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第4讲 分 式目录：考点知识梳理中考典例精析基础巩固训练考点训练考点知识梳理考点一 分 式1．形如A B (A ，B 是整式，且B 中含有字母)的式子叫做分式．2．分式有无意义：当B ＝0时，分式无意义；当B ≠0时，分式有意义．3．分式的值为0：当A ＝0且B ≠0时，分式的值为0.温馨提示B 中含有字母是分式与分数概念的根本区别；判断一个式子是不是分式，若分子和分母含有公因式，不要约去公因式，直接根据概念判断即可.考点二 分式的基本性质1.a ·m b ·m ＝ a b ，a ÷m b ÷m ＝ a b(m ≠0)； －b a ＝ b －a＝ －b a . 2．通分的关键是确定几个分式的最简公分母．确定最简公分母的一般步骤是：当分母是多项式时，先 因式分解，再取系数的最小公倍数与所有不同字母(因式)的最高次幂的积为最简公分母3．约分的关键是确定分式的分子与分母中的最大公因式．确定最大公因式的一般步骤是：当分子、分母是多项式时，先因式分解，再取系数的最大公约数 与相同字母(因式)的最低次幂的积为最大公因式．温馨提示1.若原分式的分子(或分母)是多项式，运用分式的基本性质时，要先把分式的分子(或分母)用括号括上，再乘(或除以)整式.2.应用分式的基本性质时，要深刻理解“都”与“同”这两个字的含义，避免犯只乘分子或只乘分母的某一项的错误.考点三 分式的运算1．分式的加减法同分母的分式相加减：a c ±b c ＝ a ±b c； 异分母的分式相加减：a b ±c d ＝ ad ±bc bd .2．分式的乘除法a b ·c d ＝ ac bd ，a b ÷c d ＝ a b ·d c ＝ ad bc. 3．分式的乘方(n m )k ＝ n km k (m ≠0，k 是正整数)． 4．分式的混合运算在分式的混合运算中，应先算乘方、开方，再算乘除，最后进行加减运算，如遇到有括号的，先算括号里面的．运算结果必须是最简分式或整式．注意：在分式的运算中，分式只能通分，不能去分母．考点四 分式求值分式的求值方法很多，主要有三种：(1)先化简，再求值；(2)由值的形式直接转化成所求的代数式的值；(3)式中字母表示的数未明确告知，而是隐含在方程等题设条件中．解这类题，一方面从方程中求出未知数或未知代数式的值；另一方面把所求代数式适当地化简变形．两种方法同时用有时能获得简易的解法．中考典例精析考点一 确定分式有意义的条件例1 要使分式5x －1有意义，则x 的取值范围是( ) A ．x ≠1 B ．x ＞1C ．x ＜1D ．x ≠－1【点拨】若使分式有意义，则分式的分母不为0.由题意，得x －1≠0，解得x ≠1.故选A.【答案】 A考点二 确定分式的值为0的条件例2 若分式x －3x ＋4的值为0，则x 的值是( ) A ．x ＝3 B ．x ＝0C ．x ＝－3D ．x ＝－4【点拨】根据分式的值为0的条件，可得⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝0，x ＋4≠0，解得x ＝3.故选A. 【答案】 A方法总结分式的值为0受到分母不等于0的限制.“分式的值为0”包含两层含义：一是分式有意义；二是分子的值为0.不要误解为“只要分子的值为0，分式的值就 是0”.考点三 分式的加减例3 化简：x 2＋4x ＋4x 2－4－x x －2＝________. 【点拨】原式＝(x ＋2)2(x ＋2)(x －2)－x x －2＝x ＋2x －2－x x －2＝2x －2. 【答案】2x －2方法总结1.同分母分式相加减“把分子相加减”就是把各个分式的“分子整体”相加减，各分子都应加括号，特别是相减去括号时，要避免出现符号错误.2.异分母分式相加减应先通分再加减.考点四 分式的乘除例4 化简16－a 2a 2＋4a ＋4÷a －42a ＋4·a ＋2a ＋4，其结果是( ) A ．－2 B ．2C ．－2(a ＋2)2 D.2(a ＋2)2 【点拨】本题考查分式的乘除，先把除法化为乘法，然后再根据分式的乘法法则计算．原式＝ －(a －4)(a ＋4)(a ＋2)2·2(a ＋2)a －4·a ＋2a ＋4＝－2.故选A. 【答案】 A方法总结分式的乘除运算归根到底是乘法运算，其实质是分式的约分.考点五 分式的化简与求值例5 先化简，再求值：(1x －1－1)÷x 2＋2x ＋1x 2－1，其中x ＝2－1. 【点拨】 先根据分式的混合运算顺序将分式化为最简形式，再将x ＝2－1代入求值．解：原式＝1－x ＋1x －1÷(x ＋1)2(x ＋1)(x －1)＝－x ＋2x －1·(x ＋1)(x －1)(x ＋1)2＝－x ＋2x ＋1. 