【数学】湖南省三湘名校教育联盟2018届高三第三次联考数学(理)试题 含答案

专题十一概率与统计【真题探秘】11.1随机事件、古典概型与几何概型探考情悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点1.随机事件的概率(1)了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,了解概率的意义,了解频率与概率的区别.(2)了解两个互斥事件的概率加法公式.(3)理解古典概型及其概率计算公式.2019课标Ⅰ,6,5分古典概型排列与组合★★★2018课标Ⅱ,8,5分古典概型组合2018课标Ⅰ,10,5分与面积有关的几何概型圆的面积和三角形的面积2.古典概型2017课标Ⅰ,2,5分与面积有关的几何概型圆的面积3.几何概型2016课标Ⅰ,4,5分与长度有关的几何概型(4)会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.(5)了解随机数的意义,能运用模拟方法估计概率. (6)了解几何概型的意义2016课标Ⅱ,10,5分与面积有关的几何概型随机模拟分析解读本节是高考的热点,常以选择题或填空题的形式出现,主要考查利用频率估计随机事件的概率,常涉及对立事件、互斥事件,古典概型及与长度、面积有关的几何概型,有时也与其他知识进行交汇命题,以解答题的形式出现,如概率与统计和统计案例的综合,主要考查学生的逻辑思维能力和数学运算能力.破考点练考向【考点集训】考点一随机事件的概率1.(2019山东烟台一模,3)已知甲袋中有1个红球1个黄球,乙袋中有2个红球1个黄球,现从两袋中各随机取一个球,则取出的两球中至少有1个红球的概率为()A.13B.12C.23D.56答案D2.(2019山西太原模拟,2)已知随机事件A和B互斥,且P(A∪B)=0.7,P(B)=0.2,则P(A)=()A.0.5B.0.1C.0.7D.0.8答案A考点二古典概型1.(2020届河南百校联盟9月联合检测,4)2019年7月1日,《上海市生活垃圾管理条例》正式实施,生活垃圾要按照“可回收物”“有害垃圾”“湿垃圾”“干垃圾”的分类标准进行分类,没有垃圾分类和未投放到指定垃圾桶内等会被罚款和行政处罚.若某上海居民提着厨房里产生的“湿垃圾”随意地投放到楼下的垃圾桶,若楼下分别放有“可回收物”“有害垃圾”“湿垃圾”“干垃圾”四个垃圾桶,则该居民会被罚款和行政处罚的概率为()A.13B.23C.14D.34答案D2.(2019江西南昌一模,6)2021年广东新高考将实行3+1+2模式,即语文、数学、外语必选,物理、历史二选一,政治、地理、化学、生物四选二,共有12种选课模式.今年上高一的小明与小芳都准备选历史与政治,假若他们都对后面三科没有偏好,则他们选课相同的概率为()A.12B.13C.16D.19答案B考点三几何概型1.(2020届贵州贵阳8月月考,7)某学校星期一至星期五每天上午共安排五节课,每节课的时间为40分钟,第一节课上课的时间为7:50~8:30,课间休息10分钟.某同学请假后返校,若他在8:50~9:30之间随机到达教室,则他听第二节课的时间不少于20分钟的概率为()A.15B.14C.13D.12答案B2.(2018湖南三湘名校教育联盟第三次联考,3)已知以原点O为圆心,1为半径的圆以及函数y=x3的图象如图所示,则向圆内任意投掷一粒小米(视为质点),则该小米落入阴影部分的概率为()A.12B.14C.16D.18答案B炼技法提能力【方法集训】方法1古典概型概率的求法1.(2019安徽蚌埠二模,4)从1,2,3,4中选取两个不同数字组成两位数,则这个两位数能被4整除的概率为()A.13B.14C.16D.112答案B2.(2019江西九江一模,4)洛书,古称龟书,是阴阳五行术数之源.在古代传说中有神龟出于洛水,其甲壳上有此图案,结构是戴九履一,左三右七,二四为肩,六八为足,以五居中,五方白圈皆阳数,四隅黑点为阴数,其各行各列及对角线点数之和皆为15.如图,若从四个阴数中随机抽取两个数,则能使这两数与居中阳数之和等于15的概率是()A.12B.23C.14D.13答案D方法2几何概型概率的求法1.(2020届河南安阳第一次调研月考,10)从[-2,3]中任取一个实数a,则a的值能使函数f(x)=x+asin x在R上单调递增的概率为()A.45B.35C.25D.15答案C2.如图,在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器,圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切,圆锥的顶点在鱼缸的缸底上,现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食,则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是()A.1-π4B.π12C.π4D.1-π12答案A【五年高考】A组统一命题·课标卷题组考点一古典概型(2018课标Ⅱ,8,5分)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是()A.112B.114C.115D.118答案C考点二几何概型1.(2018课标Ⅰ,10,5分)下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分别记为p1,p2,p3,则()A.p1=p2B.p1=p3C.p2=p3D.p1=p2+p3答案A2.(2017课标Ⅰ,2,5分)如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是()A.14B.π8C.12D.π4答案B3.(2016课标Ⅰ,4,5分)某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是()A.13B.12C.23D.34答案B4.(2016课标Ⅱ,10,5分)从区间[0,1]随机抽取2n个数x1,x2,…,x n,y1,y2,…,y n,构成n个数对(x1,y1),(x2,y2),…,(x n,y n),其中两数的平方和小于1的数对共有m个,则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为()A.4nm B.2nmC.4mnD.2mn答案CB组自主命题·省(区、市)卷题组考点一古典概型1.(2017山东,8,5分)从分别标有1,2,…,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次,每次抽取1张.则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是()A.518B.49C.59D.79答案C2.(2019江苏,6,5分)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是.答案7103.(2018江苏,6,5分)某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名女生的概率为.答案310考点二几何概型1.(2015陕西,11,5分)设复数z=(x-1)+yi(x,y∈R),若|z|≤1,则y≥x的概率为()A.34+12πB.14-12πC.12-1πD.12+1π答案 B2.(2017江苏,7,5分)记函数f(x)=√6+x -x 2的定义域为D.在区间[-4,5]上随机取一个数x,则x ∈D 的概率是 . 答案593.(2015福建,13,4分)如图,点A 的坐标为(1,0),点C 的坐标为(2,4),函数f(x)=x 2.若在矩形ABCD 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于 .答案512C 组 教师专用题组考点一 古典概型1.(2014课标Ⅰ,5,5分)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( ) A.18B.38C.58D.78答案 D2.(2016江苏,7,5分)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次,则出现向上的点数之和小于10的概率是 . 答案563.(2015江苏,5,5分)袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球.从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为 . 答案564.(2013课标Ⅱ,14,5分)从n 个正整数1,2,…,n 中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于5的概率为114,则n= . 答案 85.(2016天津,16,13分)某小组共10人,利用假期参加义工活动,已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.(1)设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”,求事件A 发生的概率;(2)设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量X 的分布列和数学期望. 解析 (1)由已知,有P(A)=C 31C 41+C 32C 102=13.所以,事件A 发生的概率为13.(2)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2. P(X=0)=C 32+C 32+C 42C 102=415,P(X=1)=C 31C 31+C 31C 41C 102=715,P(X=2)=C 31C 41C 102=415.