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2019—2020年最新人教A版高中数学必修四2-3-1《平面向量基本定理》同步练习(试题)含答案.doc

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高中数学--2.3.1-平面向量基本定理--新人教A版必修4PPT课件

高中数学--2.3.1-平面向量基本定理--新人教A版必修4PPT课件
6
思考3：一 个 平 面 内 的 两 个 不 共 线 的 向 量 e 1 、 e 2 与 该 平
面 内 的 任 一 向 量 a 之 间 的 关 系 .
M
C
a
A
e1
e2
O
如 图 O C O M O N
NB
O M 1 O A 1 e 1 O N2O B2e2
O C 1e12e2
即 a1e-1+2e2
有 且 只 有 一 个 实 数 ， 使 得 b a .
当 0 时，b 与a 同向， 且| b | 是| a | 的 倍; 当 0 时，b 与a 反向， 且| b | 是| a | 的| | 倍; 当 0 时，b 0 ，且| b| 0 。
-
4
（问题提出） .如图，光滑斜面上一个木块受到的重力为G，下 滑力为F1，木块对斜面的压力为F2，这三个力的 方向分别如何？
解：在 ABCD中，
D
C
AC ABADab
b
M
DB ABADab A
MA 1 AC a b a b
2
2
22
MB 1 DB a b a b
2
2 22
MC 1 AC MA a b
2
22
MD
1
DB
MB
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a
-
b
2
22
aB
13
例3 如图，O A 、O B 不线，APtAB(tR)，
向量能够用选取的基底表示．
新疆 王新敞
奎屯
教学重点：
平面内任一向量用两个不共线非零向量表示.
教学难点： 平面向量基本定理的理解.
-
2
你复习了吗？

【人教.高中.数学】必修四：2.3.1《平面向量的基本定理》 【PPT课件】

【人教.高中.数学】必修四：2.3.1《平面向量的基本定理》 【PPT课件】

A

er1

er2

1 2
er1


1 2
er1

er2
N
er1
B
uuuur uuuur uuur uuur
MN MD DA AN


1 4
er1

er2

1 2
er1

1r 4 e1

r e2
课堂小结：
本节学习了：（1）平面向量基本定理： 平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量 来表示.即 ar 1er1 2er2. 这是应用向量解决实际问题的重要思想方法.
4er1
O
C
O
r
1.如图，已知向量 e1
r 、 e2 求作下列向量：
(1) 3er1 2er2 ; (2) 4er1 er2 ;
2er1
O

2er1

1 2
er2 ;
2er1
(3)
2er1
1 2
er2
.
er1
er 2
O C
A
1 2
r e2
B
A B
2.如图，已知梯形ABCD，AB//CD，且AB= 2DC,M,N分别是
2.3.1平面向量的基本定理
一、创设情境、引入新课：
如何求此时竖直和水平 方向速度？
二、自主学习、合作探究：
自学教材：P93—P94
1、知道平面向量基本定理；
2、理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向 量来表示，初步应用向量解决实际问题；
3、能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能 够用基底来表示.

高中数学人教A版必修4：第二章 2.3 2.3(1).1 平面向量基本定理

高中数学人教A版必修4：第二章 2.3 2.3(1).1 平面向量基本定理

答案：B
4．在等腰Rt△ABC中，∠A＝90°，则向量 AB，BC 的夹角
为______．
答案：135°
2019年8月10日
遇上你是缘分，愿您生活愉快，身体健 康，学业有成，金榜题名！
6
用基底表示向量
[典例] 如图，在平行四边形ABCD中，设
对角线 AC ＝a， BD ＝b，试用基底a，b表示
AB， BC [解]
2019年8月10日
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9
[活学活用]
如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E，
F分别是AD，BC边上的中点，且BC＝
3AD， BA ＝a， BC ＝b.试以a，b为基底表
示 EF ， DF ，CD. 解：∵AD∥BC，且AD＝13BC，
∴ AD＝13 BC ＝13b. ∵E为AD的中点，
[解] 设 BM ＝e1，CN ＝e2， 则 AM ＝ AC ＋CM ＝－3e2－e1， BN ＝ BC ＋CN ＝2e1＋e2. ∵A，P，M和B，P，N分别共线，
∴存在实数λ，μ使得 AP＝λ AM
＝－λe1－3λe2，
2019年8月10日
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2．3.1 平面向量基本定理
预习课本P93～94，思考并完成以下问题
(1)平面向量基本定理的内容是什么？
(2)如何定义平面向量基底？
(3)两向量夹角的定义是什么？如何定义向量的垂直？
2019年8月10日
遇上你是缘分，愿您生活愉快，身体健 康，学业有成，金榜题名！
1
[新知初探]
1．平面向量基本定理
条件 结论
2019年8月10日

