6、向心力

第6讲 向心力姓名 学校 日期【学习目标】1．理解向心力的定义、效果及其表达式的确切含义。

2．知道向心力大小与哪些因素有关，并能用来进行计算。

3．知道在变速圆周运动中，可用上述公式求质点在某一点的向心力和向心加速度。

【教学设计】（一）引入演示实验：1.用圆锥摆的圆周运动。

2.随匀速转动的圆盘转动的橡皮的圆周运动。

提问：摆球的圆运动平面在哪，向心加速度的方向如何？为什么？总结：1合力的方向总指向圆心。

2实验一中是重力和拉力的合力；实验二中是静摩擦力（或重力、支持力和静摩擦力的合力）。

（二）新课讲解创设情境：合力产生向心加速度，并引出向心力的概念。

回答：做匀速圆周运动的物体所受的合外力由于指向圆心，所以该合外力又叫做向心力。

由牛顿第二运动定律得出向心力的表达式：向向合ma F ma F =→=，r m rv m F 22ω==向。

总结：向心力并不是像重力、弹力、摩擦力那样作为具有某种性质的力来命名的。

它是根据力的作用效果命名的。

向心力可以由某一个力来提供，也可以由几个力的合力提供，或者也可以由某个力的分力提供。

A ．向心力的大小例题：长为 l =40cm 的细绳，一端拴一个质量m =0.20kg 的小球，在光滑的水平桌面内绕绳的另一端做匀速圆周运动。

若小球绕圆心转动的角速度ω=5.0 rad/s ，求绳对小球的拉力多大？B ．向心力的方向力是矢量，既有大小又有方向，那么现在请大家思考一下向心力的方向指向哪里？教师指引性地给出结论：圆周运动是变速运动，有加速度。

向心力是指向圆心的，方向时刻改变的，是变力。

C ．向心力的作用效果物体在受到向心力作用时做圆周运动；如果向心力突然消失，会如何运动？ 答案是沿切线飞出去。

这说明向心力的作用效果就是使物体围绕圆心做圆周运动。

【知识点】 知识一 向心力一、向心力1.定义：做匀速圆周运动的物体所受到的 指向圆心 的 合外力 力，叫向心力。

2.特点：方向始终 指向圆心 ，是 变力 （填“恒力”或“变力”）。

向心力的6个公式向心力是物体在圆周运动中的一种力，它始终指向圆心，并使物体保持在圆周运动轨道上。

向心力是保持物体在圆周运动的必要条件，没有向心力物体将不会做圆周运动。

在物理学中，向心力可以用一些公式来表示和计算。

下面将介绍向心力的6个公式：1. 向心力公式：向心力的大小可以用以下公式表示：Fc = mv^2 / r其中，Fc表示向心力的大小，m表示物体的质量，v表示物体的速度，r表示物体运动的半径。

2. 圆周运动周期公式：圆周运动周期是物体绕圆周运动一周所花费的时间，可以用以下公式计算：T = 2πr / v其中，T表示圆周运动周期，r表示物体运动的半径，v表示物体的速度。

3. 圆周运动频率公式：圆周运动频率是物体绕圆周运动的单位时间内完成的圆周运动数，可以用以下公式计算：f = 1 / T其中，f表示圆周运动频率，T表示圆周运动周期。

4. 圆周运动角速度公式：圆周运动角速度是物体绕圆周运动的角度随时间的变化率，可以用以下公式计算：ω = 2πf其中，ω表示圆周运动角速度，f表示圆周运动频率。

5. 向心加速度公式：向心加速度是物体在圆周运动中朝向圆心的加速度，可以用以下公式计算：ac = v^2 / r其中，ac表示向心加速度，v表示物体的速度，r表示物体运动的半径。

