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转轴扭转强度、刚度校核

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4章-圆轴扭转时的强度与刚度计算

4章-圆轴扭转时的强度与刚度计算

d A
A
M
x
d G G dx
TSINGHUA UNIVERSITY
d M x dx G I P
IP

A
2dA
式中: GIP — 扭转刚度(torsion stiffness) IP — 横截面的极惯性矩(polar moment
of inertia of the cross section)
怎样才能平衡？

dy
根据力偶平衡理论

d y d z d x d x d z d y
x
dz dx

第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
剪应力互等定理 y TSINGHUA UNIVERSITY z
剪切胡克定律

剪应力成对定理

dy

x
dz dx
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工程中承受扭转的圆轴
返回
第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
工程中承受扭转的圆轴
TSINGHUA UNIVERSITY
请判断哪一杆件 将发生扭转？
当两只手用力相等时， 拧紧螺母的工具杆将产生扭 转。
第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
工程中承受扭转的圆轴
TSINGHUA UNIVERSITY
圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计
TSINGHUA UNIVERSITY
变形协调方程
第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计
若将圆轴用同轴柱面分割成许多半径不等的圆柱，根据 上述结论，在dx长度上，虽然所有圆柱的两端面均转过相同 的角度d，但半径不等的圆柱上产生的剪应变各不相同， 半径越小者剪应变越小。

轴的扭转刚度校核

轴的扭转刚度校核

图12－4
3、钢丝软轴（挠性轴）
它不受任何空间的限制，可以将扭转或旋 转运动灵活地传到任何所需的位置，常用于医 疗设备、操纵机构、仪表等机械中。
图12－5
二、按照承受载荷不同分类
转轴：既承受扭矩又承 受弯矩（常见） 转动 根据承受载荷不同分类 受弯矩 心轴：只承受扭矩不承 固定 无弯矩 传动轴：只承受扭矩而
轴有不同的分类方法，也有不同类型的轴。 常用的分类方法有两类： 1）根据轴线的形状 不同分类；2）根据承受载荷不同分类。
光轴 根据需要可制成空心轴 直轴 阶梯轴 按轴线形状分类 旋转运动变为直线运动 曲轴：通过连杆可以把 可以穿过 钢丝软轴：具有挠性， 曲路传递运动或动力
三、轴的设计内容及应考虑的主要问题 与其它零件一样，轴的设计包括两个方面的 内容： 1 ）轴的结构设计：即根据轴上零件的安装、定 位及轴的制造工艺等方面的要求，合理确定轴的 结构形状和尺寸。 2）轴的工作能力设计：即从强度、刚度和振 动稳定性等方面来保证轴具有足够的工作能力和 可靠性。对于不同机械的轴的工作能力的要求是 不同的，必须针对不同的要求进行。但是强度要 求是任何轴都必须满足的基本要求。
合金钢：对于要求强度较高、尺寸较小或有其 它特殊要求的轴，可以采用合金钢材料。耐磨 性要求较高的可以采用 20Cr、20CrMnTi 等低 碳合金钢；要求较高的轴可以使用40Cr（或用 3 5 SiMn、40MnB 代 替 ） 、 4 0 CrNi( 或 用 38SiMnMo代替)等进行热处理。 合金钢比碳素钢机械强度高，热处理性 能好。但对应力集中敏感性高，价格也较高。 设计时应特别注意从结构上避免和降低应力集 中，提高表面质量等。
所以，轴的设计程序是：先根据扭转强度 （或扭转刚度）条件，初步确定轴的最小直径； 然后，根据轴上零件的相互关系和定位要求， 以及轴的加工、装配工艺性等，合理地拟订轴 的结构形状和尺寸；在此基础上，再对较为重 要的轴进行强度校核。只有在需要时，才进行 轴的刚度或振动稳定性校核。 因而，轴的设计区别于其它零件设计过程 的显著特点是：必须先进行结构设计，然后才 能进行工作能力的核算。

