湖南省三湘名校教育联盟2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题含答案

湖南省2021年高二数学上学期期中考试卷（二）（理科）（考试时间120分钟满分150分）一、单项选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．设集合M={0，1，3}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N=（）A．{1}B．{2}C．{0，1}D．{1，2}2．命题∀m∈[0，1]，则的否定形式是（）A．∀m∈[0，1]，则B．∃m∈[0，1]，则C．∃m∈（﹣∞，0）∪（1，+∞），则D．∃m∈[0，1]，则3．已知函数f（x）=﹣log3x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（）A．（0，1）B．（3，9）C．（1，3）D．（9，+∞）4．△ABC的面积是，∠B是钝角，AB=1，BC=，则AC=（）A．5 B．2 C．D．15．已知向量，，其中|=，||=2，且（﹣）⊥，则向量与的夹角是（）A． B．C．D．6．设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．24 B．16+C．40 D．308．双曲线﹣=1的渐近线方程与圆相切，则此双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．9．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若m＞1，且a m﹣1+a m+1﹣a m2=0，S2m﹣1=38则m等于（）A．38 B．20 C．10 D．910．已知x，y满足约束条件，当目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）在该约束条件下取到最小值2时，a2+b2的最小值为（）A．5 B．4 C．D．211．已知椭圆： +=1（0＜b＜2），左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若||+||的最大值为5，则b 的值是（）A．1 B．C．D．12．设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0，则当取得最小值时，x+2y﹣z的最大值为（）A．0 B．C．2 D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．在数列{a n}中，a n﹣1=2a n，若a5=4，则a4a5a6=．14．已知直线x﹣y+a=0与圆心为C的圆x2+y2+2x﹣4y﹣4=0相交于A、B两点，且AC⊥BC，则实数a的值为．15．如图程序运行后，输出的值为．16．抛物线y2=8x的准线与x轴相交于点P，过点P作斜率为k（k＞0）的直线交抛物线于A、B两点，F为抛物线的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或求解演算步骤）17．已知两个命题p：∀x∈R，sinx+cosx＞m恒成立，q：∀x∈R，y=（2m2﹣m）x为增函数．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．18．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．（Ⅰ）证明：PA⊥BD；（Ⅱ）设PD=AD=1，求直线PC与平面ABCD所成角的正切值．19．在△ABC中，设．（Ⅰ）求B 的值（Ⅱ）求的值．20．设等差数列{a n}的前项和为S n，且a2=2，S5=15，数列{b n}的前项和为T n，且b1=，2nb n+1=（n+1）b n（n∈N*）（Ⅰ）求数列{a n}通项公式a n及前项和S n；（Ⅱ）求数列{b n}通项公式b n及前项和T n．21．某种商品原来每件售价为25元，年销售量8万件．（Ⅰ）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收人不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（Ⅱ）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入（x2﹣600）万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a 至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．22．如图，椭圆C1：和圆C2：x2+y2=b2，已知圆C2将椭圆C1的长轴三等分，且圆C2的面积为π．椭圆C1的下顶点为E，过坐标原点O且与坐标轴不重合的任意直线l与圆C2相交于点A，B，直线EA，EB与椭圆C1的另一个交点分别是点P，M．（I）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）求△EPM面积最大时直线l的方程．参考答案一、单项选择题1．A．2．D．3．B．4．C．5．A．6．A．7．D8．B．9．C．10．B．11．D．12．C．二、填空题13．解：由a n﹣1=2a n，a5=4知，数列{a n}是等比数列，故a4a5a6=a53=64．故答案为：64．14．解：圆的标准方程为（x+1）2+（y﹣2）2=9，圆心C（﹣1，2），半径r=3，∵AC⊥BC，∴圆心C到直线AB的距离d=，即d==，即|a﹣3|=3，解得a=0或a=6，故答案为：0或6．15．解：由题意，如图，此循环程序S=1；i=2S=1×2=2；i=3S=2×3=6；i=4S=6×4=24；i=5S=24×5=120；i=6＞5结束．故输出的值为：120．故答案为：120．16．解：设A（x1，y1），B（x2，y2）由已知|FA|=2|FB|，得：x1+2=2（x2+2），即x1=2x2+2，①∵P（﹣2，0），则AB的方程：y=kx+2k，与y2=8x联立，得：k2x2+（4k2﹣8）x+4k2=0，则x1x2 =4，②由①②得x2=1，则A（1，），∴k==．故答案为：．三、解答题17．解：由题意若p∨q为真命题，p∧q为假命题，可得，命题p和命题q一个为真命题，另一个为假命题．若p是真命题，：∀x∈R，sinx+cosx＞m恒成立，可得＞m恒成立，即m＜﹣，故实数m的取值范围为（﹣∞，﹣）．若命题q是真命题，∀x∈R，y=（2m2﹣m）x为增函数，则有2m2﹣m＞1，解得m＞1，或m＜．当p真q假时，实数m的取值范围为：∅；当p假q真时，实数m的取值范围为：[﹣，﹣）∪（1，+∞），综上，所求的实数m的取值范围为：[﹣，﹣）∪（1，+∞），18．（Ⅰ）证明：在△ABD中，∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理可得：BD2=AB2+AD2﹣2AB•AD•cos∠DAB，∴BD2=5AD2﹣2AD2=3AD2，则AB2=AD2+BD2，即BD⊥AD．又PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BD．∵PD∩AD=D，∴BD⊥平面PAD，则PA⊥BD；（Ⅱ）解：∵PD⊥平面ABCD，∴∠PCD为PC与平面ABCD所称的角．在Rt△BAD中，AD=1，∠DAB=60°，∴AB=2，则DC=2，∴tan∠PCD=．19．解：（Ⅰ）∵，∴，，，又sin（A+B）=sinC≠0，∴cosB=，∵0＜B＜π，∴B=；（Ⅱ）∵，∴由正弦定理得，，则，即a2+c2=2ac，化简得，a=c，由余弦定理得，b2=a2+c2﹣2accosB=2a2﹣a2=（2﹣）a2，∴==2．20．解：（Ⅰ）由等差数列{a n}的公差为d，由等差数列的性质可知：S5=5a3=15，则a3=3，d=a3﹣a2=1，首项a1=1，∴数列{a n}通项公式a n=1+（n﹣1）=n，前n项和S n==；（Ⅱ）2nb n+1=（n+1）b n（n∈N*），则=•，∴=•，=•，=×，…=•，∴当n≥2时，=（）n﹣1，即b n=，当n=1时，b1=，符合上式，∴数列{b n}通项公式b n=，∴T n=+++…+，T n=+++…++，两式相减得：T n=+++…+﹣，=﹣，=1﹣﹣，=1﹣，T n=2﹣，数列{b n}前项和T n=2﹣．21．解：（Ⅰ）设每件定价为x元，则提高价格后的销售量为，根据销售的总收人不低于原收入，有，整理得x2﹣65x+1000≤0，解得25≤x≤40．∴要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．（Ⅱ）依题意，x＞25时，不等式有解，等价于x＞25时，有解，∵（当且仅当x=30时，等号成立），∴a≥10.2．此时该商品的每件定价为30元∴当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．22．解：（Ⅰ）由圆C2的面积为π，得：b=1，圆C2将椭圆C1的长轴三等分，可得a=3b=3，所以椭圆方程为： +y2=1；（Ⅱ）由题意得：直线PE，ME的斜率存在且不为0，PE⊥EM，不妨设直线PE的斜率为k（k＞0），则PE：y=kx﹣1，由，得：或，所以P（，），同理得M（，），k PM=，由，得A（，），所以：k AB=，所以，设，则，当且仅当时取等号，所以k﹣=±，则直线AB：y=x=（k﹣）x，所以所求直线l方程为：．赠送励志修身名言警句可怕的敌人，就是没有坚强的信念。

湖南省三湘名校联盟2020-2021学年高二上学期12月联考数学试卷考生注意：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。

考试时间120分钟。

2.请将各题答案填写在答题卡上。

3.本试卷主要考试内容：必修1~4占20%，必修5、选修2-1、2-2第一章占80%。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}24A x x =-<<，{}2B x x =≥，则A B =A.{}24x x -<< B.{}22x x -≤< C.{}24x x ≤<D.{}24x x <<2.已知命题:p x Q ∀∈，x R ∈，则p ⌝是 A.x Q ∀∈，x R ∉ B.x Q ∃∈，x R ∉ C.x Q ∀∉，x R ∉D.x Q ∃∉，x R ∉3.函数()2xf x x e =-的图象在点()()0,0f 处的切线方程为 A.10x y --= B.10x y -+= C.10x y +-=D.10x y ++=4.函数y =A.3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.31,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.[)3,1,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦D.(]3,1,2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭5.2020年10月1日中秋节和国庆节双节同庆，很多人外出旅行或回家探亲，因此交通比较拥堵.某交通部门为了解从A 城到B 城实际通行所需时间，随机抽取了n 台车辆进行统计，结果显示这些车辆的通行时间（单位：分钟）都在[]30,55内，按通行时间分为[)30,35，[)35,40，[)40,45，[)45,50，[]50,55五组，频率分布直方图如图所示，其中通行时间在[)30,35的车辆有235台，则通行时间在[)45,50的车辆台数是A.450B.325C.470D.5006.函数10x xxe e y --=的图象大致为 A. B.C. D.7.“()2k k Z απ=∈”是“sin 22sin αα=”的 A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.设函数()f x 的定义域为R ，()f x '是其导函数，若()()0f x f x '+<，()01f =，则不等式()xf x e->的解集是 A.()0,+∞B.()1,+∞C.()0,1D.(),0-∞二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.已知平面向量()2,a m =，(1,b =，且22a b a b -=+，则A.m =B.2m =C.3a b +=D.a b +=10.已知函数()()()200cos 2f x x f x f x '=+⋅-⋅+，其导函数为()f x '，则 A.()01f =-B.()01f '=C.()01f =D.()01f '=-11.已知点()1,1P -是角α终边上的一点，则A.函数()()sin 2f x x α=+的对称轴方程为()382k x k Z ππ=+∈B.函数()()sin 2f x x α=+的对称轴方程为()82k x k Z ππ=+∈C.函数()5cos 34g x x πα⎛⎫=++⎪⎝⎭是奇函数 D.函数()5cos 34g x x πα⎛⎫=++⎪⎝⎭是偶函数 12.已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）与直线y kx =交于A ，B 两点，点P 为C 上一动点，记直线PA ，PB 的斜率分别为PA k ，PB k ，C 的左、右焦点分别为1F ，2F .若14PA PB k k ⋅=，且C 的焦点到渐近线的距离为1，则下列说法正确的是 A.2a =B.C 的离心率为2C.若12PF PF ⊥，则12PF F △的面积为2D.若12PF F △的面积为12PF F △为钝角三角形第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.椭圆22175x y +=的左焦点的坐标为_______. 14.若0m >，0n >，31m n mn +=-，则m n +的最小值为_______.15.已知函数()322f x x ax ax =--的一个极值点为1，则()f x 在[]2,2-上的最小值为_______.16.有两个质地均匀的正方体玩具，每个正方体的六个面分别标有数字1，2，3，…，6.随机抛掷两个这样的正方体玩具，得到面朝上的两个数字，则这两个数字的乘积能被3整除的概率为_______. 四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（10分）在①1a b +=+②sin 2c A =，③3b =这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中.若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在ABC △，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，_______，且sin B A =，6C π=？注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分. 18.（12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12n n S a +=. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设21nn b a n =+，求数列{}n b 的前n 项和n T . 19.（12分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，90ADP ∠=︒，PD AD =，二面角P AD B --为60︒，E 为PD 中点.（1）证明：CE PAD ⊥平面.（2）求平面ADE 与平面ABE 所成锐二面角的余弦值. 20.（12分）已知函数()cos xf x e x ax =--.（1）当2a =时，证明：()f x 在(),0-∞上单调递减.（2）若对任意0x ≥，()cos f x x x ≥-恒成立，求实数a 的取值范围. 21.（12分）已知圆()22:21M x y +-=，动圆P 与圆M 外切，且与直线1y =-相切.（1）求动圆圆心P 的轨迹C 的方程.（2）若直线:2l y kx =+与曲线C 交于A ，B 两点，分别过A ，B 作曲线C 的切线，交于点Q .证明：Q 在一定直线上. 22.（12分） 已知函数()ln a xf x x x=+. （1）当1a =时，判断()f x 的单调性，并求()f x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值；（2）(]00,x e ∃∈，()02f x a ≤+，求a 的取值范围.高二数学试卷参考答案1.C {}24AB x x =≤<.2.B 全称量词命题的否定是存在量词命题.3.D 因为()2xf x x e '=-，所以()01f '=-.又因为()01f =-，所以所求切线方程为1y x =--，即10x y ++=.4.A 由21110362x x --+≥，得()()2231230x x x x +-=-+≤，所以原函数的定义域为3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 5.C 因为[)30,35，[)35,40，[)40,45，[]50,55四组通行时间的频率分别是0.1，0.25，0.4，0.05，所以通行时间在[)45,50的频率是10.10.250.40.050.2----=，通过的车辆台数是2352470⨯=.6.A 令()10x x x e e f x --=，其定义域为R .因为()()10x xxe ef x f x ----==-， 所以10x xxe e y --=是奇函数，其图象关于原点对称，排除B ，C ； 当0x >时，0xxe e-->，故010x xxe e y --=>，排除D. 7.B 若()2k k Z απ=∈，则sin 2sin 40k απ==，2sin 2sin 20k απ==，sin 22sin αα=成立. 若sin 22sin αα=，则2sin cos 2sin ααα=，得sin 0α=，或cos 1α=. 当sin 0α=时，()k k Z απ=∈；当cos 1α=时，()2k k Z απ=∈. 故“()2k k Z απ=∈”是“sin 22sin αα=”的充分不必要条件.8.D 令()()xg x e f x =，则()()()xxg x e f x e f x ''=+，因为()()0f x f x '+<，所以()0g x '<，所以()g x 在R 上单调递减. 因为()()001g f ==，所以()xf x e ->等价于()()0g x g >，解得0x <，所以不等式()xf x e ->的解集是(),0-∞.9.AC 因为22a b a b -=+，所以20a b ⋅==，则m =.因为()3,0a b +=，所以3a b +==.10.BC 因为()()()200cos 2f x x f x f x '=+⋅-⋅+，所以()()020f f '=-.因为()()()200sin f x x f f x ''=++⋅，所以()()00f f '=. 故()()001f f '==.11.AD 根据题意知角α为第四象限角，且tan 1α=-，则()24k k Z παπ=-+∈，所以()sin 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，令()242x k k Z πππ-=+∈，解得()382k x k Z ππ=+∈，所以函数()()sin 2f x x α=+的对称轴方程为()382k x k Z ππ=+∈. ()()5cos 3cos 3cos34g x x x x παπ⎛⎫=++=+=- ⎪⎝⎭为偶函数.故选AD 12.AD 设点()11,A x y ，()11,B x y --，()00,P x y ，则2211221x y a b -=，且2200221x y a b -=，两式相减得2222010122x x y y a b --=，所以2220122201y y b x x a -=-. 因为()()()()010*******PA PB y y y y k k x x x x -+⋅=⋅=-+，所以2214b a =，12b a =， 故双曲线C 的渐近线方程12y x =±. 因为焦点(),0c 到渐近线12y x =的距离为1，所以15=，5c =，所以2a =，1b =，离心率为2，故A 正确，B 错误.对于C ，不妨设P 在C 的右支上，记2PF t =，则14PF t =+. 因为12PF PF ⊥，所以()22420t t ++=，解得2t =或2t =（舍去），所以12PF F △的面积为)121122122PF PF ==，故C 不正确.对于D ，设()00,P x y，因为1200122PF F S c y y =⋅==△，所以02y =， 将02y =代入22:14x C y -=，得2020x =，即0x = 由对称性，不妨取P的坐标为()2，则23PF ==，17PF ==，因为222212121212cos 02PF F F PF PF F PF F F +-∠==<，所以21PF F ∠为钝角，所以12PF F △为钝角三角形，故D 正确. 13.()因为2752c =-=，所以c =().14.2 因为22m n mn +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，所以231312m n mn +⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭.因为31m n mn +=-，所以2312m n m n +⎛⎫+≤- ⎪⎝⎭，即()()23440m n m n +-+-≥， 所以()()3220m n m n +++-≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦.因为0m >，0n >，所以2m n +≥，即m n +的最小值为2，当且仅当m n =时取等号，此时1m n ==. 15.20-因为()262f x x ax a '=--，所以()1630f a '=-=，得2a =.因为()()()26422131f x x x x x '=--=-+，所以()f x 在12,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭，()1,2上单调递增，在1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减.因为()220f -=-，()12f =-，所以()f x 在[]2,2-上的最小值为20-.16.59若这两个数字的乘积能被3整除，则这两个数字中至少有3，6中的一个，基本事件的总数有6636⨯=种，其中既没有3，也没有6的基本事件共有4416⨯=种，则所求概率为1651369-=..17.解：选①：∵sin B A=，∴b =. ………………………………………………………3分∵1a b +=1a =，b =…………………………………………………………………6分∵2222cos c a b ab C =+-，6C π=，∴1c =. ………………………………………………………………………………………………………9分 符合a c b +>，故存在满足条件的ABC △. …………………………………………………………10分 选②：∵sin 2c A =，∴sin 2a C =. ……………………………………………………………3分∵6C π=，∴4a =. ………………………………………………………………………………………5分∵sin B A =，∴b =，∴b =………………………………………………………7分由2222cos 164824162c a b ab C =+-=+-⨯⨯=得4c =. ……………………………9分符合a c b +>，故存在满足条件的ABC △. …………………………………………………………10分选③：∵b =，∴c =. ………………………………………………………………………2分∵sin B A =，∴b =. ………………………………………………………………………5分∵2222cos a b c ab C +-=，∴222392cos 6a a a a π+-=⋅，得2253a a -=，不成立.…………………………………………………………………………………9分故不存在满足条件的ABC △. …………………………………………………………………………10分 18.解：（1）当1n =时，1112S a +=，解得11a =. ……………………………………………………1分 因为21n n S a =-，①所以当2n ≥时，1121n n S a --=-，② ①-②得1122n n n n S S a a ---=-，……………………………………………………………………2分所以.12n n a a -=. ………………………………………………………………………………………4分故数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，其通项公式为12n n a -=. ………………………6分（2）由题知，()12nn b n =+⋅. ………………………………………………………………………7分所以()12322324212n n T n =⨯+⨯+⨯+++⋅，③()2341222324212n n T n +=⨯+⨯+⨯+++⋅，④…………………………………………………9分③-④得()()12312222212n n n T n +-=+++++-+⋅()()121221212n n n +⨯-=+-+⋅-12n n +=-⋅，……………………………………………………………………………………………11分所以12n n T n +=⋅.………………………………………………………………………………………12分19.（1）证明：：四边形ABCD 为正方形，∴AD CD ⊥. ∵90ADP ∠=︒，CDDP D =，∴AD PCD ⊥平面.∵CE PCD ⊂平面，∴AD CE ⊥. …………………………………………………………………2分 ∵二面角P AD B --为60︒，∴60PDC ∠=︒. ∵PD AD =，CD AD =，∴PCD ∆为等边三角形. ∵E 为PD 中点，∴CE DP ⊥. ∵ADDP D =，∴CE PAD ⊥平面.……………………………………………………………4分（2）解：过P 作PO CD ⊥，垂足为O ，易知O 为CD 中点. ∵PCD ABCD ⊥平面平面，PCD ABCD CD =平面平面，PO PDC ⊂平面，∴PO ABCD ⊥平面.设AB 中点为Q ，则//OQ AD ，OQ PDC ⊥平面.以O 为坐标原点，OQ 的方向为x 轴正方向，DC 的方向为y 轴正方向，OP 的方向为z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.∵正方形ABCD 的边长为2，∴()2,1,0A -，()2,1,0B ，()0,1,0C ，()0,1,0D -，(P，10,2E ⎛- ⎝⎭， ∴()0,2,0AB =，12,2AE ⎛=- ⎝⎭，30,2CE ⎛=- ⎝⎭.……………………7分 ∵CE PAD ⊥平面，∴CE 为平面ADE 的一个法向量. 设(),,n x y z =是平面ABE 的法向量，则20,120,22n AB y n AE x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++=⎪⎩ 令4z =，得)n =.………………………………………………………10分∵cos ,CE n CE n CE n⋅===∴平面ADE 与平面ABE .…………………………………………12分20.（1）证明：当2a =时，函数()cos 2xf x e x x =--，()sin 2xf x e x '=+-，………………1分若0x <，则1x e <.…………………………………………………………………………………2分因为sin 1x ≤，所以()sin 20xf x e x '=+-<，……………………………………………4分故()f x 在(),0-∞上单调递减.…………………………………………………………………5分 （2）解：当0x =时，()01f x =≥-，对a R ∈恒成立；………………………………6分当0x >时，由()cos f x x x ≥-，整理得1xe a x ≤-.………………………………………7分 设()1xe g x x=-，则()()21x e x g x x -'=.…………………………………………………………8分令()0g x '>，得1x >，则()g x 在()1,+∞上单调递增；………………………………………9分 令()0g x '<，得01x <<，则()g x 在()0,1上单调递减.…………………………………………10分 所以()()min 11g x g e ==-，1a e ≤-.………………………………………………………………11分综上，实数a 的取值范围是(],1e -∞- …………………………………………………………………12分21.（1）解：设P 到直线1y =-的距离为d ，则1d PM =-，所以P 到直线2y =-的距离等于P 到()0,2M 的距离，由抛物线的定义可知，P 的轨迹C 的方程为28x y =.……………………………………………………4分（2）证明：设211,8x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,8x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()00,Q x y ， 联立方程组28,2,x y y kx ⎧=⎨=+⎩得28160x kx --=，则128x x k +=，1216x x =-，264640k ∆=+>.………………………………………………………6分由28x y =，得28x y =，所以4x y '=， 所以切线AQ 的方程为21148x x y x =-，① 同理切线BQ 的方程为22248x x y x =-.②………………………………………………………………10分 由①2x —②1x ，得12028x x y ==-， 所以点Q 在直线2y =-上.………………………………………………………………………………12分22.解：（1）当1a =时，()ln x f x x x=+，定义域为()0,+∞， ()2221ln 1ln 1x x x f x x x -+-'=+=. ……………………………………………………………………1分 设()21ln g x x x =+-，则())21121x g x x x +--'==，………………………………2分令()0g x '=，得2x =， 所以()g x在0,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，则()min 3ln 2022g x g ==+>⎝⎭，…………………………………………………………………3分 所以()f x 在()0,+∞上为增函数.………………………………………………………………………4分故()f x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()1f e e e =+，最小值为11f e e e⎛⎫=- ⎪⎝⎭.……………………………5分 （2）不等式()02f x a ≤+可转化为()200002ln x x a x x -≤-，………………………………………6分 令()()ln 0F x x x x =->，则()()10x F x x x-'=>. 当01x <<时，()0F x '<，()F x 在()0,1上单调递减；当1x >时，()0F x '>，()F x 在()1,+∞上单调递增.…………………………………………………7分 所以()()min 110F x F ==>，于是200002ln x x a x x -≥-，…………………………………………………8分 记()22ln x x G x x x-=-，(]0,x e ∈， 则()()()()()()()()()2222ln 2112ln 2ln ln x x x x x x x x G x x x x x -------+'==--，……………………………9分 因为()22ln 21ln 0x x -=-≥，所以()G x 在()0,1上单调递减，在()1,e 上单调递增.…………………………………………………10分 所以()()min 11G x G ==-，从而1a ≥-，……………………………………………………………11分故a 的取值范围是[)1,-+∞.………………………………………………………………………………12分。