6. 向心力与向心加速度关系：向心力和向心加速度之间有如下关系： Fc = mac其中，Fc表示向心力的大小，m表示物体的质量，ac表示向心加速度。

这些公式在解决与圆周运动相关的物理问题时非常有用。

例如，我们可以利用这些公式计算一个物体在特定半径、速度下的向心力和向心加速度，或者计算一个物体在给定向心力和质量下的速度和半径。

这些公式也可以用来分析圆周运动的周期、频率和角速度之间的关系。

总结：向心力的6个公式包括向心力公式、圆周运动周期公式、圆周运动频率公式、圆周运动角速度公式、向心加速度公式以及向心力与向心加速度的关系。

这些公式在描述和计算物体在圆周运动中的性质和变量时非常有用。

双基限时练(七)向心力1．关于向心力的说法中正确的是()A．物体受到向心力的作用才能做圆周运动B．向心力是指向圆心方向的合外力，它是根据力的作用效果命名的C．向心力可以是重力、弹力、摩擦力等各种力的合力，也可以是某种力的分力D．向心力只改变物体的运动方向，不可能改变物体运动的快慢解析向心力是根据力的作用效果命名的，而不是一种性质力，物体之所以能做匀速圆周运动，不是因为物体多受了一个向心力的作用，而是物体所受各种力的合外力始终指向圆心，从而只改变速度的方向而不改变速度的大小，故选项A错误，B、C、D三个选项正确．答案BCD2．用长短不同、材料相同的同样粗细的绳子，各拴着一个质量相同的小球在光滑水平面上做匀速圆周运动，那么() A．两小球以相同的线速度运动时，长绳易断B．两小球以相同的角速度运动时，长绳易断C．两小球以相同的角速度运动时，短绳易断D．不管怎样，都是短绳易断解析绳子最大承受拉力相同，由向心力公式F＝mω2r＝m v2 r可知，角速度相同，半径越大，向心力越大，故B选项正确．答案 B3．如图所示，在光滑的以角速度ω旋转的细杆上穿有质量分别为m和M的两球，两球用轻细线连接，若M>m，则()A．当两球离轴距离相等时，两球相对杆不动B．当两球离轴距离之比等于质量之比时，两球相对杆都不动C．若转速为ω时，两球相对杆都不动，那么转速为2ω两球也不动D．若两球相对于杆滑动，一定向同一方向，不会相向滑动解析由牛顿第三定律知，M、m间的作用力大小相等，即F M ＝F m.所以有Mω2r M＝mω2r m，得r M r m＝m M.所以A、B项不对，C项对(不动的条件与ω无关)；若相向滑动则绳子将不能提供向心力，D项对．答案CD4.如图所示，A、B两个小球质量相等，用一根轻绳相连，另有一根轻绳的两端分别连接O点和B点，让两个小球绕O点在光滑水平桌面上以相同的角速度做圆周运动，若OB绳上的拉力为F1，AB绳上的拉力为F2，OB＝AB，则()A．F1:F2＝2:3 B．F1:F2＝3:2C．F1:F2＝5:3 D．F1:F2＝2:1解析小球在光滑水平桌面上做匀速圆周运动，设角速度为ω，在竖直方向上所受重力与桌面支持力平衡，水平方向不受摩擦力，绳子的拉力提供向心力．由牛顿第二定律，对A球有F2＝mr2ω2，对B球有F1－F2＝mr1ω2，已知r2＝2r1，各式联立解得F1＝32F2，故B对，A、C、D错．答案 B5．质量为m的A球在光滑水平面上做匀速圆周运动，小球A 用细线拉着，细线穿过板上光滑小孔O，下端系一相同质量的B球，如图所示，当平板上A球绕O点分别以ω和2ω角速度转动时，A 球距O点距离之比是()A．1:2 B．1:4C．