把x ＝2－1代入上式，－x ＋2x ＋1＝－2＋1＋22－1＋1＝3－22＝322－1. 方法总结1.当字母的取值是分数或负数时，代入时要注意将分数或负数添上括号.2.有理数的运算律以及整式运算的公式对分式同样适用，要灵活运用乘法交换律、乘法结合律和加法结合律、分配律，增加运算的技巧性，使运算简捷.基础巩固训练1．若分式|x |－1x －1的值为0，则x 的值为( B ) A ．±1 B ．－1C ．1D ．0解析：∵分式|x |－1x －1的值为0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧|x |－1＝0，x －1≠0. ∴|x |＝1且x ≠1. 即x ＝－1.故选B.2．下列运算中，错误的是( D )A. b a ＝bc ac (c ≠0)B. －a －b a ＋b＝－1 C.0.5a ＋b 0.2a －0.3b ＝5a ＋10b 2a －3b D. x －y x ＋y ＝y －x y ＋x3．如果把分式2xy x ＋y中的x 和y 都扩大3倍，那么分式的值( A ) A ．扩大3倍 B ．缩小3倍C ．扩大9倍D ．不变4．化简2x 2－1÷1x －1的结果是( C ) A.2x －1 B.2x 3－1 C.2x ＋1D ．2(x ＋1) 解析：原式＝2(x ＋1)(x －1)·(x －1)＝2x ＋1.故选C. 5．设m ＞n ＞0，m 2＋n 2＝4mn ，则m 2－n 2mn 的值 等于( A ) A ．2 3 B ． 3C ． 6D ．3解析：∵m 2＋n 2＝4mn ，∴m 2＋2mn ＋n 2＝6mn ，m 2－2mn ＋n 2＝2mn ，即(m ＋n )2＝6mn ，(m －n )2＝2mn .∵m ＞n ＞0，∴m 2－n 2mn ＝(m ＋n )(m －n )mn ＝(m ＋n )2·(m －n )2mn ＝6mn ·2mn mn ＝12m 2n 2mn ＝2 3.故选A. 6．化简m 2－163m －12得 m ＋43 ；当m ＝－1时，原式的值为 1 . 解析：m 2－163m －12＝(m ＋4)(m －4)3(m －4)＝m ＋43， 当m ＝－1时，m ＋43＝－1＋43＝1. 7．化简x (x －1)2－1(x －1)2的结果是 1x －1. 解析：x (x －1)2－1(x －1)2＝x －1(x －1)2＝1x －1. 8．化简：(2a －b a ＋b －b a －b )÷a －2b a ＋b. 解：原式＝2a －b a ＋b ÷a －2b a ＋b －b a －b ÷a －2b a ＋b＝2a －b a ＋b ·a ＋b a －2b －b a －b ·a ＋b a －2b ＝2a －b a －2b －b (a ＋b )(a －b )(a －2b )＝(2a －b )(a －b )－b (a ＋b )(a －b )(a －2b )＝2a 2－2ab －ab ＋b 2－ab －b 2(a －b )(a －2b )＝2a 2－4ab (a －b )(a －2b )＝2a (a －2b )(a －b )(a －2b )＝2a a －b. 9．先化简x 2－4x ＋4x 2－2x÷(x －4x )，然后从－5＜x ＜5的范围内选取一个合适的整数作为x 的值代入求值．解：原式＝(x －2)2x (x －2)÷x 2－4x＝(x －2)2x (x －2)·x (x ＋2)(x －2)＝1x ＋2. ∵－5＜x ＜5，且x 为整数，∴若分式有意义，x 只能取－1或1.当x ＝1时，原式＝13.考点训练一、选择题(每小题3分，共36分)1． 要使分式2x －3有意义，则x 的取值范围是( C ) A ．x ≤3 B ．x ≥3C ．x ≠3D ．x ＝32．下列各式是最简分式的是( B )A. x 2－4y 2(x ＋2y )2B. x 2＋y 2x ＋yC. －2ab 9a 3D. x 2＋x x 2－13． 若分式x 2－93x ＋9的值为0，你认为x 可取的数是( D ) A ．9 B ．±3C ．－3D ．3解析：根据分式的值为0的条件，可得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－9＝0，3x ＋9≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝±3，x ≠－3，即x ＝3.故选D. 4．下列计算错误的是( A )A. 0.2a ＋b 0.7a －b ＝2a ＋b 7a －bB. x 3y 2x 2y 3＝x yC. a －b b －a＝－1 D. 1c ＋2c ＝3c 解析：∵0.2a ＋b 0.7a －b ＝2a ＋10b 7a －10b ，∴A 项错误；∵x 3y 2x 2y 3＝x y ，∴B 项正确；∵a －b b －a ＝a －b －(a －b )＝－1，∴C 项正确；∵1c ＋2c ＝3c，∴D 项正确．