所以,随机变量X 的分布列为X 01 2 P415 715 415随机变量X 的数学期望E(X)=0×415+1×715+2×415=1.6.(2015陕西,19,12分)设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T,T 只与道路畅通状况有关,对其容量为100的样本进行统计,结果如下:T(分钟) 25 30 35 40 频数(次)20304010(1)求T 的分布列与数学期望ET;(2)刘教授驾车从老校区出发,前往新校区作一个50分钟的讲座,结束后立即返回老校区,求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率. 解析 (1)由统计结果可得T 的频率分布为T(分钟)25 3035 40频率0.2 0.3 0.4 0.1以频率估计概率得T 的分布列为T 25 30 35 40 P0.2 0.3 0.4 0.1从而ET=25×0.2+30×0.3+35×0.4+40×0.1=32(分钟).(2)设T 1,T 2分别表示往、返所需时间,T 1,T 2的取值相互独立,且与T 的分布列相同.设事件A 表示“刘教授共用时间不超过120分钟”,由于讲座时间为50分钟,所以事件A 对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”.解法一:P(A)=P(T 1+T 2≤70)=P(T 1=25,T 2≤45)+P(T 1=30,T 2≤40)+P(T 1=35,T 2≤35)+P(T 1=40,T 2≤30) =0.2×1+0.3×1+0.4×0.9+0.1×0.5=0.91.解法二:P(A )=P(T 1+T 2>70)=P(T 1=35,T 2=40)+P(T 1=40,T 2=35)+P(T 1=40,T 2=40) =0.4×0.1+0.1×0.4+0.1×0.1=0.09. 故P(A)=1-P(A )=0.91.考点二 几何概型1.(2015湖北,7,5分)在区间[0,1]上随机取两个数x,y,记p 1为事件“x+y ≥12”的概率,p 2为事件“|x-y|≤12”的概率,p 3为事件“xy ≤12”的概率,则( ) A.p 1<p 2<p 3 B.p 2<p 3<p 1 C.p 3<p 1<p 2 D.p 3<p 2<p 1答案 B2.(2016山东,14,5分)在[-1,1]上随机地取一个数k,则事件“直线y=kx 与圆(x-5)2+y 2=9相交”发生的概率为 . 答案34【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2020届陕西百校联盟九月联考,4)“沉鱼、落雁、闭月、羞花”是由精彩故事组成的历史典故.“沉鱼”讲的是西施浣纱的故事;“落雁”指的就是昭君出塞的故事;“闭月”是述说貂蝉拜月的故事;“羞花”谈的是杨贵妃醉酒观花的故事.她们分别是中国古代的四大美女,某艺术团要以四大美女为主题排演一部舞蹈剧,甲、乙、丙、丁抽签决定扮演的对象,则甲不扮演貂蝉且乙不扮演杨贵妃的概率为()A.13B.712C.512D.12答案B2.(2020届四川成都青羊石室中学10月月考,9)2021年广东新高考将实行3+1+2模式,即语文、数学、外语必选,物理、历史二选一,政治、地理、化学、生物四选二,共有12种选课模式.今年高一的小明与小芳都准备选历史,假若他们都对后面四科没有偏好,则他们选课相同的概率为()A.136B.116C.18D.16答案D3.(2018重庆九校联盟第一次联考,4)已知随机事件A,B发生的概率满足条件P(A∪B)=34,某人猜测事件A∩B发生,则此人猜测正确的概率为()A.1B.12C.14D.0答案C4.(2019河北石家庄3月教学质量检测,9)袋子中有大小、形状完全相同的四个小球,分别写有“和”“谐”“校”“园”四个字,有放回地从中任意摸出一个小球,直到“和”“谐”两个字都被摸到就停止摸球,用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止摸球的概率.利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数,分别用1,2,3,4代表“和”“谐”“校”“园”这四个字,以每三个随机数为一组,表示摸球三次的结果,经随机模拟产生了以下18组随机数:343432341342234142243331112342241244431233214344142134由此可以估计,恰好第三次就停止摸球的概率为()A.16B.29C.518D.19答案B5.(2020届安徽合肥一中、安庆一中第一次素质测试,8)2019年5月22日具有“国家战略”意义的“长三角一体化”会议在芜湖举行.长三角城市群包括上海市以及江苏省、浙江省、安徽省三省部分城市,简称“三省一市”.现有4名高三学生准备高考后到上海市、江苏省、浙江省、安徽省四个地方旅游,假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游,则恰有一个地方未被选中的概率为()A.2764B.916C.81256D.716答案B6.(2020届四川石室中学高三开学考试,7)一个平面封闭图形的周长与面积之比为“周积率”,如图是由三个半圆构成的图形,最大半圆的直径为6,若在最大的半圆内随机取一点,该点取自阴影部分的概率为49,则阴影部分图形的“周积率”为()A.2B.3C.4D.5答案B7.(2019山西阳泉二模,8)赵爽是我国古代数学家、天文学家,大约在公元222年赵爽为《周髀算经》一书作序时,介绍了“勾股圆方图”,亦称“赵爽弦图”(以弦为边得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的,如图1).类比“赵爽弦图”,可构造如图2所示的图形,它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形组成的一个大等边三角形,设DF=2AF,若在大等边三角形中随机取一点,则此点取自小等边三角形内的概率是()图1 图2A.2√1313B.413C.2√77D.47 答案 B二、填空题(每小题5分,共10分)8.(2020届山西静乐第一中学高三月考,15)如图所示,阴影部分是由曲线y=x 2和圆x 2+y 2=2及x 轴围成的封闭图形.在圆内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率为 .答案 18-112π9.(2018广东江门一模,16)两位教师对一篇初评为“优秀”的作文复评,若批改成绩都是两位正整数,且十位数字都是5,则两位教师批改成绩之差的绝对值不超过2的概率为 .答案 0.44。

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湖南省三湘名校教育联盟2018届高三第三次联考数学（理）试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集U R =，集合{}(){}11,20A x x B x x x =-<<=-<，则()U A C B ⋂=（ ） A ．{}10x x -<≤ B ．{}12x x << C ．{}01x x << D ．{}01x x ≤<2.已知i 为虚数单位，复数322iz i+=-，则以下为真命题的是（ ） A.z 的共轭复数为7455i - B.z 的虚部为85C.3z =D.z 在复平面内对应的点在第一象限3.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？” 意思是：“现有一根金箠，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？ ”设该金箠由粗到细是均匀变化的，则金箠的重量为（ ）A ．15斤B ．14斤C ．13斤D ．12斤4.与双曲线2212x y -=的渐近线平行，且距离为6的直线方程为（ ）A ．260x y ±-=B ．2260x y ±±=C ．260x y ±±=D ．2260x y ±+= 5.若()f x 为偶函数，且在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上满足任意12x x <，()()12120f x f x x x ->-，则()f x 可以为（ ） A ．5cos 2y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．()sin y x π=+C ．tan y x =-D ．212cos 2y x =- 6.执行如图所示的程序框图，当7t =时，输出的S 值为（ ）A ．32-B ．0C ．32D ．37.“中国梦”的英文翻译为“China Dream ”，其中China 又可以简写为CN ，从“CN Dream ”中取6个不同的字母排成一排，含有“ea ” 字母组合（顺序不变）的不同排列共有（ ） A ．360种 B ．480种 C ．600种 D ．720种 8. ()4231x x +-的展开式中x 的系数为（ ）A ．4-B ．8-C ．12-D ．16- 9.随机变量X 服从正态分布()()210,,12XN P X m σ>=，()810P X n ≤≤=，则21m n+的最小值为（ ）A ．342+B ．622+C ．822+D ．642+10.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线和虚线画出的是某几何体的三视图，则该几何休的表面积为（ ）A ．205π+B ．245π+C ．()2051π+- D ．()2451π+-11.已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线交拋物线于,A B 两点，过点A 作准线l 的垂线，垂足为E ，当A 点坐标为()03,y 时，AEF ∆为正三角形，则此时OAB ∆的面积为（ ） A ．