，以D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，可知CM →＝(2，－2，1)，D 1N →＝(2，2，－1)，cos 〈CM →，D 1N →〉＝－19，sin 〈CM →，D 1N →〉＝459. 答案 B7．设正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则点D 1到平面A 1BD 的距离是( )A.32B.22C.223D.233解析 如图，建立空间直角坐标系，则D 1(0，0，2)，A 1(2，0，2)，D (0，0，0)，B (2，2，0)，∴D 1A 1→＝(2，0，0)，DA 1→＝(2，0，2)，DB →＝(2，2，0)， 设平面A 1BD 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DA 1→＝2x ＋2z ＝0，n ·DB →＝2x ＋2y ＝0.令x ＝1，则n ＝(1，－1，－1)．∴点D 1到平面A 1BD 的距离 d ＝|D 1A 1→·n ||n |＝23＝233.答案 D8．二面角α-l -β等于120°，A 、B 是棱l 上两点，AC 、BD 分别在半平面α、β内，AC ⊥l ，BD ⊥l ，且AB ＝AC ＝BD ＝1，则CD 的长等于( )A. 2B. 3 C ．2 D. 5答案 C9.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AB ⊥侧面BB 1C 1C ，AB ＝BC ＝1，BB 1＝2，∠BCC 1＝60°.(1)求证： C 1B ⊥平面ABC ；(2)设CE →＝λCC 1→(0≤λ≤1)，且平面AB 1E 与BB 1E 所成的锐二面角的大小为30°，试求λ的值． (1)证明 因为AB ⊥平面BB 1C 1C ，BC 1⊂平面BB 1C 1C ，所以AB ⊥BC 1， 在△CBC 1中，BC ＝1，CC 1＝BB 1＝2，∠BCC 1＝60°，由余弦定理得：BC 21＝BC 2＋CC 21－2BC ·CC 1·cos ∠BCC 1 ＝12＋22－2×1×2×cos 60°＝3，所以BC 1＝3，故BC 2＋BC 21＝CC 21，所以BC ⊥BC 1，又BC ∩AB ＝B ，∴C 1B ⊥平面ABC .(2)解 由(1)可知，AB ，BC ，BC 1两两垂直．以B 为原点，BC ，BA ，BC 1所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系.则B (0，0，0)，A (0，1，0)，C (1，0，0)，C 1(0，0，3)，B 1(－1，0，3)．所以CC 1→＝(－1，0，3), 所以CE →＝(－λ，0，3λ)，∴E (1－λ，0，3λ)，则AE →＝(1－λ，－1，3λ)，AB 1→＝(－1，－1，3)．设平面AB 1E 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ⊥AE →，n ⊥AB 1→，得⎩⎨⎧（1－λ）x －y ＋3λz ＝0，－x －y ＋3z ＝0，令z ＝3，则x ＝3－3λ2－λ，y ＝32－λ，，∴n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3－3λ2－λ，32－λ，3，∵AB ⊥平面BB 1C 1C ，BA →＝(0，1，0)是平面的一个法向量， ∴|cos 〈n ，BA →〉|＝n ·BA →|n |·|BA →|＝32－λ1×⎝ ⎛⎭⎪⎫3－3λ2－λ2＋⎝⎛⎭⎫32－λ2＋（3）2＝32.两边平方并化简得2λ2－5λ＋3＝0，所以λ＝1或λ＝32(舍去)．∴λ＝1.10．如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的的菱形，∠BAD ＝60°，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，BF ＝3，G 和H 分别是CE 和CF 的中点．(1)求证：平面BDGH ∥平面AEF ； (2)求二面角H －BD －C 的大小．(1)证明 在△CEF 中，因为G ，H 分别是CE ，CF 的中点． 所以GH ∥EF ，又因为GH ⊄平面AEF ，EF ⊂平面AEF ， 所以GH ∥平面AEF . 设AC ∩BD ＝O ，连接OH ， 因为ABCD 为菱形，所以O 为AC 中点，在△ACF 中，因为OA ＝OC ，CH ＝HF ， 所以OH ∥AF ，又因为OH ⊄平面AEF ，AF ⊂平面AEF ， 所以OH ∥平面AEF .