4:1 D．2:1解析A球做圆周运动的向心力大小等于B球重力．由F＝mω2r 向心力相同，得ω21ω22＝r2r1＝ω2(2ω)2＝14.答案 C6．游客乘坐过山车，在圆弧轨道最低点处获得向心加速度达20 m/s2，g取10 m/s2，那么此位置的座椅对游客的作用力相当于游客重力的()A．1倍B．2倍C．3倍D．4倍解析 游客乘坐过山车在圆弧轨道最低点的受力如图所示， 由牛顿第二定律得，F N －mg ＝ma n ，F N ＝ma n ＋mg ＝3 mg ，故C 选项正确．答案 C7.一质量为m 的物体，沿半径为R 的向下凹的圆形轨道滑行，如图所示，经过最低点时速度为v ，物体与轨道之间的动摩擦因数为μ，则它在最低点时受到的摩擦力为( )A ．μmgB.μm v 2R C ．μm ⎝ ⎛⎭⎪⎫g ＋v 2R D ．μm ⎝ ⎛⎭⎪⎫g －v 2R 解析 在最低点由向心力公式F N －mg ＝m v 2R ，得F N ＝mg ＋m v 2R ，又由摩擦力公式F ＝μF N ＝μm ⎝ ⎛⎭⎪⎫g ＋v 2R ，C 对． 答案 C8．如图所示，光滑杆偏离竖直方向的夹角为α，杆以O 为支点绕竖直线旋转，质量为m 的小球套在杆上可沿杆滑动，当杆角速度为ω1时，小球旋转平面在A 处，当杆角速度为ω2时，小球旋转平面在B 处，设杆对小球的支持力在A 、B 处分别为F N1、F N2，则有( )A ．F N1＝F N2B ．F N1>F N2C ．ω1<ω2D ．ω1>ω2解析小球做圆周运动的向心力由小球重力和杆的弹力的合力提供，垂直轨迹平面方向的合力为零，即如图F N sinα＝mg，F N cosα＝mω2r，解得mω2r＝mg cotα，ω＝g cotαr.故F N1＝F N2，ω1>ω2，选项A、D正确．答案AD9．如图所示，圆盘上叠放着两个物块A和B.当圆盘和物块绕竖直轴匀速转动时，物块与圆盘始终保持相对静止，则() A．A物块不受摩擦力作用B．物块B受5个力作用C．当转速增大时，A受摩擦力增大，B所受摩擦力也增大D．A对B的摩擦力方向沿半径指向转轴解析A物块做匀速圆周运动，一定需要向心力，向心力只可能由B对A的静摩擦力提供，故A选项错误；B物体做匀速圆周运动，受到重力、圆盘的支持力、圆盘的静摩擦力，A对B物体的压力和静摩擦力，故B选项正确；当转速增大时，A、B所受向心力均增大，故C选项正确；A对B的静摩擦力背向圆心，故D选项错误．答案BC10．甲、乙两名溜冰运动员，M甲＝80 kg，M乙＝40 kg，面对面拉着弹簧秤做圆周运动的溜冰表演，如图所示，两人相距0.9 m，弹簧秤的示数为9.2 N，下列判断中正确的是()A．两人的线速度相同，约为40 m/sB．两人的角速度相同，为6 rad/sC．两人的运动半径相同，都是0.45 mD．两人的运动半径不同，甲为0.3 m，乙为0.6 m解析甲、乙两人受到的向心力大小相等，绕两者连线上某一点做匀速圆周运动，其角速度相等，由F n＝mω2r可知m甲ω2r甲＝m乙ω2r乙，r甲＋r乙＝0.9 m.解得r甲＝0.3 m，r乙＝0.6 m，故D选项正确；ω＝F nmr＝9.280×0.3rad/s＝2.36rad/s，故B选项错误．答案 D11．如图所示，在匀速运动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细线相连的质量相等的两个物体A和B，它们与盘间的摩擦因数相同，当圆盘转动到两个物体刚好还未发生滑动时，烧断细线，两个物体的运动情况是()A．