贵州省遵义市高三数学上学期第四次月考试题 理

y x127π3πO11-遵义四中2021～2021学年度高三第四次月考数 学 试 题〔理〕本试卷总分值150分 考试时间120分钟一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1．2012201311i i +=-〔 〕 〔A 〕1i -- 〔B 〕1i -+ 〔C 〕 1i - 〔D 〕 1i +2．如以以下列图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 上的任意一点，假设在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，那么点Q 取自△ABE 内部的概率等于〔 〕 〔A 〕14 〔B 〕13 〔C 〕12 〔D 〕233. 20.34log 4,log 3,0.3a b c -===，那么〔 〕〔A 〕a c b << 〔B 〕c b a << 〔C 〕a b c << 〔D 〕b a c <<4．过点(1,3)P 且在x 轴上的截距和在y 轴上的截距相等的直线方程为〔 〕 〔A 〕40x y +-= 〔B 〕30x y -=〔C 〕40x y +-=或30x y += 〔D 〕40x y +-=或30x y -=5. 某几何体的三视图如右图所示，那么它的体积是〔 〕〔A 〕283π- 〔B 〕83π- 〔C 〕82π- 〔D 〕23π6．()82x -展开式中不含．．4x 项的系数的和为〔 〕〔A 〕-1 〔B 〕0 〔C 〕1 〔D 〕27. 向量(2,1)a =，(1,)b k =，且a 与b 的夹角为锐角，那么实数k 的取值范围是〔 〕〔A 〕()2,-+∞〔B 〕11(2,)(,)22-+∞ 〔C 〕(,2)-∞- 〔D 〕(2,2)- 8. 函数()sin()f x A x ωϕ=+〔其中π0,2A ϕ><〕的局部图象如右图所示，为了得到x x g 2sin )(=的图象，那么只需 将()f x 的图象〔 〕 〔A 〕向右平移π6个长度单位 〔B 〕向右平移π12个长度单位〔C 〕向左平移π6个长度单位 〔D 〕向左平移π12个长度单位 9.过点(2,2)P -且与曲线33y x x =-相切的直线方程是〔 〕〔A 〕916y x =-+ 〔B 〕920y x =- 〔C 〕2y =- 〔D 〕916y x =-+或2y =- 10. 以下命题：①在ABC ∆中，假设B A >，那么B A sin sin >；②)1,2(),4,3(--==CD AB ，那么AB 在CD 上的投影为2-；③1cos ,:=∈∃x R x p ，01,:2>+-∈∀x x R x q ，那么“q p ⌝∧〞为假命题；④函数2)6sin()(-π+ω=x x f )0(>ω的导函数的最大值为3，那么函数)(x f 的图象关于3π=x 对称．其中真命题的个数为〔 〕〔A 〕1 〔B 〕2 〔C 〕3 〔D 〕411. 设圆锥曲线C 的两个焦点分别为1F 、2F ，假设曲线C 上存在点P 满足1PF ：12F F ：2PF =4：3：2，那么曲线C 的离心率等于〔 〕 〔A 〕2332或〔B 〕223或〔C 〕122或〔D 〕1322或12.对于三次函数32()f x ax bx cx d =+++〔0a ≠〕，定义：设()f x ''是函数()y f x ='的导数，假设方程()0f x ''=有实数解x 0，那么称点〔x 0，f 〔x 0〕〕为函数()y f x =的“拐点〞．有同学发现:“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．〞请你将 这一发现为条件，假设函数321151()3132122g x x x x x =-+-+-，那么12342010()()()()()20112011201120112011g g g g g +++++=〔 〕〔A 〕2021 〔B 〕2011 〔C 〕2021 〔D 〕2021二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上〔本大题共4小题，每题5分，共20分〕13.执行右侧的程序框图,输出的结果S 的值为 ． 14. α、(0,)βπ∈，且1tan()2αβ-=，1tan 7β=-，OBA DC 2αβ-= ．15．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且936S =-,13104S =-，等比数列{}n b 中，55b a =，77b a =，那么6b = ．16．如右图, 设A 、B 、C 、D 为球O 上四点，假设AB 、AC 、AD 两两互相垂直，且6AB AC ==，2AD =，那么A 、D 两点间的球面距离 ．三、解答题：共6小题，共70分，解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．〔总分值12分〕设数列{}n a 的前n 项和为n S .11a =，131n n a S +=+，n *∈N ．〔Ⅰ〕求数列{}n a 的通项公式；〔Ⅱ〕记n T 为数列{}n na 的前n 项和，求n T ．18．〔总分值12分〕以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示．〔Ⅰ〕如果8X =,求乙组同学植树棵树的平均数和方差；〔Ⅱ〕如果9X =，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这 两名同学的植树总棵树Y 的分布列和数学期望．19.〔总分值12分〕如右图，在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1=AB ，D 是AC 的中点．〔Ⅰ〕求证：B 1C//平面A 1BD ；〔Ⅰ〕求二面角A —A 1B —D 的余弦值．20．〔总分值12分〕椭圆22221y x a b +=(0)a b >>的一个顶点为B (0,4)，离心率e =5直线l 交椭圆于M 、N 两点．〔Ⅰ〕假设直线l 的方程为4y x =-，求弦MN 的长；〔II 〕如果ΔBMN 的重心恰好为椭圆的右焦点F ，求直线l 的方程． 21．〔总分值12分〕设函数()()2()2ln 11f x x x =---．〔Ⅰ〕求函数)(x f 的单调递增区间；〔II 〕假设关于x 的方程()230f x x x a +--=在区间[]2,4内恰有两个相异的实根，求实数a 的取值范围．选做题：请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 22．〔总分值10分〕《选修4—1：几何证明选讲》如以以下列图，AB 、CD 是圆的两条平行弦，BE //AC ，BE 交CD 于E 、交圆于F ，过A 点的切线交DC 的延长线于P ，PC =ED =1，PA =2． 〔I 〕求AC 的长； 〔II 〕求证：BE ＝EF ．23．〔总分值10分〕《选修4-4：坐标系与参数方程》在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2(1x tt y t =+⎧⎨=+⎩为参数〕，以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系下，曲线P 的方程为24cos 30p p θ-+=． 〔Ⅰ〕求曲线C 的普通方程和曲线P 的直角坐标方程；〔Ⅱ〕设曲线C 和曲线P 的交点为A 、B ，求||AB ． 24．〔总分值10分〕《选修4-5：不等式选讲》函数()|2||5|f x x x =---． 〔I 〕证明：3-≤)(x f ≤3；〔II 〕求不等式)(x f ≥2815x x -+的解集．遵义四中2021～2021学年度高三第四次月考数 学 试 题〔理〕参考答案一、选择题〔每题5分，共60分〕1~5 DCCD A 6~10BBADB 11~12 DA二、填空题〔每题5分，共20分〕 13.； 14. 34π-； 15．42±； 16．23π。

贵州省贵阳市第三实验中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题一、单选题1．已知复数z 为纯虚数，且满足22z z -=，则z =（ ）A ．2i 3±B ．2i 3C ．i -D ．i2．已知集(){}(){}222,|log 1,,|4A x y y x B x y x y ==-=+=，则A B U 的非空真子集个数为（ ）A ．13个B ．14个C ．15个D ．16个3．已知函数()2x f x e x =+在点()()0,0f 处的切线为直线l ，若直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为多少（ ）A ．12B ．1C ．2D ．234．已知一个圆柱形容器的轴截面是边长为4的正方形，往容器内注水后水面高度为32，若再往容器中放入一个半径为34的实心铁球，则此时水面的高度为（ ） A ．52 B ．73 C ．10564 D ．2785．心率是指正常人安静状态下每分钟心跳的次数，也叫安静心率，一般为 60～100 次/分.某生统计了自己的八组心率，如下为：80，76，a ，80，83，81，85，b 平均数为80分且a ，b 是两个相邻的自然数，则这组数据的第75分位数是多少（ ）A ．79B ．80C ．81D ．826．若单位向量,a b r r 满足,120a b 〈〉=︒r r ，向量c r 满足()()c a c b -⊥-r r r r ，则a c b c ⋅+⋅r r r r 的最小值为（ ）A B C D 7．十进制计数法简单易懂，方便人们进行计算.也可以用其他进制表示数，如十进制下，68795÷=⋅⋅⋅；9712÷=⋅⋅⋅；1701÷=⋅⋅⋅将余数从下往上排列起来，所以125就是68这个数的七进制.表示形式216817175=⨯+⨯+就是125，个位数为5，那么用七进制表示十进制的116，其个位数是（ ）A ．6B ．5C ．2D ．1 8．已知双曲线222:1y C x b-=，在双曲线C 上任意一点P 处作双曲线C 的切线（0,0p p x y >>），交C 在第一、四象限的渐近线分别于A 、B 两点．当2OPA S =△时，该双曲线的离心率为（ ）AB ．CD ．9．若实数0a b >>，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．0.30.3a b <B ．lg lg a b >C ．1111a b <-- D二、多选题10．已知非常数函数()f x 的定义域为R ，且()()()()f x f y f xy xy x y =++，则（ ）A ．()00f =B ．()12f =-或()11f =C ．()f x x 是{}0x x x ∈≠R 且上的增函数D ．()f x 是R 上的增函数 11．芯片时常制造在半导体晶元表面上.某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进.部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验.记A 表示事件“某芯片通过智能检测系统筛选”，B 表示事件“某芯片经人工抽检后合格”.改进生产工艺后，这款芯片的某项质量指标ξ服从正态分布()25.40,0.05N ，现从中随机抽取M 个，这M 个芯片中恰有m 个的质量指标ξ位于区间()5.35,5.55，则下列说法正确的是（ ）（参考数据：()0.6826P μσξμσ-<≤-≈，()330.9974P μσξμσ-<≤+≈）A ．()()|PB P B A >B ．()()||P A B P A B >C ．()5.35 5.550.84P ξ<<≈D ．()45P m =取得最大值时，M 的估计值为54三、填空题12．若直线l ：2y x =与圆C ：22230x y x +--=交于A ，B 两点，则AB =.13．已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于点()1,0中心对称，且当1x ≥时，()2f x x a =+，则()0f =.14．已知正方体12345678A A A A A A A A -的棱长为3，取出各棱的两个三等分点，共24个点，对于正方体的每个顶点i A ，设这24个点中与i A 距离最小的三个点为,,i i i P Q R ，从正方体中切去所有四面体1,2,8,,i i i i A PQ R i =L ，得到的几何体的外接球表面积是．四、解答题15．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，ππ22ϕ-<<），函数()f x 和它的导函数f ′ x 的图象如图所示.(1)求函数()f x 的解析式；(2)已知()65f α=，求π212f α⎛⎫- ⎪⎝⎭'的值. 16．已知函数321()3f x x bx cx bc =-+++. (1)若函数()f x 在1x =处有极值43-，求,b c 的值； (2)若函数()()()2g x f x c x b =-+-在[4,)x ∈+∞内单调递减，求b 的取值范围．17．已知四棱锥P ABCD -的底面是一个梯形，//AB DC ，90ABC ∠=︒，4AB BC ==，2CD =，3PA PD ==，PB PC ==(1)证明：平面PAD ⊥平面ABCD ；(2)求二面角C PA D --的余弦值.18．在一场乒乓球赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军.比赛采用“双败淘汰制”，具体赛制为：首先，四人通过抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局获第四名，紧接着，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者晋级最后的决赛，败者获第三名；最后，剩下的两人进行最后的冠军决赛，胜者获得冠军，败者获第二名.甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为()01p p <<，且不同对阵的结果相互独立.(1)若0.6p =，经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁；①求甲获得第四名的概率；②求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望；(2)除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：抽签决定两两对阵，胜者晋级，败者淘汰，直至决出最后的冠军.哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由.19．已知集合{}123,,,...,n E x x x x =，记{}2|E S S E =⊆，{}\|,X Y x x X x Y =∈∉，N 是自然数集∙称函数:2N E h →，若对于任意S E ⊆，()N h S ∈；∙称函数:2N E h →是单调的，若对于任意X Y E ⊆⊆，()()h X h Y ≤；•称函数:2N E h →是次模的．．．，若对于任意X Y E ⊆、,()()()()h X Y h X Y h X h Y +≤+U U 已知函数:2N E f →是次模的．．．． (1)判断f 是否一定是单调的，并说明理由；(2)证明：对于任意X Y E ⊆⊆，\e E Y ∈，{}()(){}()()f X e f X f Y e f Y -≥-U U ；(3)若f 是单调的，k 是正整数，k n ≤，记}{|F S S k S E =⊆恰含有个元素，，已知集合S F*∈满足()(),f S f S S F *≤∀∈．初始集合M =∅，然后小明重复k 次如下操作：在集合\E M 中选取使得{}()f M e U 最小的元素e 加入集合M ，最终得到集合M F *∈．证明：()()f M kf S **≤。

六安一中2025届高三年级第四次月考数学试卷时间：120分钟 满分：150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，下列命题不正确的是（ ）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则2.如图所示，在四棱锥中，底面是正方形，为中点，若，则（ ）A. B.C. D.3.某学校高二年级选择“物化生”，“物化地”和“史地政”组合的同学人数分别为240，90和120.现采用分层抽样的方法选出30位同学进行某项调查研究，则“史地政”组合中选出的同学人数为（ ）A.8B.12C.16D.64.已知数列的首项，则（ ）A.48B.80C.63D.655.已知等差数列满足，前项和为，若，则与最接近的整数是（ ）A.5B.4C.2D.16.已知数列满足，若对于任意都有，则实数的取值范围是（）,αβ,m n m ∥,n m α⊥n α⊥,m m αβ⊥⊥α∥β,m m αβ⊥⊂αβ⊥m ∥,n ααβ⋂=m ∥nP ABCD -ABCD E PD ,,PA a PB b PC c === BE =111222a b c -+ 111222a b c -- 131222a b c -+ 113222a b c -+ {}n a 110,1n n a a a +==++8a ={}n a 131,3a a ==n n S 12111n nT S S S =+⋯+9T {}n a *712,8,2,8n n a n n a n a n -⎧⎛⎫-+>⎪ ⎪=∈⎝⎭⎨⎪≤⎩N *n ∈N 1n n a a +>aA. B. C. D.7.在棱长为2的正方体中，是线段上一个动点，则下列结论正确的有（）A.不存在点使得异面直线与所成角为B.存在点使得异面直线与所成角为C.存在点使得二面角的平面角为D.当时，平面截正方体所得的截面面积为8.已知一圆柱的轴截面为正方形，母线长为，在该圆柱内放置一个棱长为的正四面体，并且正四面体在该圆柱内可以任意转动，则的最大值为（）A.1B.2C.D.4二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法∙商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，，设第层有个球，从上往下层球的总数为，则（ ）A. B.C. D.1,12⎛⎫⎪⎝⎭113,220⎛⎫ ⎪⎝⎭13,120⎛⎫ ⎪⎝⎭31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭1111ABCD A B C D -M 11A C M BM AC 90 M BM AC 30 M M BD C --451114A M AC =BDM 92a a ⋯n n a n n S 34S a =132n n n a a ++-=11n n a a n +-=+1055a =10.在边长为6的菱形中，，现将沿折起到的位置，使得二面角是锐角，则三棱锥的外接球的表面积可以是（ ）A.B.C.D.11.对于棱长为1（单位：）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计），下列说法正确的是（ ）A.底面半径为高为的圆锥形罩子（无底面）能够罩住水平放置的该正方体B.C.该正方体内能同时整体放入两个底面半径为高为的圆锥D.的圆锥三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知一组数据的平均数是1，则这组数据的中位数为__________.13.已知四棱锥平面，底面是为直角，的直角梯形，如图所示，且为的中点，则到直线的距离为__________.14.若在长方体中，.则四面体与四面体公共部分的体积为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）设三角形的内角的对边分别为且.（1）求角的大小；（2）若，求三角形的周长.16.（本小题满分15分）已知无穷等比数列的前项和为（1）求的值；ABCD π3A ∠=ABD V BD PBD V P BD C --P BCD -58π45π48π55πm 1m,1m 0.5m,0.8m 31,2,0,1,,1x -,A EBCD AE -⊥BCDE EBCD E ∠EB ∥DC 224,CD EB AE DE ====F AD F BC 1111ABCD A B C D -13,2,4AB BC AA ===11ABB C 11AC BD ABC A B C ､､a b c ､､()2sin 2AB C +=A 3,b BC =ABC {}n a n 3nn S b=+1,b a（2）设，求数列的前项和.17.（本小题满分15分）如图所示，在三棱柱中，平面，点是的中点（1）证明：；（2）求与平面所成角的正弦值.18.（本小题满分17分）如图1，在等腰梯形中，，点在以为直径的半圆上，且，将半圆沿翻折如图2.（1）求证：平面；（2）当多面体的体积为32时，求平面与平面夹角的余弦值.19.（本小题满分17分）若存在非零常数，使得数列满足，则称数列为“数列”.（1）判断数列：是否为“数列”，并说明理由；（2）若数列是首项为1的“数列”，数列是等比数列，且与满足，求的值和数列的通项公式；（3）若数列是“数列”，为数列的前项和，，证明：221,1,2,3,n n c a n n =+-= {}n c n n T 111ABC A B C -112,AC BC AB AB ===⊥ABC 1,AC AC D ⊥AC 11AC B C ⊥1A D 11BB C C ABCD AD ∥,8,4,60BC AD BC DAB ∠===,E F AD »»»AE EFFD ==AD EF ∥ABCD ABE DCF -ABE CDF t {}n a ()11231,n n a a a a a t n n +-=≥∈N {}n a ()H t 1,3,5,11,152()2H {}n a ()H t {}n b {}n a {}n b 212321log ni n n i aa a a ab ==+∑ t {}n b {}n a ()H t n S {}n a n 11,0a t >>1e n S nn n t S S -+>--六安一中2025届高三年级第四次月考数学试卷参考答案1.D2.C3.A4.C5.C6.C7.D8.D9.ACD 10.AD 11.BD 12.【答案】114.15.（1）因为为的内角，所以，因为，所以可化为：，即，即解得：，即.（另解：由；得.）（2）由三角形面积公式得代入得：，所以，故为正三角形，，周长等于16.（1）当时，，因为是等比数列，所以，又因为，所以（2）由（1）知，43,,A B C ABC V ()sin sin B C A +=21cos sin22A A -=()2sin 2A B C +=)sin 1cos A A =-sin A A =πππ4πsin ,3333A A ⎛⎫⎛⎫+=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π2π33A +=π3A =2sin 2sincos 222A A A A =⋅=πtan 226A A ==11sin ,322b c A b ⋅==1π13sin 232c ⨯⋅=a c =ABC V 3a b c ===9.2n ≥1123n n n n a S S --=-=⨯{}n a 12a =113a S b ==+1b =-123n n a -=⨯因为，且，所以是以6为首项，9为公比的等比数列，.17.解析：（1）由题意，平面平面，所以，又，且平面，所以平面，因为平面，所以.（2）法一（坐标法）：由（1）知，又，所以，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，所以，，设平面的法向量为，则，所以，从而故直线与平面法二（几何法）：取中点，则，26a =2229n na a +={}2n a ()()2421321n n T a a a n ⎡⎤=+++++++-⎣⎦()291236919124n n n n n -⋅=⨯+=-+-1AB ⊥,ABC AC ⊂ABC 1AC AB ⊥1AC AC ⊥11AB AC ⊂､1111,AB C AB AC A ⋂=AC ⊥11AB C 11B C ⊂11AB C 11AC B C ⊥11AC B C ⊥BC ∥11B C AC BC ⊥C ()()()()10,0,0,2,0,0,0,2,2,0,2,0C B B A ()0,1,0D ()()()12,0,0,2,2,2,0,1,0CB BB DA ==-=()()()1110,1,02,2,22,3,2DA DA AA DA BB =+=+=+-=-11BC C C (),,n x y z =1202220n CB x n BB x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++=⎪⎩ ()0,1,1n =- 111cos ,DA n DA n DA n⋅===⋅1A D 11BB C C 11C A M CM ∥1A D记与面所成角为，则由知解得，又，所以18.（1）连由等边三角形可知分布在同一个圆周上，且，则六边形为正六边形，面面（2）在图1中连交于，则，连交于，则，故在图2中面面记面与面所成角为，则故，即面面法一（几何法）：延长交于延长交于则为面与面交线且取中点，连接，则即为面与面所成角在中，，故，故面与面所成角的余弦值为法二（坐标法）：以为坐标原点，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，则，CM 11BB C C θ1111112sin A CC B BM CC B Bd d CMCMθ--==111111A B C C C A B C V V --=11111111133B C C A A B C S d S AB ⋅=⋅1A d =CM ===sin θ=OB OC ､A B C D F E ､､､､､AE EF FD DC CB BA =====ABCDFE EF ∴∥AD ∥,BC EF ⊄ABCD,BC ⊂ABCD EF ∴∥ABCDEB AD 1O AD EB ⊥FC AD 2O AD FC ⊥AD ⊥1,EO B AD ⊥2FO CABE CDF θ1212,6sin EO B FO C EO B FO C S S ∠∠θθ====V 1221ABE DCF EO B FO C D FO CA EOB V V V V ----=++锥112121132sin 3233EO B EO B FO C S AO S EF S DO θ=⨯+⨯+⨯==V πsin 1,2θθ==AEFD ⊥ABCDAB DC ､,Q F AE D ､,P PQ ABE CDF 8,8AP AQ PD QD ====PQ M AM DM ､AMD ∠ABE CDF AMD V 8AM DM AD ===1cos 5AMD ∠==ABE CDF 151O 111,,O B O D O E ,,x y z ()()(()()(0,2,0,,0,0,,4,0,0,6,0,0,4,A B E C D F -，有令得同理可得面法向量，设面与面所成角为，故19.【详解】（1）根据”数列“的定义，则，故，因为成立，成立，不成立，所以不是”数列“.（2）由是首项为2的”数列“，则，由是等比数列，设公比为，由，则.两式作差可得，即，由是”数列“，则，对于恒成立，所以，即对于恒成立，则，即，因为解得，，又由，则，即，故所求的，数列的通项公式.