又因为OH ∩GH ＝H ，OH ，GH ⊂平面BDGH ，所以平面BDGH ∥平面AEF . (2)解 取EF 的中点N ，连接ON ，因为四边形BDEF 是矩形，O ，N 分别为BD ，EF 的中点， 所以ON ∥ED ，因为平面BDEF ⊥平面ABCD ， 所以ED ⊥平面ABCD ， 所以ON ⊥平面ABCD ，因为ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD ，得OB ，OC ，ON 两两垂直． 所以以O 为原点，OB ，OC ，ON 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴， 如图建立空间直角坐标系．因为底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD ＝60°，BF ＝3，所以B (1，0，0)，D (－1，0，0)，E (－1，0，3)，F (1，0，3)，C (0，3，0)，H ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，32，所以BH →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，32，DB →＝(2，0，0)．设平面BDH 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BH →＝0n ·DB →＝0⇒⎩⎨⎧－x ＋3y ＋3z ＝0，2x ＝0，令z ＝1，得n ＝(0，－3，1)．由ED ⊥平面ABCD ，得平面BCD 的法向量为DE →＝(0，0，3)， 则cos 〈n ，DE →〉＝n ·DE →|n||DE →|＝0×0＋（－3）×0＋1×32×3＝12.所以二面角H －BD －C 的大小为60°.11.如图，△ABC 是以∠ABC 为直角的三角形，SA ⊥平面ABC ，SA ＝BC ＝2，AB ＝4.M ，N ，D 分别是SC ，AB ，BC 的中点．(1)求证：MN ⊥AB ；(2)求二面角S -ND -A 的余弦值； (3)求点A 到平面SND 的距离．解 以B 为坐标原点，BC ， BA 为x ，y 轴的正方向，垂直于平面ABC 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系(如图)．(1)证明 由题意得A (0，4，0)，B (0，0，0)，M (1，2，1)，N (0，2，0)，S (0，4，2)，D (1，0，0)．所以：MN →＝(－1，0，－1)，AB →＝(0，－4，0)，MN →·AB →＝0，∴MN ⊥AB . (2)设平面SND 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )， 则：m ·SN →＝0，且m ·DN →＝0.∵SN →＝(0，－2，－2)，DN →＝(－1，2，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2y －2z ＝0，－x ＋2y ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＋z ＝0，x ＝2y . 令z ＝1，得：x ＝－2，y ＝－1， ∴m ＝(－2，－1，1)．又平面AND 的法向量为n ＝(0，0，1)，cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝66. 由题图易知二面角S -ND -A 为锐角，故其余弦值为66. (3)∵AN →＝(0，－2，0)， ∴点A 到平面SND 的距离 d ＝|AN →·m ||m |＝63.12．如图，将长为4，宽为1的长方形折叠成长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的四个侧面，记底面上一边AB ＝t (0<t <2)，连接A 1B ，A 1C ，A 1D .(1)当长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积最大时，求二面角B －A 1C －D 的值；(2)线段A 1C 上是否存在一点P ，使得A 1C ⊥平面BPD ，若有，求出P 点的位置，没有请说明理由解法一 (1)根据题意，长方体体积为V ＝t (2－t )×1＝t (2－t )≤⎝⎛⎭⎫t ＋2－t 22＝1，当且仅当t ＝2－t ，即t ＝1时体积V 有最大值为1，所以当长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积最大时，底面四边形ABCD 为正方形， 作BM ⊥A 1C 于M ，连接DM ，BD ，因为四边形ABCD 为正方形，所以△A 1BC 与△A 1DC 全等，故DM ⊥A 1C ，所以∠BMD 即为所求二面角的平面角．因为BC ⊥平面AA 1B 1B ，所以△A 1BC 为直角三角形，又A 1B ＝2，A 1C ＝3，所以BM ＝A 1B ×BC A 1C ＝23＝63，同理可得，DM ＝63，在△BMD 中，根据余弦定理有：cos ∠BMD ＝69＋69－22×63×63＝－12， 因为∠BMD ∈(0°，180°)，所以∠BMD ＝120°， 即此时二面角B －A 1C －D 的值是120°.