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人教版高中数学选修2-2 1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 PPT课件

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人教版人教课标高中数学选修2-2基本初等函数的导数公式及导数的演算法则课件

人教版人教课标高中数学选修2-2基本初等函数的导数公式及导数的演算法则课件

f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函 数的平方.即:
返回 下页
基 本 初 等 函 数 的 导 数 公 式 及 导 数 的 运 算 法 则
一.基本初等函数的导数公式
• 我们今后可以直接使用的基本初等函数的导数公式
公式1.若f ( x) c, 则f '( x) 0; 公式2.若f ( x) x n , 则f '( x) nx n 1 ; 公式3.若f ( x) sin x, 则f '( x) cos x; 公式4.若f ( x) cos x, 则f '( x) sin x; 公式5.若f ( x) a x , 则f '( x) a x ln a ( a 0); 公式6.若f ( x) e x , 则f '( x) e x ; 1 公式7.若f ( x) log a x, 则f '( x) ( a 0, 且a 1); x ln a 1 公式8.若f ( x) ln x, 则f '( x) ; x 返回
解：因为y ' ( x3 2 x 3) ' ( x3 ) ' (2 x) ' (3) ' 3x 2 2 所以函数y x3 2 x 3的导数是y ' 3x 2 2
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数学：1.2.2《基本初等函数的导数公式及导数的运算法则》课件(新人教A版选修2—2)

数学：1.2.2《基本初等函数的导数公式及导数的运算法则》课件(新人教A版选修2—2)
' 3 3 '
'
2x 3
'
3
'
3x 2.
所以,函数 y x 2x 3的导数是 y 3x 2.
' 2
2
例3
日常生活中的饮用水 经过 净化的 . 随着水 , 所需净化费 .已知将 1吨水净 x % 时所需费
通常是
纯净度的提高 用不断增加 化到纯净度为 用 单位 : 元 为 cx 5284 100 x
可以看作函数
和u
0 . 05 x 1 的复合函数
y y u
' x
.由复合函数求导法则有
'
e
0 . 05 x 1
u '
0 .0 5 x 1
0 . 05 e
u
0 . 05 e
.
3 函数
y sin π x φ 可以看作函数 .
'
f x f 3. g x
'
'
x g x f x g x g x 2 g x
0 .
例2
根据基本初等函 的导数公式 数
3
和导数运算法则求函数 y x 2x , 3 的导数.
解 x
因为y x 2x 3
一般地 , 对于两个函数 变量 u , y 可以表示成
y f u 和 u g x , 如果通过 x 的函数 , 那么称这个函数为函 fun

数 y f u 和 u g x 的 复合函数 ( composite ction ), 记作 y f g x .

1.2.2导数公式及运算法则

1.2.2导数公式及运算法则
在复合函数中，内层函数 u＝g(x)的值域必须是外层函 数 y＝f(u)的定义域的子集．
2．复合函数的求导法则 复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量
的导数，乘以中间变量对自变量的导数，即 yx′＝ yu′·ux′，
并且在利用复数的求导法则求导数后，最后结果要把中间 变量换成自变量的函数．复合函数，可以是一个中间变量， 也可以是两个或多个中间变量，应该按照复合次序从外向 内逐层求导．
2．函数 y＝21(ex＋e－x)的导数是(
)
A.12(ex－e－x) B.21(ex＋e－x)
C．ex－e－x D．ex＋e－x 解析 y′＝21ex＋e－x′＝12[(ex)′＋(e－x)′]＝
21(ex－e－x)． 3．[2017·泉州高二检测]函数 f(x)＝π2x2 的导数是( )
A．f′(x)＝4πx B．f′(x)＝2πx
C．f′(x)＝2π2x D．f′(x)＝2πx2＋2π2x
解析 由 f(x)＝π2x2 得 f′(x)＝2π2x，故选 C.
loga
xf
' ( x)
x
1 ln
a
(a
0且aΒιβλιοθήκη 1)f (x) ln xf '(x) 1 x
导数可以进行四则运算吗？
探究新知 一．导数的运算法则
设两个函数分别为f(x)和g(x)
法则
[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)
语言法叙则述 两[个f(x函)g数(x的)]'＝和f('或(x差)g()x的)＋导f数(x)，g'等(x)于
随堂达标自测
1．下列函数不是复合函数的是( )
A．y＝－x3－1x＋1 C．y＝ln1x