三湘名校教育联盟・2023年下学期高二期中联考数学本试卷共4页。

全卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合()(){}430A x x x =∈+-<Z ，(){}2log 2B x y x ==-，则()RB A =ðA.[]2,2- B.{}1,0,1-C.{}2,1,0,1,2-- D.∅2.已知复数z 的共轭复数z 满足()2i 1i z +=-，则z 在复平面内对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知双曲线C ：()222210,0y x a b a b-=>>的焦距为4，则C 的渐近线方程为A.2y x=±B.y =C.12y x =±D.y x =4.已知数列{}n a 中，13a =，()1112n n a n a -=-…，则2023a 等于A.12-B.13 C.23D.35.已知()111,P x y ，()222,P x y 是直线2023y kx =+（k 为常数）上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组11221,1x x y y x x y y +=⎧⎨+=⎩的解的情况，下列说法正确的是A.无论k ，1P ，2P 如何，总是无解B.无论k ，1P ，2P 如何，总有唯一解C.存在k ，1P ，2P ，使12x y =⎧⎨=⎩是方程组的一组解D.存在k ，1P ，2P ，使之有无穷多解6.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，球O 是正方体的内切球，点G 是内切球O 表面上的一个动点，则GB GC ⋅的取值范围为A.[]0,4B.2⎡⎤-⎣⎦C.4,2⎡+⎣D.22⎡-+⎣7.已知定义域为R 的函数()f x 满足()()f x f x =--，当(]12,,0x x ∈-∞且12x x ≠时，()()1212f x f x x x -<-成立.若存在[]0,1x ∈使得()()212f ax x f a --<-成立，则实数a 的取值范围是A.(),1-∞ B.()+∞C.(22---+D.()1,+∞8.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>，M 和N 分别为实轴的右端点和虚轴的上端点，过右焦点F 的直线l 交C 的右支于A ，B 两点.若存在直线l 使得点M 为NAB △的重心，则C 的离心率为A.43C.2二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知直线l ：210kx y k -++=和圆O ：228x y +=，则A.直线l 恒过定点()2,1B.直线l 与圆O 相交C.存在k 使得直线l 与直线0l ：240x y -+=平行D.直线l 被圆O 截得的最短弦长为10.设函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是A.若()f x 的最小正周期为π，则2ω=B.若1ω=，则()f x 的图象关于点2,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称C.若()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则403ω<<D.若()f x 在区间[]0,2π上恰有2个零点，则7131212ω<…11.已知F 为抛物线E ：()220y px p =>的焦点，A ，B ，C 是E 上三点，且()1,2A ，则下列说法正确的是A.当B ，C ，F 三点共线时，BC 的最小值为4B.若12BC =，设B ，C 中点为M ，则点M 到y 轴距离的最小值为6C.若2BF FC = ，O 为坐标原点，则BOC △D.当AB AC ⊥时，点A 到直线BC的距离的最大值为12.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 为线段1B C 的中点，点F 和点P 分别满足111D F D C λ=，11D P D B μ=，其中[],0,1λμ∈，则下列说法正确的是A.BP ⊥平面AECB.AP 与平面11BDD B 所成角的取值范围为[]45,60︒︒C.PE PF +D.点P 到直线1B C的距离的最小值为PE =三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知圆C 过点()0,0O ，且与直线40x y ++=相切，则满足要求的面积最小的圆C 的标准方程为______.14.已知3sin 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2sin22sin 1tan ααα++的值为______.15.已知三棱柱111ABC A B C -2AB =，1AC =，60BAC ∠=︒，则此球的体积为______.16.如图，椭圆1C ：()2211221110x y a b a b +=>>和2C ：2222221x y a b +=有相同的焦点1F ，2F ，离心率分别为1e ，2e ，B 为椭圆1C 的上顶点，21F P F P ⊥，1F ，B ，P 三点共线且垂足P 在椭圆2C 上，则12e e 的最大值是______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，存在四点()0,1A ，()7,0B ，()4,9C ，()1,3D .（1）求过A ，B ，C 三点的圆M 的方程，并判断D 点与圆M 的位置关系；（2）若过D 点的直线l 被圆M 截得的弦长为8，求直线l 的方程.18.（本小题满分12分）长沙市某中学近几年加大了对学生奥赛的培训，为了选择培训的对象，2023年5月该中学进行一次数学竞赛，从参加竞赛的同学中，选取50名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成六组：第1组[)40,50，第2组[)50,60，第3组[)60,70，第4组[)70,80，第5组[)80,90，第6组[]90,100，得到频率分布直方图（如图），观察图中信息，回答下列问题：（1）根据频率分布直方图，估计本次考试成绩的平均数和第71百分位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）已知学生成绩评定等级有优秀、良好、一般三个等级，其中成绩不小于90分时为优秀等级，若从成绩在第5组和第6组的学生中，随机抽取2人，求所抽取的2人中至少有1人成绩优秀的概率.19.（本小题满分12分）已知a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ，B ，C 的对边，且cos sin 0b C C a c +--=.（1）求角B ；（2）若点D 满足2AD DC =，且1BD =，求ABC △的面积的最大值.20.（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，90ABP ∠=︒，2AB BP ==，点D 在平面ABP 内的投影F 是AB 的中点，E 是PC 的中点.（1）证明：EF ∥平面ADP ；（2）若3PD =，求二面角D EF P --的正弦值.21.（本小题满分12分）已知函数()2ee xx f x a =-，()ln g x x =.（1）求函数()26g x x --的单调递增区间；（2）若对任意21,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，存在()1,0x ∈-∞，使得()()12f x g x ≠，求实数a 的取值范围；（3）若函数()()()F x f x f x =+-，求函数()F x 的零点个数.22.（本小题满分12分）椭圆E ：22143x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F .过1F 作直线1l 交E 于A ，B 两点.过2F 作垂直于直线1l 的直线2l 交E 于C ，D 两点.直线1l 与2l 相交于点P .（1）求点P 的轨迹方程；（2）求四边形ACBD 面积的取值范围.三湘名校教育联盟・2023年下学期高二期中联考・数学参考答案、提示及评分细则1.【答案】C 【解析】因为()(){}{}4303,2,1,0,1,2A x x x =∈+-<=---Z ，又(){}{}2log 222B x y x x x x ==-=><-或，{}22B x x =-R ……ð，所以(){}2,1,0,1,2B A =--R ð，故选C.2.【答案】A【解析】由()2i 1i z +=-可得()()()()1i 2i 1i 13i 2i 2i 2i 55z ---===-++-，所以13i 55z =+，对应点为13,55⎛⎫⎪⎝⎭，在第一象限.故选A.3.【答案】C【解析】由已知得，双曲线的焦点在y 轴上，双曲线的焦距2c =，解得c =，双曲线的实轴长为24a =，解得2a =，则4b ===，即双曲线C 的渐近线方程为12a y x xb =±=±.故选C.4.【答案】D 5.【答案】B 【解析】由题意11222023,2023,y kx y kx =+⎧⎨=+⎩则()()()12211221122023202320230x y x y x kx x ky x x -=+-+=-≠，（直线2023y kx =+的斜率存在，∴12x x ≠），故1l ：111x x y y +=与2l ：221x x y y +=相交，∴方程组总有唯一解.A ，D 错误，B 正确；若1,2x y =⎧⎨=⎩是方程组的一组解，则112221,21,x y x y +=⎧⎨+=⎩则点()111,P x y ，()222,P x y 在直线21x y +=，即1122y x =-+上，但已知这两个点在直线2023y kx =+上，这两条直线不是同一条直线，∴1,2x y =⎧⎨=⎩不可能是方程组的一组解，C 错误.故选B.6.【答案】D【解析】取BC 中点为H ，因为GB GH HB =+ ，GC GH HC =+ ，所以2221GB GC GH HC GH ⋅=-=- ，又GH GO OH =+ ，则2222GH GO OH GO OH =++⋅，又正方体的棱长为2，则正方体的内切球半径为1，则1GO =，OH =23,GH GO OH =+ ，所以212,GB GC GH GO OH ⋅=-=+ ，所以当GO ，OH 反向时，cos ,1GO OH =-，GB GC ⋅有最小值为2-；当GO ，OH 同向时，cos ,1GO OH =，GB GC ⋅有最大值为2+.故选D.7.【答案】D【解析】由条件可知函数()f x 在R 上单调递减.存在[]0,1x ∈使得()()212f ax xf a --<-成立等价于存在[]0,1x ∈使得不等式212ax x a -->-成立.由212ax x a -->-得()211x a x ->+，∵[]0,1x ∈，∴10x -…，∴①当1x =时，02>不成立；②当[)0,1x ∈时，211x a x +>-有解.求当[)0,1x ∈时，函数211x y x+=-的最小值.令(]()10,1t x t =-∈，则221(1)1221x t y t x t t+-+===+--，而函数22y t t=+-是(]0,1上的减函数，所以当且仅当1t =，即0x =时，min 1y =.故1a >，故选D.8.【答案】A【解析】依题意，(),0M a ，()0,N b .点M 为NAB △的重心时，AB 中点3,22a b P ⎛⎫-⎪⎝⎭.设()11,B x y ，()22,A x y ，则2211221x y a b -=，2222221x y a b -=.两式作差得：22BA OP b k k a ⋅=.其中，3OP bk a=-.又因为B ，A ，F ，P 四点共线，所以232BA FPb k k ac ==-.故222332bb b a a ac -⋅=-，解得34c a =，故43e =.故选A.9.【答案】BD【解析】对于A ，由210kx y k -++=可得，()210k x y +-+=，令20x +=，即2x =-，此时1y =，所以直线l 恒过定点()2,1-，A 错误；对于B ，因为定点()2,1-=<，所以定点()2,1-在圆内，所以直线l 与圆O 相交，B 正确；对于C ，因为直线0l ：240x y -+=的斜率为12，所以直线l 的斜率为12，此时直线l 的方程为240x y -+=，直线l 与直线0l 重合，故C 错误；对于D ，设直线l 恒过定点()2,1A -，圆心到直线l 的最大距离为OA =，此时直线l 被圆O截得的弦长最短为=，D 正确；故选BD.10.【答案】AD【解析】对于A ，若()f x 的最小正周期为π，则2ππω=，解得2ω=，故A 正确；对于B ，若1ω=，则()sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，23x π=时，()2sin 136f x ππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，故B 错误；对于C ，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，,6626x πππωπω⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，因为()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则6262ππωππ-<-…，解得403ω<…，故C 错误；对于D ，[]0,2x π∈时，,2666x πππωπω⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，若()f x 在[]0,2π上恰有2个零点，则226πππωπ-<…，解得7131212ω<…，故D 正确.故选AD.11.【答案】ACD 【解析】依题意，2p =.对于A 选项，当B ，C ，F 三点共线时，BC 为焦点弦.通径（垂直于对称轴的焦点弦）最短，最短为2p ，故A 正确；对于B 选项，12BF CF BC +=…（当且仅当B ，C ，F 三点共线时等号成立），即212B C x x ++…，故5M x …，所以点M 到y 轴距离的最小值为5，B 错误；对于C 选项，依题意，BC 为焦点弦且2BF CF =.不妨设直线BC 的倾斜角α为锐角，则1cos p BF α=+，1cos p CF α=-，解得1cos 3α=，故22sin p S α==C 正确；对于D 选项，设直线BC ：x my n =+，()11,B x y ，()22,C x y ，与抛物线方程联立，得：2440y my n --=.由韦达定理有：124y y m +=，124y y n ⋅=-.依题意121222111y y x x --⋅=---.即()()()()121222110y y my n my n --++-+-=，整理得：()()()22121212(1)40m y y mn m y y n ++--++-+=.代入韦达定理可得：()()22341n m -=+，解得()213n m =±++，其中()213n m =++时，直线过定点()5,2-，()213n m =-++时，直线过点A ，不符合题意，故直线BC 过定点()5,2P -，点A 到直线BC的距离最大值为AP =.D 正确.故选ACD.12.【答案】ACD【解析】对于A 选项，平面AEC 即为平面1AB C ，易知A 正确；对于选项B ：如图，连接AC 交BD 于点O ，连接OP ，知AO ⊥平面11BDD B ，所以APO ∠即为AP 与面11BDD B 所成角，所以sin AO APO AP ∠==，由P 在1D B 上知AP ∈，所以1sin 2APO ∠⎡∈⎢⎣，因为()0,90APO ∠∈︒︒，所以APO ∠的范围是[]30,60︒︒，即直线AP 与平面11BDD B 所成角的范围是[]30,60︒︒，故B 错误；对于C 项，把问题转化为在平面11ABC D 内求点P 使得PE PF +最小，如图，作点E 关于线段1D B 的对称点1E ，过点1E 作11D C ，AB 的垂线，垂足分别为F 和H ，则1PE PF E F +…，设1E BA ∠θ=，则()1111sin sin 3ABD C BD θ∠∠=-=，故11sin E H BE θ==故1E F ==.对于D 项，当23μ=时，P ∈平面1AB C 且A ，P ，E 三点共线.此时1PE B C ⊥，1PE BD ⊥，即此时P 到直线1B C的距离最小，最小值为13AE =.故选ACD.13.【答案】()()22112x y +++=【解析】过O 作直线40x y ++=的垂线，垂足为A .当OA 为直径时，圆C 的面积最小.O 到直线40x y ++=的距离d ==可知半径r =(),a b 在直线0x y -=上，且222a b +=，解得1a =-，1b =-，所求圆的方程为()()22112x y +++=.14.【答案】725-【解析】由3sin 45πα⎛⎫+=⎪⎝⎭)3cos sin 5αα+=，两边平方得72sin cos 25αα=-.所以()222sin cos cos sin sin22sin 2sin cos 2sin 72sin cos sin 1tan cos sin 251cos αααααααααααααααα+++====-+++.15.【解析】由已知该三棱柱是直三棱柱，且底面是直角三角形，90ACB ∠=︒，设D ，1D 分别是AB ，11A B 的中点，O 是1DD 中点，则O 就是三棱柱外接球球心，121sin602ABC S =⨯⨯⨯︒=△，1V Sh DD ===即12DD =，OA ===.所以334433V OA ππ=⨯=⨯=.16.【解析】由图知1111OF c e a BF ==，122212222OF c c e a a PF PF ===+则121212PF PF e e BF +=，设12PF F ∠θ=，则()122sin cos PF PF c θθ+=⋅+，1cos cBF θ=则()121sin cos cos 242e e πθθθθ⎛⎫=+⋅=++ ⎪⎝⎭….17.【解析】（1）设圆M 方程为220x y Dx Ey F ++++=，把A ，B ，C 三点坐标代入可得：10,4970,1681490,E F D F D E F ++=⎧⎪++=⎨⎪++++=⎩解得8D =-，8E =-，7F =，所以圆M 方程是228870x y x y +--+=把D 点坐标代入可得：1982470+--+<，故D 在圆M 内；（2）由（1）可知圆M ：()()224425x y -+-=，则圆心()4,4M ，半径5r =，由题意可知圆心到直线l 的距离是3，当直线l 斜率存在时，设直线l 方程为：()1330y k x kx y k =-+⇒-+-=，3，解得43k =-，故直线l 的方程为43130x y +-=；当直线l 斜率不存在时，则直线l 方程为：1x =，此时圆心到直线l 的距离是3，符合题意.综上所述，直线l 的方程为43130x y +-=或1x =.18.【解析】（1）450.1550.26650.2750.3850.08950.0666.8x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，所以本次考试成绩的平均分约为66.8；因为成绩在[)40,70的频率为()0.010.0260.02100.56++⨯=，成绩在[)40,80的频率为0.560.03100.86+⨯=，所以第71百分位数位于[)70,80，设其为x ，则()0.56700.030.71x +-⨯=，解得75x =，所以第71百分位数为75；（2）第5组的人数为：500.008104⨯⨯=人，可记为A ，B ，C ，D ；第6组的人数为：500.006103⨯⨯=人，可记为a ，b ，c ；则从中任取2人，有(),A B ，(),A C ，(),A D ，(),A a ，(),A b ，(),A c ，(),B C ，(),B D ，(),B a ，(),B b ，(),B c ，(),C D ，(),C a ，(),C b ，(),C c ，(),D a ，(),D b ，(),D c ，(),a b ，(),a c ，(),b c ，共21种情况，其中至少有1人成绩优秀的情况有(),A a ，(),A b ，(),A c ，(),B a ，(),B b ，(),B c ，(),C a ，(),C b ，(),C c (),D a ，(),D b ，(),D c ，(),a b ，(),a c ，(),b c ，共15种情况.所以至少有1人成绩优秀的概率155217P ==.19.【解析】（1）由正弦定理可得：sin cos sin sin sin 0B C B C A C +--=又在三角形ABC 中，()sin sin A B C =+，∴()sin cos sin sin sin 0B C B C B C C -+-=，sin cos sin sin 0B C B C C --=，又在三角形ABC 中，sin 0C >，cos 1B B -=，∴1sin 62B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭∵()0,B π∈，∴3B π=；（2）由2AD DC = ，可得()11123333BD BA AD BA AC BA BC BA BC BA =+=+=+-=+ ，两边平方可得222144999BD BC BA BC BA =++⋅ ，即221441cos 999a c ac B =++，所以229426a c ac ac =++…，当且仅当2a c =时取“=”，所以32ac …，所以1sin 2ABC S ac B =…△所以ABC △.20.【解析】（1）证明：取DP 的中点G ，连接EG ，GA∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB CD ∥，∵F 为AB 中点，∴AF CD ∥，且12AF CD =，∵G 为DP 中点，E 为CP 中点，∴EG 为CDP △的中位线，∴EG CD ∥，且12EG CD =，即AF EG ∥，且AF EG =，故四边形AFEG 是平行四边形，∴EF AG ∥，又AG ⊂平面ADP ，EF ⊄平面ADP ，∴EF ∥平面ADP ；（2）取CD 中点N ，连接BN ，∵点D 在平面ABP 内的投影为F ，∴DF ⊥平面ABP .∵PF ===3DP =∴2DF ===，∵BN CD ⊥，则2BN DF ==，由于BA ，BN ，BP 两两垂直，则可以点B 为坐标原点建系，以BA 为x 轴，BP 为y 轴，BN 为z 轴，则有()0,0,0B ，()2,0,0A ，()0,2,0P ，()1,0,0F ，1,1,12E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()1,0,2D ，则3,1,12DE ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，3,1,12EF ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()1,2,0FP =- ，设平面DEF 的法向量为()1111,,n x y z = ，则110,0,DE n EF n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即11111130,230,2x y z x y z ⎧-+-=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩令13y =，则12x =，10z =，故()12,3,0n = ，设平面PEF 的法向量为()2222,,n x y z = ，则220,0,EF n FP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即2222230,220,x y z x y ⎧--=⎪⎨⎪-+=⎩令21y =，则22x =，22z =，故()22,1,2n =，121212cos ,n n n n n n ⋅===⋅ ，设二面角D EF P --的平面角为θ，则sin θ==.故二面角D EF P --.21.【解析】（1）由260x x -->得：2x <-或3x >，即()26g x x --的定义域为{}23x x x <->或，令26m x x =--，ln y m =在()0,m ∈+∞内单调递增，而(),2x ∈-∞-时，26m x x =--为减函数，()3,x ∈+∞时，26m x x =--为增函数，故函数()26g x x --的单调递增区间是()3,+∞.（2）由21,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦与()1,0x ∈-∞可知()[]21,1g x ∈-，()1e 0,1x ∈所以112e e 1x x a ->或112e e 1x x a -<-，分离参数得11211e e x x a >+，或11211e e x x a <-有解，令11ex n =，则1n >，2a n n >+或2a n n <-有解，得2a >或0a <；（3）依题意()()()222ee e e e e e e 2x x x x x x x x F x a a a a ----=-+-=+-+-，令e e x x t -=+，则函数()F x 转化为()()222h t at t a t =--…，此时只需讨论方程220at t a --=大于等于2的解的个数，①当0a =时，()0h t t =-=没有大于等于2的解，此时()F x 没有零点；②当0a >时，()020h a =-<，当()20h >时，1a >，方程没有大于等于2的解，此时()F x 没有零点；当()20h =时，1a =，方程有一个等于2的解，函数()F x 有一个零点；当()20h <时，01a <<，方程有一个大于2的解，函数()F x 有两个零点.③当0a <时，()020h a =->，()2220h a =-<恒成立，即方程不存在大于等于2的解，此时函数()F x 没有零点.综上所述，当1a =时，()F x 有一个零点；当01a <<时，()F x 有两个零点；当0a …或1a >时，()F x 没有零点.22.【解析】（1）设(),P x y ，依题意()11,0F -，()21,0F ，且120PF PF ⋅= .所以()()2110x x y +-+=，整理得221x y +=.故点P 的轨迹方程为221x y +=；（注：也可以用斜率之积为1-来求轨迹方程，但需讨论斜率不存在的特殊情况.否则扣1分）（2）依题意，12S AB CD =⋅.过1F 作平行于2l 的直线交E 于M ，N 两点，由对称性知CD MN =.①当1l 的斜率为0或斜率不存在时，14362S =⨯⨯=；②当1l 的斜率存在且不为0时，设1l ：1x my =-，()11,A x y ，()22,B x y .联立方程221,34120,x my x y =-⎧⎨+-=⎩消元得：()2234690m y my +--=.()2Δ1441m =+故()2212134m AB m +==+，同理，()2222112112143134m m CD MN m m ⎡⎤⎛⎫-+⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦===+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.故()()()2222721123443m S AB CD m m +=⋅=++.令21t m =+，()1,t ∈+∞，则()()22727211314112t S t t t t ==+--++，其中211491212,4t t ⎛⎤-++∈ ⎥⎝⎦，故288,649S ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.综上，288,649S ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.。

2021年高二数学上学期期中联考试题理湘教版本卷共21小题时量：120分钟满分：12０分一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．命题：“能被4整除的数一定是偶数”，其等价命题（）A．偶数一定能被4整除B．不是偶数不一定能被4整除C．不能被4整除的数不一定是偶数D．不是偶数一定不能被4整除2．已知命题P: 是的一个根，命题q: ，则p是q的（）条件。

A. 充分非必要B.必要非充分C.充要D.既不充分也不必要3．等差数列中，若，则（）A.12B.24C.16D.484．数列的通项公式是，若前n项和为10，则项数n为（）A．11 B．99 C.120 D．1215．等比数列的各项均为正数，且，则()1012333log log log aa a++⋅⋅⋅+=A．12 B． 10 C．8 D．6．设x，y为正数，若，则最小值为( )A．6 B.9 C.12 D.157.一元二次不等式对一切实数x恒成立，则k的范围是（）A.（-3,0）B.(-3，0]C.D.8.若满足，则为（）三角形A．等腰 B．等边 C．等腰直角 D．等腰或直角9. 在中，222sin sin sin sin sinA B C B C≤+-，则A的范围是（）A B. C. D.10.在抛物线中，以（1，-1）为中点的弦所在的直线方程为（）A.x-4y-3=0B.x+4y+3=0C. 4x+y-3=0D.4x+y+3=0二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11．命题的否定是12．已知椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离为则到另一个焦点的距离为13．已知实数x，y满足则z＝2x＋4y的最大值为14、设中心在原点的双曲线与椭圆x22＋y2＝1有公共焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为15.已知椭圆C：，为其左、右焦点，M为椭圆上的一点，的重心为G，内心为I，且直线IG平行x轴，则椭圆的离心率为三、解答题(本大题共6小题，共60分.应写出文字说明、证明过程或演算步骤).16.（10分）已知命p：方程的解都在内；命题q：对任意实数，不等式恒成立，若命题“p∧q”是真命题，求的取值范围。

2021年高二数学上学期期中试题 理 湘教版一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

1．命题“x∈R，sinx ＞”的否定是（ ） A ．x∈R，sinx≤ B ．x 0∈R，sinx 0≤ C ．x 0∈R，sinx 0＞ D ．不存在x∈R，sinx ＞ 2．在△ABC 中，角的对边分别是，若a=，A=45°，B=60°， 则b=（ ）A ．B ．C ．1D ．23．已知等比数列的前三项依次为（ ） A. B. C. D.4．若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为（ ） A ． B ． C ． D ． 5．在中，角A,B,C 所对应的边分别为，则是 的（ ）A.充分必要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.非充分非必要条件6．在R 上定义运算，若不等式成立，则实数a 的取值范围是( )． A ．{a |} B ．{a |} C ．{a |} D ．{a |}7．等差数列9}{,27,39,}{963741前则数列中n n a a a a a a a a =++=++项的和等于（ ） A ． B ． C ． D ． 8．在，三个内角、、所对的边分别为、、，若内角、、依次成等差数列，且不等式的解集为，则等于（ ）A ．B ．4C ．D ．9．如果实数满足不等式组，目标函数的最大值为6，最小值为0，则实数的值为（ ） A.1 B.2 C.3 D.410．设、分别为双曲线的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（ ） A ． B ．2 C ． D ．二．填空题：本大题5小题，每小题5分，共25分。

11．在中，分别是三内角所对应的边，若, 则 .12.抛物线的准线方程是13．当时,不等式 恒成立，则实数的最大值是 14．已知数列的前n 项和为，且，则=___．15．已知命题p ：实数m 满足m 2＋12a 27am(a>0)，命题q ：实数m 满足方程＋＝1表示的焦点在y 轴上的椭圆，且p 是q 的充分不必要条件，a 的取值范围为________．三、解答题：本大题共6小题，共75分。

