随机过程0-1

2 分布函数及其基本性质
为一个随机变量， 定义 设 X 为一个随机变量，对任意实数 x， 称 ， F(x)=P( X≤ x) ≤ 分布函数. 为 X 的分布函数 基本性质： 基本性质： (1) F(x) 单调不降； 单调不降； (2) 有界：0≤F(x)≤1，F(−∞ ，F(+∞)=1； 有界： ≤ −∞)=0， ≤ ， −∞ ∞ ； (3) F(x)右连续 右连续. 右连续
i
x1 p1
x2 …… xn …… p2 …… pn ……
第0章 补充知识
第16页 16页
4 连续随机变量的密度函数 连续随机变量的密度函数 定义 设随机变量 的分布函数为 设随机变量X 的分布函数为F(x), 满足： 若存在非负可积函数 f(x) ，满足：
F(x)=∫
x
−∞
f (t)dt
连续型随机变量， 则称 X 为连续型随机变量， 密度函数. 称 f(x)为概率密度函数，简称密度函数 为概率密度函数，简称密度函数 密度函数的基本性质 (1) f (x)≥0 (非负性 ; 非负性) 非负性
第0章 补充知识 二、随机过程理论的应用领域
第3页
1、统计物理：随机过程理论的许多部分的发展与研究物 理系统中的噪声密切相关。反过来，随机过程理论的发展 又为布朗运动、热噪声等物理现象提供了数学模型，更进 一步为统计物理奠定了数学基础。 2、群体生长的随机模型:灭种问题，数量遗传学，竞争现 象，传染病扩散等。 3、管理科学：排队问题（队长、等待时间）; 存储控制（何时定货、每次订货的量） 4、时间序列分析:主要用于预测或控制
4) A− B= AB∈ . ∈F
i=1 n i=1 ∞
n
∞
注：本性质表明在事件域中，事件的运算可以通行无阻。 本性质表明在事件域中，事件的运算可以通行无阻。
第0章 补充知识
第11页 11页
四.
概率的公理化定义
定义： 是一个可测空间， 定义： 设( ，Φ )是一个可测空间，对每一个集 是一个可测空间 A∈ Φ ，有一实数与其对应，记为 P(A)，如果它满足： 有一实数与其对应， ，如果它满足：
第0章 补充知识
第18页 18页
注意点(2) 注意点
(4) P{a<X≤b} = P{a<X<b} = P{a≤X<b} = P{a≤X≤b} = F(b)−F(a). − (5) 当F(x) 在x点可导时 f (x) = F/ (x), 点可导时, 点可导时 点不可导时, 当F(x) 在x点不可导时 可令 f(x) =0. 点不可导时
ω 的一切子集构成。 例3 设 Ω={ 1,ω2,⋅⋅⋅,ωn}, Φ 是由 的一切子集构成。 都是事件。 此时 的所有子集(共2n个)都是事件。 的所有子集 共 都是事件
第0章 补充知识
第9页
可测空间
是样本空间， 的子集所组成一个σ-代数 代数， 设 是样本空间，Φ 是有 的子集所组成一个 代数， 为一个可测空间 可测空间。 是有限样本空间时， 称（ ，Φ）为一个可测空间。 当 是有限样本空间时， 称（ ，Φ）为有限可测空间。 有限可测空间。 代数结构的样本空间。 注：可测空间就是具有σ-代数结构的样本空间。 可测空间就是具有 代数结构的样本空间 代数（ 注：引进σ-代数（即事件域）Φ 后，只有Φ 中的集合才 引进 代数 即事件域） 视为事件，因此基本事件(单个样本点 就不一定是事件。 单个样本点)就不一定是事件 视为事件，因此基本事件 单个样本点 就不一定是事件。 可测空间( 有如下性质： 可测空间 , Φ )有如下性质： 有如下性质
可能取值的个数为有限个 可列个， 有限个或 若随机变量 X 可能取值的个数为有限个或 可列个， 离散型随机变量. 则称 X 为离散型随机变量 的可能取值充满 充满某个区间 若随机变量 X 的可能取值充满某个区间 [a, b]，则 ， 连续型随机变量. 称 X 为连续型随机变量
第0章 补充知识
第14页 14页
n=1 n
+∞
第0章 补充知识 事件域的一些例子
第8页
是样本空间， 例1 设 是样本空间， Φ ={ ，φ} 是一个事件域， 可以验证 Φ 是一个事件域，注意此时只有必然事件 与不可能事件φ才是事件 才是事件。 与不可能事件 才是事件。
, , , , 例2 设 A⊂Ω F ={Ω A A φ}. 此时 Ω A A φ 是事件。 , , , 是事件。
第0章 补充知识
第12页 12页
五、随机变量及其概率分布 1. 随机变量的定义
定义 设 X=X(ω) 为定义在Ω上的函数，如果对于任意实 ω 为定义在Ω上的函数， 数 x，有 ，
{ω : X (ω ) ≤ x}∈ ∈F
上的随机变量。 则称 X(ω) 为概率空间 ( ,Φ, P ) 上的随机变量。 ω 随机变量X(ω 是样本点 的函数， 是样本点ω 注：(1) 随机变量 ω)是样本点ω的函数， 其定义域为Ω ，其值域为R=(−∞，+∞) 定义域为 值域为 −∞，+∞ −∞ 若 X 表示掷一颗骰子出现的点数， 表示掷一颗骰子出现的点数， 是不可能事件. 则 {X=1.5} 是不可能事件
第0章 补充知识
第4页
第0章 概率论补充知识
§1 概率空间 随机变量 §2 随机变量的特征函数 §3 随机向量 正态随机变量
第0章 补充知识
第5页
§1 概率空间 随机变量
一、样本空间
1. 随机试验 (E) —— 对随机现象进行的实验与观察. 对随机现象进行的实验与观察. 它具有两个特点：随机性、重复性. 它具有两个特点：随机性、重复性. 2. 样本点 (ω) —— 随机试验的每一个可能结果. 随机试验的每一个可能结果. 3. 样本空间 Ω) —— 样本空间(Ω 随机试验的所有样本点构成的集合. 所有样本点构成的集合 随机试验的所有样本点构成的集合. 4. 两类样本空间： 两类样本空间： 样本点的个数为有限个 可列个 有限个或 离散样本空间 样本点的个数为有限个或可列个. 样本点充满某个区间 充满某个区间. 连续样本空间 样本点充满某个区间.
