《电机数学模型与仿真分析》开卷试题

华中科技大学研究生课程考试答题本考生姓名考生学号系、年级类别考试科目考试日期年月日《电机数学模型与仿真分析》开卷试题试题：一台绕线型感应电动机，定转子均为三相对称绕组，不考虑开槽和谐波磁势的影响，不计磁路饱和，参考正向自行规定。

1.选择适当坐标系，使其各电感系数均为常数，写出相应定转子变换矩阵，并画出相应坐标系下的物理模型，写出在此坐标系下的电压、磁链基本方程式以及变换前后的电感系数表达式。

2.若采用x ad基值系统，利用此标幺值基本方程，画出相应的运算电路，并讨论其在瞬态和稳态分析中的应用。

3.利用适合的坐标系模型方程，求解感应电动机正常稳态运行时的电流、电磁转矩表达式、导出相应的等效电路，并与电机学的结果进行分析对比。

4.假设该电机在理想空载下（定子加额外对称电压、转差率为0、三相电流为0），电机端发生三相对称突然短路，选择适当坐标系下的模型，利用解析法导出并分析定子电流的变化规律（假设在此变化过程中转速不变）。

第一问解答一、在相坐标系统中的方程式 1. 正方向确定和简化假设本题规定线圈轴线的正向即使该磁场轴线的正方向，电流正方向为产生正向磁链的电流方向，回路两端的电压正方向符合电动机惯例。

则有：ψk =L k i k ，u k =p ψk +i k r k为了简化分析，本题做出如下假设：（1）电机铁磁部分的磁路为线性，即不计磁路饱和； （2）不考虑开槽和谐波磁势的影响； （3）定转子均为三相对称绕组。

2. 电压方程式和磁链方程式图1 感应电机设电机的定子三相绕组轴线为A 、B 、C ，则在空间上固定，以A 轴为参考坐标轴：转子绕组轴线a 、b 、c 随转旋转，转子a 轴和定子A 轴间的电角度θ为空间角位移变量。

（1）定子A 、B 、C 三相绕组的电压方程式可表示为：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=C s C CB s B B A s A A ir p u i r p u i r p u ψψψ 转子a 、b 、c 三相绕组的电压方程式可表示为：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=c r c cb r b b ar a a ir p u i r p u i r p u ψψψ （2）磁链方程为：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡c b a C B A cc cbcacCcBcAbc bb ba bC bB bA ac ab aa aC aB aA Cc Cb Ca CC CBCA Bc Bb Ba BC BB BA Ac Ab Aa AC AB AAc b a C B A i i i i i i L M M M M M M L M M M M M M L M M M M M M L M M M M M M L M M M M M M L ψψψψψψ二、感应电机的自感系数与互感系数1. 定、转子绕组自感系数首先分析定子A相绕组的自感系数L AA。

当绕组匝数一定时，L AA的大小主要决定于磁路磁导的大小，其值等于漏电感L AAl与主电感L AAδ之和。

由于忽略开槽和谐波影响，则感应电机具有均匀的空气隙，各相自感系数与位置角无关，为常数，即：L AA=L AAl+L AAδ同理可得B、C相绕组的自感系数，由于A、B、C三相对称，三个自感大小相同，不妨统一为L AA=L AAl+L AAδ。

改变下标可得转子三相绕组的自感系数L aa=L aal+L aaδ。

2.定子（转子）两相绕组间的互感系数定子三相绕组结构相同，但绕组轴线在空间上互差120度电弧度。

以A、B相为例，两相间的互感系数M AB分为两部分，一部分为不通过气隙的漏磁通相对应的互感系数-M ABl；另一部分为与通过气隙的主磁通相对应的互感系数M ABδ。

由于忽略开槽和谐波影响，则感应电机具有均匀的空气隙，两者均为常数。

其中由于绕组轴线在空间上互差120度电弧度M ABδ=-0.5L AAδ。

即：M AB=-M ABl-0.5L AAδ同理可得另两组两相绕组间互感系数，由于A、B、C三相对称，互感系数相同，不妨为M AB=-M ABl-0.5L AAδ。

改变下标可得转子三相绕组每两相间的互感系数M ab=-M abl-0.5L aaδ。

3.定转子绕组间的互感系数转子a相通过单位电流时产生的与定子A相绕组交链的互感磁链即为定子绕组与励磁绕组间的互感系数M Aa。

当a轴与A相绕组轴线重合时，互感磁链为正的最大值；a 轴转过90度后，两轴线正交，互感磁链为零；当两轴线反向时，互感磁链为负的最大值；转过270度时，两轴线正交，互感磁链为零。