（3）设函数，则，令，解得，当时，，则在区间单调递减，且，又由是”数列"，即，对于恒成立，()(2,0,0,2,AB AE ==2020AB n y AE n y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩1,x=()1,n =CDF ()m =ABE CDF α1cos 5m n m n α⋅==⋅ ()H t 2t =11232n n a a a a a +-= 212a a -=3212a a a -=43211113542a a a a -=-⨯⨯=-≠1,3,5,11,152()2H {}n a ()H t 231,21a t a t =+=+{}n b q 212321log nn n i iaa a a ab ==+∑ 121231211log n i n n n i a a a a a a b +++==+∑ ()2112312121log log n n n n n a a a a a a b b +++=-+- ()21123121log n n n a a a a a a q ++=-+ {}n a ()H t 1123n n a a a a a t +-= 1,n n ≥∈N ()()211121log n n n a a t a q +++=--+()12121log log n n n t a t b b +++=+-1,n n ≥∈N ()()22321log 1log t a t q t a t q ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩()()222(1)log 121log t t qt t t q ⎧+-=⎪⎨++-=⎪⎩0t ≠1,2t q =-=2111211,log a a a b ==+11b =12n n b -=1t =-{}n b 12n n b -=()ln 1f x x x =-+()11f x x'=-()0f x '=1x =1x >()0f x '<()ln 1f x x x =-+()1,∞+()1ln1110f =-+={}n a ()H t 1123n n a a a a a t +-= 1,n n ≥∈N因为，则，再结合，反复利用，可得对于任意的，则，即，则，即，相加可得，则，又因为在上单调递增，所以，又，所以，即，故.11,0a t >>211a a t =+>121,0,1a t a >>>1123n n a a a a a t +=+ 1,,1n n n a ≥∈>N ()()10n f a f <=ln 10n n a a -+<ln 1n n a a <-1122ln 1,ln 1,,ln 1n n a a a a a a <-<-⋯<-1212ln ln ln n n a a a a a a n +++<+++- ()12ln n n a a a S n <- ln y x =()0,x ∞∈+12en S nn a a a -< 1123n n a a a a a t +-= 1e n S nn a t -+-<1en S nn n S S t -+--<1en S nn n t S S -+>--。

遵义四中2012—2013学年度高三第四次月考数学试题(文)本试卷满分150分 考试时间120分钟一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．21i=- ( ) A ．1i --B ．1i -+C ．1i -D ．1i +2．如下图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 上任意一点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于 ( )A ．14 B ．13 C ．12D ．233．20.34log 4,log 3,0.3a b c -===，则 ( ) A ．a c b <<B ．c b a <<C ．a b c <<D ．b a c <<4．过点()3,1P 且在x 轴上的截距和在y 轴上的截距相等的直线方程为 ( ) A ．04=-+y xB ．03=-y xC ．04=-+y x 或03=+y xD ．04=-+y x 或03=-y x5．某几何体的三视图如右图所示，则它的体积是 ( ) A ．283π-B ．83π- C ．82π-D ．23π 6．已知,a R ∈则2"2""2"a a a >>是成立的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知向量(2,1)a =r ，(1,)b k =r，且a r 与b r 的夹角为锐角，则k 的取值范围是 ( )A ．()2,-+∞B ．11(2,)(,)22-+∞ C ．(,2)-∞-D ．(2,2)-8．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(其中π0,2A ϕ><)的部分图象如右图所示，为了得到x x g 2sin )(=的图象，则只需将()f x 的图象 ( )A ．向右平移π6个长度单位 B ．向右平移π12个长度单位 C ．向左平移π6个长度单位D ．向左平移π12个长度单位9．曲线33y x x =-上切点为(2,2)P -的切线方程是 ( )A ．916y x =-+B ．920y x =-C ．2y =-D ．916y x =-+或2y =-10．下列命题：①在ABC ∆中，若B A >，则B A sin sin >；②已知()4,3=，＝()1,2--，则AB 在CD 上的投影为2-；③已知1c o s,:=∈∃x R x p ，01,:2>+-∈∀x x R x q ，则“q p ⌝∧”为假命题．其中真命题的个数为 ( ) A ．0B ．1C ．2D ．311. 设圆锥曲线C 的两个焦点分别为1F 、2F ，若曲线C 上存在点P 满足1PF ︰12F F ︰2PF ＝4︰3︰2，则曲线C 的离心率等于 ( )A ．2332或B ．223或C ．122或D ．1322或12．对于三次函数32()f x ax bx cx d =+++(0a ≠)，定义：设f ″(x )是函数y ＝f ′(x )的导数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数()y f x =的“拐点”．有同学发现：“任、何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”请你将这一发现为条件，若函数321151()3132122g x x x x x =-+-+-，则⎪⎭⎫ ⎝⎛20111g ＋⎪⎭⎫ ⎝⎛20112g ＋⎪⎭⎫⎝⎛20113g ＋⎪⎭⎫ ⎝⎛20114g ＋…＋⎪⎭⎫ ⎝⎛20112010g ＝ ( ) A ．2010 B ．2011 C ．2012 D ．2013二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.执行右侧的程序框图，输出的结果S 的值为_______． 14．已知α、()π,0∈β，且()21tan =-βα，71tan -=β，βα-2＝_______．15．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且9S ＝36，13S ＝－104，等比数列{}n b 中，55b a =，77b a =，则6b =________． 16．如右图，设A 、B 、C 、D 为球O 上四点，若AB 、AC 、AD 两两互相垂直，且6==AC AB ，2=AD ，则A 、D 两点间的球面距离__________．三、解答题：共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．(满分12分)设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =，131n n a S +=+，n *∈N ．(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)记n T 为数列{}n n a +的前n 项和，求n T ；18．(满分12分)以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树.乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示.(Ⅰ)如果X ＝8，求乙组同学植树棵树的平均数和方差；(II )如果X ＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率.19．(满分12分)如右图，在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1＝AB ，D是AC 的中点．(Ⅰ)求证：B 1C //平面A 1BD ；(Ⅱ)求二面角A —A 1B —D 的余弦值．20．(满分12分)已知椭圆22221y x ab+=(0)a b >>的一个顶点为B (0,4)，离心率e=5l 交椭圆于M 、N 两点． (Ⅰ)求椭圆的标准方程；(II )如果ΔBMN 的重心恰好为椭圆的右焦点F ，求直线l 的方程．21．(满分12分)设函数()()2()2ln 11f x x x =---．(Ⅰ)求函数)(x f 的单调递增区间；(II )若关于x 的方程()230f x x x a +--=在区间[]2,4内恰有两个相异的实根，求实数a 的取值范围．选做题：请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 22．(满分10分)《选修4—1：几何证明选讲》如下图，AB 、CD 是圆的两条平行弦，BE //AC ，BE 交CD 于E 、交圆于F ，过A 点的切线交DC 的延长线于P ，PC ＝ED ＝1，PA ＝2． (I )求AC 的长； (II )求证：BE ＝EF ．23．(满分10分)《选修4－4：坐标系与参数方程》在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2(1x tt y t =+⎧⎨=+⎩为参数)，以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系下，曲线P 的方程为24cos 30p p θ-+=．(Ⅰ)求曲线C 的普通方程和曲线P 的直角坐标方程； (Ⅱ)设曲线C 和曲线P 的交点为A 、B ，求||AB ．24．(满分10分)《选修4－5：不等式选讲》已知函数()|2||5|f x x x =---．(I )证明：3-≤)(x f ≤3；(II )求不等式)(x f ≥2815x x -+的解集．遵义四中2012—2013学年度高三第四次月考数学试题(文)参考答案一、选择题(每小题5分，共60分)1～5DCCDA 6～10A BAAC 11～12DA 二、填空题(每小题5分，共20分) 13．23； 14．1； 15．6-； 16．3π2．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．(满分12分)解：(Ⅰ)由题意，131n n a S +=+，则当2n ≥时，131n n a S -=+.两式相减，得14n n a a +=(2n ≥). ………………2分 又因为11a =，24a =，214a a =，……………………4分 所以数列{}n a 是以首项为1，公比为4的等比数列，……………………5分 所以数列{}n a 的通项公式是14n n a -=(n *∈N ). …………6分(Ⅱ)因为123(1)(2)(3)()n n T a a a n a =++++++++，21(12)(1444)n n -=++++++++(1)1(14)214n n n +-=+-24123n n n +-=+………………………………12分 18．(满分12分)解：(1)当X ＝8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，所以平均数为;435410988=+++=……………………………………3分方差为.1611])43510()4359()4358[(412222=-+-+-=s …………6分 (Ⅱ)记甲组四名同学为A 1，A 2，A 3，A 4，他们植树的棵数依次为9，9，11，11；乙组四名同学为B 1，B 2，B 3，B 4，他们植树的棵数依次为9，8，9，10，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个，它们是： (A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 1，B 4)， (A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 2，B 4)， (A 3，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 3)，(A 1，B 4)， (A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(A 4，B 3)，(A 4，B 4)，用C 表示：“选出的两名同学的植树总棵数为19”这一事件，则C 中的结果有4个，它们是：(A 1，B 4)，(A 2，B 4)，(A 3，B 2)，(A 4，B 2)，故所求概率为.41164)(==C P ……12分 19．(满分12分)解：(1)证明：连1AB 交B A 1于点E ，连DE .则E 是1AB 的中点， ∵D 是AC 的中点，∴C B DE 1//∵⊂DE 平面BD A 1，⊄C B 1平面BD A 1，∴C B 1∥平面BD A 1.………6分 (2)法一：设12AA a =，∵AB AA =1，∴1BA AE ⊥，且a AE 2=，作D A AF 1⊥，连EF∵平面BD A 1⊥平面11A ACC ，∴⊥AF 平面BD A 1， ∴1BA EF ⊥∴AEF ∠就是二面角D B A A --1的平面角，在AD A 1∆中，AF =， 在AEF ∆中，EF ===515256cos ===∠aaAEEFAEF ，即二面角D B A A --1的余弦值是515.