(2)若线段A 1C 上存在一点P ，使得A 1C ⊥平面BPD ，则A 1C ⊥BD又A 1A ⊥平面ABCD ，所以A 1A ⊥BD ，所以BD ⊥平面A 1AC .所以BD ⊥AC ，底面四边形ABCD 为正方形，即只有ABCD 为正方形时，线段A 1C 上存在点P 满足要求，否则不存在．由(1)知，所求点P 即为BM ⊥A 1C 的垂足M ，此时，A 1P ＝A 1B 2A 1C ＝23＝233.法二根据题意可知，AA 1，AB ，AD 两两垂直，以AB 为x 轴，AD 为y 轴，AA 1为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系：(1)长方体体积为V ＝t (2－t )×1＝t (2－t )≤⎝⎛⎭⎫t ＋2－t 22＝1，当且仅当t ＝2－t ，即t ＝1时体积V 有最大值为1.所以当长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积最大时，底面四边形ABCD 为正方形，则A 1(0，0，1)，B (1，0，0)，C (1，1，0)，A 1B →＝(1，0，－1)，BC →＝(0，1，0)，设平面A 1BC 的法向量m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧x －z ＝0，y ＝0，取x ＝z ＝1，得：m ＝(1，0，1)，同理可得平面A 1CD 的法向量n ＝(0，1，1)， 所以，cos 〈m ，n 〉＝m·n |m|·|n|＝12， 又二面角B －A 1C －D 为钝角，故值是120°.(也可以通过证明B 1A ⊥平面A 1BC 写出平面A 1BC 的法向量)(2)根据题意有B (t ，0，0)，C (t ，2－t ，0)，D (0，2－t ，0)，若线段A 1C 上存在一点P 满足要求，不妨A 1P →＝λA 1C →(λ＞0)，可得P (λt ，λ(2－t )，1－λ)BP →＝(λt －t ，λ(2－t )，1－λ)， BD →＝(－t ，2－t ，0)， ⎩⎪⎨⎪⎧BP →·A 1C →＝0，BD →·A 1C →＝0，即： ⎩⎪⎨⎪⎧t （λt －t ）＋λ（2－t ）2－（1－λ）＝0，－t 2＋（2－t ）2＝0，解得：t ＝1，λ＝23.即只有当底面四边形是正方形时才有符合要求的点P ，位置是线段A 1C 上A 1P ∶PC ＝2∶1处．。

一．方法综述平面向量中的最值与范围问题是一种典型的能力考查题，能有效地考查学生的思维品质和学习潜能，能综合考察学生分析问题和解决问题的能力，体现了高考在知识点交汇处命题的思想，是高考的热点，也是难点，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等，解决思路是建立目标函数的函数解析式，转化为求函数（二次函数、三角函数）的最值或应用基本不等式，同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合，应用图形的几何性质．二．解题策略类型一与向量的模有关的最值问题【例1】【安徽省黄山市2019届高三一模】如图，在中，，，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设，，则三角形的面积为，解得，由，且C，P，D三点共线，可知，即，故.以所在直线为轴，以点为坐标原点，过点作的垂线为轴，建立如图所示的坐标系，则，，，，则，，，则（当且仅当即时取“=”）.故的最小值为.【指点迷津】三点共线的一个向量性质：已知O、A、B、C是平面内的四点，则A、B、C三点共线的充要条件是存在一对实数、，使，且.【举一反三】1、【宁夏六盘山高级中学2019届高三下学期二模】如图，矩形中边的长为，边的长为，矩形位于第一象限，且顶点分别位于轴、轴的正半轴上（含原点）滑动，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如图，设，则因为所以则所以的最大值为所以选B2、【浙江省湖州三校2019年高考模拟】已知向量，的夹角为，且，则的最小值为（）A．B．C．5 D．【答案】B【解析】由题意可设,，因此表示直线上一动点到定点距离的和,因为关于直线的对称点为，所以选B.3、【四川省成都外国语学校2019届高三3月月考】在平面直角坐标系中，，若，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由于，即，即，所以在以原点为圆心，半径为的圆上.得到三点共线.画出图像如下图所示，由图可知，的最小值等于圆心到直线的距离减去半径，直线的方程为，圆心到直线的距离为，故的最小值是，故选C.