《复数的扩充和复数的概念》课堂实录(第一课时)

3.1.1数系的扩充与复数的概念教学设计【教学目标】（1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求在数系扩充过程中的作用,理解复数的基本概念（2）了解复数的代数形式（3）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件【教学重难点】重点：引进虚数单位i 的必要性、对i 的规定、复数的有关概念 难点：实数系扩充到复数系的过程的理解，复数概念的理解【教学过程】（一）、创设情景，引入新课：1、由社会主义核心价值观是社会主义科学理论的补充和完善引入这节课：数系的扩充和复数的概念。

2、复习回顾：学生回顾数系从自然数集到实数集的扩充过程，强调在已知范围内无解时，通过引入新数解决问题，添加新数后运算法则和运算律没有改变。

（二）、提出问题，探究新知：【问题1】 我们知道，对于实系数一元二次方程012=+x 没有实数根．类比自然数集类比自然数系到实数系的扩充过程，能否设想一种方法使这个方程有解呢？引进新数i ，使得12-=i【问题2】 把实数和新引进的数i 像实数那样进行运算，并希望运算时有关的运算律仍成立，你得到什么样的数？归纳一般形式：a+bi(a,b∈R)，建立复数的相关概念：1.复数的概念：⑴复数：形如a+bi(a,b∈R)叫做复数，常用字母z 表示，全体复数构成的集合叫做复数集，常用字母C 表示．⑵复数的代数形式：z=a+bi(a,b∈R)，其中a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部，i 叫做虚数单位．学生活动：指出下列复数的实部和虚部。

（多媒体投影） 目的：强化概念，引入复数分类。

2.复数的分类：由学生活动里的复数分析入手，引导学生发现复数中的不同类型，得到复数的分类：对复数a+bi(a,b∈R)，当且仅当b=0时，是实数；当且仅当0≠b 时，称作虚数；当且仅当a=0且0≠b 时，称作纯虚数。

让学生经历文字描述到列表分类到韦恩图分类的过程，加深对复数的分类的理解。

学生活动：通过判断题，分类题，含参数题的强化训练，巩固新知3、复数相等在例题讲解的基础上引入思考：m 为何值的时候，z 是4+2i?指出这种计算实际上是复数相等，从充分性和必要性分析，引导学生得到复数相等的概念：当两个复数实部和虚部分别相等的时候，这两个复数相等。

§3.1数系的扩充和复数的概念教学分析：本节课作为章节起始课，在学习过程中，如果单纯介绍复数的概念显得较为空洞无味，加之由于学生对数系扩充的知识不熟悉，对了解实数系扩充到复数系的过程有困难，所以本节课运用多媒体课件辅助教学，图文并茂地讲解数的发展简史，增强生动性，并采用诱导式教学法，启发学生的思维.教学目标：1. 知识与技能：理解虚数单位i以及i与实数的四则运算规律，理解并掌握复数的有关概念.2. 过程与方法：通过问题情境，直观形象地展示数系的扩充过程，化抽象为具体，在数系的几次扩充过程中培养归纳思想与类比思想.3. 情感、态度与价值观：通过问题情境，体会实际需求与数学内部矛盾,在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系.教学重难点：重点：复数的概念，虚数单位i，复数的分类和复数相等概念难点：虚数单位i的引进及复数的概念教学设想：生产和科学发展的需要而逐步扩充，数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾，分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾.教学过程：一、问题情景：1．引入新课：由学校校园的变化与发展引到世界上的事物的变化与发展，数系也不例外；数已经从自然数扩充到实数。

2．古代人知道数字1，2，3，4……吗？古代人如何计数？3．通过下面几幅图片，请谈谈你对数的发展的了解.线路1：从实际生活生产的需要出发随着生产和科学的发展，数的概念也得到发展.由于计数的需要，产生了自然数；为了解决测量、分配中遇到的等分的问题，人们引进了分数；为了表示具有相反意义的量，人们又引进了负数.这样就把数集扩充到有理数集Q.边长为1的正方形的对角线无法用有理数表示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数.从而将数扩充到实数.线路2：从数学发展的内部需要出发引入负数，是为了解决自然数集中不总能相减的矛盾；引入分数，是为了解决整数集中不总能相除的矛盾；引入无理数，是为了解决正数不总能开方的矛盾．另外，从解方程的角度也可以引出数系的扩充．⊆⊆⊆由此得到几个数集之间的关系：N Z Q R二、新知讲解我们知道，方程012=+x 没有实数根，为了解决负数在实数系中不能开方的问题，类比前三次数系扩充的过程，我们设法引入一个新数i ，并且规定： （1）12-=i ；（2）实数可以与 i 进行加法与乘法运算。