高二数学上学期期中试题（说明：本试卷满分150分，考试时间120分钟,学生答题时不可使用计算器.）一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1.设命题:N p n ∃∈,22n n >,则p ⌝为( )A.N n ∀∈,22n n ≤B.N n ∃∈,22n n ≤C.N n ∀∈,22n n >D.N n ∃∈,22n n =2.在等差数列{}n a 中,若261,1a a ==-,则4a = ( )A. 1-B. 1C. 0D. 12-3.不等式22150x x --<的解集是( )A. {|5,x x >或3}x <-B. {}|35x x -<<C. RD. φ4.设2,1M x N x ==--,则M 与N 的大小关系是( )A. M N >B. M N =C. M N <D.与x 有关5.若0xy >,则对x y y x+说法正确的是（ ） A.有最大值-2 B.有最小值2C.无最大值和最小值D.无法确定6.若椭圆的两焦点为(2,0)-和(2,0)，且椭圆过点53,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，则椭圆方程是( ) A.22184y x += B.221106y x += C.22184x y += D.221106x y += 7．双曲线虚半轴长为5，焦距为6，则双曲线离心率是（ ） A ．35 B ．53 C ．23 D ．32 8.与椭圆229436x y +=有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为( ) A.22143x y += B.2216y x += C.2216x y += D.22185x y +=9．双曲线2233x y -=的渐近线方程是 （ ）A ．3y x =±B ．13y x =±C ．y =D ．y x = 10．过椭圆221169x y +=左焦点F 1的弦AB ，则2ABF ∆（F 2为右焦点）的周长是 （ ） A ．10 B ．12 C ．14 D ．1611.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线平行于直线l ：210y x =+,双曲线的一个焦点在直线l 上,则双曲线的方程为( ) A. 221520x y -= B. 221205x y -= C. 2233125100x y -= D. 2233110025x y -= 12．过点M （－2，0）的直线M 与椭圆1222=+y x 交于P 1，P 2，线段P 1P 2的中点为P ，设直线M 的斜率为1k （10k ≠），直线OP 的斜率为2k ，则12k k ⋅的值为（ ）A ．2B ．－2C ．21D ．－21 二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．13.已知等比数列前3项为111,,248-则其第8项是_______________. 14．11422=-+-t y t x 表示双曲线，则实数t 的取值范围是_______________. 15．焦点在x 轴的椭圆22116x y m +=的离心率为12，则m =_______________. 16.已知1F ,2F 分别是双曲线 ()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点, P 为双曲线上的一点,若1290,F PF ∠=︒且12F PF ∆的三边长成等差数列,则双曲线的离心率是 ．三、解答题：（第17题10分,其余各题12分，解答应写出文字、符号 说明，证明过程或演算步骤.）17.(本小题满分10分)椭圆的一个顶点为A （2，0），其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．18. (本小题满分12分)求一条渐近线方程是043=+y x ，一个焦点是()0,4的双曲线标准方程，并求此双曲线的离心率．19.(本小题满分12分)等差数列{}n a 的各项均为正数,前n 项和为n S ,13a =,28S =,(1).求; (2).求12111.nS S S +++;20.(本小题满分12分)已知p :22320x x --≥,q :2,x a x a ≤-≥,若p 是q 的充分不必要条件,求实数a 的取值范围.21. (本题满分12分)已知椭圆22(9)25(0)mx m y m m ++=>的离心率35e =,求实数m 的值及 椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标.22.(本小题满分12分)椭圆12222=+by a x(a ＞b ＞)0与直线1=+y x 交于P 、Q 两点，且OQ OP ⊥，其中O 为坐标原点．（1）求2211b a +的值； （2）若椭圆的离心率e 满足33≤e ≤22，求椭圆长轴的取值范围．参考答案一、选择题 ACBAB DCBCD AD二、填空题13.答案：1256- 14.(,1)(4,)-∞+∞ 15.12 16.解析：因为12F PF ∆的三边长成等差数列,不妨设2112,,PF PF F F 成等差数列, 分别设为,,m d m m d -+,则由双曲线定义和勾股定理可知:222()2,()()m m d a m m d m d --=+-=+,解得48,5m d a c a ===,故离心率55c a e a a===.三、解答题 17.解：（1）当A (2,0)为长轴端点时，a =2 , b =1，椭圆的标准方程为：；（2）当为短轴端点时，，，椭圆的标准方程为：；18.[解析]：设双曲线方程为：λ=-22169y x ，∵双曲线有一个焦点为（4，0），0>∴λ 双曲线方程化为：2548161691169222=⇒=+⇒=-λλλλλy x ， ∴双曲线方程为：1251442525622=-y x ∴455164==e ．19. 1.设的公差为,,则为正数,,依题意有23368,2S d d d =++=+== 12+=∴n a n 2.,所以.20.答案：令{}()(){}2|2320|2120?M x x x x x x=--≥=+-≥1{|2x x=≤-或2}x≥, {|2N x x a=≤-或}x a≥.由已知q p⇒且q p⇒,得M N.∴12,{22,aa-≥-<或12,{22,aa->-≤解得322a≤<或322a<≤,即322a≤≤. 即实数a的取值范围是3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 21. 答案：易知椭圆的方程可化为22(9)12525x m ym++=.∵2522525099mm m-=>++,∴25259mm>+,即222222522525,,99a b c a bm m===-=++, 由35e=,得225925(9)25m=+,∴16m=.∴椭圆的标准方程为2212516x y+=,∴5,4,3a b c===.∴椭圆的长轴长为10,短轴长为8,两焦点坐标分别为(3,0),(3,0)-, 四个顶点坐标分别为(5,0),(5,0),(0,4),(0,4)--.22.（1）设),(),,(2211yxPyxP，由OP ⊥ OQ ⇔ x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0①1)(2,1,121212211=++--=-=xxxxxyxy代入上式得：又将代入xy-=112222=+byax)1(2)(222222=-+-+⇒baxaxba，,2,022221baaxx+=+∴>∆222221)1(babaxx+-=代入①化简得21122=+ba.(2) ,3221211311222222222≤≤⇒≤-≤∴-==abababace又由（1）知12222-=aab26252345321212122≤≤⇒≤≤⇒≤-≤∴aaa，∴长轴 2a∈ [6,5].。

高二数学试卷考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择題）两部分，共150分．考试时间120分钟．2．请将各题答案填写在答题卡上．3．本试卷主要考试内容：人教A 版必修1~5，选修2-1第一、二章．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题“24,log 2x x ∀>>”的否定是（ ）A ．0204,log 2x x ∃>B ．24,log 2x x ∀>C ．0204,log 2x x ∃D ．24,log 2x x ∀ 2．抛物线2116y x =的准线方程是（ ） A ．4y = B ．8y = C ．4y =- D ．8y =-3．已知,x y 的取值如下表所示，若y 与x 线性相关，且ˆ0.6y x a=+，则ˆa =（ ）A ．4.2B ．4.6C ．4.7D ．4.94．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若sin 22sin cos 0b A a A B -=，则ABC 的形状为（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形5．已知{}n a 是等差数列，且12894,6a a a a +=+=，则这个数列的前9项和等于（ ） A ．45 B ．452 C ．55 D ．5526．已知正数,m n 满足1250.2m n -=，则12m n+的最小值为（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．127．已知平面向量(1,1),(2,2)m n λλ=+=+，则“43λ>-”是“,m n 的夹角为锐角”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件8．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过原点O 的直线交C 的右支于点A ，若1223F AF π∠=，则双曲线的离心率为（ ）A B 1 C D二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点()00,M x y 在抛物线C 上，若||4MF =，则（ ）A ．03x =B ．0y =C ．||OM =D ．F 的坐标为(0,1)10．已知,,a b c 是三条不重合的直线，平面,αβ相交于直线,,c a b αβ⊂⊂，若,a b 为异面直线，则下列说法可能成立的是（ ）A ．a 与c 相交，且b 与c 也相交B ．//a β，且//b αC ．//a c ，且b 与c 相交D ．a c ⊥，且b c ⊥ 11．已知点(1,1)P -是角α终边上的一点，则（ ） A ．函数()sin(2)f x x α=+的对称轴方程为3()82k x k ππ=+∈Z B ．函数()sin(2)f x x α=+的对称轴方程为()82k x k ππ=+∈Z C ．函数5()cos 34g x x πα⎛⎫=++⎪⎝⎭是奇函数 D ．函数5()cos 34g x x πα⎛⎫=++⎪⎝⎭是偶函数 12．已知ln ln ,1,1,01x y x y m >≠≠<<，则（ ） A ．mmx y > B ．11(1)log (1)log y x x m y m +++<+C ．x y mmxy > D ．log log 1x m m y ⋅>第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．在等差数列{}n a 中，已知143,1a a =-=，则7a =_______．14．已知椭圆2211612x y +=的左、右焦点分别为12,,F F AB 是椭圆过焦点1F 的弦，则2ABF 的周长是___． 15．已知函数1,0()ln ,0x x f x x x -⎧=⎨>⎩，，若函数()()g x f x a =+恰有一个零点，则a 的取值范围是______．16．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过函数31x y x =-图象的对称中心，若椭圆C的离心率12e ⎛∈ ⎝⎭，则C 的长轴长的取值范围是_____________．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在①212AB BD ==，②sin ,BAD ABD D ∠=∠为BC的中点，③,6DAB AB π∠==个条件中任选一个，补充在下面的问题中．若问题中的三角形存在，求AC 的长；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在ABC ，在ABC 中，4ACB π∠=，点D 在线段BC 上，10AD =，_________？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 18．（12分）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c C 为锐角，且3,ab ABC =． （1）求角C ；（2）若ABC，求ABC 的周长． 19．（12分）记n S 是正项数列{}n a 的前n 项和，32n a +是6和124n S +的等比中项，且12a ≠． （1）求{}n a 的通项公式； （2）若等比数列{}n b 的公比为12，且123111,,2b b b -成等差数列，求数列{}n n a b 的前n 项和n T ．20．（12分）2020年“国庆、中秋”国内游持续升温，某大型游乐公司在做好疫情防控的同时，积极进行游乐设备的升级改造，并决定开设一个大型综合游乐项目，预计整套设备每天需要10000元的维护费，每位游客游玩的票价为400元．如果每天有x 人游玩该项目，需要另投入成本2120,0500,2()3600000410100000,500,x x x x f x x x x x ⎧+<<∈⎪⎪=⎨⎪+-∈⎪⎩N N，（单位：元）．同时为了满足防疫要求，规定该游乐项目每天游玩人数不能超过800．（1）求该游乐项目每天的利润y （元）关于每天游玩该项目的人数x 的函数关系式； （2）当每天游玩该项目的人数x 为多少时，该游乐公司获利最大？ 21．（12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的正方形，PD ⊥平面ABCD ．点E 是AB 的中点，过点E 作平行于平面PAD 的截面，与直线,,CD PC PB 分别交于点,,F G H ． （1）证明：//GH EF ．（2）若四棱锥P ABCD -的体积为83，求四边形 EFGH 的面积．22．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是12,F F，且离心率为2，点M 为椭圆C 上的动点，12F MF 面积的最大值为1．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若M 是椭圆C 的上顶点，直线1MF 交椭圆C 于点N ，过点1F 的直线l （直线l 的斜率不为1）与椭圆C 交于,P Q 两点，点P 在点Q 的上方，若11:3:2F MPF NQSS=，求直线l 的方程．高二数学试卷参考答案1．A 全称命题的否定是特称命题．2．C 化为标准方程为216x y =，易知该抛物线的准线方程为4y =-． 3．D 由表可得，12345 5.567783, 6.755x y ++++++++====，代入回归直线ˆˆ0.6yx a =+，得ˆ6.70.63a=⨯+，解得ˆ 4.9a =． 4．B 由sin 22sin cos 0b A a A B -=，得2sin cos 2sin cos 0b A A a A B -=，即cos cos 0b A a B -=．由正弦定理得sin cos cos sin 0B A B A -=，即sin()0B A -=，所以A B =．5．B 数列{}n a 是等差数列，且12894,6a a a a +=+=，则128910a a a a +++=，所以195a a +=，所以()19994522a a S +⨯==．6．B 由1250.2m n -=，可得2255m n --=，所以22m n +=，1211214424(2)22422n m m n m n m n m n +⎛⎫⎛⎫+=++=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当1,12m n ==时，取得等号．7．B 若,m n 的夹角为锐角，则0m n ⋅>，且,m n 不共线，则2220,(2)(1)2m n λλλλ⋅=+++>++≠，解得43λ>-且0λ≠．所以“43λ>-”是“,m n 的夹角为锐角”的必要不充分条件． 8．D 由题可知123FOA π∠=，易得112FOA F AF ～，所以11112FO F A F A F F =，可得1F A =．在12F AF 中，由余弦定理可得22212121222cos3F F AF AF AF AF π=+-⋅，解得22AF c =． =．9．AC 由题可知(1,0)F ，由0||1MF x =+，所以03x =，212y =，||OM ===．故选AC ．10．ACD 若//a β且//b α，可知////a b c ，与,a b 为异面直线矛盾，B 错误，其他三种情况都可能成立．故选ACD ．11．AD 根据题意知角α为第四象限角，且tan 1α=-，则2()4k k παπ=-+∈Z ，所以()sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令2()42x k k πππ-=+∈Z ，解得3()82k x k ππ=+∈Z ，所以函数()sin(2)f x x α=+的对称轴方程为35()()cos 3cos(3)cos3824k x k g x x x x πππαπ⎛⎫=+∈⋅=++=+=- ⎪⎝⎭Z 为偶函数．故选AD ． 12．AB 因为ln ln x y >，所以0x y >>．选项A ，令()mf t t =，又01m <<，所以()f t 在(0,)+∞上单调递增，所以mmx y >，所以A 正确． 选项B ，111111lg(1)lg(1)(1)log (1)log lg lg lg(1)lg(1)lg(1)lg(1)x y y x x y x y x m y m m m y x x y ++++⎡⎤⎡⎤+++-++-+=⋅-=⋅⎢⎥⎢⎥+++⋅+⎣⎦⎣⎦，因为0,01x y m >><<，所以B 正确．选项C ，yx mmxy >等价于()()11y x mmxy>，当4,3x y ==时，3434464,381,43==<，所以C 错误．选项D ，log log m m y x >，但是log ,log m m y x 的正负性无法确定，所以D 错误．故选AB ． 13．5 因为147,,a a a 成等差数列，所以1742a a a +=，即74125a a a =-=． 14．16 由椭圆的定义知12122,2,BF BF a AF AF a ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩所以22||416AB AF BF a ++==．15．(,1)-∞ 令()0f x a +=，得()a f x =-，结合函数()y f x =-的图象（图略）可知，1a <．16．9⎛⎝⎭ 因为31x y x =-可化为111393y x =+⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以曲线31xy x =-的对称中心为11,33⎛⎫ ⎪⎝⎭，把11,33⎛⎫ ⎪⎝⎭代入方程22221x y a b +=，得2211199a b +=，整理得22222221911a c a a c e -==+--．因为123e ⎛∈ ⎝⎭，所以2759,32a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，从而293a ⎛∈ ⎝⎭． 17．解：选择条件①，在 ABD 中，由余弦定理可得2225cos 29AB BD AD B AB BD +-==⋅， 4分则sin 9B ==． 7分 在ABC 中，由正弦定理得sin sin AB ACC B=，可得12sin sin AB B AC C ⨯⋅===． 10分选择条件②，在ABD中，sin BAD ABD ∠=∠，可得BD == 3分又D 为BC的中点，所以CD = 5分 在ADC 中，由余弦定理得2222cos AD CD AC CD AC ACB =+-⋅∠， 7分 得210020020AC AC =+-，即10AC =． 10分 选择条件③，在ABD 中，由余弦定理可得2222cos 100BD AD AB AD AB DAB =+-⋅∠=，即10BD =， 3分则210,,33AD BD ADB ADC ππ==∠=∠=． 6分 在ADC 中，由正弦定理得sin sin AD AC C ADC =∠，可得sin sin AD ADCAC C⋅∠==． 10分18．解：（1）因为13sin sin 224ABCSab C C ===，所以sin C =， 2分 又C 为锐角，所以60C ︒=． 4分 （2）设ABC 外接圆的半径为R，则2sin 3c R C ==， 6分所以4c ==． 7分因为2222222cos ()3c a b ab C a b ab a b ab =+-=+-=+-， 9分 所以216()9a b =+-，解得5a b +=， 11分所以549a b c ++=+=，即ABC 的周长为9． 12分19．解：（1）因为32n a +是6和124n S +的等比中项，所以2316?24n n a S ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭①， 1分当2n 时，21131624n n a S --⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭②，由①-②得2211336622n n n n a a S S --⎛⎫⎛⎫+-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 2分化简得2213322n n a a -⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即13322n n a a --=+或者133022n n a a -⎛⎫-++= ⎪⎝⎭（舍去），故13(2)n n a a n --=，数列{}n a 为等差数列． 3分因为21131624a S ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，解得11a =或12a =（舍去）， 4分所以数列{}n a 是首项为1、公差为3的等差数列，所以32n a n =-． 5分 （2）由123111,,2b b b -成等差数列，可得1321122b b b +-=， 可得23122q b q +-=， 6分又12q =，所以112b =， 7分 所以12n n b =． 8分由（1）得322n n nn a b -=， 所以234147103222222n n n T -=+++++，2345111471035322222222nn n n n T +--=++++++， 两式相减得23411111113232222222n nn n T +-⎛⎫=+++++- ⎪⎝⎭， 所以123111111111323213222131313112222222212n n n n n n nn n n T ---⎛⎫- ⎪---⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++++-=+⨯-=+--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-3442nn +=-． 12分20．解：（1）当0500x <<时，2211400201000038010000(0500,)22y x x x x x x x ⎛⎫=-+-=-+-<<∈ ⎪⎝⎭N ； 2分当500800x 时，3600000360000400410100000100001090000(500800,)y x x x x x x x ⎛⎫=--+-=-++∈ ⎪⎝⎭N ． 4分所以2138010000,0500,23600001090000,500800,x x x x y x x x x ⎧-+-<<∈⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-++∈ ⎪⎪⎝⎭⎩N N ，． 5分（2）由（1）可得，当0500x <<时，221138010000(380)6220022y x x x =-+-=--+， 7分当380x =时，max 62200y =． 8分 当500800x 时，36000010900002090000120009000078000y x x x ⎛⎫=-++-⋅=-+= ⎪⎝⎭， 10分 当且仅当600x =时，max 78000y =． 11分 综上，当每天游玩该项目的人数x 为600时，该游乐公司获利最大，为78000元． 12分 21．（1）证明：//,BC AD BC ⊄平面PAD ，//BC ∴平面PAD ， 1分又平面//PAD 平面 EFGH ，//BC ∴平面 EFGH ． 2分BC ⊂平面PBC ，平面PBC 平面EFGH GH =，//BC GH ∴． 3分同理，//BC EF ， 4分//GH EF ∴． 5分（2）解：由18433P ABCD V PD -=⋅⋅=，得2PD =． 6分 平面//PAD 平面 EFGH ，且平面PAB平面EFGH EH =，平面PCD平面EFGH GF =，//,//PA HE PD GF ∴． 8分又点E 是AB 的中点，可知,,G H F 分别为,,PC PB CD 的中点，2,1,1EF GH GF ∴===，且GF CD ⊥， 10分∴四边形 EFGH 的面积为(12)1322+⨯=． 12分22．解：（1）12F MF 面积最大值max 12112122S F F b c b bc =⋅=⋅⋅==． 2分又2c a =，所以b c =，解得11b c =⎧⎨=⎩，， 4分即1a b ==，故椭圆C 的标准方程为2212x y +=． 5分 （2）由题可得直线1MF 的方程为1y x =+，联立22112y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得41,33N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则1113NF MF =． 7分 因为11:3:2F MP F NQSS=，则111111121sin sin 232NF QF QF N MF PF PF M ⎛⎫⋅∠=⋅∠ ⎪⎝⎭，得112QF PF =． 8分当直线l 的斜率为0时，不符合题意，故设直线l 的方程为()()11221,,,,x my P x y Q x y =-，由点P 在点Q 的上方，则212y y =-．联立22112x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得()222210m y my +--=，则1221222212m y y m y y m ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，， 10分得12121212y y y y y y +=-⎧⎨=-⎩，，则22221222m m m -⎛⎫-= ⎪++⎝⎭，得22,7m m ==． 11分 又1212202my y y m +==-<+，则7m =不符合题意，所以7m =-． 故直线l的方程为770x +=． 12分。

高二化学试卷考生注意：1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，共100分。

考试时间75分钟。

2.请将各题答案填写在答题卡上。

3.本试卷主要考试内容：人教版必修1、必修2、选修4。

4.可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 Na 23 Zn 65第I卷(选择题共44分)一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。

每小题只有一个选项符合题目要求。

1.化学与人类生产、生活密切相关，下列叙述错误的是A.还原铁粉可用作食品的抗氧化剂B.为了加快反应速率，高炉炼铁前先将铁矿石粉碎C.工业炼铝时加入六氟合铝酸钠可以降低能耗D.煤经粉碎后可转化为清洁能源2.下列属于水解反应的是A.H 2S＋H2O HS－＋H3O＋B.SO32－＋H2O HSO3－＋OH－C.HS－S2－＋H＋D.CO 2＋H2O HCO3－＋H＋3.下列对应的电极反应式中，正确的是A.用惰性电极电解饱和食盐水时，阳极的电极反应式：2Cl－－2e－＝Cl2↑B.酸性氢氧燃料电池正极的电极反应式：2H2O＋O2＋4e－＝4OH－C.粗铜精炼时，与电源正极相连的电极上的电极反应式：Cu2＋＋2e－＝CuD.钢铁发生吸氧腐蚀时，铁电极的电极反应式：Fe－3e－＝Fe3＋4.下列气体去除杂质(括号中为杂质)的方法中，可实现的是5.已知某化学反应A2(g)＋B2(g)＝2AB(g)的能量变化如图所示，下列有关叙述中正确的是A.该反应是放热反应B.该反应的△H＝(E2－E1)kJ·mol－1C.该反应中反应物的键能总和大于生成物的键能总和D.由2 mol A(g)和2 mol B(g)形成2 mol A－B键吸收的能量为E2 kJ6.下列说法正确的是A.中和滴定实验中，锥形瓶先用水洗后，再用待测液润洗B.用分液漏斗分液时要经过振荡、放气、静置后，将下层液体先从下口放出，关闭旋塞，再从上口倒出上层液体C.实验过程中若皮肤不慎沾上少量酸液，应先用抹布擦干，再用大量水冲洗，最后涂上硼酸溶液D.在中和反应反应热测定实验中，盐酸和NaOH溶液的总质量为m g，反应前后体系温度变化为t℃，反应液的比热容为c J·g－1·℃－1，则生成1 mol水放出的热量为c×m×t×10－3 kJ7.下列反应的离子方程式书写正确的是A.向碳酸钠饱和溶液中滴加少量的盐酸：2H＋＋CO32－＝H2O＋CO2↑B.向NH4Al(SO4)2溶液中滴加足量的NaOH溶液：Al3＋＋4OH－＝AlO2－＋2H2OC.向硅酸钠溶液中通入少量的CO2：CO2＋SiO32－＋H2O＝H2SiO3↓＋CO32－D.向NaHSO3溶液中滴加少量的氢氧化钡溶液：Ba2＋＋OH－＋HSO3－＝BaSO3↓＋H2O8.下列条件中，可能大量共存的离子组是A.通入过量CO2后也不产生沉淀的溶液：K＋、AlO2－、NO3－、OH－B.pH＝9的溶液中：Na＋、Fe＋、NO3－、SCN－C.无色透明的溶液中：Cu2＋、NH4＋，SO42－、CO32－D.水电离出的c(OH－)＝10－13 mol·L－1的溶液中：Na＋、K＋、Cl－、CO32－9.常温下，反应2NH3(g)＋NaClO(aq)＝NaCl(aq)＋N2H4(aq)＋H2O(l)能自发进行，可用于生产N2H4。

