形式三角矩阵环上的模的结构

1.引言在线性代数中，矩阵是一种重要的代数结构，广泛应用于许多领域中。

其中，正线上三角矩阵是一类特殊的矩阵，具有一些重要的性质和应用。

本文将深入探讨正线上三角矩阵的定义、性质和应用，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。

2.正线上三角矩阵的定义正线上三角矩阵是指所有主对角线以下元素都为0的上三角矩阵。

具体而言，对于一个n阶矩阵A，如果满足以下条件，即可称之为正线上三角矩阵：(1)所有主对角线以下的元素都为0，即A[i][j]=0，其中i>j；(2)所有主对角线上的元素均不为0，即A[i][i]!=0。

这样的矩阵通常被表示为：A = | a11 a12 a13 … a1n | | 0 a22 a23 … a2n | | 0 0 a33 … a3n || … … … … … | | 0 0 0 … ann |其中aij表示矩阵A的第i行第j列的元素。

3.正线上三角矩阵的性质正线上三角矩阵具有以下性质：(1)主对角线上的元素都不为0，即A[i][i]!=0。

这个性质保证了矩阵的非奇异性，也就是说正线上三角矩阵是可逆的；(2)所有主对角线以下的元素都为0，即A[i][j]=0，其中i>j。

这个性质使得矩阵的计算和运算更加高效；(3)正线上三角矩阵的逆矩阵也是正线上三角矩阵。

这个性质使得对正线上三角矩阵求逆更加简单；(4)正线上三角矩阵的行列式等于主对角线上所有元素的乘积。

这个性质对于计算矩阵的行列式非常有用。

4.正线上三角矩阵的应用正线上三角矩阵在实际应用中具有广泛的用途，下面简要介绍几个常见的应用：(1)线性方程组求解：由于正线上三角矩阵的特殊性质，可以通过回代的方式高效地求解线性方程组；(2)矩阵的乘法：正线上三角矩阵与向量或者矩阵相乘的计算可以通过简化运算顺序，提高计算效率；(3)矩阵的逆运算：正线上三角矩阵的逆矩阵可以通过简单的变换得到，从而简化了矩阵逆运算的复杂度；(4)矩阵的特征值和特征向量计算：正线上三角矩阵的特征值就是主对角线上的元素，而特征向量可以通过简单的变换求得。

三对角矩阵在中，一个三对角矩阵是的一种，它“几乎”是一个。

准确来讲：一个三对角矩阵的在上，或比主对角线低一行的对角线上，或比主对角线高一行的对角线上。

例如，下面的是三对角矩阵：性质三对角矩阵是。

尽管一样的三对角矩阵不必然是或，许多解线性代数问题时显现的矩阵却往往有这些性质。

进一步若是一个实三对角矩阵A 知足a k,k+1 a k+1,k > 0，因此它元素的符号都为正，从而于一个埃尔米特矩阵，如此都是实数。

后一个推论若是咱们将条件a k,k+1 a k+1,k > 0 换为a k,k+1 a k+1,k≥0，结论仍然成立。

所有n×n三对角矩阵的组成一个3n-2维。

许多线性代数应用于对角矩阵时所需专门少，这种改良也常常被三对角矩阵继承。

譬如，一个n 阶三对角矩阵A的能用（）的公式计算：那个地址是第k个主，即是由A最开始的k行k列组成的子矩阵。

用此方式计算三对角矩阵所需计算量是线性n，但是关于一样的矩阵复杂度是n 的3 次方。

计算程序一个将一样矩阵变成海森堡型的变换，将厄密特矩阵变成三对角矩阵。

从而，许多运用到厄密特矩阵上，第一步将输入的厄密特矩阵变成三对角矩阵。

一个三对角矩阵利用特定的比一样矩阵所用的存储空间也少得多。

例如，包将一个n-维非对称三对角矩阵存为三个1-维数列，其中一个长n包括对角元素，其它两个长为n−1 包括下对角线和上对角线元素。

三对角矩阵方程，能用一种需要O(n)次操作的解出来（Golub and Van Loan）。

正交矩阵概述正交矩阵是实数特殊化的，因此老是。

尽管咱们在那个地址只考虑实数矩阵，那个概念可用于其元素来自任何的矩阵。

正交矩阵毕竟是从内积自然引出的，关于复数的矩阵这致使了归一要求。

要看出与内积的联系，考虑在n维实数中的关于正交基写出的向量v。

v的长度的平方是v T v。

若是矩阵形式为Q v的线性变换维持了向量长度，那么。

因此有限维线性，比如、和它们的组合，都产生正交矩阵。

上三角矩阵代数摘 要本文主要研究上三角代数的性质及其与路代数的关系，建立了上三角代数与有向图的路代数的同构映射.定义了可上三角化代数()n P K 和上三角化矩阵P ，()n P K 是所有形如1P TP -的矩阵的集合所形成的代数（它的结合法是矩阵的加法和乘法），其中T ∈()n T K ，P ∈()n M K ，且P 可逆，称P 为()n P K 的上三角化矩阵.初步探讨了()n M K 的子代数是否是可上三角化代数，若是可上三角化代数，其上三角化矩阵是否唯一.具体讨论了n=2的情况，最终由()n M K 的可上三角化子代数的个数有限得出()n M K 至少有一个可上三角化代数的上三角化矩阵不唯一地结论.关键词：上三角矩阵代数，有向图，路代数，可上三角化代数，上三角化矩阵HIGHER TRIANGULAR MATRIX ALGEBRASABSTRACTIn this paper, we study upper triangular matrix algebras, and its connection with path algebras. The isomorphism between upper triangular matrix algebra and the corresponding path algebra is given. As a generalization, upper triangulable matrix algebras ()n P K and upper triangulable matrix P are defined and studied. ()n P K consisting of all matrices like 1P TP -(its combination is the addition and multiplication of matrices), Among them T ∈()n T K ，P ∈()n M K and P is reversible. we call P is the upper triangulable matrix of ()n P K . We also discuss whether the subalgebra of ()n M K is a upper triangular matrix algebra and the upper triangulable matrix of a upper triangular matrix algebra is unique. We also give a concrete example of n=2 to illustrate our theory. Finally we draw a conclusion that there is at least one upper triangular matrix algebra of ()n M K which its upper triangulable matrix is not unique .KEY WORDS : upper triangle matrix algebras ，quivers ，path algebras ，upper triangular matrix algebras ，upper triangulable matrix目录前言....................................................................... 错误！未定义书签。

某钢筋混凝土框架结构教学楼的抗震性能鉴定分析杨玲 1 周明 2 贺海斌 3(1.湖南湘建智科工程技术有限公司 湖南长沙 410000; 2.邵阳市交通枢纽建设有限责任公司 湖南邵阳 422000; 3.邵阳学院土木与建筑工程学院土木工程教研室 湖南邵阳 422000)摘要： 针对建于20世纪70年代的某教学楼，根据现行《建筑抗震设防分类标准》（GB 50223-2008）和《既有建筑鉴定与加固通用规范》（GB 55021-2021）属于A 类建筑，进行建筑外观、地基基础现状、结构平面布置、材料性能指标、结构构造连接情况等方面进行综合抗震能力的评定，建立了抗震鉴定的流程图，经两级鉴定对该教学楼进行了评价，得出其鉴定结果，并指出部分构件需要进行加固。

关键词： 框架结构 教学楼 A 类建筑 抗震性能鉴定中图分类号： TU352.11;TU746.3文献标识码： A文章编号： 1672-3791(2023)16-0166-05Analysis of the Evaluation of Earthquake Resistant Capability of a Teaching Building with Reinforced Concrete Frame StructureYANG Ling 1 ZHOU Ming 2 HE Haibin 3(1. Hunan Xiangjian Zhike Engineering Technology Co., Ltd., Changsha, Hunan Province, 410000 China;2. Shaoyang Transportation Hub Construction Co., L td., Shaoyang, Hunan Province, 422000 China;3.Department of Civil Engineering, School of Civil Architectural Engineering, Shaoyang University,Shaoyang, Hunan Province, 422000 China)Abstract: For a teaching building built in the 1970s, according to the current "Building Seismic Fortification Clas‐sification Standard" (GB 50223-2008) and "General Code for Identification and reinforcement of Existing Build‐ings" (GB 55021-2021), it belongs to the Class A building. The comprehensive anti-seismic capacity of the build‐ing appearance, foundation status, structure layout, material performance index, structure connection and other as‐pects is evaluated, the flow chart of seismic appraisal is established, the teaching building is evaluated after two-level appraisal, appraisal results are obtained, and it is indicated that some components need to be reinforced.Key Words: Frame structure; Teaching building; Class A building; Evaluation of earthquake resistant capability我国位于太平洋地震带和欧亚地震带两大活跃地震带之间，受到太平洋和印度洋两大板块的挤压作用，地震断裂带丰富，地震活动具有频度高、强度大、分布广的特点[1]。

矩阵的定义及其运算规则1、矩阵的定义一般而言，所谓矩阵就是由一组数的全体，在括号（）内排列成m行n 列（横的称行，纵的称列）的一个数表，并称它为m×n阵。

矩阵通常是用大写字母A 、B …来表示。

例如一个m 行n 列的矩阵可以简记为：，或。

即：（2-3）我们称（2-3）式中的为矩阵A的元素，a的第一个注脚字母，表示矩阵的行数，第二个注脚字母j（j＝1，2，…，n）表示矩阵的列数。

当m＝n时，则称为n阶方阵，并用表示。

当矩阵（a ij）的元素仅有一行或一列时，则称它为行矩阵或列矩阵。

设两个矩阵，有相同的行数和相同的列数，而且它们的对应元素一一相等，即，则称该两矩阵相等，记为A＝B。

2、三角形矩阵由i＝j的元素组成的对角线为主对角线，构成这个主对角线的元素称为主对角线元素。

如果在方阵中主对角线一侧的元素全为零，而另外一侧的元素不为零或不全为零，则该矩阵叫做三角形矩阵。

例如，以下矩阵都是三角形矩阵：，，，。

3、单位矩阵与零矩阵在方阵中，如果只有的元素不等于零，而其他元素全为零，如：则称为对角矩阵，可记为。

如果在对角矩阵中所有的彼此都相等且均为1，如：，则称为单位矩阵。

单位矩阵常用E来表示，即：当矩阵中所有的元素都等于零时，叫做零矩阵，并用符号“0”来表示。

4、矩阵的加法矩阵A＝（a ij）m×n和B＝（b ij）m×n相加时，必须要有相同的行数和列数。

如以C＝（c ij）m ×n表示矩阵A及B的和，则有：式中：。

即矩阵C的元素等于矩阵A和B的对应元素之和。

由上述定义可知，矩阵的加法具有下列性质（设A、B、C都是m×n矩阵）：（1）交换律：A＋B＝B＋A（2）结合律：（A＋B）＋C＝A＋（B＋C）5、数与矩阵的乘法我们定义用k右乘矩阵A或左乘矩阵A，其积均等于矩阵中的所有元素都乘上k之后所得的矩阵。

如：由上述定义可知，数与矩阵相乘具有下列性质：设A、B都是m×n矩阵，k、h为任意常数，则：（1）k（A＋B）＝kA＋kB（2）（k＋h）A＝kA＋hA（3）k（hA）＝khA6、矩阵的乘法若矩阵乘矩阵，则只有在前者的列数等于后者的行数时才有意义。

