湖南省三湘名校教育联盟2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题 Word版含答案

高二数学参考答案解析及给分细则一、选择题（本题共12小题,每小题5分,共60分）1-5：ABBAC 6-10:DDBCA 11-12:AD1、解析：由B {x x 0}，得A B {x x 0}故选A2、解析：由f [f (2)]f (3)log 2(9a )1a 7.故选B3、解析：f (x )3ax 22，又(1)tan4f ，故3a -2=1,得a =1.故选B4、解析：安全区域为图中阴影部分，其面积22214S故概率4144P，故选A5、解析：由57925a a a 有19959()9452a a S a 。

故选C6、解析：122sin()sin(2)22C y xy x横坐标缩短为原来的曲线化为8右移个单位sin 2()sin(2)824y xx1C 即为曲线,故选D7、 解析：建系如图，设拱桥所在抛物线为2(0)xay a点A （2,-2）在抛物线上，得a = -2抛物线方程为22x y当水面宽为h m,由点)h 在抛物线上，得52h ，故水面下降了12m 。

故选 D8、解析：由题意，222()A x a y b 圆为,与渐近线b y x a 交于M 、N 两点， 0090,AM AN MAN 由知故圆心A 到渐近线距离为2b2222222a b e c b a即，故选 B9、解析：如图，四边形PACB 的面积为22PACS SPA故当PA 最小时，S 有最小值 记圆心到直线距离22,22dPC则226PA CA 又2623S,故选C10、解析：4142224444x x y x yyxyxy由23414m m m 知，故选A 11、解析：如图，过点M 作MH ⊥l 于H ， 由题意3PF MF224333MH PM MHp KFPF12323MMMp MHx x y 由定义1232322MFKS，故选A12、解析：如图，当0x时，()1f x x 与()g x 有1个交点，故0x 时()log a f x x 与()g x 有且仅有5个交点，必有1a 且(5)157(7)1f a f ，故选D二、填空题（本题共4小题,每小题5分,共20分） 13、e14、636415、916、2（a -m ）答案解析：13、解析：'''''()2(1)1(1)2(1)(1)xf x f e x f f e f e 由令有 14、解析：法一：可求得1236623*********,,,,12222264a a a a S 法二：记211232222n n n nT a a a a 则22112311222(2)2n n n n T a a a a n两式相减得1112(2)22n nnn a a n由112a 也适合上式，有12n n a ，故661631264S15、解析：几何体的直观图是正四棱锥（如图所示），且高CA 和底面边长为2，在Rt △OAB 中， 由22(2)2R R 有32R， 故249SR16、解析：由已知,如图光线从出发,若先经过双曲线上一点反射,则反射光线相当于光线从设出经过点再到达椭圆上一点反射回到;同理,若先出发经过椭圆上一点反射,则光线沿着直线方向到达双曲线上一点反射后回到,则可知,光线从出发,无论经由那条路线,经过两次反射后必然返回,则讨论光线反射两次后返回的过程,如图,,所以光线经过2次反射后回到左焦点所经过的路径长为2（a-m ）三、解答题 17、解：（1）2000:,10q x R mx mx(或写为：2,10)x R mx mx ……………………4分（2）由p 有：(m +2)(m -1)>0m <-2或m >1 ……………………5分由q 有：若m =0,化为1>0成立 …………………6分若m ≠0,则有040mm ………………………7分∴[0,4)m ……………………………………………8分∵“p q ”为假命题，“q ”为假命题 ∴p 假q 真……………9分∴[2,1][0,4)[0,1]m ………………………………………10分18、解：（1）由正弦定理有：2222ac ac b …………2分由余弦定理 cos B =222222a cb ac……………………4分又(0,)B4B……………………5分（2）由（1）11tan 22a B a……………………6分又22428111(3)()(7)a a a a d a d a d1102a d d dd a …………………………7分 ∴2na n……………………………8分14411122(1)(1)1n n a a n n n n n n 从而………………10分1111111(1)()()()223341n S n n1111nn n …………………………12分19、解：（1）各小组的频率依次为0.1, 0.2, 0.25, 200a , 0.1, 0.05由0.1+0.2+0.25+200a +0.1+0.05=1有a =0.0015…………………………………………………3分 （2）平均金额3000.15000.27000.25900(2000.0015)11000.113000.05x750()元…………………………………………………7分（3）选择方案一：优惠力度为750×（1-80％）=150元………9分 选择方案二：优惠力度为300.1500.21400.251600.32800.13200.05140（元） ……11分故，方案一的优惠力度更大. ……………………12分 20、（1）证明：取AC 的中点O ，连接OS,OB, ∵SA=SC,AB=BC∴AC ⊥SO 且AC ⊥BO. ∴AC ⊥面SBO又SB 面SBO∴AC ⊥SB ………………5分(2)解：由面SAC ⊥面ABC,SO ⊥AC 可得SO ⊥面ABC ………6分故以O 为坐标原点，分别以OA,OB,OS 所在直线为x 轴，y轴，z 轴， 建立如图所示空间直角坐标系： 则A(2,0，0),B(O,23,0),C(-2,0,0),S(0,0,2) ∴,1)∴(3,3,0),(2,3,1)CE CF设(,,)n x y z 为平面EFC 的一个法向量由3300230n CE x y n CF xy z1,3, 1.(1,3,1)x yz n 取则……………………9分又(0,0,2)OS为面ABC 的一个法向量由5cos ,552n OS如图知二面角B-CE-F 的余弦值为5………………………………12分 21、解：（1）由图可知函数2()(1)4f x a x 的图象过点F （-3,0）(3)4401f aa ……………………………3分（2）由（1）知2()(1)4f x x当x =0时，f (0)=3 ∴OC=3,又在Rt △OCD 中，6COD3DOE……………………………………………6分（3）由（2）可知2223OD OC CD 易知矩形草坪面积最大时，Q 在OD 上.如图：(0)3POE23sin23cosQMPN ON32sin3OMQM 又23cos 2sinMN ON OM……………………………8分∴矩形草坪的面积为：223sin (23cos 2sin )12sin cos 43sin 6sin 223cos 223S QM MN43sin(2)236……………………………10分又5023666故，当262即6时，有max23S综上所述，当6时，矩形草坪面积最大………………………12分22、解：（1）由题意知12(2,0),F F2c又离心率22cea 2,2ab 故椭圆C 的方程为22142x y ……………………………………2分（2）证明：设P(x 0,y 0)，则22002x y 由此20001221222y K K x x x（定值）…………………………5分 （3）由（2）知121K K设直线AB 的方程为(2)yk x，则直线CD 方程为1(2)yx k联立22(2)142y k xx y 消去y ，得：2222(12)42440k x k x k记A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)则221212224244,1212k k x x x x kk ………………………………7分∴222121224(1)1()412k ABk x x x x k同理224(1)2k CD k ………………………………………9分 ∴222222111223334(1)4(1)4(1)4k k k AB CD k k k 由题意：123232cos 44ABCDAB CD AB CD F PF 故121132cos()42323232AB CD F PF AB CD AB CD∴o 1245F PF……………………………………12分。

2019湖南名校联考高二（下）期末数学试卷（附答案）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知复数z满足＝2﹣i，其中i是虚数单位，则复数z的虚部是（）A．﹣3B．3C．﹣4D．42．（5分）已知集合A＝{x|2x＜1}，B＝{x|（x+2）（x﹣1）≤0}，则A∪B＝（）A．[﹣2，0）B．（﹣∞，﹣2]C．（﹣∞，1]D．[﹣2，+∞）3．（5分）设a为实数，则“a＞”是“a2＞”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）执行如图所示的程序框图，若输人的a＝1，则输出的结果为（）A．15B．6C．﹣10D．﹣215．（5分）函数f（x）＝|x|sin2x的部分图象可能是（）A．B．C．D．6．（5分）如图，点C在以AB为直径的圆上，且满足CA＝CB，圆内的弧线是以C为圆心，CA为半径的圆的一部分，在整个图形中随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的右焦点为F点A（0，b），连接AF与双曲线C交于点B，若＝2，则双曲线C的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±2x C．y＝±x D．y＝±8．（5分）将函数f（x）＝cos2x的图象向左平移个单位，得到g（x）的图象，则下列关于g（x）的说法正确的是（）A．最小正周期为B．关于x＝对称C．关于点（，0）对称D．在区间[﹣，]上单调递减9．（5分）已知a＝2﹣0.2，b＝﹣1og3，c＝log，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b 10．（5分）用1，3，5三个奇数和2，4两个偶数组成一个五位数，两个偶数之间恰好有一个奇数的五位数的个数是（）A．24B．36C．48D．6011．（5分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，c cos A+c sin A＝b+a，则C ＝（）A．B．C．D．12．（5分）将边长为2的菱形ABCD沿对角线BD折叠成空间四边形，则三棱锥A﹣BCD 体积的最大值是（）。