类型二与向量夹角有关的范围问题【例2】【四川省成都市实验外国语学校2019届高三10月月考】已知向量与的夹角为，，，，，在时取得最小值若，则夹角的取值范围是______.【答案】【解析】，，，在时取得最小值解可得：则夹角的取值范围本题正确结果：【指点迷津】求变量的取值范围、最值，往往要将目标函数用某个变量表示，转化为求函数的最值问题，期间要注意变量之间的关系，进而得解． 【举一反三】1、非零向量b a ,满足b a2=22b a，2|||| b a，则b a 与的夹角的最小值是 ．【答案】3【解析】由题意得2212a b a b r r r r ，24a b r r ，整理得22422a b a b a b r r r r r r ，即1a b r11cos ,22a b a b a b a b r rr r r r r r ，,3a b r r ，夹角的最小值为3 .2、【上海市2019年1月春季高考】在椭圆上任意一点，与关于轴对称，若有，则与的夹角范围为____________【答案】【解析】 由题意：，设，，因为，则与结合，又与结合，消去，可得：所以本题正确结果：类型三 与向量投影有关的最值问题【例3】【辽宁省沈阳市郊联体2019届高三一模】若平面向量，满足||=|3|=2，则在方向上的投影的最大值为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 因为，所以，在方向上的投影为，其中为，的夹角．又，故．设，则有非负解，故， 故，故，故选A ．【指点迷津】向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用；（2）计算角，.特别地，两个非零向量垂直的充要条件是.另外，的几何意义就是向量在向量的投影与模的乘积，向量在向量的投影为．【举一反三】1、已知ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为2，且0OA AB AC u u u v u u u v u u u v v ，则向量CA u u u v 在向量CB u u u v方向上的投影为( ) A. 3 B. 3 C. -3 D. 3 【答案】B本题选择B 选项.2、设1,2OA OB u uu v u u u v ， 0OA OB u u u v u u u v ， OP OA OB u u u v u u u v u u u v ，且1 ，则OA u u u v 在OP uuu v 上的投影的取值范围( ) A. 25-,15B.25,15C. 5,15D. 5-,15【答案】D当λ0 时， 0,x当222215λ8λ4482λ0521x λλλλ，故当λ1 时，1x 取得最小值为1，即1101x x， 当λ0 时， 222215844825215x，即15x 505x综上所述 5( ,1x故答案选D 类型四 与平面向量数量积有关的最值问题 【例4】【辽宁省鞍山市第一中学2019届高三一模】中，，，，且，则的最小值等于 A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 由题意知，向量，且，可得点D 在边BC 上，，所以，则，即，所以时以C 为直角的直角三角形．如图建立平面直角坐标系，设，则， 则，，当时，则最小，最小值为．故选：C ．【指点迷津】平面向量数量积的求法有：①定义法；②坐标法；③转化法；其中坐标法是同学们最容易忽视的解题方法，要倍加注视，若有垂直或者容易出现垂直的背景可建立平面直角坐标系，利用坐标法求解.【举一反三】1、已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE DC u u u r u u u r的最大值为（ ）A. 1B. 12C. 3D. 2【答案】A2、【辽宁省鞍山市第一中学2019届高三一模】中，，，，且，则的最小值等于 A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 由题意知，向量，且，可得点D 在边BC 上，，所以，则，即，所以时以C 为直角的直角三角形．如图建立平面直角坐标系，设，则， 则，，当时，则最小，最小值为．故选：C ．3、已知圆的半径为2，是圆上任意两点，且，是圆的一条直径，若点满足（），则的最小值为（ ）A. -1B. -2C. -3D. -4 【答案】C类型五 平面向量系数的取值范围问题【例5】在矩形ABCD 中， 12AB AD ，，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上，若AP AB AD u u u v u u u v u u u v，则 的最大值为（ ）A. 3B. 22C. 5D. 2【答案】A∴圆的方程为（x ﹣1）2+（y ﹣2）2=45， 设点P 25cosθ+1， 25）， ∵AP AB AD u u u v u u u v u u u v，25， 