433 B ．3 C ．233D ．3312.已知函数()()1ln 1,121,1x x x f x x -⎧->⎪=⎨+≤⎪⎩，则方程()()()3204f f x f x ⎡⎤-+=⎢⎥⎣⎦的实根个数为（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数()21tan 322f x x x πθθ⎛⎫=++≠ ⎪⎝⎭在区间3,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调函数，其中θ是直线l 的倾斜角，则θ的所可能取值范围为 ．14.若ABC ∆的三内角,,A B C 满足:sin :sin :sin 2:3:3A B C =，则以2B 为一内角且其对边长为22的三角形的外接圆的面积为 ．15.已知实数,x y 满足022x yy x y ≤-⎧⎪≥⎨⎪+≤-⎩，且()1,1m a x =+-，()1,n y a =+，若m n ⊥，则实数a 的最大值是 ．16.已知函数()()()()()22,,1ln 1f x kx x g x x h x x x =+==++，若当[]1,x e ∈时，不等式组()()()()2f x g x f x x h x ⎧≥⎪⎨-≤⎪⎩恒成立，则实数k 的取值范围为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列{}n b 是首项为1的等差数列，数列{}n a 满足1310n n a a +--=，且3211,1b a a +==. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T .18. 2016年1月1日，我国实行全面二孩政策，同时也对妇幼保健工作提出了更高的要求.某城市实行网格化管理，该市妇联在网格1与网格2两个区域内随机抽取12个刚满8个月的婴儿的体重信息，休重分布数据的茎叶图如图所示(中位：斤，2斤=1千克）.体重不超过9.8kg 的为合格.（1）从网格1与网格2分别随机抽取2个婴儿，求网格1至少一个 婴儿体重合格且网格2至少一个婴儿体重合格的概率；（2）妇联从网格1内8个婴儿中随机抽取4个进行抽检，若至少2个 婴儿合格，则抽检通过，若至少3个合格，则抽检为良好.求网格1在抽检通过的条件下，获得抽检为良好的概率；（3）若从网格1与网格2内12个婴儿中随机抽取2个，用X 表示网格2内婴儿的个数，求X 的分布列与数学期望.19. 如图所示，四边形ABCD 为菱形，且120,2//ABC AB BE DF ∠=︒=，，且3BE DF ==，DF ⊥平面ABCD .（1）求证：平面ABE ⊥平面ABCD ；（2）求平面AEF 与平面ABE 所成锐二面角的正弦值.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为32，,4a M b ⎛⎫ ⎪⎝⎭为焦点是1,02⎛⎫⎪⎝⎭的抛物线上一点，H 为直线y a =-上任一点，,A B 分别为椭圆C 的上，下顶点，且,,A B H 三点的连线可以构成三角形. （1）求椭圆C 的方程；（2）直线,HA HB 与椭圆C 的另一交点分别交于点,D E ，求证：直线DE 过定点.21. 已知函数()ln ,xe f x a x ax a R x =--+∈.（1）当0a <时，讨论()f x 的单调性；（2）设()()()g x f x xf x '=+，若关于x 的不等式()()212xx g x e a x ≤-++-在[]1,2上有解，求a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为sin 224πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，现以极点O 为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，曲线1C 的参数方程为12cos 22sin x y ϕϕ=-+⎧⎨=-+⎩（ϕ为参数).（1）求直线l 的直角坐标方程和曲线1C 的普通方程；（2）若曲线2C 为曲线1C 关于直线l 的对称曲线，点,A B 分别为曲线1C 、曲线2C 上的动点，点P 坐标为()2,2，求AP BP +的最小值.23.选修4-5：不等式选讲已知函数()12,f x x x m m R =++--∈. （1）若5m =，求不等式()0f x >的解集；（2）若对于任意x R ∈，不等式()2f x ≥恒成立，求m 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: ADABB 6-10: DCCDD 11、12：AC二、填空题13. 3,,6224ππππ⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦14.8116π 15. 12 16.[]2,2e -三、解答题17. （1）∵1310n n a a +--=，∴131n n a a +=+，∴111322n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， ∴12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为32，公比为3的等比数列，∴113322n n a -+=⨯，即312n n a -=.（2）由（1）知，232311132b a -=-=-=，∴33n b n n =+-=，则322n n n nc ⋅=-，∴()()2111323324n n n n T n +=⨯+⨯++⨯-，令213233n n S n =⨯+⨯++⨯，① 231313233n n S n +=⨯+⨯++⨯，②①-②得1211133132333333222n n n n n n S n n n ++++-⎛⎫-=+++-⨯=-⨯=-- ⎪⎝⎭∴()121334n n n S +-⋅+=.∴()()12133218n n n n n T +-⋅+-+=.18.（1）由茎叶图知，网格1内体重合格的婴儿数为4，网格2内体重合格的婴儿数为2，则所求概率22422284551184C C P C C ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.（2）设事件A 表示“2个合格，2个不合格”；事件B 表示“3个合格，1个不合格”； 事件C 表示“4个全合格”；事件D 表示“抽检通过”；事件E 表示“抽检良好”.∴()()()()22314444444448885370C C C C C PD P A P B P C C C C =++=++=， ()()()31444444881770C C C P E P B P C C C =+=+=，则所求概率()()1753P D P P E ==.（3）由题意知，X 的所有可能取值为0,1,2.∴()2821214033C P X C ===，()114821216133C C P X C ===，()242121211C P X C ===，∴X 的分布列为∴()1416120123333113E X =⨯+⨯+⨯=. 19.（1）∵//,BE DF DF ⊥平面ABCD ,∴BE ⊥平面ABCD , 又BE ⊂平面ABE ,∴平面ABE ⊥平面ABCD .（2）设AC 与BD 的交点为O ,建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -, 则()()()()3,0,0,0,1,0,0,1,3,0,1,3AB E F -，∴()()()0,2,0,3,1,3,3,1,0EF AE AB =-=-=-设平面AEF 的法向量为()1111,,n x y z =，则1100EF n AE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111120330y x y z -=⎧⎪⎨-++=⎪⎩，令11x =，则110,0y z ==，∴()11,0,1n =.设平面ABE 的法向量为()2222,,n x y z =，则2200AE n AB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2222233030x y z x y ⎧-++=⎪⎨-+=⎪⎩， 令21x =，则223,0y z ==，∴()21,3,0n =. ∴12121212cos ,422n n n n n n ⋅===⨯⋅，∴1214sin ,4n n =，∴平面AEF 与平面ABE 所成锐二面角的正弦值为144. 20.(1由题意知，22223224c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪=⨯⎨⎪⎪=+⎪⎩，解得213a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）设点()(),20H m m -≠，易知()()0,1,0,1A B -， ∴直线HA 的方程为31y x m =-+，直线HB 的方程为11y x m=--. 联立223114y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得22362410x x m m ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，∴2222436,3636D D m m x y m m -==++， 冋理可得22284,44E E m m x y m m--==++， ∴直线DE 的斜率为21216m k m-=，∴直线DE 的方程为222241284164m m m y x m m m --⎛⎫-=+ ⎪++⎝⎭，即2121162m y x m -=-， ∴直线DE 过定点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.21.