因此，一般情况下有：M Aa=M aA=M Aa0cosθ+M Aa3cos3θ+···当只考虑基波磁通时，互感系数有：M Aa=M aA=M Aa0cosθ定子B、C相与转子a相轴线初始角分别为-120度、120度，且互感系数幅值同A 相，故：M Ba=M aB=M Aa0cos(θ-120)M Ca=M aC=M Aa0cos(θ+120)同理改变相对初始角的大小即可得到A、B、C绕组与b、c绕组间的互感系数如下：M Ab=M bA=M Aa0cos(θ+120) M Bb=M bB=M Aa0cosθM Cb=M bC=M Aa0cos(θ-120) M Ac=M cA=M Aa0cos(θ-120) M Bc=M cB=M Aa0cos(θ+120) M Cc=M cC=M Aa0cosθ将磁链方程式带入电压方程式，可得三相感应电机在相坐标系中的电压方程式：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+--++--++--+=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--abc ABC 33abc ABC 0000000000000000000000cos )32cos()32cos()32cos(cos )32cos()32cos()32cos(cos cos )32cos()32cos()32cos(cos )32cos()32cos()32cos(cos i i R R i i L L L L p i i i i i i r r r r r r i i i i i i L M M M M M M L M M M M M M L M M M M M M L M M M M M M L M M M M M M L p u u u u u u r s abc a A A a ABC c b a C B A r r r s s s c b a C B Aaa ab ab Aa Aa Aa ab aa ab Aa Aa Aa abab aa Aa Aa Aa Aa Aa Aa AA AB AB Aa Aa Aa AB AA AB Aa Aa Aa AB AB AA c b a C B A θπθπθπθθπθπθπθθθπθπθπθθπθπθπθθ其中，L ABC 、L abc 为常系数矩阵；L A-a 与L a-A 互为转置，且为变系数矩阵，包含的互感系数与定转子轴线夹角θ有关。

三、感应电机坐标系变换后的电压方程式和磁链方程式 由于部分绕组的电感系数是转子的位置角的函数。

采用坐标变换，使电感系数变为常数。

本题将原来静止的定子绕组A 、B 、C 相轴线采用与转子同速旋转的d 、q 轴线及独立的零轴线的d 、q 、0坐标系代替；将旋转的转子绕组a 、b 、c 相轴线用同样的d 、q 、0坐标系代替。

用下表s 、r 分别表示定子、转子量。

1. 定子绕组变换矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+----+-=212121)32sin()32sin(sin )32cos()32cos(cos 321πθπθθπθπθθC⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-+----=-1)32sin()32cos(1)32sin()32cos(1sin cos 11πθπθπθπθθθC2. 转子绕组变换矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=2121212323021211322C ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-123211232110112C 3. 变换后的磁链方程式⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ψψ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ψψ--abc ABC 2121000000i i L L L L C C C C abc aA A a ABCabc ABC r dq s dq ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ψψ----dq0r dq0s 121121000000i i C C L L L L C C abc a A A a ABC r dq s dq所以经过坐标变换后的磁链方程式为：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+--+--=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡r dr dr s qs ds AB AA abaa Aa abaa Aa ABAA Aa ABAA Aa AB AA r qr dr s qs ds i i i i i i M L M L M M L M M L M M L M M L 00000000200000230000023000200023000002300ψψψψψψ4. 变换后的电压方程式⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡ψψ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡abc ABC 21abc ABC 21210000000000I I R R C C p p C C U U C C U U r sabc ABC r dq r dq其中，第一项：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡ψψ-⎥⎦⎤⎢⎣⎡ψψ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ψψ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ψψ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--r dq s dq r dq s dq C pC C pC p p C p C p p C C 0122011100abc 2ABC 1abc ABC 21)()()()(00 第二项：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--r dq s dq r sr dq s dq r sr sI I R R I I C C R R C C I I R R C C 0000121121abc ABC 21000000000000 又因为定转子变换后的所以经过坐标变换后的磁链方程式为：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000000ds qs r qr dr s qs ds r rrsssr qr dr s qs ds r qr dr os qs ds i i i i i i r r r r r r p u u u u u u ωψωψψψψψψψ四、感应电机的物理模型由上述的推导得出感应电机在d 、q 、0坐标系统中的物理模型如图2所示。