数系的扩充和复数的概念（教学设计）（1）§3.1.1数系的扩充和复数的概念教学目标：知识与技能目标：了解引进复数的必要性；理解并掌握复数的有关概念（复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部、复数相等）。

理解虚数单位i 以及i 与实数的四则运算规律。

过程与方法目标：通过问题情境，了解扩充数系的必要性，感受数系的扩充过程，体会引入虚数单位i 和复数形式的合理性，使学生对数的概念有一个初步的、完整的认识。

情感、态度与价值观目标：通过问题情境，体会实际需求与数学内部矛盾在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。

教学重点：复数的概念，虚数单位i ，复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等等概念是本节课的教学重点.复数在现代科学技术中以及在数学学科中的地位和作用教学难点：虚数单位i 的引进及复数的概念是本节课的教学难点.复数的概念是在引入虚数单位i 并同时规定了它的两条性质之后，自然地得出的.在规定i 的第二条性质时，原有的加、乘运算律仍然成立教学过程：一、创设情境、新课引入：数的概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类社会初期，人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示“没有”的数0.自然数的全体构成自然数集N 随着生产和科学的发展，数的概念也得到发展为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们引进了分数；为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负数.这样就把数集扩充到有理数集Q .显然N Q .如果把自然数集(含正整数和0)与负整数集合并在一起，构成整数集Z ，则有Z Q 、N Z .如果把整数看作分母为1的分数，那么有理数集实际上就是分数集有些量与量之间的比值，例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有理数表示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数.所谓无理数，就是无限不循环小数.有理数集与无理数集合并在一起，构成实数集R .因为有理数都可看作循环小数(包括整数、有限小数)，无理数都是无限不循环小数，所以实数集实际上就是小数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充，数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾，分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾.但是，数集扩到实数集R 以后，像x 2=－1这样的方程还是无解的，因为没有一个实数的平方等于－1.由于解方程的需要，人们引入了一个新数i ，叫做虚数单位.并由此产生的了复数二、师生互动、新课讲解1.虚数单位i :(1)它的平方等于-1，即 21i =-;(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立.2. i 与－1的关系: i 就是－1的一个平方根，即方程x 2=－1的一个根，方程x 2=－1的另一个根是－i !3. i 的周期性：i 4n+1=i, i 4n+2=-1, i 4n+3=-i, i 4n =14.复数的定义：形如(,)a bi a b R +∈的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部数集，用字母C 表示*3. 复数的代数形式: 复数通常用字母z 表示，即(,)z a bi a b R =+∈，把复数表示成a +bi 的形式，叫做复数的代数形式4. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)a bi a b R +∈，当且仅当b =0时，复数a +bi (a 、b ∈R )是实数a ；当b ≠0时，复数z =a +bi 叫做虚数；当a =0且b ≠0时，z =bi 叫做纯虚数；当且仅当a =b =0时，z 就是实数0.5.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C .6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等这就是说，如果a ，b ，c ，d ∈R ，那么a +bi =c +di ⇔a =c ，b =d 复数相等的定义是求复数值，在复数集中解方程的重要依据 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如3+5i 与4+3i 不能比较大小.现有一个命题：“任何两个复数都不能比较大小”对吗？不对 如果两个复数都是实数，就可以比较大小 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小例1：请说出复数i i i i 53,31,213,32---+-+的实部和虚部，有没有纯虚数？ 答：它们都是虚数，它们的实部分别是2，－3，0，－3;虚部分别是3，21，－31，－5;－31i 是纯虚数. 例2 ：复数－2i +3.14的实部和虚部是什么？答：实部是3.14，虚部是－2.易错为：实部是－2，虚部是3.14！例3（课本P51例1）：实数m 取什么数值时，复数z =m +1+(m －1)i 是:(1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？［分析］因为m ∈R ，所以m +1，m －1都是实数，由复数z =a +bi 是实数、虚数和纯虚数的条件可以确定m 的值. 解：(1)当m －1=0，即m =1时，复数z 是实数；(2)当m －1≠0，即m ≠1时，复数z 是虚数；(3)当m +1=0，且m －1≠0时，即m =－1时，复数z 是纯虚数.例4：已知(2x －1)+i =y －(3－y )i ，其中x ，y ∈R ，求x 与y .解：根据复数相等的定义，得方程组⎩⎨⎧--==-)3(1,12y y x ，所以x =25，y =4 课堂练习：（课本P52练习NO ：1；2；3）三、课堂小结，巩固反思：这节课我们学习了虚数单位i 及它的两条性质，复数的定义、实部、虚部及有关分类问题，复数相等的充要条件，复平面等等.基本思想是：利用复数的概念，联系以前学过的实数的性质，对复数的知识有较完整的认识，以及利用转化的思想将复数问题转化为实数问题。