25sinθ+2）=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ）， ∴55cosθ+1=λ， 55sinθ+2=2μ， ∴255（θ+φ）+2，其中tanφ=2， ∵﹣1≤sin （θ+φ）≤1， ∴1≤λ+μ≤3，故λ+μ的最大值为3， 故选：A【指点迷津】（1）向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题；（2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题； （3）向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题. 【举一反三】1、【云南省昆明市云南师范大学附属中学2019届高三上学期第四次月考】已知正方形ABCD 的边长为1，动点P 满足，若，则的最大值为A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】解：以A 为原点建立如图所示的直角坐标系：则，，，，设， ,则由得，化简得：，又，，，，表示圆上的点到原点的距离得平方，其最大值等于圆心到原点的距离加半径的平方，即，故选：C ．2.已知1,3,0OA OB OA OB u u u v u u u v u u u v u u u v ，点C 在AOB 内，且OC u u u v 与OA u u u v 的夹角为030，设,OC mOA nOB m n R u u u v u u u v u u u v ，则mn的值为（ ）A. 2B. 52C. 3D. 4【答案】C 【解析】如图所示，建立直角坐标系．由已知1,3,OA OB u u u v u u u v，，则10033OA OB OC mOA nOB m n u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r（，），（，），（，）， 33303n tan m， 3mn． 故选B3.【上海市金山区2019届高三二模】正方形ABCD 的边长为2，对角线AC 、BD 相交于点O ，动点P 满足，若，其中m 、n R ，则的最大值是________【答案】 【解析】建立如图所示的直角坐标系，则A （﹣1，﹣1），B （1，﹣1），D （﹣1，1），P （，），所以（1，sinθ+1），（2，0），（0，2），又，所以，则，其几何意义为过点E （﹣3，﹣2）与点P （sinθ，cosθ）的直线的斜率，设直线方程为y +2k （x +3），点P 的轨迹方程为x 2+y 2＝1，由直线与圆的位置关系有：，解得：，即的最大值是1，故答案为：1类型六 平面向量与三角形四心的结合【例6】已知ABC 的三边垂直平分线交于点O ， ,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，且 222c b b ，则AO BC u u u v u u u v的取值范围是__________．【答案】2,23【指点迷津】平面向量中有关范围最值问题的求解通常有两种思路：①“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；②“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．【举一反三】1、如图，为的外心，为钝角，是边的中点，则的值为（）A. 4B.C.D.【答案】B2.已知点O 是锐角三角形ABC 的外心，若OC mOA nOB u u u v u u u v u u u v（m ， n R ），则（ ）A. 2m nB. 21m nC. 1m nD. 10m n 【答案】C【解析】∵O 是锐角△ABC 的外心，∴O 在三角形内部，不妨设锐角△ABC 的外接圆的半径为1，又OC mOA nOB u u u v u u u v u u u v ，∴|OC u u u v |=| mOA nOB u u u v u u u v |，可得2OC u u u v =22m OA u u u v +22n OB u u u v +2mn OA u u u v ⋅OB uuu v ，而OA u u u v ⋅OB uuu v =|OA u u u v|⋅|OB uuu v |cos ∠A 0B <|OA u u u v |⋅|OB uuu v|=1.∴1=2m +2n +2mn OA u u u v ⋅OB uuu v<22m n +2mn ，∴m n <−1或m n >1，如果m n >1则O 在三角形外部，三角形不是锐角三角形， ∴m n <−1， 故选：C.3、在ABC 中， 3AB ， 5AC ，若O 为ABC 外接圆的圆心（即满足OA OB OC ），则·AO BC u u u v u u u v的值为__________. 