…………12分 解法二：如图，建立空间直角坐标系.则)0,0,0(D，,0)B ，(,0,0)A a -，1(,0,2)A a a -. ∴1(0,0,2)AA a =，(,0)AB a =，1(,0,2)DA a a =-，,0)DB =设平面BD A 1的法向量是),,(z y x =，则由⎪⎩⎪⎨⎧==⋅=+-=⋅03021y z x ，取)1,0,2(=设平面B AA 1的法向量是),,(z y x =，则由⎪⎩⎪⎨⎧==⋅=+=⋅02031z y x ，取)0,1,3(-= 记二面角D B A A --1的大小是θ，则23cos 5||||25m n m n θ⋅===，即二面角D B A A --1的余弦值是515.…………………………12分 20．(满分12分)解：(1)由已知4b =，且5c a =，即2215c a=，∴22215a b a -=，解得220a =，∴椭圆的方程标准为2212016y x +=； ……5分(2)椭圆右焦点F 的坐标为(2,0)， 设线段MN 的中点为Q 00(,)x y ，由三角形重心的性质知2BF FQ =，又(0,4)B ， ∴00(2,4)2(2,)x y -=-，故得003,2x y ==-， 求得Q 的坐标为(3,2)-； ……………8分 设1122(,),(,)M x y N x y ，则12126,4x x y y +=+=-，且222211221,120162016x y x y +=+=， …………………10分 以上两式相减得12121212()()()()02016x x x x y y y y +-+-+=，1212121244665545MN y y x x k x x y y -+==-⨯=-⨯=-+-∴，故直线MN 的方程为62(3)5y x +=-，即65280x y --=．………12分21．(满分12分)(1)函数()f x 的定义域为()1,+∞，………………………………………………1分 ∵()()221()2111x x f x x x x -⎡⎤'=--=-⎢⎥--⎣⎦，……………2分 ∵1x >，则使()0f x '>的x 的取值范围为()1,2，故函数()f x 的单调递增区间为()1,2．…………………………4分 (2)方法1：∵()()2()2ln 11f x x x =---，∴()2()3012ln 10f x x x a x a x +--=⇔++--=．……………6分 令()()12ln 1g x x a x =++--， ∵23()111x g x x x -'=-=--，且1x >， 由()03()03g x x g x x ''>><<<得，得1．∴()g x 在区间[2,3]内单调递减，在区间[3,4]内单调递增，………………8分 故2()30f x x x a +--=在区间[]2,4内恰有两个相异实根(2)0,(3)0,(4)0.g g g ≥⎧⎪⇔<⎨⎪≥⎩……10分 即30,42ln 20,52ln 30.a a a +≥⎧⎪+-<⎨⎪+-≥⎩解得：2ln 352ln 24a -≤<-． 综上所述，a 的取值范围是[)2ln35,2ln 24--． ……………12分 方法2：∵()()2()2ln 11f x x x =---，∴()2()3012ln 10f x x x a x a x +--=⇔++--=．…………6分 即()2ln 11a x x =---，令()()2ln 11h x x x =---，∵23()111x h x x x -'=-=--，且1x >， 由()03,()03h x x h x x ''><<<>得1得．∴()h x 在区间[2,3]内单调递增，在区间[3,4]内单调递减．………8分 ∵()23h =-，()32ln 24h =-，()42ln35h =-，又()()24h h <，故2()30f x x x a +--=在区间[]2,4内恰有两个相异实根()()43h a h ⇔≤<． ……………………………………10分即2ln 352ln 24a -≤<-．综上所述，a 的取值范围是[)2ln35,2ln 24--． ……………12分22．(满分10分)《选修4—1：几何证明选讲》解：(I )1,2,2==⋅=PC PA PD PC PA ，4=∴PD ，…(2分)又2,1=∴==CE ED PC ，,,CAB PCA CBA PAC ∠=∠∠=∠CBA PAC ∆∆∴∽，ABAC AC PC =∴，…………(4分) 22=⋅=∴AB PC AC ，2=∴AC ……(5分)(II ) 2==AC BE ，2=CE ，而EF BE ED CE ⋅=⋅， …………(8分)2212=⋅=∴EF ，BE EF =∴． …………(10分) 23．(满分10分)《选修4－4：坐标系与参数方程》解：(Ⅰ)曲线C 的普通方程为01=--y x ，曲线P 的直角坐标方程为03422=+-+x y x ．……5分(Ⅱ)曲线P 可化为1)2(22=+-y x ，表示圆心在)0,2(，半径=r 1的圆，则圆心到直线C 的距离为2221==d ， 所以2222=-=d r AB ．……10分24．(满分10分)《选修4－5：不等式选讲》解：(Ⅰ)()⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤-=---=5,3,52,722,352x x x x x x x f当52<<x 时，3723<-<-x ．所以()33≤≤-x f ．…………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，当2≤x 时，()1582+-≥x x x f 的解集为空集；当52<<x 时，()1582+-≥x x x f 的解集为{}535≤≤-x x ； 当5≥x 时，()1582+-≥x x x f 的解集为{}65≤≤x x综上，不等式()1582+-≥x x x f 的解集为{}635≤≤-x x ……10分。

数学参考答案·第1页（共9页）贵阳第一中学2025届高考适应性月考卷（一）数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 DCBCBCAA【解析】1．由题，{|13}A x x x =<->或，{1234}B =，，，，则{4}A B = ，故选D ．2．对于A 选项，1y x=-的定义域为(0)(0)-∞+∞，，，该函数在(0)-∞，和(0)+∞，上单调递增，在定义域内不单调；对于B 选项，2ln y x =的定义域为(0)(0)-∞+∞ ，，，该函数在(0)-∞，上单调递减，在(0)+∞，上单调递增， 在定义域内不单调；对于C 选项，32y x ==[0)+∞，，该函数在定义域上单调递增；对于D 选项，e x y x =的定义域为R . (1)e x y x '=+∵，当(1)x ∈-∞-，时，0y '<；当(1)x ∈-+∞，时，0y '>，e x y x =∴在(1)-∞-，上单调递减，在(1)-+∞，上单调递增，因此该函数在定义域内不单调，故选C ．3．537232a a a =+=∵，516a =，6426d a a =-=，3d =，1544a a d =-=，故选B ．4．设点00()A x y ，，则20000252||4y px p x y ⎧=⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩，，，整理得582p p ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解得2p =或8p =，故选C ．5．(23)f x -∵的定义域为[23]，. 当23x ≤≤时，1233x -≤≤，()f x ∴的定义域为[13]，，即[13]A =，. 令1213x -≤≤，解得12x ≤≤，(21)x f -∴的定义域为[12]，， 即[12]B =，. B A ⊆∵，∴“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，故选B ．6．由题，()()()e ()e ()()()5e ()5e x xx xg x g x f x fx hx h x f x f x --⎧=-+=-+⎧⎪⇒⎨⎨=---=--+⎩⎪⎩，，，解得()3e 2e x xf x -=+，所以()3e 2e x x f x -=+≥，当且仅当3e 2e x x -=，即12ln 23x =时，等号成立，min ()f x =∴C ．数学参考答案·第2页（共9页）7．设51x ⎫+⎪⎭的二项展开式的通项公式为53521551C C kkk k kk T xx --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，0k =，1，2，3，4，5，所以二项展开式共6项. 当0k =，2，4时的项为无理项；当1k =，3，5时的项为有理项. 两项乘积为有理数当且仅当此两项同时为无理项或同时为有理项，故其概率为223326C C 25C +=，故选A ． 8．由题，1C ：22(1)(1)2x y -+-=，即圆心为1(11)C ，(20)M ，，(02)N ，，MN 为1C 的直径. 1C ∵与2C 相外切，12||C C =+=∴. 由中线关系，有222222121||||2(||||)2(182)40C M C N C C C M +=+=⨯+=，22||||C M C N ∴≤2222||||202C M C N +=，当且仅当22||||C M C N =时，等号成立，所以22||||C M C N 的最大值为20，故选A ．二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分）题号 9 10 11 答案 ACDBCBCD【解析】9．对于A 选项，由分布列性质可知正确；对于B 选项，由两点分布定义可知错误；对于C 选项，()202420252024(1)20252024E X m n n n n =+=-+=+. 01n <<∵，2024()2025E X <<∴，正确；对于D 选项，令2024Y X =-，则Y 服从两点分布，()(1)D Y n n mn =-=，()(2024)()D X D Y D Y mn =+==∴，正确，故选ACD.10．令2()21g x ax ax =-+，244a a ∆=-，对于A 选项，()f x 的定义域为0a ⇔=R 或0010a a >⎧⇔<⎨∆<⎩，≤，故A 错误；对于B 选项，()f x 的值域为()g x ⇔R 在定义域内的值域为0(0)0a a >⎧+∞⇔⇔⎨∆⎩，，≥1≥，故B 正确；对于C 选项，()f x 的最大值为2()g x ⇔在定义域内的最小值为011511616(1)16a a g >⎧⎪⇔⇔=⎨=⎪⎩，，故C 正确；对于D 选项，()f x 有极值()g x ⇔在定义域内有极值01(1)0a a g ≠⎧⇔⇔<⎨>⎩，且0a ≠，故D 选项错误，故选BC.数学参考答案·第3页（共9页）11．对于A 选项，因为(1)g x +为奇函数，所以(1)0g =，又由()(1)1g x f x --=，可得(1)(0)1g f -=，(0)1f =-，故A 错误；对于B 选项，由()(3)f x g x ''=+可得()(3)f x g x C =++，C 为常数，又由()(1)1g x f x --=，可得(1)()1g x f x --=，则(1)(3)1g x g x C --+-=，令1x =-，得(2)(2)1g g C --=，所以1C =-，所以(1)(3)g x g x -=+，()g x 的图象关于直线2x =对称，故B 正确；对于C 选项，因为(1)g x +为奇函数，所以(3)(1)(1)g x g x g x +=-=-+，所以(2)()g x g x +=-，(4)(2)g x g x +=-+ ()g x =，所以()g x 是一个周期为4的周期函数，()(3)1f x g x =+-，(4)(7)f x g x +=+ 1(3)1()g x f x -=+-=，所以()f x 也是一个周期为4的周期函数，故C 正确；对于D 选项，因为(1)g x +为奇函数，所以(1)0g =，(2)(0)(4)g g g =-=-，又(3)(1)0g g ==，又()g x 是周期为4的周期函数，所以20251()(1)0k g k g ===∑，故D 正确，故选BCD.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）题号 12 13 14 答案 e14433e 6-【解析】12．设切点坐标为()t t a ，，ln x y a a '=∵，∴切线方程为ln x y a a x = . 将()t t a ，代入得ln t t a a t a = ，可得1log e ln a t a==，∴切点纵坐标为e log e t a a a ==. 13．先对小七孔和千户苗寨两个相邻元素捆绑共有22A 种方法，再安排梵净山的位置共有13C 种方法，再排其余元素共有44A 种排法，故共有214234A C A 144= 种不同的方案.14．设123()()()f x f x f x t ===，由()f x 的函数图象知，23t <≤，又122x x +=-，3ln x t =∵，3e t x =，112233()()()2e t x f x x f x x f x t t ++=-+∴. 令()2e t t t t ϕ=-+，23t <≤，()t ϕ'= (1)e 20t t +->，()t ϕ∴在(23]，上单调递增，则3max ()(3)3e 6t ϕϕ==-，112233()()()x f x x f x x f x ++∴的最大值为33e 6-.