轴的结构与强度校核

轴的结构与强度校核

齿轮的径向力： 齿轮的轴向力：
N N
2、选择轴的材料和热处理方式 选择轴的材料为45钢，经调质处理, 其机械性能查表得
3、初算轴的最小轴径 则轴的最小直径为： • 轴的最小直径显然是安装联轴器处轴的直径，需开键槽， 故将最小轴径增加5%，变为42.525mm。查《机械设计手册》， 取标准直径45mm。
考虑拆卸的方便，轴段3的直径只要比轴段4的直径稍大 就行了，并取标准值（齿轮）这里取为D3=58mm。
轴段3的长度要比齿轮的轮毂宽度(为100mm)短2～3mm， 故该段轴长取为L3=98mm
轴段2是一轴环，右侧用来定位齿轮，左侧用来定位滚动 轴承，查滚动轴承的手册，可得该型号的滚动轴承内圈 安装尺寸最小为64mm，同时轴环的直径还要满足比轴段 3的直径(为58mm)大5～10mm的要求，故这段直径最终 取D2=66mm。
(5) 绘制转矩图。 (6) 按照强度理论求出当量弯矩，并做当量弯矩图
(7)确定危险剖面， 校核危险剖面的弯扭合成强度。
• 【例11-2】 ：设计带式运输机减速器的主动轴. 已知传 递功率 P=10kW, 转速 n=200 r/min, 齿轮齿宽 B=100mm, 齿 数 z=40, 模数 m=5mm, 螺旋角 β＝ ，轴端装有联轴 器。 解：1、计算轴上转矩和齿轮作用力 轴传递的转矩： 齿轮的圆周力： N.mm N
应力集中出现在截面突然发生变化的。
措施： 1. 用圆角过渡； 2. 尽量避免在轴上开横孔、切口或凹槽; 3. 重要结构可增加卸载槽B、过渡肩环、凹切圆角、 增大圆角半径。也可以减小过盈配合处的局部应力。 30˚ d/4 d B位置 d/4 r
过渡肩环
凹切圆角
第三节、轴的工作能力分析
一、对于只传递扭转的圆截面轴，强度条件为：

《圆轴扭转时的强度与刚度计算》

《圆轴扭转时的强度与刚度计算》

《圆轴扭转时的强度与刚度计算》南京航空航天⼤学“材料⼒学”教案第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算4—1 教学要求与学习⽬标1．正确理解关于剪应⼒的基本概念：(1) 剪应⼒与剪应变的定义；(2) 弹性范围内的剪应⼒与剪应变之间的关系－剪切胡克定律；(3) 剪应⼒互等定理。

2．正确理解圆轴扭转时受⼒与变形的特点；掌握分析圆轴扭转时横截⾯上的剪应⼒分析⽅法；正确理解和应⽤圆轴扭转时横截⾯上的剪应⼒公式与相对扭转⾓公式，注意公式的应⽤条件。

3．正确理解圆轴扭转的强度条件与刚度条件，并能正确应⽤其解决圆轴的强度与刚度问题4．会解决简单的扭转超静定问题。

4—2 教学⼤纲与学时分配1、圆轴扭转时的应⼒变形计算公式（1.5）2、与圆轴扭转应⼒、变形公式有关的⼏何性质(0.5)3、圆轴扭转时的强度条件与刚度条件(1.0)4—3 讲授内容4－3－1 圆轴扭转时的应⼒变形计算公式根据平衡条件，只能求得截⾯上的扭矩M x，它是截⾯上剪应⼒分布⼒系的合⼒。

因此，只知道M x还不能确定截⾯上各点切⼒的⼤⼩。

这就是应⼒分析的静不定性质。

为了确定截⾯上的剪应⼒计算公式，必须应⽤变形协调、物性关系、静⼒学⽅程等三⽅⾯的条件。

1、扭转时的变形⼏何关系圆轴受扭时，其表⾯的正⽅形⽹格发⽣剪切变形，但不发⽣轴向的伸长或缩短。

且圆周线亦保持不变。

根指表⾯的变形情况，作出圆轴扭转时的“平⾯假定”，即：横截⾯变形前为平⾯，变形后仍保持平⾯，只是相对转过⼀⾓度。

由此，得到⾃表⾯⾄中⼼剪应变的变化规律()x ?γρρd ＝d 上式表明剪应变γ与到截⾯中⼼的距离ρ成正⽐。

2、剪应⼒与剪应变之间的物性理关系在弹性范围内，根据剪切虎克定律，到截⾯中⼼距离为ρ处的剪应⼒与剪应变之间存在正⽐关系：G τγ＝3、圆轴扭转时横截⾯上的剪应⼒分布由上述⼆式得到()G x ?τρρd ＝d 这表明剪应⼒亦与到截⾯中⼼的距离成正⽐。