（1）由题意知，()()()221xx xax e x a xe e f x a x x x ---'=--+=，令()()()1xF x ax e x =--，当0a <时，0xax e-<恒成立，∴当1x >时，()0F x <；当01x <<时，()0F x >， ∴函数()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减. （2）∵()()()g x f x xf x '=+，∴()ln 2x g x a x e ax a =--+-， 由题意知，存在[]01,2x ∈，使得()()0200012x x g x e a x ≤-++-成立.即存在[]01,2x ∈，使得()2000ln 102x a x a x a -++--≤成立，令()()[]2ln 1,1,22x h x a x a x a x =-++--∈，∴()()()[]11,1,2x a x ah x a x x x x---'=++-=-∈.①1a ≤时，[]1,2x ∈，则()0h x '≤，∴函数()h x 在[]1,2上单调递减， ∴()()min 2ln 20h x h a a ==-+≤成立，解得0a ≤，∴0a ≤；②当12a <<时，令()0h x '>，解得1x a <<；令()0h x '<，解得2a x <<， ∴函数()h x 在[]1,a 上单调递增，在[],2a 上单调递减， 又()112h =，∴()2ln 20h a a =-+≤，解得0a ≤，∴a 无解； ③当2a ≥时，[]1,2x ∈，则()0h x '≥，∴函数()h x 在[]1,2上单调递增， ∴()()min 1102h x h ==>，不符合题意，舍去； 综上所述，a 的取值范围为(],0-∞.22.（1）∵sin 224πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴22cos sin 2222ρθρθ+=，即cos sin 4ρθρθ+=，∴直线l 的直角坐标方程为40x y +-=； ∵12cos 22sin x y ϕϕ=-+⎧⎨=-+⎩，∴曲线1C 的普通方程为()()22124x y +++=. （2） ∵点P 在直线4x y +=上，根据对称性，AP 的最小值与BP 的最小值相等， 曲线1C 是以()1,2--为圆心，半径2r =的圆.∴()()221min 212223AP PC r =-=+++-=，则AP BP +的最小值为236⨯=.23.（1）令()21,1123,1221,2x x g x x x x x x -+≤-⎧⎪=++-=-<≤⎨⎪->⎩.当5m =时，()0f x >等价于1215x x ≤-⎧⎨-+>⎩或1235x -<≤⎧⎨>⎩或2215x x >⎧⎨->⎩，解得2x <-或∅或3x >，∴不等式() 0f x >的解集为()(),23,-∞-⋃+∞. （2）由题意知，122m x x ≤++--在R 上恒成立， 又()()1221221x x x x ++--≥+---=， ∴1m ≤，即m 的取值范围是(],1-∞.。

2018届四省名校高三第三次大联考理数第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数满足为虚数单位），则的虚部为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由题意结合复数的运算法则进行计算，然后确定其虚部即可.详解：由复数的运算法则可得：，据此可知，复数的虚部为.本题选择B选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则，复数的几何意义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2. 某几何体的三视图是如图所示的三个直角三角形，若该几何体的体积为，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：首先确定几何体的空间结构，然后结合体积公式得到关于d的方程，解方程即可求得最终结果.详解：由题意可知，该几何体是一个三棱锥，其底面为直角三角形，且直角三角形的直角边长度分别为dcm,9cm，其高为8cm，结合三棱锥体积公式可得：，解得：，即.本题选择C选项.点睛：本题主要考查三视图还原几何体，三棱锥的体积公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3. 设集合则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：首先确定集合N，然后考查两个集合的关系即可.详解：求解二次不等式可得：，则，则集合M是集合N的真子集.据此可知.本题选择B选项.点睛：本题主要考查集合的表示方法，集合之间的关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4. 《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得面包量成等差数列，且较大的三份之和的等于较小的两份之和，问最小的一份为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：首先将问题转化为数列的问题，然后求解数列中对应的项即可.详解：原问题等价于：已知等差数列中：，且：，，求的值.不妨设数列的公差为，则：，即，①则，②联立①②可得：，.即最小的一份为.本题选择A选项.点睛：本题主要考查等差数列及其应用，等差数列的前n项和等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5. 对任意实数有若则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由题意分别求得的值，然后两者作差得到关于a的方程，求解方程即可求得最终结果.详解：令可得：，即，展开式的通项公式为：，令可得：，令可得：，则，结合题意有：，解得：.本题选择B选项.点睛：(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．6. 双曲线的一条渐近线截圆为弧长之比是的两部分，则双曲线的离心率等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：结合圆的方程首先确定渐近线方程，然后结合双曲线的方程求得b的值，之后求解离心率即可.详解：圆的方程的标准方程为：，圆的圆心坐标为，且经过坐标原点，双曲线的渐近线经过坐标原点，若双曲线的一条渐近线截圆为弧长之比是的两部分,则双曲线的一条渐近线的倾斜角为，其斜率，据此可得：，双曲线的离心率为.本题选择C选项.点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．7. 阅读如图所示的程序，若运行结果为35，则程序中的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：首先确定程序的功能，然后结合题意确定a的取值范围即可.详解：由程序语句可知程序运行程序过程中数据变化如下：S=11，i=9；S=20，i=8；S=28，i=7；S=35，i=6，此时结束循环，故6<a≤7.即程序中的取值范围是.本题选择A选项.点睛：本题主要考查程序语句是识别与应用，当型循环与直到型循环的区别于联系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8. 设，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由求出的表达式，先比较的大小和范围，再求出的范围，根据它们不同的范围，得出它们的大小。

衡阳市2018届高中毕业班联考(三)数学(理科)(试题卷)本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分，考试时间120分钟第I 卷 (选择题 共50分)一、选择题: 本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合A= {0 ，a } ，B ={x ∈Z | | x | <2 } ，则“a = 1”是“A ⊆B ”的 ( )A.充要条件B. 必要不充分条件 C .充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件2. 阅读程序框图.如果输出的函数值在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡141,内，则输入的实数x 的取值范围是 ( )A. [-2，2]B. [0，2]C. [-2，-1]D. [-2，0] 3. 设随机变量ζ服从正态分布)4,3(N ,若)2()32(+>=-<a P a P ζζ,则=a ( ) A ．3B ．35C ．5D ．374.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为： （ ）A.23π B. 3π C. 29π D. 169π第2题图 第4题图5. 函数4log )(2x x f =，等比数列{}n a 中，8852=⋅⋅a a a ，=+++)(...)()(921a f a f a f（ ）A. -9B. -8C. -7D. -10 x 26. 设⎰=πsin xdx a 则二项项的系数是 A. -1120B. 1120C. -1792D. 17927. 一电子广告，背景是由固定的一系列下顶点相接的正三角形组成，这列正三角形的底边在同一直线上，正三角形的内切圆由第一个正三角形的O 点沿三角形列的底边匀速向前滚动（如图），设滚动中的圆与系列正三角形的重叠部分（如图中的阴影）的面积S 关于时间t 的函数为()S f t =，则下列图中与函数()S f t =图像最近似的是？8.设双曲线2221x y a-= (a >0)与直线:1l x y +=相交于两个不同点，则双曲线的离心率e的取值范围为( )A.)⋃+∞⎝B.)⋃+∞⎝ C.)+∞ D.⎫+∞⎪⎪⎝⎭ 9.已知点O 是△ABC 所在平面内的一点 ( O 不在直线BC 上 )，且OA =OB λ +OC μ当λ=3 ，μ=32，则△ABC 与△OBC 的面积之比为 ( )A .52B.73 C .72D. 410. 设函数2()|21|,f x x x =--若a >b >1,且f (a )=f (b ) ,则ab a b --的取值范围为（ ）A.(-2,3)B.(-2,2)C.( 1,2 )D.()1,1-第Ⅱ卷(非选择题 共110分)二、选择题:本大题共6小题，考生只作答5小题，每小题5分，共25分 (一)选做题(请考生在第10、11、12三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分)11．极坐标系中，圆O ：22cos 30ρρθ+-=的圆心到直线cos sin 70ρθρθ+-=的距离是_______________.12.若x R ∈时，不等式21330x x a a +---+≥恒成立，则实数a 的取值范围是 。