2019-2020学年湖南省三湘名校教育联盟高二第二学期期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．已知复数z满足（z﹣i）（1﹣i）＝2i，则z＝（）A．﹣1+i B．﹣1+2i C．2+i D．2﹣i2．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{x|log x＜1}，则A∩（∁R B）＝（）A．（﹣1，2）B．（﹣1，）C．（﹣1，]D．[，2）3．消费结构是指各类消费支出在总费用支出中所占的比重．它是目标市场宏观经济的一个重要特征，能够反映一国的文化、经济发展水平和社会的习俗.2020年2月29日人民网公布的我国2019年全国居民人均消费支出及其构成，如图所示，则下列说法正确的是（）A．2019年全国居民人均消费支出一半用于改善居住条件B．2019年全国人均食品烟酒消费占居民人均消费支出的比重最大C．2019年全国人均衣着消费支出比教育文化娱乐消费支出的比重大D．2019年全国居民用于医疗保健的消费支出超过人均消费支出的10%4．已知向量＝（﹣1，2），＝（2，﹣1），若与+（λ∈R）垂直，则λ＝（）A．B．﹣C．﹣D．5．已知双曲线﹣＝1的离心率为2，则双曲线的渐近线经过点（）A．（1，﹣）B．（1，2）C．（﹣1，2）D．（1，﹣）6．已知α为锐角，sin（）＝，则cosα＝（）A．﹣B．+C．﹣D．﹣7．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若tan B+tan C＝1﹣tan B•tan C，且bc＝2，则△ABC的面积为（）A．2B．C．D．8．新课程改革把劳动与技术课程作为7～9年级每个学生必须接受的课程，并写入新课程标准．某校7年级有5个班，根据学校实际，每个班每周安排一节劳动与技术课，并且只能安排在周一、周三、周五下午的三节课，同年级不同班不能安排在同一节，则七年级周五下午排了3个班的劳动与技术课程的概率是（）A．B．C．D．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分．在每小题给出的选项中，有多个选项符合要求，全部选对得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．关于二项式（x2﹣）6的展开式，下列结论错误的是（）A．展开式所有项的系数和为1B．展开式二项式的系数和为32C．展开式中不含x3项D．常数项为12010．古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k （k＞0且k≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．已知O（0，0），A（3，0），圆C：（x﹣2）2+y2＝r2（r＞0）上有且仅有一个点P满足|PA|＝2|PO|，则r的取值可以为（）A．1B．2C．3D．511．已知函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象与y轴交于点（0，），与x轴的一个交点为（1，0），如图所示，则下列说法正确的是（）A．B．f（x）的最小正周期为6C．y＝f（x）的图象关于直线x＝对称D．f（x）在[0，]单调递减12．已知偶函数f（x）对任意x∈R都有f（12﹣x）﹣f（12+x）＝0，当x∈[0，12]时，f（x）＝，实数x i是关于x的方程f（x）＝m（i＝1，2，3，…）的解，且x i互不相等．则下列说法正确的是（）A．f（x）的最小正周期是12B．y＝f（x）图象的对称轴方程为x＝12k，k∈ZC．当m＞1时，关于x的方程f（x）＝m在x∈[0，12]上有唯一解D．当m＝0时，存在x1，x2，x3，x4，使得|x1+x2+x3+x4|的最小值为0三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．曲线y＝在点（0，0）处的切线方程为．14．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S6＝36，S20﹣S14＝126，则数列{a n}的公差d ＝．15．某手机运营商为了拓展业务，现对该手机使用潜在客户进行调查，随机抽取国内国外潜在用户代表各100名，调查用户对是否使用该手机的态度，得到如图所示的等高条形图．根据等高图，（填“有”或“没有”）99.5%以上的把握认为持乐观态度和国内外差异有关．（参考公式与数据：K2＝，其中n＝a+b+c+d．）P（K2≥k0）0.050.010.0050.001k0 3.841 6.6357.87910.82816．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，P是AA1的中点，Q是侧面正方形BB1C1C 内的动点，当D1Q∥平面PBD时，点Q的轨迹长度为，若点Q轨迹的两端点和点C1，D1在球O的球面上，则球O的体积为．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17题10分，第18～22题每题12分．17．在①sin B＝sin C＝sin A，②＝＝，③b＝c＝a，这三个条件中，任选一个补充在下面的问题中，并解答问题．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，______，a＝4，角B的平分线交AC于点D，求BD的长．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）18．已知数列{a n+1}是首项为2，公比为2的等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设S n是数列{a n}的前n项和，b n＝n（S n+2+n），求数列{b n}的前n项和T n．19．在如图所示的多面体中，平面ABCD⊥平面PDC，ABCD为正方形，E，F分别为AD，BP的中点，且AD＝2，AP＝2，PC＝2．（1）证明：EF⊥平面PBC；（2）求二面角B﹣PD﹣C的余弦值．20．已知椭圆C：＝1（a＞1）的离心率为，直线l：x＝ty+（t∈R）与x轴的交点为P，与椭圆C交于M、N两点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）证明：+是定值．21．国际电子竞技和围棋比赛通常采用双败淘汰制．双败淘汰制即一支队伍失败两场被淘汰出局，直到最后剩下一支队伍夺得冠军（决赛只赛一场）．以八支战队的比赛为例（如图所示），第一轮比赛，由8支战队抽签后交战．获胜战队继续留在获胜组，失败战队则掉入失败组，进入下一轮比赛．失败战队在失败组一旦再失败即被淘汰，最后由胜者组和败者组的冠军决出总冠军．某项国际电子竞技比赛有甲等8名选手参加．比赛采用了双败淘汰制，若这8名选手相互之间每场比赛获胜的概率均为0.5．（1）求甲获得冠军的概率；（2）记甲在这次比赛中参加比赛的场次为X，求随机变量X的分布列和期望．22．已知函数f（x）＝lnx﹣a sin x（a∈R）．（1）证明：当a≤0时，f（x）在（0，]上单调递增；（2）当a＝1时，不等式lnx﹣≥f（x）对任意的x∈（0，]恒成立，求实数k的取值范围．参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z满足（z﹣i）（1﹣i）＝2i，则z＝（）A．﹣1+i B．﹣1+2i C．2+i D．2﹣i解：由（z﹣i）（1﹣i）＝2i，得z﹣i＝，则z＝﹣1+2i．故选：B．2．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{x|log x＜1}，则A∩（∁R B）＝（）A．（﹣1，2）B．（﹣1，）C．（﹣1，]D．[，2）解：∵集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|log x＜1}＝{x|x＞}，∴∁R B＝{x|x}，∴A∩（∁R B）＝{x|﹣1＜x}＝（﹣1，]．故选：C．3．消费结构是指各类消费支出在总费用支出中所占的比重．它是目标市场宏观经济的一个重要特征，能够反映一国的文化、经济发展水平和社会的习俗.2020年2月29日人民网公布的我国2019年全国居民人均消费支出及其构成，如图所示，则下列说法正确的是（）A．2019年全国居民人均消费支出一半用于改善居住条件B．2019年全国人均食品烟酒消费占居民人均消费支出的比重最大C．2019年全国人均衣着消费支出比教育文化娱乐消费支出的比重大D．2019年全国居民用于医疗保健的消费支出超过人均消费支出的10%解：根据全国人均消费支出的结构饼图，可知2019年内人均食品，研究消费占居民人均消费支出的28.2%，比重最大，居住条件上的消费占人均消费支出的23.4%，远远小于人均消费支出的一半，用于文化娱乐的比重大于衣着消费，用于医疗保健的消费支出占人均消费支出的8.8%，不超过10%．故选：B．4．已知向量＝（﹣1，2），＝（2，﹣1），若与+（λ∈R）垂直，则λ＝（）A．B．﹣C．﹣D．解：∵向量＝（﹣1，2），＝（2，﹣1），若与+（λ∈R）垂直，∴•（λ+）＝λ+＝λ（﹣2﹣2）+5＝0，则λ＝，故选：A．5．已知双曲线﹣＝1的离心率为2，则双曲线的渐近线经过点（）A．（1，﹣）B．（1，2）C．（﹣1，2）D．（1，﹣）解：由双曲线﹣＝1的离心率为2，可得＝2，即，所以＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝x，由选项可知，（1，﹣）在双曲线的渐近线上．故选：A．6．已知α为锐角，sin（）＝，则cosα＝（）A．﹣B．+C．﹣D．﹣解：α为锐角，且sin（）＝＜，所以＜+α＜π，所以cos（+α）＝﹣＝﹣＝﹣，所以cosα＝cos[（α+）﹣]＝cos（α+）cos+sin（α+）sin＝﹣×+×＝﹣．故选：C．7．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若tan B+tan C＝1﹣tan B•tan C，且bc＝2，则△ABC的面积为（）A．2B．C．D．解：△ABC中，tan B+tan C＝1﹣tan B•tan C，所以tan（B+C）＝＝1，A+B+C＝π，tan A＝﹣tan（B+C）＝﹣1，所以A＝，所以sin A＝，又bc＝2，所以S△ABC＝bc sin A＝×2×＝．故选：D．8．新课程改革把劳动与技术课程作为7～9年级每个学生必须接受的课程，并写入新课程标准．某校7年级有5个班，根据学校实际，每个班每周安排一节劳动与技术课，并且只能安排在周一、周三、周五下午的三节课，同年级不同班不能安排在同一节，则七年级周五下午排了3个班的劳动与技术课程的概率是（）A．B．C．D．解：由题意得7年级在周五排3个班的劳动与技术课程，剩下的两个班可以任意排在周一和周三下午的6节课中的两节课，∴7年级在周五也排3个班的劳动与技术课程的概率为：p＝．故选：A．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分．在每小题给出的选项中，有多个选项符合要求，全部选对得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．关于二项式（x2﹣）6的展开式，下列结论错误的是（）A．展开式所有项的系数和为1B．展开式二项式的系数和为32C．展开式中不含x3项D．常数项为120解：令x＝1，则展开式所有项的系数和为（12﹣2）6＝1，故A正确，展开式二项式的系数和为26＝64，故B错误，展开式的通项公式T k+1＝C（x2）6﹣k（﹣）k＝C（﹣2）k x12﹣3k，由12﹣3k＝3得k＝3，即展开式中含x3项，故C错误，当12﹣3k＝0得k＝4，即展开式的常数为C（﹣2）4＝240，故D错误，故错误的是BCD，故选：BCD．10．古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k （k＞0且k≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．已知O（0，0），A（3，0），圆C：（x﹣2）2+y2＝r2（r＞0）上有且仅有一个点P满足|PA|＝2|PO|，则r的取值可以为（）A．1B．2C．3D．5解：设P（x，y），由|PA|＝2|PO|，得（x﹣3）2+y2＝4x2+4y2，整理得（x+1）2+y2＝4，又点P是圆C：（x﹣2）2+y2＝r2（r＞0）上有且仅有的一点，所以两圆相切，圆（x+1）2+y2＝4的圆心坐标为（﹣1，0），半径为2，圆C：（x﹣2）2+y2＝r2（r＞0）的圆心坐标为（2，0），半径为r，两圆的圆心距为3，当两圆外切时，r+2＝3，得r＝1，当两圆内切时，|r﹣2|＝3，得r＝5．故选：AD．11．已知函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象与y轴交于点（0，），与x轴的一个交点为（1，0），如图所示，则下列说法正确的是（）A．B．f（x）的最小正周期为6C．y＝f（x）的图象关于直线x＝对称D．f（x）在[0，]单调递减解：由函数f（x）＝cos（ωx+φ）的图象与y轴交于点（0，），所以cosφ＝，又0＜φ＜π，所以φ＝，A正确；由f（x）的图象与x轴的一个交点为（1，0），即y＝f（1）＝0，所以ω+＝2kπ+，k∈Z；又1＜＜2，解得＜ω＜，所以ω＝；所以f（x）＝cos（x+），求得f（x）的最小正周期为T＝6，B正确；f（）＝cos（×+）＝﹣1，所以x＝是f（x）的一条对称轴，C正确；令2kπ≤x+≤2kπ+π，k∈Z，解得6k﹣≤x≤6k+，k∈Z；所以函数f（x）在[6k﹣，6k+]，k∈Z上单调递减，D错误；综上知，正确的命题是ABC．故选：ABC．12．已知偶函数f（x）对任意x∈R都有f（12﹣x）﹣f（12+x）＝0，当x∈[0，12]时，f（x）＝，实数x i是关于x的方程f（x）＝m（i＝1，2，3，…）的解，且x i互不相等．则下列说法正确的是（）A．f（x）的最小正周期是12B．y＝f（x）图象的对称轴方程为x＝12k，k∈ZC．当m＞1时，关于x的方程f（x）＝m在x∈[0，12]上有唯一解D．当m＝0时，存在x1，x2，x3，x4，使得|x1+x2+x3+x4|的最小值为0解：因为函数f（x）是偶函数，则图象关于y轴对称，又f（12﹣x）＝f（12+x），所以函数关于直线x＝12对称，当x∈[0，12]时，函数f（x）无轴对称性，又f（x+24）＝f（﹣x）＝f（x），所以函数的最小正周期为24，故A错误；因为x＝0是函数的对称轴，且f（12﹣x）＝f（12+x），所以函数图象关于直线x＝12k（k∈Z）对称，故B正确；当x∈[0，12]时，结合f（x）＝的单调性和图象可知，当m＞1时，关于x的方程f（x）＝m在x∈[0，12]上只有唯一解，故C正确；当m＝0时，总能找到两两关于y轴对称的四个零点，使得|x1+x2+x3+x4|＝0，若4个零点不关于y轴对称时，|x1+x2+x3+x4|＞0，故D正确．故选：BCD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．曲线y＝在点（0，0）处的切线方程为x﹣y＝0．解：求导得：y′＝，把x＝0代入得：k＝1，则线y＝在点（0，0）处的切线方程为y＝x，即x﹣y＝0，故答案为：x﹣y＝014．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S6＝36，S20﹣S14＝126，则数列{a n}的公差d＝．解：法一：由题意可得，S20﹣S14﹣S6＝14×6d＝126﹣36＝90，∴d＝．法二：因为S20﹣S14+S6＝a15+a16+a17+a18+a19+a20+a1+a2+a3+a4+a5+a6＝6（a1+a20）＝162，所以a1+a20＝27，所以S20＝10（a1+a20）＝270，因为S6＝36，所以，解可得d＝，故答案为：．15．某手机运营商为了拓展业务，现对该手机使用潜在客户进行调查，随机抽取国内国外潜在用户代表各100名，调查用户对是否使用该手机的态度，得到如图所示的等高条形图．根据等高图，有（填“有”或“没有”）99.5%以上的把握认为持乐观态度和国内外差异有关．（参考公式与数据：K2＝，其中n＝a+b+c+d．）P（K2≥k0）0.050.010.0050.001k0 3.841 6.6357.87910.828解：由题填写2×2列联表如下，乐观不乐观总计国内代表6040100国外代表4060100总计100100200 K2＝＝8＞7.879，所以有99.5%以上的把握认为持乐观态度和国内外差异有关．故答案为：有．16．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，P是AA1的中点，Q是侧面正方形BB1C1C 内的动点，当D1Q∥平面PBD时，点Q的轨迹长度为，若点Q轨迹的两端点和点C1，D1在球O的球面上，则球O的体积为．解：依题意，D1Q∥平面PBD时，点Q是平面BB1C1C内的动点，可得D1点与点Q的轨迹构成的平面与平面PBD平行，如图所示，∵P是AA1的中点，取CC1的中点Q0，∴Q点的轨迹即为线段B1Q0．∵正方体的棱长为2，∴．把三棱锥D1﹣B1C1Q补形为长方体，可得球O的直径就是A1Q0，长为3．故球O的体积为．故答案为：；．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17题10分，第18～22题每题12分．17．在①sin B＝sin C＝sin A，②＝＝，③b＝c＝a，这三个条件中，任选一个补充在下面的问题中，并解答问题．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，______，a＝4，角B的平分线交AC于点D，求BD的长．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）解：选择①：因为sin B＝sin C＝sin A，由正弦定理可得a＝b＝c，即b＝c＝a，由余弦定理可得cos A＝＝﹣，在三角形中可得A＝π，所以B＝C＝，又因为BD为角平分线，所以∠ABD＝，在△ABD中，∠ADB＝π﹣π﹣＝，在△BCD中，由正弦定理可得＝，即＝，所以BD＝BC＝×4＝2．选择②：因为＝＝，可得b＝c，a＝b，又a＝4，所以可得b＝c＝4，由余弦定理cos A＝＝＝﹣，A∈（0，π），所以A＝，则B＝C＝，下面解法同①；选择③：因为b＝c＝a，而a＝4，所以b＝c＝4，下面解法同②；综上所述：BD的长为2．18．已知数列{a n+1}是首项为2，公比为2的等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设S n是数列{a n}的前n项和，b n＝n（S n+2+n），求数列{b n}的前n项和T n．解：（1）数列{a n+1}是首项为2，公比为2的等比数列．所以，整理得．（2）由（1）得＝．故b n＝n（S n+2+n）＝n•2n+1，所以①，②，①﹣②得，整理得，解得．19．在如图所示的多面体中，平面ABCD⊥平面PDC，ABCD为正方形，E，F分别为AD，BP的中点，且AD＝2，AP＝2，PC＝2．（1）证明：EF⊥平面PBC；（2）求二面角B﹣PD﹣C的余弦值．解：（1）证明：取PC中点G，连结DG、FG，点E、F分别为AD、BP的中点，又AD＝2，AP＝2，∴PD＝2，∴△PCD是等腰三角形，∴EFGD是平行四边形，∴EF∥GD，∵平面ABCD⊥平面PDC，ABCD为矩形，∴BC⊥平面PDC，∴BC⊥DG，∴PC⊥DG，又BC∩BC＝C，∴DG⊥平面PBC，∴EF⊥平面PBC．（2）如图，以D为原点，DC为x轴，在平面PDC内，过点D作DC的垂线为y轴，DA为z轴，建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），C（2，0，0），B（2，0，2），P（﹣1，，0），＝（2，0，2），＝（﹣1，，0），平面PDC的法向量＝（0，0，1），设平面PDB的法向量＝（x，y，z），则，取y＝1，得＝（，1，﹣），∴cos＜＞＝＝＝﹣，由图知二面角B﹣PD﹣C的平面角为锐角，∴二面角B﹣PD﹣C的余弦值为．20．已知椭圆C：＝1（a＞1）的离心率为，直线l：x＝ty+（t∈R）与x轴的交点为P，与椭圆C交于M、N两点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）证明：+是定值．解：（1）由题意可得b2＝1，所以b＝1，又e＝，所以a＝，所以椭圆C的标准方程为+y2＝1；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），联立，整理，得（2+t2）y2+ty﹣＝0，所以△＝t2+（2+t2）＞0恒成立，y1+y2＝，y1y2＝，所以+＝+＝＝＝＝×＝3，所以+为定值3．21．国际电子竞技和围棋比赛通常采用双败淘汰制．双败淘汰制即一支队伍失败两场被淘汰出局，直到最后剩下一支队伍夺得冠军（决赛只赛一场）．以八支战队的比赛为例（如图所示），第一轮比赛，由8支战队抽签后交战．获胜战队继续留在获胜组，失败战队则掉入失败组，进入下一轮比赛．失败战队在失败组一旦再失败即被淘汰，最后由胜者组和败者组的冠军决出总冠军．某项国际电子竞技比赛有甲等8名选手参加．比赛采用了双败淘汰制，若这8名选手相互之间每场比赛获胜的概率均为0.5．（1）求甲获得冠军的概率；（2）记甲在这次比赛中参加比赛的场次为X，求随机变量X的分布列和期望．解：（1）由“双败淘汰制”可知，甲获得冠军可能是由获胜者组进入决赛并最终夺冠，也可能由失败者组进入决赛最终夺冠，∴甲获得冠军的概率为：p＝（）4+（）3×（）2+（）2×（）4+×（）5＝．（2）依题意X的可能取值为2，3，4，5，6，P（X＝2）＝（）2＝，P（X＝3）＝＝，P（X＝4）＝（）3+＝，当X＝5时，有如下情况：①前两场胜利，第三场失败；②前两场一胜一败，则第5场必败，∴P（X＝5）＝（）4+＝，当X＝6时，前5场只能失败一次，且只可能是第一场失败或第二场失败，∴P（X＝6）＝（）5＝，∴X的分布列为：X23456PE（X）＝+＝3.5．22．已知函数f（x）＝lnx﹣a sin x（a∈R）．（1）证明：当a≤0时，f（x）在（0，]上单调递增；（2）当a＝1时，不等式lnx﹣≥f（x）对任意的x∈（0，]恒成立，求实数k的取值范围．【解答】（1）证明：因为f（x）＝lnx﹣a sin x（a∈R），所以，当a⩽0 时恒成立，f（x）在上单调递增．（2）解法1：由题意，对恒成立，设h（x）＝e x sin x﹣kx，h′（x）＝e x sin x+e x cos x﹣k，又设m（x）＝e x sin x+e x cos x﹣k，则m′（x）＝e x sin x+e x cos x+e x cos x﹣e x sin x＝2e x cos x⩾0，因此m（x）在单调递增，所以m（x）＞m（0）＝1﹣k，①当k⩽1 时，m（x）＞0，即h′（x）＞0，h（x）在单调递增，故有h（x）＞h（0）＝0，即k⩽1 适合题意．②当k＞1 时，若，则取时，m（x）＜0，若，则在上m（x）存在唯一零点，记为x0，当x∈（0，x0）时，m（x）＜0，总之，存在使x∈（0，x0）时，m（x）＜0，即h′（x）＜0，所以h（x）单调递减，h（x）＜h（0）＝0，故k＞1 时，存在x∈（0，x0）使h（x）＜0 不合适题意．综上，实数k的取值范围是（﹣∞，1]．解法2：，设g（x）＝e x sin x﹣x，则，∴g（x）＝e x sin x﹣x在区间上递增，即g（x）＝e x sin x﹣x＞g（0）＝0，∴，而而，因此函数的下确界为1，实数k的取值范围是（﹣∞，1]．。