数学(人教A版)必修4课件：2-3-1 平面向量基本定理

数学(人教A版)必修4课件：2-3-1 平面向量基本定理

→ → ②OA与OB的夹角为0° ，两向量同向； → → ③OA与OB的夹角为180° ，两向量反向； → → ④两向量OA与AB的夹角为θ.
第二章
2.3
高中新课程
· 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 必修4
第二章
2.3
高中新课程
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(2)垂直：如果向量a和b的夹角是________ 90° ，我们就说向 量a与b垂直，记作 a⊥b .
第二章
2.3
高中新课程
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试指出图中向量的夹角．
[解析] → → ①∠AOB＝θ为两向量OA与OB的夹角；
· 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 必修4
→ 3． 如图所示， D 是△ABC 的边 AB 上的中点， 则向量CD等 于( ) → 1→ A．－BC＋ BA 2 → 1→ B．－BC－2BA → 1→ C.BC－2BA → 1→ D.BC＋ BA 2
[答案] A
第二章 2.3
高中新课程
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第二章
2.3
高中新课程
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→ → 在▱ABCD中，设 AC ＝a， BD ＝b，试用基底{a、b}表示 → → AB、BC. [分析] 本题实质是平面向量基本定理的应用．通过观察
图形，直接寻找向量之间的关系，可以看作转移法；也可利 → → → → 用方程思想，直接用 AB 、 BC 表示a、b，然后将 AB 、 BC 看作 → → 未知量，利用方程思想，解得AB、BC.
第二章
2． 3 平面向量的基本定理及坐标表示

人教A版必修四 2.3.1 平面向量基本定理 课件(34张)

人教A版必修四 2.3.1 平面向量基本定理 课件(34张)

其中正确的说法是( B )
A．①②
B．②③
C．①③
D．②
【解析】因为不共线的两个向量都可以作为一组基 底，所以一个平面内有无数多个基底，又零向量和 任何向量共线，所以基底中不含有零向量．因此本 题中，①错，②、③正确，故选 B.
2．在等边三角形 ABC 中，A→B与B→C的夹角等于( C )
A．60°
r ur uur 即 a 1e1 +2 e2.
e1
e2
a
N A
B
C O
uuur uuuur uuur
如图, OC OM ON,
M
uuuur uuur ur uuur uuur uur
因为OM 1OA 1e1,
uuur ur uur
ON 2 OB 2 e2,
所以OC 1e1 2 e2,
数λ1,λ2 ,使
a 1e1 2 e2
说明：① ②
areur1是，e平uur2 面是内两的个任不意共向线量的；向量；
③ λ1，λ2为实数，且唯一确定.
我们把不共线的向量
ur e1
，euur2
叫做这一平面内所有向量
的一组基底.
不共线向量有不同方向，它们的位置关系可用夹角
来表示.关于向量的夹角,我们规定:
那么对于这一平面内的任意向量 有且只有
一对实数
使
.
不共线的向量 叫做表示这一平面内 所有向量的一组基底.
r ur uur
即 a 1e1 +2 e2.
r ur uur
a 1e1 +2e2
这就是说平面内任 r
一向量a都可以表示 ur uur ur uur
成1e1 2 e2 (e1, e2 不共线)的形式.