§6.2 等差数列（试题部分）基础篇固本夯基【基础集训】考点一 等差数列的有关概念及运算1.已知等差数列{a n }中,a 2=1,前5项和S 5=-15,则数列{a n }的公差为( )A.-3B.-52C.-2D.-4答案 D2.已知在等差数列{a n }中,a 1=1,a 3=2a+1,a 5=3a+2,若S n =a 1+a 2+…+a n ,且S k =66,则k 的值为( ) A.9 B.11 C.10 D.12答案 B3.设等差数列{a n }满足3a 8=5a 15,且a 1>0,S n 为其前n 项和,则数列{S n }的最大项为( )A.S 23B.S 24C.S 25D.S 26答案 C4.已知数列{a n }满足a 1=12,且a n+1=2a n2+a n .(1)求证:数列{1a n }是等差数列;(2)若b n =a n a n+1,求数列{b n }的前n 项和S n .解析 (1)证明:易知a n ≠0,∵a n+1=2a n2+a n ,∴1a n+1=2+a n 2a n ,∴1a n+1-1a n =12,又∵a 1=12,∴1a 1=2,∴数列{1a n }是以2为首项,12为公差的等差数列.(2)由(1)知,1a n =2+12(n-1)=n+32,即a n =2n+3,∴b n =4(n+3)(n+4)=4(1n+3-1n+4),∴S n =4[(14-15)+(15-16)+…+(1n+3-1n+4)]=4(14-1n+4)=n n+4.考点二 等差数列的性质5.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若a 6a 5=911,则S 11S 9=( )A.1B.-1C.2D.126.(2018河北唐山第二次模拟,7)设{a n }是任意等差数列,它的前n 项和、前2n 项和与前4n 项和分别为X,Y,Z,则下列等式中恒成立的是( )A.2X+Z=3YB.4X+Z=4YC.2X+3Z=7YD.8X+Z=6Y答案 D7.已知数列{a n }是公差为d 的等差数列,S n 为其前n 项和,若S 2 0172 017- S 1717=100,则d 的值为( ) A.120 B.110 C.10 D.20答案 B8.在等差数列{a n }中,a 3+a 7=37,则a 2+a 4+a 6+a 8= .答案 749.已知A n 及B n 是等差数列{a n }、{b n }的前n 项和,且A n B n =3n+14n+1,则a11b 11= . 答案 648510.已知数列{a n }是等差数列.(1)前四项和为21,末四项和为67,且各项和为286,求项数;(2)项数为奇数,奇数项和为44,偶数项和为33.求数列的中间项和项数.解析 (1)由已知得a 1+a 2+a 3+a 4=21,a n-3+a n-2+a n-1+a n =67,∴a 1+a 2+a 3+a 4+a n-3+a n-2+a n-1+a n =88,∴a 1+a n =884=22. ∵S n =286,∴n (a 1+a n )2=286,∴11n=286,∴n=26.(2)解法一:设项数为2k+1,则a 1+a 3+…+a 2k+1=44=k+12(a 1+a 2k+1),a 2+a 4+…+a 2k =33=k 2(a 2+a 2k ), 又∵a 1+a 2k+1=a 2+a 2k ,∴k+1k =4433,∴k=3,项数为7, ∴中间项为a 1+a 2k+12=11.解法二:记等差数列{a n }的中间项为a 中,奇数项和为S 奇,偶数项和为S 偶,前n 项和为S n .根据题意得{S 偶+S 奇=S n ,S 奇-S 偶=a 中,∴S n =77,a 中=11, 又na 中=S n ,∴n=7.综合篇知能转换【综合集训】考法一 等差数列的判定与证明1.(2018山东济宁一模,11)设数列{a n }满足a 1=1,a 2=2,且2na n =(n-1)a n-1+(n+1)a n+1(n≥2且n ∈N *),则a 18=( )A.259B.269C.3D.2892.(2019河北冀州模拟,9)已知{a n},{b n}均为等差数列,且a2=4,a4=6,b3=3,b7=9,由{a n},{b n}的公共项组成新数列{c n},则c10=()A.18B.24C.30D.36答案 C3.设数列{a n}的前n项和为S n,且S n=2n-1.数列{b n}满足b1=2,b n+1-2b n=8a n.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)证明数列{b n2n}为等差数列,并求{b n}的通项公式.解析(1)当n=1时,a1=S1=21-1=1;当n≥2时,a n=S n-S n-1=(2n-1)-(2n-1-1)=2n-1.因为a1=1适合上式,所以a n=2n-1(n∈N*).(2)因为b n+1-2b n=8a n,所以b n+1-2b n=2n+2,即b n+12n+1-b n2n=2.又b121=1,所以{b n2n}是首项为1,公差为2的等差数列,所以b n2n=1+2(n-1)=2n-1.所以b n=(2n-1)×2n.考法二等差数列前n项和的最值问题4.(2018江西赣中南五校联考,4)在等差数列{a n}中,已知a3+a8>0,且S9<0,则S1、S2、…、S9中最小的是()A.S5B.S6C.S7D.S8答案 A5.(2018广东汕头模拟,8)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,a1=9,S99-S55=-4,则S n取最大值时的n为()A.4B.5C.6D.4或5答案 B6.(2018湖南永州三模,11)已知数列{a n}是等差数列,前n项和为S n,满足a1+5a3=S8,给出下列结论:①a10=0;②S10最小;③S7=S12;④S20=0.其中一定正确的结论是()A.①②B.①③④C.①③D.①②④答案 C7.(2018广东深圳期末,14)设等差数列{a n}的前n项和为S n,若a1=-11,a4+a6=-6,则当S n取最小值时,n=. 答案 6【五年高考】考点一等差数列的有关概念及运算1.(2016课标Ⅰ,3,5分)已知等差数列{a n}前9项的和为27,a10=8,则a100=()A.100B.99C.98D.97答案 C2.(2018课标Ⅰ,4,5分)记S n为等差数列{a n}的前n项和.若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=()A.-12B.-10C.10D.12答案 B3.(2017课标Ⅰ,4,5分)记S n为等差数列{a n}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{a n}的公差为()A.1B.2C.4D.8答案 C4.(2017课标Ⅲ,9,5分)等差数列{a n}的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则{a n}前6项的和为()A.-24B.-3C.3D.8答案 A5.(2019课标Ⅰ,9,5分)记S n为等差数列{a n}的前n项和.已知S4=0,a5=5,则()A.a n=2n-5B.a n=3n-10n2-2nC.S n=2n2-8nD.S n=12答案 A=.6.(2019课标Ⅲ,14,5分)记S n为等差数列{a n}的前n项和,若a1≠0,a2=3a1,则S10S5答案 47.(2018北京,9,5分)设{a n}是等差数列,且a1=3,a2+a5=36,则{a n}的通项公式为.答案a n=6n-38.(2019江苏,8,5分)已知数列{a n}(n∈N*)是等差数列,S n是其前n项和.若a2a5+a8=0,S9=27,则S8的值是. 答案169.(2019北京,10,5分)设等差数列{a n}的前n项和为S n.若a2=-3,S5=-10,则a5=,S n的最小值为. 答案0;-1010.(2018课标Ⅱ,17,12分)记S n为等差数列{a n}的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.(1)求{a n}的通项公式;(2)求S n,并求S n的最小值.解析(1)设{a n}的公差为d,由题意得3a1+3d=-15.由a1=-7得d=2.所以{a n}的通项公式为a n=2n-9.(2)由(1)得S n=n2-8n=(n-4)2-16.