湖南省名校2019-2020学年数学高二第二学期期末学业水平测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．若函数()()2e x f x a x a =-∈R 有三个零点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．240,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()0,eD ．()0,2e 【答案】A【解析】【分析】 令()0f x =分离常数2e x x a =，构造函数()2ex x g x =，利用导数研究()g x 的单调性和极值，结合y a =与()g x 有三个交点，求得a 的取值范围.【详解】方程()0f x =可化为2e x x a =，令()2ex x g x =，有()()2e x x x g x -'=， 令()0g x '>可知函数()g x 的增区间为()0,2，减区间为(),0-∞、()2,+∞，则()()00f x f ==极小值，()()242e f x f ==大值极， 当0x >时，()0g x >，则若函数()f x 有3个零点，实数a 的取值范围为240,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭．故选A. 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的零点，考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.2．在复平面内，复数()13z i i =+（i 为虚数单位）对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】【分析】对复数z 进行整理化简，从得到其在复平面所对应的点，得到答案.【详解】复数()133z i i i =+=-+，所以复数z 在复平面对应的点的坐标为()3,1-，位于第二象限.【点睛】本题考查复数的乘法运算，考查复数在复平面对应点所在象限，属于简单题.3．若复数()()211 i z a a a R =-++∈是纯虚数，则a =（ ） A ．0B ．1C ．1-D ．±1【答案】B【解析】【分析】 根据纯虚数的定义求解即可.【详解】因为复数()()211 i z a a a R =-++∈是纯虚数,故21010a a ⎧-=⎨+≠⎩ ,解得1a =. 故选：B【点睛】本题主要考查了根据纯虚数求解参数的问题,属于基础题.4．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个大于060，反证假设正确的是( )A ．假设三内角都大于060B ．假设三内角都不大于060C ．假设三内角至多有一个大于060D ．假设三内角至多有两个大于060【答案】B【解析】【分析】反证法的第一步是假设命题的结论不成立，根据这个原则，选出正确的答案.【详解】假设命题的结论不成立，即假设三角形的内角中至少有一个大于060不成立，即假设三内角都不大于060，故本题选B.【点睛】本题考查了反证法的第一步的假设过程，理解至少有一个大于的否定是都不大于是解题的关键. 5．某体育彩票规定: 从01到36个号中抽出7个号为一注，每注2元．某人想先选定吉利号18，然后再从01到17个号中选出3个连续的号，从19到29个号中选出2 个连续的号，从30到36个号中选出1个号组成一注．若这个人要把这种要求的号全买，至少要花的钱数为( )A ．2000元B ．3200 元C ．1800元D ．2100元 【答案】D第1步从01到17中选3个连续号有15种选法；第2步从19到29中选2个连续号有10种选法；第3步从30到36中选1个号有7种选法.由分步计数原理可知：满足要求的注数共有151071050⨯⨯=注,故至少要花105022100⨯=,故选D.6．已知曲线42:1C x y +=，给出下列命题：①曲线C 关于x 轴对称；②曲线C 关于y 轴对称；③曲线C 关于原点对称；④曲线C 关于直线y x =对称；⑤曲线C 关于直线y x =-对称，其中正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】【分析】根据定义或取特殊值对曲线C 的对称性进行验证，可得出题中正确命题的个数.【详解】在曲线C 上任取一点(),x y ，该点关于x 轴的对称点的坐标为(),x y -，且()24421x y x y +-=+=，则曲线C 关于x 轴对称，命题①正确；点(),x y 关于y 轴的对称点的坐标为(),x y -，且()42421x y x y -+=+=，则曲线C 关于y 轴对称，命题②正确；点(),x y 关于原点的对称点的坐标为(),x y --，且()()42421x y x y -+-=+=，则曲线C 关于原点对称，命题③正确；在曲线C 上取点3,55⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，该点关于直线y x =的对称点坐标为3,55⎛ ⎝⎭，由于243291525⎛⎫+=≠ ⎪⎝⎭⎝⎭，则曲线C 不关于直线y x =对称，命题④错误；在曲线C 上取点35⎫⎪⎪⎝⎭，该点关于直线y x =-的对称点的坐标为3,5⎛- ⎝⎭，由于2432915525⎛⎛⎫-+-=≠ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，则曲线C 不关于直线y x =-对称，命题⑤错误. 综上所述，正确命题的个数为3.故选：C.【点睛】本题考查曲线对称性的判定，一般利用对称性的定义以及特殊值法进行判断，考查推理能力，属于中等题.7．已知双曲线1C ：2212x y -=与双曲线2C ：2212x y -=-，给出下列说法，其中错误的是（ ） A ．它们的焦距相等B ．它们的焦点在同一个圆上C ．它们的渐近线方程相同D ．它们的离心率相等【答案】D【解析】 由题知222:12x C y -=．则两双曲线的焦距相等且2c =223x y +=的圆上，其实为圆与坐标轴交点．渐近线方程都为2y x =±，由于实轴长度不同故离心率c e a =不同．故本题答案选D ， 8．已知23log 4a =，342b =，343c =，则( ) A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c a b <<【答案】A【解析】【分析】 由指数函数及对数函数的性质比较大小,即可得出结论.【详解】33044223log log 10,,12234a b c<==<<∴<<Q 故选:A.【点睛】本题考查三个数的大小的比较,是基础题,解题时要认真审题,注意指数函数和对数函数的性质的合理运用. 9．复数1()2i z a R ai+=∈-在复平面上对应的点不可能在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】C【解析】【分析】把复数化为(,)m ni m n R +∈形式，然后确定实部与虚部的取值范围．【详解】21(1)(2)2(2)2(2)(2)4i i ai a a i z ai ai ai a +++-++===--++，2a >时，20,20a a -<+>，对应点在第二象限；2a <-时，20,20a a ->+<，对应点在第四象限；22a -<<时，20,20a a ->+>，对应点在第一象限．2a =或2a =-时，对应点在坐标轴上；∴不可能在第三象限．故选：C ．【点睛】本题考查复数的除法运算，考查复数的几何意义．解题时把复数化为(,)m ni m n R +∈形式，就可以确定其对应点的坐标．10．命题:p x R ∃∈，31x ≤-，则p ⌝为（）A ．x R ∃∈，31x >-B ．x R ∀∈，31x ≤-C ．x R ∀∈，31x >-D ．x R ∀∈，31x ≥-【答案】C【解析】【分析】含有一个量词命题的否定方法：改变量词，否定结论.【详解】量词改为：x R ∀∈，结论改为：31x >-，则x R ∀∈，31x >-.故选：C.【点睛】本题考查含一个量词命题的否定，难度较易.含一个量词命题的否定方法：改量词，否结论.11．执行如图所示的程序框图，若输出的18S =-，则输入的S =（ ）A ．-4B ．-7C ．-22D ．-32【答案】A【解析】【分析】 模拟执行程序，依次写出每次循环得到的S ，i 的值，当i ＝6时不满足条件i ＜6，退出循环，输出S 的值为S+1﹣9+16﹣25＝﹣18，从而解得S 的值．【详解】解：由题意，模拟执行程序，可得i ＝2，满足条件i ＜6，满足条件i 是偶数，S ＝S+1，i ＝3满足条件i ＜6，不满足条件i 是偶数，S ＝S+1﹣9，i ＝1满足条件i ＜6，满足条件i 是偶数，S ＝S+1﹣9+16，i ＝5满足条件i ＜6，不满足条件i 是偶数，S ＝S+1﹣9+16﹣25，i ＝6不满足条件i ＜6，退出循环，输出S 的值为S+1﹣9+16﹣25＝﹣18，故解得：S ＝﹣1．故选A ．点睛：本题主要考查了循环结构的程序框图，模拟执行程序，正确得到循环结束时S 的表达式是解题的关键，属于基础题．12．定积分22aa a x dx --⎰等于( ) A ．214a πB ．212a πC ．2a πD ．22a π【答案】B【解析】【分析】由定积分表示半个圆的面积，再由圆的面积公式可求结果。

同步练习一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知复数1z i =-+的共轭复数为z ，则zz=（ ） A ．-1B ．1C ．i -D ．i3．已知,m n 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，则下列四个命题中正确的是 ①若//,m n n α⊂则//m α;②若,//m n αα⊥则m n ⊥; ③若//,//m n αα,则//m n ;④若,m m αβ⊥⊥则//αβ A ．①②④B ．②③C ．①④D ．②④4．有一个奇数列1,3,5,7,9,，现在进行如下分组：第一组含一个数{}1；第二组含二个数{}3,5；第三组含有三个数{}7,9,11；第四组数{}13,15,17,19;有试观察每组内各数之和与组的编号数n 有什么关系（ ） A ．等于2nB ．等于3nC ．等于4nD ．等于()1n n +5．若函数32()37f x x x x a =--+的图象与直线21y x =+相切，则a =() A ．284或B ．284-或C ．284-或D ．284--或6．在等比数列{}n a 中，“412a ,a 是方程2x 3x 10++=的两根”是“8a 1=±”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱BC 的中点，点M ，N 分别是线段1A E 与线段1DD 上的动点，当点M ，N 之间的距离最小时，异面直线AM 与1CD 所成角的余弦值为（ ）A 7B 42C 3D 18418．正数a b c 、、满足235log log log 0a b c ==->，则（ ） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<9．函数()sin(2)f x x ϕ=+的图象向右平移6π个单位后所得的图象关于原点对称，则ϕ可以是（ ） A ．6πB ．3π C ．4π D ．23π10．6(3)x y +的二项展开式中，24x y 项的系数是（ ） A ．90B ．45C ．135D ．27011．复数2i z =-的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．已知集合{1,P =2，3}，{2,Q =3，4}，则(P Q ⋂= ) A ．{}1B ．{}2,3C ．{}2,4D ．{1,2，3，4}二、填空题：本题共4小题13．()10x a +的展开式中，7x 的系数为15，则a=________.(用数字填写答案)14．在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布()70,100N ,已知成绩在80到90分之间的学生有120名，若该校计划奖励竞赛成绩在90分以上（含90分）的学生，估计获奖的学生有________.人（填一个整数）（参考数据：若()2~,X Nμσ有()0.6826P Xμσμσ-<+=，(22)0.9544,(33)0.9974)P X P X μσμσμσμσ-<+=-<+=15．已知复数z ＝(m ＋1)＋(m ﹣2)i 是纯虚数（i 为虚数单位），则实数m 的值为_______． 16．已知|z |5=，且z 的实部为3，则z 的虚部是________. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

湖南省名校联盟2019—2020学年高二12月联考数学（本试卷共4页，22题，全卷满分：150分，考试用时：120分钟）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上相应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并上交。

一．选择题：共12小题，每小题5分，满分60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{1},{21},x A x x B x 则A ．{0}AB x x B ．A B RC ．{1}A B x xD ．{1}A B x x2．已知函数221log ()(0)()3(0)x x a x f x x ，若f [ f (2) ]=1，则a =A ．-2B ．-7C ．1D ．53．已知曲线3()21f x ax x 在x =1处的切线的倾斜角为4，则a = A ．23B ．1C ．32D ．34．一只小虫在边长为2的正方形内部爬行，到各顶点的距离不小于1时为安全区域，则小虫在安全区域内爬行的概率是 A ．14 B ．4 C ．16D ．65．在等差数列{a n }中，n S 为前n 项和，且7925a a ，则9S 的值为A ．9B ．36C ．45D ．546．已知曲线12:sin(2),:cos 4C y xC y x ，若想要由2C 得到1C ，下列说法正确的是A ．把曲线1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移8个单位．B ．把曲线1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移4个单位．C ．把曲线2C 上各点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），再向左平移4个单位． D ．把曲线2C 上各点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），再向右平移8个单位．7．如图是抛物线拱形桥，当水面在l 时，拱顶高于水面2m ，水面宽为4m ，当水面宽为时，水位下降了( )m AB ．2C ．1D ．128．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b 的右顶点为A ,以A 为圆心，b 为半径作圆A ,圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点，若0AMAN ,则C 的离心率为A．2 BC ．2 D9．已知圆22:(2)2C x y ，点P 在直线20x y 上运动，过点P 向圆C 作切线，切点分别为A 、B,则四边形P ACB 面积的最小值为 AB．C ．D ．410．若两个正实数x,y 满足411xy,对这样的x,y ，不等式234x y m m 恒成立,则实数m 的取值范围是A ．(1,4)B ．(4,1)C ．(,4)(1,)D ．(,1)(4,)11．已知抛物线2:4C y x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为K ,P 是l 上一点，连接PF 交抛物线于点M ，若3PF MF ,则△MFK 的面积为ABCD ．12．已知函数1(0)()log (0)a x x f x x x ，函数g (x )是偶函数，且(2)()g x g x ，当[0,1]x 时，()21xg x ，若函数y =f (x )-g (x )恰好有6个零点，则a 的取值范围是A ．(5,+∞)B ．(5,6)C ．(4,6)D ．(5,7)二．填空题：本题共4小题，每题5分，满分20分。