湖南省三湘名校教育联盟高二上学期期中考试数学试题一、单选题1．已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则C U B A I A ．{}1,6 B ．{}1,7C ．{}6,7D ．{}1,6,7【答案】C【解析】先求U A ð，再求U B A ⋂ð． 【详解】由已知得{}1,6,7U C A =，所以U B C A ⋂={6,7}，故选C ． 【点睛】本题主要考查交集、补集的运算．渗透了直观想象素养．使用补集思想得出答案．2．设x ∈R ，则“02x <<”是“2230x x --<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】首先解一元二次不等式223013x x x --<⇒-<<，然后根据充分不必要条件即可判断. 【详解】由2230x x --<，则13x -<<，可知“02x <<”是“2230x x --<”的充分不必要条件， 故选：A 【点睛】本题主要考查充分不必要条件的含义，属于基础题. 3．在等差数列{}n a 中,1352,10a a a =+=，则7a =（ ） A ．5 B ．8C ．10D ．14【答案】B【解析】试题分析：设等差数列{}n a 的公差为d ，由题设知，12610a d +=，所以，110216a d -== 所以，716268a a d =+=+= 故选B.【考点】等差数列通项公式.4．已知向量a r ＝(1，0)，b r＝(-3，4)的夹角为θ，则sin2θ等于 ( ) A ．725-B ．725C ．2425-D ．2425【答案】C【解析】首先根据向量夹角公式求出cos θ的值，然后求出sin θ，最后根据二倍角正弦公式即可得出结果. 【详解】33cos 155a b a bθ⋅==-=-⨯⋅r r r ，∵0θπ≤≤，∴4sin 5θ==，24sin 22sin cos 25θθθ==-，故选C. 【点睛】本题主要考查了向量夹角的计算以及二倍角正弦公式的应用，属于中档题.5．已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在半径为2的同一个球的球面上.则球的体积与圆柱的体积的比值为（ ） A ．43B ．916C ．34D ．169【答案】D【解析】根据圆柱的底面半径、球的半径与球心到圆柱底面的距离构成直角三角形求出圆柱的底面半径为r ，再有体积公式求出圆柱的体积与球的体积即可. 【详解】设圆柱的底面半径为r，则r ==所以圆柱的体积为2126V ππ=⋅⨯=， 又球的体积为32432233V =π⨯=π所以球的体积与圆柱的体积的比213216369V V ππ==故选：D 【点睛】本题主要考查几何体的体积，需熟记公式，属于基础题. 6．以下四个命题：①“若x y =，则22x y =”的逆否命题为真命题②“2a =”是“函数()log a f x x =在区间()0,∞+上为增函数”的充分不必要条件 ③若p q ∧为假命题，则p ，q 均为假命题④对于命题p ：0x R ∃∈，20010x x ++<，则p ⌝为：x R ∀∈，210x x ++≥其中真命题的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】C【解析】①由原命题与逆否命题同真同假即可判断；②由函数()log a f x x =在区间()0,∞+上为增函数”，则1a >，即可判断； ③由若p q ∧为假命题，则p ，q 至少有一个为假命题即可判断出正误； ④由p ⌝的定义即可判断出正误； 【详解】对于①，由于原命题“若x y =，则22x y =”为真命题，即逆否命题也为真命题，故①对；对于②，“2a =”是“函数()log a f x x =在区间()0,∞+上为增函数”为真命题，但“函数()log a f x x =在区间()0,∞+上为增函数”，则1a >，故②对；对于③，若p q ∧为假命题，则p ，q 至少有一个为假命题即可，故③错；对于④， 对于命题p ：0x R ∃∈，20010x x ++<，由p ⌝的定义可知p ⌝：x R ∀∈，210x x ++≥，故④对；故选：C 【点睛】本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.7．已知椭圆C 的中心在原点，焦点1F ，2F 在x 轴上，C 上的点到左焦点1F 的距离的最大值为6，过1F 的直线交C 于A ,B 两点，且2ABF ∆的周长为16，则椭圆C 的方程为（ ）A ．2211612x y +=B ．221164x y +=C ．221124x y +=D ．22142x y +=【答案】A【解析】依题意设椭圆C 的方程为：22221(0)x y a b a b+=>>，由6a c +=，2ABF ∆的周长为416a =，求得a 、b ，即可得到所求的椭圆方程. 【详解】依题意设椭圆C 的方程为：22221(0)x y a b a b+=>>，Q C 上的点到左焦点1F 的距离的最大值为6，6a c ∴+=，Q 2ABF ∆的周长为16，416a ∴=，4,2,a c b ∴===∴椭圆C 的方程为2211612x y += 故选：A 【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，需掌握椭圆的定义，求出a ，属于中档题.8．已知变量x 、y 之间的线性回归方程为0.710.3y x =-+，且变量x 、y 之间的一-组相关数据如下表所示，则下列说法错误．．的是（ ）A ．可以预测，当20x =时， 3.7y =-B ．4m =C ．变量x 、y 之间呈负相关关系D ．该回归直线必过点()9,4【答案】B【解析】将20x =的值代入回归直线方程可判断出A 选项的正误；将(),x y 的坐标代入回归直线方程可计算出实数m 的值，可判断出B 选项的正误；根据回归直线方程的斜率的正负可判断出C 选项的正误；根据回归直线过点(),x y 可判断出D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，当20x =时，0.72010.3 3.7y =-⨯+=-，A 选项正确；对于B 选项，6810+1292x ++==，6321144m m y ++++==，将点(),x y 的坐标代入回归直线方程得110.7910.344m +=-⨯+=，解得5m =，B 选项错误； 对于C 选项，由于回归直线方程的斜率为负，则变量x 、y 之间呈负相关关系，C 选项正确；对于D 选项，由B 选项可知，回归直线0.710.3y x =-+必过点()9,4，D 选项正确.故选：B. 【点睛】本题考查回归直线方程有关命题的判断，解题时要熟悉与回归直线有关的结论，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.9．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线均和圆22:650C x y x +-+=相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为（ ）A ．22154x y -=B ．22145x y -=C ．22136x y -=D ．22163-=x y【答案】A【解析】试题分析：双曲线的渐近线为by x a=，所以0bx ay -=，22650x y x +-+=变形为()2234x y -+=，所以圆心为()3,0,2r =()222222329435,4b c c a c c a b =∴=∴-==∴==Q ，所以双曲线方程为22154x y -=【考点】双曲线方程及性质10．已知0x >，0y >，lg 2lg8lg 2x y+=，则13x y+的最小值是（ ）A ．8B ．12C ．16D ．1023+【答案】C【解析】利用对数的运算法则和基本不等式的性质可得. 【详解】解：lg 2lg8lg 2x y +=Q()lg 28lg 2x y ∴⋅=322x y +∴=31x y ∴+=0x Q >，0y >()1313333331010216y x y x x y x y x y x y x y⎛⎫∴+=++=++≥+⨯= ⎪⎝⎭ 当且仅当14x y ==时取等号. 故选：C 【点睛】本题考查对数的运算法则及基本不等式，属于中档题.11．如图，AD 是某防汛抗洪大坝的坡面，大坝上有一高为20米的监测塔BD ，若某科研小组在坝底A 点测得15BAD ∠=o ，沿着坡面前进40米到达E 点，测得45BED ∠=o ，则大坝的坡角（DAC ∠）的余弦值为（ ）A ．31B ．312C 21D ．212【答案】A【解析】由15BAD ∠=o ，45BED ∠=o ，可得30ABE ∠=o ，在ABE ∆中，由正弦定理得()2062BE =-，在BED ∆中，由正弦定理得sin 31BDE ∠=-，进而由()sin sin 90BDE DAC ∠=∠+o可得结果.【详解】因为15BAD ∠=o ，45BED ∠=o ，所以30ABE ∠=o .在ABE ∆中，由正弦定理得sin 30sin15AE BE=o o，解得()2062BE =-.在BED ∆中，由正弦定理得sin sin 45BE BDBDE =∠o， 所以()220622sin 3120BDE -⨯∠==-.又90ACD ∠=o ，所以()sin sin 90BDE DAC ∠=∠+o，所以cos 31DAC ∠=-. 故选：A. 【点睛】本题考查正弦定理解三角形，考查诱导公式，考查学生合理进行边角转化的能力，属于中档题. 12．抛物线的焦点是双曲线的右焦点，点是曲线的交点，点在抛物线的准线上，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】先由题和抛物线的性质求得点P 的坐标和双曲线的半焦距c 的值，再利用双曲线的定义可求得a 的值，即可求得离心率. 【详解】由题意知，抛物线焦点，准线与x 轴交点，双曲线半焦距，设点是以点为直角顶点的等腰直角三角形，即，结合点在抛物线上，所以抛物线的准线，从而轴，所以，即故双曲线的离心率为故选A 【点睛】本题考查了圆锥曲线综合，分析题目，画出图像，熟悉抛物线性质以及双曲线的定义是解题的关键，属于中档题.二、填空题13．已知函数()22,11,1x x f x x x ⎧>=⎨+≤⎩，则()()21f f -=_______.【答案】2【解析】由函数()22,11,1x x f x x x ⎧>=⎨+≤⎩求出(2)4f =，(1)112f =+=，由此能求出()()21f f -的值.【详解】Q 函数()22,11,1x x f x x x ⎧>=⎨+≤⎩，∴(2)4f =，(1)112f =+=，()()21422f f ∴-=-=故答案为：2 【点睛】本题考查分段函数求值，属于基础题.14．已知tan α，tan β是方程22350x x +-=的两个实数根，则()tan αβ+=_______. 【答案】37-【解析】根据根与系数之间的关系得到tan tan αβ+和tan tan αβ的值，利用两角和的正切公式进行计算即可. 【详解】Q tan α，tan β是方程22350x x +-=的两个实数根，3tan tan 2αβ∴+=-，5tan tan 2αβ=-，由()3tan tan 25tan t 3tan 17a 21n ααβαββ+===--⎛⎫- ⎪⎝⎭-+-，故答案为：37- 【点睛】本题主要考查正切的两角和的公式，需熟记公式.15．已知点()0,1A ，抛物线C ：()20y ax a =>的焦点为F ，连接FA 交抛物线C 于点M ，延长FA 交C 的准线于点N ，若:2:3FM MN =，则a 的值为______.【解析】作出M 在抛物线的准线上的射影为K ，根据:FM MN 确定:KN KM 的值，进而列出方程求得a 的值. 【详解】解：依题意得焦点F 的坐标为,04a ⎛⎫⎪⎝⎭，设M 在抛物线的准线上的射影为K ，连接MK ，由抛物线的定义知MF MK =，:2:3FM MN =Q:2KN KM ∴=有01404FN k a a --==-，2FNKN k KM =-=42a -∴=解得5a =【点睛】本题考查抛物线的定义，到焦点的距离等于到准线的距离，属于基础题. 16．已知数列{}n a 满足：m ∀，n *∈N ，mn m n a a a ++=，且152a π=，函数()2sin 26cos 2xf x x =+，记()n n b f a =，则数列{}n b 的前29项和为_______. 【答案】87【解析】首先根据题意求出129a a π+=，再化简()2sin 26cos sin 23cos 32xf x x x x =+=++，根据()n n b f a =求得1296b b +=，从而得出29129151514()146T b b b b =++=⨯+， 再有1515()3b f a ==即可求解. 【详解】 由mn m n a a a ++=，则129301515152a a a a a a π+==+==又()()2sin 26cossin 23cos 32xf x x f x x x =+==++，()n n b f a = 所以129129112929sin 23cos 3sin ()()23cos 3b b f a f a a a a a ++++=+=++ 又129a a π+=，所以1296b b += 所以数列{}n b 的前29项和29123272829129151514()146T b b b b b b b b b b =+++++=++=⨯+L ，因为1515()()00332b f a f π===++=所以2987T = 故答案为：87 【点睛】本题是数列与三角函数相结合的综合性题目，解决此题需理解题干中新定义，属于中档题.三、解答题17．已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，12a =，32216a a =+. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设2log n n b a =，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（1）212n na -=（2）21n nT n =+ 【解析】（1）由等比数列的通项公式求出q 即可求解. （2）由（1）求出n b 的通项公式，再有裂项相消法求和即可. 【详解】解：（1）由已知：12a =，32216a a =+∴22416q q =+即2280q q --=，所以4q =或2q =-（舍去），∴11211242n n n n a a q ---==⨯=（2）由（1）知：2log n n b a ==212log 221n n -=- ∴()()1112121n n b b n n +==⋅-+11122121n n ⎛⎫- ⎪-+⎝⎭ 12231111n n n T b b b b b b +=++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅ 111111123352121n n ⎛⎫=-+-++-= ⎪-+⎝⎭L 11122121nn n ⎛⎫-= ⎪++⎝⎭ 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式以及裂项相消法求和，属于中档题.18．2018年，教育部发文确定新高考改革正式启动，湖南、广东、湖北等8省市开始实行新高考制度，从2018年下学期的高一年级学生开始实行.为了适应新高考改革，某校组织了一次新高考质量测评，在成绩统计分析中，高二某班的数学成绩的茎叶图和频率分布直方图因故都受到不同程度的损坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：（1）求该班数学成绩在[)50,60的频率及全班人数； （2）根据频率分布直方图估计该班这次测评的数学平均分；（3）若规定90分及其以上为优秀，现从该班分数在80分及其以上的试卷中任取2份分析学生得分情况，求在抽取的2份试卷中至少有1份优秀的概率.【答案】（1）频率为0.08，全班人数为25.（2）73.8；（3）35【解析】（1）由频率分布直方图小矩形的面积即为频率，频数÷频率即得出全班人数.（2）根据频率分布图平均数=每个小矩形底边中点横坐标⨯小矩形的面积，代入数据即可求解.（3）列出基本事件，根据古典概型的概率求法即可求解. 【详解】（1）频率为0.08，频数=2，所以全班人数为20.08=25. （2）估计平均分为：550.08650.28750.4⨯+⨯+⨯+850.16950.0873.8⨯+⨯=. （3）由已知得[)80,100的人数为：（0.16+0.08）0.160.0825+⨯=（）426+=. 设分数在[)80,90的试卷为A ，B ，C ，D ，分数在[]90,100的试卷为a ，b . 则从6份卷中任取2份，共有15个基本事件，分别是AB ，AC ，AD ，Aa ，Ab ，BC ，BD ，Ba ，Bb ，CD ，Ca ，Cb ，Da ，Db ，ab ，其中至少有一份优秀的事件共有9个，分别是Aa ，Ab ，Ba ，Bb ，Ca ，Cb ，Da ，Db ，ab ，∴在抽取的2份试卷中至少有1份优秀的概率为93155P ==. 【点睛】本题考查了茎叶图、频率分布直方图以及古典概型的概率，属于综合性题目.19．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且asin B ＝－bsin 3A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭.(1)求A ；(2)若△ABC 的面积S 2，求sin C 的值．【答案】（1）56π；（2【解析】（1）利用正弦定理化简已知等式即得A=56π.(2)先根据△ABC 的面积S ＝4c 2得到b ，再利用余弦定理得到a c ，再利用正弦定理求出sin C 的值． 【详解】(1)因为asin B ＝－bsin )3A π+（，所以由正弦定理得sin A ＝－sin )3A π+（，即sin A ＝－12sin A ，化简得tan A 因为A ∈(0，π)，所以A ＝56π.(2)因为A ＝56π，所以sin A ＝12，由S 2＝12bcsin A ＝14bc ，得b ，所以a 2＝b 2＋c 2－2bccos A ＝7c 2，则a c ，由正弦定理得sin C ＝sin c A a =. 【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.20．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥底面ABC ，D 、E 、F 、G 分别为1AA ，AC 、11A C 、1BB ，的中点，且AB BC ==AC =1AA =（1）证明：AF P 平面1BEC ； （2）证明：AC FG ⊥；（3）求直线BD 与平面1BEC 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）31414【解析】（1）根据题意由1FC AE P ，1FC AE =，证出1AF EC P 即可证出AF P 平面1BEC ；（2）先证出AC ⊥平面BEF ，再有FG ⊂平面BEF 即可证出AC FG ⊥； （3）过D 作1DO C E ⊥于点O ，连接BO ，可证出DBO ∠就是所求的角，在三角形中求解即可； 【详解】（1）连接AF ，Q E ，F 分别为AC ，11A C 的中点且11AC AC P ，11AC A C =∴1FC AE P ，1FC AE =∴四边形1AEC F 是平行四边形，∴1AF EC P又AF ⊄平面1BEC ，1EC ⊂平面1BEC ，∴AF P 平面1BEC .（2）在三棱柱111ABC A B C -中，Q 1CC ⊥平面ABC ， ∴四边形11A ACC 为矩形．又E ，F 分别为AC ，11A C 的中点， ∴AC EF ⊥．Q AB BC =．∴AC BE ⊥，∴AC ⊥平面BEF ．又G 是1BB 中点，1BB EF P ，∴G 在平面BEF 内 ，∴AC FG ⊥.（3）过D 作1DO C E ⊥于点O ，连接BO ， 易证BE ⊥平面11ACC A ，∴DO BE ⊥，∴DO ⊥平面1BEC 从而DBO ∠就是所求的角.由平面几何知识计算得，35BD =，310sin DO DBO =⇒∠=31414DO BD =. ∴直线BD 与平面1BEC 314 【点睛】本题考查了立体几何中线面平行、异面直线垂直、线面角，要证线面平行，则要证线线平行；证明异面直线垂直，需证线面垂直；求线面角的步骤“作、证、求”，此题是立体几何的综合性题目.21．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且220n n S a -+=，函数()f x 对任意的x ∈R 都有()()11f x f x +-=，数列{}n b 满足()120n b f f f n n ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…()11n f f n -⎛⎫+ ⎪⎝⎭. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满足n n n c a b =⋅，n T 是数列{}n c 的前n 项和，是否存在正实数k ，对于任意n *∈N ，不等式()29264n n k n n T nc -+>，恒成立？若存在，请求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2nn a =.12n n b +=；（2）存在，()2,+∞ 【解析】（1）由n S 求n a ，根据220n n S a -+=得22n n S a =-，再有1122n n n n S S a a ---=-得12n n a a -=即可求出n a 的通项公式；由()()11f x f x +-=，根据倒序相加法可求n b .（2）用分离参数法，根据（1）由()29264n n k n n T nc -+>得()221926n k n n +>-+，令()()()*221926n g n n N n n +=∈-+求出()max2g n =即可.【详解】解：（1）Q 220n n S a -+=即22n n S a =- 当1n =时，1122S a =-，∴12a =当2n ≥时，1122n n S a --=-，∴1122n n n n S S a a ---=-，即12n n a a -=∴{}n a 是等比数列，首项为12a =，公比为2，∴2n n a =.Q ()()11f x f x +-=，∴111n f f n n -⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.Q ()120n b f f f n n ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…()11n ff n -⎛⎫++ ⎪⎝⎭. ∴()121n n n b f f f n n --⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…()01f n f ⎛⎫++ ⎪⎝⎭. ∴①+②，得21n b n =+， ∴12n n b +=（2）Q n n n c a b =⋅，∴()112n n c n -=+⋅∴012223242n T =⋅+⋅+⋅+…()112n n -++⋅. ①1232223242n T =⋅+⋅+⋅+…()1212n n n n -+⋅++⋅ ②①－②得12222n T -=+++…()1212n n n -+-+⋅即2nn T n =⋅.要使得不等式()29264n n k n n T nc -+>恒成立，Q ()29260n n n T -+>恒成立∴()24926nnnc k nn T >-+对于一切的*n N ∈恒成立，即()221926n k n n +>-+ ，令()()()*221926n g n n N n n +=∈-+，则()()()()221111136n g n n n +==+-++()()22361111n n ≤=+-++当且仅当5n =时等号成立，故()max 2g n =. 故k 的取值范围为()2,+∞. 【点睛】本题考查由n S 求n a 的通项公式，倒序相加法求通项公式以及分离参数法求参数的取值范围，综合性比较强.22．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左，右顶点分别为1A ，2A ，长轴长为4，且经过点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若M 为椭圆C 上异于1A ，2A 的任意一点，证明：直线1MA ，2MA 的斜率的乘积为定值；（3）已知两条互相垂直的直线1l ，2l 都经过椭圆C 的右焦点F ，与椭圆C 交于A ，B 和M ，N 四点，求四边形AMBN 面积的取值范围.【答案】（1）22143x y +=（2）定值34-，证明见解析；（3）288,649⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【解析】（1）由长轴长为4可求2a =，再由待定系数法把点代入椭圆方程即可求椭圆的标准方程；（2）设点()00,M x y ，1220204MA MA y k k x ⋅=-，点M 在椭圆上可得22200041344y x x -=-=代入上式化简即可.（3）当1l ，2l 中有一条斜率不存在时，14362AMBN S =⨯⨯=； 当1l ，2l 的斜率都存在时，设过点()1,0F 的两条互相垂直的直线1l ：1x ky =+，直线2l ：11x y k =-+，联立221143x ky x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩求出AB 与MN ，所以12S AB MN =⋅代入整理成关于k 的式子，求式子的值域即可. 【详解】解：（1）由题意知：22242191,4a a b a b =⎧=⎧⎪⎪⇒⎨⎨+==⎪⎩⎪⎩ ∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）由已知()12,0A -，()22,0A ，设点()00,M x y ，则1220002000224MA MA y y y k k x x x ⋅=⋅=+--，又()00,M x y 在椭圆上，2200143x y += 即22200041344y x x -=-=， ∴()12220022003434444MA MA x y k k x x -⋅===---（定值）. （3）当1l ，2l 中有一条斜率不存在时，易求得14362AMBN S =⨯⨯=； 当1l ，2l 的斜率都存在时，设过点()1,0F 的两条互相垂直的直线1l ：1x ky =+，直线2l ：11x y k=-+ 由221143x ky x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2234690k y ky ++-=显然>0∆，∴122634k y y k -+=+，122934y y k ⋅=-+则AB ==()()2212134k k k+=+. 把上式中的k 换成1k -得：()2212134k k MN k+=+ 则四边形AMBN 的面积为12S AB MN =⋅=()()2222121121123434k k k k++⋅⋅=++()()()22227213434k k k +++ 令21k t +=，则1t >，且23441k t +=-，23431k t +=+()()()222222721721213434k t S t t kk +===+-++272114924t ⎛⎫--+⎪⎝⎭()1t >， ∴288649S ≤<， 所以四边形AMBN 的面积的取值范围是288,649⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了圆锥曲线中椭圆的相关知识点，求椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系、弦长公式，同时考查了学生的计算能力，难度较大，综合性比较强.。