故选A. 5． 计算2x －2－x x －2的结果是( C ) A ．0 B ．1C ．－1D ．x6．若分式b 2－1b 2－2b －3的值为0，则b 的值为( A ) A ．1 B ．－1C ．±1D ．2解析：由b 2－1＝0，得b ＝±1.当b ＝－1时，b 2－2b －3＝0，故b ＝1.故选A.7．已知1a －1b ＝12，则ab a －b的值是( D ) A. 12 B ．－12C ．2D ．－2解析：由1a －1b ＝12，得b －a ab ＝12，∴ab b －a ＝2，∴ab a －b＝－2.故选D. 8． 若x ＝－1，y ＝2，则2x x 2－64y 2－1x －8y的值等于( D ) A ．－117 B. 117 C. 116 D. 115解析：原式＝2x (x ＋8y )(x －8y )－x ＋8y (x ＋8y )(x －8y )＝x －8y (x ＋8y )(x －8y )＝1x ＋8y ，当x ＝－1，y ＝2时，原式＝1－1＋8×2＝115.故选D. 9．化简(1－2x ＋1)÷1x 2－1的结果是( D )A. 1(x ＋1)2B. 1(x －1)2C ．(x ＋1)2D ．(x －1)2解析：原式＝x ＋1－2x ＋1÷1(x ＋1)(x －1)＝x －1x ＋1·(x ＋1)·(x －1)＝(x －1)2.故选D. 10． 化简分式2x －1÷(2x 2－1＋1x ＋1)的结果是( A ) A ．2 B.2x ＋1 C.2x －1D ．－2 解析：原式＝2x －1÷[2(x ＋1)(x －1)＋x －1(x ＋1)(x －1)]＝2x －1÷x ＋1(x ＋1)(x －1)＝2x －1·(x －1)＝2.故选A.11． 化简a ＋1a 2－2a ＋1÷(1＋2a －1)的结果是( A ) A.1a －1 B. 1a ＋1 C. 1a 2－1 D. 1a 2＋1 解析：原式＝a ＋1(a －1)2÷a ＋1a －1＝a ＋1(a －1)2·a －1a ＋1＝1a －1.故选A. 12．如果从一卷粗细均匀的电线上截取1 m 长的电线，称得它的质量为a g ，再称得剩余电线的质量为b g ，那么原来这卷电线的总长度是( B )A. b ＋1a m B ．(b a＋1)m C ．(a ＋b a ＋1)m D ．(a b＋1)m 解析：1 m 长的电线的质量为a g ，则每克电线长1a m ，b g 电线长b a m ，则原来这卷电线的总长度是(b a＋1)m.故选B. 二、填空题(每小题4分，共24分)13． 使式子1＋1x －1有意义的x 的取值范围是 x ≠1 . 解析：由题意，知分母x －1≠0，即x ≠1时，式子1＋1x －1有意义． 14． 计算：3b 2a ·a b＝ 3b . 15． 化简：x ＋1－x 2＋2x x ＋1＝ 1x ＋1. 解析：原式＝(x ＋1)2x ＋1－x 2＋2x x ＋1＝1x ＋1.16．化简x 2－1x 2－2x ＋1·x －1x 2＋x ＋2x的结果是 3x . 解析：原式＝(x ＋1)(x －1)(x －1)2·x －1x (x ＋1)＋2x ＝1x ＋2x ＝3x. 17． 若x ＋y ＝1，且x ≠0，则(x ＋2xy ＋y 2x )÷x ＋y x的值为 1 . 解析：原式＝x 2＋2xy ＋y 2x ÷x ＋y x ＝(x ＋y )2x ·x x ＋y＝ x ＋y ＝1.18．读一读：式子“1＋2＋3＋4＋…＋100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为∑n ＝1100n ，这里“∑”是求和符号．通过对以上材料的阅读，计算∑n ＝12 0121n (n ＋1)＝ 2 0122 013 . 解析：＝11×(1+1)＋12×(2＋1)＋…＋12 012×(2 012＋1)＝1－12＋12－13＋…＋12 012－12 013＝1－12 013＝2 0122 013.三、解答题(共40分)19．(1)(3分) 化简：b a 2－b 2÷(1－a a ＋b)． 解：原式＝b (a ＋b )(a －b )÷a ＋b －a a ＋b＝b (a ＋b )(a －b )·a ＋b b ＝1a －b. (2)(3分) 化简：(a 2－a )÷a 2－2a ＋1a －1. 解：原式＝a (a －1)·a －1(a －1)2＝a . (3)(4分)化简：(x ＋x x 2－1)÷(2＋1x －1－1x ＋1)． 