2019-2020学年长沙市名校数学高二第二学期期末综合测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．已知231(1)nx x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中没有2x 项，*n N ∈，则n 的值可以是（ ） A ．5B ．6C ．7D ．82．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为45，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是（ ） A ．16625B ．96625C ．192625D ．2566253．魏晋时期数学家刘徽首创割圆术，他在《九章算术》中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．这是一种无限与有限的转化过程，比如在正数121211++L中的“…”代表无限次重复，设121211x =++L，则可以利用方程121x x =+求得x ，=（ ） A ．2B ．3C ．4D ．64．一几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．20B ．24C ．16 D．165．函数2cos y x x =+0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是（ ）A．2πB ．6πC．2D．16．已知向量(2,)a m =v ，(3,1)b =-v ，若()a a b ⊥-v v v，则m =（ ）A ．－1B ．1C ．－2或1D ．－2或－17．由曲线24x y =，24x y =-，4x =，4x =-围成图形绕y 轴旋转一周所得为旋转体的体积为1V ，满足2216x y +≤，22(2)4x y +-≥，22(2)4x y ++≥的点(,)x y 组成的图形绕y 轴旋一周所得旋转体的体积为2V ，则（ ） A ．1212V V =B ．1223V V =C ．12V V =D ．122V V =8．五名应届毕业生报考三所高校,每人报且仅报一所院校,则不同的报名方法的种数是( ) A ．35CB ．35AC ．35D ．539．五个人站成一排，其中甲乙相邻的站法有（ ） A ．18种B ．24种C ．48种D ．36种10．已知z C ∈，()2zi bi b R =-∈，z 的实部与虚部相等，则b =（） A ．-2B ．12C ．2D ．12-11．双曲线221169x y -=的焦点坐标是A ．7,0（）±B ．0,7（）± C ．5,0（）±D ．0,5（）±12．已知全集U ＝Z ，，B ＝{－1,0,1,2}，则图中的阴影部分所表示的集合等于 （ ）A ．{－1,2}B ．{－1,0}C ．{0,1}D ．{1,2}二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．已知随机变量()2~100,,(80100)0.4X N P X σ<=…，则P(X>120)=___________14．集合{}22221,2,3,,A n=L 中所有3个元素的子集的元素和为__________．15．已知函数()x f x e ax =-有两个零点1x ，2x ，则下列判断：①a e <；②122x x +<；③121x x ⋅>；④有极小值点0x ，且1202x x x +<.则正确判断的个数是__________.16．已知向量()1,1a =r ，()3,2b =-r ，若2ka b -r r 与a r垂直，则实数k =__________．三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．三棱柱111ABC A B C -中，M N 、分别是1A B 、11B C 上的点，且12BM A M =，112C N B N =．设AB a =u u u r，AC b =u u u r ，1AA c =u u u r .（Ⅰ）试用,,a b c 表示向量MN u u u u r；（Ⅱ）若90BAC ∠=o ，1160BAA CAA ∠=∠=o，11AB AC AA ===，求MN 的长.．18．已知函数()()21+axx f x e=，（其中a R ∈,e 为自然对数的底数）.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若12,x x 分别是()f x 的极大值点和极小值点，且12x x >，求证：()()1212f x f x x x +>+. 19．（6分）已知函数()2f x ax blnx =+在1x =处有极值12． （1）求a,b 的值； （2）求()f x 的单调区间．20．（6分）为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念和提高生态环境的保护意识，高二年级准备成立一个环境保护兴趣小组.该年级理科班有男生400人，女生200人；文科班有男生100人，女生300人.现按男、女用分层抽样从理科生中抽取6人，按男、女分层抽样从文科生中抽取4人，组成环境保护兴趣小组，再从这10人的兴趣小组中抽出4人参加学校的环保知识竞赛.（1）设事件A 为“选出的这4个人中要求有两个男生两个女生，而且这两个男生必须文、理科生都有”，求事件A 发生的概率；（2）用X 表示抽取的4人中文科女生的人数，求X 的分布列和数学期望. 21．（6分）己知直线l 的参数方程为132x t y t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2sin 16cos 0ρθθ-=，直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，点()13P ，．（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）求11PA PB+的值． 22．（8分）()12nx +的展开式中第六项与第七项的系数相等，求n 和展开式中二项式系数最大的项.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．C 【解析】 【分析】将条件转化为31n x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中不含常数项，不含x 项，不含2x 项，然后写出31nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项，即可分析出答案. 【详解】因为231(1)nx x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中没有2x 项， 所以31nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中不含常数项，不含x 项，不含2x 项31nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为：4131,0,1,2,,rr n r r n r r n n T C x C x r n x --+⎛⎫=== ⎪⎝⎭L 所以当n 取5,6,7,8时，方程40,41,42n r n r n r -=-=-=无解 检验可得7n = 故选：C 【点睛】本题考查的是二项式定理的知识，在解决二项式展开式的指定项有关的问题的时候，一般先写出展开式的通项. 2．B 【解析】 【详解】解：根据题意，播下4粒种子恰有2粒发芽即4次独立重复事件恰好发生2次， 由n 次独立重复事件恰好发生k 次的概率的公式可得，()2224441962()()55625P C ==故选B ． 3．B 【解析】 【分析】先阅读理解题意，再结合题意类比推理可得：设x =3x =，得解．【详解】解：依题意可设x =，解得3x =， 故选：B ． 【点睛】本题考查类比推理，属于基础题． 4．A 【解析】试题分析：该几何体为一个正方体截去三棱台111AEF A B D -，如图所示，截面图形为等腰梯形11B D FE ，111EF B D B E ===h =，111922B D FE S =⨯=梯形，所以该几何体的表面积为91122(4)242120222S =+⨯⨯+-+⨯+⨯=，故选A ．考点：1、几何体的三视图；2、几何体的表面积． 5．B 【解析】 【分析】函数()2cos 0,2f x y x x x π⎡⎤==+-∈⎢⎥⎣⎦，()'12sin f x x =-，令()'0f x =，解得x ．利用三角函数的单调性及其导数即可得出函数()f x 的单调性． 【详解】函数()2cos 0,2f x y x x x π⎡⎤==+-∈⎢⎥⎣⎦，()'12sin f x x =-，令()'0f x =，解得6x π=．∴函数()f x 在0,6π⎡⎫⎪⎢⎣⎭内单调递增，在,62ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦内单调递减． ∴6x π=时函数()f x 取得极大值即最大值．2cos 6666f ππππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭．故选B ． 【点睛】本题考查了三角函数的单调性，考查利用导数研究函数的单调性极值与最值、考查了推理能力与计算能力，属于中档题．求三角函数的最值问题，一般是通过两角和差的正余弦公式将函数表达式化为一次一角一函数，或者化为熟悉的二次函数形式的复合函数来解决. 6．C 【解析】 【分析】根据题意得到a b -r r 的坐标，由()0a a b ⋅-=r r r 可得m 的值.【详解】由题，()1,1a b m -=-+rr ，Q ()a a b ⊥-r r r ，()()210a a b m m ∴⋅-=-++=r r r2m ∴=-或1，故选C【点睛】本题考查利用坐标法求向量差及根据向量垂直的数量积关系求参数 7．C 【解析】 【分析】由题意可得旋转体夹在两相距为8的平行平面之间，用任意一个与y 轴垂直的平面截这两个旋转体，设截面与原点距离为||y ，求出所得截面的面积相等，利用祖暅原理知，两个几何体体积相等． 【详解】解：如图，两图形绕y 轴旋转所得的旋转体夹在两相距为8的平行平面之间，用任意一个与y 轴垂直的平面截这两个旋转体，设截面与原点距离为||y ，所得截面面积21(44||)S y π=-，22222(4)[4(2||)](44||)S y y y πππ=----=-12S S ∴=，由祖暅原理知，两个几何体体积相等，故选：C ．【点睛】本题主要考查祖暅原理的应用，求旋转体的体积的方法，体现了等价转化、数形结合的数学思想，属于基础题．8．D【解析】由题意，每个人可以报任何一所院校，则结合乘法原理可得：不同的报名方法的种数是53.本题选择D选项.9．C【解析】【分析】将甲乙看作一个大的元素与其他元素进行排列，再乘22A即可得出结论．【详解】五个人站成一排，其中甲乙相邻，将甲乙看作一个大的元素与其他3人进行排列44A，再考虑甲乙顺序为22A，故共4242=48A A种站法.故选：C.【点睛】本题考查排列组合的应用，求排列组合常用的方法有：元素优先法、插空法、捆绑法、隔板法、间接法等，解决排列组合问题对学生的抽象思维能力和逻辑思维能力要求较高，本题属于简单题.10．C【解析】【分析】利用待定系数法设复数z，再运用复数的相等求得b.【详解】设z a ai =+ （R a ∈），则()2,a ai i bi +=- 即2a ai bi -+=-22,2a a a b b -==-⎧⎧∴∴⎨⎨=-=⎩⎩.故选C.【点睛】本题考查用待定系数法，借助复数相等建立等量关系，是基础题. 11．C 【解析】分析：由题意求出,a b ，则c =，可得焦点坐标详解：由双曲线221169x y -=，可得4,3,5a b c ==∴==，故双曲线221169x y -=的焦点坐标是5,0±（） 选C.点睛：本题考查双曲线的焦点坐标的求法，属基础题. 12．A 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：图中的阴影部分所表示的集合为()U C A B ⋂,故选A ． 考点：集合的运算二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．0.1 【解析】 【分析】利用正态密度曲线的对称性得出()()()112080801002P X P X P X >=<=-<≤，可得出答案。

绝密★启用前湖南省三湘名校教育联盟2019∽2020学年高二下学期期末质量联考检测数学试题2020年7月一、选择题1．已知复数z 满足()()12z i i i --=，则z =（ ）A ．1i -+B ．12i -+C ．2i +D ．2i -2．已知集合{}220A x x x =--<，12log 1B x x ⎧⎫⎪⎪=<⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则() R A B =（ ）A ．()1,2-B ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭3．消费结构是指各类消费支出在总费用支出中所占的比重.它是目标市场宏观经济的一个重要特征,能够反映一国的文化、经济发展水平和社会的习俗.2020年2月29日人民网公布的我国2019年全国居民人均消费支出及其构成,如图所示,则下列说法正确的是（ ）A ．2019年全国居民人均消费支出一半用于改善居住条件B ．2019年全国人均食品烟酒消费占居民人均消费支出的比重最大C ．2019年全国人均衣着消费支出比教育文化娱乐消费支出的比重大D ．2019年全国居民用于医疗保健的消费支出超过人均消费支出的10%4．已知向量()1,2a =-,()2,1b =-,若b 与()a b R λλ+∈垂直,则λ=（ ）A ．54B ．54-C ．12-D ．125．已知双曲线22221x y a b-=的离心率为2,则双曲线的渐近线经过点（ ） A．(1, B ．()1,2 C ．()1,2- D．1,⎛ ⎝⎭ 6．已知α为锐角,sin 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则cos α=（ ） AB+ C．12- D127．已知ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若tan tan 1tan tan B C B C +=-⋅,且2bc =,则ABC △的面积为（ ）A． BCD8．新课程改革把劳动与技术课程作为7~9年级每个学生必须接受的课程,并写人新课程标准.某校7年级有5个班,根据学校实际,每个班每周安排一节劳动与技术课,并且只能安排在周一、周三、周五下午的三节课,同年级不同班不能安排在同一节,则七年级周五下午排了3个班的劳动与技术课程的概率是（ ）A ．325659A A AB ．325659C A A C ．325659C C CD ．325659C C A 二、多项选择题9．关于二项式622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式,下列结论错误的是（ ） A ．展开式所有的系数和为1B ．展开式二项式的系数和为32C ．展开式中不含3x 项D ．常数项为120 10．古希腊数学家阿波罗尼奧斯（约公元前262~公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果,著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离。