两物体沿切向方向滑动B．两物体均沿半径方向滑动，离圆盘圆心越来越远C．两物体仍随圆盘一起做圆周运动，不发生滑动D．物体B仍随圆盘一起做匀速圆周运动，物体A发生滑动，离圆盘圆心越来越远解析当圆盘转动到两个物体刚好未发生滑动时，设圆盘的角速度为ω，则A、B两物体随圆盘转动的角速度都为ω，由于r A>r B，根据F n＝mω2r.可知，A物体的向心力F nA大于B物体做圆周运动的向心力F n B，且F n A＝f＋T，F n B＝f－T.其中T为绳的拉力，f为A、B物体受到圆盘的最大静摩擦力，当线烧断后，B物体受到静摩擦力随圆盘做匀速圆周运动，而A物体由于所受最大静摩擦力不是提供其椭圆转动的向心力，从而使其发生滑动，做离心运动，离圆盘圆心越来越远，故选项D正确．答案 D12．原长为L的轻弹簧一端固定一小铁块，另一端连接在竖直轴OO′上，弹簧的劲度系数为k，小铁块放在水平圆盘上，若圆盘静止，把弹簧拉长后将小铁块放在圆盘上，使小铁块能保持静止的弹簧的最大长度为5L/4，现将弹簧长度拉长到6L/5后，把小铁块放在圆盘上，在这种情况下，圆盘绕其中心轴OO′以一定角速度匀速转动，如图所示，已知小铁块的质量为m，为使小铁块不在圆盘上滑动，圆盘转动的角速度ω最大不得超过多少？解析以小铁块为研究对象，圆盘静止时，设铁块受到的最大静摩擦力为f m，有f m＝kL/4.圆盘转动的角速度ω最大时，铁块受到的摩擦力f与弹簧的拉力kx的合力提供向心力，由牛顿第二定律得kx＋f m＝m(6L/5)ω2.又x＝L/5，解以上三式得角速度的最大值ω＝3k/8m.答案3k/8m13．如图所示，在光滑的圆锥顶用长为L的细线悬挂一质量为m的小球，圆锥顶角为2θ，当圆锥和球一起以角速度ω匀速转动时，球压紧锥面，则此时绳的拉力是多少？若要小球离开锥面，则小球的角速度至少多大？解析小球在锥面上受到拉力、支持力、重力的作用，如图所示．建立如图所示的平面直角坐标系．对其受力进行正交分解．在y轴方向，根据平衡条件，得F cosθ＋F N sinθ＝mg，在x轴方向，根据牛顿第二定律，得F sinθ－F N cosθ＝mLω2sinθ，解得F＝m(g cosθ＋Lω2sin2θ)．要使球离开锥面，则F N＝0，解得ω＝gL cosθ.答案m(g cosθ＋Lω2sin2θ)g L cosθ14．如图所示，两绳系一个质量为m＝0.1 kg的小球．上面绳长l＝2 m，两绳都拉直时与轴夹角分别为30°与45°.问球的角速度满足什么条件，两绳始终张紧？解析分析两绳始终张紧的制约条件：当ω由零逐渐增大时可能出现两个临界值，其一是BC恰好拉直，但不受拉力；其二是AC 仍然拉直，但不受拉力．设两种情况下的转动角速度分别为ω1和ω2，小球受力情况如图所示．对第一种情况，有⎩⎨⎧ F T 1cos30°＝mg ，F T 1sin30°＝ml sin30°ω21， 可得ω1＝2.4 rad/s.对第二种情况，有⎩⎨⎧ F T 2cos45°＝mg ，F T 2sin45°＝ml sin30°ω22，可得ω2＝3.16 rad/s.所以要使两绳始终张紧，ω必须满足的条件是：2．4 rad/s ≤ω≤3.16 rad/s.答案 2.4 rad/s ≤ω≤3.16 rad/s。