2019-2020学年湖南省三湘名校教育联盟高二上学期期中考试数学试题一、单选题1．已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则C U B AA ．{}1,6B ．{}1,7C ．{}6,7D ．{}1,6,7【答案】C【解析】先求U A ð，再求U B A ⋂ð． 【详解】由已知得{}1,6,7U C A =，所以U B C A ⋂={6,7}，故选C ． 【点睛】本题主要考查交集、补集的运算．渗透了直观想象素养．使用补集思想得出答案． 2．设x ∈R ，则“02x <<”是“2230x x --<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】首先解一元二次不等式223013x x x --<⇒-<<，然后根据充分不必要条件即可判断. 【详解】由2230x x --<，则13x -<<，可知“02x <<”是“2230x x --<”的充分不必要条件， 故选：A 【点睛】本题主要考查充分不必要条件的含义，属于基础题. 3．在等差数列{}n a 中,1352,10a a a =+=，则7a =（ ） A ．5 B ．8C ．10D ．14【答案】B【解析】试题分析：设等差数列{}n a 的公差为d ，由题设知，12610a d +=，所以，110216a d -== 所以，716268a a d =+=+= 故选B.【考点】等差数列通项公式.4．已知向量a ＝(1，0)，b ＝(-3，4)的夹角为θ，则sin2θ等于 ( ) A ．725-B ．725C ．2425-D ．2425【答案】C【解析】首先根据向量夹角公式求出cos θ的值，然后求出sin θ，最后根据二倍角正弦公式即可得出结果. 【详解】33cos 155a b a bθ⋅==-=-⨯⋅， ∵0θπ≤≤，∴4sin 5θ==，24sin 22sin cos 25θθθ==-，故选C. 【点睛】本题主要考查了向量夹角的计算以及二倍角正弦公式的应用，属于中档题.5．已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在半径为2的同一个球的球面上.则球的体积与圆柱的体积的比值为（ ） A ．43B ．916C ．34D ．169【答案】D【解析】根据圆柱的底面半径、球的半径与球心到圆柱底面的距离构成直角三角形求出圆柱的底面半径为r ，再有体积公式求出圆柱的体积与球的体积即可. 【详解】设圆柱的底面半径为r ，则r ==所以圆柱的体积为2126V ππ=⋅⨯=， 又球的体积为32432233V =π⨯=π所以球的体积与圆柱的体积的比213216369V V ππ==故选：D 【点睛】本题主要考查几何体的体积，需熟记公式，属于基础题. 6．以下四个命题：①“若x y =，则22x y =”的逆否命题为真命题②“2a =”是“函数()log a f x x =在区间()0,∞+上为增函数”的充分不必要条件 ③若p q ∧为假命题，则p ，q 均为假命题④对于命题p ：0x R ∃∈，20010x x ++<，则p ⌝为：x R ∀∈，210x x ++≥其中真命题的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】C【解析】①由原命题与逆否命题同真同假即可判断；②由函数()log a f x x =在区间()0,∞+上为增函数”，则1a >，即可判断； ③由若p q ∧为假命题，则p ，q 至少有一个为假命题即可判断出正误； ④由p ⌝的定义即可判断出正误； 【详解】对于①，由于原命题“若x y =，则22x y =”为真命题，即逆否命题也为真命题，故①对；对于②，“2a =”是“函数()log a f x x =在区间()0,∞+上为增函数”为真命题，但“函数()log a f x x =在区间()0,∞+上为增函数”，则1a >，故②对；对于③，若p q ∧为假命题，则p ，q 至少有一个为假命题即可，故③错；对于④， 对于命题p ：0x R ∃∈，20010x x ++<，由p ⌝的定义可知p ⌝：x R ∀∈，210x x ++≥，故④对；故选：C 【点睛】本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.7．已知椭圆C 的中心在原点，焦点1F ，2F 在x 轴上，C 上的点到左焦点1F 的距离的最大值为6，过1F 的直线交C 于A ,B 两点，且2ABF ∆的周长为16，则椭圆C 的方程为（ ）A ．2211612x y +=B ．221164x y +=C ．221124x y +=D ．22142x y +=【答案】A【解析】依题意设椭圆C 的方程为：22221(0)x y a b a b+=>>，由6a c +=，2ABF ∆的周长为416a =，求得a 、b ，即可得到所求的椭圆方程. 【详解】依题意设椭圆C 的方程为：22221(0)x y a b a b +=>>，C 上的点到左焦点1F 的距离的最大值为6，6a c ∴+=，2ABF ∆的周长为16，416a ∴=，4,2,a c b ∴===∴椭圆C 的方程为2211612x y +=故选：A 【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，需掌握椭圆的定义，求出a ，属于中档题.8．已知变量x 、y 之间的线性回归方程为0.710.3y x =-+，且变量x 、y 之间的一-组相关数据如下表所示，则下列说法错误．．的是（ ）A ．可以预测，当20x =时， 3.7y =-B ．4m =C ．变量x 、y 之间呈负相关关系D ．该回归直线必过点()9,4【答案】B【解析】将20x =的值代入回归直线方程可判断出A 选项的正误；将(),x y 的坐标代入回归直线方程可计算出实数m 的值，可判断出B 选项的正误；根据回归直线方程的斜率的正负可判断出C 选项的正误；根据回归直线过点(),x y 可判断出D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，当20x =时，0.72010.3 3.7y =-⨯+=-，A 选项正确；对于B 选项，6810+1292x ++==，6321144m m y ++++==，将点(),x y 的坐标代入回归直线方程得110.7910.344m +=-⨯+=，解得5m =，B 选项错误； 对于C 选项，由于回归直线方程的斜率为负，则变量x 、y 之间呈负相关关系，C 选项正确；对于D 选项，由B 选项可知，回归直线0.710.3y x =-+必过点()9,4，D 选项正确.故选：B. 【点睛】本题考查回归直线方程有关命题的判断，解题时要熟悉与回归直线有关的结论，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.9．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线均和圆22:650C x y x +-+=相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为（ ）A ．22154x y -=B ．22145x y -=C ．22136x y -=D ．22163-=x y【答案】A【解析】试题分析：双曲线的渐近线为by x a=，所以0bx ay -=，22650x y x +-+=变形为()2234x y -+=，所以圆心为()3,0,2r =()222222329435,4b c c a c c a b =∴=∴-==∴==，所以双曲线方程为22154x y -=【考点】双曲线方程及性质10．已知0x >，0y >，lg 2lg8lg 2x y +=，则13x y+的最小值是（ ）A ．8B ．12C ．16D ．10+【答案】C【解析】利用对数的运算法则和基本不等式的性质可得. 【详解】 解：lg 2lg8lg 2x y +=()lg 28lg 2x y ∴⋅=322x y +∴=31x y ∴+=0x >，0y >()1313333101016y x x y x y x y x y ⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭ 当且仅当14x y ==时取等号. 故选：C 【点睛】本题考查对数的运算法则及基本不等式，属于中档题.11．如图，AD 是某防汛抗洪大坝的坡面，大坝上有一高为20米的监测塔BD ，若某科研小组在坝底A 点测得15BAD ∠=o ，沿着坡面前进40米到达E 点，测得45BED ∠=，则大坝的坡角（DAC ∠）的余弦值为（ ）A 1BC 1D 【答案】A【解析】由15BAD ∠=o ，45BED ∠=，可得30ABE ∠=o ，在ABE ∆中，由正弦定理得20BE =，在BED ∆中，由正弦定理得sin 1BDE ∠=，进而由()sin sin 90BDE DAC ∠=∠+o可得结果.【详解】因为15BAD ∠=o ，45BED ∠=，所以30ABE ∠=o .在ABE ∆中，由正弦定理得sin 30sin15AE BE=o o，解得20BE =.在BED ∆中，由正弦定理得sin sin 45BE BDBDE =∠o，所以202sin 120BDE ∠==.又90ACD ∠=，所以()sin sin 90BDE DAC ∠=∠+o，所以cos 1DAC ∠=. 故选：A. 【点睛】本题考查正弦定理解三角形，考查诱导公式，考查学生合理进行边角转化的能力，属于中档题. 12．抛物线的焦点是双曲线的右焦点，点是曲线的交点，点在抛物线的准线上，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】先由题和抛物线的性质求得点P 的坐标和双曲线的半焦距c 的值，再利用双曲线的定义可求得a 的值，即可求得离心率. 【详解】由题意知，抛物线焦点，准线与x 轴交点，双曲线半焦距，设点是以点为直角顶点的等腰直角三角形，即，结合点在抛物线上，所以抛物线的准线，从而轴，所以，即故双曲线的离心率为故选A 【点睛】本题考查了圆锥曲线综合，分析题目，画出图像，熟悉抛物线性质以及双曲线的定义是解题的关键，属于中档题.二、填空题13．已知函数()22,11,1x x f x x x ⎧>=⎨+≤⎩，则()()21f f -=_______.【答案】2【解析】由函数()22,11,1x x f x x x ⎧>=⎨+≤⎩求出(2)4f =，(1)112f =+=，由此能求出()()21f f -的值.【详解】函数()22,11,1x x f x x x ⎧>=⎨+≤⎩，∴(2)4f =，(1)112f =+=，()()21422f f ∴-=-=故答案为：2 【点睛】本题考查分段函数求值，属于基础题.14．已知tan α，tan β是方程22350x x +-=的两个实数根，则()tan αβ+=_______. 【答案】37-【解析】根据根与系数之间的关系得到tan tan αβ+和tan tan αβ的值，利用两角和的正切公式进行计算即可. 【详解】tan α，tan β是方程22350x x +-=的两个实数根，3tan tan 2αβ∴+=-，5tan tan 2αβ=-，由()3tan tan 25tan t 3tan 17a 21n ααβαββ+===--⎛⎫- ⎪⎝⎭-+-，故答案为：37- 【点睛】本题主要考查正切的两角和的公式，需熟记公式.15．已知点()0,1A ，抛物线C ：()20y ax a =>的焦点为F ，连接FA 交抛物线C 于点M ，延长FA 交C 的准线于点N ，若:2:3FM MN =，则a 的值为______.【解析】作出M 在抛物线的准线上的射影为K ，根据:FM MN 确定:KN KM 的值，进而列出方程求得a 的值. 【详解】解：依题意得焦点F 的坐标为,04a ⎛⎫⎪⎝⎭，设M 在抛物线的准线上的射影为K ，连接MK ，由抛物线的定义知MF MK =，:2:3FM MN =:2KN KM ∴=有01404FN k a a --==-，2FNKN k KM =-=4a -∴=解得5a=故答案为：5【点睛】本题考查抛物线的定义，到焦点的距离等于到准线的距离，属于基础题. 16．已知数列{}n a 满足：m ∀，n *∈N ，mn m n a a a ++=，且152a π=，函数()2sin 26cos 2xf x x =+，记()n n b f a =，则数列{}n b 的前29项和为_______. 【答案】87【解析】首先根据题意求出129a a π+=，再化简()2sin 26cos sin 23cos 32xf x x x x =+=++，根据()n n b f a =求得1296b b +=，从而得出29129151514()146T b b b b =++=⨯+， 再有1515()3b f a ==即可求解. 【详解】 由mn m n a a a ++=，则129301515152a a a a a a π+==+==又()()2sin 26cossin 23cos 32xf x x f x x x =+==++，()n n b f a = 所以129129112929sin 23cos 3sin ()()23cos 3b b f a f a a a a a ++++=+=++ 又129a a π+=，所以1296b b += 所以数列{}n b 的前29项和29123272829129151514()146T b b b b b b b b b b =+++++=++=⨯+，因为1515()()00332b f a f π===++=所以2987T = 故答案为：87 【点睛】本题是数列与三角函数相结合的综合性题目，解决此题需理解题干中新定义，属于中档题.三、解答题17．已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，12a =，32216a a =+. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设2log n n b a =，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（1）212n na -=（2）21n nT n =+ 【解析】（1）由等比数列的通项公式求出q 即可求解. （2）由（1）求出n b 的通项公式，再有裂项相消法求和即可. 【详解】解：（1）由已知：12a =，32216a a =+∴22416q q =+即2280q q --=，所以4q =或2q =-（舍去），∴11211242n n n n a a q ---==⨯=（2）由（1）知：2log n n b a ==212log 221n n -=- ∴()()1112121n n b b n n +==⋅-+11122121n n ⎛⎫- ⎪-+⎝⎭ 12231111n n n T b b b b b b +=++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅ 111111123352121n n ⎛⎫=-+-++-= ⎪-+⎝⎭11122121nn n ⎛⎫-= ⎪++⎝⎭ 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式以及裂项相消法求和，属于中档题.18．2018年，教育部发文确定新高考改革正式启动，湖南、广东、湖北等8省市开始实行新高考制度，从2018年下学期的高一年级学生开始实行.为了适应新高考改革，某校组织了一次新高考质量测评，在成绩统计分析中，高二某班的数学成绩的茎叶图和频率分布直方图因故都受到不同程度的损坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：（1）求该班数学成绩在[)50,60的频率及全班人数； （2）根据频率分布直方图估计该班这次测评的数学平均分；（3）若规定90分及其以上为优秀，现从该班分数在80分及其以上的试卷中任取2份分析学生得分情况，求在抽取的2份试卷中至少有1份优秀的概率.【答案】（1）频率为0.08，全班人数为25.（2）73.8；（3）35【解析】（1）由频率分布直方图小矩形的面积即为频率，频数÷频率即得出全班人数.（2）根据频率分布图平均数=每个小矩形底边中点横坐标⨯小矩形的面积，代入数据即可求解.（3）列出基本事件，根据古典概型的概率求法即可求解. 【详解】（1）频率为0.08，频数=2，所以全班人数为20.08=25. （2）估计平均分为：550.08650.28750.4⨯+⨯+⨯+850.16950.0873.8⨯+⨯=. （3）由已知得[)80,100的人数为：（0.16+0.08）0.160.0825+⨯=（）426+=. 设分数在[)80,90的试卷为A ，B ，C ，D ，分数在[]90,100的试卷为a ，b . 则从6份卷中任取2份，共有15个基本事件，分别是AB ，AC ，AD ，Aa ，Ab ，BC ，BD ，Ba ，Bb ，CD ，Ca ，Cb ，Da ，Db ，ab ，其中至少有一份优秀的事件共有9个，分别是Aa ，Ab ，Ba ，Bb ，Ca ，Cb ，Da ，Db ，ab ，∴在抽取的2份试卷中至少有1份优秀的概率为93155P ==. 【点睛】本题考查了茎叶图、频率分布直方图以及古典概型的概率，属于综合性题目.19．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且asin B ＝－bsin 3A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭. (1)求A ；(2)若△ABC 的面积S 2，求sin C 的值．【答案】（1）56π；（2【解析】（1）利用正弦定理化简已知等式即得A=56π.(2)先根据△ABC 的面积S c 2得到b ，再利用余弦定理得到a c ，再利用正弦定理求出sin C 的值． 【详解】(1)因为asin B ＝－bsin )3A π+（，所以由正弦定理得sin A ＝－sin )3A π+（，即sin A ＝－12sin A ，化简得tan A 因为A ∈(0，π)，所以A ＝56π.(2)因为A ＝56π，所以sin A ＝12，由S 2＝12bcsin A ＝14bc ，得b ，所以a 2＝b 2＋c 2－2bccos A ＝7c 2，则a c ，由正弦定理得sin C ＝sin c A a =. 【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.20．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥底面ABC ，D 、E 、F 、G 分别为1AA ，AC 、11A C 、1BB ，的中点，且AB BC ==AC =1AA =（1）证明：AF 平面1BEC ； （2）证明：AC FG ⊥；（3）求直线BD 与平面1BEC 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）14【解析】（1）根据题意由1FC AE ，1FC AE =，证出1AF EC 即可证出AF 平面1BEC ；（2）先证出AC ⊥平面BEF ，再有FG ⊂平面BEF 即可证出AC FG ⊥； （3）过D 作1DO C E ⊥于点O ，连接BO ，可证出DBO ∠就是所求的角，在三角形中求解即可； 【详解】 （1）连接AF ，E ，F 分别为AC ，11A C 的中点且11AC AC ，11AC A C =∴1FC AE ，1FC AE =∴四边形1AEC F 是平行四边形，∴1AFEC又AF ⊄平面1BEC ，1EC ⊂平面1BEC ，∴AF 平面1BEC .（2）在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ， ∴四边形11A ACC 为矩形．又E ，F 分别为AC ，11A C 的中点， ∴AC EF ⊥．AB BC =．∴AC BE ⊥，∴AC ⊥平面BEF ．又G 是1BB 中点，1BB EF ，∴G 在平面BEF 内 ，∴AC FG ⊥.（3）过D 作1DO C E ⊥于点O ，连接BO ， 易证BE ⊥平面11ACC A ，∴DO BE ⊥，∴DO ⊥平面1BEC 从而DBO ∠就是所求的角.由平面几何知识计算得，2BD =，sin 4DO DBO =⇒∠=14DO BD =.∴直线BD 与平面1BEC 所成的角的正弦值为14【点睛】本题考查了立体几何中线面平行、异面直线垂直、线面角，要证线面平行，则要证线线平行；证明异面直线垂直，需证线面垂直；求线面角的步骤“作、证、求”，此题是立体几何的综合性题目.21．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且220n n S a -+=，函数()f x 对任意的x ∈R 都有()()11f x f x +-=，数列{}n b 满足()120n b f f f n n ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…()11n f f n -⎛⎫+ ⎪⎝⎭. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满足n n n c a b =⋅，n T 是数列{}n c 的前n 项和，是否存在正实数k ，对于任意n *∈N ，不等式()29264n n k n n T nc -+>，恒成立？若存在，请求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2nn a =.12n n b +=；（2）存在，()2,+∞ 【解析】（1）由n S 求n a ，根据220n n S a -+=得22n n S a =-，再有1122n n n n S S a a ---=-得12n n a a -=即可求出n a 的通项公式；由()()11f x f x +-=，根据倒序相加法可求n b .（2）用分离参数法，根据（1）由()29264n n k n n T nc -+>得()221926n k n n +>-+，令()()()*221926n g n n N n n +=∈-+求出()max2g n =即可.【详解】 解：（1）220n n S a -+=即22n n S a =-当1n =时，1122S a =-，∴12a =当2n ≥时，1122n n S a --=-，∴1122n n n n S S a a ---=-，即12n n a a -=∴{}n a 是等比数列，首项为12a =，公比为2，∴2n n a =.()()11f x f x +-=，∴111n f f n n -⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ()120n b f f f n n ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…()11n f f n -⎛⎫++ ⎪⎝⎭.∴()121n n n b f f f n n --⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…()01fn f ⎛⎫++ ⎪⎝⎭. ∴①+②，得21n b n =+， ∴12n n b +=（2）n n n c a b =⋅，∴()112n n c n -=+⋅∴012223242n T =⋅+⋅+⋅+…()112n n -++⋅. ①1232223242n T =⋅+⋅+⋅+…()1212n n n n -+⋅++⋅ ②①－②得12222n T -=+++…()1212n n n -+-+⋅即2nn T n =⋅.要使得不等式()29264n n k n n T nc -+>恒成立，()29260n nn T -+>恒成立∴()24926nnnc k nn T >-+对于一切的*n N ∈恒成立，即()221926n k n n +>-+ ，令()()()*221926n g n n N n n +=∈-+，则()()()()221111136n g n n n +==+-++()()22361111n n ≤=+-++当且仅当5n =时等号成立，故()max 2g n =. 故k 的取值范围为()2,+∞. 【点睛】本题考查由n S 求n a 的通项公式，倒序相加法求通项公式以及分离参数法求参数的取值范围，综合性比较强.22．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左，右顶点分别为1A ，2A ，长轴长为4，且经过点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若M 为椭圆C 上异于1A ，2A 的任意一点，证明：直线1MA ，2MA 的斜率的乘积为定值；（3）已知两条互相垂直的直线1l ，2l 都经过椭圆C 的右焦点F ，与椭圆C 交于A ，B 和M ，N 四点，求四边形AMBN 面积的取值范围.【答案】（1）22143x y +=（2）定值34-，证明见解析；（3）288,649⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【解析】（1）由长轴长为4可求2a =，再由待定系数法把点代入椭圆方程即可求椭圆的标准方程；（2）设点()00,M x y ，1220204MA MA y k k x ⋅=-，点M 在椭圆上可得22200041344y x x -=-=代入上式化简即可.（3）当1l ，2l 中有一条斜率不存在时，14362AMBN S =⨯⨯=； 当1l ，2l 的斜率都存在时，设过点()1,0F 的两条互相垂直的直线1：1x ky =+，直线2：11x y k =-+，联立221143x ky x y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩求出AB 与MN ，所以12S AB MN =⋅代入整理成关于k 的式子，求式子的值域即可. 【详解】解：（1）由题意知：22242191,4a a b a b =⎧=⎧⎪⎪⇒⎨⎨+==⎪⎩⎪⎩ ∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）由已知()12,0A -，()22,0A ，设点()00,M x y ，则1220002000224MA MA y y y k k x x x ⋅=⋅=+--，又()00,M x y 在椭圆上，2200143x y += 即22200041344y x x -=-=， ∴()12220022003434444MA MA x y k k x x -⋅===---（定值）. （3）当1l ，2l 中有一条斜率不存在时，易求得14362AMBN S =⨯⨯=； 当1l ，2l 的斜率都存在时，设过点()1,0F 的两条互相垂直的直线1：1x ky =+，直线2：11x y k=-+ 由221143x ky x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2234690k y ky ++-=显然>0∆，∴122634k y y k -+=+，122934y y k ⋅=-+则AB ==()()2212134k k k+=+. 把上式中的k 换成1k -得：()2212134k k MN k+=+ 则四边形AMBN 的面积为12S AB MN =⋅=()()2222121121123434k k k k ++⋅⋅=++()()()22227213434k k k +++ 令21k t +=，则1t >，且23441k t +=-，23431k t +=+()()()222222721721213434k t S t t kk +===+-++272114924t ⎛⎫--+⎪⎝⎭()1t >， ∴288649S ≤<， 所以四边形AMBN 的面积的取值范围是288,649⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了圆锥曲线中椭圆的相关知识点，求椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系、弦长公式，同时考查了学生的计算能力，难度较大，综合性比较强.。