姓名 准考证号(在此卷上答题无效）绝密★启用前三湘名校教育联盟•2019年上学期高二期末考试理科数学命题:天壹名校联盟命题组 审题:湘乡一中沈成友本试卷共4页。

全卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结朿后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合 A={0 <)4)1(-+x x x ,B= {1 >xxe }，则=B A A.(0,1) B. (0,4)C.(1,4)D.(4, +∞)2.复数iiz +-=13的共轭复数z 在复平面内对应的点位于 A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知等差数列{n a }的前n 项和为n S ，56,473==S a ，则=7a A.10 B.12 C.16 D.204.下列函数既是偶函数，又在(0，+∞)上为减函数的是A. 1-=x yB. x y 1ln =C.xx y --=22 D. ⎪⎩⎪⎨⎧-+=0<,20>,222x x x x x x y5.已知βα,为两个不同平面，l 为直线且α⊥l ，则“βα⊥”是“α∥l ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知向量0),,1(),1,3(=⋅=-=t ，若0 <t ，则=t A.-4 B.-3 C.-2 D.-17.设1.14)21(,2log ,5lg ===c b a ，则 A. a>b>cB. a>c>bC. c>a>bD. c>b>a8.如图是求样本数据方差S 的程序框图，则图中空白框应填入的内容为A. 8)(2x x S S i -+=B.8)()1(2x x S i S i -+-=C. i x x S S i 2)(-+=D. ix x S i S i 2)()1(-+-=9.将函数)cos()(ϕ+=x x f 图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵 坐标不变），再把得到的图像向左平移6π个单位长度，所得函数图像关 于2π=x 对称，则=ϕtanA. 33-B. 3-C. 33± D. 3± 10.过双曲线C: )0>0,>(12222b a b y a x =-的一个焦点F 向其一条渐近线x y l 21:=作垂线，垂足为E,0为坐标原点，若△OEF的面积为1，则C 的焦距为 A. 5- B.3 C. 52 D. 511.已知函数c bx ax x x f +++=23)(的图像关于点（0,2)对称，曲线)(x f y =在点（1，)1(f )处的切线过点(2,7)，设曲线)(x f y =在0=x 处的切线的倾斜角为α，则)tan()3sin(απαπ-⋅+的值为 A.105 B. 105- C. 426- D. 462- 12.已知点M(0,4)，点P 在抛物线y x 82=上运动，点Q 在圆1)2(22=-+y x 上运动，则PQPM 2的最小值为A.2B.38 C.4 D. 316 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019-2020学年湖南省名校数学高二第二学期期末学业水平测试试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数,,a b c 中恰有一个偶数”正确的反设为（ ） A ．,,a b c 中至少有两个偶数 B ．,,a b c 中至少有两个偶数或都是奇数 C ．,,a b c 都是奇数 D ．,,a b c 都是偶数【答案】B 【解析】 【分析】用反证法证明某命题时,应先假设命题的反面成立，求出要证的命题的否定，即为所求. 【详解】解：用反证法证明某命题时,应先假设命题的反面成立，及要证的命题的否定成立，而命题：“自然数,,a b c 中恰有一个偶数”的否定为“,,a b c 中至少有两个偶数或都是奇数”， 故选：B. 【点睛】本题主要考查用反证法证明数学命题，求一个命题的否定，属于中档题.2．某地区空气质量检测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.9，连续两天为优良的概率是0.75，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量也为优良的概率为（ ） A ．56B ．81100C ．23D ．13【答案】A 【解析】 【分析】设“某天的空气质量为优良”是事件A ，“随后一天的空气质量为优良”是事件B ，根据条件概率的计算公式，即可得出结果. 【详解】设“某天的空气质量为优良”是事件A ，“随后一天的空气质量为优良”是事件B ， 由题意可得()0.9=P A ，()0.75=P AB ，所以某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量也为优良的概率为()0.755()()0.96P AB P B A P A ===.故选A 【点睛】本题主要考查条件概率，熟记条件概率的计算公式即可，属于常考题型.3．设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,∞+单调递减，则（ ）A ．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．23332122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】由已知函数为偶函数，把233231log ,2,24f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，转化为同一个单调区间上，再比较大小．【详解】()f x 是R 的偶函数，()331log log 44f f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭．223303322333log 4log 31,1222,log 422---->==>>∴>>，又()f x 在(0，+∞)单调递减，∴()23323log 422f f f --⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选C ．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值．4．对于复数123、、z z z ，给出下列三个运算式子：（1）1212z z z z +≤+，（2）1212z z z z ⋅=⋅，（3）123123()()z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅.其中正确的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D 【解析】分析：根据复数的几何意义可得（1）正确；根据复数模的公式计算可得到（2）正确；根据复数乘法运算法则可判断（3）正确，从而可得结果.详解：根据复数的几何意义，由三角形两边之和大于第三边可得1212z z z z +≤+，（1）正确；设12z a biz c di =+=+，则()()12z z ac bd ad bc i =-++，()()2212z z ac bd ad bc =-++()()()()2222ac bd ad bc =+++()()2222ab c d =++12z z =⋅，（2）正确；根据复数乘法的运算法则可知()()123123z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅，（3）正确，即正确命题的个数是3，故选D.点睛：本题主要考查复数模的公式、复数的几何意义、复数乘法的运算法则，意在考查基础知识掌握的熟练程度，以及综合运用所学知识解决问题的能力，属于难题. 5．设全集为R ，集合{}02A x x =<<，{}1B x x =≥，则()A B =RA ．{}01x x <≤ B ．{}01x x <<C ．{}12x x ≤<D ．{}02x x <<【答案】B 【解析】分析：由题意首先求得R C B ，然后进行交集运算即可求得最终结果. 详解：由题意可得：{}|1R C B x x =<， 结合交集的定义可得：(){}01R A C B x ⋂=<<. 本题选择B 选项.点睛：本题主要考查交集的运算法则，补集的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 6．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）A ．13B ．2C ．-3D ．12-【答案】A 【解析】 【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到i 、S 的值，可得答案 【详解】第1次执行循环体后：3S =-，2i =； 第2次执行循环体后：12S =-，3i =； 第3次执行循环体后：13S =，4i =； 第4次执行循环体后：2S =，5i =； 经过4次循环后，可以得到周期为4，因为20205054=，所以输出S 的值为13，故选A ． 【点睛】本题考查程序框图的问题，本题解题的关键是找出循环的周期，属于基础题． 7．如下图，在同一直角坐标系中表示直线y ＝ax 与y ＝x ＋a ，正确的是( )A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】由题意逐一考查所给的函数图像是否符合题意即可. 【详解】逐一考查所给的函数图像：对于选项A ，y ax =过坐标原点，则0a <，直线y x a =+在y 轴的截距应该小于零，题中图像符合题意； 对于选项C ，y ax =过坐标原点，则0a >，直线y x a =+在y 轴的截距应该大于零，题中图像不合题意；y ax =过坐标原点，直线y x a =+的倾斜角为锐角，题中BD 选项中图像不合题意；本题选择A 选项. 【点睛】本题主要考查分类讨论的数学思想，一次函数的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 8．已知点()0,4M ，点P 在抛物线28x y =上运动，点Q 在圆()2221x y +-=上运动，则2PM PQ的最小值为（ ） A ．2 B ．83C ．4D ．163【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件先求得抛物线的焦点和准线方程，过P 点作PB l ⊥，垂足为B 点，求得圆的圆心和半径，运用圆外一点到圆上的点的距离的最值和抛物线的定义，结合基本不等式，即可得到所求最小值. 【详解】 如图：抛物线28x y =的准线方程为:2l y =-，焦点()0,2F ，过P 点作PB l ⊥，垂足为B 点， 由抛物线的定义可得PF PB =,圆()2221x y +-=的圆心为()0,2F ，半径1r =，可得PQ 的最大值为1PF r PF +=+，由221PM PM PQ PF ≥+， 可令()11PF t t +=>，则12p PF t PB y =-==+，即()23,83p p y t x t =-=-，可得：()22224625252562641p p x y PM t t t t PF tt t t+--+===+-≥⨯=+，当且仅当5t =时等号成立，即2241PM PM PQ PF ≥≥+，所以2PM PQ的最小值为4故选：C 【点睛】本题考查了抛物线定义以及基本不等式求最小值，考查了计算能力，属于较难题. 9．以圆M ：22460x y x y ++-=的圆心为圆心，3为半径的圆的方程为（ ） A ．()()22239x y ++-= B ．()()22239x y -++= C ．()()22233x y ++-= D ．()()22233x y -++=【答案】A 【解析】 【分析】先求得圆M 的圆心坐标，再根据半径为3即可得圆的标准方程. 【详解】由题意可得圆M 的圆心坐标为()23-，， 以()23-，为圆心，以3为半径的圆的方程为()()22239x y ++-=． 故选:A. 【点睛】本题考查了圆的一般方程与标准方程转化，圆的方程求法，属于基础题.10．若)1(x +8822107)21(x a x a x a a x ++++=- ，则721a a a +++ 的值是（）A ．-2B ．-3C ．125D ．-131 【答案】C 【解析】试题分析：由题意可知()782128a =-=-，令0x =得01a =，令1x =得012782a a a a a +++++=-所以127125a a a +++=考点：二项式系数11．某中学有高中生3 500人，初中生1 500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70人，则n 为( ) A ．100 B ．150 C ．200 D ．250【答案】A 【解析】试题分析：根据已知可得：70100350015003500n n =⇒=+，故选择A考点：分层抽样12．若函数()()2e xf x a xa =-∈R 有三个零点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．240,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()0,eD ．()0,2e【答案】A 【解析】 【分析】令()0f x =分离常数2e x x a =，构造函数()2ex x g x =，利用导数研究()g x 的单调性和极值，结合y a =与()g x 有三个交点，求得a 的取值范围.【详解】方程()0f x =可化为2e x x a =，令()2ex x g x =，有()()2e xx x g x -'=， 令()0g x '>可知函数()g x 的增区间为()0,2，减区间为(),0-∞、()2,+∞， 则()()00f x f ==极小值，()()242e f x f ==大值极， 当0x >时，()0g x >，则若函数()f x 有3个零点，实数a 的取值范围为240,e ⎛⎫⎪⎝⎭．故选A. 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的零点，考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题13．已知33210n n A A =，则345612n n n n C C C C +++++=____________．【答案】462 【解析】 【分析】根据排列数计算公式可求得n ，结合组合数的性质即可化简求值. 【详解】根据排列数计算公式可得()()3222122n A n n n =--，()()312n A n n n =--，所以()()()()221221012n n n n n n --=--， 化简可解得8n =，则由组合数性质可得345688910C C C C +++4569910C C C =++ 561010C C =+()61111!4626!116!C ===-，故答案为：462. 【点睛】本题考查了排列数公式的简单应用，组合数性质的综合应用，属于基础题.14．已知函数()321,2{3,2x x f x x x x -≥=-+<，若函数y=f （x ）﹣m 有2个零点，则实数m 的取值范围是________．【答案】m=2或m≥3 【解析】分析：画出函数()f x 的图象，结合图象，求出m 的范围即可. 详解：画出函数()f x 的图象，如图：若函数y=f （x ）﹣m 有2个零点， 结合图象：2m =或3m ≥. 故答案为：2m =或3m ≥.点睛：对于“a ＝f(x)有解”型问题，可以通过求函数y ＝f(x)的值域来解决，解的个数也可化为函数y ＝f(x)的图象和直线y ＝a 交点的个数．15．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4：3：3，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为80的样本，则应从高一抽取的学生人数为______名． 【答案】32 【解析】试题分析：设高一年级抽取名学生，所以，高一年级抽取24名学生考点：分层抽样16．已知双曲线221x y m -=和椭圆221124x y +=焦点相同，则该双曲线的方程为__________．【答案】2217x y -=【解析】分析：根据题意，求出椭圆的焦点坐标，由双曲线的几何性质可得若双曲线221x y m -=和椭圆221124x y +=焦点相同，则有18m +=，解得m 的值，将m 的值代入双曲线的方程，即可得答案.详解：根据题意，椭圆221124x y +=的焦点在x 轴上，且焦点坐标为()22,0±，若双曲线221x y m -=和椭圆221124x y +=焦点相同，则有18m +=，解得7m =，则双曲线的方程为2217x y -=.故答案为2217x y -=.点睛：本题考查双曲线的几何性质，关键是掌握双曲线的标准方程的形式. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