1课时课堂探究新人教B版选修1-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充与复数的引入第1课时课堂探究新人教B版选修1-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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入第1课时课堂探究新人教B版选修1—2 探究一复数的分类1．判断一个含有参数的复数在什么情况下是实数、虚数、纯虚数，首先要保证含参数的式子有意义,忽略这一要求会酿成根本性的错误；其次对参数值的取舍，是取“并”还是“交”非常关键．最后还要注意验算是否符合题意．2．对于复数z＝a＋b i（a，b∈R),既要从整体的角度去认识它，把复数z看成一个整体,又要从实部与虚部的角度将其分解成两部分去认识它,这是解复数问题的重要思路之一．【典型例题1】实数m取什么值时，复数(m2－5m＋6)＋(m2－3m)i是：(1)实数；(2)虚数；（3)纯虚数；(4）零．思路分析：根据复数z的分类标准列方程或不等式解决．解：设z＝(m2－5m＋6）＋(m2－3m）i。

(1）要使z为实数，必须有m2－3m＝0，得m＝0或m＝3,故当m＝0或m＝3时，z为实数．(2）要使z为虚数,必须有m2－3m≠0，得m≠0，且m≠3,故当m≠0，且m≠3时，z为虚数．(3)要使z为纯虚数，必须有错误!∴错误!∴m＝2。

∴当m＝2时,z为纯虚数．（4)要使z＝0,则须有错误!错误!m＝3，∴当m＝3时，复数z为零．探究二复数相等的应用1．对于复数相等问题常用到如下等价关系:a＋b i＝c＋d i 错误!(a，b,c，d∈R）．2．利用复数相等可实现复数问题实数化，并且要注意复数相等时，只有等式两端的复数均为标准的代数形式才能列式进行计算．【典型例题2】已知(x＋y)＋（y－1）i＝(2x＋3y)＋(2y＋1)i,求实数x，y的值．思路分析：利用两个复数相等的充要条件求解．解：根据复数相等的充要条件可知错误!解得错误!探究三复数与实数之间的关系1．根据复数a＋b i与c＋d i(a，b，c,d∈R）相等的定义，可知在a＝c，b＝d两式中，只要有一个不成立,那么就有a＋b i≠c＋d i。

2016-2017学年高中数学专题3.1.1 数系的扩充和复数的概念教案新人教A版选修1-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学专题3.1.1 数系的扩充和复数的概念教案新人教A版选修1-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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数系的扩充和复数的概念一、教学内容数系的三次扩充过程，复数的引入过程，复数概念的知识二、教学目标三、教学重点引入复数的必要性与复数的相关概念、复数的分类，复数相等的充要条件四、教学难点虚数单位i的引进和复数的概念五、学生分析学生在本章之前已经学习了《推理与证明》的内容，有了一定的推理与证明能力，有利于本节课运用类比思想对实数集进行扩充.六、教学方法及教学用具启发引导、类比探究并运用多媒体课件展示相关知识七、教学过程（一)问题引入问题:若223+=,3x yxy=，求（1）x+y的值; (2）求x和y的值生（独立完成）：求出x+y=3或—3师：既然和能够求出来,那能不能求出x 和y 的值呢？生：30∆=-<，由于3-的存在，我们求不了x 、y 的值师:事实上在实数范围内x 和y 确实不存在？为什么会这样呢？假设x 和y 是存在的,那么就肯定是一些不是实数的数，那么，这些数是什么呢?我们能不能解决这个问题呢?这就是我们今天要学习的内容《数系的扩充和复数的引入》（二）回顾数系的扩充历程师：其实对于这种“数不够用”的情况,我们并不陌生。