广义局部环的性质陈静;陈旻霞;魏俊潮【摘要】局部环是重要的环类,在同调代数,环论等研究中发挥了重要的作用.为推广局部环的性质,给出广义局部环的概念,研究广义局部环的相关性质,证明环R为广义局部环的一些充分条件和充要条件.【期刊名称】《大学数学》【年(卷),期】2018(034)003【总页数】5页(P7-11)【关键词】广义局部环;左quasi-duo环;约化环;weakly-abel环;左MC2环【作者】陈静;陈旻霞;魏俊潮【作者单位】扬州大学数学科学学院,江苏扬州225002;扬州市职业大学数学科学学院,江苏扬州225009;扬州大学数学科学学院,江苏扬州225002;扬州市职业大学数学科学学院,江苏扬州225009;扬州大学数学科学学院,江苏扬州225002【正文语种】中文【中图分类】O153;O1541 引言局部环起源于1946年，Cohen在文献[1]中研究了局部环的结构与性质，由于局部环的Jacobson根是极大单侧理想，从而局部环在同调代数的维数理论[2]、正则环的局部化理论[3]及交换代数的局部分式环[4]的研究中发挥了重要作用.本文的主要目的是推广局部环的一些性质.本文中，R表示有单位元的结合环，用N(R)，E(R)，J(R)分别表示R的全体幂零元集合、幂等元集合和Jacobson根.用表示环R上的二阶上三角矩阵环.若R只有一个极大左理想，则称R是局部环[5].有不少学者对局部环都进行了深入的研究[6-7].众所周知局部环R具有一个重要的性质：对任意x，y∈R，若xy∈J(R)有yx∈J(R).这启发我们考虑具有上述性质的环的环性质，称具有这种性质的环为广义局部环.显然局部环和交换环都是广义局部环.但反之都不成立，例如，设F为一个域，则R不是局部环，也不是交换环.由于则易见R为广义局部环.因此广义局部环是局部环和交换环的真正推广.本文主要目的是研究广义局部环的一些性质与刻画，推广局部环的若干性质.我们需要下面的概念：设R为一个环，若R的每个极大左理想都是R的理想，则称R为左quasi-duo环[8].根据文献[9]，一个环R称为weakly-abel环，若对每个e∈E(R)，有eR(1-e)⊆J(R).设R是一个环，a∈R，若存在b∈R，使得a=aba，b=bab，ab=ba，则称a是R的群可逆元，b称为a的群逆元.若b存在，则是唯一的，通常记为a#.设R是一个环，*：R→R为一个双射，满足条件：(a*)*=a，(a+b)*=a*+b*，(ab)*=b*a*，则称R为一个*-环.*-环R的一个元素a称为{1，3-}正则元[10]，若存在x∈R，使得a=axa且(ax)*=ax； a称为核可逆元，若存在x∈R，使得a=axa，aR=xR且Rx=Ra*.2 主要结果命题1 左quasi-duo环R为广义局部环.证设R为左quasi-duo环，任取x，y∈R，满足xy∈J(R)，若yx∉J(R)，则存在R的极大左理想M，使得yx∉M，从而Ryx+M=R.设a∈R，m∈M，使得ayx+m=1.因此y=1·y=(ayx+m)y=ayxy+my，因为xy∈J(R)，所以xy∈M，从而ayxy∈M.因为R为左quasi-duo环，所以M 为R的理想，故my∈M，ayxy+my∈M，即y∈M，这样yx∈M，矛盾.因此yx∈J(R)，故R为广义局部环.由于强正则环是左quasi-duo环，因此由命题1知，强正则环是广义局部环.引理2 设R是广义局部环，则R是weakly-abel环.证任取e∈E(R)，显然对每个x∈R，有(ex(1-e))e∈J(R).由于R是广义局部环，所以ex(1-e)=e(ex(1-e))∈J(R)，因此eR(1-e)⊆J(R)，即R为weakly-abel环. 文献[9]256证明: weakly-abel的正则环是强正则环，因此得到下面的推论.推论3 设R是一个环，则下列条件等价：(i) R是强正则环；(ii) R是广义局部的正则环.引理4 设R为广义局部环，e∈E(R)，则eRe是广义局部环.证任取a，b∈eRe，满足ab∈J(eRe)，由于J(eRe)=eJ(R)e⊆J(R)，从而ab∈J(R). 由于R为广义局部环，则ba∈J(R)，又ba∈eRe，所以ba∈J(R)∩eRe=J(eRe)，因此，eRe为广义局部环.定理5 设R是一个环，e∈E(R)，则R是广义局部环当且仅当(1-e)R(1-e)，eRe 都是广义局部环且R是weakly-abel环.证由引理2和引理4知必要性是显然的.下证充分性：设x，y∈R，满足xy∈J(R)，则exye∈eJ(R)e=J(eRe).由于R是weakly-abel环，所以ex(1-e)ye，ey(1-e)xe∈J(R)，从而ex(1-e)ye，ey(1-e)xe∈eJ(R)e=J(eRe)，所以exeye=exye-ex(1-e)ye∈J(eRe).由于eRe都是广义局部环，所以eyexe∈J(eRe)⊆J(R)，故eyxe=ey(1-e)xe+eyexe∈J(R)，类似可证(1-e)yx(1-e)∈J(R)，因此yx=eyxe+eyx(1-e)+(1-e)yxe+(1-e)yx(1-e)∈J(R)，故R是广义局部环.由文献[9]255知，weakly-abel环是直接有限环，从而定理5给出了下面的推论. 推论6 广义局部环是直接有限环.引理7 R为weakly-abel环当且仅当T2(R)是weakly-abel环.证设R为weakly-abel环且则e1，e3∈E(R)，且e2=e1e2+e2e3.由于R为weakly-abel环，所以e1R(1-e1)，e3R(1-e3)⊆J(R)，因此ET2(R)(1-E)⊆⊆故T2(R)是weakly-abel环.反之，设T2(R)是weakly-abel环，设e∈E(R)，取则E∈E(T2(R))，由于T2(R)是weakly-abel环，所以ET2(R)(1-E)⊆J(T2(R))，即⊆因此eR(1-e)⊆J(R)，故R为weakly-abel环.由于域上的二阶全矩阵环是正则环但不是强正则环，故由推论3知，域上的二阶全矩阵环不是广义局部环，由文献[9]256知也不是weakly-abel环.定理8 R为广义局部环当且仅当T2(R)是广义局部环.证设T2(R)是广义局部环，取由引理4知ET2(R)E是广义局部环.由于≅R，从而R为广义局部环.反之，设R为广义局部环，则由引理2，R为weakly-abel环，由引理7知，T2(R)是weakly-abel环，选取则≅R ≅从而ET2(R)E和(1-E)T2(R)(1-E)都是广义局部环，由定理5知，T2(R)是广义局部环.推论9 R为广义局部环当且仅当Tn(R)为广义局部环(n≥2).证必要性(对n用数学归纳法)：当n=2时，由定理8知T2(R)为广义局部环.现设n>2且假设Tn-1(R)为广义局部环，取满足其中a，x∈R，α，β∈Rn-1，A1，B1∈Tn-1(R)，从而ax∈J(R)，A1B1∈J(Tn-1(R))，由归纳假设知，Tn-1(R)为广义局部环，所以B1A1∈J(Tn-1(R))，由于R 为广义局部环，所以xa∈J(R)，所以从而Tn(R)为广义局部环.因此，对于一切n≥2，Tn(R)为广义局部环.充分性：设Tn(R)为广义局部环，取则ETn(R)E≅R.由引理4知，R为广义局部环.设R是一个环，记则按照通常的矩阵加法和矩阵乘法，ST3(R)成为一个环，单位元为显然是一个环同构.故由定理8有下面的推论.推论10 R为广义局部环当且仅当ST3(R)是广义局部环.定理11 设R是一个环，则下列条件等价：(i) R是广义局部环；(ii) 对任意a，b∈R，ab∈J(R)时，有bRa⊆J(R)；(iii) 对任意a，b∈R，ab∈J(R)时，有aRb⊆J(R).证(i)⟹(ii)设a，b∈R，满足ab∈J(R)，则对每个x∈R，有abx∈J(R).由于R是广义局部环，则bxa∈J(R)，因此bRa⊆J(R).(ii) ⟹(iii)设a，b∈R，满足ab∈J(R)，由(ii)知，bRa⊆J(R)，从而ba∈J(R)，再由(ii)知aRb⊆J(R).(iii) ⟹(i)设a，b∈R，满足ab∈J(R)，则(ba)(ba)=b(ab)b∈J(R)，由(iii)知(ba)R(ba)⊆J(R)，所以对每个x∈R，1-(bax)2是R的可逆元，从而1-bax是R 的可逆元，因此ba∈J(R)，故R是广义局部环.推论12 R是广义局部环当且仅当对每个x∈R，x2∈J(R)时有x∈J(R).证这是定理11的直接推论.根据文献[11]，一个环R称为J-约化的，若对每个a∈R，an=0时有a∈J(R)，其中n是某个正整数.因此推论12给出了下面的推论.推论13 广义局部环是J-约化环.称环R的一个幂等元e是左半中心元[12]，若(1-e)Re=0.根据文献[13]，环R的一个幂等元e称为左极小幂等元，若Re是R的极小左理想.用MEl(R)表示R的全体左极小幂等元的集合.一个环R称为左极小abel环[14-15]，若或者MEl(R)是空集，或者MEl(R)中的每个元素都是左半中心元.定理14 广义局部环是左极小abel环.证设R是广义局部环且e∈MEl(R)，则(1-e)e∈J(R).由于R是广义局部环，所以由定理11知(1-e)Re⊆J(R).若(1-e)Re≠0，则R(1-e)Re=Re，这样e∈J(R)，矛盾.因此(1-e)Re=0，故R是左极小abel环.一个环R称为左MC2环[16-17]，若对每个a∈R，e∈MEl(R)，aRe=0时有eRa=0.定理15 设R是左MC2的广义局部环，若每个奇异单左R-模是YJ-内射模，则R是约化环.证设a∈R，满足a2=0.若a≠0，则有R的极大左理想M，使得a∈l(a)⊆M，若M不是本质左理想，则M=l(e)，其中e∈MEl(R)，故ae=0.由于R是广义局部环，由定理11知，aRe⊆J(R).若aRe≠0，则Re=RaRe⊆J(R)，矛盾，因此aRe=0.由于R是左MC2环，则eRa=0，e∈l(a)⊆M=l(e)，矛盾.因此M是本质左理想，从而R/M是奇异单左R-模，从而R/M是YJ-内射R-模.作ρ：Ra→R/M满足ρ(ra)=r+M，则ρ是左R-同态.故存在c∈R，使得1-ac∈M.由于a2=0且R是广义局部环，由推论13知，a∈J(R)，故1-ac是R的可逆元，矛盾.因此a=0，故R 是约化环.定理15中的左MC2的条件不能去掉，例如:由定理8知R是广义局部环，每个单左R-模是内射的，从而每个奇异单左R-模是YJ-内射的，但R不是左MC2环.定理16 设R为广义局部环，a∈R是正则元，则a是群可逆元.证由于a是正则元，则存在b∈R，使得a=aba.由于a(1-ba)=0∈J(R)且R为广义局部环，因此a-ba2=(1-ba)a∈J(R).记a-ba2=x∈J(R)，则a=aba=(ba2+x)ba=ba2+xba，从而(1-xb)a=ba2.由于x∈J(R)，所以1-xb是R的可逆元，于是a=(1-xb)-1ba2∈Ra2.同理可证a∈a2R，因此a是R的群可逆元.文献[18]定理2.6证明:一个元素a是核可逆元当且仅当a是群可逆元及{1，3-}可逆元.因此定理16给出了下面的推论.推论17 设R为广义局部环，a∈R是{1，3-}正则元，则a是核可逆元.[参考文献]【相关文献】[1] Cohen I S.On the structure and ideal theory of complete local rings[J]. Trans. Amer. Math. Soc.，1946，59(1): 54-106.[2] Auslander M， David A B. Homological dimension in local rings[J]. Trans. Amer. Math. Soc.，1957， 85(2): 390-405.[3] Maloo A K. Maximally differential ideals in regular local rings[J]. Proc. Indian Acad. Sci. (Math. Sci.) ，2003，116(3): 267-270.[4] Stenström B.Rings and moles of quotients[M]. Berlin: Springer-Verlag. 1971:237.[5] Northcott D G， Rees D. Rection of ideals in local rings[J]. Math Proc Cambr Philo Soc，1954，50(2):145-158.[6] 谭玉明.局部环上正交群中一类子群的扩群[J].大学数学，2001，23(2):65-68.[7] 陈德钦，郑千里.局部环上表矩阵为初等阵之积[J].大学数学，2010，26(2):58-63.[8] Yu H P. On quasi-o rings[J]. Glasgow Math J，1995，37(1): 21-31.[9] Wei J C. Weakly-abel rings and weakly exchange rings[J]. Acta Math Hungar，2012，137(4): 254-262.[10] Hartwig R E.Block generalized inverses[J].Arch Retional Mech Anal，1967，61(2): 197-251.[11] Chen H， Gurgun O， Halicioglu S， Harmanci A. Rings in which nilpotents belong to Jacobson radical[J]. An. Stiint. Univ. Al. I. Cuza Iasi Mat.(N.S.)，2016，2(2): 595-606. [12] Wei J C， Li L B. Strongly DS rings[J]. Southeast Asian Bull Math，2009，33(4): 375-390.[13] Wei J C， Li L B. MC2 rings and WQD rings[J]. Glasgow Math J， 2009，51(3): 691-702.[14] Wei J C， Li L B. Quasi-normal rings[J].Comm. Algebra，2010， 38(5): 1855-1868.[15] Zhou Y， Wei J C. Generalized weakly central reduced rings[J]. Turk Math J，2015，39(5): 604-617.[16] Wei J C. MC2 rings[J]. Kyungpook Math J，2008，48(4): 651-663.[17] 成青松，汪兰英，魏俊潮.强左极小Abel环[J].扬州大学学报(自然科学版)，2012，13(1):6-9.[18] Xu S Z， Chen J L， Zhang X X. New characterizations for core inverses in rings with involution[J].Frontiers of Mathematics in China，2017，12(1): 231-246.。