湖南省三湘名校教育联盟2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题（含答案解析）高考真题高考模拟高中联考期中试卷期末考试月考试卷学业水平同步练习湖南省三湘名校教育联盟2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题（含答案解析）1 已知复数z满足，则（）A． B． C． D．【答案解析】 B方法一：因为，所以，所以.故选B.方法二：设，所以，因为，所以.故选B.2 已知集合，，则（）A．(－1,2) B． C． D．【答案解析】 C因为，，所以，故选C.3 消费结构是指各类消费支出在总费用支出中所占的比重.它是目标市场宏观经济的一个重要特征，能够反映一国的文化、经济发展水平和社会的习俗.2020年2月29日人民网公布的我国2019年全国居民人均消费支出及其构成，如图所示，则下列说法正确的是（）A．2019年全国居民人均消费支出一半用于改善居住条件B．2019年全国人均食品烟酒消费占居民人均消费支出的比重最大C．2019年全国人均衣着消费支出比教育文化娱乐消费支出的比重大D．2019年全国居民用于医疗保健的消费支出超过人均消费支出的10%【答案解析】 B根据全国人均消费支出结构饼图，可知2019年内人均食品、烟酒消费占居民人均消费支出的28.2%，比重最大，居住条件上的消费支出占人均消费支出的23.4%，远远小于人均消费支出的一半，用于文化娱乐的比重大于衣着消费，用于医疗保健的消费支出占人均消费支出的8.8%，不超过10%，故选B.4 已知向量，，若与垂直，则（）A． B． C． D．【答案解析】 A依题意，，又与垂直，所以，即，所以.故选A.5 已知双曲线的离心率为2，则双曲线的渐近线经过点（）A． B．(1,2) C．(－1,2) D．【答案解析】 A依题意，双曲线的离心率为2，所以，即渐近线方程为，结合选项可知，渐近线经过点，故选A.6 已知为锐角，，则（）A． B． C． D．【答案解析】 C方法一：因为为锐角，，所以，所以，故选C.方法二：提示也可以把展开，结合同角三角函数基本关系式来求解.7 已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，且，则△ABC的面积为（）A． B． C． D．【答案解析】 D因为，即，在中，所以，所以，所以.故选D.8 新课程改革把劳动与技术课程作为7~9年级每个学生必须接受的课程，并写人新课程标准.某校7年级有5个班，根据学校实际，每个班每周安排一节劳动与技术课，并且只能安排在周一、周三、周五下午的三节课，同年级不同班不能安排在同一节，则七年级周五下午排了3个班的劳动与技术课程的概率是（）A． B． C． D．【答案解析】 A由题意可知，7年级在周五排3个班的劳动与技术课程，剩下的两个班可以任意排在周一和同三下午的6节课中的两节课，所以7年级在周五也排3个班的劳动与技术课程的概率.故选A.9 （多选题）关于二项式的展开式，下列结论错误的是（）A．展开式所有的系数和为1 B．展开式二项式的系数和为32C．展开式中不含项 D．常数项为120【答案解析】 BCD因为二项式，令可得所有项系数和为1，展开式中二项式的系数和为，展开式的通项为，当时，得常数项为240；当时，可得项，所以错误的应选BCD.10 （多选题）古希腊数学家阿波罗尼奧斯（约公元前262~公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知，，圆C：上有且仅有一个点P满足，则的取值可以为（）A．1 B．2 C．3 D．5【答案解析】 AD设，由，得，整理得，又点是圆：上有且仅有的一点，所以两圆相切.两圆相切分为外切和内切两种情况，进而可求得或.故选AD.11 （多选题）已知函数的部分图象与y轴交于点，与x轴的一个交点为(1,0)，如图所示，则下列说法正确的是（）A． B．f(x)的最小正周期为6C．的图像关于直线对称 D．f(x)在单调递减【答案解析】 ABC因为函数经过，所以，所以，又因为时，函数值为0，所以，又，所以，所以，所以，可得的最小正周期为；当，即在，上单调递减，直线是的一条对称轴.故选ABC.12 （多选题）已知偶函数f(x)对任意都有，当时，，实数是关于x的方程的解，且互不相等.则下列说法正确的是（）A．f(x)的最小正周期是12B．图象的对称轴方程为，C．当时，关于x的方程在上有唯一解D．当时，存在，，，，使得的最小值为0【答案解析】 BCD因为函数是偶函数，且，当时，函数无轴对称性，所以函数的最小正周期为24，故A错误；因为是函数的对称轴，且，所以函数图象关于直线对称，故B正确；当时，结合的单调性和图像可知，当时，关于的方程在上只有唯一解，故C正确；当时，总能找到两两关于对称的四个零点，使得，若4个零点不关于对称时，.其中正确的是BCD.13 曲线在点(0,0)处的切线方程为______.【答案解析】因为，所以，所以曲线在点处的切线方程为.14 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若，，则数列{an}的公差______.【答案解析】方法一：由等差数列性质前项和为公式可知，，所以，所以，又，所以，所以.方法二：，所以.方法三：依题意，，解得.15 某手机运营商为了拓展业务，现对该手机使用潜在客户进行调查，随机抽取国内国外潜在用户代表各100名，调查用户对是否使用该手机的态度，得到如图所示的等高条形图.根据等高图，______（填“有”或“没有”）99.5%以上的把握认为持乐观态度和国内外差异有关.（参考公式与数据：，其中）0.050.010.0050.0013.8416.6357.87910.828【答案解析】有依题意，可知国内代表乐观人数60人，不乐观人数40人，国外乐观人数40人，不乐观人数60人，总计乐观人数100人，不乐观人数100人，所以，而，所以有99.5%以上的把握认为持乐观态度和国内外差异有关.16 如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，P是AA1的中点，Q是侧面正方形B B1C1C 内的动点，当平面时，点Q的轨迹长度为______，若点Q轨迹的两端点和点C1，D1在球O的球面上，则球O的体积为______.【答案解析】；依题意，平面时，点是平面内的动点，所以可得点与点的轨迹构成的平面与平面平行，如图所示，因为是的中点，取中点，所以点轨迹即为线段，因为正方体棱长为2，所以.球的直径就是，长为3，故球体积为.17 在①，②，③，这三个条件中，任选一个补充在下面的问题中，并解答问题.已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，______，，角B的平分线交AC于点D，求BD的长.【答案解析】因为，所以选择三个条件的任意一个条件，都可以作相应的等价变换，解答如下：在中，因为，由余弦定理可得，，因为，所以；又是角的平分线，所以，所以，在中，由正弦定理可得，，即，所以.18 已知数列是首项为2，公比为2的等比数列.（1）求数列{an}的通项公式；（2）设Sn是数列{an}的前n项和，，求数列{bn}的前n项和Tn.【答案解析】（1）因为数列是首项为2，公比的等比数列，由等比数列的通项公式可得，所以（2）由（1）可知，所以，所以，所以①，由①×2可得，②由①－②可得，，所以19 在如图所示的多面体中，平面平面，ABCD为正方形，E，F分别为，的中点，且，，.（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案解析】（1）证明：取中点，连接，，点，分别为，的中点，又，，所以，所以是等腰三角形，所以为平行四边形，所以，因为平面平面，为矩形，所以平面，所以，所以，又，所以平面，所以平面.（2）空间向量法：如图所示，在平面内，作，分别以，，为，，轴，建立空间坐标系.所以，，，，所以平面的法向量为，设平面的法向量为，，，所以，即，所以，所以.所以二面角的余弦值为.立体几何法：如图，在平面内，作，垂足为，连接，即为二面角的平面角，再计算求余弦值即可思路三，利用射影面积法求二面角：设二面角为，由平面得.20 已知椭圆C：的离心率为，直线l：与x轴的交点为P，与椭圆C交于M、N两点.（1）求椭圆C的标准方程；（2）证明：是定值.【答案解析】（1）依题意可知，，又，所以，所以椭圆的标准方程（2）设点、，联立，消去得，恒成立，由韦达定理得，，因此，.综上所述，.21 国际电子竞技和围棋比赛通常采用双败淘汰制.双败淘汰制即一支队伍失败两场被淘汰出局，直到最后剩下一支队伍夺得冠军（决赛只赛一场）.以八支战队的比赛为例（如图所示），第一轮比赛，由8支战队抽签后交战，获胜战队继续留在获胜组，失败战队则掉人失败组，进人下一轮比赛.失败战队在失败组一旦再失败即被淘汰，最后由胜者组和败者组的冠军决出总冠军.某项国际电子竞技比赛有甲等8名选手参加，比赛采用了双败淘汰制，若这8名选手相互之间每场比赛获胜的概率均为0.5.（1）求甲获得冠军的概率；（2）记甲在这次比赛中参加比赛的场次为X，求随机变量X的分布列和期望.【答案解析】（1）由“双败淘汰制”可知，甲获得冠军可能是由获胜者进入决赛并最终夺冠，也可能是由失败者组进入决赛最终夺冠的，所以（2）依题意，的可能取值为2，3，4，5，6.，，，当时，有如下情况：①前两场胜利，第三场失败；②第一场失败或第二场失败，则第5场必失败.，当时，前5场只可能失败一次，且只可能是在第一场失败或第二场失败，，所以的分布列为23456所以的数学期望为.22 已知函数.（1）证明：当时，f(x)在上单调递增；（2）当时，不等式对任意的恒成立，求实数k的取值范围.【答案解析】解：（1）证明：因为，所以，，当时，恒成立，在上单调递增. （2）由题意，对，恒成立，设，又设，则，因此在单调递增，所以，①当时，，即，在单调递增，故有，即适合题意.②当时，，，若，则取，时，，若，则在上存在唯一零点，记为，当时，，总之，存在使时，，即，所以单调递减，，故时存在使不合适题意，综上，实数的取值范围是.第（2）题也可解答如下：.设，则，∴在区间上递增，即，∴.而，∴实数的取值范围是.。

湖南省三湘名校教育联盟2019-2020学年高二数学下学期期末考试试题一、选择题1．已知复数z 满足()()12z i i i --=，则z =（ ） A ．1i -+B ．12i -+C ．2i +D ．2i -2．已知集合{}220A x x x =--<，12log 1B x x ⎧⎫⎪⎪=<⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则() RAB =（ ）A ．()1,2-B ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭3．消费结构是指各类消费支出在总费用支出中所占的比重.它是目标市场宏观经济的一个重要特征，能够反映一国的文化、经济发展水平和社会的习俗.2020年2月29日人民网公布的我国2019年全国居民人均消费支出及其构成，如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．2019年全国居民人均消费支出一半用于改善居住条件B ．2019年全国人均食品烟酒消费占居民人均消费支出的比重最大C ．2019年全国人均衣着消费支出比教育文化娱乐消费支出的比重大D ．2019年全国居民用于医疗保健的消费支出超过人均消费支出的10%4．已知向量()1,2a =-，()2,1b =-，若b 与()a b R λλ+∈垂直，则λ=（ ） A ．54B ．54-C ．12-D ．125．已知双曲线22221x y a b-=的离心率为2，则双曲线的渐近线经过点（ ）A ．(1,3-B ．()1,2C ．()1,2-D ．31,2⎛-⎝⎭6．已知α为锐角，3sin 33πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，则cos α=（ ）A．6362-B．6362+C．1626-D．6162-7．已知ABC△的内角,,A B C所对的边分别为,,a b c，若tan tan1tan tanB C B C+=-⋅，且2bc=，则ABC△的面积为（）A．22B．2C．24D．228．新课程改革把劳动与技术课程作为7~9年级每个学生必须接受的课程，并写人新课程标准.某校7年级有5个班，根据学校实际，每个班每周安排一节劳动与技术课，并且只能安排在周一、周三、周五下午的三节课，同年级不同班不能安排在同一节，则七年级周五下午排了3个班的劳动与技术课程的概率是（）A．325659A AAB．325659C AAC．325659C CCD．325659C CA二、多项选择题9．关于二项式622xx⎛⎫-⎪⎝⎭的展开式，下列结论错误的是（）A．展开式所有的系数和为1 B．展开式二项式的系数和为32C．展开式中不含3x项D．常数项为12010．古希腊数学家阿波罗尼奧斯（约公元前262~公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（0k>且1k≠）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知()0,0O，()3,0A，圆C：()()22220x y r r-+=>上有且仅有一个点P满足2PA PO=，则r的取值可以为（）A．1 B．2 C．3 D．511．已知函数()()()cos0,0f x xωϕωϕπ=+><<的部分图象与y轴交于点30,2⎛⎫⎪⎪⎝⎭，与x轴的一个交点为()1,0，如图所示，则下列说法正确的是（）A ．6πϕ=B ．()f x 的最小正周期为6C ．()y f x =的图像关于直线52x =对称 D ．()f x 在50,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减 12．已知偶函数()f x 对任意x R ∈都有()()12120f x f x --+=，当[]0,12x ∈时，()()22,02lg 2,212x x x f x x x ⎧-≤≤⎪=⎨-<≤⎪⎩，实数i x 是关于x 的方程()()1,2,3,...f x m i ==的解，且i x 互不相等.则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 的最小正周期是12B ．()y f x =图象的对称轴方程为12x k =，k Z ∈C ．当1m >时，关于x 的方程()f x m =在[]0,12x ∈上有唯一解D ．当0m =时，存在1x ，2x ，3x ，4x ，使得1234x x x x +++的最小值为0 三、填空题 13．曲线sin xxy e =在点()0,0处的切线方程为______. 14．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若636S =，2014126S S -=，则数列{}n a 的公差d =______. 15．某手机运营商为了拓展业务，现对该手机使用潜在客户进行调查，随机抽取国内国外潜在用户代表各100名，调查用户对是否使用该手机的态度，得到如图所示的等高条形图.根据等高图，______（填“有”或“没有”）99.5%以上的把握认为持乐观态度和国内外差异有关.（参考公式与数据：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）()20P K k ≥0.05 0.01 0.005 0.001 0k3.8416.6357.87910.82816．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P 是1AA 的中点，Q 是侧面正方形11BB C C 内的动点，当1D Q 平面PBD 时，点Q 的轨迹长度为______，若点Q 轨迹的两端点和点1C ，1D 在球O 的球面上，则球O 的体积为______.四、解答题17．在①3sin 3sin sin B C A ==，②23a ab b c==+，③33b c a ==，这三个条件中，任选一个补充在下面的问题中，并解答问题.已知ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，______，43a =，角B 的平分线交AC 于点D ，求BD 的长.18．已知数列{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，()2n n b n S n =++，求数列{}n b 的前n 项和n T .19．在如图所示的多面体中，平面ABCD ⊥平面PDC ，ABCD 为正方形，E ，F 分别为AD ，BP 的中点，且2AD =，22AP =，23PC =. （1）证明：EF ⊥平面PBC ； （2）求二面角B PD C --的余弦值.20．已知椭圆C ：()22211x y a a+=>的离心率为22，直线l ：)6x ty t R =+∈与x 轴的交点为P ，与椭圆C 交于M 、N 两点. （1）求椭圆C 的标准方程； （2）证明：2211PMPN+是定值.21．国际电子竞技和围棋比赛通常采用双败淘汰制.双败淘汰制即一支队伍失败两场被淘汰出局，直到最后剩下一支队伍夺得冠军（决赛只赛一场）.以八支战队的比赛为例（如图所示），第一轮比赛，由8支战队抽签后交战，获胜战队继续留在获胜组，失败战队则掉人失败组，进人下一轮比赛.失败战队在失败组一旦再失败即被淘汰，最后由胜者组和败者组的冠军决出总冠军.某项国际电子竞技比赛有甲等8名选手参加，比赛采用了双败淘汰制，若这8名选手相互之间每场比赛获胜的概率均为0.5.（1）求甲获得冠军的概率；（2）记甲在这次比赛中参加比赛的场次为X ，求随机变量X 的分布列和期望.22．已知函数()()ln sin f x x a x a R =-∈. （1）证明：当0a ≤时，()f x 在0,2π⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增； （2）当1a =时，不等式()ln x kx x f x e -≥对任意的0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，求实数k 的取值范围.三湘名校教育联盟·2020年上学期高二期末考试数学参考答案一、选择题1．B 【解析】方法一：因为()()12z i i i --=，所以()()()2121111i i i z i i i i i +-===-+--+，所以12z i =-+.故选B.方法二：设z a bi =+，所以()1z i a b i -=+-，因为()()12z i i i --=，所以12z i =-+.故选B. 2．C 【解析】因为{}{}22012A x x x x x =--<=-<<，121log 12B x x x x ⎧⎫⎧⎫⎪⎪=<=>⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭，所以() 112R AB x x ⎧⎫=-<≤⎨⎬⎩⎭，故选C. 3．B 【解析】根据全国人均消费支出结构饼图，可知2019年内人均食品、烟酒消费占居民人均消费支出的28.2%，比重最大，居住条件上的消费支出占人均消费支出的23.4%，远远小于人均消费支出的一半，用于文化娱乐的比重大于衣着消费，用于医疗保健的消费支出占人均消费支出的8.8%，不超过10%，故选B. 4．A 【解析】依题意，()2,21a b λλλ+=--，又b 与()a b R λλ+∈垂直， 所以()()()2,212,10a b b λλλ+⋅=--⋅-=，即540λ-=，所以54λ=.故选A. 5．A 【解析】依题意，双曲线的离心率为2，所以ba=y =，结合选项可知，渐近线经过点(1,，故选A.6．C 【解析】方法一：因为α为锐角，sin 33πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，所以cos 33πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以1cos cos cos cos sin sin 3333332ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选C.方法二：提示也可以把sin 3πα⎛⎫+=⎪⎝⎭展开，结合同角三角函数基本关系式来求解. 7．D 【解析】因为tan tan 1tan tan B C B C +=-⋅，即()tan 1B C +=，在ABC △中，所以tan 1A =-，所以sin 2A =，所以2ABC S =△.故选D. 8．A 【解析】由题意可知，7年级在周五排3个班的劳动与技术课程，剩下的两个班可以任意排在周一和同三下午的6节课中的两节课，所以7年级在周五也排3个班的劳动与技术课程的概率325659A A P A =.故选A. 二、多项选择题9．BCD 【解析】因为二项式622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，令1x =可得所有项系数和为1，展开式中二项式的系数和为6264=，展开式的通项为()()2612316622rr r rrr r T C xC x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，当4r =时，得常数项为240；当3r =时，可得3x 项，所以错误的应选BCD.10．AD 【解析】设(),P x y ，由2PA PO =，得()2222344x y x y -+=+，整理得()2214x y ++=，又点P 是圆C ：()()22220x y rr -+=>上有且仅有的一点，所以两圆相切.两圆相切分为外切和内切两种情况，进而可求得1r =或5r =.故选AD. 11．ABC 【解析】因为函数经过30,2⎛⎫⎪⎪⎝⎭，所以3cos ϕ=，所以6πϕ=，又因为1x =时，函数值为0，所以()262k k Z ππωπ+=+∈，又124T <<，所以42ππω<<，所以3πω=，所以()cos 36f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，可得()f x 的最小正周期为6T =；当()2236k x k k Z πππππ≤+≤+∈，即在156,622k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈上单调递减，直线52x =是()f x 的一条对称轴.故选ABC. 12．BCD 【解析】因为函数是偶函数，且()()1212f x f x -=+，当[]0,12x ∈时，函数()f x 无轴对称性，所以函数的最小正周期为24，故A 错误；因为0x =是函数的对称轴，且()()1212f x f x -=+，所以函数图象关于直线()12x x k Z =∈对称，故B 正确；当[]0,12x ∈时，结合()()22,02lg 2,212x x x f x x x ⎧-≤≤⎪=⎨-<≤⎪⎩的单调性和图像可知，当1m >时，关于x 的方程()f x m =在[]0,12x ∈上只有唯一解，故C 正确；当0m =时，总能找到两两关于y 对称的四个零点，使得12340x x x x +++=，若4个零点不关于y 对称时，12340x x x x +++>.其中正确的是BCD.三、填空题13．0x y -=【解析】因为()cos sin x x xe x xef x e-'=，所以()01f '=，所以曲线()sin xf x e x =在点()0,0处的切线方程为0x y -=. 14．1514【解析】方法一：由等差数列性质前n 项和为公式可知， ()620141206162S S S a a +-=+=，所以12027a a +=，所以()12020202702a a S +==，又636S =，所以11251221927a d a d +=⎧⎨+=⎩，所以1514d =.方法二：2014614690S S S d --=⨯=，所以1514d =. 方法三：依题意，()()111165362614191262a a d a d a d ++⎧=⎪⎪⎨+++⎪=⎪⎩，解得1514d =.15．有【解析】依题意，可知国内代表乐观人数60人，不乐观人数40人，国外乐观人数40人，不乐观人数60人，总计乐观人数100人，不乐观人数100人，所以()22200606040408100100100100K ⨯-⨯==⨯⨯⨯，而87.879>，所以有99.5%以上的把握认为持乐观态度和国内外差异有关. 16．5；92π【解析】依题意，1D Q 平面PBD 时，点Q 是平面11BB C C 内的动点，所以可得1D 点与点Q 的轨迹构成的平面与平面PBD 平行，如图所示，因为P 是1AA 的中点，取1CC 中点0Q ，所以Q 点轨迹即为线段10B Q ，因为正方体棱长为2，所以105B Q =.球O 的直径就是10A Q ，长为3，故球O 体积为92π.四、解答题172333sin 33a a B C Abc a b b c ==⇔==⇔==+，所以选择三个条件的任意一个条件，都可以作相应的等价变换，解答如下：在ABC △中，因为3b c a ==，由余弦定理可得，2221cos 22b c a A bc +-==-， 因为0A π<<，所以23A π=； 又BD 是角B 的平分线，所以12ABD π∠=，所以4ADB π∠=，在BDC △中，由正弦定理可得，sin sin CB BD BDC C =∠，即3sin sin 46BC BDππ=，所以BD =18．解：（1）因为数列{}1n a +是首项为2，公比2q =的等比数列，由等比数列的通项公式可得12nn a +=，所以21nn a =-（2）由（1）可知，()12122212n n n S n n +-=-=---所以122n n S n +++=，所以12n n b n +=⋅， 所以2311222...2n n T n +=⨯+⨯++⋅①，由①×2可得，34221222...2n n T n +=⨯+⨯++⋅② 由①－②可得，231222...22n n n T n ++-=+++-⋅，所以()2124n n T n +=-+19．解：（1）证明：取PC 中点G ，连接DG ，FG ，点E ，F 分别为AD ，BP 的中点，又2AD =，AP =2PD =，所以PCD △是等腰三角形，所以EFGD 为平行四边形，所以EF GD ，因为平面ABCD ⊥平面PDC ，ABCD 为矩形，所以BC ⊥平面PDC ，所以BC DG ⊥， 所以PC DG ⊥，又BCPC C =，所以DG ⊥平面PBC ，所以EF ⊥平面PBC .（2）空间向量法：如图所示，在平面PDC 内，作DC Dy ⊥，分别以DC ，Dy ，DA 为x ，y ，z 轴，建立空间坐标系.所以()0,0,0D ，()2,0,0C ，()2,0,2B，()P -， 所以平面PDC 的法向量为()0,0,1m =，设平面PDB 的法向量为(),,n x y z =，()2,0,2DB =，()1,3,0DP =-，所以00DP nDB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22030x z x y -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，所以()3,1,3n =，所以321cos ,77m n m n m n ⋅===⋅. 所以二面角B PD C --的余弦值为217. 立体几何法：如图，在平面PDC 内，作CM PD ⊥，垂足为M ，连接BM ，BMC ∠即为二面角B PD C --的平面角，再计算求余弦值即可 思路三，利用射影面积法求二面角：设二面角B PD C --为θ，由BC ⊥平面PDC 得cos PBD PCD S S θ⋅=△△.20．解：（1）依题意可知，1b =， 又22e =，所以2a = 所以椭圆C 的标准方程2212x y += （2）设点()11,M x y 、()22,N x y ，联立22612x ty x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去x 得()222642033t t y y ++-=， ()22281632280333t t t =++=+>△恒成立，由韦达定理得()1222632t y y t +=-+，()122432y y t =-+，因此，()()()()()222121212222222222222121212211111111y y y y y y t y t y t y y t y y MP NP +-++=+==++++ ()()()()()()()()22222222222221618832323216931616316119292t t t t t t t t t +++++===⨯=+⋅+⋅++. 综上所述，22113MPNP+=.21．解：（1）由“双败淘汰制”可知，甲获得冠军可能是由获胜者进入决赛并最终夺冠，也可能是由失败者组进入决赛最终夺冠的，所以4322451111111812222222648P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⨯+⨯== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）依题意，X 的可能取值为2，3，4，5，6.()211224P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()2121113224P X C ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，()33131115422216P X C ⎛⎫⎛⎫==+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当5X =时，有如下情况：①前两场胜利，第三场失败；②第一场失败或第二场失败，则第5场必失败.()4511152228P X ⎛⎫⎛⎫==+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当6X =时，前5场只可能失败一次，且只可能是在第一场失败或第二场失败，()51162216P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，所以X 的分布列为所以X 的数学期望为23456 3.54416816EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 22．解：（1）证明：因为()()ln sin f x x a x a R =-∈，所以()1cos f x a x x '=-，0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，当0a ≤时，()1cos 0f x a x x '=->恒成立，()f x 在0,2π⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增. （2）由题意，对0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，sin 0xe x kx -≥恒成立，设()sin xh x e x kx =-，()sin cos xxh x e x e x k '=+- 又设()sin cos xxm x e x e x k =+-，则()sin cos cos sin 2cos 0xxxxxm x e x e x e x e x e x '=++-=≥，因此()m x 在0,2π⎛⎤⎥⎝⎦单调递增， 所以()()01m x m k >=-，①当1k ≤时，()0m x >，即()0h x '>，()h x 在0,2π⎛⎤⎥⎝⎦单调递增，故有()()00h x h >=，即1k ≤适合题意.②当1k >时，()010m k =-<，22m e k ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若20e k π-<，则取02x π=，()000,x x ∈时，()0m x <，若20e k π-≥，则在0,2π⎛⎤⎥⎝⎦上()m x 存在唯一零点，记为0x ， 当()00,x x ∈时，()0m x <， 总之，存在00,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦使()00,x x ∈时，()0m x <， 即()0h x '<，所以()h x 单调递减，()()00h x h <=， 故1k >时存在()00,x 使()0h x <不合适题意， 综上，实数k 的取值范围是(],1-∞. 第（2）题也可解答如下：()sin ln x x kx e x x f x k e x-≥⇔≤.设()sin xg x e x x =-，则()()sin cos 11104xx x g x ex x x e e π⎛⎫'=+-=+->-> ⎪⎝⎭，∴()sin xg x e x x =-在区间0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦上递增，即()()sin 00xg x e x x g =->=， ∴sin 1x e xx>. 而()()()000sin sin limlim lim sin cos 1x x x x x x e x e xe x x x x →→→'==+='， ∴实数k 的取值范围是(],1-∞.。