大家记得吗?从小学到现在，我们一直在经历着数的不断扩充.现在就让我们来回顾一下，看看我们以前是怎么解决“数不够用”的问题的. （三)类比，引入新数，将实数集扩充1、 类比数系的扩充规律,引导学生找出解决“实数不够用”这个问题的办法生:引入新数，使得平方为负数师：我们希望引入的数的平方为负数,但是负数有无穷多个,我们不肯能一下子引入那么原因1原因2 规律 自然数(N) 计数1、实际需要、运算矛盾2、引入新数解决问题，运算保持，运算律不变 整数(Z ） 具有相反意义的量 减法在N 不能完全运算有理数（Q) 测量，分配除法在Z 不能完全运算 实数(R ） 单位正方形对角线长 开平方在Q 不能完全运算多,只要引入平方为多少就行呢？(引导学生找到1-,因为任何一个负数都可以写成正数与—1的乘积）2、 历史重现：在历史上数学家们碰到我们前面这个问题的时候一开始是解决不了的，导致在此问题上徘徊了百年之久，直到18世纪末，数学家才认识到解决21x =-的重要性，于是他们就像我们一样引入新的数，使得引入的数的平方等于1-,并把这个数记为英文字母i ,就是虚构、想象的意思.3、探究复数的一般形式:首先，我们有：（1）21i =-（2）i 与实数可以做运算、并且运算律不变师:我们不妨把i 添加到实数集里面成为一个新的集合A ，根据i 的性质，我们拿两个实数a 和b 与i 任意的做加法、乘法运算，可以得到哪些数呢？生：,,,,,ai bi a bi b ai ab bi ab ai ++++。

§3.1.1数系的扩充和复数的概念【学习目标】1.在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾及数系扩充必要性， 感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系；2.理解复数的有关概念以及符号表示；3.掌握复数的代数表示形式及其有关概念.【重点难点】重点: 理解虚数单位i 的引进的必要性及复数的有关概念．难点：复数的有关概念及应用．【学法指导】回顾以前学习数的范围扩充过程，体会数系扩充的必要性及现实意义；思考数系扩充后需考虑的因素，譬如运算法则、运算律、符号表示等问题，为本节学习奠定方法基础.【知识链接】1.前两个学段学习的数系扩充：2.我们知道方程210x +=在实数集中无解，因为在实数范围内，没有一个实数的平方等于负数．联系从自然数到实数系的扩充过程，你能设想一种方法，使这个方程有解吗？【问题探究】探究一、复数的引入引导1: 为了解决方程210x +=在实数集中无解的问题，我们设想我们引入一个新数 ， 并规定：（1）=2i ；（2）实数可以与i 进行加法和乘法运算：实数a 与数i 相加记为： ；实数a 与数i 相乘记为： ；实数a 与实数b 和i 相乘记为： ；（3）实数与i 进行加法和乘法时，原有的加法、乘法运算律仍然成立．Q NZR引导2:复数的有关概念：（1）我们把形如 ()R b a ∈,的数叫做复数，其中i 叫做 ， 全体复数所组成的集合叫做复数集，常用大写．．字母 表示。