解：原式＝x 3－x ＋x x 2－1÷2(x 2－1)＋x ＋1－(x －1)(x ＋1)(x －1)＝x 3(x ＋1)(x －1)·(x ＋1)(x －1)2x 2 ＝x 2.20．(1)(5分) 先化简，再求值：x 2－4x ＋42x ÷x 2－2x x 2＋1，在0,1,2三个数中选一个合适的，代入求值．解：原式＝(x －2)22x ·x 2x (x －2)＋1＝x －22＋1＝x 2. 当x ＝1时，原式＝12. (2)(5分) 化简并求值：(1x －y ＋1x ＋y )÷2x －y x 2－y 2，其中x ，y 满足|x －2|＋(2x －y －3)2＝0. 解：原式＝x ＋y ＋x －y (x －y )(x ＋y )·(x ＋y )(x －y )2x －y ＝2x 2x －y. ∵|x －2|＋(2x －y －3)2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝0，2x －y －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1. 当x ＝2，y ＝1时，原式＝43. (3)(6分) 先将(1－1x )÷x －1x 2＋2x化简，然后请自选一个你喜欢的x 值代入求值． 解：原式＝x －1x ÷x －1x 2＋2x ＝x －1x ·x (x ＋2)x －1＝x ＋2.取 x ＝10，则原式＝12.(4)(7分)先化简，再求值：(3x ＋4x 2－1－2x －1)÷x ＋2x 2－2x ＋1，其中x 是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4＞02x ＋5＜1的整数解．解：原式＝[3x ＋4(x －1)(x ＋1)－2(x ＋1)(x －1)(x ＋1)]÷x ＋2(x －1)2＝x ＋2(x －1)(x ＋1)·(x －1)2x ＋2＝x －1x ＋1. 解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4＞0，2x ＋5＜1， 得－4＜x ＜－2.∵x 为整数，∴x ＝－3.当x ＝－3时，原式＝－3－1－3＋1＝2. (5)(7分)先化简，再求值：a －2a 2－1÷(a －1－2a －1a ＋1)，其中a 是方程x 2－x ＝6的根． 解：原式＝a －2a 2－1÷(a ＋1)(a －1)－(2a －1)a ＋1＝a －2a 2－1÷a 2－2a a ＋1＝a －2(a ＋1)(a －1)·a ＋1a (a －2)＝1a 2－a . ∵a 是方程x 2－x ＝6的根，∴a 2－a ＝6.∴原式＝16.。
第四讲 因式分解 【基础知识回顾】一、因式分解的定义：1、把一个 式化为几个整式 的形式，叫做把一个多项式因式分解。
2、因式分解与整式乘法是 运算，即：多项式 整式的积 【名师提醒：判断一个运算是否是因式分解或判断因式分解是否正确，关键看等号右边是否为 的形式。
】二、因式分解常用方法：1、提公因式法：公因式：一个多项式各项都有的因式叫做这个多项式各项的公因式。
提公因式法分解因式可表示为：ma+mb+mc= 。
【名师提醒：1、公因式的选择可以是单项式，也可以是 ，都遵循一个原则：取系数的 ，相同字母的 。
2、提公因式时，若有一项被全部提出，则括号内该项为 ，不能漏掉。
3、提公因式过程中仍然要注意符号问题，特别是一个多项式首项为负时，一般应先提取负号，注意括号内各项都要 。
】2、运用公式法：将乘法公式反过来对某些具有特殊形式的多项式进行因式分解，这种方法叫做公式法。
①平方差公式：a 2-b 2= ,②完全平方公式：a 2±2ab+b 2= 。
【名师提醒：1、运用公式法进行因式分解要特别掌握两个公式的形式特点，找准里面的a 与b 。
如：x 2-x+14符合完全平方公式形式，而x 2- x+12就不符合该公式的形式。
】三、因式分解的一般步骤1、 一提：如果多项式的各项有公因式，那么要先 。
2、 二用：如果各项没有公因式，那么可以尝试运用 法来分解。
3、 三查：分解因式必须进行到每一个因式都不能再分解为止。
