【高中数学专项突破】专题40 函数y=Asin(wx+φ)(含答案)

函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像（二）[学习目标] 1.会用“五点法”画函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象.2.能根据y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象，确定其解析式.3.了解y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的物理意义，能指出简谐运动中的振幅、周期、相位、初相．知识点一 “五点法”作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象．利用“五点法”作出函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)在一个周期上的图象，要经过“取值、列表、描点、连线”这四个步骤．请完成下面的填空.所以，描点时的五个关键点的坐标依次是(－φω，0)，(－φω＋π2ω，A )，(－φω＋πω，0)，(－φω＋3π2ω，－A )，(－φω＋2πω，0)． 若设T ＝2πω，则这五个关键点的横坐标依次为－φω，－φω＋T 4，－φω＋T 2，－φω＋34T ，－φω＋T .思考 利用“五点法”作出函数y ＝2sin(2x ＋π3)一个周期上的图象，通常选取的五个点依次为 ．答案 (－π6，0)，(π12，2)，(π3，0)，(712π，－2)，(56π，0)．知识点二 由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象 求三角函数的解析式(1)在由图象求解析式时，“第一个零点”的确定是关键，一般地可将所给一段图象左、右扩展找离原点最近且穿过x 轴上升的即为“第一零点”(x 1,0)．从左到右依次为第二、三、四、五点，分别有ωx 2＋φ＝π2，ωx 3＋φ＝π，ωx 4＋φ＝32π，ωx 5＋φ＝2π.(2)由图象确定系数ω，φ通常采用两种方法：①如果图象明确指出了周期的大小和初始值x 1(第一个零点的横坐标)或第二，第三(或第四，第五)点横坐标，可以直接解出ω和φ，或由方程(组)求出．②代入点的坐标，通过解最简单的三角函数方程，再结合图象确定ω和φ. (3)A 的求法一般由图象观察法或代入点的坐标通过解A 的方程求出．思考 已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，则ω＝ ，φ＝ . 答案 2 －π6解析 由图象知，T 4＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π，ω＝2.且2×7π12＋φ＝k π＋π(k ∈Z )，φ＝k π－π6(k ∈Z )．又|φ|<π2，∴φ＝－π6.知识点三 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)或 f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的奇偶性关于函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)或f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的奇偶性有以下结论：①f (x )＝A sin(ωx ＋φ)是奇函数⇔f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于原点对称⇔f (0)＝0⇔φ＝k π(k ∈Z )．②函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)是偶函数⇔f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于y 轴对称⇔f (0)＝A 或f (0)＝－A ⇔φ＝k π＋π2(k ∈Z )．③函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)是奇函数⇔f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的图象关于原点对称⇔f (0)＝0⇔φ＝k π＋π2(k ∈Z )．④函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)是偶函数⇔f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的图象关于y 轴对称⇔f (0)＝A 或f (0)＝－A ⇔φ＝k π(k ∈Z )思考 (1)若函数f (x )＝5sin(2x ＋α)是偶函数，则α等于( ) A ．k π，k ∈Z B ．(2k ＋1)π，k ∈Z C ．2k π＋π2，k ∈ZD ．k π＋π2，k ∈Z(2)若函数f (x )＝cos(3x ＋φ)是奇函数，则φ等于( ) A ．－π2B ．k π＋π2(k ∈Z )C ．k π(k ∈Z )D ．2k π－π2(k ∈Z )答案 (1)D (2)B解析 (1)f (0)＝5sin α＝±5，∴sin α＝±1. ∴α＝k π＋π2，k ∈Z .(2)f (0)＝cos φ＝0，∴φ＝k π＋π2，k ∈Z .题型一 “五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图例1 利用五点法作出函数y ＝3sin(12x －π3)在一个周期内的草图．解 依次令x 2－π3取0、π2、π、3π2、2π，列出下表：描点，连线，如图所示．跟踪训练1 用“五点法”作出函数y ＝2sin(2x －π3)的简图．解 列表：描点，连线得函数y ＝2sin(2x －π3)在一个周期内的图象．再将这部分图象向左或向右延伸k π(k ∈Z )个单位长度，就可得函数y ＝2sin(2x －π3)(x ∈R )的图象．题型二 求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例2 如图为y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的一段，求其解析式．解 方法一 以N 为第一个零点， 则A ＝－3，T ＝2⎝⎛⎭⎫5π6－π3＝π，∴ω＝2，此时解析式为y ＝－3sin(2x ＋φ)． ∵点N ⎝⎛⎭⎫－π6，0， ∴－π6×2＋φ＝0，∴φ＝π3，所求解析式为y ＝－3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 方法二 由图象知A ＝3，以M ⎝⎛⎭⎫π3，0为第一个零点，P ⎝⎛⎭⎫5π6，0为第二个零点． 列方程组⎩⎨⎧ω·π3＋φ＝0，ω·5π6＋φ＝π，解之得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝2，φ＝－2π3.∴所求解析式为y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3＝－3sin(2x ＋π3)．跟踪训练2 已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的部分函数图象如图所示，求此函数的解析式． 解 由图象可知A ＝2， T 2＝43－13＝1， ∴T ＝2，∴T ＝2πω＝2，∴ω＝π.∴y ＝2sin(πx ＋φ)．代入(13，2)得2sin(π3＋φ)＝2，∴sin(π3＋φ)＝1，∴π3＋φ＝2k π＋π2，φ＝2k π＋π6， 又∵|φ|<π2，∴φ＝π6，∴y ＝2sin(πx ＋π6)．题型三 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称性例3 已知函数f (x )＝a 2sin 2x ＋(a －2)cos 2x 的图象关于点⎝⎛⎭⎫π2，0中心对称，求a 的值． 解 ∵函数f (x )＝a 2sin 2x ＋(a －2)cos 2x 的图象关于⎝⎛⎭⎫π2，0中心对称，∴f ⎝⎛⎭⎫π2＝2－a ＝0，∴a ＝2.跟踪训练3 已知函数f (x )＝a 2sin 2x ＋(a －2)cos 2x 的图象关于直线x ＝－π8对称，求a 的值．解 根据函数图象关于直线x ＝－π8对称，∴f ⎝⎛⎭⎫－π8＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫－π8－x 对一切x ∈R 恒成立． 取x ＝π8得f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫－π4. 代入得a －2＝－a 2，解得a ＝1或a ＝－2.数形结合思想在三角方程问题中的应用例4 已知方程2sin(2x ＋π3)－1＝a ，x ∈[－π6，13π12]有两解，求a 的取值范围．分析 可先作出函数y ＝2sin(2x ＋π3)的图象，再结合直线y ＝a ＋1与图象交点个数判定a 的取值范围．解 构造函数y ＝2sin(2x ＋π3)及y ＝a ＋1，用五点作图法作出函数y ＝2sin(2x ＋π3)在[－π6，13π12]上的图象如图．显然要使y ＝a ＋1与图象有两个交点， 只须－2<a ＋1<0或a ＋1＝2， 解得－3<a <－1或a ＝1，即a 的取值范围为{a |－3<a <－1或a ＝1}．1．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( ) A ．关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称 B ．关于直线x ＝π4对称 C ．关于点⎝⎛⎭⎫π4，0对称 D ．关于直线x ＝π3对称 2．若函数y ＝sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如图，则( )A ．ω＝π2，φ＝π4B ．ω＝π3，φ＝π6C ．ω＝π4，φ＝π4D ．ω＝π4，φ＝5π43．函数y ＝sin(12x ＋π6)的对称中心是 ，对称轴方程是 ．4．作出y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4在一个周期上的图象．5．设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，y ＝f (x )的图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ的值；(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间．一、选择题1．已知简谐运动f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋φ(|φ|<π2)的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( ) A ．T ＝6，φ＝π6B ．T ＝6，φ＝π3C ．T ＝6π，φ＝π6D ．T ＝6π，φ＝π32．已知a 是实数，则函数f (x )＝1＋a sin ax 的图象不可能是( )3．若函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f (π6＋x )＝f (π6－x )，则有f (π6)等于( ) A ．3或0 B ．－3或0 C ．0D ．－3或34．下列函数中，图象的一部分如图所示的是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫4x －π3 D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π65.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，为了得到g (x )＝sin 3x 的图象，则只要将f (x )的图象( )A ．向右平移π4个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向左平移π12个单位长度6．如果函数y ＝sin 2x ＋a cos 2x 的图象关于直线x ＝－π8对称，那么a 等于( )A. 2 B ．－ 2 C ．1 D ．－1 二、填空题7．把函数y ＝2sin(x ＋2π3)的图象向左平移m 个单位，所得图象关于y 轴对称，则m 的最小正值是 ．8．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ) (ω>0，－π≤φ<π)的图象如下图所示，则φ＝ .9．若函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋1(ω>0，|φ|<π)对任意实数t ，都有f (t ＋π3)＝f (－t ＋π3)，记g (x )＝A cos(ωx ＋φ)－1，则g (π3)＝ .10．关于f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 (x ∈R )，有下列命题： ①由f (x 1)＝f (x 2)＝0可得x 1－x 2是π的整数倍； ②y ＝f (x )的表达式可改写成y ＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6； ③y ＝f (x )图象关于⎝⎛⎭⎫－π6，0对称； ④y ＝f (x )图象关于x ＝－π6对称． 其中正确命题的序号为 ． 三、解答题11．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的最小值为－2，其图象相邻的最高点与最低点横坐标差是3π，又图象过点(0,1)，求函数的解析式．12．已知曲线y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)上的一个最高点的坐标为⎝⎛⎭⎫π8，2，此点到相邻最低点间的曲线与x 轴交于点⎝⎛⎭⎫38π，0，若φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2.(1)试求这条曲线的函数表达式；(2)用“五点法”画出(1)中函数在[0，π]上的图象．13．(1)利用“五点法”画出函数y ＝sin(12x ＋π6)在长度为一个周期的闭区间的简图列表：作图：(2)并说明该函数图象可由y ＝sin x (x ∈R )的图象经过怎样变换得到的．当堂检测答案1．答案 A 2．答案 C解析 由所给图象可知，T4＝2，∴T ＝8.又∵T ＝2πω，∴ω＝π4.∵图象在x ＝1处取得最高点，∴π4＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，∴φ＝2k π＋π4(k ∈Z )，∵0≤φ<2π，∴φ＝π4.3．答案 (2k π－π3，0)，k ∈Z x ＝2k π＋23π，k ∈Z4．解 列表：描点、连线，如图所示：5．解 (1)∵直线x ＝π8是函数y ＝f (x )的图象的一条对称轴，∴sin(2×π8＋φ)＝±1，∴π4＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )．∵－π<φ<0，∴φ＝－3π4.(2)由(1)知φ＝－3π4，因此f (x )＝sin(2x －3π4)．由题意得2k π－π2≤2x －3π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，即k π＋π8≤x ≤k π＋58π(k ∈Z )．∴函数y ＝sin(2x －3π4)的单调递增区间为[k π＋π8，k π＋5π8](k ∈Z )．课时精练答案一、选择题 1．答案 A解析 T ＝2πω＝2ππ3＝6，代入(0,1)点得sin φ＝12.∵－π2<φ<π2，∴φ＝π6.2．答案 D解析 当a ＝0时f (x )＝1，C 符合，当0<|a |<1时T >2π，且最小值为正数，A 符合，当|a |>1时T <2π，且最小值为负数，B 符合，排除A 、B 、C. D 项中，由振幅得a >1，∴T <2π，而由图象知T >2π矛盾，故选D. 3．答案 D解析 由f (π6＋x )＝f (π6－x )知，x ＝π6是函数的对称轴，解得f (π6)＝3或－3，故选D.4．答案 D解析 由图知T ＝4×⎝⎛⎭⎫π12＋π6＝π， ∴ω＝2πT ＝2.又x ＝π12时，y ＝1，经验证，可得D 项解析式符合题目要求．5.答案 B解析 由图象知，函数f (x )的周期T ＝4×(5π12－π4)＝2π3＝2πω，所以ω＝3.因为函数f (x )的图象过图中最小值点(5π12，－1)，所以A ＝1且sin(3×5π12＋φ)＝－1，又因为|φ|<π2，所以φ＝π4，所以f (x )＝sin(3x ＋π4)．因为g (x )＝sin 3x ，所以g (x )＝f (x －π12)．为了得到g (x )＝sin 3x 的图象，只需将f (x )的图象向右平移π12个单位长度，故选B.6．答案 D解析 方法一 ∵函数y ＝sin 2x ＋a cos 2x 的图象关于x ＝－π8对称，设f (x )＝sin 2x ＋a cos 2x ，则f (－π4)＝f (0)，∴sin(－π2)＋a cos(－π2)＝sin 0＋a cos 0.∴a ＝－1.方法二 由题意得f (－π8－x )＝f (－π8＋x )，令x ＝π8，有f (－π4)＝f (0)，即a ＝－1.二、填空题 7．答案5π6解析 把y ＝2sin(x ＋2π3)的图象向左平移m 个单位，则y ＝2sin(x ＋m ＋2π3)，其图象关于y 轴对称，∴m ＋2π3＝k π＋π2，即m ＝k π－π6，k ∈Z .∴取k ＝1，m 的最小正值为5π6. 8．答案9π10解析 由图象知函数y ＝sin(ωx ＋φ)的周期为 2⎝⎛⎭⎫2π－3π4＝5π2，∴2πω＝5π2，∴ω＝45. ∵当x ＝3π4时，y 有最小值－1，∴45×3π4＋φ＝2k π－π2 (k ∈Z )． ∵－π≤φ<π，∴φ＝9π10.9．答案 －1解析 ∵f (t ＋π3)＝f (－t ＋π3)，∴f (x )在x ＝π3时，取到最大值或最小值，即x ＝π3时，sin(ωx ＋φ)＝±1，∴x ＝π3时，cos(ωx ＋φ)＝0，∴g (π3)＝－1.10．答案 ②③解析 对于①，由f (x )＝0，可得2x ＋π3＝k π (k ∈Z )，∴x ＝k 2π－π6，∴x 1－x 2是π2的整数倍，∴①错；对于②，f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3利用公式得： f (x )＝4cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6.∴②对；对于③，f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的对称中心满足2x ＋π3＝k π，k ∈Z ，∴x ＝k 2π－π6，k ∈Z . ∴⎝⎛⎭⎫－π6，0是函数y ＝f (x )的一个对称中心，∴③对； 对于④，函数y ＝f (x )的对称轴满足2x ＋π3＝π2＋k π，k ∈Z ，∴x ＝π12＋k π2，k ∈Z ，∴④错．三、解答题11．解 由于最小值为－2，所以A ＝2. 又相邻的最高点与最低点横坐标之差为3π. 故T ＝2×3π＝6π，从而ω＝2πT ＝2π6π＝13， y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫13x ＋φ. 又图象过点(0,1)，所以sin φ＝12.因为|φ|<π2，所以φ＝π6.故所求解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫13x ＋π6.12．解 (1)由题意知A ＝2，T ＝4×⎝⎛⎭⎫38π－π8＝π， ω＝2πT＝2，∴y ＝2sin(2x ＋φ)．又∵sin ⎝⎛⎭⎫π8×2＋φ＝1，∴π4＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ， ∴φ＝2k π＋π4，k ∈Z ，又∵φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴φ＝π4， ∴y ＝2sin ⎝⎛⎫2x ＋π4. (2)列出x 、y 的对应值表：描点、连线，如图所示：13．解 (1)先列表，后描点并画图.(2)把y ＝sin x 的图象上所有的点向左平移π6个单位长度，得到y ＝sin(x ＋π6)的图象，再把所得图象的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin(12x ＋π6)的图象．或把y ＝sin x 的图象横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin 12x 的图象，再把所得图象上所有的点向左平移π3个单位长度，得到y ＝sin [12(x ＋π3)]，即y ＝sin(12x ＋π6)的图象．。