四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（本小题满分13分）（1）解：数列{n a }是首项为1，公比为3的等比数列，因此11133n n n a --=⨯=；…………………………………………………………………………………（3分）数学参考答案·第4页（共9页）数列{n b }是首项为1，公比为34的等比数列，因此，1133144n n n b --⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.…………………………………………………………………………………（6分）（2）证明：由（1）可得121121121333344n n n n n n n c a b a b a b a b ----⎛⎫⎛⎫=++++=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭121333344n n --⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 12101111141111331444414n n n n n ----⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦=++++=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦- 214314n n -⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ， ………………………………………………………（10分）因为2114314411334n n n nn nc a --⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 所以413n n c a <≤，所以4.3n n n a c a <≤ …………………………………………………（13分） 16．（本小题满分15分）（1）证明：如图1，连接1A C ，设11A C C G O = ，连接1HO A G ，，三棱台111A B C ABC -，则11A C AC ∥，又122CG AC ==， ∴四边形11A C CG 为平行四边形，则1.CO OA = ………………………………………………………………（2分）∵点H 是BC 的中点，∴1BA OH ∥. …………………………………………………………………（4分）又OH ⊂平面1C HG ，1A B ⊄平面1C HG ，∴1A B ∥平面1C HG . …………………………………………………………………（6分）（2）解：因为平面1C GH 分三棱台111A B C ABC -所成两部分几何体的体积比为2∶5， 所以111127C GHC A B C ABC V V --=，即11111121()373GHC ABC A B C S CC S S CC =++ △△△， 化简得12GHC ABC S S =△△， 图1数学参考答案·第5页（共9页）此时点H 与点B 重合. ……………………………………………………………（8分）1190C CA BCC ∠=∠=︒，∵11C C BC CC AC BC AC C ⊥⊥= ∴，，且都在平面ABC ，则1CC ⊥平面ABC ， 又ABC △为等腰直角三角形，则BG AC ⊥. 又由（1）知11A G CC ∥，则1A G ⊥平面ABC ， 建立如图2所示的坐标系G xyz -，…………………………………………………（10分）则(200)(020)(000)(020)H A G C -，，，，，，，，，，，，11(02(122)1)C B --，，，，，.设平面1C HG 的法向量()n x y z =，，，1(022)(200)GC GH =-= ，，，，，， 则22020y z x -+=⎧⎨=⎩，，令1y =，解得(011)n =，，， 设平面1B GH 的法向量1()(112)m a b c GB ==-，，，，，，则2020a b c a -+=⎧⎨=⎩，，令2b =，解得(021)m = ，，. ……………………………………（12分） 设二面角11C GH B --的平面角为θ，|||cos |=|cos |||||m n m n m n θ〈〉==，=， ………………（14分）所以sin θ==所以二面角11C GH B --的正弦值为10. …………………………………………（15分）解得21m =，即双曲线N ：2212y x -=. ………………………………………………（3分） 因为双曲线M 与双曲线N 的离心率相同， 不妨设双曲线M 的方程为222y x λ-=， 因为双曲线M 经过点(22)，，所以42λ-=，解得2λ=，则双曲线M 的方程为221.24x y -= ………………………………………………（6分） 图2数学参考答案·第6页（共9页）（2）易知直线l 的斜率存在，不妨设直线l 的方程为11223344()()()()y kx t A x y B x y C x y D x y =+，，，，，，，，，联立222y kx t y x λ=+⎧⎪⎨-=⎪⎩，，消去y 并整理得222(2)220k x ktx t λ----=，此时222222Δ44(2)(2)0202k k t t t k λλ⎧=+-+>⎪⎨--<⎪-⎩，，可得22k <，…………………………………（8分）当2λ=时，由韦达定理得21222kt x x k +=-，221242t x x k --=-；当1λ=时，由韦达定理得23422kt x x k +=-，232422t x x k --=-，………………………（10分）则||||2AB CD ==== 化简可得222t k +=， …………………………………………………………………（13分） 由（1）可知圆O ：222x y +=，则圆心O 到直线l的距离d ==== 所以直线l 与圆O 相切或相交. …………………………………………………（15分） 18．（本小题满分17分）解：（1）由频率分布直方图知，200只小白鼠按指标值分布为： 在[020)，内有0.00252020010⨯⨯=（只）； 在[2040)，内有0.006252020025⨯⨯=（只）； 在[4060)，内有0.008752020035⨯⨯=（只）； 在[6080)，内有0.025********⨯⨯=（只）； 在[80100]，内有0.00752020030⨯⨯=（只）.…………………………………………（1分） 由题意，有抗体且指标值小于60的有50只；而指标值小于60的小白鼠共有10253570++=（只），所以指标值小于60且没有抗体的小白鼠有20只，同理，指标值不小于60且没有抗体的小白鼠有20只，故列联表如下：数学参考答案·第7页（共9页）单位：只指标值抗体小于60不小于60合计有抗体 50 110 160 没有抗体 20 20 40 合计70130200……………………………………………………………………………………………（3分） 零假设为0H ：注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关联.…………………………………………………………………………………………（4分） 根据列联表中数据，得220.01200(502020110) 4.945 6.6351604070130x χ⨯⨯-⨯=≈<=⨯⨯⨯. ………………………………………………………………………………………（6分） 根据0.01α=的独立性检验，没有充分证据认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关.…………………………………………………………………………………（7分） （2）（i ）令事件A =“小白鼠第一次注射疫苗产生抗体”，事件B =“小白鼠第二次注射疫苗产生抗体”，事件C =“小白鼠注射2次疫苗后产生抗体”. 记事件A ，B ，C 发生的概率分别为()P A ，()P B ，()P C ， 则160()0.8200P A ==，20()0.540P B ==， ……………………………………………（9分） 0.20.509()1()().1P C P A P B =-=-⨯=，所以一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率0.9P =.……………………………（11分） （ii ）由题意，知随机变量(1000.9)X B ，，所以()1000.990.E X np ==⨯= ………………………………………………（13分）又()C 0.90.1()012k k n kn P k n X k -=⨯⋅⋅==⨯⋅，，，，，设0k k =时，()P X k =最大， 所以000000000000100119910010010011101100100C 0.90.1C 0.90.1C 0.90.1C 0.90.1k k k k k k k k k k k k -++-----⎧⨯⨯⨯⨯⎪⎨⨯⨯⨯⨯⎪⎩≥，≥， ………………………………（15分） 解得089.990.9k ≤≤，因为0k 是整数，所以090k =.…………………………………（17分）数学参考答案·第8页（共9页）19．（本小题满分17分）（1）若选①，证明如下：22sin 3sin(2)sin 2cos cos 2sin 2sin cos (12sin )sin θθθθθθθθθθθ=+=+=+-2232sin (1sin )(12sin )sin 3sin 4sin θθθθθθ=-+-=-.………………………………（4分）若选②，证明如下：22cos3cos(2)cos 2cos sin 2sin (2cos 1)cos 2sin cos θθθθθθθθθθθ=+=-=--3232cos cos 2(1cos )cos 4cos 3cos θθθθθθ=---=-. ………………………………（4分）（2）(i)解：2()33f x x a =-'， …………………………………………………………（5分） 当0a ≤时，()0f x '≥恒成立，所以()f x 在()-∞+∞，上单调递增，至多有一个零点；令()0fx '>，得x <x >，所以()f x 在(上单调递减，在(-∞，，)+∞上单调递增．0f <⎪⎩，220a -<⎪⎩，且3222(4)(4)3(4)(4)(516)0f a a a a aa aa a +=+-++=++++>，所以()f x 在4)a +上有唯一一个零点，同理-<2(22)0g a-=-+=<， 所以()f x 在(-上有唯一一个零点.又()f x 在(上有唯一一个零点，所以()f x 有三个零点，综上可知a 的取值范围为(04).， …………………………………………………（10分） (ii)证明：设22133()()3())(x f x x x x x ax x a x ==----+， 则23211(0)f x x x a ==-=.又04a <<，所以1a =. ………………………………………………………………（11分） 此时(2)10(1)30(1)10(2)30f f f f -=-<-=>=-<=>，，，，方程3031x x -+=的三个根均在(22)-，内，…………………………………………（12分）数学参考答案·第9页（共9页）方程3031x x -+=变形为3143222x x =⎛⎫- ⎪⎝⎭ ，令ππsin 222x θθ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭，则由三倍角公式31sin 33sin 4sin .2θθθ=-= 因为3π3π322θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，所以7ππ5π3666θ=-，，，7ππ5π.181818θ=-，，…………………………………………………………………………………………（14分） 因为123x x x <<，所以12327ππ52sin2si π181n n 81si 8x x x =-==， ……………………………………………………………………………（15分）所以222221π7ππ7π21cos 21cos 18184sin4sin 99x x ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭- 137ππ5π7π2cos2cos 2sin 2sin .991818x x =-=--=- …………………………………（17分）。

2022届高三上册第四次月考数学在线测验（贵州省遵义市第四中学）解答题某单位招聘职工分为笔试和面试两个环节，将笔试成绩合格（满分100分，及格60分，精确到个位数）的应聘者进行统计，得到如下的频率分布表：分组频数频率[60，70]0.16（70，80]22（80，90]140.28（90，100]合计501（Ⅰ）确定表中的值（直接写出结果，不必写过程）（Ⅱ）面试规定，笔试成绩在80分（不含80分）以上者可以进入面试环节，面试时又要分两关，首先面试官依次提出4个问题供选手回答，并规定，答对2道题就终止回答，通过第一关可以进入下一关，如果前三题均没有答对，则不再回答第四题并且不能进入下一关，假定某选手获得面试资格的概率与答对每道题的概率相等.求该选手答完3道题而通过第一关的概率；记该选手在面试第一关中的答题个数为X，求X的分布列及数学期望.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析；【解析】【试题分析】（1）借助频率、频数、样本容量之间的关系进行求解；（2）先依据题设中答题的要求，运用互斥事件和对立事件的概率计算公式进行分析求解；（3）先求出随机变量的值进行分类，分别求出其概率，，，列出概率分布表，再运用随机变量的数学期望公式计算求解：解：（I）由频率分布表可得a=8，b=6，x=0.44，y=0.12（II）由频率分布表及（I）的结论可知，该选手能进入面试的概率即答对每道题的概率为0.28+0.12=0.4.记“答对第i道题”为事件Ai，i=1,2,3,4，则P（Ai）=0.4记“该选手答完3道题而通过第一关”为事件A，则=0.192随机变量X的可能取值为2，3，4.故X的分布列为X234P0.160.4080.432所以.填空题若锐角满足_______________.【答案】【解析】因，故，，应填答案。