【校级联考】湖南省三湘名校教育联盟2020-2021学年高二上学期期中考试理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}2230A x x x =--，且A B R ⋃=，则集合B 可以是( ) A ．{|3}x x ≥ B ．{|1}x x ≥- C ．{|3}x x <D ．{|13}x x -<<2．已知命题p ：0x ∀≥，sin x x ≥，则p ⌝为( ) A ．0x ∀<，sin x x < B ．0x ∀≥，sin x x < C ．00x ∃<，00sin x x <D ．00x ∃≥，00sin x x <3．已知a ⃗ ，b ⃗ 均为单位向量，|a ⃗ +b ⃗ |=√3，则(2a ⃗ +b ⃗ )⋅(a ⃗ −b ⃗ )=( ) A ．−12B ．12C ．−32D ．324．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，3627S S +=，则24(a a += ) A ．3B ．6C ．9D ．125．已知E 、F 分别为椭圆221259x y +=的左、右焦点，倾斜角为60的直线l 过点E ，且与椭圆交于A ，B 两点，则FAB 的周长为( ) A ．10B ．12C ．16D ．206．已知数列{a n }满足a 1=2，a n+1=2a na n +2，则a n =( ) A ．2nB ．n +1C ．1n +1D ．2n7．设a 、b R ∈，原命题“若21()2x a b >+，则22x a b >+”，则关于其逆命题、否命题、逆否命题的结论正确的是( ) A ．逆命题与否命题均为真命题 B ．逆命题为假命题，否命题为真命题 C ．逆命题为假命题，逆否命题为真命题 D ．否命题为假命题，逆否命题为真命题8．下列函数中，最小周期为π且为偶函数的是( )A ．f(x)=sin|2x|B ．f(x)=tan(x −π4) C ．f(x)=|cos2x|D ．f(x)=1−tan 2x 1+tan 2x9．要得到函数()cos2sin 26f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数()cos2g x x =的图象( )A ．向左平移3π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移6π个单位D ．向右平移6π个单位10．当()0,x ∈+∞时，230ax x a -+≥恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．][33,,22⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭11．已知P 是椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>上异于点(),0A a -，(),0B a 的一点，EAP 与BP 的斜率之积为( ) A ．34-B ．34C ．14-D ．1412．在△ABC 中，若(3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⊥CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则角A 的最大值为( ) A ．π6 B ．π3C ．2π3D ．5π6二、填空题13．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S6S 3=4，则a 92a7a 8=______．14．已知向量()2,sin a α=，()1,cos b α=，且//a b ，则()5sin cos tan 24ππαπαα⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭___．15．在ABC 中，AB AC =，120BAC ∠=，过点A 作AB 的垂线交BC 于点D ，AC x AB y AD =+，则xy=______．16．如图，ABC 中，ACB ∠为钝角，10AC =，6BC =，过点B 向ACB ∠的角平分线引垂线交于点P，若AP =ABP 的面积为______．三、解答题17．△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知(2b −a)cosC =c ⋅cosA ． (1)求角C ；(2)若c =7，△ABC 的面积为10√3，求△ABC 的周长．18．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知22n S n n =+，*n N ∈．()1求数列{}n a 的通项公式； ()2设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 19．已知x ，y 满足约束条件2040250x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩．()1若z mx y =-+取得最小值的最优解有无数多个，求m 的值； ()2求22z x y =+的取值范围．20．已知数列{b n } 的前n 项和为S n ，S n +b n =2，等差数列{a n } 满足b 1a 2=3，b 1+a 5=7 （Ⅰ）求数列{a n }，{b n }的通项公式； （Ⅱ）证明：a 1b 2+a 2b 3+⋯+a n b n+1<3. 21．设函数()cos 22sin sin .344f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1求()f x 的单调递减区间及其图象的对称轴方程；()2若()f x 在区间,12a π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求实数a 的取值范围． 22．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个顶点为A(−3,0)，且经过点(2,53). (1)求椭圆C 的方程；(2)过点A 作斜率为k(k ≠0)的直线l 交C 于另一点D ，交y 轴点E ，P 为线段AD的中点，O为坐标原点，是否存在点Q满足对于任意的k(k≠0)都有OP⊥EQ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1．B 【解析】 【分析】解出集合A {x |x 1=<-或x 3}>，由A B R ⋃=得出B ． 【详解】 解：A {x |x 1=<-或x 3}>，且AB R ⋃=；∴符合条件的只有B ．故选B ． 【点睛】本题考查描述法的定义，以及并集的定义及运算 2．D 【分析】根据全称命题的否定为特称命题可得答案． 【详解】解：命题p ：x 0∀≥，x sinx ≥，则p ￢为0x 0∃≥，00x sinx <， 故选D ． 【点睛】本题考查的知识点是全称命题，命题的否定，熟练掌握全(特)称命题的否定方法是解答的关键． 3．B 【解析】 【分析】由已知结合向量数量积的性质可求a ⃗ ⋅b ⃗ ，代入即可求解． 【详解】解：∵a ⃗ ，b ⃗ 均为单位向量，且|a ⃗ +b ⃗ |=√3， ∴3=a ⃗ 2+2a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2，∴a ⃗ ⋅b ⃗ =12，则(2a ⃗ +b ⃗ )⋅(a ⃗ −b ⃗ )=2a ⃗ 2−a ⃗ ⋅b ⃗ −b ⃗ 2=12，故选：B ． 【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的性质的简单应用，属于基础试题． 4．B 【解析】分析：把已知与求值式全部用首项1a 和公差d 表示，详解：由题意361113361591827S S a d a d a d +=+++=+=，∴123a d +=， ∴2411113242(2)236a a a d a d a d a d +=+++=+=+=⨯=． 故选B ．点睛：等差数列与等比数列中基本量法是最基本最重要的方法，必须掌握，解等差数列和等比数列的问题大多数情况下都可用基本法求解，即用首项和公差（比）表示出已知条件，如能求出首项和公差（比）就求出，否则得出它们的关系式，再把待求式也用首项和公差（比）表示后就可求得结论． 5．D 【分析】利用椭圆的定义即可得到结果． 【详解】椭圆221259x y +=，可得5a =，三角形2AF B 的周长22AF BF AB =++，11AB AF BF =+， 所以：周长1212AF AF BF BF =+++，由椭圆的第一定义，1212210AF AF BF BF a +=+==， 所以，周长420a ==． 故选D ． 【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，三角形的周长的求法，属于基本知识的考查． 6．D 【解析】 【分析】利用数列的递推关系式，推出{1a n}是等差数列，然后求解数列的通项公式．【详解】数列{a n }满足a 1=2，a n+1=2a na n +2，可得：1an+1−1a n=12，所以数列{1a n}是等差数列，可得：1a n=12+12(n −1)=n2， 可得a n =2n ， 故选：D ． 【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用，数列的通项公式的求法，考查计算能力． 7．A 【分析】判断出原命题是假命题，从而原命题的逆否命题是假命题；再判断现原命题的逆命题是真命题，从而原命题的否命题是真命题． 【详解】解：原命题：“设a 、b R ∈，原命题“若21x (a b)2>+，则22x a b >+”，是假命题， ∴原命题的逆否命题是假命题；原命题的逆命题：“若22x a b >+，则21x (a b)2>+”，是真命题， ∴原命题的否命题是真命题．故选A ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 8．D 【解析】 【分析】利用三角函数的奇偶性、周期性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论． 【详解】解：∵f(x)=sin|2x|为偶函数，但它的最小正周期为12⋅2π2=π2，故排除A ；由于f(x)=tan(x −π4)为非奇非偶函数，故排除B ； ∵f(x)=|cos2x|为偶函数，但它的最小正周期为12⋅2π2=π2，故排除C ； ∵f(x)=1−tan 2x 1+tan x=cos 2x−sin 2x cos x+sin x=cos2x 为偶函数，且它的最小正周期为2π2=π，故D 满足条件， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查三角函数的奇偶性、周期性，属于基础题． 9．D 【分析】利用三角恒等变换、函数()y Asin ωx φ=+的图象变换规律，得出结论． 【详解】 解：函数()π11πf x cos2x sin 2x cos2x cos2x cos2x cos 2x 6223⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-=+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故将函数()g x cos2x =的图象向右平移π6个单位，可得()f x 的图象， 故选D ． 【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换，函数()y Asin ωx φ=+的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题． 10．C 【解析】 【分析】对()x 0,∞∀∈+，不等式2ax 3x a 0-+≥恒成立⇔通过a 0=以及a 0>、a ＜0，利用二次函数的性质即可得出．【详解】解：当a 0=时，不等式不恒成立，由二次函数的性质可知：a 0>，且294a 0=-≤，解得3a 2≥， a 0<时，2ax 3x a 0-+≥不恒成立，综上3a ,2∞⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭． 故选C ． 【点睛】本题考查了不等式恒成立问题的等价转化方法、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 11．C 【分析】利用点P 与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积的不等式，建立等式，考查椭圆的方程，即可确定a ，b 的关系，从而通过椭圆的离心率，求解即可． 【详解】设(),P x y ，点(),0A a -，(),0B a ，椭圆E ：22221x y a b +=，22222a x yb a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭2c a ∴=，2234c a =，则22234a b a -=，所以2214b a =， ∴点P 与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积为：2222214y y y b x a x a x a a ⋅==-=-+--， 故选C ． 【点睛】本题考查斜率的计算，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于中档题． 12．A 【解析】 【分析】根据(3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⊥CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 即可得出(3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，从而得出0=(3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=3|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−4|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosA ，进而得出cosA ≥√32，从而可求出A 的最大值． 【详解】∵(3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⊥CB⃗⃗⃗⃗⃗ ； ∴0=(3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=3|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−4AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， =3|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−4|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosA ≥2√3|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |−4|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosA ； ∴cosA ≥√32，且0<A <π；∴A 的最大值为π6． 故选：A ． 【点睛】本题考查向量数量积的运算及计算公式，向量垂直的充要条件，向量减法的几何意义，以及a 2+b 2≥2ab 的应用． 13．3 【解析】 【分析】根据题意，由等比数列的求和公式，求出公比，再根据通项公式即可求出． 【详解】解：设等比数列的公比为q ，由S 6S 3=4，可得1−q 61−q =1+q 3=4，解得q 3=3，∴a 92a 7a 8=a 7q 2⋅a 8q a 7a 8=q 3=3，故答案为：3． 【点睛】本题考查了等比数列的定义和通项公式以及前n 项和公式的应用问题，属于基础题． 14．415【解析】 【分析】由已知求得tan α，再由诱导公式及同角三角函数基本关系式化简求值． 【详解】解：由()a 2,sin α=，()b 1,cos α=，且a //b ， 得2cos αsin α0-=，即tan α2=．()()π5ππsin απcos αtan αsin αsin αtan α244⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-+-=-⋅-⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()22222212sin αtan α4sin α12153sin αcos α3tan α1-=⋅===-+-+-+．故答案为415-． 【点睛】本题考查平面向量共线的坐标运算，训练了利用诱导公式及同角三角函数基本关系式化简求值，是基础题． 15．13- 【解析】 【分析】由题意，可得出22BD AD DC ==，由向量三角形法则可得出3122AC AD AB =-，再结合AC x AB y AD =+，根据平面向量基本定理，得出x ，y 的值，即可得出答案． 【详解】在ABC 中，AB AC =，120BAC ∠=，过点A 作AB 的垂线交BC 于点D 如图30ABC ∴∠=，2BD AD ∴=，且60ADB ∠=， 所以DC AD =22BD AD DC ∴==，()11312222AC AD DC AD BD AD AD AB AD AB ∴=+=+=+-=-， 又AC x AB y AD =+，12x ∴=-，32y =13x y ∴=-． 故答案为13- 【点睛】本题考查平面向量基本定理以及向量加法减法运算法则，属于向量基本题．16．【分析】设CP x =，ACP BCP α∠=∠=，利用直角三角形的边角关系和余弦定理求得x 和cos α的值，再计算sin ACB ∠以及ABCS 、ACPS和BCP S的值，从而求得ABP 的面积．【详解】 如图所示，设CP x =，ACP BCP α∠=∠=， 则cos 6x α=， 由余弦定理得，2222cos AP AC x x AC α=+-⋅⋅，解得x =cos α=；sin sin22ACB α∴∠===16102ABCS∴=⨯⨯=11023ACPS=⨯⨯=1623BCPS=⨯⨯=20ABPABCACPBCPSSSS∴=--==即ABP 的面积为 【点睛】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了三角形面积计算问题，是中档题． 17．（1）π3（2）20 【解析】 【分析】(1)由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得2sinBcosC =sinB ，由sinB >0，可求cosC =12，结合范围C ∈(0,π)，可求C 的值；(2)由(1)及三角形面积公式可求ab =40，由余弦定理可求a +b 的值，即可解得△ABC 的周长． 【详解】(1)∵(2b −a)cosC =c ⋅cosA ，∴由正弦定理可得：(2sinB −sinA)cosC =sinCcosA ，可得：2sinBcosC =sinAcosC +sinCcosA =sin(A +C)=sinB ， ∵sinB >0， ∴解得：cosC =12， ∵C ∈(0,π)， ∴C =π3，(2)由(1)及已知可得：△ABC 的面积为10√3=12ab ×√32，解得ab =40，∵由余弦定理可得：c 2=a 2+b 2−ab ，可得：49=(a +b)2−3ab =(a +b)2−3×40，解得：a +b =13，∴△ABC 的周长a +b +c =13+7=20 【点睛】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 18．（1）=41n a n -（2）129nn +【解析】试题分析：（1）由n a 与n S 之间的关系求出通项公式；（2）求出111()44143n b n n =--+，再用裂项相消法求出前n 项和．试题解析：（1）由22n S n n =+，得当1n =时，113a S ==；当2n ≥时，1n n n a S S -=- ()()222211n n n n ⎡⎤=+--+-⎣⎦41n =-.所以41n a n =-. （2）11n n n b a a +=()()14143n n =-+ 11144143n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，所以11111[437710n T ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 11]4143n n ⎛⎫+⋅⋅⋅+- ⎪-+⎝⎭1114343129n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭. 19．（1）m 1=-或m 2=；（2）8z 130≤≤. 【分析】利用约束条件画出可行域，()1利用目标函数的最优解求解即可；()2利用目标函数的几何意义，转化求解即可．【详解】作出约束条件的可行域如图：由图形可知：()A 3,1，()B 7,9，()C 1,3；()1z mx y =-+取得最小值的最优解有无数多个，若m 0>，则m 2=；若m 0<，则m 1=-，故m 1=-；所以m 1=-或m 2=．()222z x y =+的几何意义是可行域内的点与()0,0的距离的平方，由图可得：2min z 8==；2max z |OB |130==．8z 130∴≤≤．【点睛】本题考查线性规划的简单应用，判断目标函数的最值的求法，目标函数的几何意义是解题的关键，考查数形结合以及计算能力． 20．（Ⅰ）a n =n +1,b n =(12)n−1；（Ⅱ）详见解析.【分析】（Ⅰ）根据b n =S n −S n−1，整理可得b n =12b n−1，从而可知{b n }为等比数列，将n =1代入S n +b n =2可求得b 1，根据等比数列通项公式求出b n ；将b 1a 2=3，b 1+a 5=7化为a 1和d 的形式，求解出基本量，根据等差数列通项公式求得a n ；（Ⅱ）利用错位相减法求解出a 1b 2+a 2b 3+⋅⋅⋅+a n b n−1=3−n+32n，由n+32n >0可证得结论.【详解】（Ⅰ）∵S n +b n =2 ∴当n =1时，b 1=S 1=2−b 1 ∴b 1=1 当n ≥2时，b n =S n −S n−1=2−b n −2+b n−1，整理得：b n =12b n−1 ∴数列{b n }是以1为首项，12为公比的等比数列 ∴b n =(12)n−1设等差数列{a n }的公差为d∵b 1a 2=3，b 1+a 5=7 ∴{a 1+d =3a 1+4d =6 ，解得：{a 1=2d =1∴a n =a 1+(n −1)d =2+(n −1)×1=n +1（Ⅱ）证明：设T n =a 1b 2+a 2b 3+⋅⋅⋅+a n b n−1=2×12+3×(12)2+⋅⋅⋅+(n +1)⋅(12)n∴12T n =2×(12)2+3×(12)3+⋅⋅⋅+(n +1)⋅(12)n+1两式相减可得：12T n =1+(12)2+(12)3+⋅⋅⋅+(12)n −(n +1)⋅(12)n+1=1−(n +1)⋅(1)n+1+14(1−12n−1)1−12=3−n +3n+1T n =3−n +32n即a 1b 2+a 2b 3+⋅⋅⋅+a n b n−1=3−n+32n∵n+32n>0 ∴a 1b 2+a 2b 3+⋅⋅⋅+a n b n−1<3【点睛】本题考查等差数列、等比数列通项公式的求解、错位相减法求解数列的前项和的问题，属于常规题型.21．（1）单调递减区间为π5πk π,k π36⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，对称轴方程为()k ππx k Z 23=+∈；（2）π3π,.34⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】()1利用恒等变换公式将()f x 化为πsin 2x 6⎛⎫- ⎪⎝⎭，再利用正弦函数的单调递减区间和对称轴可得结果；()2利用正弦函数的图象可得实数a 的取值范围．【详解】()()()()11f x cos2x sinx cosx sinx cosx 2=++-+1πcos2x cos2x sin 2x 26⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 令ππ3π2k π2x 2k π262+≤-≤+，则π5πk πx k π36+≤≤+，k Z ∈． ()f x ∴的单调递减区间为π5πk π,k π36⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈． 由()ππ2x k πk Z 62-=+∈得()k ππx k Z 23=+∈． ()f x ∴图象的对称轴方程为()k ππx k Z 23=+∈．()π2x ,a 12⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，πππ2x ,2a 636⎡⎤∴-∈--⎢⎥⎣⎦结合正弦函数图象可知：ππ4π2a 263≤-≤，解得π3πa 34≤≤， 实数a 的取值范围是π3π,.34⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】函数()sin (0,0)y A x B A ωϕω=++>>的性质 (1) max min =+y A B y A B =-，. (2)周期2π.T ω=(3)由 ()ππ2x k k +=+∈Z ωϕ求对称轴 (4)由()ππ2π2π22k x k k -+≤+≤+∈Z ωϕ求增区间;由()π3π2π2π22k x k k +≤+≤+∈Z ωϕ求减区间. 22．(1)x 29+y 25=1(2)见解析【解析】 【分析】(1)由由题意可得{a =34a 2+259b 2=1 ，解得a 2=9，b 2=5，由此能求出椭圆方程；(2)直线的方程为y =k(x +3)，与椭圆联立，得(5+9k 2)x 2+54k 2x +81k 2−45=0，由此利用韦达定理、中点坐标公式、直线方程、直线垂直、椭圆性质，结合已知条件能求出定点Q 的坐标．【详解】 (1)由题意可得{a =34a 2+259b 2=1 ，解得a 2=9，b 2=5， 则椭圆C 的方程为x 29+y 25=1，(2)直线的方程为y =k(x +3)，得E(0,3k)，联立椭圆方程，消元化简得(5+9k 2)x 2+54k 2x +81k 2−45=0， ∴x A =−3， ∴x D =−27k 2+155+9k 2，∴y D =k(x D +3)=30k5+9k 2， ∴D(−27k 2+155+9k 2,30k5+9k 2)，又∵点P 为AD 的中点，∴P(−27k 25+9k2,15k 5+9k 2)，则k OP =−59k (k ≠0)，假设存在定点Q(m,n)(m ≠0)使得OP ⊥EQ ，则k OP ⋅k EQ =−1， 即−59k ⋅n−3k m=−1恒成立，∴k(9m +15)−5n =0恒成立， ∴{5n =09m+15=0，即m =−53，n =0，因此定点Q 的坐标为(−53,0) 【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查满足直线与直线垂直的定点是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意韦达定理、中点坐标公式、直线方程、直线垂直、椭圆性质的合理运用，是中档题．。

湖南省三湘名校教育联盟高二上学期期中考试数学试题一、单选题1．已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则C U B A I A ．{}1,6 B ．{}1,7C ．{}6,7D ．{}1,6,7【答案】C【解析】先求U A ð，再求U B A ⋂ð． 【详解】由已知得{}1,6,7U C A =，所以U B C A ⋂={6,7}，故选C ． 【点睛】本题主要考查交集、补集的运算．渗透了直观想象素养．使用补集思想得出答案． 2．设x ∈R ，则“02x <<”是“2230x x --<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】首先解一元二次不等式223013x x x --<⇒-<<，然后根据充分不必要条件即可判断. 【详解】由2230x x --<，则13x -<<，可知“02x <<”是“2230x x --<”的充分不必要条件， 故选：A 【点睛】本题主要考查充分不必要条件的含义，属于基础题. 3．在等差数列{}n a 中,1352,10a a a =+=，则7a =（ ） A ．5 B ．8C ．10D ．14【答案】B【解析】试题分析：设等差数列{}n a 的公差为d ，由题设知，12610a d +=，所以，110216a d -==所以，716268a a d =+=+= 故选B.【考点】等差数列通项公式.4．已知向量a r ＝(1，0)，b r＝(-3，4)的夹角为θ，则sin2θ等于 ( )A ．725-B ．725C ．2425-D ．2425【答案】C【解析】首先根据向量夹角公式求出cos θ的值，然后求出sin θ，最后根据二倍角正弦公式即可得出结果. 【详解】33cos 155a b a bθ⋅==-=-⨯⋅r r r ，∵0θπ≤≤，∴4sin 5θ==，24sin 22sin cos 25θθθ==-，故选C. 【点睛】本题主要考查了向量夹角的计算以及二倍角正弦公式的应用，属于中档题.5．已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在半径为2的同一个球的球面上.则球的体积与圆柱的体积的比值为（ ） A ．43B ．916C ．34D ．169【答案】D【解析】根据圆柱的底面半径、球的半径与球心到圆柱底面的距离构成直角三角形求出圆柱的底面半径为r ，再有体积公式求出圆柱的体积与球的体积即可. 【详解】设圆柱的底面半径为r，则r ==所以圆柱的体积为2126V ππ=⋅⨯=， 又球的体积为32432233V =π⨯=π所以球的体积与圆柱的体积的比213216369V V ππ==故选：D 【点睛】本题主要考查几何体的体积，需熟记公式，属于基础题. 6．以下四个命题：①“若x y =，则22x y =”的逆否命题为真命题②“2a =”是“函数()log a f x x =在区间()0,∞+上为增函数”的充分不必要条件 ③若p q ∧为假命题，则p ，q 均为假命题④对于命题p ：0x R ∃∈，20010x x ++<，则p ⌝为：x R ∀∈，210x x ++≥其中真命题的个数是（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C7．已知椭圆C 的中心在原点，焦点1F ，2F 在x 轴上，C 上的点到左焦点1F 的距离的最大值为6，过1F 的直线交C 于A ,B 两点，且2ABF ∆的周长为16，则椭圆C 的方程为（ ）A ．2211612x y +=B ．221164x y +=C ．221124x y +=D ．22142x y +=【答案】A8．已知变量x 、y 之间的线性回归方程为0.710.3y x =-+，且变量x 、y 之间的一-组相关数据如下表所示，则下列说法错误．．的是（ ）A ．可以预测，当20x =时， 3.7y =-B ．4m =C ．变量x 、y 之间呈负相关关系D ．该回归直线必过点()9,4【答案】B9．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线均和圆22:650C x y x +-+=相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为（ ）A ．22154x y -=B ．22145x y -=C ．22136x y -=D ．22163-=x y【答案】A10．已知0x >，0y >，lg 2lg8lg 2x y+=，则13x y+的最小值是（ ）A ．8B ．12C ．16D ．10+【答案】C【解析】利用对数的运算法则和基本不等式的性质可得. 【详解】解：lg 2lg8lg 2xy+=Q()lg 28lg 2x y ∴⋅=322x y +∴=31x y ∴+=0x Q >，0y >()1313333101016y x x y x y x y x y ⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭ 当且仅当14x y ==时取等号. 故选：C 【点睛】本题考查对数的运算法则及基本不等式，属于中档题.11．如图，AD 是某防汛抗洪大坝的坡面，大坝上有一高为20米的监测塔BD ，若某科研小组在坝底A 点测得15BAD ∠=o ，沿着坡面前进40米到达E 点，测得45BED ∠=o ，则大坝的坡角（DAC ∠）的余弦值为（ ）A ．31-B ．31- C ．21-D ．212- 【答案】A【解析】由15BAD ∠=o ，45BED ∠=o ，可得30ABE ∠=o ，在ABE ∆中，由正弦定理得()2062BE =-，在BED ∆中，由正弦定理得sin 31BDE ∠=-，进而由()sin sin 90BDE DAC ∠=∠+o可得结果.【详解】因为15BAD ∠=o ，45BED ∠=o ，所以30ABE ∠=o .在ABE ∆中，由正弦定理得sin 30sin15AE BE=o o，解得()2062BE =-.在BED ∆中，由正弦定理得sin sin 45BE BDBDE =∠o，所以()220622sin 3120BDE -⨯∠==-.又90ACD ∠=o ，所以()sin sin 90BDE DAC ∠=∠+o，所以cos 31DAC ∠=-. 故选：A. 【点睛】本题考查正弦定理解三角形，考查诱导公式，考查学生合理进行边角转化的能力，属于中档题. 12．抛物线的焦点是双曲线的右焦点，点是曲线的交点，点在抛物线的准线上，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】先由题和抛物线的性质求得点P 的坐标和双曲线的半焦距c 的值，再利用双曲线的定义可求得a 的值，即可求得离心率. 【详解】由题意知，抛物线焦点，准线与x 轴交点，双曲线半焦距，设点是以点为直角顶点的等腰直角三角形，即，结合点在抛物线上，所以抛物线的准线，从而轴，所以，即故双曲线的离心率为 故选A 【点睛】本题考查了圆锥曲线综合，分析题目，画出图像，熟悉抛物线性质以及双曲线的定义是解题的关键，属于中档题.二、填空题13．已知函数()22,11,1x x f x x x ⎧>=⎨+≤⎩，则()()21f f -=_______.【答案】2【解析】由函数()22,11,1x x f x x x ⎧>=⎨+≤⎩求出(2)4f =，(1)112f =+=，由此能求出()()21f f -的值.【详解】Q 函数()22,11,1x x f x x x ⎧>=⎨+≤⎩，∴(2)4f =，(1)112f =+=，()()21422f f ∴-=-=故答案为：2 【点睛】本题考查分段函数求值，属于基础题.14．已知tan α，tan β是方程22350x x +-=的两个实数根，则()tan αβ+=_______.【答案】37-15．已知点()0,1A ，抛物线C ：()20y ax a =>的焦点为F ，连接FA 交抛物线C 于点M ，延长FA 交C 的准线于点N ，若:2:3FM MN =，则a 的值为______.16．已知数列{}n a 满足：m ∀，n *∈N ，m n m n a a a ++=，且152a π=，函数()2sin 26cos 2xf x x =+，记()n n b f a =，则数列{}n b 的前29项和为_______. 【答案】87三、解答题17．已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，12a =，32216a a =+. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和n T . 【答案】（1）212n na -=（2）21n nT n =+ 【解析】（1）由等比数列的通项公式求出q 即可求解. （2）由（1）求出n b 的通项公式，再有裂项相消法求和即可. 【详解】解：（1）由已知：12a =，32216a a =+∴22416q q =+即2280q q --=，所以4q =或2q =-（舍去），∴11211242n n n n a a q ---==⨯=（2）由（1）知：2log n n b a ==212log 221n n -=- ∴()()1112121n n b b n n +==⋅-+11122121n n ⎛⎫- ⎪-+⎝⎭ 12231111n n n T b b b b b b +=++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅111111123352121n n ⎛⎫=-+-++-= ⎪-+⎝⎭L 11122121nn n ⎛⎫-= ⎪++⎝⎭ 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式以及裂项相消法求和，属于中档题.18．2018年，教育部发文确定新高考改革正式启动，湖南、广东、湖北等8省市开始实行新高考制度，从2018年下学期的高一年级学生开始实行.为了适应新高考改革，某校组织了一次新高考质量测评，在成绩统计分析中，高二某班的数学成绩的茎叶图和频率分布直方图因故都受到不同程度的损坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：（1）求该班数学成绩在[)50,60的频率及全班人数； （2）根据频率分布直方图估计该班这次测评的数学平均分；（3）若规定90分及其以上为优秀，现从该班分数在80分及其以上的试卷中任取2份分析学生得分情况，求在抽取的2份试卷中至少有1份优秀的概率.【答案】（1）频率为0.08，全班人数为25.（2）73.8；（3）35【解析】（1）由频率分布直方图小矩形的面积即为频率，频数÷频率即得出全班人数.（2）根据频率分布图平均数=每个小矩形底边中点横坐标⨯小矩形的面积，代入数据即可求解.（3）列出基本事件，根据古典概型的概率求法即可求解. 【详解】（1）频率为0.08，频数=2，所以全班人数为20.08=25. （2）估计平均分为：550.08650.28750.4⨯+⨯+⨯+850.16950.0873.8⨯+⨯=. （3）由已知得[)80,100的人数为：（0.16+0.08）0.160.0825+⨯=（）426+=. 设分数在[)80,90的试卷为A ，B ，C ，D ，分数在[]90,100的试卷为a ，b . 则从6份卷中任取2份，共有15个基本事件，分别是AB ，AC ，AD ，Aa ，Ab ，BC ，BD ，Ba ，Bb ，CD ，Ca ，Cb ，Da ，Db ，ab ，其中至少有一份优秀的事件共有9个，分别是Aa ，Ab ，Ba ，Bb ，Ca ，Cb ，Da ，Db ，ab ，∴在抽取的2份试卷中至少有1份优秀的概率为93155P ==. 【点睛】本题考查了茎叶图、频率分布直方图以及古典概型的概率，属于综合性题目. 19．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且asin B ＝－bsin 3A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭. (1)求A ；(2)若△ABC 的面积S 2，求sin C 的值．【答案】（1）56π；（2）14【解析】（1）利用正弦定理化简已知等式即得A=56π.(2)先根据△ABC 的面积S ＝4c 2得到b ，再利用余弦定理得到a c ，再利用正弦定理求出sin C 的值． 【详解】(1)因为asin B ＝－bsin)3A π+（，所以由正弦定理得sin A ＝－sin )3A π+（，即sin A ＝－12sin A －2cos A ，化简得tan A ＝－3， 因为A ∈(0，π)，所以A ＝56π.(2)因为A ＝56π，所以sin A ＝12，由S ＝4c 2＝12bcsin A ＝14bc ，得b c ，所以a 2＝b 2＋c 2－2bccos A ＝7c 2，则a c ，由正弦定理得sin C ＝sin 14c A a =. 【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.20．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥底面ABC ，D 、E 、F 、G 分别为1AA ，AC 、11A C 、1BB ，的中点，且AB BC ==AC =1AA =（1）证明：AF P 平面1BEC ； （2）证明：AC FG ⊥；（3）求直线BD 与平面1BEC 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）31414【解析】（1）根据题意由1FC AE P ，1FC AE =，证出1AF EC P 即可证出AF P 平面1BEC ；（2）先证出AC ⊥平面BEF ，再有FG ⊂平面BEF 即可证出AC FG ⊥； （3）过D 作1DO C E ⊥于点O ，连接BO ，可证出DBO ∠就是所求的角，在三角形中求解即可； 【详解】（1）连接AF ，Q E ，F 分别为AC ，11A C 的中点且11AC AC P ，11AC A C =∴1FC AE P ，1FC AE =∴四边形1AEC F 是平行四边形，∴1AF EC P又AF ⊄平面1BEC ，1EC ⊂平面1BEC ，∴AF P 平面1BEC .（2）在三棱柱111ABC A B C -中，Q 1CC ⊥平面ABC ， ∴四边形11A ACC 为矩形．又E ，F 分别为AC ，11A C 的中点， ∴AC EF ⊥．Q AB BC =．∴AC BE ⊥，∴AC ⊥平面BEF ．又G 是1BB 中点，1BB EF P ，∴G 在平面BEF 内 ，∴AC FG ⊥.（3）过D 作1DO C E ⊥于点O ，连接BO ， 易证BE ⊥平面11ACC A ，∴DO BE ⊥，∴DO ⊥平面1BEC 从而DBO ∠就是所求的角.由平面几何知识计算得，35BD =，310sin DO DBO =⇒∠=31414DO BD =. ∴直线BD 与平面1BEC 314 【点睛】本题考查了立体几何中线面平行、异面直线垂直、线面角，要证线面平行，则要证线线平行；证明异面直线垂直，需证线面垂直；求线面角的步骤“作、证、求”，此题是立体几何的综合性题目.21．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且220n n S a -+=，函数()f x 对任意的x ∈R 都有()()11f x f x +-=，数列{}n b 满足()120n b f f f n n ⎛⎫⎛⎫=+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…()11n f f n -⎛⎫+ ⎪⎝⎭. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满足n n n c a b =⋅，n T 是数列{}n c 的前n 项和，是否存在正实数k ，对于任意n *∈N ，不等式()29264n n k n n T nc -+>，恒成立？若存在，请求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2nn a =.12n n b +=；（2）存在，()2,+∞ 【解析】（1）由n S 求n a ，根据220n n S a -+=得22n n S a =-，再有1122n n n n S S a a ---=-得12n n a a -=即可求出n a 的通项公式；由()()11f x f x +-=，根据倒序相加法可求n b .（2）用分离参数法，根据（1）由()29264n n k n n T nc -+>得()221926n k n n +>-+，令()()()*221926n g n n N n n +=∈-+求出()max2g n =即可.【详解】解：（1）Q 220n n S a -+=即22n n S a =- 当1n =时，1122S a =-，∴12a =当2n ≥时，1122n n S a --=-，∴1122n n n n S S a a ---=-，即12n n a a -=∴{}n a 是等比数列，首项为12a =，公比为2，∴2n n a =.Q ()()11f x f x +-=，∴111n f f n n -⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.Q ()120n b f f f n n ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…()11n f f n -⎛⎫++ ⎪⎝⎭.∴()121n n n b f f f n n --⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…()01fn f ⎛⎫++ ⎪⎝⎭. ∴①+②，得21n b n =+， ∴12n n b +=（2）Q n n n c a b =⋅，∴()112n n c n -=+⋅∴012223242n T =⋅+⋅+⋅+…()112n n -++⋅. ①1232223242n T =⋅+⋅+⋅+…()1212n n n n -+⋅++⋅ ②①－②得12222n T -=+++…()1212n n n -+-+⋅即2nn T n =⋅.要使得不等式()29264n n k n n T nc -+>恒成立，Q ()29260n n n T -+>恒成立∴()24926nnnc k nn T >-+对于一切的*n N ∈恒成立，即()221926n k n n +>-+ ，令()()()*221926n g n n N n n +=∈-+，则()()()()221111136n g n n n +==+-++()()22361111n n ≤=+-++当且仅当5n =时等号成立，故()max 2g n =. 故k 的取值范围为()2,+∞. 【点睛】本题考查由n S 求n a 的通项公式，倒序相加法求通项公式以及分离参数法求参数的取值范围，综合性比较强.22．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左，右顶点分别为1A ，2A ，长轴长为4，且经过点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若M 为椭圆C 上异于1A ，2A 的任意一点，证明：直线1MA ，2MA 的斜率的乘积为定值；（3）已知两条互相垂直的直线1l ，2l 都经过椭圆C 的右焦点F ，与椭圆C 交于A ，B 和M ，N 四点，求四边形AMBN 面积的取值范围.【答案】（1）22143x y +=（2）定值34-，证明见解析；（3）288,649⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【解析】（1）由长轴长为4可求2a =，再由待定系数法把点代入椭圆方程即可求椭圆的标准方程；（2）设点()00,M x y ，1220204MA MA y k k x ⋅=-，点M 在椭圆上可得22200041344y x x -=-=代入上式化简即可.（3）当1l ，2l 中有一条斜率不存在时，14362AMBN S =⨯⨯=； 当1l ，2l 的斜率都存在时，设过点()1,0F 的两条互相垂直的直线1l ：1x ky =+，直线2l ：11x y k =-+，联立221143x ky x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩求出AB 与MN ，所以12S AB MN =⋅代入整理成关于k 的式子，求式子的值域即可. 【详解】解：（1）由题意知：22242191,4a a b a b =⎧=⎧⎪⎪⇒⎨⎨+==⎪⎩⎪⎩ ∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）由已知()12,0A -，()22,0A ，设点()00,M x y ，则1220002000224MA MA y y y k k x x x ⋅=⋅=+--，又()00,M x y 在椭圆上，2200143x y += 即22200041344y x x -=-=， ∴()12220022003434444MA MA x y k k x x -⋅===---（定值）. （3）当1l ，2l 中有一条斜率不存在时，易求得14362AMBN S =⨯⨯=； 当1l ，2l 的斜率都存在时，设过点()1,0F 的两条互相垂直的直线1l ：1x ky =+，直线2l ：11x y k=-+由221143x ky x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2234690k y ky ++-=显然>0∆，∴122634k y y k -+=+，122934y y k ⋅=-+则AB ==()()2221213434k k k k+=++. 把上式中的k 换成1k -得：()2212134k kMN k+=+则四边形AMBN 的面积为12S AB MN =⋅=()()2222121121123434k k k k++⋅⋅=++()()()22227213434k k k +++ 令21k t +=，则1t >，且23441k t +=-，23431k t +=+()()()222222721721213434k t S t t kk +===+-++272114924t ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭()1t >， ∴288649S ≤<， 所以四边形AMBN 的面积的取值范围是288,649⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了圆锥曲线中椭圆的相关知识点，求椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系、弦长公式，同时考查了学生的计算能力，难度较大，综合性比较强.。

