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高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作第10课时函数单调性概念课时目标1.理解单调性、单调区间的概念．2．结合具体函数，理解函数单调性的含义．识记强化函数的单调性．(1)增(减)函数的定义．设D是f(x)的定义域I内的某个区间，对于任意x1，x2∈D.①若x1＜x2时，有f(x1)＜f(x2)，则称f(x)在区间D上为增函数．②若x1＜x2时，有f(x2)＜f(x1)，则称f(x)在区间D上为减函数．(2)函数的单调区间．如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．课时作业(时间：45分钟，满分：90分)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．如图是函数y＝f(x)的图象，则此函数的单调递减区间的个数是()A．1 B．2C．3 D．4答案：B解析：由图象，可知函数y＝f(x)的单调递减区间有2个．故选B.2．下列说法中正确的个数是()①已知区间I ，若对任意的x 1，x 2∈I ，当x 1<x 2时，f (x 1)<f (x 2)，则y ＝f (x )在I 上是增函数；②函数y ＝x 2在R 上是增函数；③函数y ＝－1x 在定义域上是增函数；④函数y ＝1x的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：B解析：由增函数的定义，知①说法正确；y ＝x 2在[0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上是减函数，从而y ＝x 2在R 上不具有单调性，所以②说法错误；y ＝－1x在整个定义域内不是增函数，如－3<5，而f (－3)>f (5)，所以③说法错误；函数y ＝1x的单调区间是(－∞，0)和(0，＋∞)，所以④说法错误．故选B.3．若函数f (x )＝(2a －1)x ＋b 在R 上是严格单调减函数，则有( )A ．a ≥12B ．a ≤12C ．a >12D ．a <12答案：D解析：函数f (x )＝(2a －1)x ＋b 在R 上是严格单调减函数，则2a －1<0，即a <12.故选D.4．函数y ＝6x的单调递减区间是( )A ．[0，＋∞)B ．(－∞，0]C ．(－∞，0)，(0，＋∞)D ．(－∞，0)∪(0，＋∞) 答案：C解析：当0＜x 1＜x 2时，6x 1－6x 2＝6(x 2－x 1)x 1x 2＞0成立，即6x 1＞6x 2.∴y ＝6x在(0，＋∞)上是减函数．同理可证y ＝6x在(－∞，0)上也是减函数．故选C.5．定义在R 上的函数f (x )对任意两个不相等的实数a ，b ，总有 f (a )－f (b )a －b>0成立，则必有( )A ．函数f (x )先增加后减少B ．函数f (x )先减少后增加C ．f (x )在R 上是增函数D ．f (x )在R 上是减函数 答案：C解析：因为f (a )－f (b )a －b>0所以，当a >b 时，f (a )>f (b ) 当a <b 时，f (a )<f (b )由增函数定义知，f (x )在R 上是增函数．6．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1(x ≥0)，－x 2＋1(x <0).的单调性为( )A ．在(0，＋∞)上是减函数B ．在(－∞，0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数C ．不能判断其单调性D ．在(－∞，＋∞)上是增函数答案：D解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1(x ≥0)，－x 2＋1(x <0)的定义域为R ，由图象可知，f (x )在R 上是增函数．二、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分)7．已知函数f (x )＝2x 2－mx ＋5在[－2，＋∞)上是增函数，在(－∞，－2)上是减函数，则f (－1)＝________.答案：－1解析：由题意，知二次函数的对称轴为x ＝－2，所以m4＝－2，即m ＝－8.于是f (x )＝2x 2＋8x ＋5，所以f (－1)＝2×(－1)2＋8×(－1)＋5＝－1.8．函数y ＝2x －3的单调递增区间是________．答案：⎣⎡⎭⎫32，＋∞解析：y ＝2x －3的定义域为⎣⎡⎭⎫32，＋∞.又t ＝2x －3在⎣⎡⎭⎫32，＋∞上单调递增，y ＝t 在[0，＋∞)上单调递增，故y ＝2x －3的单调递增区间为⎣⎡⎭⎫32，＋∞.9．若函数y ＝ax 与y ＝－bx在(0，＋∞)上都是减函数，则函数y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是单调________函数．答案：减解析：∵y ＝ax 和y ＝－bx在(0，＋∞)上都是减函数，∴a <0，b <0，y ＝ax 2＋bx ＝a ⎝⎛⎭⎫x ＋b 2a 2－b 24a ，对称轴为x ＝－b 2a<0，∴y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是单调减函数． 三、解答题(本大题共4小题，共45分)10．(12分)画出下列函数的图象，并写出单调区间： (1)f (x )＝|x |·|x －2|；(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤0－2x ＋2，x ＞0.解：(1)由题意，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2或x ＜0－x 2＋2x ，0≤x ＜2，作出图象如图1，由图象知，函数的单调递减区间是(－∞，0)和(1,2)，单调递增区间是[0,1]和[2，＋∞)．(2)作出图象如图2，由图象知，函数的单调递减区间是(－∞，0]和(0，＋∞)．11．(13分)(1)证明：函数f (x )＝1x在(－∞，0)上是减函数；(2)证明：函数f (x )＝x 3＋x 在R 上是增函数．证明：(1)设x 1，x 2是(－∞，0)上的任意两个实数，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2.因为x 1，x 2∈(－∞，0)，所以x 1x 2＞0，又因为x 1＜x 2，所以x 2－x 1＞0，则x 2－x 1x 1x 2＞0.于是f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)．因此函数f (x )＝1x在(－∞，0)上是减函数．(2)设x 1，x 2是R 上的任意两个实数，且x 1＜x 2，则x 2－x 1＞0，而f (x 2)－f (x 1)＝(x 32＋x 2)－(x 31＋x 1)＝(x 2－x 1)(x 22＋x 2x 1＋x 21)＋(x 2－x 1)＝(x 2－x 1)(x 22＋x 2x 1＋x 21＋1)＝(x 2－x 1)[(x 2＋x 12)2＋34x 21＋1]．因为(x 2＋x 12)2＋34x 21＋1＞0，x 2－x 1＞0，所以f (x 2)－f (x 1)＞0，即f (x 2)＞f (x 1)．因此函数f (x )＝x 3＋x 在R 上是增函数．能力提升12．(5分)设函数f (x )是(－∞，＋∞)上的减函数，则( ) A ．f (a )＞f (2a ) B ．f (a 2)＜f (a )C ．f (a 2＋a )＜f (a )D ．f (a 2＋1)＜f (a ) 答案：D解析：判断出自变量值的大小即可由单调性得到函数值的大小关系．13．(15分)已知函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (x )<0(x >0)，试判断F (x )＝1f (x )在(0，＋∞)上的单调性，并给出证明过程．解：F (x )在(0，＋∞)上为减函数．证明如下： 任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，则F (x 2)－F (x 1)＝1f (x 2)－1f (x 1)＝f (x 1)－f (x 2)f (x 2)f (x 1)∵y ＝f (x )在(0，＋∞)上为增函数，∴f (x 2)>f (x 1)，即f (x 1)－f (x 2)<0. 而f (x 1)<0，f (x 2)<0，∴f (x 1)f (x 2)>0. ∴F (x 2)－F (x 1)<0，即F (x 2)<F (x 1)． ∴F (x )在(0，＋∞)上为减函数．。