选择题设是非零向量，已知命题P：若，，则；命题q：若，则，则下列命题中真命题是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可知，命题P是假命题，如取；命题q是真命题，故为真命题，应选答案A。

2024~2025学年高三第一次联考（月考）试卷数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：集合､常用逻辑用语､不等式､函数､导数及其应用.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则集合的真子集的个数为（）{}4,3,2,0,2,3,4A =---{}2290B x x =-≤A B ⋂A.7B.8C.31D.322.已知，，则“，”是“”的（ ）0x >0y >4x ≥6y ≥24xy ≥A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3.国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆､绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水､雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量与时间（小时）的关系为()mg /L N t （为最初污染物数量，且）.如果前4个小时消除了的污染物，那么污染物消0e kt N N -=0N 00N >20%除至最初的还需要（ ）64%A.3.8小时 B.4小时C.4.4小时D.5小时4.若函数的值域为，则的取值范围是（）()()2ln 22f x x mx m =-++R m A.B.()1,2-[]1,2-C.D.()(),12,-∞-⋃+∞(][),12,-∞-⋃+∞5.已知点在幂函数的图象上，设，(),27m ()()2n f x m x =-(4log a f =，，则，，的大小关系为（ ）()ln 3b f =123c f -⎛⎫= ⎪⎝⎭a b c A.B.c a b <<b a c<<C. D.a c b <<a b c<<6.已知函数若关于的不等式的解集为，则的()()2e ,0,44,0,x ax xf x x a x a x ⎧->⎪=⎨-+-+≤⎪⎩x ()0f x ≥[)4,-+∞a 取值范围为（ ）A.B. C. D.(2,e ⎤-∞⎦(],e -∞20,e ⎡⎤⎣⎦[]0,e 7.已知函数，的零点分别为，，则（ ）()41log 4xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()141log 4xg x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭a b A. B.01ab <<1ab =C.D.12ab <<2ab ≥8.已知，，，且，则的最小值为（ ）0a >0b >0c >30a b c +-≥6b a a b c ++A. B. C. D.29495989二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（ ）A.函数是相同的函数()f x =()g x =B.函数6()f x =C.若函数在定义域上为奇函数，则()313xx k f x k -=+⋅1k =D.已知函数的定义域为，则函数的定义域为()21f x +[]1,1-()f x []1,3-10.若，且，则下列说法正确的是（）0a b <<0a b +>A. B.1a b >-110a b+>C. D.22a b <()()110a b --<11.已知函数，则下列说法正确的是（ ）()()3233f x x x a x b=-+--A.若在上单调递增，则的取值范围是()f x ()0,+∞a (),0-∞B.点为曲线的对称中心()()1,1f ()y f x =C.若过点可作出曲线的三条切线，则的取值范围是()2,m ()()3y f x a x b =+-+m ()5,4--D.若存在极值点，且，其中，则()f x 0x ()()01f x f x =01x x ≠1023x x +=三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.__________.22lg 2lg3381527log 5log 210--+⋅+=13.已知函数称为高斯函数，表示不超过的最大整数，如，，则不等式[]y x =x []3.43=[]1.62-=-的解集为__________；当时，的最大值为__________.[][]06x x <-0x >[][]29x x +14.设函数，若，则的最小值为__________.()()()ln ln f x x a x b =++()0f x ≥ab 四､解答题：本题共5小题､共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知全集，集合，.U =R {}231030A x x x =-+≤{}220B x xa =+<（1）若，求和；8a =-A B ⋂A B ⋃（2）若，求的取值范围.()UA B B ⋂= a 16.（本小题满分15分）已知关于的不等式的解集为.x 2280ax x --<{}2x x b-<<（1）求，的值；a b （2）若，，且，求的最小值.0x >2y >-42a bx y +=+2x y +17.（本小题满分15分）已知函数.()()()211e 2x f x x ax a =--∈R （1）讨论的单调性；()f x （2）若对任意的恒成立，求的取值范围.()e x f x x ≥-[)0,x ∈+∞a 18.（本小题满分17分）已知函数是定义在上的奇函数.()22x xf x a -=⋅-R（1）求的值，并证明：在上单调递增；a ()f x R （2）求不等式的解集；()()23540f x x f x -+->（3）若在区间上的最小值为，求的值.()()442x x g x mf x -=+-[)1,-+∞2-m 19.（本小题满分17分）已知函数.()()214ln 32f x x a x x a =---∈R （1）若，求的图像在处的切线方程；1a =()f x 1x =（2）若恰有两个极值点，.()f x 1x ()212x x x <（i ）求的取值范围；a （ii ）证明：.()()124ln f x f x a+<-数学一参考答案､提示及评分细则1.A 由题意知，又，所以{}2290B x x ⎡=-=⎢⎣∣ {}4,3,2,0,2,3,4A =---，所以的元素个数为3，真子集的个数为.故选.{}2,0,2A B ⋂=-A B ⋂3217-=A 2.A 若，则，所以“”是“”的充分条件；若，满足4,6x y 24xy 4,6x y 24xy 1,25x y ==，但是，所以“”不是“”的必要条件，所以“”是24xy 4x <4,6x y 24xy 4,6x y “”的充分不必要条件.故选A.24xy 3.B 由题意可得，解得，令，可得4004e 5N N -=44e 5k -=20004e 0.645t N N N -⎛⎫== ⎪⎝⎭，解得，所以污染物消除至最初的还需要4小时.故选B.()248e e ek kk---==8t =64%4.D 依题意，函数的值域为，所以，解得()()2ln 22f x x mx m =-++R ()2Δ(2)420m m =--+ 或，即的取值范围是.故选D.2m 1m - m ][(),12,∞∞--⋃+5.C 因为是軍函数，所以，解得，又点在函数的图()()2nf x m x =-21m -=3m =()3,27()n f x x =象上，所以，解得，所以，易得函数在上单调递增，又273n=3n =()3f x x =()f x (),∞∞-+，所以.故选C.1241ln3lne 133log 2log 2->==>=>=>a c b <<6.D 由题意知，当时，；当时，；当时，(),4x ∞∈--()0f x <[]4,0x ∈-()0f x ()0,x ∞∈+.当时，，结合图象知；当时，，当()0f x 0x ()()()4f x x x a =-+-0a 0x >()e 0x f x ax =- 时，显然成立；当时，，令，所以，令，解0a =0a >1e x x a (),0e x x g x x =>()1e xxg x -='()0g x '>得，令0，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以01x <<()g x '<1x >()g x ()0,1()1,∞+，所以，解得综上，的取值范围为.故选D.()max 1()1e g x g ==11e a0e a < a []0,e 7.A 依题意得，即两式相减得4141log ,41log ,4a b a b ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩441log ,41log ,4a ba b ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-= ⎪⎪⎝⎭⎩.在同一直角坐标系中作出的图()44411log log log 44a ba b ab ⎛⎫⎛⎫+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4141log ,log ,4xy x y x y ⎛⎫=== ⎪⎝⎭象，如图所示：由图象可知，所以，即，所以.故选A.a b >1144ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()4log 0ab <01ab <<8.C 因为，所以，所以30a b c +- 30a b c +> 11911121519966399939911b a b a b b b b a b c a b a b a a a a ⎛⎫++=+=++--=-= ⎪+++⎝⎭++ ，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.故选C.1911991b b a a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭+29b a =6b aa b c ++599.AD 由解得，所以，由，解得10,10x x +⎧⎨-⎩ 11x - ()f x =[]1,1-210x -，所以的定义域为，又，故函数11x - ()g x =[]1,1-()()f x g x ===与是相同的函数，故A 正确；，()f x ()g x ()6f x ==当且仅当方程无解，等号不成立，故B 错误；函数=2169x +=在定义域上为奇函数，则，即，即()313x x k f x k -=+⋅()()f x f x -=-331313x xx x k k k k ----=-+⋅+⋅，即，整理得，即，()()33313313x x xxxxk k k k ----=-+⋅+⋅313313x x x x k kk k ⋅--=++⋅22919x x k k ⋅-=-()()21910x k -+=所以，解得.当时，，该函数定义域为，满足，210k -=1k =±1k =()1313xx f x -=+R ()()f x f x -=-符合题意；当时，，由可得，此时函数定义域为1k =-()13311331x x xxf x --+==--310x -≠0x ≠，满足，符合题意.综上，，故C 错误；由，得{}0x x ≠∣()()f x f x -=-1k =±[]1,1x ∈-，所以的定义域为，故D 正确.故选AD.[]211,3x +∈-()f x []1,3-10.AC 因为，且，所以，所以，即，故A 正确；0a b <<0a b +>0b a >->01a b <-<10ab -<<因为，所以，故В错误；因为，所以，0,0b a a b >->+>110a ba b ab ++=<0a b <<,a a b b =-=由可得，所以，故C 正确；因为当，此时，故0a b +>b a >22a b <11,32a b =-=()()110a b -->D 错误.故选AC.11.BCD 若在上单调递增，则在上佰成立，所以()f x ()0,∞+()23630f x x x a '=-+- ()0,x ∞∈+，解得，即的取值范围是，故A 错误；因为()min ()13630f x f a '==--'+ 0a a (],0∞-，所以，又()()32333(1)1f x x x a x b x ax b =-+--=---+()11f a b =--+，所以点()()()332(21)21(1)1222f x f x x a x b x ax b a b -+=-----++---+=--+为曲线的对称中心，故B 正确；由题意知，所以()()1,1f ()y f x =()()3233y f x a x b xx =+-+=-，设切点为，所以切线的斜率，所以切线的方程为236y x x =-'()32000,3x x x -20036k x x =-，所以，整理得()()()3220000336y x x x x x x --=--()()()322000003362m xx x x x --=--.