【名师提醒：分解因式不彻底是因式分解常见错误之一，中考中的因式分解题目一般为两步，做题时要特别注意，另外分解因式的结果是否正确可以用整式乘法来检验】【重点考点例析】考点一：因式分解的概念例1 （•株洲）多项式x 2+mx+5因式分解得（x+5）（x+n ），则m= ，n= ．思路分析：将（x+5）（x+n ）展开，得到，使得x 2+（n+5）x+5n 与x 2+mx+5的系数对应相等即可．解：∵（x+5）（x+n ）=x 2+（n+5）x+5n ，∴x 2+mx+5=x 2+（n+5）x+5n ∴555n m n +=⎧⎨=⎩，∴16n m =⎧⎨=⎩， 故答案为6，1．点评：本题考查了因式分解的意义，使得系数对应相等即可．对应训练1．（•河北）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）（ ） （ ）A．a（x-y）=ax-ay B．x2+2x+1=x（x+2）+1C．（x+1）（x+3）=x2+4x+3 D．x3-x=x（x+1）（x-1）1．D考点二：因式分解例2 （•无锡）分解因式：2x2-4x= ．思路分析：首先找出多项式的公因式2x，然后提取公因式法因式分解即可．解：2x2-4x=2x（x-2）．故答案为：2x（x-2）．点评：此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是掌握找公因式的方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．例3 （•南昌）下列因式分解正确的是（）A．x2-xy+x=x（x-y）B．a3-2a2b+ab2=a（a-b）2C．x2-2x+4=（x-1）2+3 D．ax2-9=a（x+3）（x-3）思路分析：利用提公因式法分解因式和完全平方公式分解因式进行分解即可得到答案．解：A、x2-xy+x=x（x-y+1），故此选项错误；B、a3-2a2b+ab2=a（a-b）2，故此选项正确；C、x2-2x+4=（x-1）2+3，不是因式分解，故此选项错误；D、ax2-9，无法因式分解，故此选项错误．故选：B．点评：此题主要考查了公式法和提公因式法分解因式，关键是注意口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．例4 （•湖州）因式分解：mx2-my2．思路分析：先提取公因式m，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．解：mx2-my2，=m（x2-y2），=m（x+y）（x-y）．点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．对应训练2．（•温州）因式分解：m2-5m= ．2．m（m-5）3．（•西宁）下列分解因式正确的是（）A．3x2-6x=x（3x-6）B．-a2+b2=（b+a）（b-a）C．4x2-y2=（4x+y）（4x-y）D．4x2-2xy+y2=（2x-y）23．B4．（•北京）分解因式：ab2-4ab+4a= ．4．a（b-2）2考点三：因式分解的应用例5 （•宝应县一模）已知a+b=2，则a2-b2+4b的值为．思路分析：把所给式子整理为含（a+b）的式子的形式，再代入求值即可．解：∵a+b=2，∴a2-b2+4b=（a+b）（a-b）+4b=2（a-b）+4b=2a+2b=2（a+b）=2×2=4．故答案为：4． 点评：本题考查了利用平方差公式分解因式，利用平方差公式和提公因式法整理出a+b 的形式是求解本题的关键，同时还隐含了整体代入的数学思想．对应训练5．（•鹰潭模拟）已知ab=2，a-b=3，则a 3b-2a 2b 2+ab 3= ．5．18【聚焦山东中考】1．（•临沂）分解因式4x-x 2= ．1．x （4-x ）2．（•滨州）分解因式：5x 2-20= ．2．5（x+2）（x-2）3．（•泰安）分解因式：m 3-4m= ．3．m （m-2）（m+2）4．（•莱芜）分解因式：2m 3-8m= ．4．2m （m+2）（m-2）5．（•东营）分解因式：2a 2-8b 2= ．5．2（a-2b ）（a+2b ）6．（•烟台）分解因式：a 2b-4b 3= ．6．b （a+2b ）（a-2b ）7．（•威海）分解因式：-3x 2+2x-13= ． 7．21(31)3x --8．（•菏泽）分解因式：3a 2-12ab+12b 2= ．8．3（a-2b ）2【备考真题过关】一、选择题1．（•张家界）下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（） A ．x 2+x+1 B ．x 2+2x-1 C ．x 2-1D ．x 2-6x+9 1．D2．（•佛山）分解因式a 3-a 的结果是（ ）A ．a （a 2-1）B ．a （a-1）2C ．a （a+1）（a-1）D ．（a 2+a ）（a-1） 2．C3．（•恩施州）把x 2y-2y 2x+y 3分解因式正确的是（ ）A ．y （x 2-2xy+y 2）B ．x 2y-y 2（2x-y ）C ．y （x-y ）2D ．y （x+y ）23．C二、填空题4．（•自贡）多项式ax 2-a 与多项式x 2-2x+1的公因式是 ．4．x-15．（•太原）分解因式：a 2-2a= ．5．a （a-2）6．