矩阵环中的理想张姗梅;刘耀军【摘要】讨论环R上的全矩阵环,上三角形矩阵环以及对角矩阵环的理想,建立环R 的理想与这些环的理想之间的对应关系.并给出模n的剩余类环Zn上的全矩阵环,上三角形矩阵环以及对角矩阵环的所有理想.【期刊名称】《太原师范学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2013(012)001【总页数】4页(P17-20)【关键词】理想;环;商环;矩阵环;模n的剩余类环【作者】张姗梅;刘耀军【作者单位】太原师范学院数学系,山西太原030012;太原师范学院计算机系,山西太原030012【正文语种】中文【中图分类】O153.3利用一个环的理想，可以构造出新的环——商环.并且一个环R的商环穷尽了R的满同态像:商环是满同态像，满同态像就是商环[1].这样，一个环R和其他环的关系在一定意义下归结为R与其商环的关系，即环R与外部世界的关系归结为环R自身的内部结构.商环在一定程度上继承了原环的一些性质，同时也产生了一些新的特点.如果对环的理想添加一些不同的限制，就有可能构造出具有不同性质的环来.当然，首要问题是，弄清楚环的所有理想.本文就常见的矩阵环讨论了这个问题.设R是一个环，n是正整数.则R上全体n阶矩阵，全体n阶上三角形矩阵以及全体n阶对角矩阵，对于矩阵的普通加法和乘法分别作成环Mn（R），MΔn（R），Mdn（R）.分别称Mn（R），MΔn（R），Mdn（R）为环R上的全矩阵环，上三角形矩阵环[2]和对角矩阵环.定义[3] 设R是一个环，I是R的非空子集，如果I满足1）对任意的r1，r2∈I，r1－r2∈I；2）对任意的r∈I，s∈R，rs，sr∈I.则称I为环R的一个理想.引理1[4] 设R 是一个环，I是R 的理想.则 Mn（I）是 Mn（R）的理想.引理2[4] 设R 是一个环，M 是Mn（R）的理想.令则I是R的理想.引理3 设R是一个有单位元的环，M是Mn（R）的理想.则存在R的理想I，使M＝Mn（I）证明由引理2，I＝｛a∈R｜存在A＝（aij）∈M，a11＝a｝是R 的理想.下证 M ＝Mn（I）.记Eij为（i，j）元素是单位元1，其余元素全为零元0的n阶方阵.任取A＝（aij）∈M，则E1iAEj1∈M，且E1iAEj1的（1，1）元素为aij，由I的构造知ai j∈I，从而A＝（aij）∈Mn（I），因此 M⊆Mn（I）.另一方面，任取X＝（xij）∈Mn（I），则xij∈I，因而存在Y＝（yij）∈M，使得y11＝xij，于是xijEij＝Ei1YE1j∈M，从而X＝（xij）＝∑xijEij∈M，故Mn（I）⊆M.因此 M＝Mn（I）.由引理1，引理3可得定理1 设R是一个有单位元的环，则Mn（R）的全部理想为Mn（I），这里I是环R的理想.注若R没有单位元，则如上结论不成立.例:设R是偶数环，I是由所有整数4r（r是整数）所作成的R的理想.则引理4 设Iij（1≤i≤j≤n）是环R的理想，且对任意i≤m≤l≤j有Iml⊆Iij.则是R上的上三角形矩阵环（R）的理想.证明任取A＝（aij），B＝（bij）∈M，则i＞j时aij＝0，bij＝0，1≤i≤j≤n时aij，bij∈Iij.于是i＞j时aij－bij＝0，1≤i≤j≤n时aij－bij∈Iij，从而A－B＝（aij －bij）∈M.再任取K＝（rij）∈（R），则k＞j时rkj＝0.从而有i＞j时1≤i≤j≤n时，由aij∈Iij及对任意i≤m≤l≤j有Iml⊆Iij知于是AK＝（cij）∈M，KA＝）∈M.因此M是（R）的理想.引理5 设R是一个有单位元的环，M是（R）的理想.则存在R的理想Iij（1≤i≤j≤n）使对任意i≤m≤l≤j有Iml⊆Iij且证明令Iij＝｛a∈R｜存在A＝（aij）∈M 使a＝aij｝（1≤i≤j≤n）.若a，b∈Iij，则存在A＝（aij），B＝（bij）∈M使a＝aij，b＝bij.于是A－B＝（aij－bij）∈M，a－b＝aij－bij因此a－b∈Iij.任取r∈R，则rE∈MΔn（R）.于是因ra＝raij，ar＝aijr，所以ra，ar∈Iij.从而Iij是R 的理想.又对任意i≤m≤l≤j，设c∈Iml，则存在A＝（aij）∈M使aml＝c.于是由Eim，Elj∈（R）知故c∈Iij.从而Iml⊆Iij.下证（1）成立，用M′表示（1）右端的集合.任取A＝（aij）∈M，则aij∈Iij（1≤i≤j≤n）.于是A∈M′，M⊆M′.另一方面，若A＝（aij）∈M′，则aij∈Iij（1≤i≤j≤n），因此存在相应矩阵Y＝（yij）∈M，使得yij＝aij，于是aijEij＝yijEij＝EiiYEjj∈M，从而，故M′⊆M.因此M ＝M′.由引理4，引理5可得定理2 设R是一个有单位元的环，则Mn（R）的全部理想为其中Iij是R的理想，且满足对任意i≤m≤l≤j有Iml⊆Iij.类似引理4，引理5的证明，可得:引理6 设R 是一个环，Ii（i＝1，2，…，n）是R 的理想.则是R上对角矩阵环（R）的理想.反之，设M 是（R）的理想，则存在R的理想Ii，i＝1，2，…，n使M＝由引理6可得:定理3 设R是一个环，则（R）的全部理想为其中Ii是R的理想.定理4 令dZn＝｛dr｜r∈Zn｝[5]，则模n的剩余类环Zn 的所有理想为dZn，其中d＝0或d｜n，1≤d＜n.证明先证dZn 是Zn 的理想.任取a，b∈dZn，r∈Zn，则a＝dr1，b＝dr2（r1，r2∈Zn）.于是a－b＝dr1－dr2＝d（r1－r2）∈dZn；ra＝ar＝（dr1）r＝d（r1r）∈dZn.dZn 是Zn 的理想.又设I是Zn 的任一理想，则[0]∈I.如果I＝｛[0]｝，则取d＝0，有I＝dZn.如果I≠｛[0]｝，令d是使得[d]∈I的最小正整数，则1≤d＜n且对任意[q]∈Zn 有d[q]＝[dq]＝[d][q]∈I.因此dZn⊆I.另一方面，若[b]∈I，设b＝dq＋r（0≤r＜d），则r＝b－dq，从而[r]＝[b－dq]＝[b]－[dq]＝[b]－[d][q]∈I.但d是使得[d]∈I的最小正整数，故r＝0.这样b＝dq（因此d｜b），从而[b]＝[dq]＝d[q]∈dZn，因此I⊆dZn.故I＝dZn.并且由上证明知若[b]∈I，则d｜b.因此由[n]＝[0]∈I得d｜n.定理5 设Zn是模n的剩余类环，则1）Mm（Zn）的全部理想为Mm（dZn），其中d＝0或d｜n，1≤d＜n.2（Zn）的全部理想为其中dij＝0或dij｜n，1≤dij＜n且对任意i≤m≤l≤j有dij｜dml.3）（Zn）的全部理想为｝，其中di＝0或di｜n，1≤di＜n.证明根据定理1，定理2，定理3，由定理4可得.例模2的剩余类环Z2上的上三角矩阵环MΔ3（Z2）的全部理想为参考文献:[1]刘绍学.近世代数基础[M].北京:高等教育出版社，1999[2]吴毅清.矩阵环的理想[J].怀化学院学报，2004，23（2）:1－3[3]韩士安，林磊.近世代数[M].北京:科学出版社，2004[4]苏忍锁.环R 上的矩阵环Mn（R）的理想[J].宝鸡文理学院学报（自然科学版），2002，22（2）:115－117[5]张翔.例说剩余类的理想求法以及剩余类方程的解法[J].遵义师范学院学报，2009，11（1）:70－72。