高中数学选修2-2精品课件5：1.2.2 基本初等函数的导数公式及运算法则

高中数学选修2-2精品课件5：1.2.2 基本初等函数的导数公式及运算法则

(1) f (x) x5
(2) f (x) 1 x
(3) f (x) x
(4) f (x) 5 x3
(5) f (x) 1 x2 x
(6) f (x) 3x
(7) f (x) 3x (9) f (x) log3 x
(8)
f
( x)
1 2x
(10) f (x) lg x
练习:求下列函数的导数.
4.求曲线y 3上过点(1,3)的切线方程.
导数的运算法则
1、和(差)的导数： f (x) g(x) f (x) g(x)
2、积的导数： f (x) g(x) f (x) g(x) f (x) g(x)
推论： c f (x) c f (x) （C为常数）
3、商的导数：
第一章 导数及其应用
§1.2.2 基本初等函数的导数公式及 运算法则
高中数学选修2-2·精品课件
基本初等函数的导数公式:
1、若f (x) c , 则 f (x) 0
2、若f (x) xn , 则 f (x) n xn1
3、若f (x) sin x , 则 f (x) cos x
4、若f (x) cos x , 则 f (x) sin x
(2)
y
1 4
x3
1 3
x2
5x
sin
x
log3x
(3) y x3(x2 4)
(4) y (2x 1)2 (3x 2ex )
x2 (5) y
2x 1
(7) y 2x ln x
(6) y 5x cos x
(8) y tan x
前面我们已经学习了几个常用函数的导数， 这样做起题来显得格外轻松. 为了方便，我们今后可以直接使用下面 的基本初等函数的导数公式

人教A版高中数学选修2-2课件1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(29张PPT)

人教A版高中数学选修2-2课件1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(29张PPT)
yx ' yu 'ux ' (sin) ' ( x ) ' cos u cos( x )
复合函数求导三步曲：
第一步，分层（从外向内分解成基本函 数用到中间变量）；
第二步，层层求导（将分解所得的基本 函数进行求导）；
第三步，做积还原（将各层基本函数的 导数相乘，并将中间变量还原为原来的 自变量）。
5．函数y=3sin2x＋l在点(π，1)处的切线方
程是.
y=1
6．求 y 3 ax2 bx c 的导数
y
'
1
(ax2
bx
2
x) 3
(2ax
b)
3
(2ax b) 3 ax2 bx c 3(ax2 bx c)
作业：P18 A 组 T4 T5 T6 T7
三.复合函数的导数法则:
复合函数 y f (g(x)) 的导数与函数 y f (u) 和 u g(x) 的导数间关系为：
y y • u
xuxຫໍສະໝຸດ 或y f '(u) • g '(x) x
即复合函数y对x的导数等于: y对u的导数 与 u对x的导数的乘积.
当堂检测 1．函数y=(5x－4)3的导数是（）C
P16 思考:如何求 y ln(x 2) 导数?
二、复合函数的概念
一般地,对于两个函数 y f (u) 和 u g(x) ,如果通 过变量 u, y 可以表示成 x 的函数,那么称这个函数 y f (u) 和 u g(x) 的复合函数,记作 y f (g(x))
复合函数 y f (g(x)) 的导数和函数 y f (u) , u g(x) 的导数间的关系为 yx ' yu 'ux ' ,即 y 对 x 的 导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积.

选修2-2第一章1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)

选修2-2第一章1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)

(2)y＝3xex－2x＋e；
(3)y＝xl2n＋x1；
(4)y＝x2－sin xcosx. 22
想一想．如何求函数 y＝tan x 的导数？
例3 已知直线l: 2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A、B两 点，O是坐标原点，试求与直线l平行的抛物线的切线方程， 并在弧AOB上求一点P，使△ABP的面积最大.
1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)
1．基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)＝c(c 为常数)
f′(x)＝__0
f(x)＝xα(α∈Q*) f(x)＝sin x f(x)＝cos x f(x)＝ax
f(x)＝ex f(x)＝logax f(x)＝ln x
f′(x)＝__α_x_α_－_1__
(2)积的导数 ①[f(x)·g(x)]′＝ f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) ； ②[cf(x)]′＝ cf′(x) ．
(3)商的导数 gfxx′＝
f′xg[xg－xf]2xg′x(g(x)≠0)
．
【例 1】 求下列函数的导数．
(1)y＝cos
π6；(2)y＝x15；(3)y＝
f′(x)＝__c_o_s__x__
f′(x)＝__－__s_i_n_x___ f′(x)＝__a_x_l_n__a_ (a＞0)
f′(x)＝__e_x_
f′(x)＝__xl_1n_a__ (a＞0，且 a≠1) f′(x)＝__1____ x
2.导数的运算法则
(1)和差的导数
[f(x)±g(x)]′＝ f′(x)±g′(x) ．
x2 ； x
(4)y＝lg x；(5)y＝5x；(6)y＝cos π)′＝cos x；② x53 ′＝x23；