2019-2020学年长沙市名校数学高二下期末综合测试试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为'()f x ，对任意实数x 均有(1)()'()0x f x xf x -+>成立，且(1)y f x e =+-是奇函数，不等式()0xxf x e ->的解集是（ ）A ．()1,+∞B ．(),e +∞C ．(),1-∞D ．(),e -∞【答案】A 【解析】 【分析】 构造函数()()xxf x g x e=，利用导数和已知条件判断出()g x 在R 上递增，由此求解出不等式的解集. 【详解】要求解的不等式等价于()1x xf x e >，令()()x xf x g x e =，()()()()''10xx f x xf x g x e-+=>，所以()g x 在R 上为增函数，又因为(1)y f x e =+-是奇函数，故()1f e =，所以()11g =，所以所求不等式等价于()()1g x g >，所以解集为1,，故选A.【点睛】本小题主要考查构造函数法解不等式，考查导数的运算，考查利用导数判断函数的单调性，考查函数的奇偶性，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.2．函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数且f （2）=0，则使f （x ）<0的x 的取值范围（ ） A ．（－∞，2）B ．（2，+∞）C ．（－∞，-2）∪（2，+∞）D ．（－2，2）【答案】D 【解析】 【分析】根据偶函数的性质,求出函数()0f x <在(－∞，0]上的解集,再根据对称性即可得出答案. 【详解】由函数()f x 为偶函数,所以()()220f f -==,又因为函数()f x 在(－∞，0]是减函数,所以函数()0f x <在(－∞，0]上的解集为(]2,0-,由偶函数的性质图像关于y 轴对称,可得在(0,+ ∞)上()0f x <的解集为(0,2),综上可得,() 0f x <的解集为(-2,2).故选:D. 【点睛】本题考查了偶函数的性质的应用,借助于偶函数的性质解不等式,属于基础题.3．已知函数()2ln(22)=-+f x x x ，22()4--=+x a a x g x e e ，其中e 为自然对数的底数，若存在实数0x 使得00()()3+=f x g x ，则实数a 的值为（ ） A ．ln 2- B ．ln 2C ．1ln2--D ．1ln2-+【答案】C 【解析】 【分析】先对函数()f x 求导，用导数的方法求最小值，再由基本不等式求出()g x 的最小值，结合题中条件，列出方程，即可求出结果. 【详解】由()2ln(22)=-+f x x x 得121()211x f x x x +'=-=++， 由()0f x '>得12x >-；由()0f x '<得112x -<<-；因此，函数()f x 在11,2⎛⎫--⎪⎝⎭上单调递减；在1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；所以min 1()()12f x f =-=-；又22()44x a a x g x e e --=+≥=， 当且仅当224x a a x e e --=，即1(ln 2)2x a =+时，等号成立， 故()()3f x g x +≥（当且仅当()f x 与()g x 同时取最小值时，等号成立） 因为存在实数0x 使得00()()3+=f x g x ， 所以11(ln 2)22a +=-，解得1ln 2a =--. 故选C 【点睛】本题主要考查导数的应用，以及由基本不等式求最小值，熟记利用导数求函数最值的方法，以及熟记基本不等式即可，属于常考题型.4．设01a <<，则随机变量X 的分布列是：则当a 在()0,1内增大时（ ） A ．()D X 增大 B ．()D X 减小C ．()D X 先增大后减小 D ．()D X 先减小后增大【答案】D 【解析】 【分析】研究方差随a 变化的增大或减小规律，常用方法就是将方差用参数a 表示，应用函数知识求解.本题根据方差与期望的关系，将方差表示为a 的二次函数，二次函数的图象和性质解题.题目有一定综合性，注重重要知识、基础知识、运算求解能力的考查. 【详解】方法1：由分布列得1()3aE X +=，则 2222111111211()01333333926a a a D X a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则当a 在(0,1)内增大时，()D X 先减小后增大.方法2：则()222221(1)222213()()03399924a a a a D X E X E X a ⎡⎤+-+⎛⎫=-=++-==-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦故选D. 【点睛】易出现的错误有，一是数学期望、方差以及二者之间的关系掌握不熟，无从着手；二是计算能力差，不能正确得到二次函数表达式.5．给出一个命题p ：若,,,,1,1a b c d a b c d ∈+=+=R ，且1ac bd +>，则a ，b ，c ，d 中至少有一个小于零，在用反证法证明p 时，应该假设（ ） A ．a ，b ，c ，d 中至少有一个正数 B ．a ，b ，c ，d 全为正数C ．a ，b ，c ，d 全都大于或等于0D ．a ，b ，c ，d 中至多有一个负数【答案】C 【解析】 【分析】由“a b c d ,,,中至少一个小于零”的否定为“a b c d ,,,全都大于等于0”即可求解. 【详解】因为“a ，b ，c ，d 中至少有一个小于零”的否定为“a b c d ,,,全都大于等于0”, 所以由用反证法证明数学命题的方法可得,应假设“a b c d ,,,全都大于等于0”, 故选：C. 【点睛】本题主要考查了反证法，反证法的证明步骤，属于容易题.6．在空间直角坐标中，点()1,2,3P ---到平面xOz 的距离是（ ）A ．1B ．2C ．3D 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间坐标的定义，即可求出点()1,2,3P ---到平面xOz 的距离. 【详解】点()1,2,3P ---,由空间坐标的定义. 点()1,2,3P ---到平面xOz 的距离为2. 故选：B 【点睛】本题考查空间距离的求法，属于基础题. 7．利用数学归纳法证明不等式*n 1111...(n)(n 2,)2321f n N ++++<≥∈-的过程，由n k =到+1n k =时，左边增加了（ ） A ．1项 B ．k 项C ．12k -项D ．2k 项【答案】D 【解析】 【分析】分别计算n k =和+1n k =时不等式左边的项数，相减得到答案. 【详解】n k =时，不等式左边：1111 (2)321k++++-共有21k - +1n k =时，：1111111 (2321221)k k k ++++++++--共有121k +- 增加了1(21)(21)2k k k +---=故答案选D 【点睛】本题考查了数学归纳法的项数问题，属于基础题型. 8．设随机变量X 的分布列为1()(1,3,5,7)4P X k k ===，则()D X =（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】C 【解析】分析：根据方差的定义计算即可.详解：随机变量X 的分布列为()()11,3,5,74P X k k ===，则()4,E X =则()()()()()222214143454754D X ⎡⎤=-+-+-+-=⎣⎦ 、 故选D点睛：本题考查随机变量的数学期望和方差的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意方差计算公式的合理运用． 9．对变量有观测数据，得散点图(1)；对变量有观测数据(，得散点图(2)，由这两个散点图可以判断( )A ．变量与正相关，与正相关B ．变量与正相关，与负相关C ．变量与负相关，与正相关D ．变量与负相关，与负相关 【答案】C 【解析】试题分析：由散点图1可知，点从左上方到右下方分布，故变量x 与y 负相关；由散点图2可知，点从左下方到右上方分布，故变量u 与v 正相关，故选C 考点：本题考查了散点图的运用点评：熟练运用随机变量的正负相关的概念是解决此类问题的关键，属基础题 10．l m n ，，为直线，,,αβγ为平面，则下列命题中为真命题的是（ ） A ．若//m α，//n β，则//αβB ．则m α⊥，n α⊥，则//m nC ．若αγ⊥，βγ⊥，则αβ⊥D ．则αβ⊥，l α⊆，则l β⊥【答案】B 【解析】 【分析】根据空间中平面和直线平行和垂直的位置关系可依次通过反例排除,,A C D ，从而得到结果. 【详解】A 选项：若//m n ，则α与β未必平行，A 错误B 选项：垂直于同一平面的两条直线互相平行，B 正确C 选项：垂直于同一平面的两个平面可能相交也可能平行，C 错误D 选项：l 可能与β平行或相交，D 错误本题正确选项：B 【点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的相关命题的判定，通常通过反例，采用排除法的方式来得到结果，属于基础题.11．由半椭圆22221(0)x y x a b +=≥与半椭圆22221(0)y x x b c +=≤合成的曲线称作“果圆”，如图所示，其中222a b c =+，0a b c >>>．由右椭圆22221(0)x y x a b+=≥的焦点0F 和左椭圆22221(0)y x x b c +=≤的焦点1F ，2F 确定012F F F △叫做“果圆”的焦点三角形，若“果圆”的焦点为直角三角形．则右椭圆22221(0)x y x a b +=≥的离心率为（ ）A ．23B ．33C ．23D ．13【答案】B 【解析】 【分析】根据“果圆”关于x 轴对称，可得012F F F △是以1F 2F 为底的等腰三角形，由012F F F △是直角三角形，得出10290F F F ∠=︒，01F O FO =.再建立关于a ，b ，c 之间的关系式，求出结果. 【详解】解：连接01F F ，02F F ，根据“果圆”关于x 轴对称， 可得012F F F △是以1F 2F 为底的等腰三角形，012F F F △是直角三角形， ∴10290F F F ∠=︒，01F O FO =. 又0F O 和1FO 分别是椭圆22221(0)x y x a b+=≥和 22221(0)y x x b c +=≤的半焦距，∴c =222c b c =-.222b a c =-，∴2222c a c =-.即223c a =，∴3c e a ==. 故选：B. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程与简单几何性质，属于中档题. 12．设()ln f x x x =，若()3f a '=，则a =（ ） A ．e B ．ln 2 C ．2e D ．ln 22【答案】C 【解析】 【分析】先计算()f x '，带入a ，求出即可。