【答案】8【解析】设BC 的中点为D ，连结OD ,AD ，则OD BC u u u v u u u v，则：222212121538.2AO BC AD DO BC AD BCAB AC AC AB AC ABu u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u uv u u u v u u u v u u u v u u uv u u u v三．强化训练1.【宁夏平罗中学2019届高三上期中】已知数列是正项等差数列，在中，，若，则的最大值为（）A．1 B．C． D．【答案】C【解析】解：∵，故三点共线，又∵，∴，数列是正项等差数列，故∴，解得：，故选：C．2.【山东省聊城市第一中学2019届高三上期中】已知M是△ABC内的一点，且，，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为1，，，则的最小值是（）A．2 B．8 C．6 D．3【答案】D【解析】∵，，∴，化为．∴．∴．则，而=5+4=9，当且仅当，即时取等号，故的最小值是9，故选：D．3．【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟《黄金卷三》】已知是边长为的正三角形，且，，设函数，当函数的最大值为-2时，（）A．B．C．D．【答案】D【解析】,因为是边长为的正三角形，且，所以又因，代入得所以当时，取得最大，最大值为所以，解得，舍去负根.故选D项.4．【辽宁省鞍山市第一中学2019届高三一模】已知平面向量，，满足，若，则的最小值为A．B．C．D．0【答案】B【解析】因为平面向量，，满足，，，，设，，，，所以的最小值为．故选：B．5.已知直线分别于半径为1的圆O相切于点若点在圆O的内部（不包括边界），则实数的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】B6.【河南省南阳市第一中学2019届高三第十四次考试】已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是（）A．1 B．2 C．D．【答案】C【解析】解：以所在直线建立平面直角坐标系，设，，，因为所以，即，故，令（为参数），所以，因为，所以，，故选C.7．【四川省成都市外国语学校2019届高三一诊】如图所示，在中，，点在线段上，设，，，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解：．∵，，三点共线，∴．即．由图可知．∴．令，得，令得或（舍）．当时，，当时，．∴当时， 取得最小值故选：D．8．【安徽省宣城市 2019 届高三第二次调研】在直角三角形中，边 的中线 上，则的最大值为（ ）.，，A．B．C．D．【答案】B 【解析】 解：以 A 为坐标原点，以 AB，AC 方向分别为 x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系， 则 B（2，0），C（0，4），中点 D(1,2)设，所以，，在 斜时，最大值为 ．故选：B． 二、填空题 9.在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c．若对任意 λ∈R，不等式则 的最大值为_____． 【答案】2【解析】由，两边平方得，，则则，又，则，即，由 ，从而，即，从而问题可得解.恒成立， ，，2110.【2019 年 3 月 2019 届高三第一次全国大联考】已知 的内角 所对的边分别为 ，向量，，且，若 ，则 面积的最大值为________．【答案】 【解析】由 ，得，整理得．由余弦定理得，因为，所以．又所以，，当且仅当 时等号成立，所以，即．故答案为： ． 11.【四川省广元市 2019 届高三第二次高考适应】在等腰梯形 ABCD 中，已知，，，，动点 E 和 F 分别在线段 BC 和 DC 上，且，【答案】【解析】解：等腰梯形 ABCD 中，已知，，，，，，，，，则的最小值为______．，22， ，则当且仅当即 时有最小值故答案为：12.【上海市七宝中学 2019 届高三下学期开学】若边长为 6 的等边三角形 ABC，M 是其外接圆上任一点，则的最大值为______．【答案】【解析】解：是等边三角形， 三角形的外接圆半径为 ，以外接圆圆心 为原点建立平面直角坐标系，设，．设，则，．．23的最大值是．故答案为．13．【天津市第一中学 2019 届高三下学期第四次月考】在线段 以点 为中点，则的最大值为________【答案】0 【解析】中，已知 为直角，，若长为 的即 14．【安徽省黄山市 2019 届高三第二次检测】已知 是锐角，则 的取值范围为________.【答案】 【解析】 设 是 中点，根据垂径定理可知，依题意的最大值为 0. 的外接圆圆心， 是最大角，若，即，利用正弦定理化简得.由于，所以，即.由于 是锐角三角形的最大角，故，故.15．【北京市大兴区 2019 届高三 4 月一模】已知点，，点 在双曲线的取值范围是_________．