2019-2020学年同步人教A版高中数学必修4_第二章2.3.1 平面向量基本定理

2019-2020学年同步人教A版高中数学必修4_第二章2.3.1 平面向量基本定理

A.13a＋23b
B.23a＋13b
C.35a＋45b
D.45a＋35b
解析：选 B.因为B→D＝12D→A，C→B＝a，C→A＝b，所以C→D＝a＋B→D
＝a＋13B→A＝a＋13(b－a)＝23a＋13b.
栏目 导引
第二章 平面向量
2．如图，已知在梯形 ABCD 中，AD∥BC，E，F 分别是 AD， BC 边上的中点，且 BC＝3AD，B→A＝a，B→C＝b.试以 a，b 为基 底表示E→F，D→F.
第二章 平面向量
因为|a|＝|b|，所以平行四边形 OACB 为菱形． 所以O→C与O→A的夹角∠AOC＝60°， B→A与O→A的夹角即为B→A与B→C的夹角∠ABC＝30°. 所以 a＋b 与 a 的夹角为 60°，a－b 与 a 的夹角为 30°.
栏目 导引
第二章 平面向量
两个向量夹角的实质及求解的关键 (1)实质：两个向量的夹角，实质上是从同一起点出发的两个非 零向量构成的角． (2)关键：求两个向量的夹角，关键是利用平移的方法使两个向 量的起点重合，然后按照“一作二证三算”的步骤，并结合平 面几何知识求出两个向量的夹角．
栏目 导引
第二章 平面向量
1．在锐角三角形 ABC 中，下列说法正确的是( ) A.A→B与B→C的夹角是锐角 B.A→B与A→C的夹角是锐角 C.A→C与B→C的夹角是钝角 D.A→C与C→B的夹角是锐角 解析：选 B.由两向量的夹角定义知，A→B与B→C的夹角是 180° －∠B，A→B与A→C的夹角是∠A，A→C与B→C的夹角是∠C，A→C与C→B 的夹角是 180°－∠C，只有 B 正确．
栏目 导引
第二章 平面向量
【解析】 ①设 e1＋e2＝λe1，则λ1＝＝10，，无解， 所以 e1＋e2 与 e1 不共线，即 e1 与 e1＋e2 能作为一组基底． ②设 e1－2e2＝λ(e2－2e1)，则(1＋2λ)e1－(2＋λ)e2＝0， 则12＋＋2λ＝λ＝00，，无解，所以 e1－2e2 与 e2－2e1 不共线，即 e1－2e2 与 e2－2e1 能作为一组基底．

人教版高中数学必修4(A版) 平面向量基本定理 PPT课件

2.3.1 平面向量基本定理
问题提出
1. 向量加法与减法有哪几种几何运算 法则？ 2.怎样理解向量的数乘运算λa？
（1）|λ a|=|λ ||a|； （2）λ >0时，λa与a方向相同；
λ<0时，λa与a方向相反；
λ=0时，λa=0.
3.平面向量共线定理是什么？
非零向量a与向量b共线 存在唯 一实数λ ，使b＝λa. 4.如图，光滑斜面上一个木块受到的重 力为G，下滑力为F1，木块对斜面的压 力为F2，这三个力的方向分别如何？ 三者有何相互关系？
理论迁移
例1 如图，已知向量e1、e2，求作向 量－2.5e1＋3e2.
C e1 e2 3e2 A －2.5e 1 O B
例2 如图，在平行四边形ABCD中， AB =a， AD =b，E、M分别是AD、DC的中 点，点F在BC上，且BC=3BF，以a，b为 基底分别表示向量 AM 和 EF .
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量， 则对于这一平面内的任意向量a，有且只有 一对实数λ1，λ 2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
思考8：上述定理称为平面向量基本定理， 不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所 有向量的一组基底. 那么同一平面内可 以作基底的向量有多少组？不同基底对 应向量a的表示式是否相同？
a
e2 a
a=λ1e1+0e2
a =0 e1 + λ 2 e2
思考7：根据上述分析，平面内任一向 量a都可以由这个平面内两个不共线的 向量e1，e2表示出来，从而可形成一个 定理.你能完整地描述这个定理的内容 吗？
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量， 则对于这一平面内的任意向量a，有且只有 一对实数λ1，λ 2，使a＝λ1e1＋λ2e2.