记，所以3200029120x x x m -++=()322912h x x x x m =-++()26h x x '=-，令，解得或，当时，取得极大值，当时，1812x +()0h x '=1x =2x =1x =()h x ()15h m =+2x =取得极小值，因为过点可作出曲线的三条切线，所以()h x ()24h m=+()2,m ()()3y f x a x b =+-+解得，即的取值范围是，故C 正确；由题意知()()150,240,h m h m ⎧=+>⎪⎨=+<⎪⎩54m -<<-m ()5,4--，当在上单调递增，不符合题意；当，()223633(1)f x x x a x a =-+-=--'()0,a f x (),∞∞-+0a >令，解得，令，解得在()0f x '>1x <-1x >+()0f x '<11x -<<+()f x 上单调递增，在上单调递堿，在上单调递增，因为,1∞⎛- ⎝1⎛+ ⎝1∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭存在极值点，所以.由，得，令，所以，()f x 0x 0a >()00f x '=()2031x a-=102x x t+=102x t x =-又，所以，又，()()01f x f x =()()002f x f t x =-()()32333(1)1f x x x a x b x ax b =-+--=---+所以，又，所以()()()330000112121x ax b t x a t x b ---+=-----+()2031x a-=，化简得()()()()()()()322320000000013112121312x x x b x x b t x x t x b----=----=------，又，所以，故D 正确.故选BCD.()()20330t x t --=010,30x x x t ≠-≠103,23t x x =+=12. 由题意知10932232862log 184163381255127log 5log 210log 5log 121027---⎛⎫+⋅+=+⋅-+ ⎪⎝⎭62511411410log 5log 2109339339=-⋅+=-+=13.（2分）（3分） 因为，所以，解得，又函数[)1,616[][]06x x <-[][]()60x x -<[]06x <<称为高斯函数，表示不超过的最大整数，所以，即不等式的解集为.当[]y x =x 16x < [][]06x x <-[)1,6时，，此时；当时，，此时01x <<[]0x =[]2[]9x x =+1x []1x ，当且仅当3时等号成立.综上可得，当时，的[][][]2119[]96x x x x ==++[]x =0x >[]2[]9x x +最大值为.1614. 由题意可知：的定义域为，令，解得令，解21e -()f x (),b ∞-+ln 0x a +=ln ;x a =-()ln 0x b +=得.若，当时，可知，此时，不合题1x b =-ln a b -- (),1x b b ∈--()ln 0,ln 0x a x b +>+<()0f x <意；若，当时，可知，此时，不合ln 1b a b -<-<-()ln ,1x a b ∈--()ln 0,ln 0x a x b +>+<()0f x <题意；若，当时，可知，此时；当ln 1a b -=-(),1x b b ∈--()ln 0,ln 0x a x b +<+<()0f x >时，可知，此时，可知若，符合题意；若[)1,x b ∞∈-+()ln 0,ln 0x a x b ++ ()0f x ln 1a b -=-，当时，可知，此时，不合题意.综上所ln 1a b ->-()1,ln x b a ∈--()ln 0,ln 0x a x b +<+>()0f x <述：，即.所以，令，所以ln 1a b -=-ln 1b a =+()ln 1ab a a =+()()ln 1h x x x =+，令，然得，令，解得，所以在()ln 11ln 2h x x x '=++=+()0h x '<210e x <<()0h x '>21e x >()h x 上单调递堿，在上单调递增，所以，所以的最小值为.210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭21,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭min 2211()e e h x h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ab 21e -15.解：（1）由题意知，{}2131030,33A x x x ⎡⎤=-+=⎢⎥⎣⎦∣ 若，则，8a =-{}()22802,2B x x =-<=-∣所以.(]1,2,2,33A B A B ⎡⎫⋂=⋃=-⎪⎢⎣⎭（2）因为，所以，()UA B B ⋂= ()UB A ⊆ 当时，此时，符合题意；B =∅0a 当时，此时，所以，B ≠∅0a <{}220Bx x a ⎛=+<= ⎝∣又，U A ()1,3,3∞∞⎛⎫=-⋃+ ⎪⎝⎭13解得.209a -< 综上，的取值范围是.a 2,9∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭16.解：（1）因为关于的不等式的解集为，x 2280ax x --<{2}xx b -<<∣所以和是关于的方程的两个实数根，且，所以2-b x 2280ax x --=0a >22,82,b a b a⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩解得.1,4a b ==（2）由（1）知，所以1442x y +=+()()()221141422242241844242y xx y x y x y x y y x ⎡⎤+⎛⎫⎡⎤+=++-=+++-=+++-⎢⎥ ⎪⎣⎦++⎝⎭⎣⎦，179444⎡⎢+-=⎢⎣ 当且仅当，即时等号成立，所以.()2242y x y x +=+x y ==2x y +74-17.解：（1）由题意知，()()e e x x f x x ax x a=-=-'若，令.解得，令，解得，所以在上单调递琙，在0a ()0f x '<0x <()0f x '>0x >()f x (),0∞-上单调递增.()0,∞+若，当，即时，，所以在上单调递增；0a >ln 0a =1a =()0f x ' ()f x (),∞∞-+当，即时，令，解得或，令，解得，ln 0a >1a >()0f x '>0x <ln x a >()0f x '<0ln x a <<所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；()f x (),0∞-()0,ln a ()ln ,a ∞+当，即时，令，解得或，令，解得，ln 0a <01a <<()0f x '>ln x a <0x >()0f x '<ln 0a x <<所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.()f x (),ln a ∞-()ln ,0a ()0,∞+综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在0a ()f x (),0∞-()0,∞+01a <<()f x 上单调递增，在上单调递减，在上单调递增当时，在上(,ln )a ∞-()ln ,0a ()0,∞+1a =()f x (),∞∞-+单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.1a >()f x (),0∞-()0,ln a ()ln ,a ∞+（2）若对任意的恒成立，即对任意的恒成立，()e xf x x - [)0,x ∞∈+21e 02xx ax x -- [)0,x ∞∈+即对任意的恒成立.1e 102x ax -- [)0,x ∞∈+令，所以，所以在上单调递增，当()1e 12x g x ax =--()1e 2x g x a=-'()g x '[)0,∞+，即时，，所以在上单调递增，所以()10102g a =-' 2a ()()00g x g '' ()g x [)0,∞+，符合题意；()()00g x g = 当，即时，令，解得，令，解得，所()10102g a =-<'2a >()0g x '>ln 2a x >()0g x '<0ln 2a x < 以在上单调递减，()g x 0,ln 2a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭所以当时，，不符合题意.0,ln 2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()00g x g <=综上，的取值范围是.a (],2∞-18.（1）证明：因为是定义在上的奇函数，所以，()f x R ()010f a =-=解得，所以，1a =()22x xf x -=-此时，满足题意，所以.()()22x x f x f x --=-=-1a =任取，所以12x x <，()()()()211122121211122222122222222122x x x x x x x x x x x x f x f x x x --⎛⎫--=---=--=-+ ⎪++⎝⎭又，所以，即，又，12x x <1222x x <12220x x -<121102x x ++>所以，即，所以在上单调递增.()()120f x f x -<()()12f x f x <()f x R （2）解：因为，所以，()()23540f x x f x -+->()()2354f x x f x ->--又是定义在上的奇函数，所以，()f x R ()()2354f x x f x ->-+又在上单调递增，所以，()f x R 2354x x x ->-+解得或，即不等式的解集为.2x >23x <-()()23540f x x f x -+->()2,2,3∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭（3）解：由题意知，令，()()()44244222xxxxxxg x mf x m ---=+-=+--322,,2x x t t ∞-⎡⎫=-∈-+⎪⎢⎣⎭所以，所以.()2222442x xxxt --=-=+-()2322,,2y g x t mt t ∞⎡⎫==-+∈-+⎪⎢⎣⎭当时，在上单调递增，所以32m -222y t mt =-+3,2∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭，解得，符合题意；2min317()323224g x m m ⎛⎫=-++=+=- ⎪⎝⎭2512m =-当时，在上单调递减，在上单调递增，32m >-222y t mt =-+3,2m ⎛⎫- ⎪⎝⎭(),m ∞+所以，解得或（舍）.222min ()2222g x m m m =-+=-=-2m =2m =-综上，的值为或2.m 2512-19.（1）解：若，则，所以，1a =()214ln 32f x x x x =---()14f x x x =--'所以，又，()14112f =--='()1114322f =--=所以的图象在处的切线方程为，即.()f x 1x =()1212y x -=-4230x y --=（2）（i ）解：由题意知，()22444a x a x x x af x x x x x '---+=--==-又函数恰有两个极值点，所以在上有两个不等实根，()f x ()1212,x x x x <240x x a -+=()0,∞+令，所以()24h x x x a =-+()()00,240,h a h a ⎧=>⎪⎨=-<⎪⎩解得，即的取值范围是.04a <<a ()0,4（ii ）证明：由（i ）知，，且，12124,x x x x a +==04a <<所以()()2212111222114ln 34ln 322f x f x x a x x x a x x ⎛⎫⎛⎫+=---+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()2212121214ln ln 62x x a x x x x =+-+-+-，()()()21212121214ln 262x x a x x x x x x ⎡⎤=+--+--⎣⎦()116ln 1626ln 22a a a a a a =----=-+要证，即证，只需证.()()124ln f x f x a+<-ln 24ln a a a a -+<-()1ln 20a a a -+-<令，所以，()()()1ln 2,0,4m a a a a a =-+-∈()11ln 1ln a m a a a a a -=-++=-'令，所以，所以即在上单调递减，()()h a m a ='()2110h a a a =--<'()h a ()m a '()0,4又，所以，使得，即，()()1110,2ln202m m '-'=>=<()01,2a ∃∈()00m a '=001ln a a =所以当时，，当时，，所以在上单调递增，在()00,a a ∈()0m a '>()0,4a a ∈()0m a '<()m a ()00,a 上单调递减，所以.()0,4a ()()()max 00000000011()1ln 2123m a m a a a a a a a a a ==-+-=-+-=+-令，所以，所以在上单调递增，所以()()13,1,2u x x x x =+-∈()2110u x x =->'()u x ()1,2，所以，即，得证.()000111323022u a a a =+-<+-=-<()0m a <()()124ln f x f x a +<-。

1516P >715816P <≤贵州省遵义市第四中学2015届高三数学上学期第三次月考试题 理第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