（•广州）分解因式：x 2+xy= ．6．x （x+y ）7．（2013•盐城）因式分解：a 2-9= ．7．（a+3）（a-3）8．（•厦门）x2-4x+4=（）2．8．x-29．（•绍兴）分解因式：x2-y2= ．9．（x+y）（x-y）10．（•邵阳）因式分解：x2-9y2= ．11．（x+3y）（x-3y）12．（•南充）分解因式：x2-4（x-1）= ．12．（x-2）213．（•遵义）分解因式：x3-x= ．13．x（x+1）（x-1）14．（•舟山）因式分解：ab2-a= ．14．a（b+1）（b-1）15．（•宜宾）分解因式：am2-4an2= ．15．a（m+2n）（m-2n）16．（•绵阳）因式分解：x2y4-x4y2= ．16．x2y2（y-x）（y+x）17．（•内江）若m2-n2=6，且m-n=2，则m+n= ．17．318．（•廊坊一模）已知x+y=6，xy=4，则x2y+xy2的值为．18．2419．（•凉山州）已知（2x-21）（3x-7）-（3x-7）（x-13）可分解因式为（3x+a）（x+b），其中a、b均为整数，则a+3b= ．19．-31。
分式、分式方程及一元二次方程复习考点攻略考点01 一元一次方程相关概念1．等式的性质：（1）等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式.所得的结果仍是等式． （2）等式两边都乘以（或除以）同一个不等于零的数.所得的结果仍是等式．2．一元一次方程：只含有一个未知数.并且未知数的次数为1.这样的整式方程叫做一元一次方程．它的一般形式为0(0)ax b a +=≠． 【注意】x 前面的系数不为0．3．一元一次方程的解:使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 4. 一元一次方程的求解步骤：步骤 解释去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 去括号 先去小括号.再去中括号.最后去大括号移项 把含有未知数的项都移到方程的一边.其他项都移到方程的另一边 合并同类项 把方程化成ax b =-的形式系数化成1在方程两边都除以未知数的系数a .得到方程的解为bx a=-【注意】解方程时移项容易忘记改变符号而出错.要注意解方程的依据是等式的性质.在等式两边同时加上或减去一个代数式时.等式仍然成立.这也是“移项”的依据．移项本质上就是在方程两边同时减去这一项.此时该项在方程一边是0.而另一边是它改变符号后的项.所以移项必须变号． 【例 1】若()2316m m x --=是一元一次方程,则m 等于（ ）A ．1B ．2C ．1或2D ．任何数【答案】B【解析】根据一元一次方程最高次为一次项.得│2m −3│=1.解得m =2或m =1. 根据一元一次方程一次项的系数不为0,得m −1≠0,解得m ≠1.所以m =2. 故选B.【例 2】关于x 的方程211-20m mx m x +﹣（﹣）＝如果是一元一次方程.则其解为_____．【答案】2x ＝或2x =-或x =-3．【解析】解：关于x 的方程21120m mx m x +﹣（﹣）﹣＝如果是一元一次方程.211m ∴﹣＝.即1m ＝或0m ＝.方程为20x ﹣＝或20x --＝.解得：2x ＝或2x =-.当2m -1=0.即m =12时.方程为112022x --=解得：x =-3. 故答案为x =2或x =-2或x =-3． 【例 3】解方程：221123x x x ---=- 【答案】27x =【解析】解： 221123x x x ---=-()()6326221x x x --=-- 636642x x x -+=-+ 634662x x x -+=-+ 72x = 27x =考点02 二元一次方程组相关概念1．二元一次方程：含有2个未知数.并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程．2．二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解． 3．二元一次方程组：由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组．方程组中同一个字母代表同一个量.其一般形式为111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩．4．二元一次方程组的解法：（1）代入消元法：将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来.并代入另一个方程中.消去一个未知数.化二元一次方程组为一元一次方程．