湖南省2021年高二数学上学期期中考试卷（四）（理科）（考试时间100分钟满分120分）一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．设，是向量，命题“若=﹣，则||=||”的逆命题是（）A．若≠，则||≠|| B．若=﹣，则||≠|| C．若||≠||，则≠﹣D．若||=||，则=﹣2．已知a＞b，c＞d，且a，b，c，d均不为0，那么下列不等式成立的是（）A．ac＞bd B．ad＞bc C．a﹣c＞b﹣d D．a+c＞b+d3．若p：∀x∈R，sin x≤1，则（）A．¬p：∃x0∈R，sin x0＞1 B．¬p：∀x∈R，sin x＞1C．¬p：∃x0∈R，sin x0≥1 D．¬p：∀x∈R，sin x≥14．若集合A={x|﹣1≤2x+1≤3}，，则A∩B=（）A．{x|﹣1≤x＜0} B．{x|0＜x≤1} C．{x|0≤x≤2} D．{x|0≤x≤1}5．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是（3，0），则椭圆的标准方程为（）A．=1 B．=1C．=1 D．=16．已知条件p：1≤x≤3，条件q：x2﹣5x+6＜0，则p是q的（）条件．A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既非充分也非必要条件7．若不等式ax2+bx﹣2＞0的解集为{x|﹣2＜x＜﹣}则a，b的值分别是（）A．a=﹣8，b=﹣10 B．a=﹣1，b=9 C．a=﹣4，b=﹣9 D．a=﹣1，b=28．设变量x，y满足约束条件，则2x+3y的最大值是（）A．10 B．9 C．8 D．7.5二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．在△ABC中，角A，B，C 的对边分别是a，b，c，若a=3，A=30°，B=45°，则b=．10．已知{a n}是等比数列，，则公比q=．11．双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值=．12．函数的最小值为．13．若数列{a n}满足，则数列{a n}的前n项和S n=．14．已知实数x、y满足，若不等式a（x2+y2）≥（x+y）2恒成立，则实数a的最小值是．三、解答题（共5小题，共50分）15．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2﹣a2=bc．（1）求角A的大小；（2）若a=，b+c=4，求△ABC的面积．16．等差数列{a n}足：a2+a4=6，a6=S3，其中S n为数列{a n}前n项和．（Ⅰ）求数列{a n}通项公式；（Ⅱ）若k∈N*，且a k，a3k，S2k成等比数列，求k值．17．已知c＞0，且c≠1，设p：函数y=c x在R上单调递减；q：函数f（x）=x2﹣2cx+1在（，+∞）上为增函数，若“p且q”为假，“p或q”为真，求实数c的取值范围．18．某开发商用9000万元在市区购买一块土地建一幢写字楼，规划要求写字楼每层建筑面积为2000平方米．已知该写字楼第一层的建筑费用为每平方米4000元，从第二层开始，每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加100元．（1）若该写字楼共x层，总开发费用为y万元，求函数y=f（x）的表达式；（总开发费用=总建筑费用+购地费用）（2）要使整幢写字楼每平方米开发费用最低，该写字楼应建为多少层？19．如图，椭圆C：经过点P（1，），离心率e=，直线l的方程为x=4．（1）求椭圆C的方程；（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．参考答案一、单项选择题1．D．2．D．3．A 4．B 5．B．6．C 7．C．8．B 二、填空题9．解：由正弦定理，，可得，b===3．故答案为：．10．解由题意：∴q=故答案是11．解：∵双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，∴2=，解得m=16．故答案为：16．12．解：∵x＞2，∴x﹣2＞0，∴f（x）=x+=（x﹣2）++2≥2+2=4，当且仅当x﹣2=1，即x=3时取等号∴函数f（x）的最小值为f（3）=4．故答案为：4．13．解：当x=0时，a n=﹣2n，∴数列{a n}的前n项和S n==﹣n2﹣n；当x=1时，a n=1﹣2n，∴数列{a n}的前n项和S n=﹣=﹣n2；当x≠0，1时，S n=﹣n2﹣n．∴数列{a n}的前n项和S n=．故答案为：．14．解：实数x、y满足的可行域是一个三角形，三角形的三个顶点分别为（1，4），（2，4），与原点连线的斜率分别为4，2，∴a（x2+y2）≥（x+y）2等价于a≥1+∵∈[2，4]∴≤+≤4+=∴a≥1+=∴实数a的最小值是故答案为：三、解答题15．解：（1）依题意：，∴（2）由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bc•cosA，即：a2=（b+c）2﹣2bc﹣bc，∴3bc=（b+c）2﹣a2=9，bc=3．∴．（另解：算出b=1，c=3或c=1，b=3，没有分情况说明扣．）16．解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由a2+a4=6，a6=S3，得，解得．∴a n=1+1×（n﹣1）=n；（Ⅱ），由a k，a3k，S2k成等比数列，得9k2=k（2k2+k），解得k=4．17．解∵函数y=c x在R上单调递减，∴0＜c＜1．即p：0＜c＜1，∵c＞0且c≠1，∴￢p：c＞1．又∵f（x）=x2﹣2cx+1在（，+∞）上为增函数，∴c≤．即q：0＜c≤，∵c＞0且c≠1，∴￢q：c＞且c≠1．又∵“p或q”为真，“p且q”为假，∴p真q假，或p假q真．①当p真，q假时，{c|0＜c＜1}∩{c|c＞，且c≠1}={c|}．②当p假，q真时，{c|c＞1}∩{c|0＜c}=∅．[]综上所述，实数c的取值范围是{c|}．18．解：（1）由已知，写字楼最下面一层的总建筑费用为：4000×2000=8000000（元）=800（万元），从第二层开始，每层的建筑总费用比其下面一层多：100×2000=200000（元）=20（万元），写字楼从下到上各层的总建筑费用构成以800为首项，20 为公差的等差数列所以函数表达式为：；…（2）由（1）知写字楼每平方米平均开发费用为：…=（元）…当且仅当，即x=30时等号成立．答：该写字楼建为30层时，每平方米平均开发费用最低．…19．解：（1）椭圆C：经过点P （1，），可得①由离心率e=得=，即a=2c，则b2=3c2②，代入①解得c=1，a=2，b=故椭圆的方程为（2）方法一：由题意可设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x﹣1）③代入椭圆方程并整理得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0设A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2=，④在方程③中，令x=4得，M的坐标为（4，3k），从而，，=k﹣注意到A，F，B共线，则有k=k AF=k BF，即有==k所以k1+k2=+=+﹣（+）=2k﹣×⑤④代入⑤得k1+k2=2k﹣×=2k﹣1又k3=k﹣，所以k1+k2=2k3故存在常数λ=2符合题意方法二：设B（x0，y0）（x0≠1），则直线FB的方程为令x=4，求得M（4，）从而直线PM的斜率为k3=，联立，得A（，），则直线PA的斜率k1=，直线PB的斜率为k2=所以k1+k2=+=2×=2k3，故存在常数λ=2符合题意赠送励志修身名言警句可怕的敌人，就是没有坚强的信念。

三湘名校教育联盟·2020年下学期高二期中考试试题数 学 2020.11.10一 单项选择题（每小题5分）1 命题：“()13log ,2>+∈∀x Z x ”的否定为_____A ()13log ,020≤+∈∃x Z xB ()13log ,020>+∈∃x Z xC ()13log ,2≤+∈∀x Z xD ()13log ,2≥+∈∀x Z x2 在△ABC 中,6,1,3π===B AC AB ，则_____=AA 36ππ或B32ππ或C332ππ或 D 26ππ或3 集合{}11≤≤-=x x A ,若“B x ∈”是“A x ∈”的充分不必要条件,则B 可以是A {}11≤≤-x xB {}11<<-x xC {}20<<x xD {}12<<-x x4 已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,,21=a 且431,,a a a 成等比数列,则n S 取得最大值时n 的值为________A 4B 5C 4或5D 5或65 过点P(2,0)作圆O:122=+y x 的切线,切点分别为A,B.若A,B 恰好在双曲线C:12222=-by a x 的两条渐近线上,则双曲线C 的离心率为A.2B.3C. 2D.56 设0228,0,02>-++>>m m xy y x y x 恒成立,则实数m 的取值范围为______ A.(][)+∞⋃-∞-,24, B.()2,4- C. (][)+∞⋃-∞-,42, D.()4,2-7 南宋数学家杨辉《详解九张算法》和《算法通变本末》中,提出垛积公式,所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,前后两项之差不相等,但是逐项差数之差或者高次成等差数列。

在杨辉之后一般称为“块积术”.现有高阶等差数列,其前7项分别1, 7, 15, 27, 45, 71,107,则该数列的第8项为_______A.161B. 155C.141D. 1398 已知抛物线x y 42=的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线交于B A ,两点(点A 在第一象限),抛物线的准线与x 轴交于点K ,当AFAK 最大时,直线AK 的斜率______A. 1B. 2C.3D. 22二、多项选择题（每小题5分，不全选得3分）9 已知函数()wx wx x f cos sin +=的最小正周期为π,则下列判断正确的有_____A 将函数x y 2sin 2=图像向左平移4π个单位得到函数()x f 的图像 B 函数()x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡85,8ππ单调递减 C 函数()x f 的图像关于点⎪⎭⎫⎝⎛-0,8π对称D 函数()x f 取得最大值时x 的取值集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x ，8ππ 10 已知椭圆C 18422=+y x 内一点M(1,2),直线l 与椭圆C 交于A,B 两点,且M 为线段AB 的中点,则下列结论正确的是_____A.椭圆的焦点坐标为(2,0)、(-2,0）B. 椭圆C 的长轴长为22C.直线l 的方程为03=-+y xD. 334=AB11 如图所示,AB 是半圆O 的直径,VA 垂直于半圆O 所在的平面,VA=3,点C 是圆周上不同于A,B 的点,CA=3,CB=4, M,N 分别为VA, VC 的中点,则下列结论正确的有______ A MN//平面ABC B 平面VAC ⊥平面VBC C. 二面角V -BC -A 的大小为30° D. 三棱锥O -VAC 的体积为3212 已知函数()222m mx x x f --=，则下列命题正确的有______A 当0≠m 时，()0<x f 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-m x mx 2 B 当1=m 时，[)+∞∈∀,1,21x x 时，()()()[]02121>--x f x f x xC ⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-∈∀m x x 41,,21且21x x ≠时，()()⎪⎭⎫⎝⎛+>+222121x x f x f x f D 当0<m 时，若210x x <<，则()()2112x f x x f x >三、填空题（每小题5分） 13 已知α是第一象限角,且34tan =α，则________2sin =α 14 等腰直角△ABC 中,2,2==∠AB B π,点D 是AC 的中点,E 为BC 中点,则____=⋅AE BD15 已知正三棱柱111C B A ABC -的每个顶点都在球O 的球面上,若球O 的表面积π24,则该三棱锥的侧面积的最大值为_______ 16 已知数列{}n a 满足()⎩⎨⎧∈≥+==*+Nn n n n a n n ,2,3log 1,12,定义使k a a a a 321⋅⋅()*∈N k 为整数的k 叫做“幸福数”，则区间[]2020,1内所有“幸福数”的和为_____四、解答题17 （本小题满分10分）已知0>a ,命题p: a x a 2≤≤-;命题q ：41<<-x ,若p 是q 的必要不充分条件,求实数a 的取值范围.18 （本小题满分12分）由于受疫情的影响,某国某市的一个小区505人参加某次核酸检测,根据年龄段使用分层抽样的方法从中随机抽取101人,记录其核酸检测结果(阴性或阳性).现将核酸检测呈阴性的人员,按年龄段分为5组:(0,20],(20,40],(40,60],(60,80],(80,100],得到如图所示频率分布直方图,其中年龄在(20,40]的有20人.（1）估计核酸检测呈阴性人员的年龄的中位数;（2）用样本估计该小区此次核酸检测呈阳性的人数;（3）若此次核酸检测呈阳性的人中,男女比例为3:2,从中任选两人,求至少选到一名男性的概率19 （本小题满分12分）已知c b a ,,分别为△ABC 内角A,B,C 的对边,且()bc a c b 322+=+（1）求角A（2）若()B B C A a 2sin 2sin sin ,4=-+=，求△ABC 的面积20 （本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S , 4=+n n S a ,设n n a b 2log = （1）求数列{}n a 的通项公式（2）判断数列{}n b 是否为等差数列,并说明理由.（3）求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅+-12121n n b b 的前n 项和n T21 （本小题满分12分）已知椭圆E:()012222>>=+b a b y a x 的离心率为21,椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为4（1）求椭圆E 的标准方程;（2）已知Q(4,0),斜率为k 的直线l (不过点Q)与椭圆E 交于A,B 两点,O 为坐标原点, 若OQB OQA ∠=∠,则直线l 是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由22（本小题满分12分）设函数()x f 的定义域为D,若存在0x ∈D,使得()00x x f =成立,则称0x 为()x f 的一个“不动点”,也称()x f 在定义域D 上存在不动点.已知函数()()224log 12+⋅-=+x xa x f（1）若1=a ，求()x f 的不动点;（2）若函数()x f 在区间[0,1]上存在不动点,求实数a 的取值范围;（3）设函数()xx g -=2,若[]0,1,21-∈∀x x ,都有()()221≤-x g x f 成立,求实数a 的取值范围.参考答案1-A 2-D 3-B 4-C 5-C 6-D 7-B 8-A 9-BCD 10-CD 11-ABC 12-BC 13【答案】2524 14 【答案】-1 15 【答案】318 16 【答案】134917 【答案】[)∞+，2 18【答案】 （1）50 （2）5 （3）9/1019 【答案】（1）3π（2）分类讨论338=S20 【答案】（1）nn a -=22 （2）11-，公差为首项为（3）12--=n nT n21 【答案】（1）13422=+y x ------4分 （2）()0,1 22【答案】（1）0和1 ----3分 （2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,212---7分 （3）125≤≤-a。