） 1．已知复数521iiz +=，则它的共轭复数z 等于 ( ) （A ）2i - （B ）2i -+ （C ） 2i + （D ）2i --2．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为( )3．执行如图所示的程序框图后，输出的值为4，则P 的取值范围是 （ ）（A ）（B ） （B ）（C ）161587<≤p （D ） 8743≤<p4．若“01x <<”是“()[(2)]0x a x a --+≤”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ）（A ）(,0][1,)-∞+∞ （B ）(1,0)- （C ）[1,0]- （D ）(,1)(0,)-∞-+∞5.下列函数中，既是奇函数又存在极值的是 ( )（A ）3y x = （B ） ln()y x =- （C ） x y xe -= （D ）2y x x=+6.某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社会活动，如果要求至少有1名女生．那么不同的选派方法共有21cnjy.co m( ) （A ）14种 （B ）28种 （C ）32种 （D ）48种7．若把函数sin y x ω=（0ω>）的图象向左平移3π个单位后与函数cos y x ω=的图象重合，则ω的值可能是 ( )（A ）13（B ）12 （C ）32 （D ）238.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为 ( )（A （B （C （D9.设1AB =，若2CA CB =，则CA CB ⋅的最大值为 ( )（A ）13（B ）2 （C （D ） 3 10.已知()(,())2f x x R x kk Z ππ∈≠+∈且是周期为π的函数，当x ∈（,22ππ-）时，()2cos .f x x x =+设(1),(2),(3)a f b f c f =-=-=-则 ( )（A ）c<b<a（B ）b<c<a（C ）a<c<b（D ）c<a<b11．已知点),(y x p 在直线32=+y x 上移动，当yx 42+取得最小值时，过点),(y x p 引圆22111()()242x y -++=的切线，则此切线长为 ( )（A （B ）32 （C ）12（D 12. 已知函数⎩⎨⎧>+-≤-=)0(1)1()0(12)(x x f x x x f ，把函数1)()(+-=x x f x g 的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的前n 项的和n S ,则10S ＝ ( ) （A ）1210- （B ）129- （C ）55 （D ）45第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．若实数x 、y 满足20,,,x y y x y x b -≥⎧⎪≥⎨⎪≥-+⎩且2z x y =+的最小值为3，则实数b =14．52)1)(32(x x x a +++的展开式中一次项的系数为3-,则5x 的系数为 15．在Rt △ABC 中，若∠C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，则△ABC 的外接圆半径r ＝a 2＋b 22，将此结论类比到空间有________________________ 16．给出以下四个命题：①若函数32()2f x x ax =++的图象关于点(1,0)对称，则a 的值为3-；②若1(2)0()f x f x ++=，则函数()y f x =是以4为周期的周期函数； ③在数列{}n a 中，11a =，n S 是其前n 项和，且满足1122n n S S +=+，则数列{}n a 是等比数列；④函数33(0)x x y x -=+<的最小值为2． 则正确命题的序号是 。

第7题图遵义四中2018-2019学年度第一学期高三第二次月考文科数学试题（满分：150分，完成试卷时间：120分钟）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、学籍号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．第Ⅰ卷（共 60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合1{|1}A x x=<，若全集为R ，则A 的补集等于 A ．[0,1] B ．(0,1] C ．,1)∞（- D ．,0)01∞U （-（，）2．若tan 0α>，则A ．sin 0α>B ．cos 0α>C ．sin 20α>D ．cos20α> 3．下列函数中，既是偶函数又是()0,+∞上的增函数的是A ．3y x = B ．2xy = C ．2y x =- D ．()3log y x =-4．已知a R ∈,则“2a =”是“复数2(2)(1)(z a a a i i =--++为虚数单位)为 纯虚数”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是 A ．4 B ．5 C ．6 D ．76． 对任意实数k ，直线1y kx =+与圆224x y +=的位置关系一定是A ．相交且不过圆心B ．相交且过圆心C ．相离D ．相切7．如图，网格上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则几何体的体积为A ．6B ．9C ．12D ．18 8．设首项为1，公比为23的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则 开始 是 输出k 否k =1n <100? n =n +2n k =k +1结束 n =1 第5题A ．21n n S a =-B ．32n n S a =-C ．43n n S a =-D ．32n n S a =-9．若m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β．直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，,l l αβ⊄⊄，则A ．α∥β且l ∥αB ．α⊥β且l ⊥βC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l10．函数()()cos (0,0,0)f x A x A ωϕωπϕ=+>>-<<的部分图象如图 所示，为了得到()sin g x A x ω=的图象，只需将函数()y f x =的图象A ．向左平移6π个单位长度 B ．向左平移12π个单位长度 C ．向右平移6π个单位长度 D ．向右平移12π个单位长度11．双曲线22221x y a b-=的右焦点F 与抛物线24y px =)0(>p 的焦点重合，且在第一象限的交点为M ，MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率是A ．222+B ．22C ．21+D ．22+12．用min{a,b,c}表示a,b,c 三个数中的最小值，设{}()min 2,2,10x f x x x =+- (x ≥0)，则()f x 的最大值为A ． 4B ． 5C ．6D ． 7第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．设,x y 满足约束条件10103x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则23z x y =-的最小值是__________．14．《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其意思为“有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子．”这个问题中，得到橘子最少的人所得的橘子个数是__________．15．已知两个单位向量a r 、b r 的夹角为60o，(1)c ta t b =+-r r r ，若0b c =r r g ，则t =__________．16．已知函数()((,2)(2,))y f x x =∈-∞-+∞U 在其图象上任取一点(,)x y 都满足方程第10题2244x y -=．①函数()y f x =一定具有奇偶性； ② 函数)2,()(--∞=在x f y 是单调函数； ③0(,2)(2,),2()x x f x ∃∈-∞-+∞<U 使； ④(,2)(2,),2()x x f x ∀∈-∞-+∞>U 使．以上说法正确的序号是__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知a ，b ，c 分别为ABC ∆三个内角A ,B ,C 的对边，A c C a c cos sin 3-=. （Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若a =2，ABC ∆的面积为3，求b ，c .18．（本小题满分12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．（Ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n （单位：枝，n ∈N）的函数解析式；（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表： 日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数10201616151310(i)假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数； (ii)若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率．19.（本小题满分12分）如图，在三棱锥P ABC -中，PAB ∆是等边三角形，90PAC PBC ∠=∠=︒． （Ⅰ）求证：PC AB ⊥；（Ⅱ）若4PC =，且平面PAC ⊥平面PBC ， 求三棱锥P ABC -体积．20．（本小题满分12分）已知点)0,1(F ，⊙F 与直线0134=++y x 相切，动圆M 与⊙F 及y 轴都相切，且切点不是坐标原点．（Ⅰ）求点M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点F 任作直线l ，交曲线C 于B A ,两点，由点B A ,分别向⊙F 各引一条切线，切点分别为Q P ,，记QBF PAF ∠=∠=βα,，求证：βαsin sin +是定值．21．（本小题满分12分）设函数()b f x ax x =-，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为74120x y --=．（Ⅰ）求()y f x =的解析式；（Ⅱ）求证：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形面积为定值，并求此定值．请考生在22题和23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号．22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程为431x ty t =⎧⎨=-⎩（t 为参数），当0t =时，曲线1C 上对应的点为P ．以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为ρ=．（Ⅰ）求曲线1C 的极坐标方程；（Ⅱ）设曲线1C 与曲线2C 的公共点为A 、B ，求||||PA PB g的值．23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()2321f x x x =++-． （Ⅰ）求不等式()5f x ≤的解集；（Ⅱ）若关于x 的不等式()1f x m <-的解集非空，求实数m 的取值范围．2019届高三第二次月考 文科数学参考答案13．6- 14． 6 15．2 16.（3）（4）17．（Ⅰ）由A c C a c cos sin 3-=及正弦定理得 A C C A C cos sin sin sin 3sin -= 由于sin 0C ≠，所以1sin()62A π-=， 又0A π<<，故3A π=.．．．．．．6分（Ⅱ）ABC ∆的面积S =1sin 2bc A =3,故bc =4， 而 2222cos a b c bc A =+- 故22c b +=8，解得b c ==2. ．．．．．．12分18.（Ⅰ）当日需求量17n ≥时，利润y =85；当日需求量17n <时，利润1085y n =-，∴y 关于n 的解析式为1085,17,()85, 17,n n y n N n -<⎧=∈⎨>⎩；．．．．．．4分（Ⅱ）(i)这100天中有10天的日利润为55元，20天的日利润为65元，16天的日利润为75元，54天的日利润为85元，所以这100天的平均利润为1(5510652075168554)100⨯+⨯+⨯+⨯=76.4；．．．．．．8分(ii)利润不低于75元当且仅当日需求不少于16枝，故当天的利润不少于75元的概率为0.160.160.150.130.10.7p =++++=．．．．．．12分19.解：（Ⅰ）因为PAB ∆是等边三角形，题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 ACBCAABDDBCC90PAC PBC ∠=∠=︒,所以Rt PBC Rt PAC ∆≅∆,可得AC BC =。