的右支上，则24【答案】【解析】设点 P(x,y),（x＞1），所以，因为，当 y＞0 时，y=,所以，由于函数在[1，+∞）上都是增函数，所以函数在[1，+∞）上是增函数，所以当 y＞0 时函数 f(x)的最小值=f(1)=1.即 f(x)≥1.当 y≤0 时，y=,所以，由于函数 所以函数在[1，+∞）上都是增函数， 在[1，+∞）上是减函数，所以当 y≤0 时函数 k(x)＞0.综上所述，的取值范围是.16．【上海市青浦区 2019 届高三二模】已知 为的外心，，大值为________【答案】【解析】设的外接圆半径为 1，以外接圆圆心为原点建立坐标系，因为，所以，不妨设，，，则，，，因为，所以，，则 的最25解得，因为 在圆上，所以 即， ，所以，所以，解得或，因为 只能在优弧 上，所以，故26。

考点30 立体几何中的向量方法一、解答题1.(2016年全国卷Ⅰ高考理科·T18)如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面ABEF为正方形,AF＝2FD,∠AFD＝90°,且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60°.(1)证明:平面ABEF⊥平面EFDC.(2)求二面角E-BC-A的余弦值.【试题解析】(1)因为ABEF为正方形,所以AF⊥EF.因为∠AFD＝90°,所以AF⊥DF.因为DF∩EF＝F,所以AF⊥面EFDC,AF⊂面ABEF,所以平面ABEF⊥平面EFDC.(2)由(1)知∠DFE＝∠CEF＝60°.因为AB∥EF,AB⊄平面EFDC,EF⊂平面EFDC,所以EF∥平面ABCD,AB⊂平面ABCD.因为面ABCD ∩面EFDC ＝CD , 所以AB ∥CD , 所以CD ∥EF ,所以四边形EFDC 为等腰梯形, 以E 为原点,如图建立坐标系,设FD ＝a ,E (0,0,0),B (0,2a ,0),C a a 2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭,A (2a ,2a ,0),EB ＝(0,2a ,0),BC＝a ,a 2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,AB ＝(-2a ,0,0). 设平面BEC 的法向量为m ＝(x 1,y 1,z 1).m 0,m 0,EB BC ⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩即11112a y =0,a x -2ay +a z =0,2⎧⋅⎪⎨⋅⋅⎪⎩ 令x 1＝,则11y 0,z 1,⎧=⎪⎨=-⎪⎩m ＝(,0,-1).设平面ABC 法向量为n ＝(x 2,y 2,z 2),n BC 0,n AB 0.⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩即2222a x 2ay az 0,22ax 0.⎧-+=⎪⎨⎪=⎩ 令y,则22x 0,z 4,⎧=⎪⎨=⎪⎩ n ＝(0, ,4).设二面角E-BC-A 的大小为θ.cos θ＝⋅⋅m n m n ＝＝,所以二面角E-BC-A 的余弦值为. 2.(2016年全国卷Ⅱ理科·T19)如图,菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ,AB ＝5,AC ＝6,点E ,F分别在AD ,CD 上,AE ＝CF ＝54,EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△D'EF 的位置,OD'＝ (1)证明:D'H ⊥平面ABCD.(2)求二面角B-D'A-C 的正弦值.【解题指南】这是一道折叠问题,注意图形折叠前后变化和不变化的量.(1)要证线面垂直,只需证线线垂直.易证EF ⊥HD',只需证明OH ⊥HD',利用勾股定理证明即可.(2)由(1)知,D'H ⊥平面ABCD ,可建立空间直角坐标系求二面角的正弦值. 【试题解析】(1)因为AE ＝CF ＝54, 所以AE CF=AD CD, 所以EF ∥AC.因为四边形ABCD 为菱形, 所以AC ⊥BD , 所以EF ⊥BD , 所以EF ⊥DH , 所以EF ⊥D'H. 因为AC ＝6, 所以AO ＝3; 又AB ＝5,AO ⊥OB ,所以OB ＝4, 所以OH ＝AEAD·OD ＝1, 所以DH ＝D'H ＝3,所以|OD'|2＝|OH|2＋|D'H|2, 所以D'H ⊥OH. 又因为OH ∩EF ＝H , 所以D'H ⊥平面ABCD.(2)建立如图所示的坐标系,设二面角B-D'A-C 的平面角为θ.B (5,0,0),C (1,3,0),D'(0,0,3),A (1,-3,0),AB ＝(4,3,0),AD' ＝(-1,3,3),AC ＝(0,6,0),设平面ABD'的法向量为n 1＝(x ,y ,z ),由11n AB 0,n AD'0,⎧=⎪⎨=⎪⎩⋅⋅得4x 3y 0,x 3y 3z 0,⎧+=⎨-++=⎩取x 3,y 4,z 5,⎧=⎪=-⎨⎪=⎩所以n 1＝(3,-4,5).