高中数学复习：函数y=Asin(wx+φ)练习及答案1.要得到函数y ＝sin (2x +π3)的图象，只要将y ＝sin2x 的图象( ) A ．向左平移π3个单位 B ．向右平移π3个单位 C ．向左平移π6个单位 D ．向右平移π6个单位2.为了得到函数y ＝sin (2x −π6)的图象，可以将函数y ＝cos2x 的图象( ) A ．向右平移π6个单位长度 B ．向右平移π3个单位长度 C ．向左平移π6个单位长度 D ．向左平移π3个单位长度3.要得到函数y ＝√2cos x 的图象，只需将函数y ＝√2sin (2x +π4)图象上的所有点的( ) A ．横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再向左平行移动π8个单位长度 B ．横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再向右平行移动π4个单位长度 C ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动π4个单位长度 D ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动π8个单位长度 4.为了得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图象，只需把y ＝sin2x 的图象上所有的点( ) A ．向左平行移动12个单位长度 B ．向右平行移动12个单位长度 C ．向左平行移动1个单位长度 D ．向右平行移动1个单位长度 5.为了得到y ＝cos4x ，x ∈R 的图象，只需把余弦曲线上所有点的( ) A ．横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变 B ．横坐标缩短到原来的14倍，纵坐标不变 C ．纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变 D ．纵坐标缩短到原来的14倍，横坐标不变6.将函数f (x )＝2sin(2x ＋π4)的图象向右平移φ(φ＞0)个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，所得图象关于直线x ＝π4对称，则φ的最小值为( ) A ．3π4B ．12πC ．38πD ．18π7.为得到函数y ＝sin(3x ＋π4)的图象，只要把函数y ＝sin(x ＋π4)图象上所有点的( ) A ．横坐标缩短到原来的13倍，纵坐标不变 B ．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变 C ．纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变 D ．纵坐标缩短到原来的13倍，横坐标不变8.(1)如何由y ＝sin x 的图象得到y ＝2cos (−12x +π4)的图象？ (2)如何由y ＝13sin (2x +π3)的图象得到y ＝sin x 的图象？9.为了得到函数y ＝3sin(2x ＋π5)，x ∈R 的图象，只需把函数y ＝3sin(x ＋π5)，x ∈R 的图象上所有点的( )A ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B ．横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变 C ．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 D ．纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变10.已知简谐运动f (x )＝2sin (π3＋φ)(|φ|＜π2)的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( )A ．T ＝6，φ＝π6 B ．T ＝6，φ＝π3C．T＝6π，φ＝π6D．T＝6π，φ＝π311.一个匀速旋转的摩天轮每12分钟旋转一周，最低点距地面2米，最高点距地面18米，P是摩天轮轮周上的定点，从P在摩天轮最低点开始计时，t分钟后P点距地面高度为h(米)，设h＝A sin(ωt＋φ)＋B(A＞0，ω＞0，φ∈[0,2π))，则下列结论错误的是( )A．A＝8 B．ω＝π6 C．φ＝π2D．B＝1012.y＝f(x)是以2π为周期的周期函数，其图象的一部分如下图所示，则y＝f(x)的解析式为( )A．y＝3sin(x＋1) B．y＝－3sin(x＋1)C．y＝3sin(x－1) D．y＝－3sin(x－1)13.已知函数y＝A sin(ωx＋φ)＋m的最大值是4，最小值是0，最小正周期是π2，直线x＝π3是其图象的一条对称轴，则下面各解析式符合条件的是( )A．y＝4sin(4x+π6)＋2 B．y＝2sin(2x+π3)＋2C．y＝2sin(4x+π3)＋2 D．y＝2sin(4x+π6)＋214.如图是函数y＝A sin(ωx＋φ)＋2的图象的一部分，它的振幅、周期、初相各是________.15.函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0，－π2＜φ＜π2)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是________.16.在同一地点，单摆在振幅很小的情况下，其周期T(单位：s)与摆长l(单位：m)的算术平方根成正比.(1)写出单摆的周期关于摆长的函数解析式；(2)通常把周期为2s的单摆称为秒摆，若某地秒摆的摆长为0.994m，求在该地摆长为0.300m的单摆的周期.17.弹簧挂着的小球做上下运动，它在t秒时相对于平衡位置h厘米有下列关系确定h＝2sin(t−π).4(1)以t为横坐标，h为纵坐标，作出这个函数在一个周期内的图象；(2)小球在开始震动时的位置在哪里？(3)小球的最高点和最低点与平衡位置的距离分别是多少？(4)经过多少时间小球往复运动一次？(5)每秒钟小球能往复振动多少次？18.已知函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2)的部分图象如图所示，求f(x)的解析式.19.已知a是实数，则函数f(x)＝1＋a sin ax的图象不可能是( ) A．B．C．D．20.设函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)(A≠0，ω＞0，|φ|＜π2)的图象关于直线x＝2π3对称，它的周期是π，则( )A．f(x)的图象过点(0,12)B．f(x)在[5π12,2π3]上是减函数C．f(x)的一个对称中心是(5π12,0)D．f(x)的最大值是A21.函数y＝lg sin(π4－2x)的单调递增区间是()A．[kπ－π8，kπ＋π6)(k∈Z)B．[kπ－π8，kπ＋3π8](k∈Z)C．[kπ－5π8，kπ－π8)(k∈Z)D．(kπ−3π8,kπ−π8](k∈Z)22.关于f(x)＝4sin(2x+π3)(x∈R)，有下列命题：①由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2是π的整数倍；②y＝f(x)的表达式可改写成y＝4cos(2x−π6)；③y＝f(x)图象关于(−π6,0)对称；④y＝f(x)图象关于x＝－π6对称.其中正确命题的序号为________.23.如下图，f(x)＝A sin(2ωx+φ)(ω＞0，A＞0，－π2＜φ＜0).(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在[－π，－π2]上的值域.24.已知函数f(x)＝A sin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2)的部分图象如图所示，求f(x)的解析式.25.已知函数f(x)＝A sin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2)的一段图象如图所示.(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)的单调减区间，并指出f(x)的最大值及取到最大值时x的集合.26.已知函数f(x)＝A sin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜π2)的图象如图所示.(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)求函数y＝f(x＋π8)的零点.27.已知函数f(x)＝A sin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的图象与y轴的交点为(0,1)，它在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和(x0＋2π，－2).(1)求f(x)的解析式及x0的值；(2)求f(x)的单调增区间；(3)若x∈[－π，π]，求f(x)的值域.答案1.要得到函数y＝sin(2x+π3)的图象，只要将y＝sin2x的图象( )A．向左平移π3个单位B．向右平移π3个单位C．向左平移π6个单位D．向右平移π6个单位【答案】C【解析】因为y＝sin(2x+π3)＝sin2(x+π6)，所以把y＝sin2x的图象上所有点向左平移π6个单位，就得到y＝sin2(x+π6)＝sin(2x+π3)的图象.2.为了得到函数y＝sin(2x−π6)的图象，可以将函数y＝cos2x的图象( )A．向右平移π6个单位长度B．向右平移π3个单位长度C．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π3个单位长度 【答案】B【解析】y ＝sin (2x −π6)＝cos [π2−(2x −π6)] ＝cos (2π3−2x)＝cos (2x −2π3)＝cos2(x −π3).3.要得到函数y ＝√2cos x 的图象，只需将函数y ＝√2sin (2x +π4)图象上的所有点的( ) A ．横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再向左平行移动π8个单位长度 B ．横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再向右平行移动π4个单位长度 C ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动π4个单位长度 D ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动π8个单位长度 【答案】C【解析】∵y ＝√2cosx ＝√2sin (x +π2)，∴y ＝√2sin (2x +π4)纵坐标不变→ 横坐标伸长到原来的2倍y ＝√2sin (x +π4)向左平行移动π4个单位长度→ y ＝√2sin (x +π2).4.为了得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图象，只需把y ＝sin2x 的图象上所有的点( ) A ．向左平行移动12个单位长度 B ．向右平行移动12个单位长度 C ．向左平行移动1个单位长度 D ．向右平行移动1个单位长度 【答案】A【解析】∵y ＝sin(2x ＋1)＝sin2(x ＋12)，∴把y ＝sin2x 的图象上所有的点向左平行移动12个单位长度，即可得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图象.5.为了得到y ＝cos4x ，x ∈R 的图象，只需把余弦曲线上所有点的( ) A ．横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变 B ．横坐标缩短到原来的14倍，纵坐标不变 C ．纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变 D ．纵坐标缩短到原来的14倍，横坐标不变 【答案】B【解析】ω＝4＞1，因此只需把余弦曲线上所有点的横坐标缩短到原来的14倍，纵坐标不变. 6.将函数f (x )＝2sin(2x ＋π4)的图象向右平移φ(φ＞0)个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，所得图象关于直线x ＝π4对称，则φ的最小值为( ) A ．3π4B ．12πC ．38πD ．18π【答案】C【解析】将函数f (x )＝2sin(2x ＋π4)的图象向右平移φ(φ＞0)个单位， 可得y ＝2sin[2(x －φ)＋π4]＝2sin(2x ＋π4－2φ)的图象. 再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)， 所得图象对应的函数为y ＝2sin(4x ＋π4－2φ).再根据所得图象关于直线x ＝π4对称，可得4×π4＋π4－2φ＝k π＋π2，k ∈Z ， 即φ＝－k π2＋3π8，故φ的最小值为3π8.7.为得到函数y ＝sin(3x ＋π4)的图象，只要把函数y ＝sin(x ＋π4)图象上所有点的( ) A ．横坐标缩短到原来的13倍，纵坐标不变B ．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变C ．纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变D ．纵坐标缩短到原来的13倍，横坐标不变 【答案】A【解析】把函数y ＝sin(x ＋π4)图象上所有点的横坐标缩短到原来的13倍，纵坐标不变，可得函数y ＝sin(3x ＋π4)的图象.8.(1)如何由y ＝sin x 的图象得到y ＝2cos (−12x +π4)的图象？ (2)如何由y ＝13sin (2x +π3)的图象得到y ＝sin x 的图象？ 【答案】(1)∵y ＝2cos (−12x +π4)＝2cos (12x −π4)＝2cos (12x +π4−π2)＝2sin (12x +π4)，∴y ＝sin x 向左平移π4个单位→ y ＝sin (x +π4)横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标伸长为原来的2倍→y ＝2sin (12x +π4)＝2cos (−12x +π4).(2)y ＝13sin (2x +π3)横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍→ y ＝sin (2x +π3)纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍→y ＝sin (x +π3)向右平移π3个单位→y ＝sin x .9.为了得到函数y ＝3sin(2x ＋π5)，x ∈R 的图象，只需把函数y ＝3sin(x ＋π5)，x ∈R 的图象上所有点的( )A ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B ．横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变 C ．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 D ．纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变 【答案】B【解析】由函数图象变换的规则可知，函数y ＝3sin(2x ＋π5)，x ∈R 的图象可以由函数y ＝3sin(x ＋π5)，x ∈R 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变得到.10.已知简谐运动f (x )＝2sin (π3＋φ)(|φ|＜π2)的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( ) A ．T ＝6，φ＝π6 B ．T ＝6，φ＝π3 C ．T ＝6π，φ＝π6 D ．T ＝6π，φ＝π3 【答案】A【解析】由题意知图象经过点(0,1)，即2sin φ＝1， 又因|φ|＜π2可得，φ＝π6，由函数的周期得T ＝6.11.一个匀速旋转的摩天轮每12分钟旋转一周，最低点距地面2米，最高点距地面18米，P 是摩天轮轮周上的定点，从P 在摩天轮最低点开始计时，t 分钟后P 点距地面高度为h (米)，设h ＝A sin(ωt ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0，φ∈[0,2π))，则下列结论错误的是( )A ．A ＝8B ．ω＝π6 C ．φ＝π2 D ．B ＝10 【答案】C【解析】一个匀速旋转的摩天轮每12分钟旋转一周，最低点距地面2米，最高点距地面18米，P 是摩天轮轮周上的定点，从P 在摩天轮最低点开始计时，t 分钟后P 点距地面高度为h 米，设h ＝A sin(ωt ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0，φ∈[0,2π))，所以T ＝12，ω＝π6，A ＝8，B ＝10，显然选项A 、B 、D 正确，C 错误.12.y ＝f (x )是以2π为周期的周期函数，其图象的一部分如下图所示，则y ＝f (x )的解析式为( )A ．y ＝3sin(x ＋1)B ．y ＝－3sin(x ＋1)C ．y ＝3sin(x －1)D ．y ＝－3sin(x －1) 【答案】D【解析】A ＝3，ω＝2πT＝1，由ω×1＋φ＝π，∴φ＝π－1，∴f (x )＝3sin[x ＋(π－1)]＝－3sin(x －1).13.已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋m 的最大值是4，最小值是0，最小正周期是π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，则下面各解析式符合条件的是( )A ．y ＝4sin (4x +π6)＋2 B ．y ＝2sin (2x +π3)＋2 C ．y ＝2sin (4x +π3)＋2 D ．y ＝2sin (4x +π6)＋2 【答案】D【解析】∵最大值是4，故A 不符合题意. 又∵T ＝2πω＝π2，∴ω＝4，故排除B.又4x ＋π3＝π2＋k π(k ∈Z )⇒4x ＝π6＋k π(k ∈Z )⇒x ＝π24＋k π4＝π3(k ∈Z )，∴k ＝76∉Z ，排除C ，故选D.14.如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋2的图象的一部分，它的振幅、周期、初相各是________.【答案】A ＝1，T ＝43π，φ＝－3π4【解析】由图知周期T ＝43π，A ＝1， 又因为T ＝2πω，知ω＝32，再将点(π6，1)代入y ＝A sin(ωx ＋φ)＋2， 计算求出φ＝－3π4.15.函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0，－π2＜φ＜π2)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是________.【答案】2，－π3【解析】∵在同一周期内，函数在x ＝5π12时取得最大值，x ＝11π12时取得最小值，∴函数的周期T 满足T2＝11π12－5π12＝π2，由此可得T ＝2πω＝π，解得ω＝2， 得函数表达式为f (x )＝2sin(2x ＋φ)，又∵当x ＝5π12时取得最大值2， ∴2sin(2··5π12＋φ)＝2，可得5π6＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，∵－π2＜φ＜π2，∴取k ＝0，得φ＝－π3.16.在同一地点，单摆在振幅很小的情况下，其周期T (单位：s)与摆长l (单位：m)的算术平方根成正比.(1)写出单摆的周期关于摆长的函数解析式；(2)通常把周期为2s 的单摆称为秒摆，若某地秒摆的摆长为0.994m ，求在该地摆长为0.300m 的单摆的周期.【答案】(1)∵周期T (单位：s)与摆长l (单位：m)的算术平方根成正比， ∴T ＝2π√1g .(2)∵某地秒摆的摆长为0.994m ， ∴2＝2π√0.994g，∴g ＝0.994π2，∴摆长为0.300m 的单摆的周期为2π√0.3000.994π2≈1.095.17.弹簧挂着的小球做上下运动，它在t 秒时相对于平衡位置h 厘米有下列关系确定h ＝2sin (t −π4).(1)以t 为横坐标，h 为纵坐标，作出这个函数在一个周期内的图象； (2)小球在开始震动时的位置在哪里？(3)小球的最高点和最低点与平衡位置的距离分别是多少？ (4)经过多少时间小球往复运动一次？ (5)每秒钟小球能往复振动多少次？【答案】(1)由题意可得h ＝2sin (t +π4)的图象，如图.(2)由题意可得当t ＝0时，h ＝2sin (t +π4)＝√2， 故小球在开始震动时的位置在(0，√2). (3)由解析式可得振幅A ＝2，故小球的最高点和最低点与平衡位置的距离均为2厘米. (4)可得函数的周期为T ＝2π，故小球往复运动一次需2π. (5)可得频率为12π，即每秒钟小球能往复振动12π次.18.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2)的部分图象如图所示，求f (x )的解析式.【答案】∵14T ＝＝π8－(－π8)＝π4，∴T ＝2πω＝π，解得ω＝2.根据五点法作图可得2×π8＋φ＝0，求得φ＝－π4，∴函数f(x)＝2sin(2x－π4).19.已知a是实数，则函数f(x)＝1＋a sin ax的图象不可能是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】当a＝0时，f(x)＝1，C符合；当0＜|a|＜1时，T＞2π，且最小值为正数，A符合；当|a|＞1时，T＜2π，B符合.