第0章 补充知识
第1页
补充知识
基本概念
马尔可夫过程
随机 过程
随机分析
时间序列
平稳过程
第0章 补充知识 一、随机过程理论的产生
第2页
随机过程理论产生于二十世纪的初期，是由于物理、 生物学、通讯和控制及管理科学等方面的需要而逐步 发展起来的。 1907年，马尔科夫研究了一系列有特定相依性的随机 变量，后人称之为马尔科夫链。 1931年，科尔莫哥洛夫发表了《概率论的解析方法》 1934年，A.辛钦发表了《平稳过程的相关理论》,奠定 了马尔科夫过程与平稳过程的理论基础。 1953年，杜布出版了名著《随机过程理论》，在书中 系统而严格地叙述了随机过程的基本理论。
证 1) φ =Ω∈ . =Ω∈F
2) ∩ A = ∪ A ∈ . i i ∈F
i=1 i=1
∞
∞
3) 取A +1 = A +2 = ⋅⋅⋅ =φ,则 ∪ A = ∪ A ∈F ; 有 n n i i∈ , 有 =1 i =1 i ∈F 取A +1 = A +2 = ⋅⋅⋅ = Ω 则 i∩ A = i∩ A ∈ n n
第0章 补充知识
第7页
二、 随机事件
1. 随机事件 — 某些样本点组成的集合, 某些样本点组成的集合, 的子集，常用A、 、 表示. Ω的子集，常用 、B、C…表示. 表示 2. 基本事件（ω） — Ω的单点集. 基本事件（ 的单点集. 3. 必然事件 ( ) 空集. 不可能事件 (φ) — 空集.
• 非负性公理： P(A)≥0; 非负性公理： ≥ • 正则性公理： P( )=1; 正则性公理： • 可列可加性公理：若A1, A2, ……, An …… 可列可加性公理： 互不相容， 互不相容，则 ∞ ∞
PUA = ∑P(A ) k k k=1 k=1
为事件A的概率 概率空间。 则称 P(A)为事件 的概率，三元素 ( ,Φ, P ) 为概率空间。 为事件 的概率， 概率函数P( ) 自变量为事件( 函数值为实数。 注：概率函数 (·)的自变量为事件(集)，函数值为实数。
(2) ∫ f (x)dx=1 (正则性 . 正则性 正则性)
∞ −∞
第0章 补充知识
第17页 17页
注意点(1) 注意点
(1) P(a ≤ X ≤b) = ∫b f (x)dx.
a
(2) (3)
F(x) 是 (−∞, +∞) 上的连续函数 上的连续函数; − P(X=x) = F(x)−F(x−0) = 0; − −
第0章 补充知识
第13页 13页
(2) 若 X 为随机变量，则 为随机变量， {X = k} 、 {a < X ≤ b} 、…… 均为随机事件. 均为随机事件 即 {a < X ≤ b} ={ω；a < X(ω)≤ b } ∈ Φ ω ω≤ (3) 同一样本空间可以定义不同的随机变量. 同一样本空间可以定义不同的随机变量
=
{0 , 1 , 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , n , ⋅ ⋅ ⋅ }
E 3 ：从一批灯泡中任意抽取一只，测其寿命。 从一批灯泡中任意抽取一只，测其寿命。
Ω
3
=
{t
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
t ≥ 0, t ∈ R}
E 4 ：测量某一零件，考虑测量结果与真实长度的误差。 测量某一零件，考虑测量结果与真实长度的误差。
Ω
4
=
{x
| −∞ < x < +∞}
第0章 补充知识 样本空间的例子： 样本空间的例子：
Ω1 = {H,T}
第6页
E 1 ：抛一枚均匀的硬币，观察其正反面出现的情况； 抛一枚均匀的硬币，观察其正反面出现的情况；