（2）复数的代数形式：复数通常用小写字母 表示，即 ()R b a ∈,，这一表示形 式叫做复数的代数形式，其中 叫做复数z 的实部， 叫做复数z 的虚部。

点拨：当我们遇到使用原有知识解决不了的问题时，可以适当地引入一些新的规定，譬如这 里我们引入的数i 及引入数i 后实数与i 进行加法和乘法时的运算律，但是切记引入的 规定要合理，要有一定的依据基础.探究二、两复数相等复数()R b a bi a z ∈+=,1与()R d c di c z ∈+=,2相等的充要条件是 . 点拨：考虑到一个复数是由其实部和虚部共同决定，所以两个复数相等的充要条件为实部 与实部相等且虚部与虚部相等.探究三、复数的分类：对于复数()R b a bi a z ∈+=,当且仅当0=b 时，复数z 表示：当且仅当0,0==b a 时，复数z 表示：当0≠b 时，复数z 叫做当0,0≠=b a 时，复数z 叫做点拨：将新生知识合理分类不仅便于后续学习的应用，还可以培养我们分类划归解决问题 的思想，也体现了知识形成的规范性.探究四、复数集C 和实数集R 之间的关系点拨：引入复数后，每一个实数都可以写成复数形式，即每个实数也是一个复数，因此引入 复数的过程相当于数系的再一次扩充，所以实数集R 和复数集C 的关系为R C ⊆.()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧非纯虚数纯虚数虚数实数()R b a bi a ∈+,复数【典例分析】例1请说出复数i i i i 53,31,213,32---+-+的实部和虚部，有没有纯虚数？ 引导:考虑复数的有关概念.对于复数(),z a bi a b R =+∈，a 叫实部，b 叫虚部. 解：点拨：牢记复数的相关概念.例2 实数m 分别取什么值时，复数()i m m z 11-++=是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？引导:因为m R ∈，所以1m +，1m -都是实数，由复数(),z a bi a b R =+∈是实数、虚数、纯虚数的条件可以确定实数x 的值．解：点拨：注意区分复数(),z a bi a b R =+∈是实数、虚数、纯虚数的条件.例3 已知i y y i x )3()12(--=+-,其中，,x y R ∈，求x 与y ．引导:因为,x y R ∈，所以由两个复数相等的定义，可列出关于x ，y 的方程组，解这个方程组，可求出x ，y 的值．解：点拨：两个复数相等，则实部与实部相等，虚部与虚部相等，实质上建立了两个等式关系，也即是相当于建立两个方程，解题时注意体会运用.【目标检测】1.判断下列命题是否正确：（1）若a 、b 为实数，则z a bi =+为虚数；（ ）（2）若b 为实数，则z bi =必为纯虚数；（ ）（3）若a 为实数，则z a =一定不是虚数；（ ）2.指出下列各数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？ 72+，618.0，i 72，0，i ，2i ，85+i ，i 293- 实数：虚数：纯虚数：3.若复数()()i m m m m 36522-++-为纯虚数，试求实数m 的值. 提示：由复数(),z a bi a b R =+∈是纯虚数的条件可以确定实数m 的值.4.若x ,y 为实数，且()()()i y y x i y y x 12321)(+++=-++，求x 与y .提示：由复数相等即可得关于x 、y 的一个方程组，解方程组即可.【总结提升】1.复数的引入，体现了数系扩充的必要性及现实意义；给出的相关规定体现了数系扩充 后运算的封闭性，同时体现了规定的合理性；2.复数的有关概念是学习复数的基础，学习时需根据复数是由其实部和虚部共同决定的这 一特征理解记忆.【总结反思】知识 .重点 .能力与思想方法 .【自我评价】你完成本学案的情况为( )A.很好B.较好C.一般D.较差。