排除A、B、C，故选D.20.设函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)(A≠0，ω＞0，|φ|＜π2)的图象关于直线x＝2π3对称，它的周期是π，则( )A．f(x)的图象过点(0,12)B．f(x)在[5π12,2π3]上是减函数C．f(x)的一个对称中心是(5π12,0)D．f(x)的最大值是A【答案】C【解析】∵周期T＝π，∴2πω＝π，∴ω＝2.又∵f(x)的图象关于直线x＝2π3对称，∴2×2π3＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)，φ＝kπ－5π6(k∈Z).又|φ|＜π2，∴φ＝π6.∴f(x)＝A sin(2x+π6).∴图象过(0,A2).当x＝5π12，2x＋π6＝π，即f(5π12)＝0时，(5π12,0)是f(x)的一个对称中心.21.函数y＝lg sin(π4－2x)的单调递增区间是()A．[kπ－π8，kπ＋π6)(k∈Z)B．[kπ－π8，kπ＋3π8](k∈Z)C．[kπ－5π8，kπ－π8)(k∈Z)D．(kπ−3π8,kπ−π8](k∈Z)【答案】D【解析】令2kπ＋π＜2x－π4≤2kπ＋3π2(k∈Z)，2kπ＋5π4＜2x≤2kπ＋7π4(k∈Z)，kπ＋5π8＜x≤kπ＋7π8(k∈Z)，故函数的单调递增区间是(kπ－3π8，kπ－π8](k∈Z).22.关于f(x)＝4sin(2x+π3)(x∈R)，有下列命题：①由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2是π的整数倍；②y＝f(x)的表达式可改写成y＝4cos(2x−π6)；③y＝f(x)图象关于(−π6,0)对称；④y＝f(x)图象关于x＝－π6对称.其中正确命题的序号为________.【答案】②③【解析】对于①，由f(x)＝0，可得2x＋π3＝kπ(k∈Z).∴x＝k2π－π6，∴x1－x2是π2的整数倍，∴①错；对于②，f(x)＝4sin(2x+π3)利用公式得f(x)＝4cos[π2−(2x+π3)]＝4cos(2x−π6)，∴②对；对于③，f(x)＝4sin(2x+π3)的对称中心满足2x＋π3＝kπ，k∈Z，∴x＝k2π－π6，k∈Z，∴(−π6,0)是函数y＝f(x)的一个对称中心，∴③对；对于④，函数y＝f(x)的对称轴满足2x＋π3＝π2＋kπ，k∈Z，∴x＝π12＋kπ2，k∈Z，∴④错.23.如下图，f(x)＝A sin(2ωx+φ)(ω＞0，A＞0，－π2＜φ＜0).(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在[－π，－π2]上的值域.【答案】(1)由题知A＝2，T＝43(2π3+π12)＝π，由周期公式得2ω＝2πT＝2，∴f(x)＝2sin(2x＋φ).又∵f(x)的图象过(0，－1)，∴2sinφ＝－1，又∵－π2＜φ＜0，∴φ＝－π6.∴f(x)＝2sin(2x－π6).(2)∵x∈[－π，－π2]，∴2x－π6∈[−13π6,−7π6]，∴2sin(2x－5π6)∈[－1,2]，∴函数f(x)在[－π，－π2]上的值域为[－1,2].24.已知函数f (x )＝A sin (ωx +φ)(A ＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2)的部分图象如图所示，求f (x )的解析式.【答案】∵14T ＝π8－(－π8)＝π4，∴T ＝2πω＝π，解得ω＝2. 根据五点法作图可得2×π8＋φ＝0，求得φ＝－π4， ∴函数f (x )＝2sin(2x －π4).25.已知函数f (x )＝A sin (ωx +φ)(A ＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2)的一段图象如图所示. (1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )的单调减区间，并指出f (x )的最大值及取到最大值时x 的集合.【答案】(1)由图象可以得到函数f (x )的振幅A ＝3， 设函数周期为T ，则34T ＝4π－π4＝15π4，所以T ＝5π，则ω＝25，由ωx 0＋φ＝0，得25×π4＋φ＝0，所以φ＝－π10， 所以f (x )＝3sin(25x －π10). (2)由π2＋2k π≤25x －π10≤3π2＋2k π(k ∈Z )，得3π2＋5k π≤x ≤4π＋5k π(k ∈Z )，所以函数的减区间为(3π2＋5k π，4π＋5k π)，k ∈Z .函数f (x )的最大值为3，当且仅当25x －π10＝π2＋2k π，k ∈Z ，即x ＝3π2＋5k π(k ∈Z )时函数取得最大值.所以函数的最大值为3，取得最大值时的x 的集合为{x |x ＝3π2＋5k π(k ∈Z )}. 26.已知函数f (x )＝A sin (ωx +φ)(A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π2)的图象如图所示.(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)求函数y ＝f (x ＋π8)的零点.【答案】(1)由图知A ＝2，T ＝2(5π8−π8)＝π，∴ω＝2，∴f (x )＝2sin(2x ＋φ). 又∵f (π8)＝2sin (π4+φ)＝2，∴sin(π4＋φ)＝1，∴π4＋φ＝π2＋2k π，∴φ＝π4＋2k π(k ∈Z ).∵0＜φ＜π2，∴φ＝π4， ∴函数的解析式为f (x )＝2sin(2x ＋π4).(2)由(1)知，f (x )＝2sin(2x ＋π4)，∴f (x ＋π8)＝2sin (2x +π2)＝2cos2x ＝0，∴2x ＝k π＋π2，即x ＝k π2＋π4(k ∈Z ). ∴函数y ＝f (x ＋π8)的零点为x ＝k π2＋π4(k ∈Z ).27.已知函数f (x )＝A sin (ωx +φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的图象与y 轴的交点为(0,1)，它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x 0,2)和(x 0＋2π，－2).(1)求f (x )的解析式及x 0的值；(2)求f (x )的单调增区间；(3)若x ∈[－π，π]，求f (x )的值域.【答案】(1)由题意作出f (x )的简图如图.由图象知A ＝2，由T 2＝2π，得T ＝4π， ∴4π＝2πω，即ω＝12，∴f (x )＝2sin(12x ＋φ)，∴f (0)＝2sin φ＝1.又∵|φ|＜π2，∴φ＝π6，∴f (x )＝2sin(12x ＋π6).∵f (x 0)＝2sin(12x 0＋π6)＝2，∴12x 0＋π6＝π2＋2k π，k ∈Z ，∴(x 0,2)是y 轴右侧的第一个最高点，∴x 0＝2π3. (2)由－π2＋2k π≤12x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ， 得－43π＋4k π≤x ≤23π＋4k π，k ∈Z ， ∴f (x )的单调增区间为[−4π3+4k π,2π3+kπ](k ∈Z ). (3)∵－π≤x ≤π，∴－π3≤12x ＋π6≤2π3，∴－√32≤sin (12x +π6)≤1， ∴－√3≤f (x )≤2，故f (x )的值域为[－√3，2].。

1．y＝A sin(ωx＋φ)的有关概念y ＝A sin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0)，x∈R 振幅周期频率相位初相A T＝2πωf＝1T＝ω2πωx＋φφ2.用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示：x 0－φωπ2－φωπ－φω3π2－φω2π－φωωx＋φ0π2π3π22πy＝A sin(ωx＋φ)0 A 0－A 03.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的步骤如下：【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致．(×)(2)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象是由y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图象向右平移π2个单位得到的．( √ ) (3)由图象求解析式时，振幅A 的大小是由一个周期内的图象中的最高点的值与最低点的值确定的．( √ )(4)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图象的两个相邻对称轴间的距离为一个周期．( × )(5)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( √ )1．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的振幅、频率和初相分别为 ． 答案 2，1π，－π42．(2015·山东改编)要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图象，需将函数y ＝sin 4x 的图象进行的变换为 ．①向左平移π12个单位；②向右平移π12个单位；③向左平移π3个单位；④向右平移π3个单位．答案 ②解析 ∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3＝sin ⎣⎡⎦⎤4⎝⎛⎭⎫x －π12， ∴要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象向右平移π12个单位． 3．(2015·湖南改编)将函数f (x )＝sin 2x 的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0＜φ＜π2个单位后得到函数g (x )的图象，若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π3，则φ＝ .答案 π6解析 因为g (x )＝sin [2(x －φ)]＝sin(2x －2φ)， 所以|f (x 1)－g (x 2)|＝|sin 2x 1－sin(2x 2－2φ)|＝2. 因为－1≤sin 2x 1≤1，－1≤sin(2x 2－2φ)≤1，所以sin 2x 1和sin(2x 2－2φ)的值中，一个为1，另一个为－1，不妨取sin 2x 1＝1，sin(2x 2－2φ)＝－1，则2x 1＝2k 1π＋π2，k 1∈Z,2x 2－2φ＝2k 2π－π2，k 2∈Z,2x 1－2x 2＋2φ＝2(k 1－k 2)π＋π，(k 1－k 2)∈Z ，得|x 1－x 2|＝⎪⎪⎪⎪(k 1－k 2)π＋π2－φ. 因为0<φ<π2，所以0<π2－φ<π2，故当k 1－k 2＝0时，|x 1－x 2|min ＝π2－φ＝π3，则φ＝π6.4．(教材改编)如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b ，则这段曲线的函数解析式为 ．答案 y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋3π4＋20，x ∈[6,14] 解析 从图中可以看出，从6～14时的是函数 y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的半个周期， 所以A ＝12×(30－10)＝10，b ＝12×(30＋10)＝20， 又12×2πω＝14－6， 所以ω＝π8.又π8×10＋φ＝2π， 解得φ＝3π4，所以y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋3π4＋20，x ∈[6,14]．5．(2014·安徽)若将函数f (x )＝sin(2x ＋π4)的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是 ． 答案3π8解析 ∵函数f (x )＝sin(2x ＋π4)的图象向右平移φ个单位得到g (x )＝sin[2(x －φ)＋π4]＝sin(2x ＋π4－2φ)，又∵g (x )是偶函数，∴π4－2φ＝k π＋π2(k ∈Z )．∴φ＝－k π2－π8(k ∈Z )．当k ＝－1时，φ取得最小正值3π8.题型一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换例1 已知函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. (1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到． 解 (1)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的振幅A ＝2， 周期T ＝2π2＝π，初相φ＝π3.(2)令X ＝2x ＋π3，则y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝2sin X . 列表如下：x －π6 π12 π3 7π12 5π6 X 0 π2 π 3π2 2π y ＝sin X 0 1 0 －1 0 y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 02－2(3)方法一 把y ＝sin x 的图象上所有的点向左平移π3个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象； 再把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象； 最后把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象． 方法二 将y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin 2x的图象；再将y ＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位长度，得到y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象； 再将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)，即得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象． 思维升华 (1)五点法作简图：用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．(2)图象变换：由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．(1)把函数y ＝sin(x ＋π6)图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再将图象向右平移π3个单位长度，那么所得图象的一条对称轴方程为 (填正确的序号)．①x ＝－π2；②x ＝－π4；③x ＝π8；④x ＝π4.(2)设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于 ． 答案 (1)① (2)6解析 (1)将y ＝sin(x ＋π6)图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin(2x ＋π6)；再将图象向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝sin[2(x －π3)＋π6]＝sin(2x －π2)，故x＝－π2是其图象的一条对称轴方程．(2)由题意可知，nT ＝π3 (n ∈N *)，∴n ·2πω＝π3(n ∈N *)，∴ω＝6n (n ∈N *)，∴当n ＝1时，ω取得最小值6.题型二 由图象确定y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例2 (1)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0，|φ|<π2)的图象上一个最高点的坐标为(2，2)，由这个最高点到其右侧相邻最低点间的图象与x 轴交于点(6,0)，则此函数的解析式为 ．(2)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为 ．答案 (1)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋π4 (2)f (x )＝2sin(2x ＋π3)解析 (1)由题意得A ＝2，T 4＝6－2，所以T ＝16，ω＝2πT ＝π8.又sin ⎝⎛⎭⎫π8×2＋φ＝1，所以π4＋φ＝π2＋2k π (k ∈Z )．又因为|φ|<π2，所以φ＝π4. (2)由题图可知A ＝2，T 4＝7π12－π3＝π4，所以T ＝π，故ω＝2， 因此f (x )＝2sin(2x ＋φ)， 又⎝⎛⎭⎫712π，－2为最小值点，∴2×712π＋φ＝2k π＋3π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π＋π3，k ∈Z ，又|φ|＜π，∴φ＝π3.故f (x )＝2sin(2x ＋π3)．思维升华 确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)的步骤和方法： (1)求A ，b ，确定函数的最大值M 和最小值m ， 则A ＝M －m 2，b ＝M ＋m 2.(2)求ω，确定函数的最小正周期T ，则可得ω＝2πT .(3)求φ，常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx ＋φ＝π2；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx ＋φ＝3π2. 函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2＜φ＜π2的部分图象如图所示，则φ＝ . 答案 －π3解析 ∵T 2＝1112π－512π，∴T ＝π.又T ＝2πω(ω＞0)，∴2πω＝π，∴ω＝2.由五点作图法可知当x ＝512π时，ωx ＋φ＝π2，即2×512π＋φ＝π2，∴φ＝－π3.题型三 三角函数图象性质的应用命题点1 三角函数模型的应用例3 如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置P (x ，y )．若初始位置为P 0⎝⎛⎭⎫32，12，当秒针从P 0(注：此时t ＝0)正常开始走时，那么点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系式为 ．答案 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π30t ＋π6 解析 设点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系式为y ＝sin(ωt ＋φ)．由题意可得，函数的初相位是π6.又函数周期是60(秒)且秒针按顺时针旋转，即T ＝⎪⎪⎪⎪2πω＝60，所以|ω|＝π30，即ω＝－π30，所以y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π30t ＋π6. 命题点2 方程根(函数零点问题)例4 已知关于x 的方程2sin 2x －3sin 2x ＋m －1＝0在⎝⎛⎭⎫π2，π上有两个不同的实数根，则m 的取值范围是 ． 答案 (－2，－1)解析 方程2sin 2x －3sin 2x ＋m －1＝0可转化为 m ＝1－2sin 2x ＋3sin 2x ＝cos 2x ＋3sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π. 设2x ＋π6＝t ，则t ∈⎝⎛⎭⎫76π，136π， ∴题目条件可转化为m2＝sin t ，t ∈⎝⎛⎭⎫76π，136π，有两个不同的实数根． ∴y ＝m2和y ＝sin t ，t ∈⎝⎛⎭⎫76π，136π的图象有两个不同交点，如图：由图象观察知，m 2的范围为(－1，－12)，故m 的取值范围是(－2，－1)． 引申探究例4中，“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则m 的取值范围是 ． 答案 [－2,1)解析 由例4知，m2的范围是⎣⎡⎭⎫－1，12，∴－2≤m <1， ∴m 的取值范围是[－2,1)． 命题点3 图象性质综合应用例5 已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)－cos(ωx ＋φ)(0＜φ＜π，ω＞0)为偶函数，且函数y ＝f (x )图象的两相邻对称轴间的距离为π2.(1)求f ⎝⎛⎭⎫π8的值；(2)求函数y ＝f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值及对应的x 的值． 