PCS-环与扩张曾庆怡【摘要】结合ACS环和p.q-Baer环的定义,本文将p.q-Baer环推广到PCS环,这样在p.q-Baer环和ACS环之间存在一类新的环,PCS环.环R称为PCS-环,如果R 的每个主理想的右零化子作为右理想在一个由幂等元生成的右理想中是本质的.PCS-环包括所有的右p.q-Baer环,所有的右FI-扩展环,以及所有的交换的ACS-环.通过研究环主右理想的零化子的性质和模的本质子模的性质,研究了三种环之间的关系,推广了p.q-Baer环的结果,得到了ACS环所没有的结果,同时研究了环的扩张问题,证明了强PCS性质是Morita等价性质.【期刊名称】《纯粹数学与应用数学》【年(卷),期】2018(034)001【总页数】16页(P26-41)【关键词】PCS-环;零化子;本质;环扩张【作者】曾庆怡【作者单位】韶关学院数学与统计学院,广东韶关 512023【正文语种】中文【中图分类】O1531 引言本文中,除非特别说明,所有的环是有单位元的结合环,所有的模是幺作用右模.设R是一个环,X是R的非空子集.用rR(X)={r∈R|Xr=0}表示X的右零化子.左零化子类似定义.模M 的子模N称为本质子模,表示为N≤eM,如果对M 的每个非零子模L,L∩N ≠0[1].设 N 是模 M 的子模,则N ≤eM 当且仅当对任意0≠m ∈M,存在r∈R使得0≠mr∈N.设R是环,用Zr(R)={a∈R|rR(a)≤eRR}表示R的右奇异理想.如果Zr(R)=0,则称R是右非奇异的.环R为(拟-)Baer环,如果R的每个非空子集(右理想)的零化子作为右理想是由R的幂等元生成[2-3].这些定义是左右对称的.如果R是拟-Baer环,则n阶矩阵环Mn(R)是拟-Baer环.所有的Baer环是非奇异的,但是存在不是右非奇异的右拟-Baer环. 在文献[4]中,环R称为右主拟-Baer环,(或者右p.q-Baer环),如果任意主右理想的右零化子(作为右理想)是由R的幂等元生成.左p.q-Baer环类似定义.如果R既是右的又是左的 p.q-Baer环,则称R是 p.q-Baer的.环R称为Abelian的,如果R的所有幂等元是中心的.环R称为简约的,如果R没有非零幂零元.任意简约环是Abelian的.在一个简约环R中,所有的幂等元是中心的,且对R的任意子集X有rR(X)=lR(X).环R称为右ACS-环,如果R的每个元素的右零化子在RR的直和项中是本质的[5].作为p.q-Baer环的推广,定义环R为右PCS-环,如果R的每个主理想的右零化子(作为右理想)在R的由幂等元生成的右理想中是本质的.但是右PCS环未必是右p.q-Baer环.在第1节引进了PCS-环的定义并给出了一些例子.证明了一个简约环R是右PCS-环当且仅当R是左PCS-环.在本节中还讨论了PCS-环与其他环的关系,比如拟-Baer环,ACS-环.在第2节讨论了环R和R扩张的PCS性质.证明了:1.设R是Armendariz环.那么R是右PCS-环当且仅当R[x]是右PCS-环;2.设R是α-刚的环,那么则R是右PCS(ACS)-环当且仅当Ore扩张R[x;α]是右PCS(ACS)-环.在第3节,证明了:1.设R是任意Abelian环.那么是右PCS-环当且仅当R是右PCS-环;2.强右PCS性质是Morita不变的;3.设是由环A,B和双模AMB做成的形式三角矩阵环.则下列命题等价:(a)R是右PCS-环;(b)(i)A和 B是右 PCS-环;(ii)如果a∈A,那么作为右 R模有2 PCS-环以及性质设 Z是整数环.容易证明模 4的剩余类环 Z4是 ACS-环,但不是 p.q-Baer环.对任意x∈Z4,如果r(xZ4)≠0,那么r(xZ4)≤eZ4.由这个例子启发定义PCS-环如下:定义 2.1 环R称为右PCS-环,如果R的每个主右理想的右零化子(作为右理想)在R 的由幂等元生成的右理想中是本质的.等价地,R称为右PCS-环,如果对任意a∈R,左PCS-环类似定义.如果 R既是右又是左PCS-环,则称R为PCS-环.右PCS-环类包括右p.q-Baer环,右FI-扩展环,交换的ACS-环和p.p-环(环R称为右p.p-环如果每个主右理想作为右R模是投射的).有如下蕴含关系:Z4和Z8是PCS-环,但不是p.q-Baer环.设R是交换环,R作为右R模是一致的.如果存在非零元a∈R使得rR(a)≠0,那么R不是右p.q-Baer环.因此右或左PCS-环未必是右或左非奇异的.除了Z4和 Z8外,下面的例子也是右 PCS-环,但不是p.q-Baer环,右ACS-环,右扩展环,右FI-扩展环和右 p.p-环.例 2.1(1)存在右PCS-环,既不是右ACS-环也不是右扩展环.设M2(Z)是整数环Z上的2×2矩阵环[6].令则R是右拟-Baer环,因而是右PCS-环.但R不是右ACS-环.事实上,设注意到R的幂等元只有O和2阶单位矩阵E.假设R是右ACS-环,设则这是不可能的.同样R既不是右p.p-环,也不是左p.p-环.(2)考虑环Z⊕Z,其运算是通常的加法和乘法.子环R={(a,b)∈Z⊕Z|a≡b(mod 2)}是交换环,R的幂等元是(0,0)和(1,1).容易证明R是右PCS-环,但不是右p.q-Baer环.(3)整数环Z上的下三角n×n(n≥2)矩阵环是拟-Baer的,因而是右PCS-环;但不是右CS-环.设D 交换整环,R=Mn(D),n≥2.那么R是拟-Baer环;因而是PCS-环. (4)设Z2是模2的剩余类环,是Z2上的Hamilton四元数环.则R不是p.p-环[7].容易证明R是PCS-环. (5)存在不是右FI-扩展环的右PCS-环.设D是单的整环,非除环,则R是拟-Baer环;因而是右PCS-环.但R既不是右也不是左FI-扩展环[5].定理 2.1 设R是简约环.则下列命题等价:1.R是右PCS-环;2.每个有限生成右理想的右零化子(作为右理想)在RR的直和项中是本质的;3.每个主右理想的右零化子(作为右理想)在RR的直和项中是本质的;4.每个主理想的右零化子(作为右理想)在RR的直和项中是本质的;5.R是右ACS-环;6.R是右Von Neumann正则环;7.(1)到 (6)的所有的“右”字可以换成“左”字.证明 (1)⇒(2)设是R的任意有限生成右理想.则因为 R是右 PCS-环,存在使得对任意1≤i≤n有rR(xiR)≤eeiR.令e=e1e2···en∈R,因为 R 是简约,有 e2=e且因此有rR(X)≤eeR.(2)⇒(1)显然;(1)⇔(3)显然;(3)⇔(4)注意到对任意a∈R有rR(aR)=rR(RaR)即可;(4)⇔(5)对一个简约环R以及R的任意子集X有rR(X)=lR(X),且R的任意幂等元是中心的.设a∈R,x∈rR(a).因为 lR(a)=rR(a),于是∀r∈R,有 arxarx=0,arx=0.因此∀a∈R有rR(aR)=rR(a).(5)⇔ (6)假设 R是右 ACS-环.设a∈R.则存在 R的幂等元 e使得rR(a)≤eeR.设R=eR⊕(1−e)R.则因为R是简约的,R是非奇异的[8].但是rR(a)≤eeR蕴含er/rR(a)是奇异的,因此于是R是Von Neumann正则环.反之是显然的.(1)⇔(7)对一个简约环R以及R的任意子集X有rR(X)=lR(X),且R的任意幂等元是中心的.现在考虑不可分解右PCS-环.引理 2.1 设R是不可分解环.则:1.如果R是简约右PCS-环,那么rR(a)≠0蕴含a∈Zr(R);2.如果R是右非奇异简约PCS-环,那么R是整环;3.如果R是交换的简约PCS-环,那么R是整环.证明 (1)注意到不可分解环R的所有中心幂等元是0和1,结果是显然的.(2)这是(1)的直接结果.(3)因为一个交换环R是非奇异的当且仅当R是简约的,这与(2)相同.一个幂等元e∈R称为左(或右)半中心的,如果xe=exe(或ex=exe),对任意x∈R.用Sl(R)(或Sr(R))表示R的所有左(或右)半中心幂等元的集合.引理 2.2 设R 是右(或左)PCS-环,则对任意e∈Sr(R)(或e∈Sl(R)),eRe也是右 (或左)PCS-环.证明假设R是右PCS-环.设e∈Sl(R),C=eRe.设a∈C.因为R是右PCS-环,存在f2=f∈R使得rR(aR)≤efR.注意到rR(aC)=rR(aR),rC(aC)=rR(aC)∩C=rR(aR)∩C ≤efR∩C=(efe)C.因此C是右PCS-环.左PCS-环的证明类似.推论 2.1 设R是简约PCS-环.则eRe也是PCS-环,e2=e∈R.定理 2.2 设R半完全简约环.则R是右PCS-环当且仅当R是整环的有限直和.证明假设R 是右PCS-环.设e1+e2+···+en=1,这里 {e1,e2,...,en}是R的所有两两正交的幂等元的集合.因为R是简约的,所有ei是中心的;因此而每个eiR是R的不可分解理想.于是有引理2.1,引理2.2可得结果.反之是显然的.命题 2.1 设R是右ACS-环,C是R的中心,对R的任意幂等元e,存在f2=f∈C使得eR∩C≤efC.则C是PCS-环.证明设C是R的中心,a∈C.因为R是右ACS-环,因此由假设,存在f2=f∈C使得eR∩C≤efC.