所以当n=4时,S n取得最小值,最小值为-16.11.(2016天津,18,13分)已知{a n }是各项均为正数的等差数列,公差为d.对任意的n ∈N *,b n 是a n 和a n+1的等比中项.(1)设c n =b n+12-b n 2,n ∈N *,求证:数列{c n }是等差数列;(2)设a 1=d,T n =∑k=12n(-1)k b k 2,n ∈N *,求证:∑k=1n 1T k <12d 2.证明 (1)由题意得b n 2=a n a n+1,有c n =b n+12-b n 2=a n+1·a n+2-a n a n+1=2da n+1,因此c n+1-c n =2d(a n+2-a n+1)=2d 2,所以{c n }是等差数列.(2)T n =(-b 12+b 22)+(-b 32+b 42)+…+(-b 2n -12+b 2n 2)=2d(a 2+a 4+…+a 2n )=2d·n (a 2+a 2n )2=2d 2n(n+1).所以∑k=1n 1T k =12d 2∑k=1n 1k (k+1)=12d 2∑k=1n (1k -1k+1)=12d 2·(1-1n+1)<12d 2.考点二 等差数列的性质12.(2015广东,10,5分)在等差数列{a n }中,若a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=25,则a 2+a 8= .答案 10教师专用题组考点一 等差数列的有关概念及运算1.(2016浙江,6,5分)如图,点列{A n },{B n }分别在某锐角的两边上,且|A n A n+1|=|A n+1A n+2|,A n ≠A n+2,n ∈N *,|B n B n+1|=|B n+1B n+2|,B n ≠B n+2,n ∈N *.(P≠Q 表示点P 与Q 不重合)若d n =|A n B n |,S n 为△A n B n B n+1的面积,则()A.{S n }是等差数列B.{S n 2}是等差数列C.{d n }是等差数列D.{d n 2}是等差数列答案 A2.(2015浙江,3,5分)已知{a n }是等差数列,公差d 不为零,前n 项和是S n .若a 3,a 4,a 8成等比数列,则( )A.a 1d>0,dS 4>0B.a 1d<0,dS 4<0C.a 1d>0,dS 4<0D.a 1d<0,dS 4>0答案 B3.(2013课标Ⅰ,7,5分)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S m-1=-2,S m =0,S m+1=3,则m=( )A.3B.4C.5D.6答案 C4.(2016江苏,8,5分)已知{a n }是等差数列,S n 是其前n 项和.若a 1+a 22=-3,S 5=10,则a 9的值是 .5.(2014课标Ⅰ,17,12分)已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,a n≠0,a n a n+1=λS n-1,其中λ为常数,(1)证明:a n+2-a n=λ;(2)是否存在λ,使得{a n}为等差数列?并说明理由.解析(1)证明:由题设a n a n+1=λS n-1,知a n+1a n+2=λS n+1-1.两式相减得,a n+1(a n+2-a n)=λa n+1.由于a n+1≠0,所以a n+2-a n=λ.(2)存在.由a1=1,a1a2=λa1-1,可得a2=λ-1,由(1)知,a3=λ+1.令2a2=a1+a3,解得λ=4.故a n+2-a n=4,由此可得,{a2n-1}是首项为1,公差为4的等差数列,a2n-1=1+(n-1)·4=4n-3;{a2n}是首项为3,公差为4的等差数列,a2n=3+(n-1)·4=4n-1.所以a n=2n-1,a n+1-a n=2.因此存在λ=4,使得{a n}为等差数列.思路分析(1)已知a n a n+1=λS n-1,用n+1代替n得a n+1·a n+2=λS n+1-1,两式相减得结论.(2)利用a1=1,a2=λ-1,a3=λ+1及2a2=a1+a3,得λ=4.进而得a n+2-a n=4.故数列{a n}的奇数项和偶数项分别组成公差为4的等差数列,分别求通项公式,进而求出{a n}的通项公式,从而证出等差数列.方法总结对于含a n、S n的等式的处理,往往可转换为关于a n的递推式或关于S n的递推式;对于存在性问题,可先探求参数的值再证明.考点二等差数列的性质6.(2015陕西,13,5分)中位数为1 010的一组数构成等差数列,其末项为2 015,则该数列的首项为.答案 57.(2013课标Ⅱ,16,5分)等差数列{a n}的前n项和为S n.已知S10=0,S15=25,则nS n的最小值为.答案-49【三年模拟】一、单项选择题(每题5分,共40分)1.(2020届云南陆良第二次教学质量摸底考,3)已知{a n}为等差数列,若a3+a4+a8=12,则S9=()A.24B.27C.36D.54答案 C2.(2020届四川宜宾四中开学考,4)已知等差数列{a n}中,a2、a2 016是方程x2-2x-2=0的两根,则S2 017=()A.-2 017B.-1 008C.1 008D.2 017答案 D3.(2020届河北邯郸大名一中第六周周测,4)设{a n}是等差数列,则下列结论一定正确的是()A.若a1+a2>0,则a2+a3>0B.若a1+a3<0,则a2+a3<0C.若0<a1<a2,则a2>√a1a3D.(a2-a1)(a2-a3)<04.(2019 5·3原创冲刺卷一,4)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,S2=3,S3=6,则S2n+1=()A.(2n+1)(n+1)B.(2n+1)(n-1)C.(2n-1)(n+1)D.(2n+1)(n+2)答案 A5.(2018安徽合肥第二次教学质量检测,5)中国古诗词中,有一道“八子分绵”的数学名题:“九百九十六斤绵,赠分八子作盘缠,次第每人多十七,要将第八数来言”.题意是:把996斤绵分给8个儿子作盘缠,按照年龄从大到小的顺序依次分绵,年龄小的比年龄大的多17斤绵,那么第8个儿子分到的绵是()A.174斤B.184斤C.191斤D.201斤答案 B6.(2019湖北宜昌一模,8)等差数列{a n}的前n项和为S n,若公差d>0,(S8-S5)(S9-S5)<0,则()A.a7=0B.|a7|=|a8|C.|a7|>|a8|D.|a7|<|a8|答案 D7.(2018湖南三湘名校教育联盟第三次联考,5)已知等差数列{a n}的各项都为整数,且a1=-5,a3a4=-1,则|a1|+|a2|+…+|a10|=()A.70B.58C.51D.40答案 B8.(2018安徽淮北一模,9)S n是等差数列{a n}的前n项和,S2 018<S2 016,S2 017<S2 018,则S n<0时n的最大值是()A.2 017B.2 018C.4 033D.4 034答案 D二、多项选择题(每题5分,共10分)9.(改编题)设等差数列{a n}满足a3+a7=36,a4a6=275,则()A.a n=7n-17B.a n=-7n+53C.a n a n+1的最小值为-12D.a n a n+1无最小值答案ABC10.(改编题)记S n为等比数列{a n}的前n项和,已知S2=2,S3=-6,则()A.a n=(-2)nB.S n+1,S n,S n+2成等差数列C.a n=-2nD.S n+1,S n,S n+2不成等差数列答案AB三、填空题(每题5分,共15分)11.(2020届河北邯郸大名一中周测,14)设等差数列{a n}的前n项和为S n,若a2=3,S4=16,则数列{a n}的公差d=.12.(2019上海嘉定(长宁)二模,11)已知有穷数列{a n }共有m 项,记数列{a n }的所有项的和为S(1),第二项及以后所有项的和为S(2),……,第n(1≤n≤m)项及以后所有项的和为S(n),若S(n)是首项为1,公差为2的等差数列的前n 项和,则当1≤n<m 时,a n = .答案 -2n-113.(2018河南六市第一次联考,16)已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ,若{a n }和{√S n }都是等差数列,且公差相等,则a 2= .答案 34四、解答题(共25分)14.(2020届四川宜宾四中开学考,18)已知数列{a n }的首项a 1=1,2a n a n+1=a n -a n+1(n ∈N *).(1)证明:数列{1a n }是等差数列; (2)设b n =a n a n+1,数列{b n }的前n 项和为S n ,求证:S n <12.证明 (1)由于a 1=1,2a n a n+1=a n -a n+1,显然a n a n+1≠0,所以两边同除以a n a n+1可得,1a n+1-1a n =2, 所以数列{1a n }是1为首项,2为公差的等差数列.(2)由(1)知,1a n =1+(n-1)×2=2n-1,所以a n =12n -1.所以b n =a n a n+1=1(2n -1)(2n+1)=12(12n -1-12n+1), 所以S n =12[(1-13)+(13-15)+…+(12n -1-12n+1)]=12(1-12n+1)<12. 15.(2019湖北武汉外国语学校3月模拟,17)若数列{a n }的前n 项和为S n ,首项a 1>0且2S n =a n 2+a n (n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式;(2)若a n >0(n ∈N *),令b n =1a n (a n +2),求数列{b n }的前n 项和T n .解析 (1)当n=1时,2S 1=a 12+a 1=2a 1,又a 1>0,则a 1=1,当n≥2时,a n =S n -S n-1=a n 2+a n 2-a n -12+a n -12,即(a n +a n-1)(a n -a n-1-1)=0⇒a n =-a n-1或a n =a n-1+1,∴a n =(-1)n-1或a n =n.(2)∵a n >0,∴a n =n,∴b n =1n (n+2)=12(1n -1n+2),∴T n =12[(1-13)+(12-14)+…+(1n -1n+2)]=121+12-1n+1-1n+2=34-2n+32(n+1)(n+2).。