解 (1)f (x )＝3sin(ωx ＋φ)－cos(ωx ＋φ) ＝2⎣⎡⎦⎤32sin (ωx ＋φ)－12cos (ωx ＋φ) ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ－π6. 因为f (x )是偶函数， 则φ－π6＝π2＋k π(k ∈Z )，所以φ＝2π3＋k π(k ∈Z )，又因为0＜φ＜π，所以φ＝2π3，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π2＝2cos ωx . 由题意得2πω＝2·π2，所以ω＝2.故f (x )＝2cos 2x . 因此f ⎝⎛⎭⎫π8＝2cos π4＝ 2. (2)y ＝2cos 2x ＋2cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ＝2cos 2x ＋2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 ＝2cos 2x －2sin 2x ＝22sin ⎝⎛⎭⎫π4－2x ＝－22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 令2x －π4＝2k π－π2(k ∈Z )，y 有最大值22，所以当x ＝k π－π8(k ∈Z )时，y 有最大值2 2.思维升华 (1)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型再利用三角函数的有关知识解决问题．(2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．(3)研究y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质时可将ωx ＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．设函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的图象关于直线x ＝2π3对称，它的周期是π，则下列说法正确的是 ．(填序号) ①f (x )的图象过点(0，32)；②f (x )在[π12，2π3]上是减函数；③f (x )的一个对称中心是(5π12，0)；④将f (x )的图象向右平移|φ|个单位长度得到函数y ＝3sin ωx 的图象． 答案 ①③解析 ∵周期为π，∴2πω＝π⇒ω＝2，∴f (x )＝3sin(2x ＋φ)，f (2π3)＝3sin(4π3＋φ)，则sin(4π3＋φ)＝1或－1.又φ∈(－π2，π2)，4π3＋φ∈(5π6，116π)，∴4π3＋φ＝3π2⇒φ＝π6， ∴f (x )＝3sin(2x ＋π6)．①：令x ＝0⇒f (x )＝32，正确．②：令2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋3π2，k ∈Z⇒k π＋π6<x <k π＋2π3，k ∈Z .令k ＝0⇒π6<x <2π3，即f (x )在(π6，2π3)上单调递减，而在(π12，π6)上单调递增，错误．③：令x ＝5π12⇒f (x )＝3sin π＝0，正确．④：应平移π12个单位长度，错误．4．三角函数图象与性质的综合问题典例 (14分)已知函数f (x )＝23sin(x 2＋π4)·cos(x 2＋π4)－sin(x ＋π)．(1)求f (x )的最小正周期；(2)若将f (x )的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值．思维点拨 (1)先将f (x )化成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式再求周期；(2)将f (x )解析式中的x 换成x －π6，得g (x )，然后利用整体思想求最值．规范解答解 (1)f (x )＝23sin(x 2＋π4)·cos(x 2＋π4)－sin(x ＋π)＝3cos x ＋sin x [4分]＝2sin(x ＋π3)，[6分]于是T ＝2π1＝2π.[7分](2)由已知得g (x )＝f (x －π6)＝2sin(x ＋π6)，[9分]∵x ∈[0，π]， ∴x ＋π6∈[π6，7π6]，∴sin(x ＋π6)∈[－12，1]，[12分]∴g (x )＝2sin(x ＋π6)∈[－1,2]．[13分]故函数g (x )在区间[0，π]上的最大值为2，最小值为－1.[14分]解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤： 第一步：(化简)将f (x )化为a sin x ＋b cos x 的形式； 第二步：(用辅助角公式)构造f (x )＝a 2＋b 2· (sin x ·a a 2＋b 2＋cos x ·ba 2＋b 2)； 第三步：(求性质)利用f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)研究三角函数的性质； 第四步：(反思)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范． 温馨提醒 (1)在第(1)问的解法中，使用辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)(其中tan φ＝ba )，或a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2cos(α－φ)(其中tan φ＝ab )，在历年高考中使用频率是相当高的，几乎年年使用到、考查到，应特别加以关注．(2)求g (x )的最值一定要重视定义域，可以结合三角函数图象进行求解．[方法与技巧]1．五点法作图及图象变换问题(1)五点法作简图要取好五个关键点，注意曲线凸凹方向；(2)图象变换时的伸缩、平移总是针对自变量x 而言，而不是看角ωx ＋φ的变化． 2．由图象确定函数解析式由图象确定y ＝A sin(ωx ＋φ)时，φ的确定是关键，尽量选择图象的最值点代入；若选零点代入，应根据图象升降找“五点法”作图中第一个零点． 3．对称问题函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与x 轴的每一个交点均为其对称中心，经过该图象上坐标为(x ，±A )的点与x 轴垂直的每一条直线均为其图象的对称轴，这样的最近两点间横坐标的差的绝对值是半个周期(或两个相邻对称中心的距离)． [失误与防范]1．由函数y ＝sin x 的图象经过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，如先伸缩，再平移时，要把x 前面的系数提取出来．2．复合形式的三角函数的单调区间的求法．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的单调区间的确定，基本思想是把ωx ＋φ看做一个整体．若ω<0，要先根据诱导公式进行转化．3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)在x ∈[m ，n ]上的最值可先求t ＝ωx ＋φ的范围，再结合图象得出y ＝A sin t 的值域．A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)1．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的部分图象可能是 ．答案 ④解析 ∵y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3，∴当2x －π3＝0， 即x ＝π6时，函数取得最大值1，结合图象看，可使函数在x ＝π6时取得最大值的只有④.2．设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f (16)的值为 ．答案34解析 取K ，L 中点N ，则MN ＝12，因此A ＝12.由T ＝2得ω＝π.∵函数为偶函数，0<φ<π，∴φ＝π2，∴f (x )＝12cos πx ，∴f (16)＝12cos π6＝34.3.已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，且|φ|<π2)的部分图象如图所示，则函数f (x )的单调递增区间是 ． 答案 [k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z解析 由函数的图象可得14T ＝23π－512π，∴T ＝π，则ω＝2.又图象过点(512π，2)，∴2sin(2×512π＋φ)＝2，∴φ＝－π3＋2k π，k ∈Z ，∵|φ|<π2，∴取k ＝0，则φ＝－π3，即得f (x )＝2sin(2x －π3)，∴f (x )的单调增区间为2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，即单调递增区间为[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z .4．若f (x )＝sin(2x ＋φ)＋b ，对任意实数x 都有f ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝f (－x )，f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－1，则实数b 的值为 ． 答案 －2或0解析 由f ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝f (－x )可得f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，∴2×π6＋φ＝π2＋k π，k ∈Z .当直线x ＝π6经过最高点时，φ＝π6；当直线x ＝π6经过最低点时，φ＝－56π.若f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋b ，由f ⎝⎛⎭⎫23π＝－1，得b ＝0；若f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －56π＋b ，由f ⎝⎛⎭⎫23π＝－1，得b ＝－2.所以b ＝－2或b ＝0.5．函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|＜π2的图象向左平移π6个单位后所得函数图象的解析式是奇函数，则函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为 ． 答案 －32解析 由函数f (x )的图象向左平移π6个单位得g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ＋π3的图象， 因为是奇函数，所以φ＋π3＝k π，k ∈Z ，又因为|φ|＜π2，所以φ＝－π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3， 所以当x ＝0时，f (x )取得最小值为－32. 6．设ω>0，函数y ＝sin(ωx ＋π3)＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是 ． 答案 32解析 由函数向右平移4π3个单位后与原图象重合，得4π3是此函数周期的整数倍． ∴2πω·k ＝4π3，∴ω＝32k (k ∈Z )， 又ω>0，∴ωmin ＝32.7．若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) (ω>0且|φ|<π2)在区间⎣⎡⎦⎤π6，2π3上是单调递减函数，且函数从1减小到－1，则f ⎝⎛⎭⎫π4＝ . 答案32解析 由题意可得，函数的周期为2×⎝⎛⎭⎫2π3－π6＝π，即2πω＝π，∴ω＝2，∴f (x )＝sin(2x ＋φ)． 由sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝1，|φ|<π2可得φ＝π6， ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， ∴f ⎝⎛⎭⎫π4＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋π6＝cos π6＝32. 8．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)在一个周期内的图象如图所示．若方程f (x )＝m 在区间[0，π]上有两个不同的实数x 1，x 2，则x 1＋x 2的值为 ．答案 π3或43π解析 由图象可知y ＝m 和y ＝f (x )图象的两个交点关于直线x ＝π6或x ＝23π对称，∴x 1＋x 2＝π3或43π.9．(2015·天津)已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝⎛⎭⎫x －π6，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最大值和最小值． 解 (1)由已知，有f (x )＝1－cos 2x 2－1－cos ⎝⎛⎭⎫2x －π32＝12⎝⎛⎭⎫12cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x ＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，－π6上是减函数，在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上是增函数，且f ⎝⎛⎭⎫－π3＝－14， f ⎝⎛⎭⎫－π6＝－12，f ⎝⎛⎭⎫π4＝34，所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最大值为34， 最小值为－12.10．设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω>0)，且y ＝f (x )图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π，3π2上的最大值和最小值． 解 (1)f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx ＝32－3×1－cos 2ωx 2－12sin 2ωx ＝32cos 2ωx －12sin 2ωx ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π3. 依题意知2π2ω＝4×π4，ω>0，所以ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3.所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1. 所以－1≤f (x )≤32. 故f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1. B 组 专项能力提升 (时间：20分钟)11．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，|φ|<π2，ω>0)的图象的一部分如图所示，则该函数的解析式为 ． 答案 f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 解析 观察图象可知：A ＝2且点(0,1)在图象上，∴1＝2sin(ω·0＋φ)，即sin φ＝12.∵|φ|<π2，∴φ＝π6.又∵1112π是函数的一个零点，且是图象递增穿过x 轴形成的零点，∴11π12ω＋π6＝2π，∴ω＝2. ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 12．(2014·天津改编)已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R .在曲线y ＝f (x )与直线y ＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f (x )的最小正周期为 ．答案 π解析 f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin(ωx ＋π6)(ω>0)．由2sin(ωx ＋π6)＝1得sin(ωx ＋π6)＝12，∴ωx ＋π6＝2k π＋π6或ωx ＋π6＝2k π＋56π(k ∈Z )．令k ＝0，得ωx 1＋π6＝π6，ωx 2＋π6＝56π，∴x 1＝0，x 2＝2π3ω.由|x 1－x 2|＝π3，得2π3ω＝π3，∴ω＝2.故f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.13．已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π3，其中x ∈⎣⎡⎦⎤π6，m ，若f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－1，－32，则m 的取值范围是 ． 答案 ⎣⎡⎦⎤2π9，5π18解析 画出函数的图象．由x ∈⎣⎡⎦⎤π6，m ，可知5π6≤3x ＋π3≤3m ＋π3， 因为f ⎝⎛⎭⎫π6＝cos 5π6＝－32， 且f ⎝⎛⎭⎫2π9＝cos π＝－1， 要使f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－1，－32， 所以π≤3m ＋π3≤76π，则2π9≤m ≤5π18，即m ∈⎣⎡⎦⎤2π9，5π18.14．已知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3 (ω>0)，f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，且f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝ . 答案143解析 依题意，x ＝π6＋π32＝π4时，y 有最小值，∴sin ⎝⎛⎭⎫π4ω＋π3＝－1， ∴π4ω＋π3＝2k π＋3π2 (k ∈Z )， ∴ω＝8k ＋143(k ∈Z )，∵f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3上有最小值，无最大值， ∴π3－π4<πω，即ω<12，令k ＝0，得ω＝143. 15．设函数f (x )＝sin ωx ＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2，x ∈R . (1)若ω＝12，求f (x )的最大值及相应的x 的取值集合；(2)若x ＝π8是f (x )的一个零点，且0<ω<10，求ω的值和f (x )的最小正周期．解 (1)f (x )＝sin ωx ＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2 ＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4.当ω＝12时，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π4， 而－1≤sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π4≤1，所以f (x )的最大值为2，此时x 2－π4＝π2＋2k π，k ∈Z ，即x ＝3π2＋4k π，k ∈Z ，所以相应的x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝3π2＋4k π，k ∈Z .(2)依题意f ⎝⎛⎭⎫π8＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωπ8－π4＝0， 即ωπ8－π4＝k π，k ∈Z ， 整理得ω＝8k ＋2，k ∈Z .因为0<ω<10，所以0<8k ＋2<10，－14<k <1.又k ∈Z ，所以k ＝0，ω＝2，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4，f (x )的最小正周期为π.。