即截⾯上的剪应⼒沿半径⽅向线性分布，截⾯中⼼处为零；截⾯外沿最⼤。

转轴扭转强度、刚度校核

转轴扭转强度、刚度校核

当两轴材料、长度相同，它们的重量之比等于横截面面
积之比。设A1、A2分别为空心轴和实心轴的面积，则有
A 1
/
A 2
[
(D
2
d
2)
/
4] /(D 22
/
4)
(90 2
852 )
/
612
0.235
第四节 圆轴扭转时的强即
max M n/Wn [ ]
(6-12)
例6-4 某传动轴，已知轴的直径d=40mm，转速
n材=料20的0许r/m用i切n，应力 60MPa ，试求此轴可传递的最大功率。
解 (1)确定许可外力偶矩
由扭转强度条件得
M n Wn[ ] (0.2 403 109 60 106 )N m 768N m
2)按刚度条件设计(设直径为D2)。若它们的抗扭刚度相同 当材料相同时，它们的极惯性矩相等，即
由此得
IP
D
4 2
/
32
D 4 (1 a4 ) / 32
D 2
D4
1 a4
[90 4
1 (85/ 90)4 ]mm 61mm
为同时满足强度和刚度条件，实心轴直径最小应取D2=61mm。 (3)比较两轴重量
M M n 768N m
(2) 确定最大功率
由式（6-1）得
P M nn / 9550 (768 200 / 9550 )kW 16kW
二、刚度计算
圆轴扭转时，还要求不产生过大的扭转变形。即
max 180 M n /(GIP ) [θ]
(6-13)
[ ]的数值，可从有关手册中查得。一般情况下，可参照
max M n/Wn (1500 103 / 29800 )MPa 50.3MPa＜[ ]

圆轴扭转时的强度与刚度计算材料力学

圆轴扭转时的强度与刚度计算材料力学

•
度条件为
max
Mn Wp
maxG MnIp •180
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， 圆轴扭转时横载面上的剪应力公式 由平衡条件，得 （2）刚度计算的三方面： b 截面选择 （3）圆杆的横截面上只有剪应力作用，方向垂直于半径。 二、内力------扭矩 （2）根据外力偶矩，计算扭矩： 所以，满足强度要求。 （2）环线变形后仍相互平行，产生了剪应变。 精度要求不高的轴 （2）根据外力偶矩，计算扭矩： 且大小、形状不变，半径为直线。
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• 第三节 圆杆扭转时的应力和变形 一
实心圆杆的扭转 • 1 观察变形现象：
•
• 2 变形现象：
• （1）纵线在变形后近似为直线，
• 但相对于原位置转了一个 角。 • （2）环线变形后仍相互平行，产生了剪应变。 • 3 推论： • （1）圆杆在扭转后横截面保持为垂直杆轴线的平面， • 且大小、形状不变，半径为直线。 • （2）用纵线和环线截取的单元体处于纯剪切状态。 • （3）圆杆的横截面上只有剪应力作用，方向垂直于半径。
•
m Np n
9.55npr/K mN ink.nm
nr/min
7.02N马力 KN .M
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• 二、内力------扭矩
• 1.截开：
• 2.代替：
•
扭矩Mn-----当杆受到外
• 力偶矩作用而发生扭转变形
• 时，在杆横截面上将同时产
• 生相应内力矩，称为扭矩。
• 记为： Mn
解：1. 求外力偶：
m1 7.0250011.70KN.m 300
转向与轴的转向一 致
m 2m 37.01 3 25 03 0 0.5K 1.m N m47.023 20 00 040K 68.N m

轴的强度校核方法

轴的强度校核方法摘要轴是机械中非常重要的零件，用来支承回转运动零件，如带轮、齿轮、蜗轮等，同时实现同一轴上不同零件间的回转运动和动力的传递。

轴的设计时应考虑多方面因素和要求，其中主要问题是轴的选材、结构、强度和刚度。

其中对于轴的强度校核尤为重要，通过校核来确定轴的设计是否能达到使用要求，最终实现产品的完整设计。

本文根据轴的受载及应力情况采取相应的计算方法，对于1、仅受扭矩的轴2、仅受弯矩的轴3、既承受弯矩又承受扭矩的轴三种受载情况的轴的强度校核进行了具体分析，并对如何精确计算轴的安全系数做了具体的简绍。

校核结果如不满足承载要求时，则必须修改原结构设计结果，再重新校核。

轴的强度校核方法可分为四种：1）按扭矩估算2）按弯矩估算3）按弯扭合成力矩近视计算4）精确计算（安全系数校核）关键词：安全系数；弯矩；扭矩目录第一章引言--------------------------------------- 11.1轴的特点---------------------------------------------1 1.2轴的种类---------------------------------------------1 1.3轴的设计重点-----------------------------------------1第二章轴的强度校核方法----------------------------42.1强度校核的定义-------------------------------------4 2.2轴的强度校核计算-----------------------------------4 2.3几种常用的计算方-----------------------------------5 2.3.1按扭转强度条件计算-------------------------------5 2.3.2按弯曲强度条件计算-------------------------------6 2.3.3按弯扭合成强度条件计算---------------------------7 2.3.4精确计算（安全系数校核计算）----------------------9 2.4 提高轴的疲劳强度和刚度的措施---------------------12第三章总结------------------------------------------13参考文献--------------------------------------------14第一章引言1.1轴的特点：轴是组成机械的主要零件之一。