人教A版高中数学必修四课件：第二章2.3.1平面向量基本定理 (共16张PPT)


x
e2
O
a 3e1 2e2
3 a x 4y 2
yn
A
a 3m 2n
当a 0时, 有且只有1 2 0时可使 0 1 e1 2 e2 , (e1 , e2不共线).
若1与2中只有一个为零 , 情况会是怎样?
若2 0, 则a 1 e1 ,即a与e1共线, 若1 0, 则a 2 e2 ,即a与e2共线,
本题在解决过程中用到了两向量共 线的等价条件这一定理，并用基向量表 示有关向量,用待定系数法列方程，通 过消元解方程组。这些知识和考虑问题 的方法都必须切实掌握好。
课堂总结 1.平面向量基本定理可以联系物理 学中的力的分解模型来理解，它说明在
同一平面内任一向量都可以表示为不共
线向量的线性组合，该定理是平面向量
D
A
N M B
C
例2.用向量的方法证明: 1 平行四边形OACB中, BD BC , OD与BA 3 1 相交于E , 求证 : BE BA. 4 D B C E
O
A
例3.证明: 向量OA, OB, OC的终点A, B, C共线 的等价条件是存在实数 、 且 1， 使得 OC OA OB.

问题 3 : 设 e1 , e2 是同一平面内两个不共 线的向量, a是这一平面内的任一向 量, 我们来通过作图研 究a与e1 , e2 之间的关系?
平面向量基本定理: 如果e1 , e2 是同一平面内两个不共 线的向量, 那 么对于平面内的任一向 量a , 有且只有一对实数
1 , 2 , 使得a 1 e1 2 e2 .
坐标表示的基础，其本质是一个向量在
其他两个向量上的分解。
2. 在实际问题中的指导意义在于

人教A版必修四 2.3.1平面向量基本定理 课件(43张)


uuur uuur AD与AB
不共线, CuuAur与DuuCur
不共线.
2.如果e1,e2是平面α内所有向量的一组基底,那么下列 说法正确的是 ( ) A.若实数λ1,λ2使λ1e1+λ2e2=0,则λ1=λ2=0 B.对空间任意向量a都可以表示为a=λ1e1+λ2e2,其中 λ1,λ2∈R C.λ1e1+λ2e2不一定在平面α内,λ1,λ2∈R
b a 1 b a 1 b,
22所以来自uuur AG
uuur uuur AB BG

uuur AB
1
uuur BC
2
b 1 a 1 b 1 a 3 b.
24 24
答案:
1a 3b 24
2.本例中若EF的中点为H,试表示出
uuur BH
.
【解析】BuuHur
2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 2.3.1 平面向量基本定理
1.平面向量基本定理
条 件
e1,e2是同一平面内的两个_不__共__线__向__量__
结 对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实 论 数λ1,λ2,使_a_=_λ__1e_1_+_λ__2_e_2 基 _不__共__线__的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向
底 量的一组基底
2.向量的夹角
图示
定义
Ou作uBur向 b量,则Ou∠uAurAOaB，=θ 叫做向量a,b的夹 角
范围 __≤0__°__1__8≤__0__θ°____
特例
θ=0°时, _同__向__; θ=90°时, 垂直; θ 时=,1_反8_0_向_°_
【点拨】(1)平面向量基本定理的作用 平面内任何一个向量都可以沿着两个不共线的方向分 解成两个向量的和,并且这种分解是唯一的.