课堂探究探究一复数的概念1．虚数单位的性质i2＝－1,1·i＝i,0·i＝0.2．复数的实部与虚部的确定方法首先将所给的复数化简为复数的代数形式，然后根据实部与虚部的概念确定实部与虚部．3．数集从实数集扩充到复数集后，一些运算结论不一定成立．【典型例题1】(1)下列说法错误的有__________．(填序号)①若z∈C时，z2≥0；②若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；③若a＞b，则a＋i＞b＋i.(2)给出以下命题：①复数由实数、虚数、纯虚数构成；②形如a＋b i的数一定是虚数；③两个复数不能比较大小；④若a∈C，则(a＋3)i是纯虚数．其中正确命题的个数是________．思路分析：按照复数、实数、纯虚数的概念进行分析与判断．解析：(1)①错误，若z＝i，则z2＝－1＜0；②错误，当a＝－1时，(a＋1)i＝0∈R；③错误，两个虚数不能比较大小．(2)①复数由实数和虚数组成，虚数中包含着纯虚数，故①错；②形如a＋b i的数不一定是虚数，也可能是实数，故②错；③中两个复数并非不可以比较大小，当两个复数都是实数时就可以比较大小，故③错；④中当a＝－3时，(a＋3)i＝0，不是纯虚数，故④错．因此正确命题的个数为0.答案：(1)①②③(2)0探究二复数的分类1．解决这类复数的分类问题时，主要依据复数z＝a＋b i(a，b∈R)是实数、虚数、纯虚数的充要条件进行求解，列出相应的等式或不等式组求出参数的值或范围，但若已知的复数z不是a＋b i(a，b∈R)的形式，应先化为这种形式，得到复数的实部、虚部再进行求解．2．应特别注意z＝a＋b i(a，b∈R)是纯虚数的条件是a＝0且b≠0，不能忘记b≠0这一限制条件．【典型例题2】实数m 取什么值时，复数(m 2－3m ＋2)＋(m 2－4)i 是：(1)实数．(2)虚数．(3)纯虚数．思路分析：根据复数分类的充要条件，列出方程(不等式)组求m .解：设z ＝(m 2－3m ＋2)＋(m 2－4)i.(1)要使z 为实数，必须有m 2－4＝0，得m ＝－2或m ＝2，即m ＝－2或m ＝2时，z 为实数．(2)要使z 为虚数，必须有m 2－4≠0，即m ≠－2且m ≠2，故m ≠－2且m ≠2时，z 为虚数．(3)要使z 为纯虚数，必须有⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4≠0，m 2－3m ＋2＝0. 所以⎩⎪⎨⎪⎧ m ≠－2且m ≠2，m ＝1或m ＝2，所以m ＝1，即m ＝1时，z 为纯虚数．探究三 复数相等的充要条件复数相等问题的解题技巧1．必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解．2．根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化的体现．【典型例题3】求使等式(2x －1)＋i ＝y －(3－y )i 成立的实数x ，y 的值．解：由复数相等的充要条件可得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1＝y ，1＝－(3－y )，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝4. 探究四 易错辨析易错点：对复数的相关概念理解不到位而导致出错【典型例题4】下列命题：①x ＋y i ＝2＋2i ⇔x ＝y ＝2；②z ＝b i(b ∈R )为纯虚数；③若x ∈R ，则(x 2－1)＋(x －1)i ＝0，则x ＝1.其中正确命题的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．3错解：D错因分析：①中没有说明x，y是实数，则x，y不一定分别是实部和虚部，所以不能用复数相等的条件求x，y的值；②复数是纯虚数时，有两个条件，实部为零，虚部不为零，而z＝b i中，当b＝0时，z＝0为实数；③正确．正解：B。