10——扭转的强度和刚度计算


τ 1 = γτ max
其中 : WT = α b 2h
θ = Mx
GI T
, 其中 : IT = β b3h
对于狭长矩形 ( 即 : h ≥ 10 ) ; b
α ≈β ≈1
3
查表求α 和β 时一定要注意，表中α 和β 与那套公式对应。
[例] 一矩形截面等直钢杆，其横截面尺寸为：h = 100 mm， b=50mm，长度L=2m，杆的两端受扭转力偶 Mx =4000N·m 的作用 ，钢的G =80GPa ，试求此杆的剪应力和单位长度扭 转角。
T
Ip
≥
max
G[θ ]
T max ≤ GI p[θ ]
有时，还可依据此条件进行选材。
[例] 长为 L=2m 的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，
如图，若杆的内外径之比为α =0.8 ，G=80GPa ，许用剪应 力 [τ]=30MPa，试设计杆的外径；若[θ]=2º/m ，试校核此杆
的刚度，并求右端面转角。
石油钻机中的钻杆等。
扭转：外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线
垂直，杆发生的变形为扭转变形。
A
B O
A
γ ϕBO
m
m
工 程 实 例
单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这 种应力状态称为纯剪切应力状态。 四、剪切虎克定律：
T
T
τ =G⋅γ
式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因γ 无量纲，故G的量纲与τ 相同，不同材料的G值可通过实验确定，
dx
τρ
=
Mx ⋅ρ
Ip
—横截面上距圆心为ρ处任一点剪应力计算公式。
4. 公式讨论： ① 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面

圆轴扭转时的强度和刚度计算


A1 / A2 = [π (D 2 − d 2 ) / 4] /(πD 2 2 / 4) = (90 2 − 852 ) / 612 = 0.235
传动轴满足强度要求。 2)刚度校核 传动轴的极惯性矩为
I P = 0.1D 4 (1 − a 4 ) = {0.1 × 90 4 [1 − (85 / 90 ) 4 ]}mm 4 = 134 × 10 4 mm 4 θ max = 180 M n /(πGI P )
= (180 × 1500 × 10 3 / 80 × 10 3 × 134 × 10 4 π ) × 10 3 °/m
= 0.8°/m ＜ [θ ]
传动轴满足刚度要求。 (2)计算实心轴的直径
1)按强度条件设计(设直径为D1)。若实心轴与空心轴强 度相同，当材料相同时，它们的抗扭截面系数应相等，即
W n = πD 13 / 16 = πD 3 (1 Βιβλιοθήκη a 4 ) / 16由此得
D 1 = D3 1 − a 4 = [90 × 3 1 − (85 / 90) 4 ]mm = 53mm
根据扭转刚度条件，可以解决三类问题， 即校核刚度、 设计截面和确定许可载荷 。
例6-5 汽车传动轴AB由45号无缝钢管制成，外径D=90mm,
[ 内径d=85mm，许用切应力 [τ ]=60MPa，θ ] =1.0°/m，工作时最
大力偶矩M =1500N·m，G =80GPa。 (1)试校核其强度及刚度。 (2)若将AB轴改为实心轴，试求其直径。 (3)比较空心轴和实心轴的重量。 解 (1)试校核其强度及刚度。 1) 强度校核 传动轴各截面上的扭矩均为
θ max = 180M n /(πGI P ) ≤ [θ ]
(6-13)

材料力学 (扭转)(四章 圆轴扭转时的强度与刚度计算)