衡阳市2018届高三第三次联考试卷数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1．欧拉公式e i x＝cos x ＋i sin x （i 是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式，则复数πi 41e在复平面内对应的点所在的象限为A.第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】D解析:法一：依题意得，πi 411cosi sin e4==-+，选D 法二：πi 4πi 41ππecos()i sin()44e-=-+-=-= ，或对应点为ππcos(), sin()44--()，其符号为(+,-).【命题意图】本题与数学文化结合考查复数的加减乘除运算，复数的几何意义，属于基础题.2.已知集合22|((}2)2)0{|16}.,A B x x x y x y -+≤+=={＝则A B ＝ A. []3,3-- B. []2,2- C. []4,4- D. ∅【答案】B解析：|22}x x A =-≤≤{，|44}B y y =-≤≤{，所以 |22}B x x A -≤≤＝{【命题意图】考查学生对集合描述法的理解、集合的并交补的运算以及绝对值不等式的解法.3． 是公差不为0的等差数列，满足222246810a a a a +=+，则 A. B. C. D. 【答案】B解析：依题： 4104108686)()))(((a a a a a a a a +-=+-()41086(6d ))(2d a a a a ⇒+⨯-=+⨯又因为d 0≠，410)(a a ∴+860a a =+=（）故【命题意图】本题考查等差数列的性质与求和，属于容易题.4.如图正方体AC 1，点M 为线段BB 1的中点，现用一个过点M,C,D 的平面去截正方体，得到上下两部分，用如图的角度去观察上半部分几何体,所得的侧视图为【答案】B解析：上半部分的几何体如图：由此几何体可知，选B.【命题意图】此题命题灵感来源于书本，考查几何体的三视图.5.根据上述数据得到的回归方程为ˆˆybx a =+，则大致可以判断 A. ， B. ，C. ,D. ,【答案】A解析：根据随机变量 ,y 之间关系在表格中的数据可以看出，y 随 的增大而减少，因此 ,由于 , =，故选A 【命题意图】本题考查线性回归方程，线性回归模型相关系数的意义及概念，属于容易题. 6．椭圆)0(12222>>=+b a by ax 的左右焦点分别为12,F F ，A 为椭圆上一动点（异于左右顶点），若△12AF F的周长为6A. 22143y x +=B. 22132y x +=C. 2212x y += D. 2214x y +=【答案】A解析：由椭圆的定义可得2(a +c)=6,所以a +c=3(1)，当A 在上（或下）顶点时，△12AF F 的面积取得最大值，即最大值为由（1），（2）及222a c b =+联立求得a =2,c=1,选A.【命题意图】考查椭圆的定义，焦点三角形的面积，以及与椭圆有关的基本量的运算，考查学生的运算能力与技巧.7.执行如图所示的程序框图，则输出的S 为A ．55B ．45C ．66D ．40 【答案】 A由程序框图运行可知345691011S 551234789==【命题意图】程序框图与数列结合进行考查.(第7题图） 8.《中国诗词大会》(第二季)亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词，在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味．若《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另外确定的两首诗词排在后六场，《将进酒》与《望岳》相邻且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后，则后六场开场诗词的排法有 A ．144种 B ．48种 C ．36种 D ．72种 【答案】C解析：将《将进酒》与《望岳》捆绑在一起和另外确定的两首诗词进行全排列共有 种排法，再将《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》插排在3个空里(最后一个空不排)，有 种排法，则后六场的排法有＝36(种)，故选C.【命题意图】考查排列组合知识.9.已知直线与双曲线的两条渐近线分别交于M,N 两点,且线段MN 的中点在双曲线上，则MON ∆的面积为A ． 1B ．8C ．4D ．2 【答案】 D解析：法一：设 ()M 2m,m ,()N 2n,n ，中点m n P m n,2-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，依题有：()22m n m n 1 1.OM ON .42mn θ+-⎛⎫-=⇒== ⎪⎝⎭令， ()()22MON 1111S OM ON sin θOM ON OM ON 2m n m 2n 4mn 2.222∆==-=--=-∙=（）（）法二：利用特殊情形求解，当直线与 轴垂直时，满足题意，易得MON S 2∆=.【命题意图】以双曲线为载体考查向量的数量积，以及以原点为顶点的三角形面积公式的坐标表示.10.设实数 满足约束条件，则z =A ．0B ． ．D ．1 【答案】D法一：（齐次化加求导）1,[0,1])yy z t t x +===?'0z == 当0t =时，z 的最小值为1 .法二：依题意，画出可行域如图所示，由图可知，目标函数z =其几何意义为(1,1)OC =u u u r 与(,)OB x y =u u u r((,)B x y 在可行域内)所成夹角的余弦值的倍，由图可知夹角的最大值为4p，故z1.2法三：z ==0x =时取最小值. 【命题意图】考查线性规划问题. 11.对于函数()1sin sin f x x x=-，下列说法错误的是 A.函数()f x 在定义域上的零点个数为偶数 B.直线2x π=为函数()f x 图像的一条对称轴C. 51134f f ππ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D. 函数()f x 在区间(2,2)()2k k k z πππ-+∈上递增【答案】C解析：易知：函数()f x 的定义域为,|}x x k k z π≠∈{， 且为奇函数，周期为2π，考查一个周期知：A 对.()()f x f x π=-知B 对.由复合函数单调性可知D 正确. 5113()().()().3344f f f f ππππ-==考查二者离对称轴2x π=的远近关系以及单调性，可知C 错.如图可供参考.【命题意图】考查函数的基本性质，及数形结合思想.12.设等差数列{}n a 满足公差,n d N a N ++∈∈,且数列{}n a 中任意两项之和也是该数列中的一项.若712a =，则d 的所有可能取值之和为A．256 B ．255 C ．364 D ．365 【答案】B解析：设,n m a a (m n)≠ 是等差数列{}n a 中的任意两项，由已知得，72(n 1)n a d =+-，72(1)m a m d =+-，则722(2)m n a a m n d +=⨯++-，设m n a a +是数列{}n a 中的第k 项，则有72(1)m n a a k d +=+-，即7722(2)2(1)m n d k d ⨯++-=+-，721d m n k =-+--，故d 的所有可能取值为2345671,2,2,2,2,2,2,2，其和为81225512-=-．【命题意图】考查等差数列的通项，等比数列求和以及简单的数论知识. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.若的二项展开式中的常数项为，则【答案】2分析：常数项为=整理得，所以 【命题意图】考查二项式定理及其通项，属于容易题.14.某车间共有6名工人，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数， 叶为个位数，日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．从该车间6名工人中， 任取3人，则至少有1名为优秀工人的概率为 . 【答案】45解析：依题意，平均数x ＝1719202125306+++++＝22，故优秀工人只有2人，从中任取3人共有20种情况，其中至少有1名为优秀工人的情况有16种，故至少有1名优秀工人的概率P ＝1620＝45.你也可以从反面予以求解.【命题意图】以茎叶图为载体考查简单的统计，概率知识，属于容易题.15.在三棱锥S-ABC 中，SA ，SB ，SC 两两垂直且SA=SB=SC=2,点M 为三棱锥S-ABC 的外接球上任意一点，则 MA MB 的最大值为 .【答案】2（图1） （图2）解析:法一：因为SA ，SB ，SC 两两垂直且SA=SB=SC=2，所以三棱锥S-ABC 的外接球就是分别以SA ，SB ，SC 为棱的正方体的外接球（如图1），外接球的球心为正方体的体对角线的中点O ，易知球的半径为3设线段AB 的中点为O 1, AB=22而11111111()()()()MA MB MO O A MO O B MO O A MO O A ⋅=+⋅+=+⋅-2221112MO O A MO =-=-，当1MO 取得最大值时，MA MB ⋅有最大值.