y=Asin(wx+φ)与函数图象的变换【热点聚焦与扩展】近几年高考在对三角恒等变换考查的同时，对三角函数图象与性质的考查力度有所加强，往往将三角恒等变换与图象和性质结合考查.其中三角函数的定义域值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性以及图象变换是主要考查对象，难度仍然以中低档为主，重在对基础知识的考查，淡化特殊技巧，强调通解通法，其中对函数()ϕω+=x A y sin R x ∈的图象要求会用五点作图法作出，并理解它的性质：（1）函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值，且相邻的最大值与最小值间的距离为其函数的半个周期；（2）函数图象与x 轴的交点是其对称中心，相邻两对称中心间的距离也是其函数的半个周期；（3）函数取最值的点与相邻的与x 轴的交点间的距离为其函数的41个周期.在有关三角函数的解答题中，凡涉及到()ϕω+=x A y sin 的性质时，往往表达式不直接给出，而是需要利用三角恒等变换或结合函数的图象等化简或求得，本专题主要介绍函数()ϕω+=x A y sin 解析式求法及其图象变换.1、所涉及的公式（要熟记，是三角函数式变形的基础）（1）降幂公式：221cos21cos2cos ,sin 22αααα+-==（2）2sin cos sin 2ααα=（3）两角和差的正余弦公式()sin sin cos sin cos αβαββα+=+()sin sin cos sin cos αβαββα-=-()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+（4）合角公式：()sin cos a b αααϕ+=+，其中tan ba ϕ=（这是本讲的主角，也是化简的终结技）2、关于辅助角公式：()sin cos a b αααϕ+=+的说明：（1）使用范围：三个特点：①同角（均为α），②齐一次，③正余全（2）操作手册：如果遇到了符合以上三个条件的式子，恭喜你，可以使用合角公式将其化为()()sin f x A x ωϕ=+的形式了，通过以下三步：，表达式变为：sin cos a b αααα⎫+=+⎪⎭②二找：由221+=，故可看作同一个角的正余弦（称ϕ为辅助角），如cos ϕϕ==，可得：)sin cos cos sin sin cos a b ααϕαϕα+=+③三合：利用两角和差的正余弦公式进行合角：()sin cos a b αααϕ+=+（3）举例说明：sin y x x=+①12sin 22y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭②13cos ,sin 2cos sin sin cos 232333y x x ππππ⎛⎫==⇒=+ ⎪⎝⎭③2sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（4）注意事项：①在找角的过程中，一定要找“同一个角”的正余弦，因为合角的理论基础是两角和差的正余弦公式，所以构造的正余弦要同角②此公式不要死记硬背，找角的要求很低，只需同一个角的正余弦即可，所以可以从不同的角度构造角，从而利用不同的公式进行合角，例如上面的那个例子：12sin 22y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，可视为13sin ,cos 2626ππ==，那么此时表达式就变为：2sin sin cos cos 66y x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，使用两角差的余弦公式：2cos 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以，找角可以灵活，不必拘于结论的形式.找角灵活，也要搭配好对应的三角函数公式.当然，角寻找的不同，自然结果形式上也不一样，但2cos 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭与2sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭本质是同一个式子（为什么？想想诱导公式的作用~）③通常遇到的辅助角都是常见的特殊角，这也为我们的化简提供了便利，如果提完系数发现括号里不是特殊角的正余弦，那么可用抽象的ϕ来代替，再在旁边标注ϕ的一个三角函数值.3、表达式的化简攻略：可化简的表达式多种多样，很难靠列举一一道明，化简往往能够观察并抓住式子的特点来进行操作，所以说几条适用性广的建议：（1）观察式子：主要看三点①系统：整个表达式是以正余弦为主，还是正切（大多数情况是正余弦），确定后进行项的统一（有句老话：切割化弦）②确定研究对象：是以x 作为角来变换，还是以x 的表达式（例如2x ）看做一个角来进行变换.③式子是否齐次：看每一项（除了常数项）的系数是否一样（合角公式第二条：齐一次），若是同一个角（之前不是确定了研究对象了么）的齐二次式或是齐一次式，那么很有可能要使用合角公式，其结果成为()()sin f x A x ωϕ=+的形式.例如：齐二次式：2sin 2cos sin 2y x x x =-+，齐一次式：sin cos 6y x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（2）向“同角齐次正余全”靠拢，能拆就拆，能降幂就降幂：常用到前面的公式221cos21cos2cos ,sin 22αααα+-==，2sin cos sin 2ααα=（还有句老话：平方降幂）例如：sin cos 6y x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，确定研究对象了：x ，也齐一次，但就是角不一样（一个是x ，一个是6x π+）那么该拆则拆，将cos 6x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭打开11sin cos sin sin cos 2222y x x x x x ∴=+-=+于是就可合角了1、,,A ωϕ的作用（1）:A 称为振幅，与()sin y A x ωϕ=+一个周期中所达到的波峰波谷有关（2）ω：称为频率，与()sin y A x ωϕ=+的周期T 相关，即2Tπω=（3）ϕ：称为初相，一定程度上影响()sin y A x ωϕ=+的对称轴，零点2、,,A ωϕ的常规求法：（1）A ：①对于()sin y A x ωϕ=+可通过观察在一个周期中所达到的波峰波谷（或值域）得到②对于()sin y A x bωϕ=++可通过一个周期中最大，最小值进行求解：max min2y y A -=（2）ω：由2T πω=可得：只要确定了()sin y A x ωϕ=+的周期，即可立刻求出ω，而T 的值可根据对称轴（最值点）和对称中心（零点）的距离进行求解①如果()sin y A x ωϕ=+相邻的两条对称轴为(),x a x b a b ==<，则()2T b a =-②如果()sin y A x ωϕ=+相邻的两个对称中心为()()(),0,,0a b a b <，则()2T b a =-③如果()sin y A x ωϕ=+相邻的对称轴与对称中心分别为(),,0x a b =，则4T b a=-注：在()sin y A x ωϕ=+中，对称轴与最值点等价，对称中心与零点等价.（3）ϕ：在图像或条件中不易直接看出ϕ的取值，通常可通过代入曲线上的点进行求解，要注意题目中对ϕ的限制范围3、确定解析式要注意的几个问题：（1）求参数的顺序问题：理论上，三个参数均可以通过特殊点的代入进行求解，但由于,A ω与函数性质联系非常紧密，所用通常先抓住波峰波谷以确定A 的值，再根据对称轴对称中心的距离确定T ，进而求出ω，最后再通过代入一个特殊点，并根据ϕ的范围确定ϕ.（2）求ϕ时特殊点的选取：往往优先选择最值点，因为最值点往往计算出的ϕ值唯一，不会出现多解的情况.如果代入其它点（比如零点），有时要面临结果取舍的问题.例1．【2020年高考江苏卷10】将函数3sin(24y x π=+的图象向右平移6π个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是．【答案】524x π=-【解析】∵()3sin(2)4f x x π=+，将函数()3sin(24f x x π=+的图象向右平移6π个单位长度得()()3sin(2)3sin(263412g x f x x x ππππ=-=-+=-，则()y g x =的对称轴为2122x k πππ-=+，k Z ∈，即7242k x ππ=+，k Z ∈，0k =时，724x π=，1k =-时，524x π=-，∴平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是524x π=-．【专家解读】本题考查了三角函数图象及其性质，考查三角函数图像变换，考查数形结合思想，考查数学运算、直观想象等学科素养．解题关键是熟记三角函数的性质、三角函数图象变换有关结论．例2．（2020·梅河口市第五中学高三三模）将函数()3sin 22f x x x =+的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移6π个单位长度后，得到函数()g x 的图像，已知()g x 分别在1x ，2x 处取得最大值和最小值，则12x x +的最小值为（）A．3πB．23πC．πD．43π【答案】B【解析】 函数()13sin2sin2cos22226f x x x x x x π⎫⎛⎫=+=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，将()f x 图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，可得6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；再向左平移6π个单位，得到函数()3g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象．已知()g x 分别在1x ，2x 处取得最大值和最小值，1232x k πππ∴+=+k Z ∈，2232x n πππ+=-n Z ∈．则122223x x k n πππ+=+-，故当0k n +=时，12x x +取得最小值为23π，故选B．例3．（2020·石家庄一中高三三模）若将函数()tan 04y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向右平移6π个单位长度后，与函数tan 6y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像重合，则ω的最小值为A．16B．14C．13D．12【答案】D【解析】函数tan()(0)4y x πωω=+>的图像向右平移6π个单位得tan[()]tan(6464y x x ππωππωω=-+=-+，所以,646k k Zωππππ-+=+∈16,2k k Zω=-+∈，所以ω得最小值为12．例4．（2020·山西三模）已如函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭区间,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，且2236f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，若函数()y g x =在区间[],t t -上单调递增，则的最大值为（）A．6πB．4πC．3πD．12π【答案】B【解析】∵262Tππ-≤，∴23T π≥.又2236f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2326T πππ-=<.∴2723212x πππ+==是函数的一条对称轴.同理得,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭是函数的一个对称中心，∵7123432T ππππ-=<≤，所以,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭和712x π=是同一周期内相邻的对称中心和对称轴，得T π=.∴2ω=，3πϕ=，所以()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.∴2()sin 33g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，它在53,3()44k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 上单调递增，故5[,],44t t ππ⎡⎤-⊆-⎢⎥⎣⎦.所以t 的最大值为4π.故选：B 例5．（2020·宁夏兴庆·银川二中高三三模）已知函数()()()cos 0,0f x A x A ωϕω=+>>的部分图像如图所示，其中4,2,,033M N ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为图像上两点，将函数()f x 图像的横坐标缩短到原来的18，再向右平移38π个单位长度后得到函数()g x 的图像，则函数()g x 的单调递增区间为（）A．()11316,1622k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦B．()31716,1622k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦C．()5,62122k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D．(),12262k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】由图像得2A =，∴21442T T πππωω=⇒==⇒=，∴()22c s 1o f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∵图像过点,23M π⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴23f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，即cos 16πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得：6πϕ=-，∴()12cos 26x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴()426sin g x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，∴43522,22262621k k k x k x k Z πππππππππ+≤-+⇒+≤+≤∈≤，∴函数()g x 的单调递增区间为()5,62122k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.故选：C.例6．（2020·四川高三三模）已知函数()sin 1(0,01)4f x A x A πωω⎛⎫=+-><< ⎪⎝⎭的图象经过点20,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，且将图象向左平移3π个长度单位后恰与原图象重合.若对任意的[]12,0,x x t ∈，都有()()122f x f x ≥成立，则实数t 的最大值是（）A．34πB．23πC．712πD．2π【答案】A【解析】函数()sin 1(0,01)4f x A x A πωω⎛⎫=+-><< ⎪⎝⎭的图象经过点20,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，可得sin142A π-=，解得1A =函数()sin 1(0,01)4f x A x A πωω⎛⎫=+-><< ⎪⎝⎭的图象向左平移3π个长度单位可得()(1sin 314g x x πωπω⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，根据两函数的图象重合，可知32,k k Z πωπ=∈，解得2,3kk Z ω=∈，又因为01ω<<，所以23ω=，对任意的[]12,0,x x t ∈，都有()()122f x f x ≥成立，则()()12min max2f x f x ≥，由[]12,0,x x t ∈，则12222,,3434434x x t ππππ⎡⎤++∈+⎢⎥⎣⎦，若要实数t 取最大值，由()()2max1min 2f x f x ≥，只需()min 121222f x -≥=，所以23344t ππ+≤，解得34t π≤，所以实数t 的最大值是34π.例7．（2020·山西迎泽·太原五中三模）将函数()cos f x x =的图象先向右平移56π个单位长度，在把所得函数图象的横坐标变为原来的1ω(0)>ω倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在3(,)22ππ上没有零点，则ω的取值范围是（）A．228(0,[,939 B．2(0,]9C．28(0,][,1]99 D．(0,1]【答案】A【解析】函数()cos f x x =的图象先向右平移56π个单位长度，可得5cos 6y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，再将图象上每个点的横坐标变为原来的1ω(0)>ω倍(纵坐标不变)，得到函数5()cos 6g x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，∴周期2T πω=，若函数()g x 在3(,22ππ上没有零点，∴553526626x ωπππωππω-<-<-，∴35526262T ωππωπππω⎛⎫⎛⎫---≤=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，21ω∴≤，解得01ω<≤，又522635226k k πωππππωπππ⎧-+≤-⎪⎪⎨⎪+≥-⎪⎩，解得3412323k ωω-≤≤-，当k=0时，解2839ω≤≤，当k=-1时，01ω<≤，可得209ω<≤，ω∴∈228(0,][,]939 .故答案为：A.例8．（2020·天水市第一中学高三三模）已知函数()sin (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的两条对称轴之间距离的最小值为4，将函数()f x 的图象向右平移1个单位长度后得到函数()g x 的图象，则(1)(2)(3)(2019)g g g g ++++= （）A．2C．12+1+【答案】D【解析】依题意，42T=，8T =，所以4πω=，故()sin 44f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()(1)sin )sin 4444g x f x x xππππ⎛=-=-+= ⎝，因为(1)(2)(+g(8)=03)g g g +++ ，所以(1)(2)(3)g g g ++++ (2019)(1)(2)(3)1g g g g =++=+.【精选精练】1．（2020·雅安市教育科学研究所高三三模）关于函数()()π3sin 213f x x x R ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭的图象向右平移π12个单位长度后得到()y g x =图象，则函数()g x （）A．最大值为3B．最小正周期为2πC．为奇函数D．图象关于y 轴对称【答案】D【解析】依题意可得()3sin[2()1123g x x ππ=--+3sin(2)12x π=-+3cos 21x =-+,所以()g x 的最大值为4,最小正周期为π,()g x 为偶函数,图象关于y 轴对称.故选:D2．（2020·安徽芜湖·高三三模）若将函数()sin 22f x x x=+图象向右平移ϕ个单位，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小值是（）A．6πB．3πC．512πD．56π【答案】C【解析】由()sin 22f x x x =+2sin(2)3x π=+，再向右平移ϕ个单位可得解析式为2sin[2()]3y x πϕ=-+2sin(22)3x πϕ=+-，由其图象关于y 轴对称，得23πϕ-,2k k Z ππ=+∈，得212k ππϕ=--，k Z ∈，当1k =-时，得ϕ的最小值是512π.3．（2020·全国高三三模）已知函数()sin 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0>ω）在(0,2]上恰有一个最大值1和一个最小值-1，则ω的取值范围是（）A．77,126ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B．77,126ππ⎛⎤⎥⎝⎦C．27,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D．27,36ππ⎛⎤⎥⎝⎦【答案】C【解析】∵02x <≤，∴2666x πππωω<+≤+，又函数()f x 在(0,2]上恰有一个最大值1和一个最小值1-，∴352262πππω≤+<，解得2736ππω≤<，故选：C．4．（2020·河南三模）将函数()()πsin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象向左平移π4个单位长度，若所得图象与原图象关于x 轴对称，则π4f ⎛⎫=⎪⎝⎭（）A．2-B．0C．2D．32【答案】A【解析】由题意得π4等于半个周期+周期的整数倍，即()()ππ124k k ω=+∈Z ，解得()()412k k ω=+∈Z ．所以()()πsin 4124f x k x ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦．则π5πsin 2π44f k ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．所以π42f ⎛⎫=-⎪⎝⎭．5．