设平面ACD'的法向量为n 2＝(a ,b ,c ),由22n AC 0,n AD'0,⎧=⎪⎨=⎪⎩⋅⋅得6b 0,a 3b 3c 0,⎧=⎨-++=⎩取a 3,b 0,c 1,⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以n 2＝(3,0,1),所以|cos θ|＝1212==25⋅n n n n , 所以sin θ＝3.(2016年全国卷Ⅲ·理科·T19)(本小题满分12分)如图,四棱锥P-ABCD 中,PA ⊥底面ABCD ,AD ∥BC ,AB ＝AD ＝AC ＝3,PA ＝BC ＝4,M 为线段AD 上一点,AM ＝2MD ,N 为PC 的中点. (1)证明:MN ∥平面PAB.(2)求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值.【试题解析】(1)由已知得AM ＝23AD ＝2,取BP 的中点T ,连接AT ,TN , 由N 为PC 中点知TN ∥BC ,TN ＝12BC ＝2.又AD ∥BC ,故TN ∥AM ,TN ＝AM ,四边形AMNT 为平行四边形,于是MN ∥AT. 因为AT ⊂平面PAB ,MN ⊄平面PAB ,所以MN ∥平面PAB.(2)取BC 的中点F ,连接AF.由AB ＝AC 得AF ⊥BC ,从而AF ⊥AD 且 AF＝=以A 为坐标原点,AF 的方向为x 轴的正方向,AD 的方向为y 轴的正方向,AP 的方向为z 轴的正方向,建立空间直角坐标系,由题意可得 P ()0,0,4,M ()0,2,0,C),N ,1,2⎫⎪⎪⎝⎭,所以()PM 0,2,4-=,PN ,1,2⎛⎫-⎪⎪⎝=⎭,AN ,1,2⎛⎫ ⎪⎪⎝=⎭, 设n ＝(x ,y ,z )为平面PMN 的法向量,则n PM 0,n PN 0,⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩即2y 4z 0,x y 2z 0,⎧-=+-=可取n ＝()0,2,1,所以cos ＜n ,n AN 8AN n AN⋅=≥,所以直线AN与平面PMN所成角的正弦值为.4.(2016年天津高考理科·T17)(本小题满分13分)如图,正方形ABCD的中心为O,四边形OBEF为矩形,平面OBEF⊥平面ABCD,点G为AB的中点,AB ＝BE＝2.(1)求证:EG∥平面ADF.(2)求二面角O-EF-C的正弦值.(3)设H为线段AF上的点,且AH＝2HF,求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.3【解题指南】(1)取AD的中点I,连接FI,证明EG∥FI.(2)建立空间直角坐标系,求平面CEF与平面OEF的法向量所成的角.(3)利用空间直角坐标系求BH与平面CEF的法向量所成的角的余弦值即可.【试题解析】(1)取AD的中点I,连接FI,因为四边形OBEF为矩形,所以EFOB,因为G,I分别是AB,AD的中点,所以GI是△ABD的中位线,BD,所以GI∥BD且GI＝12因为O是正方形ABCD的中心,BD,所以OB＝12所以EF∥GI且EF＝GI,所以四边形EFIG是平行四边形,所以EG∥FI.因为FI⊂平面ADF,所以EG∥平面ADF.(2)如图所示建立空间直角坐标系O-xyz ,则B ()0,,C),E ()0,,F ()0,0,2,设平面CEF 的一个法向量为n 1＝()x,y,z ,则()()()()11n EF x,y,z 0,n CF x,y,z 2z 0,⎧=⋅==⎪⎨⎪=⋅⋅=+=⎩⋅ 令z ＝1,得:x y 0,z 1,⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩所以n 1＝),因为OC ⊥平面OEF ,所以平面OEF 的一个法向量为n 2＝()1,0,0,121212n n cos n ,n ===n n ⋅, sin ＜n 1,n 2＞＝ (3)因为AH ＝23HF ,所以)224AH AF ,0,==555⎫⎪⎪⎝⎭, 设H ()x,y,z ,所以()4AH x =,0,=5⎫+⎪⎪⎝⎭,得:x ,y 0,4z ,5⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩即H 4,0,5⎫⎪⎪⎝⎭,所以4BH 2,=5⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,111BH n cos BH,n ===BH n ⋅. 所以直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值为.。