而当,,M A B 在同一个大圆上且1MO AB ⊥，点M 与线段AB 在球心的异侧时，1MO 最大（如图2），此时，11MO OO ==，2212(1)22MO -=-=.得：MA MB ⋅的最大值为2.法二：极化恒等式：221[(])()4MA MB MA MB MA MB ⋅=-+-2221111[44]24MO O A MO =-=-（下面过程同上）【命题意图】与函数，空间几何结合考查平面向量的线性运算及向量基本定理 .16. 已知函数()f x 满足()()3f x f x =，当[)()1,3,l n x f x x ∈=，若在区间[)1,9内，函数()()g x f x ax=-有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是 . 【答案】ln 309a ≤≤或ln 313a e <<或13a e=. 解析:()()()33x f x f x f x f ⎛⎫=⇒= ⎪⎝⎭，当[)3,9x ∈时，()ln 33x x f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以()ln ,13ln ,393x x f x x x ≤<⎧⎪=⎨≤<⎪⎩，而()()g x f x ax =-有两个不同的零点⇔()y f x =与y ax =有两个不同交点，如图所示，可得直线y ax =应在图中虚线1l 和2l 之间，虚线4l 和x 轴之间(包括直线4l 和x 轴)，同时3l 也符合题意， 而1l 的斜率为1e ，2l 的斜率为ln 33，3l 的斜率为13e ，4l 的斜率为ln 39；由临界分析得：ln 309a ≤≤或ln 313a e <<或13a e=.【命题意图】考查求函数的解析式，函数的零点，数形结合思想.三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 1.（Ⅰ）求（Ⅱ）在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若A 为锐角且()f A =,8,b c +=求a 的最小值.解析：（1）函数变形：()1cos21sin2sin 22232x f x x m x m π-⎫⎛⎫=++=-++⎪ ⎪⎭⎝⎭ 因为函数()f x 的最大值为1，0m m +=⇒=- …6分（2）sin(2A -…8分又8b c +=，由余弦定理，4a ∴≥（b c =时等号成立） …12分【命题意图】考查两角和差的正余弦，二倍角公式，余弦定理，基本不等式等知识.oo1l2l3l4l18.（本小题满分12分）某地区高考实行新方案，规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还须从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定．例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确定，“物理、化学和生物”为其选考方案．某学校为了解高一年级420名学生选考科目的意向，随机选取30名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如下表：（Ⅰ）估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有多少人？（Ⅱ）假设男生、女生选择选考科目是相互独立的．从选考方案确定的8位男生中随机选出1人，从选考方案确定的10位女生中随机选出1人，试求该男生和该女生的选考方案中都含有历史学科的概率；（Ⅲ）从选考方案确定的8名男生中随机选出2名，设随机变量221,2,ξ⎧=⎨⎩名男生选考方案相同名男生选考方案不同，，求ξ的分布列及数学期望E ξ．解析：（Ⅰ）由题可知，选考方案确定的男生中确定选考生物的学生有4人，选考方案 确定的女生中确定选考生物的学生有6人，该学校高一年级选考方案确定的学生中选考 生物的学生有1018420=1401830⨯⨯人． ….2分 （Ⅱ）由数据可知，选考方案确定的8位男生中选出1人选考方案中含有历史学科的概率为21=84； ….3分 选考方案确定的10位女生中选出1人选考方案中含有历史学科的概率为310． ….4分所以该男生和该女生的选考方案中都含有历史学科的概率为13341040⨯=． ….5分 （Ⅲ）由数据可知，选考方案确定的男生中有4人选择物理、化学和生物；有2人选择物理、化学和历史；有1人选择物理、化学和地理；有1人选择物理、化学和政治．由已知得ξ的取值为1,2． …6分2242281(1)4C C P C ξ+===， …8分 1111422228()213(2)4C C C C P C ξ++⨯+===，或3(2)1(1)4P P ξξ==-== …10分 所以ξ的分布列为…….11分 所以13712444E ξ=⨯+⨯=． …….12分 【命题意图】以新高考为素材考查概率，分布列，期望等知识.19.（本小题满分12分）如图(1)，在高为2的梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB=2，CD=5，过A 、B 分别作AE⊥CD ，BF ⊥CD ，垂足分别为E 、F ．已知DE=1，将梯形ABCD 沿AE、BF 同侧折起，得空间几何体ADE ﹣BCF ，如图(2)．（Ⅰ）若AF ⊥BD ，证明：DE ⊥平面ABFE ；（Ⅱ）若DE ∥CF ，AB 上是否存在点P 使得CP 与平面ACD 理由．解析：证明：（Ⅰ）由已知得四边形ABFE 是正方形，且边长为2，在图2中，AF ⊥BE ， 由已知得AF ⊥BD ，BE ∩BD=B ，∴AF ⊥平面BDE ， 又DE ⊂平面BDE ，∴AF ⊥DE ，又AE ⊥DE ，AE ∩AF=A ，∴DE ⊥平面ABFE ， …5分（Ⅱ）假设存在点P ，在图2中，AE ⊥DE ，AE ⊥EF ，DE ∩EF=E ，即AE ⊥面DEFC ，过E 作EG ⊥EF 交D C 于点G ，可知GE ，EA ，EF 两两垂直，以E 为坐标原点，以 ， ， 分别为x 轴，y 轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系， …6分 则1(2,0,0),(2,2,0),(0,2A B C D-1(2,1,3),(2,,22AC AD =-=--设平面ACD 的一个法向量为(,,)n x y z =，则，取1x=得(1,1,3)n=-…8分设(2,,0)P m，得(2,1,CP m=-设CP与平面ACD所成的角为,θ4sin cos,.103CP n mθ=<>==⇒=所以存在点P，P为AB上靠近点B的三等分点．… 12分【命题意图】考查线面垂直与线线垂直、与折叠性问题，探索性问题相结合考查线面角的求法. 20．（本小题满分12分）己知曲线21:1(0)C y x y=-+≤与x轴交于A，B两点，且点A在点B左侧，点P为x轴上方的一个动点，D是线段PB的中点，直线DO(O为坐标原点)的斜率与直线PB的斜率之积为–4.（1）求动点P的轨迹2C的方程；（2）过点B的直线l与1C，2C分别交于点M ,Q（均异于点A，B），在三角形AMQ中，∠为锐角，求直线l 的斜率的范围；解析：(1)不妨设，则(1,0),(1,0)A B-设(,)(0)P x y y>，因为,所以则411AP BPy yk kx x=⋅=-+-整理得：221(0)4yx y+=>所以动点P的轨迹C2的方程为221(0)4yx y+=>……5分 (没有y的范围扣1分)(2)由(1)知，上半椭圆C2的方程为221(0)4yx y+=>．易知，直线l与轴不重合也不垂直，设其方程为y＝k(－1)(k≠0)，代入C2的方程整理得(k2＋4) 2－2k2＋k2－4＝0．(*)设点M的坐标为( M，y M)，∵直线l过点B，∴＝1是方程(*)的一个根，由求根公式得x M＝2244kk-+，从而y M＝284kk-+，∴点M的坐标为22248,44k kk k⎛⎫--⎪++⎝⎭… 7分同理，由()21,01,0y k x ky x y⎧=-≠⎪⎨=-+≤⎪⎩得点Q的坐标为2(1,2)k k k----…8分222228(,),(,2)44k kAM AQ k k kk k-==---++．由题意可知，即2224kk-+2)]4[(k k－＋> 0，∴2)4(0k k<－＋，解得83k>-… 10分因为()1y2|xx='=-= -2，即直线l与抛物线在B处相切时，切线的斜率为-2.而直线l与两曲线有交点，必须k 2.<-所以直线l的斜率的范围为8k 2.3-<<-… 12分【命题意图】第一问考查求轨迹方程，第二问抛物线与椭圆交汇，考查学生的转化能力，运算能力，善于发现问题，处理细节问题的能力，属于难题.21. （本小题满分12分） 已知函数． (1) 求函数的单调区间； (2) 证明：当 时，()()1111111n ln n 1ln n ln n 1ln 2⎡⎤⎛⎫+++++>⎢⎥ ⎪+-⎝⎭⎢⎥⎣⎦解析： (1) … 2分 ① 时，当时；当时，．故的减区间是，增区间是． … 3分 ② 时，当或时；当时 故的减区间是，增区间是和． … 4分③ 时，，故的增区间是 … 5分 ④ 时，当或时；当时故的减区间是，增区间是和． … 6分 (2)证明：当时，由（1）中的①可知，当且仅当时取等号. … 8分则当时，上不等式可变形为分别令 累加得1111ln(n 1lnn ln(n 1ln 2+++++-））… 11分当 时， ()()1111111n ln n 1ln n ln n 1ln 2⎡⎤⎛⎫+++++>⎢⎥ ⎪+-⎝⎭⎢⎥⎣⎦… 12分 【命题意图】考查函数的单调性与导数、分类讨论思想；以及考查学生的综合分析能力，实际应用的能力和运算能力，属于难题.请考生在22、23两题中任选一题作答，注意，只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题计分。