（2020·宁夏银川二中三模）已知曲线cos(2)||2C y x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭：的一条对称轴方程为3x π=，曲线C 向左平移(0)θθ>个单位长度，得到曲线E 的一个对称中心的坐标为,04π⎛⎫⎪⎝⎭，则θ的最小值是（）A．6πB．4πC．3πD．12π【答案】C【解析】∵直线3x π=是曲线C 的一条对称轴.2()3k k πϕπ∴⨯+=∈Z ，又||2ϕπ<.3πϕ∴=.∴平移后曲线E 为cos 223y x πθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.曲线E 的一个对称中心为04π⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭.22()432k k Z πππθπ∴⨯++=+∈.()26k k Z ππθ=-∈，注意到0θ>，故θ的最小值为3π.6．（2020·北京延庆·三模）若函数()sin 2f x x =的图象向右平移6π个单位长度得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在区间[0,]a 上单调递增，则a 的最大值为（）．A．2πB．3πC．512πD．712π【答案】C【解析】把函数()sin 2f x x =的图象向右平移6π个单位长度得到函数()sin(23g x x π=-的图象，若函数()g x 在区间[0，]a 上单调递增，在区间[0，]a 上，2[33x ππ-∈-，2]3a π-，则当a 最大时，232a ππ-=，求得512a π=，7．（2020·山西大同·高三三模）函数()sin()f x x ωφ=+（其中2πφ<）的图象如图所示，为了得到()y f x =的图象，只需把sin y x ω=的图象上所有点（）A．向左平移6π个单位长度B．向右平移12π个单位长度C．向右平移6π个单位长度D．向左平移12π个单位长度【答案】A【解析】由于7πππ41234T =-=，故2ππT ω==，所以2ω=，()()sin 2f x x ϕ=+，由π2πsin 033f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求得π3ϕ=，故()ππsin 2sin 236f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故需将sin y x ω=图像上所有点向左平移6π个单位长度得到()f x ，故选A.8．（2020·四川省绵阳江油中学高三三模）给出下列命题：①曲线2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的一个对称中心是,06π⎛⎫⎪⎝⎭；②若,αβ是第一象限角，且αβ>，则sin sin αβ>；③函数2sin 32x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是偶函数；④函数sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12，得到函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，其中正确命题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】对于①，当6x π=时，2sin(2)063y ππ=⨯+=，故①正确；对于②，取136πα=，3πβ=，则131sin sin sin 662ππα===，sin 2β=，故②不正确；对于③，22()sin cos 323f x y x x π⎛⎫==+= ⎪⎝⎭，22()cos cos ()33f x x x f x ⎛⎫-=-== ⎪⎝⎭，所以函数2sin 32x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是偶函数，故③正确；对于④，函数sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12，得到函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，故④不正确.故选：B.9．（2020·天津市滨海新区塘沽第一中学高三三模）已知函数()sin()f x x ωθ=+，其中0>ω，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，其图象关于直线6x π=对称，对满足()()122f x f x -=的1x ，2x ，有12mi n 2x x π-=，将函数()f x 的图象向左平移6π个单位长度得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的单调递减区间是（）A．()2,6k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B．(),2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦C．()5,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D．()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】已知函数()sin()f x x ωθ=+，其中0>ω，00,2π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，其图像关于直线6x π=对称，对满足()()122f x f x -=的1x ，2x ，有12min1222x x ππω-==⋅，∴2ω=.再根据其图像关于直线6x π=对称，可得262k ππθπ⨯+=+，k ∈Z .∴6πθ=，∴()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.将函数()f x 的图像向左平移6π个单位长度得到函数()sin 2cos 236g x x xππ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭的图像.令222k x k πππ≤≤+，求得2k x k πππ≤≤+，则函数()g x 的单调递减区间是,2k k πππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ，故选B.10．（2020·山西平城·大同一中三模）如图是函数()sin y x ωϕ=+0,02πωϕ⎛⎫><< ⎪⎝⎭在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图像，将该图像向右平移()0m m <个单位长度后，所得图像关于直线4x π=对称，则m 的最大值为（）．A．12π-B．6π-C．4π-D．3π-【答案】B【解析】由题意可知，25(66T ππππω==--=，所以2ω=，根据五点作图法可得2()06πϕ⨯-+=，解得3πϕ=，所以sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将该函数图像向右平移()0m m <个单位长度后，得到sin 223y x m π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图像，又sin 223y x m π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图像关于直线4x π=对称，所以22432m k ππππ⨯-+=+，即,26k m k Z ππ=-+∈，因为0m <，所以当0k =时，m 取最大值6π-，故选B.11．（2020·江西省信丰中学三模）已知函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，现将()y f x =的图象向左平移12π个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，则()g x 在50,24π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值域为（）A．[]1,2-B．[]0,1C．[]0,2D．[]1,0-【答案】A【解析】()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位长度，得到2sin 22sin 21263y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，()2sin 43g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∵x ∈50,24π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以74336x πππ≤+≤，∴1sin 4123x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，∴12sin 423x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，∴()g x 在50,24π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[]1,2-，故选A.12．（2020·黑龙江南岗·哈师大附中三模）已知函数()()sin 202f x x πϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位长度后，图象关于y 轴对称，设函数()f x 的最小正周期为m ，极大值点为n ，则m n -的最小值是（）A．6πB．3πC．23πD．53π【答案】A【解析】函数()()sin 202f x x πϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位长度后得函数解析式为()sin 2sin 263g x x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，它的图象关于y 轴对称，则32k ππϕπ+=+，k Z ∈，又02πϕ<<，所以6π=ϕ，∴()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，周期为22m ππ==，极大值点为2262x k πππ+=+，,6=+∈x k k Z ππ，与π最接近的极大值点是76π，∴m n -的最小值是6π．故选：A．。

函数y=Asin(wx+φ)的性质与图象解题策略sin y x = cos y x = tan y x =图像定义域 R R,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x k ππ=+()k Z ∈时，max 1y =；当22x k ππ=-()k Z ∈时，min1y =-．当()2x k k Z π=∈时，max 1y =；当2x k ππ=+()k Z ∈时，min 1y =-．既无最大值也无最小值周期性 2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈上是增函数；在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈上是减函数．在[]()2,2k k k Z πππ-+∈上是增函数； 在[]2,2k k πππ+()k Z ∈上是减函数． 在,22k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ ()k Z ∈上是增函数．对称性对称中心()(),0k k Z π∈ 对称轴()2x k k Z ππ=+∈对称中心(),02k k Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭ 对称轴()x k k Z π=∈对称中心(),02k k Z π⎛⎫∈⎪⎝⎭无对称轴例1：1．（2022·北京·人大附中模拟预测）函数()cos (0)3f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图像关于直线2x π=对称，则ω可以为（ ） A ．13B ．12C ．23D ．1【答案】C【详解】()cos()(0)3f x x πωω=->对称轴为：22(0)()3233x k k k k Z πππωπωπωω-=⇒-=⇒=+>∈函 数 性 质当0k =时，ω取值为23.故选:C.2.（多选）（2022·江苏南通·模拟预测）已知函数()sin 042f x x ππωω⎛⎫⎛⎫=+<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭在区间()0,1上可能（ ）A ．单调递增B ．有零点C ．有最小值D ．有极大值【答案】AD【详解】因为01x <<且02πω<<，则444x πππωω<+<+，3444ππωπ<+<， 所以，函数()f x 在()0,1上不可能有零点，B 错；当442πππω<+≤时，即当04πω<≤时，()f x 在()0,1上单调递增，A 对；函数()f x 在()0,1上可能有极大值，但无最小值，C 错D 对.故选：AD. 举一三1．（2022·河北邯郸·二模）函数()πsin(2)3f x x =+在ππ,33⎛⎫- ⎪⎝⎭上的值域为（ ）A ．(]0,1B ．⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C ．⎛⎤⎥⎝⎦ D ．[]1,1- 【答案】C【详解】当ππ,33x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，ππ2,π33x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，当ππ232x +=时，即π12x = 时，()πsin(2)3f x x =+取最大值1，当ππ233x +=-，即π3x =- 时，()πsin(2)3f x x =+取最小值大于 ，故值域为⎛⎤ ⎥⎝⎦2．（多选）（2022·北京东城·三模）下列函数中最小正周期不是π的周期函数为（ ） A ．sin y x = B ．sin y x =C ．cos y x =D ．tan y x =【答案】AC解：对于A 选项，sin y x =为偶函数，当0x ≥时，sin y x =，为周期函数，周期为2π；当0x <时，sin y x =-，为周期函数，周期为2π，但在整个定义域上，函数不具有周期性，故错误；对于B 选项，sin y x =的图像是将sin y x =图像在x 轴下方的翻到x 轴上方，进而函数为周期函数，周期是π，故正确；对于C 选项，cos cos y x x ==，故周期为2π，错误；对于D 选项，tan y x =图像是将tan y x =图像在x 轴下方的翻到x 轴上方，其周期性不变，故依然为π，正确；3．（2021·全国·高考真题）下列区间中，函数()7sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增的区间是（ ）A ．0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【详解】因为函数sin y x =的单调递增区间为()22,22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，对于函数()7sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由()22262k x k k Z πππππ-<-<+∈，解得()22233k x k k Z ππππ-<<+∈，取0k =，可得函数()f x 的一个单调递增区间为2,33ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 则20,,233πππ⎛⎫⎛⎫⊆- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，A 选项满足条件，B 不满足条件；取1k =，可得函数()f x 的一个单调递增区间为58,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭， 32,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且358,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，358,2,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，CD 选项均不满足条件. 4．（2022·四川·绵阳中学实验学校模拟预测（文））若0απ<<，则sin20α>的概率为______ 【详解】∵0απ<<，022απ<<，由sin20α>可得02απ<<，即02πα<<，∴若0απ<<，则sin20α>的概率为122ππ=.六．函数y=Asin(wx+φ)的图象1、将函数sin y x =的图象上所有的点，向左（右）平移ϕ个单位长度，得到函数()sin y x ϕ=+的图象；再将函数()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y A x ωϕ=+的图象。

正弦型函数sin()y A x ωϕ=+精选习题一、 选择题1．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(其中ω＞0，|φ|＜π2)的最小正周期是π，且f (0)＝3，则( )．A ．ω＝12，φ＝π6B ．ω＝12，φ＝π3C ．ω＝2，φ＝π6D ．ω＝2，φ＝π31.答案：D2．为了得到函数y ＝sin(2x －π3)的图象，只需把函数y ＝sin(2x ＋π6)的图象( )A ．向左平移π4个长度单位B ．向右平移π4个长度单位C ．向左平移π2个长度单位D ．向右平移π2个长度单位2.【解析】：y ＝sin(2x －π3)＝sin[2(x －π4)＋π6]，所以只要把y ＝sin(2x ＋π6)的图象向右平移π4个长度单位，就可得到y ＝sin(2x －π3)的图象．答案：B3．函数 f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，|φ|<π2)的图象如图所示，为了得到g (x )＝cos2x的图象，则只要将 f (x )的图象( )A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π12个单位长度3.【解析】：如图，T 4＝7π12－π3＝π4，T ＝π，ω＝2，又2×π3＋φ＝π，φ＝π3，从而 f (x )＝A sin(2x ＋π3)，显然选D.答案：D4．要得到函数y ＝3cos x 的图象，只需将函数y ＝3sin(2x －π6)的图象上所有点的( )A ．横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，所得图象再向左平移π12个单位长度B ．横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，所得图象再向右平移π6个单位长度C ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象再向左平移2π3个单位长度D ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象再向右平移π6个单位长度4.【解析】：将函数y ＝3sin(2x －π6)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，可得函数y ＝3sin(x －π6)的图象，再向左平移2π3个单位长度，可得函数y ＝3sin(x －π6＋2π3)＝3sin(x ＋π2)＝3cos x 的图象． 答案：C5.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(x∈R，A>0，ω>0，|φ|<π2)的图象(部分)如图所示，则f(x)的解析式是( ) (A)f(x)＝2sin(πx＋π6)(x∈R)(B)f(x)＝2sin(2πx＋π6)(x∈R )(C)f(x)＝2sin(πx ＋π3)(x∈R)(D)f(x)＝2sin(2πx ＋π3)(x∈R)5.【解析】选A.从图象上可看出A ＝2，T 4＝56－13＝12，∴T ＝2，ω＝2πT ＝2π2＝π.∴f(x)＝2sin(πx ＋φ). 又∵图象过点(13，2)，∴2＝2sin(π3＋φ)，∴π3＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ， 又∵|φ|<π2，∴φ＝π6，故f(x)＝2sin(πx ＋π6).(x ∈R)6.已知函数f(x)＝3sin(2x ＋π2)，x∈R，则下列结论中正确的是( ) (A)f(x)是最小正周期为π的奇函数 (B)x ＝π3是函数f(x)图象的一条对称轴(C)f(x)的一个对称中心是(－π2，0)(D)将函数y ＝3sin2x 的图象向左平移π4个单位得到函数f(x)的图象 6.【解析】先应用三角函数的诱导公式化简三角函数式.【解析】选D.f(x)＝3sin(2x ＋π2)＝3cos2x ，故A 、B 、C 均不正确.7.