因此rC(aC)≤efC,从而C是右PCS-环.推论 2.2 设R是Abelian ACS-环,C是R的中心.则C是右(ACS)PCS-环.环 R称为强右PCS-环,如果对任意a∈R,rR(aR)≤eeR,e是 R的左半中心幂等元.显然强右 PCS-环是右 PCS-环.所有强右 FI-扩展环是强右 PCS-环.Z4是强 PCS-环,但不是 p.q-Baer环.同样,容易证明如果 R是强右 PCS-环,那么 eRe也是强右PCS-环,e∈Sr(R).命题 2.2 设R是右非奇异环.则R是素的当且仅当R是半中心简约强PCS-环.证明假设R是素的,则R是拟-Baer半中心简约的[10].因此R是强右PCS-环.反之,设 X,Y是 R的任意理想,XY=0.设a∈X.因为 R是右强 PCS-环,存在e∈Sl(R)使得Y≤rR(aR)≤eeR.同时,因为R是半中心简约,要么e=0,要么e=1.如果 e=0,则Y=0.如果e=1,则a∈Zr(R)=0;因此X=0,从而R是素的.结合文献[10]引理1.1和这个命题有:推论 2.3 设R是右非奇异环.则下列命题等价:1.R是半中心简约强右PCS-环;2.R是半中心简约拟-Baer环;3.R是素的.命题 2.3 设R是右非奇异环.则下列命题等价:1.R是强右PCS-环;2.R是右PCS-环;3.R是右p.q-Baer环.证明只需证明 (2)蕴含(3).设 R是右 PCS-环,a∈R,则rR(aR)≤eeR,e2=e∈R.对于e∈eR,存在R的本质右理想I使得eI⊆rR(aR).因此aReI=0.因为R是右非奇异的,于是aRe=0,R是右p.q-Baer环.3 PCS-环和扩张本节讨论PCS-环的一些扩张.首先考虑R上的一元多项式环R[x].命题 3.1 设R是简约环,S=R[x]是R上的多项式环.如果S是右PCS-环,则R也是. 证明假设S是右PCS-环,a∈R,则存在S的幂等元e(x)使得rS(aS)≤ee(x)S.设e0是e(x)的常数项,因为R是简约,有e(x)=e0∈R.现在证明rR(aR)≤ee0R.易证rR(aR)≤ e0R.对任意0≠e0r∈e0R,则存在0≠g(x)∈ S 使得0≠e0rg(x)∈rS(aS).因此 aSe0rg(x)=0;特别地,aRe0rg(x)=0.设则 aRe0rbn=0,且rR(aR)≤ee0R.因此 R 是右 PCS-环.注 3.1 如果 R不是简约,但 S=R[x]是右 PCS-环,R可能是右 PCS-环.比如,令 R=Z4.容易证明R[x]是右PCS-环.设R是右PCS-环.什么时候S=R[x]是右PCS-环?为了讨论这个问题引进下面的好多项式的定义.定义 3.1 设f(x)是R[x]中的n次多项式,其首项系数为a.f(x)称为好多项式,如果由b∈rR(a)蕴含b∈rR(f(x)).由文献[9]命题 2.2知,对任意f(x)∈R[x],存在b∈R使得0≠f(x)b是好多项式.命题 3.2 设R是右PCS-环,S=R[x].假设对任意f(x)∈S,存在好多项式g(x)∈f(x)S 使得rS(f(x)S)≤erS(g(x)S).则 S=R[x]是右 PCS-环.证明设f(x)是S的任意多项式.由假设,存在好多项式g(x)∈f(x)S使得只需证明存在e(x)2=e(x)∈S使得rS(g(x)S)≤ee(x)S.设a是g(x)的首项系数.因为R是右PCS-环,rR(aR)≤eeR,e2=e∈R.设则 g(x)Sh(x)=0;特别地,g(x)Rh(x)=0.因此 aRbn=0,g(x)Rbn=0.于是由归纳法有aRbi=0,bi∈rR(aR)≤eeR,对所有的i∈{0,1,...,n}成立.因此设不失一般性设ecm∉rR(aR),则存在bm∈R使得因此g(x)Recmbm=0.如果0≠ecm−1bm∉rR(aR),有bm−1∈R使得因此继续下去,存在b∈R使得0≠ek(x)b∈rS(g(x)S),这意味着rS(g(x)S)≤eeS.因此 S 是右 PCS-环.环R称为Armendariz,如果多项式满足f(x)g(x)=0,则aibj=0,对所有i,j(见文献[11]).简约环是Armendariz环,Armendariz环是Abelian(见文献[11],引理7).环R是Armendariz当且仅当R[X]是Armendariz(见文献 [12],定理 7).引理 3.1 设R是Armendariz环,R[x]是多项式环.如果是 R[x]的幂等元,则e(x)=e0∈R.证明因为所以因此这是因为R是Abelian的.命题 3.3 设R是Armendariz环,则R是右PCS-环当且仅当R[x]是右PCS-环. 证明假设R[x]是右PCS-环,a∈R.则存在幂等元使得rR[x](aR[x])≤ee(x)R[x].显然,e(x)=e0∈R.容易证明rR(aR)≤ee0R,因此 R是右 PCS-环.反之,设则存在使得rR(aiR)≤eeiR,0≤i≤n.令e=e0e1···en,则这是因为R是Armendariz,因而是Abelian的.对任意则对任意r∈R有f(x)rg(x)=0,且对所有的0≤i≤n,0≤j≤m有airbj=0.因此对所有i,j 和g(x)∈eR[x]有bj∈rR(aiR).设不失一般性,选取r∈R使得对所有0≤j≤p有因为R是Armendariz的,对所有有于是R[x]是右PCS-环.现在考虑 PCS-环的 Ore扩张.设 R是环,α:R→ R为环同态,δ:R→ R是α-导子,R的Ore扩张R[x;α,δ]是 R上的多项式全体关于多项式的加法和下面的乘法:xr=α(r)x+δ(r),r∈R 构成的环.如果δ=0,则用R[x;α]表示R[x;α,0],又称为斜多项式环.设α是 R的自同态,α称为刚自同态,如果rα(r)=0蕴含r=0,r∈R.环R称为α-刚的,如果R存在刚自同态α.任意刚自同态是单的,任意α-刚的环是简约环.但是reduecd环中存在不是刚自同态的自同态.引理 3.2 设 R 是α-刚的环,R[x;α,δ]是 R 的 Ore扩张.则:1.如果ab=0,a,b∈R,则对任意正整数n有aαn(b)=αn(a)b=0;2.如果ab=0,则对任意正整数m有aδm(b)=δm(a)b=0;3.如果对任意正整数k有aαk(b)=αk(a)b=0,则ab=0;4.设则pq=0当且仅当aibj=0,对所有的0≤i≤m,0≤j≤n;5.如果则e=e0∈R.证明见文献[6]的引理4,命题6和推论7.环R的Baer性和拟-Baer性,对Ore扩张并不遗传.存在Baer环R,但是R的Ore 扩张不是右p.q-Baer(见文献[6]的例8).同样存在非拟-Baer环,但是R的Ore扩张R是拟-Baer的(见文献[6]的例9).证明了一个α-刚的环R是p.q-Baer环当且仅当R[x;α,δ]是p.q-Baer环.由上面引理可得:定理 3.1 设R是α-刚的环.则R是右PCS-环当且仅当Ore扩张R[x;α]是右PCS-环.证明假设S=R[x;α]是右PCS-环,a∈R.则存在幂等元使得rS(aS)≤ee(x)S.因为 R 是α-刚的,e(x)=e0∈R.现在证明rR(aR)≤ee0R.对任意因为对任意r∈R有arb=0,于是因此b∈rS(aS),b∈e0R,从而rR(ar)≤e0R.对任意0≠e0r0∈e0R,则存在使得0≠e0r0h(x)∈rS(aS).特别,are0r0h(x)=0,对所有的r∈R.则存在k∈{0,1,···,t}使得0≠e0r0bk∈rR(aR).因此rR(aR)≤ee0R,R 是右 PCS-环.反之,假设R是右PCS-环.设则存在使得对所有的i∈ {0,1,···,m} 有rR(biR)≤eeiR.令e=e0e1···em.因为 R是α-刚的,R是简约,e2=e∈R.因此,现在证明rS(g(x)S)≤eeS.对任意则 g(x)Rf(x)=0,且对所有的0≤i≤m,0≤j≤n,r∈R,bi(raj)=0.因此aj∈rR(biR),0≤i≤m,0≤j≤n.于是aj∈eR,f(x)∈eS,从而rS(g(x)S)≤eS.设其中存在rt∈ R 使得因此重复下去可以选择r∈R 使得对所有的i∈{0,1,···,t}.对任意有由引理 3.2,∀0≤ i≤ m,0≤ j≤ k,0≤ s≤ t,biαi(dj)ecsαs(r)=0,有 g(x)k(x)eh(x)r=0.因此rS(g(x)S)≤eeS,S是右PCS-环.注 3.2 定理 3.1中,R是α-刚的这个条件不是必要的.比如,考虑环Z⊕Z,其运算是通常加法和乘法.子环R={(a,b)∈Z⊕Z|a≡b(mod 2)}是交换环,且R的幂等元是(0,0)和(1,1).容易证明R是右PCS-环.设α:R→R,α(a,b)=(b,a),则α是R的自同构,R不是α-刚的.由文献 [6]的例9,R[x,α]是拟 -Baer环,因而是右 PCS-环.设 R是环,α是 R的自同态.称 R是α-相容的,如果rα(s)=0⇔ rs=0.显然,如果R是α-相容的,则α是单的;如果R是α-刚的,则R是α-相容的.事实上,设rα(s)=0,则srα(sr)=0.因为R是α-刚的,且是简约的,因此sr=0,rs=0,如果rs=0,则但是逆命题一般不成立.