数系的扩充及复数的概念”课堂实录与反思曾小娟"，张朋举2(1.南京市大厂高级中学v .南京师范大学附属扬子中学-正在修订的高中数学课程标准提炼了六个数学 核心素养，但在日常课堂教学如何落实数学学科核 心素养呢？笔者以“数系的扩充及复数的概念”为 例，阐述对数学核心素养落实课堂教学的认识.首 先，要有具体化、可操作、可检测的教学目标;其次， 学生要有广泛的、积极的参与;再次，要使目标落实， 使目标、教学、检测具有一致性.章建跃教授认为：“从数学知识发生发展过程 的合理性、学生思维过程的合理性上加以思考，这是 落实数学学科核心素养的关键点”.前不久笔者在 本区的一次高中数学教研活动中开设了一节《数系 的扩充及复数的概念》观摩课，考虑到本校的生源， 及本人上课的班级又是文科平行班，为了使数学学 科核心素养的培育落实到课堂教学中去，从而构建 高效课堂，所以笔者进行了深人细致的备课，取得了 不错的效果，获得了学生与听课老师的好评.下面将 本节课的教学与大家分享、交流，如有不妥之处，还 请大家指正.1课堂教学实录师:恩格斯说过:“各种数集是数学的两大基本 柱石之一，整个数学都是由此提炼，演变与发展起来 的.”请各位同学回顾一下，到目前为止，你学过哪 些数集？用符号怎样表示？生1#自然数集（N )，整数集（Z )，有理数集 (#)，实数氣$).师#那么它们之间有怎样的包含关系？,1 ：N /Z/Q/R .师:用$e e n 图可将它们的关系表示如图（用P P T 展示）从这张表示数集之间的包含关系图可以看出数是逐步发展壮大的，那数的概念是如何不断 发展和扩充的呢，下面我们结合图片（图1 )谈谈你 对数发展的了解.生2:第一幅计数结绳，产生自然数；第二幅表 示海平面以上、海平面以下，产生负数;第三幅为了 分蛋糕，产生了分数;第四幅为了求正方形对角线的 长，产生无理数.图1师:那由此看来，是什么原因导致数的不断扩充与发展？生（齐）客观实际需要.师:说的非常好，除了客观实际需要，还有数学 内部的需要也是推动数发展的重要原因，首先让我 们通过方程回首数系的发展，请问方程"-1 =0的 解是多少？生（齐）:"=1.师:1是自然数，所以说得更精确一点是方程在 自然数集中的解是"=1，继续看第二个方程",2 = 0的解是多少？生（齐）:"=-2.师:那",2 = 0是方程在自然数集中的解吗？生（齐）:不是.师:那方程在自然数集中的解是多少？生（齐）:无解.师:为什么？生（齐）：因为自然数集中不包括负整数.师:那你们的意思是不是在自然数集中添加负 整数方程就有解了？生（齐）:是的.师:那自然数集中添加了负整数扩充到什么数集？生（齐）:整数集，即自然数集*整数集.师:总结一下刚才的过程，方程",2=0在自然 数集中无解，但在自然数集中添加了负整数扩充到 整数集，方程就有解了.•36•师:继续看第三个方程2!-1 = 0,它在自然数 集中解是多少？生（齐-无解.师:在整数集呢？生（齐-无解.师:那要使方程有解应该怎么办？生3 :在整数集中添加分数扩充到有理数集，即整数集*有理数集，方程就有解了，解为！= f.师:继续第四个方程！2+2=0.生（齐-因为前面的铺垫，学生均能明白方程 !2 -2 =0在自然数集，整数集，有理数集上均无解，要使得方程！2 - 2 = 0在实数集上有解，解是！= ±!.师:继续看第五个方程！2 + 1 = 0,它的解是 多少？生4:无实数解.师:为什么方程没有实数解？生4:因为在实数集中，没有实数的平方为-1.师:那你觉得要使方程有解应该怎么办？生（齐-添加新数，扩充系数.(幻灯片显示课题“数系的扩充；）师:你们真聪明！因为伟大的数学家欧拉也是 这样想的，添加新数，欧拉添加这个新数自己也觉得 是虚构的，不可能的……，他规定#2 = -1，虽然欧拉 是首次提出#2 = -1，但是数学王子高斯系统地研究 #I使人们不断接受它，它就是一个数……师:现在让我们一起来看看#的庐山真面目.引 入一个新数#，把#叫做虚数单位.并规定（1 -2 = -1;数学家邦贝利给出虚数单位#与实数进行四则 运算;（2 )实数可以与#进行四则运算，在进行四则 运算时，原有的加法与乘法的运算律（包括交换律、结合律和分配律)仍然成立.师:既然实数可以与#进行加减乘除四则运算，那我们班是(8 )班，我想请大家写出实数8与#进行 四则运算的式子.生5:8 +#，8#，8 x#，）师:请仔细观察黑板上这些数，这些数从形式上 看有什么共同特点，它们可以统一写成什么样的形式？经过谈论学生发现这些数是实数+实数x#的形式.师:大家表现得非常棒！这些数都能表示成$ + %( $，％%R-接下来让我们揭开复数神秘的面 纱.（教师结合幻灯片介绍“复数”的概念，“实部”、“虚部”的概念）例1请说出下列复数的实部和虚部（省略-师:请观察这些复数实部和虚部的特点，你能从 某个角度对复数进行适当的分类吗？(此处在设计时将虚部为零的放一起，虚部不 为零的放一起，使学生更容易发现怎样分类的.）例2实数&取何值时，复数' = &(&-1 ) + (&-1 )#，（ 1 )(2 )(3 )(4 )(省略）；（5 —=0;(6 —= 6 +2#.师:从例2的（5 )(6 )解题过程中，你觉得两个 复数相等的条件是什么？