（2）加减消元法：将方程组中两个方程通过适当变形后相加（或相减）消去其中一个未知数.化二元一次方程组为一元一次方程．5. 列方程（组）解应用题的一般步骤：（1）审题；（2）设出未知数；（3）列出含未知数的等式——方程；（4）解方程（组）；（5）检验结果；（6）作答（不要忽略未知数的单位名称）6. 一元一次方程（组）的应用：（1）销售打折问题：利润=售价-成本价；利润率=利润成本×100％；售价=标价×折扣；销售额=售价×数量．（2）储蓄利息问题：利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期数)；贷款利息=贷款额×利率×期数．（3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间． （4）行程问题：路程=速度×时间．（5）相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程．（6）追及问题一（同地不同时出发）：前者走的路程=追者走的路程．（7）追及问题二（同时不同地出发）：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程． （8）水中航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度． （9）飞机航行问题：顺风速度=静风速度+风速度；逆风速度=静风速度-风速度． 【例 4】已知－2x m －1y 3与12x n y m ＋n 是同类项.那么(n －m )2 012＝______【答案】1【解析】由于－2x m －1y 3与12x n y m ＋n 是同类项.所以有由m －1＝n .得－1＝n －m .所以(n －m )2 012＝(－1)2 012＝1.【例5】如图X2－1－1.直线l 1：y ＝x ＋1与直线l 2：y ＝mx ＋n 相交于点P (1.b )．(1)求b 的值．(2)不解关于x .y 的方程组请你直接写出它的解．(3)直线l 3：y ＝nx ＋m 是否也经过点P ？请说明理由．【答案】（1）2.（2）⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.（3）见解析【解析】解：(1)当x ＝1时.y ＝1＋1＝2.∴b ＝2.(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2. (3)∵直线l 1：y ＝x ＋1与直线l 2：y ＝mx ＋n 相交于点P (1.b ).∴当x ＝1时.y ＝m＋n ＝b ＝2.∴ 当x ＝1时.y ＝n ＋m ＝2.∴直线l 3：y ＝nx ＋m 也经过点P .【例6】家电下乡是我国应对当前国际金融危机.惠农强农.带动工业生产.促进消费.拉动内需的一项重要举措。
初中数学复习第四讲——整式与分式一、知识结构说明：在本局部，代数式分为整式和分式讨论。
在实数X围内，代数式分为有理式和无理式，有理式分为整式和分式，整式分为单项式和多项式。
二、知识点梳理1.代数式：用运算符号和括号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。
用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做代数式的值。
2.单项式：由数与字母的积或字母与字母的积所组成的代数式叫做单项式〔单独一个数也是单项式〕；单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数〔包括符号〕；一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
3.多项式：由几个单项式的和组成的代数式叫做多项式；在多项式中的每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项；次数最高项的次数就是这个多项式的次数。
4.整式：单项式、多项式统称为整式。
5.分式：两个整式A、B相除，即A÷B时，可以表示为AB.如果B中含有字母，那么AB叫做分式，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。
6.同类项：所含的字母一样，且一样的字母的指数也一样的单项式叫做同类项。
把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项；一个多项式合并后含有几项，这个多项式就叫做几项式。
合并同类项的法如此：把同类项的系数相加的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变〔合并同类项，法如此不能忘，只求系数代数和，字母指数不变样〕。