2020-2021学年湖南省湖湘教育三新探索协作体高二（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知A ={x ∈N ∗|x ≤3}，B ={x|x 2−3x −4≤0}，则A ∩B =( )A. {1,2，3}B. {1,2}C. (0,3]D. (3,4]2. “a <b ”是“ab <1”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 已知sinαcosα=12，则tanα+1tanα的值为( )A. 12B. −12C. −2D. 24. 过直线x +y −3=0和2x −y +6=0的交点，且与直线2x +y −3=0垂直的直线方程是( )A. 4x +2y −9=0B. 4x −2y +9=0C. x +2y −9=0D. x −2y +9=05. 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上两人所得与下三人等．问各得几何？”其意思是：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得之和与丙、丁、戊三人所得之和相等，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位).这个问题中，戊所得为( )A. 34钱B. 23钱C. 12钱D. 43钱6. 直线2ax −by +2=0被x 2+y 2+2x −4y −4=0截得弦长为6，则ab 的最大值是( )A. 9B. 4C. 12D. 147. 已知四面体ABCD 的四个面都为直角三角形，AB ⊥平面BCD ，AB =BC =CD =1，若该四面体的四个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为( )A. 3π2B. √3π2C. 3πD. √3π8. 已知直线x −2y −3=0过椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点F ，且交椭圆于A 、B 两点.若线段AB 的中点为P ，直线OP 的斜率为−1，则椭圆的方程为( )A. x 245+y236=1B. x 236+y227=1 C. x 227+y218=1D. x 218+y29=1二、多选题（本大题共4小题，共20.0分） 9. 下列说法正确的有( )A. a⃗ ⋅a ⃗ ⋅a ⃗ =|a ⃗ |3 B. λ、μ为实数，若λa ⃗ =μb ⃗ ，则a ⃗ 与b ⃗ 共线C. 两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小D. 若平面内有四个点A 、B 、C 、D ，则必有AC⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 10. 关于空间两条直线a ，b 和平面α，下列命题错误的是( )A. 若a ⊥α，b ⊂α，则a ⊥bB. 若a//α，b ⊂α，则a//bC. 若a ⊥b ，b ⊥α，则a//αD. 若a//b ，b ⊥α，则a ⊥α11. 已知函数f(x)=cosx +1cosx ，现给出如下结论，其中正确的是( )A. f(x)的图象关于y 轴对称B. f(x)最小正周期为2πC. f(x)在(0,π2)上单调递减D. f(x)的图象关于点(π2,0)对称12. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =x 2上异于顶点的两个动点A 、B ，以AB 为直径的圆过原点，则下列说法正确的是( )A. 直线AB 过定点(0,1)B. △AOB 的重心的轨迹为抛物线C. △AOB 的面积的最小值为1D. 若OM ⊥AB 于点M ，则M 点的轨迹为椭圆三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知|a ⃗ |=|b ⃗ |=1，a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为60°，则(a ⃗ +2b ⃗ )⋅a ⃗ =______． 14. 若2a =3b =6，则1a +1b =______． 15. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左焦点F 关于一条渐近线的对称点恰好落在另一条渐近线上，则双曲线的离心率为______ ．16. 在数列{a n }中，若a n 2−a n−12=p(n ≥2,p 为常数)，则称{a n }为“等方差数列”.已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n =λ(a n +1a n)，若数列{S n }为“等方差数列”，则λ= ______ ；[1S 1+1S 2+⋯…+1S 81]= ______ .(其中[x]表示不超过x 的最大整数)四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 在①S 5=35，②1b 1−1b 2=4S 2，③S 3=T 5这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题：已知正项等差数列{a n }的公差是等差数列{b n }的公差的两倍，设S n、T n分别为数列{a n}、{b n}的前n项和，且a1=3，T2=3，_____，设c n=a n⋅2b n，求{c n}的前n项和A n．18.已知△ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，2cosA(bcosC+ccosB)=a，且a=√7，b−c=2．(1)求A的大小；(2)求BC边上的高．19.如图，在四棱锥A−BCDE中，已知四边形BCDE为平行四边形，平面ABE⊥平面BCDE，AB=AE=BC=CE=2，∠BAE=90°，点O为BE的中点．(1)求证：CD⊥平面AOC；(2)求二面角A−BC−O的正切值．20.湖南省从2021年开始将全面推行“3+1+2”的新高考模式，新高考对化学、生物、地理和政治等四门选考科目，制定了计算转换T分(即记入高考总分的分数)的“等级转换赋分规则”(详见附1和附2)，具体的转换步骤为：①原始分Y等级转换；②原始分等级内等比例转换赋分．某校的一次年级统考中，政治、生物两选考科目的原始分分布如表：等级A B C D E比例约15%约35%约35%约13%约2%政治学科[81,98][72,80][66,71][63,65][60,62]各等级对应的原始分区间生物学科[90,100][77,89][69,76][66,68][63,65]各等级对应的原始分区间现从政治、生物两学科中分别随机抽取了20个原始分成绩数据，作出茎叶图：(1)根据茎叶图，分别求出政治成绩的中位数和生物成绩的众数；(2)该校的甲同学选考政治学科，其原始分为82分，乙同学选考生物学科，其原始分为91分，根据赋分转换公式，分别求出这两位同学的转化分；(3)根据生物成绩在等级B的6个原始分和对应的6个转化分，得到样本数据(Y i,T i)，请计算生物原始分Y i与生物转换分T i之间的相关系数，并根据这两个变量的相关系数谈谈你对新高考这种“等级转换赋分法”的看法．附1：等级转换的等级人数占比与各等级的转换分赋分区间附2：计算转换分T 的等比例转换赋分公式：Y 2−YY−Y 1=T 2−TT−T 1.(其中：Y 1，Y 2别表示原始分Y 对应等级的原始分区间下限和上限；T 1，T 2分别表示原始分对应等级的转换分赋分区间下限和上限.T 的计算结果按四舍五入取整)．附3：∑(6i=1Y i −Y −)(T i −T −)=74，√∑(6i=1Yi −Y −)2∑(6i=1T i −T −)2=√5494≈74.12，r =n i=1i −i −√∑(ni=1Y i −Y −)2∑(n i=1T i −T −)2．21. 已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)右顶点A 为抛物线y 2=2px(p >0)的焦点，右焦点F 到抛物线的准线l 的距离为3，椭圆的离心率为12． (1)求椭圆的方程和抛物线的方程；(2)设l 上两点M 、N 满足|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，直线AM 与椭圆相交于点B(B 异于点A)直线BN 与x 轴相交于点D ，求△AMD 面积的最大值，并求此时直线AM 的方程．22.设f(x)是偶函数，当x≥0时，f(x)={√24sin(πx),0≤x≤1 (x−1)(a−x),x>1．(1)当a=2时，方程f(x)=m有4个不同的根，求m的取值范围；(2)若方程f(x)=m有4个不同的根，且这4个根成等差数列，试探求a与m满足的条件．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵A={x∈N∗|x≤3}={1,2，3}，B={x|x2−3x−4≤0}={x|−1≤x≤4}，∴A∩B={1,2，3}．故选：A．求出集合A和B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】D【解析】解：取a=−2，b=−1，则a<b，ab>1，不是充分条件，取a=2，b=−1，则ab<1，a>b，不是必要条件，故“a<b”是“ab<1”的即不充分也不必要条件，故选：D．取特殊值判断即可．本题考查了充分必要条件，考查特殊值法的应用，是一道基础题．3.【答案】D【解析】解：∵sinαcosα=12，∴tanα+1tanα=sinαcosα+cosαsinα=sin2α+cos2αcosα⋅sinα=112=2，故选：D．利用同角三角函数间的基本关系化简所求式子，即可求出结果．本题主要考查了同角三角函数间的基本关系，是基础题．4.【答案】D【解析】解：根据题意：{x +y −3=02x −y +6=0，解得{x =−1y =4，设与直线2x +y −3=0垂直的直线方程为x −2y +m =0，所以把x =−1，y =4，代入该直线，得到m =9．故该直线的方程为x −2y +9=0． 故选：D ．首先求出直线的交点坐标，进一步利用直线垂直的充要条件的应用求出直线的方程． 本题考查的知识要点：直线垂直的充要条件的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．5.【答案】B【解析】 【分析】本题主要考查将实际问题转化数学问题并加以解决的能力，考查等差数列通项公式．本题属基础题．根据题意将实际问题转化为等差数列的问题即可解决． 【解答】解：由题意，可设甲、乙、丙、丁、戊五人分得的钱分别为a 1，a 2，a 3，a 4，a 5． 则a 1，a 2，a 3，a 4，a 5成等差数列，设公差为d ． a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=5， a 1+a 2=a 3+a 4+a 5． 整理上面两个算式，得： {a 1+2d =1a 1+8d =0， 解得{a 1=43d =−16．∴a 5=a 1+4d =43+4×(−16)=23．故选：B ．6.【答案】D【解析】解：将圆的方程x 2+y 2+2x −4y −4=0化为标准方程，得(x +1)2+(y −2)2=9，则圆的圆心坐标为(−1,2)，半径为3，∵直线2ax −by +2=0被x 2+y 2+2x −4y −4=0截得弦长为6， ∴直线过圆心，则−2a −2b +2=0，即a +b =1． ∴ab ≤(a+b 2)2=14，当且仅当a =b =12时取等号． 故选：D ．化圆的方程为标准方程，求出圆心坐标与半径，结合题意可得直线2ax −by +2=0过圆的圆心，得到a +b =1，再由基本不等式求最值．本题考查直线与圆的位置关系，训练了利用基本不等式求最值，是基础题．7.【答案】C【解析】解：由题意，四面体有四个面都为直角三角形，四面体放到正方体中，AB ⊥平面BCD ，AB =BD =CD =1， 可得长方体的对角线为√12+12+12=√3． ∴球O 的半径R =√32．球O 的表面积S =4πR 2=3π． 故选：C ．将四个面都为直角三角形的四面体放到正方体中，根据AB =BD =CD =2，求解长方体对角线，可得球O 的半径，从而求解球O 的表面积．本题考查多面体外接球表面积与体积的求法，考查分割补形法，是中档题．8.【答案】D【解析】解：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，P(x 0,y 0)，则{x 12a 2+y 12b 2=1x 22a 2+y 22b 2=1，两式作差可得，x 12−x 22a 2+y 12−y 22b 2=0，整理得，y 1−y2x 1−x 2⋅y0x 0=−b 2a 2，即12×(−1)=−b 2a2，得b 2a 2=12，又直线x −2y −3=0过椭圆的右焦点F(3,0)，∴c =3，∴a 2=b 2+9，求得a 2=18，b 2=9．∴椭圆方程为x 218+y 29=1．故选：D ．设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，P(x 0,y 0)，把A ，B 的坐标代入椭圆方程，作差后结合直线OP 的斜率为−1，可得b 2a 2=12，再由直线x −2y −3=0过椭圆的右焦点F ，求得c =3，结合隐含条件求解a 2与b 2的值，则椭圆方程可求．本题考查椭圆的几何性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用作差法求解与弦中点有关的问题，是中档题．9.【答案】CD【解析】解：a ⃗ ⋅a ⃗ ⋅a ⃗ =|a ⃗ |2a ⃗ ，所以a 不正确；当λ=μ=0，满足λa ⃗ =μb ⃗ ，但是a ⃗ 与b ⃗ 不一定共线，所以B 不正确；两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小，满足向量的定义与性质，所以C 正确； 若平面内有四个点A ，B ，C ，D ，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则必有AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以D 正确， 故选：CD ．利用向量的数量积的运算法则判断A ；共线向量判断B ；向量的定义与性质判断C ；共面向量判断D 即可．本题考查向量的数量积的应用向量共线以及向量的定义的连接与应用，是基础题．10.【答案】BC【解析】解：由空间两条直线a ，b 和平面α，知：对于A ，若a ⊥α，b ⊂α，则由线面垂直的性质定理得a ⊥b ，故A 正确； 对于B ，若a//α，b ⊂α，则a 与b 平行或异面，故B 错误； 对于C ，若a ⊥b ，b ⊥α，则a//α或a ⊂α，故C 错误；对于D ，若a//b ，b ⊥α，则由线面垂直的判定定理得a ⊥α，故D 正确． 故选：BC ．对于A ，由线面垂直的性质定理得a ⊥b ；对于B ，a 与b 平行或异面；对于C ，a//α或a ⊂α；对于D ，由线面垂直的判定定理得a ⊥α．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题．11.【答案】ABD【解析】解：函数f(x)=cosx +1cosx ，对于A ：函数f(x)在定义域内满足f(−x)=f(x)所以函数f(x)为偶函数，故函数的图象关于y 轴对称，故A 正确；对于B ：函数f(x +2π)=cos(x +2π)+1cos(x+2π)=f(x)，所以函数的最小正周期为2π，故B 正确；对于C ：由于函数y =cosx 在(0,π2)上单调递减，函数y =1cosx 在(0,π2)上单调递增，故C 错误；对于D ：当x =π2时，cos π2=0，故函数g(x)=cosx 和函数k(x)=1cosx 都关于(π2,0)，所以函数f(x)关于(π2,0)对称，故D 正确． 故选：ABD ．直接利用函数的性质的应用判定A ，B ，C ，D 的结论．本题考查的知识要点：三角函数的性质的应用，函数的单调性，奇偶性，函数的周期的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．12.【答案】ABC【解析】解：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，直线AB 的方程为y =kx +m(m ≠0)，联立{y =x 2y =kx +m可得x 2−kx −m =0， 所以x 1+x 2=k ，x 1x 2=−m ，由题意可得OA ⊥OB ，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+x 12x 22=−m +m 2=0，解得m =1，则直线AB 的方程为y =kx +1，过定点P(0,1)，故A 正确； 设△AOB 的重心为G(x 0,y 0)，则{x 0=x 1+x 2+03y 0=y 1+y 203，即{x 0=k3y 0=k 2+23， 所以y 0=3x 02+23，因此G 点的轨迹为抛物线，故B 正确；|AB|=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=1√1+k 2⋅√k 2+4，O 到AB 的距离d =√k 2+1， 所以S △AOB =12|AB|⋅d =12√k 2+4≥1， 当k =0时取得等号，故C 正确； 若OM ⊥AB 于点M ，则OM ⊥MP ，设OP 的中点为Q(0,12)，则|MQ|=12|OP|=12， 故M 点的轨迹为圆，故D 错误． 故选：ABC ．设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，直线AB 的方程为y =kx +m(m ≠0)，运用韦达定理和两直线垂直的条件，解方程可得m ，即可判断A ；设△AOB 的重心为G(x 0,y 0)，运用重心坐标公式和代入法，求得G 的轨迹方程可判断B ；运用弦长公式和点到重心的距离公式，三角形的面积公式可得△AOB 的面积的最小值，可判断C ；由直角三角形的性质和圆的性质可判断D ．本题考查抛物线和圆的方程和运用，以及直线和抛物线的位置关系，注意联立直线方程和抛物线的方程，运用韦达定理，考查方程思想和运算能力，属于中档题．13.【答案】2【解析】解：|a ⃗ |=|b ⃗ |=1，a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为60°，则(a⃗ +2b ⃗ )⋅a ⃗ =a ⃗ 2+2a ⃗ ⋅b ⃗ =1+2×1×1×12=2． 故答案为：2．利用平面向量的数量积公式，求解即可．本题考查平面向量的数量积公式的应用，是基础题．14.【答案】1【解析】解：由2a =3b =6，得a =log 26，b =log 36， ∴1a +1b =1log 26+1log36=lg2lg6+lg3lg6=lg2+lg3lg6=lg6lg6=1．故答案为：1．化指数式为对数式，代入1a +1b ，换底后利用导数的运算性质化简求值．本题考查对数的运算性质，考查对数换底公式的应用，是基础的计算题．15.【答案】2【解析】解：双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F(−c,0)，渐近线方程为y=±bax，设F关于y=ba x的对称点为(m,−bam)，由题意可得bma−c−m=−ab，(∗)且12(0−bam)=12⋅ba(m−c)，可得m=12c，代入(∗)可得b2=3a2，c2=a2+b2=4a2，则离心率e=ca=2．故答案为：2．设双曲线的左焦点为F(−c,0)，求出渐近线方程，设F关于y=ba x的对称点为(m,−bam)，由中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为−1，解方程可得2m=c，代入可得a，b的关系，再由离心率公式，计算即可得到所求值．本题考查双曲线的离心率的求法，点关于直线的对称问题的解法，考查运算化简能力，属于中档题．16.【答案】1216【解析】解：由于正项数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=λ(a n+1an)，所以S n=λ(S n−S n−1+1S n−S n−1)(n≥2)，整理得(1−λ)S n2+λ(S n2−S n−12)=(1−2λ)S n S n−1+λ，由于数列为“等方差数列”．所以(1−2λ)(S n2−S n S n−1)=λ(1−d)，所以λ=12，d=1．此时S n2−S n−12=1，所以S n =√n ． 则：√n+√n+1<1S n=√n <2√n+√n−1，故1S 1+1S 2+⋯+1S 81>2(√2−1+√3−√2+⋯+√82−√81)=2(√82−1)>16，1S 1+1S 2+⋯+1S 81<1+2(√2−1+√3−√2+⃯+√81−√80)=1+2×(9−1)=17．所以；[1S 1+1S 2+⋯…+1S 81]=16．故答案为：12；16．直接利用数列的递推关系式和定义性数列的应用求出λ的值，再利用放缩法的应用求出结果．本题考查的知识要点：定义性数列，放缩法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．17.【答案】解：设数列{a n }的公差为2d ，数列{b n }的公差为d ，若选条件①： 由题设可得：{2b 1+d =35×3+5×42×2d =35，解得：{b 1=1d =1，∴a n =3+2(n −1)=2n +1，b n =n ， 又c n =a n ⋅2b n =(2n +1)⋅2n ，∴A n =3×21+5×22+⋯+(2n +1)⋅2n ， 2A n =3×22+⋯+(2n −1)⋅2n +(2n +1)⋅2n+1，两式相减得：−A n =6+23+24+⋯+2n+1−(2n +1)⋅2n+1=6+23(1−2n−1)1−2−(2n +1)⋅2n+1，整理得：A n =(2n −1)⋅2n+1+2． 若选条件②：由题设可得：{2b 1+d =34b 1(b 1+d)=d(6+2d)，解得：{b 1=1d =1或{b 1=3d =−3(舍去)， ∴a n =3+2(n −1)=2n +1，b n =n ， 又c n =a n ⋅2b n =(2n +1)⋅2n ，∴A n =3×21+5×22+⋯+(2n +1)⋅2n ， 2A n =3×22+⋯+(2n −1)⋅2n +(2n +1)⋅2n+1，两式相减得：−A n =6+23+24+⋯+2n+1−(2n +1)⋅2n+1=6+23(1−2n−1)1−2−(2n +1)⋅2n+1，整理得：A n =(2n −1)⋅2n+1+2． 若选条件③：由题设可得：{3a 2=5b 32b 1+d =3，即{3(3+2d)=5(b 1+2d)2b 1+d =3，解得：b 1=d =1，∴a n =3+2(n −1)=2n +1，b n =n ， 又c n =a n ⋅2b n =(2n +1)⋅2n ，∴A n =3×21+5×22+⋯+(2n +1)⋅2n ， 2A n =3×22+⋯+(2n −1)⋅2n +(2n +1)⋅2n+1，两式相减得：−A n =6+23+24+⋯+2n+1−(2n +1)⋅2n+1=6+23(1−2n−1)1−2−(2n +1)⋅2n+1，整理得：A n =(2n −1)⋅2n+1+2．【解析】先由所选条件和题设求得等差数列{b n }的首项b 1与公差d ，进而求得a n ，b n ，c n ，再利用错位相减法求得数列{c n }的前n 项和A n ．本题主要考查等差数列基本量的计算及错位相减法在数列求和中的应用，属于中档题．18.【答案】解：(1)由正弦定理可得2cosA(sinBcosC +sinCcosB)=sinA ，化为2cosAsin(B +C)=2cosAsinA =sinA ，sinA ≠0， 可得cosA =12，由0<A <π，可得A =π3； (2)设BC 边上的高为h ， 因为cosA =b 2+c 2−a 22bc =12，由a =√7，可得b 2+c 2−bc =7，又b −c =2，解得b =3，c =1， 由三角形的面积公式可得12aℎ=12bcsinA ， 可得ℎ=bcsinA a=3×1×√32√7=3√2114．【解析】(1)运用正弦定理和三角函数的恒等变换、特殊角的三角函数值，可得A ； (2)设BC 边上的高为h ，运用余弦定理和已知条件，解方程可得c ，b ，再由三角形的面积公式，解方程可得所求值．本题考查三角形的正弦定理和余弦定理、面积公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．19.【答案】(1)证明：∵AB=AE，BC=CE，O是BE的中点，∴OA⊥BE，OC⊥BE，又OA∩OC=O，∴BE⊥平面AOC，∵四边形BCDE是平行四边形，∴CD//BE，∴CD⊥平面AOC．(2)解：过O作OF⊥BC，垂足为F，连接AF，∵平面ABE⊥平面BCDE，平面ABE∩平面BCDE=BE，OA⊥BE，OA⊂平面ABE，∴OA⊥平面BCDE，又BC⊂平面BCDE，∴OA⊥BC，又BC⊥OF，OA∩OF=O，∴BC⊥平面OAF，∴BC⊥AF，∴∠AFO为二面角A−BC−O的平面角，∵AB=AE=BC=CE=2，∠BAE=90°，∴△ABE≌△CBE，∴∠BCE=90°，即BC⊥CE，∴OF//CE，又O是BF的中点，∴F是BC的中点，∴OF=12CE=1，又OA=√2，∴tan∠AFO=AOOF=√2，故二面角A−BC−O的正切值为√2．【解析】(1)根据三线合一可证BE⊥平面AOC，再结合BE//CD得出CD⊥平面AOC；(2)过O作OF⊥BC于F，可证BC⊥AF，则∠AFO为所求二面角的平面角，在△AOF中计算tan∠AFO即可．本题考查了线面垂直的判定，考查二面角的计算，属于中档题．20.【答案】解：(1)根据茎叶图知，政治成绩的中位数为72，生物成绩的众数为73；(2)甲同学选考政治学科的等级为A，由转换赋分公式：98−8282−81=100−TT−86，解得T=87；乙同学选考生物学科的等级为A，由赋分转换公式：100−9191−90=100−TT−86，解得T=87；所以甲、乙两位同学的转换分都是87分．(3)由题意知，r=ni=1i−i−√∑(i=1Y i−Y−)2∑(i=1T i−T−)2=7474.12≈0.998，说法1：等级转换赋分公平，因为相关系数十分接近1，接近函数关系，因此高考这种“等级转换赋分”具有公平性与合理性．说法2：等级转换赋分法不公平，在同一等级内，原始分与转化分是确定的函数关系，理论上原始分与转化分的相关系数为1，在实际赋分过程中由于数据的四舍五入，使得实际的转化分与应得的转化分有一定的误差，极小部分同学赋分后会出现偏高或偏低的现象．(只要说法有道理，都可以得分)．【解析】(1)根据茎叶图中数据，求出对应的中位数和众数；(2)利用赋分转化公式计算即可；(3)求出相关系数r的值，由此判断等级转换赋分说法公平即可，只要说法有道理，都可以得分．本题考查了数据的分析与应用问题，也考查了线性相关应用问题，是中档题．21.【答案】解：(1)依题意，ca =12,p2=a,a+c=3，解得a=2，b=√3，c=1，p=4．故椭圆方程为x24+y23=1，抛物线方程为y2=8x．(2)设直线AM的方程为x=my+2(m≠0)，与直线l的方程x=−2联立，得M(−2,−4m ),N(−2,4m)，故将x=my+2(m≠0)与x24+y23=1联立，消去x得：(3m2+4)y2+12my=0，解得y=0，或y=−12m3m2+4，由点B异于点A，可得B(−6m2+83m2+4,−12m3m2+4)，又求得直线BN的方程为(−12m3m2+4−4m)(x+2)−(−6m2+83m2+4+2)(y−4m)=0，令y=0得，x D=−6m2+43m2+2，所以|AD|=|2−−6m2+43m2+2|=12m23m2+2，故S△AMD=12⋅12m23m2+2⋅|−4m|=243|m|+2|m|≤2√6，当且仅当3|m|=2|m|，即m =±√63时取等号．此时直线AM 的方程为3x +√6y −6=0，或3x −√6y −6=0．【解析】(1)根据离心率的定义，以及抛物线的定义和性质，列出a ，b ，p 的方程组，即可求出a ，b ，p ，进而得到方程；(2)先设出直线AM 的方程，然后联立方程组，求出A ，B ，N 点的坐标，然后求出直线BN 的方程，进而得到D 的坐标，最后将三角形的面积表示为函数的形式，利用基本不等式求出面积的最大值以及取得最大值时的直线AM 的方程．本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，以及学生利用方程思想、化归思想解决问题的能力和运算能力．属于中档题．22.【答案】解：(1)由题意可得，当x ≥0时，f(x)={√24sin(πx),0≤x ≤1(x −1)(2−x),x >1， 画出函数f(x)的图象，如图所示：由图象可知，14<m <√24，所以m 的取值范围是(14,√24).(2)设这4个不同的根为x 1，x 2，x 3，x 4， ①当方程f(x)=m 在[−1,1]上有四个实根时，由2x 3=x 2+x 4，x 2=−x 3，x 3+x 4=1，x 3=14，x 4=34， 从而m =f(14)=14，且f(x)<14在x ∈(1,+∞)上恒成立， Ⅰ)当a ≤1时，易知成立；Ⅱ)当a >1时，f(x)<14在x ∈(1,+∞)上恒成立，则f(1+a 2)<14，解得1<a <2．②当方程f(x)=m 在[−1,1]上有两个实根时，可知x 2=−12，x 3=12，m =f(12)=√24，由四个根成等差，得x 4=32，即1+a 2=32，求得a =2，此时f(32)=14≠√24，故这种情况不符合题意，舍去． ③当方程f(x)=m 在[−1,1]上无实根时， 由2x 3=x 2+x 4，x 2=−x 3，x 3+x 4=a +1， 可知x 3=a+14，m =f(a+14)=3a 2−10a+316，且要满足m >√24，解得a >5+2√4+3√23，综上，a 与m 满足的条件为a <2且m =14，或a >5+2√4+3√23且m =3a 2−10+316．【解析】(1)作出函数f(x)的图象，利用图象即可求得m 的取值范围；(2)设这4个不同的根为x 1，x 2，x 3，x 4，分类讨论，当方程f(x)=m 在[−1,1]上有四个实根时，方程f(x)=m 在[−1,1]上有两个实根时，方程f(x)=m 在[−1,1]上无实根时，a ，m 满足的条件．本题主要考查数列与函数的综合，考查函数的最值，等差数列的性质，考查数形结合和分类讨论的数学思想，属于难题．。