即$+%#=( + )#的条件是 什么？学生经过讨论很快得出两复数相等的条件.师:回到开始的方程！2 +1 =0,现在大家能说 出它的解吗？大部分学生回答！=#，教师引导学生类比方程 !2 -2 =0的解为'=±!T，从而得到方程！2 +1 =0 的解为！= ± #.师:假如你就是“#”，请你向其他同学自我介绍 一下.生7:我的名字叫“#”，我的平方=-1，我可以 和实数进行四则运算，有了我实数集扩充到复数集，有了我方程！2 +1=0就有解了……2课例分析2.1关于问题情境的分析笔者在其他班试上，引用的问题情境是：已知！+丄=1，求！2 + 4的值.! !师:很好！那如果实数是呢，请你写出它们分别与#进行四则运算的式子.r I-/■■1.1 .1•生 6 :y+ #，y#，y X#，._，!&+#，！#，！& x#，….(将生5和生6得到的式子板书处理）1/I\2生 8 :!2 + = (! +--)-2= -1.生9 :由于！+丄=1，去分母得！2 - ! + 1 = 0，1!-4= -3 <0,所以题目的条件错了，因为题目的条 件错了，所以先前那个同学求到的结果肯定是错的，那就没有必要再研究这个错题了.•37•生10:还可以利用基本不等式说明这个题目的条件是错的，如果！ >0，则！2 %丄-1 )20 a L=2.同理，，<0,则！％丄$ -2,所以！ ％丄不可能等于1.生10的想法是笔者没有预料到的，在此笔者发 现学生的思维还是发散的，两个倒数的和马上联想 到基本不等式，这是课堂的意外收获.而且后两位学 生都觉得题目错了，没有必要再研究了.所以笔者改 变问题情境，主要通过求方程的解，让学生在这个过 程中体会到要使新方程有解，就需要不断地扩充数 系，都要引入“新数”，引入什么样的“新数”使方程 有解呢，使学生产生浓厚的兴趣，想知道方程的解到 底是多少.并且通过引入图1，让学生感受到客观实 际的需要也是促使数不断扩充的重要原因，让学生 觉得扩充数系，引入“新数”顺理成章，水到渠成，容 易接受.笔者认为9授之以鱼，不如授之以渔，更不如 授之以渔场”，只有精心的构建学生的学习情境，让 学生在生动恰当的情境中，经历完整的获得数学知 识的过程，才能更好的落实数学的核心素养，优化课 堂教学和提高课堂教学的效率.2.2 关于课堂教学目标定位分析教学目标1#经历体会数的概念的逐步发展，了解引入复数的必要性；教学目标2 #初步理解引入虚数单位“”的合 理性.在以往的传统课堂教学中，有些教师将复数的 概念直接灌输给学生，学生可能会觉得这样定义不 能接受，因此，笔者在设计时首先利用图1几幅生活 图片，让学生感受到社会发展的需要促使数集的扩 充，之后再通过求五个方程的解，让学生体会到要使 新的方程有解，就需要不断地扩充数系，每次数系的 扩充，都要引入“新数”，这样使得虚数单位的引入自然、合理、易接受.教学目标3 :尝试构造新数，能够归纳出复数的 代数表现方法.笔者是将虚数“#”与实数之间的四则运算的任 务交给学生，让他们亲自动手创造新数，例如8 % #之类的数，这个过程主要让学生经历创造的过程，培 养学生的创造能力，只要以创造性的教来唤起创造性的学，保护和激励学生所有的创造欲望和尝试，就 能促进学生形成爱学习、爱创新的习惯.教学目标4:掌握复数的分类和复数相等的充 要条件.笔者通过例1指出具体复数的实部和虚部，并 观察这些复数实部和虚部的特点，让学生从某个角 度对复数$ = %% &#进行适当的分类.对于复数相等的充要条件的得出，笔者设计了 例" 5 )(6 -学生均能顺利地解决(5 " 6 -而这样 设计充分尊重学生的理解力，放手让学生解决，先具 体后抽象，为讨论一般两复数相等作出合理的铺垫，使学生成为新知识的构建者.笔者认为：只有以发展学生核心素养为教学目 标指向，设计出符合学生认知规律的、自然而清楚的 系列数学活动，引导学生多样化的学习方式，实现核 心素养的发展目标，才能为学生核心素养的发展作 出自己贡献.2.3 关于课堂小结的分析在平常的课堂小结，我们大多是：“今天你们都 学到什么东西”.学生刚接触虚数单位“#”，而笔者 采用的是拟人化的手段，“假如你就是，请你向同学 自我介绍一下”，一下子这个课堂小结就活起来，学 生觉得耳目一新，对他们而言很具吸引力，学生把自 己当成，饶有兴致地自我介绍起来，也就把今天学的 东西掌握了"总之，笔者认为，本节课让学生经历“事实一概念一i性质一结构一应用”的完整过程，使 学生学会了思考，从而培育了学生数学核心素养，充 分体现了在课堂教学中培养学生核心素养的基本理 念，是一节难得的提升学生核心素养的讨论课.参考文献：{ 1 ]陈蓓.课例研究与教师数学学科教学知识 (M P C K)的发展[J|数学教育学报，2016,25( 4 -74 -78.[2 ]连春兴.复数概念教学中应注意的几个问 题[J].中学数学教育（高中版-2013.[3 ]翟爱国，张安林.问题与案例设想与设计[J].高中数学教与学，2014.[4 ]余建国.基于认知历史发生原理“再创造”数系的扩充[J].中学数学（高中版-2014 -6.[5 ]郝乐，马乾凯，郝一凡，等.数学教育与逻辑思 维能力的培养；J].数学教育学报，2013，22( 6 -:9 -11.38Y。