将函数f (x )＝sin ωx (其中ω＞0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点⎝⎛⎭⎫3π4，0，则ω的最小值是( )．A ．13B ．1C ．53D ．27.解析：f (x )＝sin ωx 的图象向右平移π4个单位长度得：y ＝sin ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x －π4. 又所得图象过点⎝⎛⎭⎫3π4，0，∴sin ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫3π4－π4＝0.∴sin ωπ2＝0. ∴ωπ2＝k π(k ∈Z )．∴ω＝2k (k ∈Z )． ∵ω＞0，∴ω的最小值为2. 答案：D8．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω＞0，－π＜φ≤π.若f (x )的最小正周期为6π，且当x ＝π2时，f (x )取得最大值，则( )A ．f (x )在区间[－2π，0]上是增函数B ．f (x )在区间[－3π，－π]上是增函数C ．f (x )在区间[3π，5π]上是减函数D ．f (x )在区间[4π，6π]上是减函数8．解析：∵2πω＝6π，∴ω＝13.又∵13×π2＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z 且－π<φ≤π，∴当k ＝0时，φ＝π3，f (x )＝2sin(13x ＋π3)，要使f (x )递增，须有2k π－π2≤13x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，解之得6k π－5π2≤x ≤6k π＋π2，k ∈Z ，当k ＝0时，－52π≤x ≤π2，∴f (x )在[－52π，π2]上递增．答案：A二、 填空题9．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋n 的最大值为4，最小值是0，最小正周期是π2，直线x＝π3是其图象的一条对称轴，若A >0，ω>0,0<φ<π2，则函数解析式为________． 9.【解析】：由题设得，A ＝2，n ＝2，ω＝4，且当x ＝π3时，sin(43π＋φ)＝±1，故φ＝π6.所求解析式为y ＝2sin(4x ＋π6)＋2.答案：y ＝2sin(4x ＋π6)＋210．已知函数 f (x )＝3sin(ωx －π6)(ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x ∈[0，π2]，则 f (x )的取值范围是__________ .10【解析】： f (x )＝3sin(ωx －π6)(ω>0)的对称轴和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同，则ω＝2， f (x )＝3sin(2x －π6)，x ∈[0，π2]时，2x －π6∈[－π6，5π6]， f (x )∈[－32，3]．答案：[－32，3]11.若两个函数的图象只经过若干次平移后就能够重合，则称这两个函数为“同形”函数.给出下列函数：①f 1(x)＝sinx ＋cosx ，②f 2(x)＝sinx ，③f 3(x)＝2sinx ＋2，④f 4(x)＝2(sinx ＋cosx)，其中“同形”函数有 .(填序号) 11.【解析】∵f 1(x)＝sinx ＋cosx ＝2sin(x ＋π4)，f 2(x)＝sinx ， f 3(x)＝2sinx ＋2，f 4(x)＝2(sinx ＋cosx)＝2sin(x ＋π4)，()241f x y 2sinx y 2sinx 2π∴−−−−−−→=−−−−−−→=+向右平移个单位向上平移个单位，∴①③为“同形”函数. 答案：①③12.(2012·烟台模拟)已知函数f(x)＝2sin(2x ＋π3)，且f(α)＝f(β)＝0(α≠β)，则|α－β|的最小值为 .12.【解析】由题意知α、β是函数y ＝f(x)图象与x 轴交点的横坐标. 【解析】f(x)＝2sin(2x ＋π3)的最小正周期T ＝π.α、β是函数y ＝f(x)的图象与x 轴交点的横坐标，且α≠β，∴|α－β|的最小值为π2.答案：π2三、 解答题13．已知函数 f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)将函数 y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数 y＝g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π16]上的最小值．13【解析】解：(1) f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx ＝sin ωx cos ωx ＋1＋cos2ωx2＝12sin2ωx ＋12cos2ωx ＋12 ＝22sin(2ωx ＋π4)＋12. 由于ω>0，依题意得2π2ω＝π，所以ω＝1.(2)由(1)知 f (x )＝22sin(2x ＋π4)＋12， 所以g (x )＝ f (2x )＝22sin(4x ＋π4)＋12. 当0≤x ≤π16时，π4≤4x ＋π4≤π2，所以22≤sin(4x ＋π4)≤1.因此1≤g (x )≤1＋22. 故g (x )在区间[0，π16]上的最小值为1.14．(2010～2011年河北省正定中学高三第一次月考)已知函数 f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2，x ∈R )的图象的一部分如图所示．(1)求函数 f (x )的解析式；(2)当x ∈[－6，－23]时，求函数y ＝ f (x )＋ f (x ＋2)的最大值与最小值及相应的x 的值．14【解析】解：(1)由图象知A ＝2. T ＝8，∵T ＝2πω＝8，∴ω＝π4，又图象经过点(－1,0)∴2sin(－π4＋φ)＝0，∵|φ|<π2∴φ＝π4，∴ f (x )＝2sin(π4x ＋π4)，(2)y ＝ f (x )＋ f (x ＋2)＝2sin((π4x ＋π4)＋2sin(π4x ＋π2＋π4)＝2sin(π4x ＋π4)＋2cos(π4x ＋π4)，＝22sin(π4x ＋π2)＝22cos π4x ，∵x ∈[－6，－23]，∴－3π2≤π4x ≤－π6，∴当π4x ＝－π6即x ＝－23时，最大值为6，当π4x ＝－π，即x ＝－4时，最小值为－2 2.15.已知函数f(x)＝2sin(2x －π4)＋1.(1)求f(x)的振幅、最小正周期、初相； (2)画出函数y ＝f(x)在[－π2，π2]上的图象. 15.【解析】直接根据已知得出振幅、周期、初相，利用五点作图法画出图象. 【解析】(1)f(x)＝2sin(2x －π4)＋1的振幅为2， 最小正周期T ＝2π2＝π，初相为－π4.(2)列表并描点画出图象：x－π2－3π8－π8π8 3π8 π2 y 2 1 1－ 211＋ 22故函数y ＝f(x)在区间[－π2，π2]上的图象是16．已知函数f (x )＝2a cos 2x ＋b sin x cos x －32，且f (0)＝32，f (π4)＝12. (1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )的单调递减区间；(3)函数f (x )的图象经过怎样的平移才能使所得图象对应的函数成为奇函数？16【解析】．解：(1)由f (0)＝32，得2a －32＝32， ∴2a ＝3，则a ＝32，由f (π4)＝12，得32＋b 2－32＝12，∴b ＝1. ∴f (x )＝3cos 2x ＋sin x cos x －32＝32cos 2x ＋12sin 2x ＝sin(2x ＋π3)， ∴函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)由π2＋2k π≤2x ＋π3≤32π＋2k π，得π12＋k π≤x ≤712π＋k π， ∴f (x )的单调递减区间是[π12＋k π，712π＋k π](k ∈Z)．(3)∵f (x )＝sin2(x ＋π6)，∴奇函数y ＝sin2x 的图象左移π6，即得到f (x )的图象．故函数f (x )的图象右移π6个单位后对应的函数成为奇函数．。

高考数学专题复习：函数y=Asin(ωx+φ)一、单选题1．已知函数()sin y A x b ωϕ=++的一部分图象如图所示，如图0A >，0>ω，π2ϕ<，则（ ）A ．π6ϕ=-B ．π3ϕ=-C ．π3ϕ=D ．π6ϕ=2．为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象，可以将函数sin2y x ＝的图象（ ）A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π3个单位长度3．将函数()2cos2(0)f x x a x a =+≠的图象向右平移6π后关于点(,0)12π对称，则a =（ ）A B ．1 C D ．34．已知函数()()()cos 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<为奇函数，将()f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得的图象对应的函数为()g x ，若()g x 最小正周期为2π，且4g π⎛⎫= ⎪⎝⎭38f π⎛⎫=⎪⎝⎭（ ）A ．2-B ．2C ．D 5．函数()()2sin 0,22f x x ππωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭的部分图象如图中实线所示，点C 是曲线()y f x =的一个对称中心，以C 为圆心的圆与()y f x =相交于M ，N 两点，且M 在y 轴上，则函数()f x 图象的一条对称轴为（ ）A ．65x π=-B ．1112x π=-C ．1112π=x D ．116x π=6．要得到函数3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的函像，只要把函数3sin 2y x =的图像（ ）A ．向左平移3π个单位B ．向左平移3π个单位C ．向左平移6π个单位D ．向右平移6π个单位7．将函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移3π，再将横坐标上所有的点伸长为原来的2倍，再向上平移1个单位，得到函数()g x ，则()g x 的函数解析式为（ ） A ．2sin 2g xxB ．()2sin 1g x x =+C ．()2sin 13g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭D ．()2sin 16g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭8．已知函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（ ）A ．()f x 的最小正周期为2πB ．()f x 的单调递增区间为2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈ C ．()f x 的图象关于直线12x π=-对称D ．()f x 的图象可以由函数2sin 2g xx 向左平移12π个单位得到9．要得到函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只要将函数()sin g x x =的图像（ ）A ．先向左平移3π，再保持纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2倍； B ．先向左平移3π，再保持纵坐标不变，横坐标缩小为原来的12倍； C ．先向左平移6π，再保持纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2倍； D ．先向左平移6π，再保持纵坐标不变，横坐标缩小为原来的12倍.10．函数()()()sin 0f x A x ωϕω=+>的部分图像如图所示，()f x 图像与y 轴交于M 点，与x 轴交于C 点，点N 在()f x 图像上，且点C 为线段MN 的中点，则下列说法中正确的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期是2πB ．函数()f x 的图像关于712x π=轴对称 C ．函数()f x 在2,36ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭单调递减 D ．函数()f x 的图像上所有的点横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移3π后，图像关于y 轴对称11．已知函数sin 23y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移3π个单位后与函数cos 2y x ω=的图象重合，则ω的值可能为（ ） A ．1-B ．2-C ．12-D ．14-12．将函数()()cos 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位长度后得到函数()g x 的图象，若()g x 在5,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则ω的最大值为（ ）A ．14B ．34C ．12D ．1二、双空题13．已知函数()()()sin 0,0,0πf x A x k A ωϕωϕ=++>><<，某同学描点绘制函数()f x 在区间[]0,2上的草图，部分列表如下：则18f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭______；函数()f x 的单调递增区间是_________.14．将函数()sin 2f x x =的图像向右平移6π个单位，再把每个点横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =，则()g x 的解析式()g x =_________，若对于任意11,22a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，在区间[0,]m 上总存在唯一确定的β，使得()g a β=，则m 的最小值为________．15．已知0,0ωϕ>>，函数()2cos 313f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象向右平移ϕ个单位得到()g x 的图象，若函数()g x 与函数()4sin 6h x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭的极值点完全相同，则ω=________，ϕ的最小值为________.16．已知函数()2sin()f x x ωφ=+(0>ω，||2πφ<)与函数()y g x =的部分图像如图所示，且函数()f x 的图像可由函数()y g x =的图像向右平移4π个单位长度得到，则ω=________，函数()f x 在区间7[]1212ππ-，上的值域为________.三、解答题17．已知函数()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将()f x 的图象向左平移2t t ππ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位长度，得到函数()g x 的图象.（1）若()g x 的图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，求函数()g x 的解析式；（2）在（1）的条件下，当,24x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，求不等式()g x <.18．函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示（1）求,,A ωϕ的值；（2）求函数()()()21G x f x f x =++在区间[]0,π上的取值范围.19．已知函数3()sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求()f x 在[0,]x π∈上的递增区间；（2）用“五点法”在所给的平面直角坐标系中画出函数()f x 的图象； （3）写出()y f x =的图象是由sin y x =的图象经过怎样的变换得到的.20．已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示．（1）写出()f x 的最小正周期及其单调递减区间； （2）求()f x 的解析式；（3）若要得到()f x 的图像，只需要函数sin y x =的图像经过怎样的图像变换？21．如图，已知函数()sin()f x A x ωϕ=+>0,>0,||<2A πωϕ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 的图象(部分).（1）分别求出函数()f x 的最小正周期和,,A ωϕ 的值； （2）直接写出函数()f x 值域；（3）直接写出函数()f x 的一个对称中心坐标和一条对称轴方程.22．如图是函数()()sin f x A x =+ωϕ（0A >，0>ω，π2ϕ≤）的部分图象．（1）求函数()f x 的表达式；（2）若函数()f x 满足方程()f x a =（01a <<），求在[]0,2π内所有实数根之和．参考答案1．D 【分析】先根据函数的最大值和最小值求得A 和B ，然后利用图象求得函数的周期，求得ω，最后根据6x π=时取最大值，求得ϕ，即得结果．【详解】根据图象可知，函数的最大值4和最小值0，得40A b A b +=⎧⎨-=⎩，解得2,2A b ==，函数的周期为54126T ππ⎛⎫-⨯= ⎪⎝⎭，即2,2T ππωω===， 当6x π=时取最大值4，即sin 216πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，()2262k k Z ππϕπ⨯+=+∈，即()26k k Z πϕπ=+∈，26ππϕϕ<∴=.故选：D. 2．A 【分析】先将函数变形，再利用三角函数的图象的平移方法，即可得到结论． 【详解】∵函数ππsin(2)sin[2()]36y x x =-=-，∴为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象，可以将函数y =sin2x 的图象向右平移π6个单位长度．故选A ． 3．B 【分析】由题设有())f x x ϕ=+且tan ϕ，又()()6g x f x π=-、()012g π=即可求a .【详解】()2cos2)f x x a x x ϕ=++，tan ϕ=∴图象向右平移6π后关于点(,0)12π对称，∴()()63)g x x x f ππϕ-=+=-，则sin(()06)123g πππϕ-=+=，∴6π=ϕ，故tan ϕ==，即1a =. 故选：B 4．C 【分析】直接利用正弦型函数的性质和图象的平移变换的应用求出函数的关系式，根据4g π⎛⎫= ⎪⎝⎭求出A 的值，进一步求出函数的值，即可得出答案. 【详解】解：函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0>ω，||)ϕπ<是奇函数， 所以()k k Z ϕπ=∈， 由于||ϕπ<，所以0ϕ=．将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为1()sin()2g x A x ω=． 由于()g x 的最小正周期为2π， 所以2ω=．故()sin g x A x =，由于()4g π=2A =-．则()2sin 2f x x =-，则33()2sin 84f ππ=-= 故选：C. 5．B 【分析】根据题意利用函数的图象的对称性可知M ，N 两点关于圆心(),0C c 对称，可得圆心坐标，以及五点法作图求得函数的解析式，即可求解. 【详解】由函数()()2sin f x x ωϕ=+的图象以及圆C 的对称性， 可得M ，N 两点关于圆心(),0C c 对称，所以20323c ππ+==， 因为11222362T ππππω=⨯=+=，所以2ω=， 所以()()2sin 2f x x ϕ=+，由()2026k k Z πϕπ⎛⎫⨯-+=+∈ ⎪⎝⎭，可得()23k k Z πϕπ=+∈，因为22ππϕ-<<，所以0k =，3πϕ=，所以()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令()232x k k Z πππ+=+∈可得：()122k x k Z ππ=+∈， 经检验可得：当2k =-时，1112x π=-，其他选项不正确， 故选：B. 6．C 【分析】将3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭变形为3sin 62y x π⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，结合左加右减原则即可得出结果.