向心力的6个公式
物理向心力的六个公式为：f（向）=m*ω*ω*r=m*v*v/r=m*ω*v=m*（4*π*π/t*t）
*r=4*π*π*m*f*f*r=4*π*π*m*n*n*r。

在古典力学中，向心力是当物体沿着圆周或者曲线轨道运动时，指向圆心（曲率中心）的合外力作用力。

“向心力”一词是从这种合外力作用所产生的效果而命名的。

这种效果
可以由弹力、重力、摩擦力等任何一力而产生，也可以由几个力的合力或其分力提供。

因为圆周运动属曲线运动，在搞圆周运动中的物体也同时可以受与其速度方向不同的
合外力作用。

对于在搞圆周运动的物体，向心力就是一种拉力，其方向随着物体在圆周轨
道上的运动而不停发生改变。

此拉力沿着圆周半径指向圆周的中心，所以闻名“向心力”。

向心力指向圆周中心，且被向心力所控制的物体是沿着切线的方向运动，所以向心力
必与受控物体的运动方向垂直，仅产生速度法线方向上的加速度。

因此向心力只改变所控
物体的运动方向，而不改变运动的速率，即使在非匀速圆周运动中也是如此。

非匀速圆周
运动中，改变运动速率的切向加速度并非由向心力产生。

向心力的大小与物体的质量（m）、物体运动圆周半径的长度（r）和角速度（ω）有
著密切关系。

6 向心力公式的应用向心力表达式:22,v4222 F,ma,m,m,R,mR,m4,fR 向2RT解题步骤:1) 确定研究对象，进行受力分析; ((2) 找圆心，明确向心力的来源;(3) 建立坐标系，通常选取质点所在位置为坐标原点，其中一条轴与半径重合;(4) 用牛顿第二定律和平衡条件建立方程求解。

(注意:要熟记向心力公式的各种表达式，在不同情况选用不同的表达式进行分析)训练题1、如图6所示，一质量为0.5kg的小球，用0.4m长的细线拴住在竖直面内作圆周运动，求:(1)当小球在圆上最高点速度为4m/s时，细线的拉力是多少,拉力是多少,2(g=10m/s)2、如图7所示，飞机在半径为R的竖直平面内翻斤斗，已知飞行员质量为m，飞机飞至最高点时，对座位压力为N，此时飞机的速度多大,3、如图8所示，MN为水平放置的光滑圆盘，半径为1.0m，其中心O处有一个小孔，穿过小孔的细绳两端各系一小球A和B，A、B两球的质量相等。

圆盘上的小球A作匀速圆周运动。

问(1)当A球的轨道半径为0.20m时，它的角速度是多大才能维持B球静止, (2)若将前一问求得的角速度减半，怎样做才能使A作圆周运动时B球仍能保持静止,4、线段OB=AB，A、B两球质量相等，它们绕O点在光滑的水平面上以相同的角速度转动时，如图4所示，两段线拉力之比,______。

T:TABOBll5、质量分别为M和m的两个小球，分别用长2和的轻绳拴在同一转轴上，当转轴稳定转动时，拴M和m的悬线与竖直方向的夹角分别为α、β，如图所示，则( )cos,cos,,2cos, A(cos B( ,,2tan,tan,,2tan,C(tan D( ,,26、如图所示，长度L=0.5m的轻质细杆OP，P端有一质量m =3kg的小球，小球以O为圆心在竖直平面内做匀速圆周运动，其运动速率为2m/s，则小球通2过最高点时细杆OP受到的力是:(g=10m/s)A(6N的压力B(6N的拉力C(24N的拉力D(54N的拉力O27、质量为1000kg的汽车驶过一座拱桥，已知桥面的圆弧半径是90m，g=10m/s，求:(1)汽车以15m/s的速度驶过桥顶时，汽车对桥面的压力,(2)汽车以多大速度驶过桥顶时，汽车对桥面压力为零,V8、小车上吊一物体m向右匀速运动，当小车突然制动的瞬间，物体所受的合力方向向。