一、单选题湖南省三湘名校教育联盟2019-2020年高二下学期期末数学试题加入试卷1. 已知复数满足，则（ ）A ．B ．C ．D ．2.已知集合，A ．B ．D ．3. 消费结构是指各类消费支出在总费用支出中所占的比重.它是目标市场宏观经济的一个重要特征，能够反映一国的文化､经济发展水平和社会的习俗.年月日人民网公布的我国年全国居民人均消费支出及其构成，如图所示，则下列说法正确的是（ ）C ．，则（）A．年全国居民人均消费支出一半用于改善居住条件B．年全国人均食品烟酒消费占居民人均消费支出的比重最大C．年全国人均衣着消费支出比教育文化娱乐消费支出的比重大D．年全国居民用于医疗保健的消费支出超过人均消费支出的4. 已知向量，，若与垂直，则（）A．B．C．D．5. 已知双曲线的离心率为2，则双曲线的渐近线经过点（）A．B．C．D．6. 已知为锐角，，则（）A．B．C．D．7. 已知的内角所对的边分别为，若，且，则的面积为（）A．B．C．D．二、多选题8. 新课程改革把劳动与技术课程作为7~9年级每个学生必须接受的课程，并写入新课程标准.某校7年级有5个班，根据学校实际，每个班每周安排一节劳动与技术课，并且只能安排在周一､周三､周五下午的三节课，同年级不同班不能安排在同一节，则七年级周五下午排了3个班的劳动与技术课程的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．9.关于二项式的展开式，下列结论错误的是（ ）A ．展开式所有的系数和为1B ．展开式二项式的系数和为32C ．展开式中不含项D ．常数项为12010. 古希腊数学家阿波罗尼奧斯(约公元前262~公元前190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数(且)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知，，圆：上有且仅有一个点满足，则的取值可以为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．511. 已知函数的部分图象与轴交于点，与轴的一个交点为，如图所示，则下列说法正确的是（）A ．B ．的最小正周期为6C ．的图像关于直线对称D ．在单调递减三、填空题12. 已知偶函数对任意都有，当时，，实数是关于的方程的解，且互不相等.则下列说法正确的是（ ）A ．的最小正周期是12B ．图象的对称轴方程为，C ．当时，关于的方程在上有唯一解D ．当时，存在，，，，使得的最小值为013. 曲线在点处的切线方程为______.14.已知等差数列的前项和为，若，，则数列的公差______.15.某手机运营商为了拓展业务，现对该手机使用潜在客户进行调查，随机抽取国内国外潜在用户代表各名，调查用户对是否使用该手机的态度，得到如图所示的等高条形图.根据等高图，______（填“有”或“没有”）以上的把握认为持乐观态度和国内外差异有关.（参考公式与数据：，其中）四、双空题五、解答题16. 如图，正方体的棱长为2，是的中点，是侧面正方形内的动点，当平面时，点的轨迹长度为______，若点轨迹的两端点和点，在球的球面上，则球的体积为______.17. 在①，②，③，这三个条件中，任选一个补充在下面的问题中，并解答问题.已知的内角、、所对的边分别为、、，______，，角的平分线交于点，求的长.18. 已知数列是首项为2，公比为2的等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设是数列的前项和，，求数列的前项和.19.在如图所示的多面体中，平面平面，为正方形，，分别为，的中点，且，，.（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值.20. 已知椭圆：的离心率为，直线：与轴的交点为，与椭圆交于､两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）证明：是定值.21. 国际电子竞技和围棋比赛通常采用双败淘汰制.双败淘汰制即一支队伍失败两场被淘汰出局，直到最后剩下一支队伍夺得冠军(决赛只赛一场).以八支战队的比赛为例(如图所示)，第一轮比赛，由8支战队抽签后交战，获胜战队继续留在获胜组，失败战队则掉人失败组，进人下一轮比赛.失败战队在失败组一旦再失败即被淘汰，最后由胜者组和败者组的冠军决出总冠军.某项国际电子竞技比赛有甲等8名选手参加，比赛采用了双败淘汰制，若这8名选手相互之间每场比赛获胜的概率均为0.5.双败流程示意图（以八支战队为例）（1）求甲获得冠军的概率；（2）记甲在这次比赛中参加比赛的场次为，求随机变量的分布列和期望.22. 已知函数.（1）证明：当时，在上单调递增；（2）当时，不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.。

湖南省教育联合体2019-2020学年高二下学期7月联考数学试题一、单选题(★) 1. 已知全集，，，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．(★) 2. 为虚数单位，计算（）A．B．C．D．(★★) 3. 如果向量和满足，，且，那么和的夹角大小为（）A．B．C．D．(★★) 4. 若双曲线的焦距为，则该双曲线的离心率为( ) A．B．C．D．(★★) 5. 若，，则（）A．B．C．D．(★★★) 6. 已知、是球的球面上两点，，为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为，则球的表面积为（）A．B．C．D．(★★★) 7. 设集合，.现分别从、中任取个元素组成无重复数字的四位数，其中不能被整除的数共有（）A．个B．个C．个D．个(★★)8. “珠算之父”程大为是我国明代伟大数学家，他的应用数学巨著《算法统综》的问世，标志着我国的算法由筹算到珠算转变的完成，程大位在《算法统综》中常以诗歌的形式呈现数学问题，其中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节三升九，上稍四节储三升，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明”（（注）三升九：升，次第盛；盛米容积依次相差同一数量.）用你所学的数学知识求得中间两节的容积为（）A．升B．升C．升D．升(★) 9. 由我国引领的5 G时代已经到来，5 G的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对 GDP增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应和波及效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造岀更多的经济增加值．如图是某单位结合近年数据，对今后几年的5 G经济产出所做的预测．结合图，下列说法不正确的是（）A．5G的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加B．设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓C．设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位D．信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势二、多选题(★★★) 10. 如图直角梯形，，，，为中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且．则（）A．平面平面B．C．二面角的大小为D．与平面所成角的正切值为(★★★) 11. 已知函数的最小正周期是，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则下列结论正确的是（）A．函数的图象关于直线对称B．函数的图象关于直线对称C．函数在区间上单调递减D．函数在上有2个零点(★★★★) 12. 已知函数 y＝ f（ x）是定义在[0，2]上的增函数，且图像是连续不断的曲线，若 f（0）＝ M， f（2）＝ N（ M＞0， N＞0），那么下列四个命题中是真命题的有（）A．必存在x∈[0，2]，使得f（x）B．必存在x∈[0，2]，使得f（x）C．必存在x∈[0，2]，使得f（x）D．必存在x∈[0，2]，使得f（x）三、填空题(★★) 13. 的值为______.(★) 14. 在形如展开式中，我们把叫做二项式系数，则 的值为______.(★★) 15. 设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线 与 交于 ，两点，且，则直线 的方程为___________________.(★★★) 16. 函数与的图象所有交点的横坐标之和为______________.四、解答题(★★★) 17. 设，数列的前 项和为 ，已知，______.请在① ，，成等比数列，② ，③，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题. （1）求数列 的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项的和.(★★★) 18. 已知 ， ， 分别是内角 ， ， 的对边，满足.（1）求 的值； （2）若的外接圆的圆心 在的内部， ， ，求角 ， ， .(★★) 19. 《中华人民共和国道路交通安全法》第条的相关规定：机动车行经人行道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”《中华人民共和国道路交通安全法》第 条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣 分，罚款元的处罚.下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的 个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为统计数据：月份不“礼让斑马线”驾驶员人数（1）请利用所给数据求不“礼让斑马线”驾驶员人数 与月份 之间的回归直线方程 ，并预测该路口月份的不“礼让斑马线”驾驶员人数；（2）若从表中 月份和 月份的不“礼让斑马线”驾驶员中，采用分层抽样方法抽取一个容量为 的样本，再从这 人中任选 人进行交规调查，求抽到的两人恰好来自同一月份的概率.参考公式：，.参考数据：.(★★★) 20. 如图,ABCD是边长为3的正方形,DE⊥平面ABCD,AF∥DE,DE=3AF,BE与平面ABCD所成角为60°.(1)求二面角F-BE-D的余弦值;(2)设点M是线段BD上一个动点,试确定点M的位置,使得AM∥平面BEF,并证明你的结论.(★★★★★) 21. 如图，椭圆：的离心率，椭圆的左、右顶点分别为，，又，，为椭圆上非顶点的三点.设直线，的斜率分别为，.（1）求椭圆的方程，并求的值；（2）若，，判断的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由.(★★★★★) 22. 设函数.（1）设，讨论单调性；（2）①若是的极小值点，求的极大值；②若曲线在点处的切线方程为，证明：.。

同步练习一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）A ．13(,),44k k k Z ππ-+∈ B ．13(2,2),44k k k Z ππ-+∈ C ．13(,),44k k k Z -+∈D ．13(2,2),44k k k Z -+∈2．中国古代数学著作《算法统宗》巾有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难 日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”问此人第4天和第5天共走了 A ．60里B ．48里C ．36里D ．24里3．已知03cos 2⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰m x dx ππ，则()23-+m x y z 的展开式中，2-m x yz 项的系数等于（ ） A ．180 B ．-180 C ．-90 D ．154．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，若1AB BC ==，12BB =，则异面直线1A B 和1AD 所成角的余弦值为（ ）A ．1010B ．35C ．22D ．455．设0.1211ln 2,log ,55a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则（ ）A ．b a c <<B ．a c b <<C ．a b c <<D ．b c a <<6．点(,)P x y 是椭圆222312x y +=上的一个动点,则2x y +的最大值为( ) A 22B ．22C 6D ．47．等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a =( ) A ．8B ．10C ．12D ．148．已知a R ∈，设函数222,1,()ln ,1,x ax a x f x x a x x ⎧-+=⎨->⎩若关于x 的不等式()0f x 在R 上恒成立，则a 的取值范围为（ ） A ．[]0,1B ．[]0,2C ．[]0,eD ．[]1,e9．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比2q =-，则22S a =（ ） A ．13B ．14C ．12-D ．1210．函数()0,0,2()(||)f x Asin x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，则函数()f x 的解析式为（ ）．A ．()2sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．()2sin 12f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭11．某村庄对改村内50名老年人、年轻人每年是否体检的情况进行了调查，统计数据如表所示： 每年体检每年未体检 合计老年人 a7c年轻人 6 b d合计ef50已知抽取的老年人、年轻人各25名.则完成上面的列联表数据错误的是( ) A ．18a =B ．19b =C ．50c d +=D ．2f e -=-12．已知函数,0()2(1),0xx m e mx x f x e x x -⎧++<⎪=⎨⎪-≥⎩（e为自然对数的底），若方程()()0-+=f x f x 有且仅有四个不同的解，则实数m 的取值范围是（ ）． A ．(0,)eB ．(,)e +∞C ．(0,2)eD ．(2,)e +∞二、填空题：本题共4小题13．已知抛物线24y x =，焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA l ⊥，A 为垂足，如果直线AF 的斜率为3-，那么PAF ∆的面积为________. 14．如图所示，直线y kx =分抛物线2y x x 与x 轴所围图形为面积相等的两部分，则k 的值为__________．15．设离散型随机变量X 的概率分布如下：X12 3 Pm1416则m 的值为__________．16．设直线l ：x+y ﹣2＝0的倾斜角为α，则α的大小为_____． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。