【详解】3sin 23s n 6i 23y x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以只要把函数3sin 2y x =的图像向左平移6π个单位即可得到； 故选：C 7．C 【分析】首先函数图像向右平移3π得到2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再将横坐标上所有的点伸长为原来的2倍，向上平移1个单位得到()2sin 13g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.【详解】函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移π3，得到的函数解析式为2sin 22sin 2333y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再将横坐标上所有的点伸长为原来的2倍，得到的解析式为2sin 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再向上平移1个单位，得到()2sin 13g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.故选：C 8．D 【分析】对于A ：直接求周期即可判断； 对于B ：直接求单调区间即可判断； 对于C ：用代入法进行验证；对于D ：直接利用相位变换即可判断；. 【详解】对于A ：()f x 的最小正周期222T πππω===，故A 错误； 对于B ：要求()f x 的单调递增区间，只需222262k x k πππππ-≤+≤+，解得：36k x k ππππ-≤≤+，即()f x 的单调递增区间为,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈；故B 错误；对于C ：因为2sin 2012126f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以12x π=-不是()y f x =的对称轴；故C错误； 对于D ：2sin 2g xx 向左平移12π个单位得到2sin 22sin 2126y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即为()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故D 正确.故选：D 9．B 【分析】根据三角函数图象的变换的规则，结合选项，即可求解. 【详解】根据三角函数的图象变换规则，将函数()sin g x x =先向左平移3π，可得sin()3y x π=+的图象，再将函数sin()3y x π=+纵坐标不变，横坐标缩小为原来的12倍，即可得到()sin(2)3f x x π=+的图象.故选：B. 10．B 【分析】因为点C 为线段MN 的中点，求得(,0)3C π，结合图象求得函数的周期，可判定A 错误；将(,)12A π代入()f x 的解析式，求得3πϕ=，再由对称轴的特征，可判定B 正确；求得()f x 在25(,)312ππ--递减，在5(,)126ππ--递增，可判定C 错误；由三角函数的图象变换，得到sin =y A x ，可判定D 错误.【详解】因为点C 为线段MN 的中点， 由点M 的横坐标为0，N 的横坐标为23π，可得C 的坐标为(,0)3π， 由图象可得函数()()sin f x A x =+ωϕ的最小正周期为2()36πππ⋅+=，所以A 错误；由22T πω==，可得()()sin 2f x A x ϕ=+，代入(,)12A π，可得sin()16πϕ+=，解得2,3k k Z πϕπ=+∈，可取3πϕ=，即()sin(2)3f x A x π=+，因为77()sin()1263f A A πππ=+=-，所以()f x 的图像关于712x π=轴对称，故B 正确； 由图象可得()f x 在7(,),312k k k Z ππππ++∈递减，在75(,),126k k k Z ππππ++∈递增， 则()f x 在25(,)312ππ--递减，在5(,)126ππ--递增，所以C 错误； 函数()f x 的图象上所有的点横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），可得sin()3y A x π=+，再向右平移3π个单位，可得sin =y A x ，其图象关于原点对称，所以D 错误. 故选：B. 11．D 【分析】首先求平移后的解析式，再根据两函数图象重合，列式求ω的值. 【详解】sin 23y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移3π个单位后得到2sin 233y x πωπω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，而cos 2sin 22y x x πωω⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，所以22332k πωπππ-=+，k Z ∈，解得134k ω=--，当0k =时，14ω=-.故选：D 12．B 【分析】求得()cos 44g x x ωππω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由5,44x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可求得4444x πωπππωωπ<-+<+，结合函数()g x 的单调性可得出关于ω的不等式，由此可得出ω的最大值.【详解】将()f x 的图象向右平移4π个单位长度后得到()cos 44g x x ωππω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象. 因为5,44x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以4444x πωπππωωπ<-+<+， 因为()g x 在5,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以4πωππ+≤，304ω<≤，所以ω的最大值为34.故选：B.13．1； 31,88k k k Z ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦【分析】根据表格可求得函数()f x 的解析式，从而可求18f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；然后再利用整体代入法求函数()f x 的单调递增区间.【详解】因为1sin 382f A k A k π⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，3sin 18f A k k π⎛⎫=+== ⎪⎝⎭， 所以1,2k A ==， 又0x =时，04πωϕ⨯+=；18x时，182πωϕ⨯+=，所以2,4πωπϕ==，所以()2sin 214f x x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以12sin 11844f ππ⎛⎫⎛⎫-=-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；由222,242k x k k Z ππππππ-+≤+≤+∈，得31,88k x k k Z -+≤≤+∈，所以函数()f x 的单调递增区间是31,88k k k Z ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.故答案为：1；31,88k k k Z ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.14．()sin 3g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 2π【分析】利用三角函数图象的平移可得第一空，通过解析式画出函数()y g x =的图象，结合条件“对于任意11,22a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，在区间[0,]m 上总存在唯一确定的β，使得()g a β=”，求出m 的取值范围，进而确定m 的最小值． 【详解】函数()sin 2f x x =的图像向右平移6π个单位得到6sin 2sin 23y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再把每个点横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =，则()sin 3g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．画出其图象如图，由图可知，对于任意11,22a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，在区间[0,]m 上总存在唯一确定的β，使得()g a β=，m的取值范围为726ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，．所以m 的最小值为2π．故答案为：()sin 3g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；2π．【点睛】本题主要考查三角函数图象的平移，以及三角函数的图象与性质，关键点在于如何正确理解“对于任意11,22a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，在区间[0,]m 上总存在唯一确定的β，使得()g a β=”这一条件，本题利用数形结合是一个不错的选择．15．3 3π【分析】由图象平移得()()g x f x ϕ=-与()h x 极值点完全相同，有周期相同求ω，由极值点相等列方程求ϕ的最小值. 【详解】由题意，()()2cos(33)13g x f x x πϕϕ=-=-++，又()g x 与()h x 极值点完全相同，∴()g x 与()h x 周期相同，223ππω=有3ω=，且令333x k πϕπ-+=，362x k πππ'-=+(,)k k Z '∈，则23939k k ππππϕ'+-=+，得()033k k ππϕ'-=+> ∴最小3πϕ=.故答案为：3，3π. 16．2[ 【分析】由三角函数的平移变换可得()f x 与x 的交点坐标为(0)12π-，、5(0)12π，，代入解析式求出ω、ϕ，得出解析式，再利用三角函数的性质即可求解.【详解】由题意可知将函数()y g x =的图像上的点(0)3π-，向右平移4π个单位长度， 可得()f x 的图像在五点法作图时的第一个点，坐标为(0)34ππ-+，，即(0)12π-，，由()f x 的部分图像可知五点法作图时的第二个点坐标为5(0)12π，， 则012512πωφπωφπ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得26ωπφ=⎧⎪⎨=⎪⎩，∴()2sin(2)6f x x π=+，由71212x ππ-≤≤得40263x ππ≤+≤，则当262x ππ+=，6x π=时，max sin(2)16x π+=，当4263x ππ+=，712x π=时，min sin(2)6x π+=，故函数()f x 在区间7[]1212ππ-，的值域为[.故答案为：2；[ 17．（1）()42sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；（2）,34ππ⎛⎤-- ⎥⎝⎦. 【分析】（1）求出函数()g x 的解析式，根据函数()g x 的对称性可得出关于t 的等式，结合t 的取值范围可求得t 的值，进而可得出函数()g x 的解析式；（2）先解出不等式()g x <R 上的解集，与,24ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦取交集即可得解.【详解】（1）易知()2sin 223g x x t π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，因为函数()g x 的图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，则()2263t k k πππ⎛⎫⨯-+-=∈ ⎪⎝⎭Z ，得()23k t k ππ=+∈Z ，又2t ππ<<，56t π∴=，所以，()42sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）由()42sin 23g x x π⎛⎫=+< ⎪⎝⎭，得4sin 23x π⎛⎫+< ⎪⎝⎭. 所以，()247222333k x k k Z πππππ+<+<+∈，解得()32k x k k Z ππππ-<<+∈， 记,32A x k x k k Z ππππ⎧⎫=-<<+∈⎨⎬⎩⎭，则,,2434A ππππ⎡⎤⎛⎤--=-- ⎢⎥⎥⎣⎦⎝⎦，所以，当,24x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，不等式()g x <,34ππ⎛⎤-- ⎥⎝⎦.18．（1）1A =，1ω=，6π=ϕ；（2）3,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）由图象知1A =，周期2T π=，求得1ω=，再由五点对应法，求得6π=ϕ，即可得到函数的解析式； （2）由0x π≤≤，求得7666x πππ≤+≤，得到()1,12f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，令()t f x =，即1,12t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）由图像知1A =，函数的周期42233T πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，即22ππω=，则1ω=. 由五点对应法，可得()232k k ππϕπ+=+∈Z ，又,26ππϕϕ<∴=.（2）由（1）得()sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，70,666x x ππππ∴+，则1sin 126x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，故()1,12f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦. 令()t f x =，即1,12t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则2213124y t t t ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，当12t =-时，y 取得最小值34；当1t =时，y 取得最大值3.故()G x 的取值范围是3,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦.19．（1）5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）图象见解析；（3）答案见解析.【分析】（1）根据正弦函数的单调区间，应用整体代入法求()f x 的递增区间，再确定给定区间的递增区间；（2）由解析式确定对应点，在坐标系中描点并画出函数图象即可.（3）根据三角函数图象平移左加右减、上加下减及伸缩与ω的关系，写出图象的变换过程. 【详解】 （1）令3222,242k x k k Z πππππ-≤-≤+∈， ∴5,88k x k k Z ππππ+≤≤+∈，又0x π≤≤， ∴()f x 在[0,]π上的增区间为5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（2）列表：函数图象如图，（3）将sin y x =的图象上的所有点向右平移34π个单位长度，得3sin 4y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象. 再将3sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上的所有点的横坐标缩短为原来的12倍（纵坐标不变）得3sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象.20．（1）最小正周期为π，递减区间5[+,+],36k k k Z ππππ∈； （2）()sin(2)6f x x π=-； （3）答案见解析. 【分析】（1）根据函数的图象，求得函数的解析式，进一步求得函数的周期和单调递减区间； （3）利用函数的图象，结合（1）即可求得函数的解析式； （3）利用三角函数图象的平移变换和伸缩变换，即可求解. 【详解】（1）根据给定的函数的图象，可得43124T πππ=-=，解得T π=，所以22Tπω==， 由()sin(2)01212f ππϕ=⨯+=，且2πϕ<，可得6πϕ=-，所以()sin(2)6f x x π=-，所以函数的最下正周期为π， 令3+22+2,262k x k k Z πππππ≤-≤∈，解得5++,36k x k k Z ππππ≤≤∈， 即函数()f x 的递减区间为5[+,+],36k k k Z ππππ∈. （2）由（1）可得函数的解析式为()sin(2)6f x x π=-.（3）要得到函数()f x 的图象，只需将函数sin y x =的图象向右平移6π个单位，再将得到的函数图象的横坐标缩短为原来的12倍，即可得到函数()sin(2)6f x x π=-的图象.21．（1）1π4π,2,,23T A ωϕ====；（2）[―2，2]；（3）对称中心4,03π⎛⎫⎪⎝⎭，对称轴方程3x π=.【分析】（1）根据图象中的最大值求出2A =，求出周期4πT =，进而求得12ω=，带入点,23π⎛⎫⎪⎝⎭，即可求出3πϕ=；（2）根据图象求出函数的最大值和最小值，即可求出函数的值域； （3）根据对称轴和对称中心的概念结合函数图象即可直接写出结果. 【详解】（1）由图象可知2A =，1024π33T ππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，又因为2T πω=，所以24ππω=，即12ω=，所以1()2sin()2f x x ϕ=+，又因为点,23π⎛⎫ ⎪⎝⎭在函数图象上，所以122sin()23πϕ=⨯+，则1sin()6πϕ=+，且||<2πϕ，所以3πϕ=，所以1π4π,2,,23T A ωϕ====；（2）由图象知()2max f x =，min ()2f x =-；所以函数()f x 值域为[]22-,； （3）由图象知3x π=是函数的一条对称轴方程，4,03π⎛⎫⎪⎝⎭是函数的一个对称中心. 22．（1）()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）答案见解析.【分析】（1）利用图形求出A ，ω，根据563()12f ππ+=-求出ϕ，可得函数()f x 的表达式； （2）分类讨论a ，结合图形，利用对称轴可求出结果. 【详解】（1）由图可知：1A =，5π262π3πT =-=，即πT =， 2ω∴=，()()sin 2f x x ϕ∴=+又由图可知：563()12f ππ+=-，即7()112f π=-， 所以7sin(2)112πω⨯+=-，所以7sin()16πω+=-，所以73262k ππωπ+=+，k Z ∈， 所以23k πωπ=+，k Z ∈，因为||2πϕ≤，所以3πω=，()sin π23f x x ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭．（2）因为()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的周期为π，()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0,2π内恰有2个周期．①当0a <<时，方程sin 2π3x a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭在[]0,2π内有4个实根，设为1x 、2x 、3x 、4x ，结合图象知127π6x x +=，3419π6x x +=，故所有实数根之和为13π3；②当a =sin 2π3x a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭在[]0,2π内有5个实根为0，π6，π，7π6，2π，故所有实数根之和为13π3；③1a <<时，方程sin 2π3x a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭在[]0,2π内有4个实根，设为1x 、2x 、3x 、4x ，结合图象知12π6x x +=，3413π6x x +=，故所有实数根之和为7π3；综上：当0a<时，方程sin2π3x a⎛⎫+= ⎪⎝⎭所有实数根之和为13π3；1a<<时，方程sin2π3x a⎛⎫+= ⎪⎝⎭所有实数根之和为7π3．答案第21页，总21页。