任意环R是1R-相容的;如果R不是简约的(比如,Z4),则R 不是1R-刚的.容易证明,对一个简约的环R,R是α-刚的当且仅当R是α-相容的. 存在环R 和1R≠α∈End(R)使得 R是α-相容的.同样存在Ab elian α-相容的环,但不是α-刚的.例 3.1(1)设Q是有理数环.考虑由Q通过Z的平凡扩张R=Z∗Q,R的加法和乘法如下定义:对于(n,q),(n′,q′)∈ R,定义α:R→R,α(n,q)=(n,kq),(n,q)∈R,这里k∈Q\{0,1}.则1R≠α是 R的自同态.容易证明R是α-相容的,因而是α-刚的.(2)存在环R以及R的自同构α使得R是α-相容的,但不是α-刚的.设R=Z∗Z4是由 Z4通过Z的平凡扩张.定义α:R→R,α(n,x)=(n,−x),对任意(n,x)∈R.则R不是简约的,因而不是α-刚的.但是R是Abelian α-相容的环.对一个α-相容的环R,有与引理3.2相似的结果.引理 3.3 设R是α-相容的环,a,b∈R.则:1.如果ab=0,a,b∈R,则对任意正整数n有aαn(b)=αn(a)b=0;2.如果存在正整数k使得aαk(b)=αk(a)b=0,则ab=0;3.如果R是Abelian的,e(x)=enxn+···+e1x+e0是R[x,α]的幂等元,则e(x)=e0∈ R.证明 (1)和(2)的证明类似于文献[6]的引理4.(3)容易证明因为e1α(e0)+e0e1=e1蕴含e0e1α(e0)=0;则 e0e1e0=0,e0e1=e1e0.因为 R 是α-相容的,e1=0.假设对所有1≤k＜n,ek=0.则因此有 e0ek+1(e0)=0,ek+1=0.从而e(x)=e0∈R.定理 3.2 设 R 是Abelian α-相容的环.假设∀f(x)∈R[x,α],存在好多项式g(x)∈f(x)R[x,α],使得则 R是右 PCS-环当且仅当Ore扩张R[x;α]是右PCS-环.证明充分性与命题3.2类似,必要性与命题3.3类似.4 PCS环的 (形式三角)矩阵环文献[7]证明了拟-Baer环上的n×n矩阵环和n×n上(下)三角矩阵环也是拟-Baer 的.自然就问:PCS-环上的n×n矩阵环或n×n上(下)三角矩阵环还是PCS-环吗? 设Tn(R)表示R上的n×n上三角矩阵,Mn(R)表示n×n矩阵环.首先考虑上三角矩阵环Tn(R).定理 4.1 设R是Abelian环,则是右PCS-环当且仅当R是右PCS-环.证明假设R是右PCS-环.设因为R是右PCS-环,存在使得令因为R是Abelian的,则f2=f∈R,E2=E∈S.将证明rS(sS)≤eES.设则对任意r∈R,则有x,y∈rR(aR).同样,z∈rR(cR)∩rR(aR)∩rR(bR)≤efR.因此于是对任意证明存在s′∈S使得情形 1 如果er≠0,则存在r0∈R 使得0≠err0∈rR(aR).因此对任意情形 2 如果ft≠0,这与情形1类似.情形 3 如果es≠0,这也与情形1类似.因此S是右PCS-环.反之,假设S是右PCS-环.a∈R,则存在S的幂等元E使得设则e2=e∈R.将证明rR(aR)≤eeR.容易证明rR(aR)≤eR.设0≠er∈eR,则存在使得则要么erx≠0,要么ery≠0,同样 aRerx=aRery=0.因此 R 是右 PCS-环.上述命题可以推广到任意正整数n≥3的情况.有:命题 4.1设R是Abelian环.则下列命题等价:1.R是右PCS-环;2.对任意正整数n,Tn(R)是右PCS-环;3.对某个正整数n,Tn(R)是右PCS-环.对于右ACS-环,上述定理一般不成立(见下面的例子4.1).但是有:命题 4.2 设Tn(R)是R上的n×n阶上三角矩阵环.若Tn(R)是右ACS-环,则R也是. 证明只需证明n=2的情形.n≥3的情形类似.设a∈R,则是T2(R)的幂等元.显然e2=e∈R,容易证明rR(a)≤eR.设0≠er∈eR,则且存在T2(R)的非零元使得则要么0≠erx,要么ery≠0,有erx∈ rR(a)或ery∈ rR(a),因而rR(a)≤eeR.故 R 是右 ACS-环.上述命题的逆命题一般不成立.例 4.1 Z是ACS-环.但是上三角矩阵环T2(Z)不是右ACS-环.证明设T=T2(Z).容易证明T的所有幂等元是:这里0≠b∈ Z.设则如果T是右ACS-环,直接计算表明rT(t)作为右理想在T中必须是本质的.设则存在使得但这是不可能的.现在讨论 R上的矩阵环 Mn(R).p.q-Baer性质是 Morita不变性质 (见文献 [4]的定理 2.2).尽管不知道右 (或左)PCS是否是 Morita不变性质,但是强右 (或左)PCS是Morita不变性质,下面的定理说明了这一点:定理 4.2 设 R是环,则 R是强右 PCS-环当且仅当 M2(R)是强右 PCS-环.因此强右PCS-性质是Morita不变性质.证明假设M2(R)是强右PCS-环,a∈R,则存在使得直接计算可以证明a11∈Sl(R),且因此R是强右PCS-环.反之,假设 R是强右 PCS-环,则存在幂等元eij∈Sl(R)使得rR(bijR)≤eeijR,对所有的i,j∈{1,2}.令 e=e11e12e21e22,则e2=e∈Sl(R),且现在证明因而M2(R)是强右PCS-环.容易看出余下的与定理 4.1的证明类似.可以把结果推广到n≥3的情形,因此强右 PCS性质是Morita不变性质.考虑形式三角矩阵环的PCS-性质.设R是环,I是R的右理想.设M 是左R-模,令设N 是右R-模,令定理 4.3 设A,B是环,AMB是左A右B双模.设是由A,B,M 构造的形式三角矩阵环.则下列命题等价:1.R是右PCS-环;2.(i)A和 B都是右 PCS-环;(ii)如果rA(aA)≤eeAA,a∈A,则作为右 B-模,rM(aA)≤eeAAM.证明假设R是右PCS-环.设a∈A,则存在幂等元使得显然有同样容易证明rA(aA)≤eeAA,且A是右PCS-环.同理可证B是右PCS-环. 对任意0≠eAm∈eAAM,则则存在使得则且作为右 B-模,rM(aA)≤eeAAM.反之,设因为A和B都是右PCS-环,存在使得设则现在证明rR(rR)≤eeRR.对任意有对任意成立.则选取 m1=0M,b1=0B,有则存在n∈M 使得m=eAn,因而s∈eRR.于是rR(rR)≤eRR.对任意从下面三种情形证明rR(rR)≤eeRR.情形 1 如果eAa1≠0,则存在a2∈A 使得则情形 2 如果eBb1≠0,这与情形1类似.情形 3 如果eAm≠0,因为作为右 B-模,rM(aA)≤eeAAM 存在b2∈B,使得且rR(rR)≤eeRR.因此 R是右PCS-环.参考文献[1]Goodearl K R.Ring Theory[M].New York:Marcel Dekker,1976.[2]Kaplansky I.Rings of Operators[M].New York:Benjamin,1965.[3]Clark W E.Twisted martix units semigroup algebras[J].DukeMath.J.,1967,34:417-424.[4]Birkenmeier G F,Kim J Y,Park J K.Principally quasi-Baerrings[J]Comm.Alg.,2001,29(2):639-660.[5]Nicholson W K,Yousif M F.Weakly continuous and C2-rings[J].Comm.Alg.,2001,29(6):2429-2446.[6]Hong C Y,Kim N K,Kwak T K.Ore extensions of Baer and p.p-rings[J].J.Pure and Appl.Alg.,2000,151:215-226.[7]Pollingher A.Zaks A.On Baer and quasi-Baer rings[J].DukeMath.J.,1970,37:127-138.[8]Lam T Y.Lectures on Modules and Rings(GTM189)[M].NewYork:Springer,1998.[9]Shock R C.Polynomial rings over finite dimensionalrings[J].Pacific.J.Math.,1972,42(1):251-257.[10]Birkenmeier G F,Kim J Y,Park J K.A sheaf representation of quasi-Baer rings[J].J.Pure and Appl.Alg.,2000,146:209-223.[11]Nam Kyun Kim.Armendariz rings and reducedrings[J].J.Alg.,2000,223:477-488.[12]Anderson D D,Camillo V.Armendariz rings and Gaussian rings[J].Comm.Alg.,1998,26(7):2265-2272.。