Mx 0: T1 MA 0
C
T1 MA 7.03KN.m
22
Mx 0: -T2 MC 0
T2 MC 2.32KN.m
X
(4)讨论现在的设计是否合理。
若将A轮与B轮调换， X 则扭矩图如下：
可见轴内的最大扭矩值减小了。10
T(KN.M)
§3.2 薄壁圆筒扭转
在圆筒表面画 上许多纵向线 与圆周线,形成 许多小方格.
G
剪切胡克定律
Ｇ－剪切弹性模量
G E
2(1 )
2021/8/19
17
圆轴扭转时的应力和变形
根据观察到的现象， 经过推理，得出关于圆 轴扭转的基本假设。
m
m
圆轴扭转变形前的横截面，变形后仍保持为平面，
形状和大小不变。且相邻两截面间的距离不变。这就 是圆轴扭转的平面假设。
2021/8/19
18
二. 应力在横截面上的分布
2
而象电动机的主轴，水轮 机的主轴也承受扭转作用， 但这些零件除扭转变形外， 还伴随有其它形式的变形， 属于组合变形。
• 以扭转变形为主要变形形式的构件通常称为轴。 • 工程上应用最广的多为圆截面轴，即圆轴。
2021/8/19
3
• 扭转受力的特点是：
• 在构件的两端作用两个大小相等、方向相反且作 用面垂直于构件轴线的力偶矩。致使构件的任意 两个截面都发生绕构件轴线的相对转动，这种形 式的变形即为扭转变形。
在转矩m作用下，发现圆 周线相对地旋转了一个角 度，但大小、形状和相邻 两圆周线的距离不变。
表明，在圆筒的横截面上没有正应力和径向剪应力。
2021/8/19
11
设圆筒平均半径为r，筒壁厚度为t
因圆筒壁厚很小，可认为剪应力沿
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max M n/Wn (1500 103 / 29800 )MPa 50.3MPa＜[ ]
传动轴满足强度要求。 2)刚度校核 传动轴的极惯性矩为
IP 0.1D 4 (1 a4 ) {0.1 904[1 (85 / 90)4 ]}mm4 134 10 4 mm4
max 180 M n /(GI P ) (180 1500 103 / 80 103 134 10 4 ) 103/m
当两轴材料、长度相同，它们的重量之比等于横截面面
积之比。设A1、A2分别为空心轴和实心轴的面积，则有
A 1
/
A 2
[
(D
2
d
2)
/
4] /(D 22
/
4)
(90 2
852 )
/
612
0.235
第四节 圆轴扭转时的强度和刚度计算
一、强度计算
为了保证圆轴安全正常地工作，即
max M n/Wn [ ]
(6-12)
例6-4 某传动轴，已知轴的直径d=40mm，转速
n材=料20的0许r/m用i切n，应力 60MPa ，试求此轴可传递的最大功率。
解 (1)确定许可外力偶矩
由扭转强度条件得
M n Wn[ ] (0.2 403 109 60 106 )N m 768N m
最
大力偶矩M =1500N·m，G =80GPa。
(1)试校核其强度及刚度。 (2)若将AB轴改为实心轴，试求其直径。 (3)比较空心轴和实心轴的重量。 解 (1)试校核其强度及刚度。 1) 强度校核 传动轴各截面上的扭矩均为
Mn = M = 1500N·m
传动轴的抗扭截面系数为
Wn 0.2D 3 (1 d 4 ) {0.2 903[1 (85 / 90)4 ]}mm3 29800 mm3 传动轴横截面上的最大切应力为
2)按刚度条件设计(设直径为D2)。若它们的抗扭刚度相同 当材料相同时，它们的极惯性矩相等，即
由此得
IP
D
4 2
/
32
D 4 (1 a4 ) / 32
D 2
D4
1 a4
[90 4
1 (85/ 90)4 ]mm 61mm
为同时满足强度和刚度条件，实心轴直径最小应取D2=61mm。 (3)比较两轴重量
0.8/m ＜ [ ]
传动轴满足刚度要求。 (2)计算实心轴的直径
1)按强度条件设计(设直径为D1)。若实心轴与空心轴强
度相同，当材料相同时，它们的抗扭截面系数应相等，即
由此得
Wn D13 /16 D 3 (1 a4 ) /16 D1 D3 1 a4 [90 3 1 (85/ 90)4 ]mm 53mm
M M n 768N m
(2) 确定最大功率
由式（6-1）得
P M nn / 9550 (768 200 / 9550 )kW还要求不产生过大的扭转变形。即
max 180 M n /(GIP ) [θ]
(6-13)
[ ]的数值，可从有关手册中查得。一般情况下，可参照
下列标准。
精密机械的轴
[ ] =（0.25~0.5）°/m
一般传动轴
[ ] =(0.5~1.0) °/m
精度要求不高的轴
=[(1].0~2.5) °/m
根据扭转刚度条件，可以解决三类问题， 即校核刚度、
设计截面和确定许可载荷 。
例6-5 汽车传动轴AB由45号无缝钢管制成，外径
内D径=9d0=m8m5m, m，许用切应[力] =60M[P]a， =1.0°/m，工作时