新课标人教A版高中数学必修四2.3.1平面向量基本定理课件


2、基底不唯一，关键是不共线.
3、由定理可将任一向量 a 在给出基底 e1 , e2 的条件下进行分解.
4、基底给定时，分解形式唯一.
例1
如果 e1， e2 是平面 α 内两个不共线的向量， 那么下列
②③ ．(填对应说法的序号) 说法中不正确的是________
①λe1＋μe2(λ、μ∈R)可以表示平面 α 内的所有向量； ②对于平面 α 内任一向量 a， 使 a＝λe1＋μe2 的实数对(λ， μ)有无穷多个； ③若向量 λ1e1＋μ1e2 与 λ2e1＋μ2e2 共线，则有且只有一个 实数 λ，使得 λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)； ④若存在实数 λ，μ 使得 λe1＋μe2＝0，则 λ＝μ＝0.
答案
②③
2.3.1
跟踪训练 1 设 e1、e2 是不共线的两个向量，给出下列四组 向量：①e1 与 e1＋e2；②e1－2e2 与 e2－2e1；③e1－2e2 与 4e2 －2e1；④e1＋e2 与 e1－e2.其中能作为平面内所有向量的一 组基底的序号是①②④ _______．(写出所有满足条件的序号 )
1 5 1 1 1→ 1 → → → → → MN＝MC＋CN＝(OC－OM)＋3CD＝2(a＋b)－6a＋6b＋3×2(a
1 1 ＋b)＝2a－6b.
规律方法 (1)用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、减 法的三角形法则或平行四边形法则结合实数与向量的积的定 义，解题时要注意解题途径的优化与组合． (2)将向量 c 用 a，b 表示，常采用待定系数法，其基本思路是 设 c＝xa＋yb，其中 x，y∈R，然后得到关于 x，y 的方程组求 解．
→ 与OA → 的夹角是 30° → 与OA → 的夹角为 60° ∴OC ，BA . 即 a＋b 与 a 的夹角为 30° ，a－b 与 a 的夹角为 60° . 规律方法 求两个向量的夹角关键是利用平移的方法使两个向
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1．已知e 1，e 2是表示平面内所有向量的一组基底，那么下面四组向量中，不能作为一组基底的是( )
A ．e 1，e 1＋e 2
B ．e 1－2e 2，e 2－2e 1
C ．e 1－2e 2,4e 2－2e 1
D ．e 1＋e 2，e 1－e 2
解析：因为4e 2－2e 1＝－2(e 1－2e 2)，从而e 1－2e 2与4e 2－2e 1共线．
答案：C
2．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →
，以b
与c 作为基底，则AD →
＝( )
A.23b ＋13
c B.53c －23b C.23b －13c D.13b ＋23
c 解析：∵BD →＝2DC →，∴AD →－AB →＝2(AC →－AD →
)，
∴AD →－c ＝2(b －AD →)，∴AD →＝13c ＋23
b. 答案：A
3．已知向量e 1，e 2不共线，实数x ，y 满足(3x －4y)e 1＋(2x －3y)e 2＝6e 1＋3e 2，则x －y ＝________.
解析：∵e 1，e 2不共线，∴⎩⎨⎧ 3x －4y ＝6
2x －3y ＝3
， 解得⎩⎨⎧ x ＝6
y ＝3.
∴x －y ＝3.
答案：3 4．若a ≠0，b ≠0，且|a|＝|b|＝|a －b|，则a 与a ＋b 的夹角为________．
解析：
如图，令OA →＝a ，OB →
＝b ，
因为|a|＝|b|＝|a －b|，
即得|OA →|＝|OB →|＝|BA →
|，
所以∠BOA ＝60°.
又因为OC →
＝a ＋b ，且在菱形OACB 中，对角线OC 平分∠BOA ，所以a 与a ＋b 的夹角为30°.
答案：30° 5.
如图，平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →
＝b ，H ，M 是AD ，
DC 的中点，BF ＝13
BC ，以a ，b 为基底表示向量AM →与HF →.
解：由H ，M ，F 所在位置有：
AM →＝AD →＋DM →＝AD →＋12
DC →
＝AD →＋12AB →＝b ＋12
a ， HF →＝AF →－AH →＝AB →＋BF →－AH →
＝AB →＋13BC →－12
AD →
＝AB →＋13AD →－12AD →＝a －16b.。