第61卷 第5期吉林大学学报(理学版)V o l .61 N o .52023年9月J o u r n a l o f J i l i nU n i v e r s i t y (S c i e n c eE d i t i o n )S e p2023d o i :10.13413/j .c n k i .jd x b l x b .2022470形式三角矩阵环上的F -G o re n s t e i n 平坦模刘亚楠,杨 刚(兰州交通大学数理学院,兰州730070)摘要:设T =A 0æèçöø÷U B 是形式三角矩阵环,其中A ,B 是环,U 是(B ,A )-双模.利用H o m 函子和伴随同构等理论,刻画形式三角矩阵环T 上的F -G o r e n s t e i n 平坦模结构,并证明若B U 的平坦维数有限,U A 的平坦维数有限且对任意的余挠左A -模C ,有U 췍A C 是余挠左B -模,则左T -模M 1M æèçöø÷2φM 是F -G o r e n s t e i n 平坦模当且仅当M 1是F -G o r e n s t e i n 平坦左A -模,C o k e r φM是F -G o r e n s t e i n 平坦左B -模,且φM :U 췍A M 1ңM 2是单射.关键词:平坦模;余挠模;形式三角矩阵环;F -G o r e n s t e i n 平坦模中图分类号:O 154.2 文献标志码:A 文章编号:1671-5489(2023)05-1029-08F -G o r e n s t e i nF l a tM o d u l e s o v e rF o r m a lT r i a n g u l a rM a t r i xR i n gs L I U Y a n a n ,Y A N G G a n g(S c h o o l o f M a t h e m a t i c s a n dP h y s i c s ,L a n z h o u J i a o t o n g U n i v e r s i t y ,L a n z h o u 730070,C h i n a )A b s t r a c t :L e t T =A 0æèçöø÷U B b ea f o r m a l t r i a n g u l a rm a t r i xr i n g ,w h e r e A a n d B a r er i n gsa n d U i sa (B ,A )-b i m o d u l e .U s i n g H o mf u n c t o r s a n d a d j o i n t i s o m o r p h i s mt h e o r y,w ed e s c r i b e t h e s t r u c t u r eo f t h eF -G o r e n s t e i n f l a tm o d u l e s o v e r f o r m a l t r i a n g u l a rm a t r i x r i n g T a n d p r o v e t h a t i f B U h a s f i n i t e f l a t d i m e n s i o n ,U A h a s f i n i t e f l a t d i m e n s i o na n d U 췍A C i s a c o t o r s i o n l e f t B -m o d u l e f o r a n y c o t o r s i o n l e f t A -m o d u l e C ,t h e na l e f t T -m o d u l e M 1M æèçöø÷2φMi sF -G o r e n s t e i n f l a t i f a n do n l y i f M 1i sF -G o r e n s t e i n f l a t l e f t A -m o d u l e ,C o k e r φM i s F -G o r e n s t e i n f l a t l e f t B -m o d u l e ,a n d φM:U 췍A M 1ңM 2i s am o n o m o r p h i s m.K e yw o r d s :f l a tm o d u l e ;c o t o r s i o nm o d u l e ;f o r m a l t r i a n g u l a rm a t r i x r i n g ;F -G o r e n s t e i n f l a tm o d u l e 收稿日期:2022-11-29.第一作者简介:刘亚楠(1995 ),女,汉族,硕士研究生,从事同调理论的研究,E -m a i l :992203766@q q .c o m.通信作者简介:杨 刚(1980 ),男,汉族,博士,教授,从事同调理论的研究,E -m a i l :y a n g g a n g @m a i l .l z jt u .c n .基金项目:国家自然科学基金(批准号:12161049)和甘肃省自然科学基金(批准号:21J R 7R A 295).1 引言及预备知识令A ,B 是环,U 是(B ,A )-双模,则T =A 0æèçöø÷U B 关于矩阵乘法和加法运算构成形式三角矩阵环.形式三角矩阵环在环理论和代数表示理论中具有重要作用,目前已得到广泛关注.M a o [1]研究了形式三角矩阵环上的G o r e n s t e i n 平坦模;W u [2]研究了形式三角矩阵环上的G o r e n s t e i n 平坦余挠模;A s a d o l l a h i 等[3]引入了F -G o r e n s t e i n 平坦模的定义.受上述研究工作的启发,本文刻画形式三角矩阵环上的F -G o r e n s t e i n 平坦模.本文用H 表示所有的F -G o r e n s t e i n 平坦模构成的的类,用F 表示所有平坦模构成的类,用F G fd R (M )表示M 的F -G o re n s t e i n 平坦维数,用f d R (M )表示M 的平坦维数.所有环均为有单位元的非零结合环.对于环R ,R -M o d 表示左R -模范畴,M o d -R 表示右R -模范畴.由文献[4]中定理1.5知,左T -模范畴T -M o d 等价于范畴Ω.范畴Ω的对象是三元组M =M 1M æèçöø÷2φM,其中M 1ɪA -M o d ,M 2ɪB -M o d ,φM:U 췍A M ң1M 2是B-态射.Ω中对象M 1M æèçöø÷2φM到N 1N æèçöø÷2φN 是T -态射f1fæèçöø÷2,其中f 1ɪH o m A (M 1,N 1),f2ɪH o m B (M 2,N 2),并使得下图可交换:左T -模的序列0ңM ᶄ1M ᶄæèçöø÷2φM ᶄңM 1M æèçöø÷2φM ңM ᵡ1M ᵡæèçöø÷2φM ᵡң0正合当且仅当序列0ңM ᶄ1ңM 1ңM ᵡ1ң0和0ңM ᶄ2ңM 2ңM ᵡ2ң0正合.T -M o d 和A -M o d ˑB -M o d 之间存在以下函子:1)p:A -M o d ˑB -M o d ңT -M o d ,对任意的对象(N 1,N 2)ɪA -M o d ˑB -M o d ,令p(N 1,N 2)=N 1(U 췍A N 1)췍N æèçöø÷2,对任意态射(f 1,f2)ɪA -M o d ˑB -M o d ,令p(f 1,f 2)=f 1(1U 췍A f 1)췍fæèçöø÷2; 2)q :T -M o d ңA -M o d ˑB -M o d ,对任意的对象N 1N æèçöø÷2ɪT -M o d ,令q N 1N æèçöø÷2=(N 1,N 2),对任意态射f 1f æèçöø÷2ɪT -M o d ,令q f1fæèçöø÷2=(f 1,f 2).易见(p ,q)是伴随对.定义1[5] 若对任意的平坦余挠模W ,函子H o m R (-,W )作用序列F ㊃仍得到正合序列,则F ㊃: ңF -1ңF 0ңF 1ңF 2ң 称为F -完全正合复形,其中每个F i都是平坦模.若存在F -完全正合复形F ㊃,使得M ≅K e r (F 0ңF 1),则称左R -模M 是F -G o r e n s t e i n 平坦模.引理1[6] F =F 1F æèçöø÷2φF 是平坦左T -模当且仅当F 1是平坦左A -模,C o k e r φF 是平坦左B -模,且φF 是单射.引理2[7] C =C 1C æèçöø÷2φC是余挠左T -模当且仅当C 1是余挠左A -模,C 2是余挠左B-模.引理3 设M 是R -模且n 是整数.若F G fd R M <ɕ,则下列叙述等价:1)F G fd R M ɤn ;2)对任意的i >n ,有E x t i R (M ,W )=0,其中W 是任意平坦余挠模;3)对任意的i >n ,有E x t i R (M ,L )=0,其中L 是任意平坦维数有限的余挠模;4)对任意的正合列:0301 吉林大学学报(理学版) 第61卷0ңK n ңG n -1ң ңG 0ңM ң0,其中G i ɪH,有K n ɪH .证明参见文献[3]中定理4.5.2 主要结果下面给出形式三角矩阵环上的F -G o r e n s t e i n 平坦模的结构刻画.定理1 设M =M 1M æèçöø÷2φM 是左T -模.若B U 的平坦维数有限,U A 的平坦维数有限且对任意的余挠左A -模C ,有U 췍A C 是余挠左B -模,则M 是F -G o r e n s t e i n 平坦左T -模当且仅当下列条件成立:1)M 1是F -G o r e n s t e i n 平坦左A -模;2)C o k e r φM是F-G o r e n s t e i n 平坦左B -模;3)φM是单射.在这种情况下,U 췍A M 1是F -G o r e n s t e i n 平坦模当且仅当M 2是F -G o r e n s t e i n 平坦模.证明:必要性.M 是F -G o r e n s t e i n 平坦左T -模,由定义1知,存在平坦左T -模的正合列:A ㊃: ңA -11A -1æèçöø÷2φ-1∂-11∂-1æèçöø÷ң2A 01A æèçöø÷02φ0∂01∂()ң02A 11A æèçöø÷12φ1∂11∂()ң12A 21A æèçöø÷22φ2ң ,使得M ≅K e r ∂01∂æèççöø÷÷02,且对任意平坦余挠左T -模W =W 1W æèçöø÷2φW ,复形H o m T (A ㊃,W )正合.首先,证明M 1是F -G o r e n s t e i n 平坦左A -模.由A ㊃诱导的平坦左A -模的正合列为A ㊃1: ңA-11∂-1ң1A1∂ң01A11∂ң11A 21ң ,使得M 1≅K e r (∂01).对于任意的平坦余挠左A -模D ,由假设及引理1和引理2可知,D U 췍A æèçöø÷D 是平坦余挠左T -模,则存在左T -模的正合序列0ң0U 췍A æèçöø÷D ңD U 췍A æèçöø÷D ңD æèçöø÷0ң0.由于B U 的平坦维数有限,因此可假设f d (BU )=m <ɕ.由文献[8]知,对于任意的右B -模X ,有T o r B m +1(X ,U )췍D ≅T o r Bm +1(X ,U 췍A D )=0,故U 췍A D 平坦维数有限,则0U 췍A æèçöø÷D 是平坦维数有限的余挠左T -模.从而在上述正合列中D æèçöø÷0是平坦维数有限的余挠模,进而由引理3可知,E x t i ȡ1TM 1M æèçöø÷2φM ,D æèçöø÷0æèçöø÷0=0.进一步,由定义1可知H o m T A ㊃,D æèçöø÷æèçöø÷0正合.注意到有同构式H o m T A ㊃,D æèçöø÷æèçöø÷0≅H o m A (A ㊃1,D ),则H o m A (A ㊃1,D )正合.故M 1是F -G o r e n s t e i n 平坦左A -模.其次,证明φM 是单射.令τ1:M 1ңA 01,τ2:M 2ңA 02是嵌入映射.考虑下列B-M o d 中的交换图:1301 第5期刘亚楠,等:形式三角矩阵环上的F -G o r e n s t e i n 平坦模因为U A 的平坦维数有限,故由文献[7]中引理2.3可知,U 췍A A ㊃1正合,从而1췍τ1是单射.又由引理1可知φ0是单射.进一步,由上图可交换知φM 是单射.最后,证明C o k e r φM是F-G o r e n s t e i n 平坦左B -模.考虑下列行正合的交换图:因为第一列和第二列正合,所以第三列正合.在上图第0个位置取核,得到正合列:0ңU 췍A M 1φңMM 2ңC o k e r φMң0.(1)对任意的平坦余挠左B -模H ,由引理1和引理2可知,0æèçöø÷H 0是平坦余挠左T -模.对正合序列(1)作用函子H o m B (-,H ),得到正合列:0ңH o m B (C o k e r φM,H )ңH o m B (M 2,H )ңH o m B (U 췍A M 1,H ).注意到H o m B (C o k e r φM,H )≅K e r (H o m B (M 2,H )ңH o m B (U 췍A M 1,H ))≅H o m T M 1M æèçöø÷2φM ,0æèçöø÷H æèçöø÷0.同理,对任意的i ɪℤ,有H o m B (C o k e r φi,H )≅H o m T A i 1A iæèçöø÷2φM ,0æèçöø÷H æèçöø÷0.因此序列ңC o k e r φ-1ңC o k e r φ0ңC o k e r φ1ңC o k e r φ2ң函子H o m B (-,H )作用正合.进一步,由定义1可知,C o k e r φM是F-G o r e n s t e i n 平坦左B -模.充分性.由φM 是单射可知,存在左T -模的正合列:0ңM 1U 췍A M æèçöø÷1ңM 1M æèçöø÷2ң0C o k e r φæèçöø÷Mң0.(2) 首先,证明M 1U 췍A M æèçöø÷1是F -G o r e n s t e i n 平坦左T -模.由M 1是F -G o r e n s t e i n 平坦左A -模可知,存在平坦左A -模的正合列:Y ㊃1: ңY-1∂-ң1Y 0∂ң0Y 1∂ң1Y 2ң ,使得M 1≅K e r (∂0),且对任意的平坦余挠模Q ,复形H o m A (Y ㊃1,Q )正合.因为U A 的平坦维数有限,由文献[7]中引理2.3可知,U 췍A Y ㊃1正合,故存在平坦左T-模的正合列:Y ㊃: ңY -1U 췍A Y -æèçöø÷1φ-1∂-11췍∂-()ң1Y 0U 췍A Y æèçöø÷0φ0∂01췍∂()ң0Y 11U 췍A Y æèçöø÷12φ1ң ,2301 吉林大学学报(理学版) 第61卷使得M 1U 췍A M æèçöø÷1≅K e r ∂01췍∂æèçöø÷0.对任意的平坦余挠左T -模W =W 1W æèçöø÷2φW ,显然W 1是平坦余挠左A -模.由(p ,q)的伴随性可知,H o m T M 1U 췍A M æèçöø÷1,W 1W æèçöø÷æèçöø÷2≅H o m A (M 1,W 1),且对任意的i ȡ0,有H o m T Y i U 췍A Y æèçöø÷i ,W 1W æèçöø÷æèçöø÷2≅H o m A (Y i ,W 1).由文献[9]中引理3.2可知,E x t i ȡ1TM 1U 췍A M æèçöø÷1,W 1W æèçöø÷æèçöø÷2≅E x t i ȡ1T (M 1,W 1)=0.于是由定义1易得H o m T (Y ㊃,W )≅H o m A (Y ㊃1,W 1)正合.因此,M 1U 췍A M æèçöø÷1是F -G o r e n s t e i n 平坦左T -模.