7.整式的加减：整式的加减就是单项式、多项式的加减，可利用去括号法如此和合并同类项来完成整式的加减运算。
去括号法如此：括号前面是“+〞号，去掉“+〞号和括号，括号里的各项不变号；括号前面是“—〞 号，去掉“—〞号和括号，括号里的各项都变号。
〔括号前面是“+〞 号，去掉括号不变号；括号前面是“—〞号，去掉括号都变号。
〕8.同底数幂的乘法：同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。
m n m+n a a =a •.〔m 、n 都是正整数〕9.幂的乘方：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即()n m mn a =a .〔m 、n 都是正整数〕10.积的乘方：积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘， 即()nn n ab =a b .〔n 为正整数〕11.整式的乘法：〔1〕单项式与单项式相乘：单项式与单项式相乘，把它们的系 数、同底数幂分别相乘的积作为积的因式，其余字母连同它 的指数不变，也作为积的因式。
专题04分式、分式方程及一元二次方程复习考点攻略考点01 分式相关概念1、分式的定义一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子AB叫做分式。
【注意】A 、B 都是整式，B 中含有字母，且B ≠0。
2、分式的基本性质分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变。
A A CB BC ⋅=⋅；A A CB B C÷=÷（C≠0）。
3、分式的约分和通分（1）约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去叫做分式的约分。
（2）通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式叫做分式的通分。
（3）最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。
（4）最简公分母：各分母的所有因式的最高次幂的积叫做最简公分母。
【注意1】约分的根据是分式的基本性质．约分的关键是找出分子和分母的公因式。
【注意2】通分的根据是分式的基本性质．通分的关键是确定几个分式的最简公分母。
4、分式的乘除①乘法法则：db ca d cb a ⋅⋅=⋅。
分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
②除法法则：cb d acd b a d c b a ⋅⋅=⋅=÷。
分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
③分式的乘方：nn n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭。
分式乘方要把分子、分母分别乘方。
④整数负指数幂：1nn aa-=。
5、分式的加减同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。
①同分母分式的加减：a b a bc c c±±=；②异分母分式的加法：a c ad bc ad bcb d bd bd bd±±=±=。
【注意】不论是分式的哪种运算，都要先进行因式分解。
6、分式的混合运算（1）含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫做分式的混合运算．（2）混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减．有括号的，先算括号里的．【例1】若分式21xx-在实数范围内无意义，则x的取值范围是（）A．x≠1 B．x=1 C．x=0 D．x＞1【例2】若分式11x+的值不存在，则x=__________．【例3】分式52xx+-的值是零，则x的值为（）A．5B．2C．－2D．－5 【例4】下列变形正确的是（）A．ab=22ab++B．0.220.1a b a bb b++=C．ab–1=1ab-D．ab=22(1)(1)a mb m++考点02 分式方程相关概念1．分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法（1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母。