其次,证明0C o k e r φæèçöø÷M是F -G o r e n s t e i n 平坦左T -模.由C o k e r φM是F -G o r e n s t e i n 平坦左B -模及定义1可知,对任意的平坦余挠模L ,存在H o m B (-,L )-正合的平坦模的正合列:Z ㊃1: ңZ -1d -ң1Z 01d ң0Z 11dң1Z 21ң ,使得C o k e r φM ≅Ke r (d 0).考虑由Z ㊃1诱导的平坦左T -模的正合列p (0,Z ㊃1):Z ㊃: ң0Z -æèçöø÷10d -()ң10Z æèçöø÷0d ()ң00Z æèçöø÷1d ()ң10Z æèçöø÷2ң ,使得0C o k e r φæèçöø÷M ≅K e r 0d æèçöø÷0.对任意的平坦余挠左T -模W =W 1W æèçöø÷2φW ,由φW是单射可知,存在左B -模的正合列:0ңU 췍A W 1φңWW 2ңC o k e r φWң0.由上述证明可知,左B -模U 췍A W 1的平坦维数有限,又因为C o k e r φW是平坦左B -模,因此左B -模W 2平坦维数有限.由(p ,q )的伴随性可知,H o m T 0C o k e r φæèçöø÷M,W 1W æèçöø÷æèçöø÷2≅H o m A (C o k e r φM,W 2),且对任意的i ȡ0,有H o m T 0Z æèçöø÷i ,W 1W æèçöø÷æèçöø÷2≅H o m A (Z i,W 2).由于W 2是平坦维数有限的余挠左B -模,由文献[9]中引理3.2和引理3知,E x t i ȡ1T 0C o k e r φæèçöø÷M,W 1W æèçöø÷æèçöø÷2≅E x t i ȡ1T (C o k e r φM,W 2)=0,由定义1易得H o m T (Z ㊃,W )≅H o m A (Z ㊃1,W 2)正合,故0C o k e r φæèçöø÷M是F -G o r e n s t e i n 平坦左T -模.由文献[5]中命题3.7知,H 是投射可解类,在正合序列(2)中,M 1U 췍A M æèçöø÷1和0C o k e r φæèçöø÷M是F -G o r e n s t e i n 平坦左T -模,故M 1M æèçöø÷2φM是F -G o r e n s t e i n 平坦左T -模.最后,在上述情形下,在左B -模的正合列0ңU 췍A M 1φңMM 2ңC o k e r φMң03301 第5期刘亚楠,等:形式三角矩阵环上的F -G o r e n s t e i n 平坦模中,C o k e r φM是F-G o r e n s t e i n 平坦左B -模.由文献[5]中命题3.7知,H 是投射可解类,故U 췍A M 1是F -G o r e n s t e i n 平坦模当且仅当M 2是F -G o r e n s t e i n 平坦模.定理2 设B 是左凝聚环.若B U 是内射模,U A 是平坦模,则对任意的左A -模X ,U 췍A X 是余挠左B -模.证明:对任意的左A -模X ,取X 的平坦分解:ңF 2ңF 1ңF 0ңX ң0.因为U A 是平坦模,所以有正合列:ңU 췍A F 2ңU 췍A F 1ңU 췍A F 0ңU 췍A X ң0.又B U 是内射模,故由文献[10]中定理3.2.16知,U 췍A F i 是内射左B -模.取U 췍A X 的内射分解:0ңU 췍A X ңIңαI 1ң ,则有下列余挠模的正合复形:ңU 췍A F 1ңU 췍A F 0ңI 0ңαI 1ң ,使得U 췍A X =K e r α.从而由文献[6]引理1.1可知U 췍A X 是余挠左B -模.证毕.与定理1证明方法相同,可得如下推论.推论1 设B 是左凝聚环,M =M 1M æèçöø÷2φM是左T -模.若B U 是内射模,U A 是平坦模,则M 是F -G o r e n s t e i n 平坦左T -模当且仅当下列条件成立:1)M 1是F -G o r e n s t e i n 平坦左A -模;2)C o k e r φM 是F -G o r e n s t e i n 平坦左B -模;3)φM 是单射.此时,U 췍A M 1是F -G o r e n s t e i n 平坦模当且仅当M 2是F -G o r e n s t e i n 平坦模.推论2 设R 是环,T (R )=R 0æèçöø÷R R ,M =M 1M æèçöø÷2φM是左T -模,φM:M 1ңM 2,则下列叙述等价:1)M 是F -G o r e n s t e i n 平坦左T 模;2)M 1是F -G o r e n s t e i n 平坦左R -模,C o k e r φM 是F-G o r e n s t e i n 平坦左R -模,且φM 是单射;3)M 2是F -G o r e n s t e i n 平坦左R -模,C o k e r φM是F-G o r e n s t e i n 平坦左R -模,且φM 是单射.3 应 用设T n (R )=R0R R 0︙︙⋱︙RRæèççççöø÷÷÷÷R 是环R 上的n 阶下三角矩阵环,n ȡ2.Q =R R ︙æèççççöø÷÷÷÷R (n -1)ˑ1是(T n -1(R ),R )-双模,则T n (R )=R 0Q T n -1(R æèçöø÷).定义范畴W ,W 中的对象是X 1X 2︙X æèçççççöø÷÷÷÷÷n (ϕi),其中每个X i ɪR -M o d ,且对任意的1ɤi ɤn -1,ϕi :X i ңX i +1是R -态射.范畴W 的对象X 1X 2︙X æèçççççöø÷÷÷÷÷n (ϕi )到Y 1Y 2︙Y æèçççççöø÷÷÷÷÷n (θi )的态射为f1f2︙fæèçççççöø÷÷÷÷÷n ,其中每个f i :X i ңY i (1ɤi ɤn )是R -态射,并且使得下图可交换:4301 吉林大学学报(理学版) 第61卷由文献[11]有范畴同构T n (R )-M o d ≅W .定理3 设T n (R )是环R 上的n 阶下三角矩阵环,则M =M 1M 2︙M æèçççççöø÷÷÷÷÷n (φi)是F -G o r e n s t e i n 平坦左T n (R )-模当且仅当如下结论成立:1)对任意的1ɤi ɤn ,M i 是F -G o r e n s t e i n 平坦左R -模;2)对任意的1ɤi ɤn -1,C o k e r φi 是F -G o r e n s t e i n 平坦左R -模;3)对任意的1ɤi ɤn -1,φi :M i ңM i +1是单射.证明:当n =2时,由推论2可知结论成立.假设n >2,并且结论对n -1成立,下证结论对n 成立.令T n (R )=R 0Q T n -1(R æèçöø÷),其中T n -1(R )是(n -1)阶下三角矩阵环,Q =R R︙æèççççöø÷÷÷÷R (n -1)ˑ1是(T n -1(R ),R )-双模.显然Q 既是投射左T n -1(R )-模,也是投射右R -模.令M =M 1æèçöø÷M ᶄφ,其中M ᶄ=M 2︙M æèçççöø÷÷÷n (φi)是左T n -1(R )-模.设M =M 1æèçöø÷M ᶄφ是F -G o r e n s t e i n 平坦左T n (R )-模,则由文献[12]中引理1.3知,M 1是F -G o r e n s t e i n 平坦左R -模,序列0ңQ 췍R M 1=M 1M 1︙M æèçççççöø÷÷÷÷÷1ңφM ᶄ=M 2M 3︙M æèçççççöø÷÷÷÷÷n (φi )ңC o k e r (φ)=C o k e r φ1C o k e r (φ2φ1)︙C o k e r (φn -1 φ1æèçççççöø÷÷÷÷÷)(ϕi)ң0(3)正合,且C o k e r (φ)是F -G o r e n s t e i n 平坦左T n -1(R )-模.显然φ1是单射.由于M 1是F -G o r e n s t e i n 平坦左R -模,应用归纳假设可知,Q 췍R M 1=M 1M 1︙M æèçççççöø÷÷÷÷÷1是F -G o r e n s t e i n 平坦左T n -1(R )-模,因此由F -G o r e n s t e i n 平坦模类关于扩张封闭可知,M ᶄ=M 2M 3︙M æèçççççöø÷÷÷÷÷n (φi)是F -G o r e n s t e i n 平坦左T n -1(R )-模.从而由归纳假设可知,对任意的2ɤi ɤn ,M i 是F -G o r e n s t e i n 平坦左R -模,C o k e r φi 是F -G o r e n s t e i n 平坦左R -模,且φi :M i ңM i +1是单射.反之,若对任意的1ɤi ɤn ,M i 是F -G o r e n s t e i n 平坦左R -模,C o k e r φi 是F-G o r e n s t e i n 平坦左5301 第5期刘亚楠,等:形式三角矩阵环上的F -G o r e n s t e i n 平坦模R-模,且φi:M iңM i+1是单射.则由归纳假设可知,Mᶄ=M2︙Mæèçççöø÷÷÷n(φi)是F-G o r e n s t e i n平坦左T n-1(R)-模.显然φ=φ1φ2φ1︙φn-1 φæèçççççöø÷÷÷÷÷1:Q췍R M1ңMᶄ是单射,因此有正合序列(3).并且对任意的1ɤiɤn-2,显然C o k e rϕi≅C o k e rφi+1是F-G o r e n s t e i n平坦左R-模,其中ϕi:C o k e r(φi φ1)ңC o k e r(φi+1 φ1).注意到每个ϕi是单射,进一步可得每个R-模C o k e r(φi+1 φ1)是F-G o r e n s t e i n平坦模.由归纳假设可知,C o k e rφ是F-G o r e n s t e i n平坦左T n-1(R)-模.综上可得M是F-G o r e n s t e i n平坦左T n(R)-模.证毕.参考文献[1] MA O LX.G o r e n s t e i nF l a tM o d u l e s a n dD i m e n s i o n so v e rF o r m a lT r i a n g u l a rM a t r i xR i n g s[J].J o u r n a l o fP u r ea n dA p p l i e dA l g eb r a,2020,224(4):106207-1-106207-10.[2] WU DJ.G o r e n s t e i nF l a t-C o r t o r s i o n M o d u l e so v e rF o r m a lT r i a n g u l a r M a t r i xR i n g s[J].B u l l e t i no f t h eK o r e a nM a t h e m a t i c a l S o c i e t y,2011,58(6):1483-1494.[3] A S A D O L L A H I J,S A L A R I A NS.C o h o m o l o g y T h e o r i e sB a s e do nF l a t s[J].J o u r n a l o fA l g e b r a,2012,353(1):93-120.[4] G R E E N EL.O n t h eR e p r e s e n t a t i o nT h e o r y o fR i n g s i nM a t r i xF o r m[J].P a c i f i c J o u r n a l o fM a t h e m a t i c s,1982,100(1):123-138.[5] HUJS,X U A M.O n S t a b i l i t y o fF-G o r e n s t e i n F l a tC a t e g o r i e s[J].A l g e b r a C o l l o q u i u m,2016,23(2):251-262.[6] C H R I S T E N S E NL W,E S T R A D AS,L I A N GL,e t a l.A R e f i n e m e n t o fG o r e n s t e i nF l a tD i m e n s i o nv i a t h eF l a t-C o t o r s i o nT h e o r y[J].J o u r n a l o fA l g e b r a,2021,567:346-370.[7] E N O C H SE E,C O R TÉS-I Z U R D I A G A M,T O R R E C I L L A SB.G o r e n s t e i nC o n d i t i o n so v e rT r i a n g u l a r M a t r i xR i n g s[J].J o u r n a l o fP u r e a n dA p p l i e dA l g e b r a,2014,218(8):1544-1554.[8] C H R I S T E N S E NL W,F O X B Y H B,HO L M H.D e r i v e dC a t e g o r y M e t h o d s i nC o mm u t a t i v eA l g e b r a[M/O L].(2012-02-24)[2022-11-19]:340.h t t p s://w w w.m a t h.t t u.e d u/~l c h r i s t e/d o w n l o a d/D C M C A-15.p d f.[9] MA OLX.C o t o r s i o nP a i r s a n dA p p r o x i m a t i o nC l a s s e s o v e r F o r m a l T r i a n g u l a rM a t r i xR i n g s[J].J o u r n a l o f P u r ea n dA p p l i e dA l g eb r a,2020,224(6):106271-1-106271-21.[10] E N O C H SE E,J E N D A O M G.R e l a t i v e H o m o l o g i c a l A l g e b r a[M].B e r l i n:W a l t e rd e G r u y t e r&C o.,2000:83.[11] X I O N GBL,Z HA N GP.G o r e n s t e i n-P r o j e c t i v e M o d u l e so v e rT r i a n g u l a rM a t r i xA r t i nA l g e b r a s[J].J o u r n a l o fA l g e b r a a n d I t sA p p l i c a t i o n s,2012,11(4):1250066-1-1250066-14.[12] Z HA N GP.M o n o m o r p h i s m C a t e g o r i e s,C o t i l t i n g T h e o r y,a n d G o r e n s t e i n-P r o j e c t i v e M o d u l e s[J].J o u r n a lo fA l g e b r a,2011,339(1):181-202.(责任编辑:赵立芹) 6301吉林大学学报(理学版)第61卷。