高中数学 1.2.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)课件 新人教A版选修2-2

高中数学 1.2.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)课件 新人教A版选修2-2
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高中数学课件
1.2.2
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)
-
首页
XINZHIDAOXUE 新知 ZHONGNANTANJIU 重难探究 DANGTANGJ 当堂 导学 检测
学习目标 1.能利用导数的 四则运算法则求 解导函数. 2.能运用复合函 数的求导法则进 行复合函数的求 导.
探究一应用导数的运算法则求导
1 .运用可导函数求导法则和导数公式求可导函数的导数,一定要先分 析函数 y=f(x)的结构和特征,若直接求导很繁琐,一定要先进行合理的化简 变形 ,再选择恰当的求导法则和导数公式求导. 2 .若要求导的函数解析式与三角函数有关,往往需要先运用相关的三 角函数公式对解析式进行化简、整理,然后再套用公式求导.
XINZHIDAOXUE 新知 ZHONGNANTANJIU 当堂 重难探究 DANGTANGJ 导学 检测
思路分析:解答本题可先确定式子的形式,再用基本初等函数的导数公 式和导数的运算法则求解. 解 :(1)y'=(x2+log 3x)'=(x2)'+(log3x)'=2x+ (2)y'=
cos������ ������
思维脉络
Hale Waihona Puke 首页 1 21.导数的运算法则 设两个函数分别为 f(x)和 g(x)
两个函数的和的导数 两个函数的差的导数 两个函数的积的导数 两个函数的商的导数
XINZHIDAOXUE 新知 ZHONGNANTANJIU 重难探究 DANGTANGJ 当堂 导学 检测
[f(x)+g(x)]'=f'(x )+g'(x) [f(x)-g(x )]'=f'(x)-g'(x) [f(x)· g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)

高中数学 选修2-2 第一章 1.2 导数的计算 1.2.1 1.2.2讲解

高中数学 选修2-2 第一章 1.2 导数的计算 1.2.1 1.2.2讲解

3 2.
不正确．因为sin 6π ＝ 12 是一个常数，而常数的导
数为零，所以sin6π′＝0.
指数函数、对数函数的导数公式的记忆对于公式(ln
x)′＝
1 x
，(ex)′＝ex很好记，但公式(logax)′＝
1 xln
a
，(ax)′
＝axln a的记忆比较难，设平行于直线y＝x的直线与曲线y ＝ex相切于点P(x0，y0)，该切点即为与y＝x距离最近的点， 如图所示．
则在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，即y′|x＝x0＝1. ∵y′＝(ex)′＝ex， ∴ex0＝1，
得x0＝0，代入y＝ex，得y0＝1，即P(0,1)．
利用点到直线的距离公式得最小距离为|0－1|＝ 2
5．一质点沿直线运动的路程和时间的关系是s＝ 5 t ， 求质点在t＝4时的速度．
解：∵s＝5 t＝t51，∴s′＝(t15)′＝15t－45.
t＝4时，s′＝15·4－54＝
1 5
.
10 8
即质点在t＝4时的速度为 1 . 5
10 8
∴y′＝(x32)′＝32x21＝32
x .
(2)y＝x5，∴y′＝(x5)′＝5x4.
求曲线y＝lg x在点M(10,1)处的切线的斜率 和切线方程．
【分析】 M(10,1)在曲线上，故所求切线斜率就是 函数y＝lg x在x＝10处的导数．
【解】 ∵y′＝(lg x)′＝xln110，∴y′|x＝10＝10l1n 10. ∴曲线y＝lg x在点M(10,1)处的切线的斜率为k＝10l1n 10. ∴切线方程为y－1＝10l1n 10(x－10)， 即x－(10ln 10)y＋10(ln 10－1)＝0.
(x0，x02)．

《基本初等函数的导数公式及导数的运算法则》人教版高中数学选修2-2PPT课件(第1.2.2课时)

《基本初等函数的导数公式及导数的运算法则》人教版高中数学选修2-2PPT课件(第1.2.2课时)

新知探究
例7
x+3
求y = 2
在点x = 3处的导数.
x +3
2
1

(
x
3) ( x 3) 2 x
'
解：y
( x 2 3) 2
x2 6 x 3

( x 2 3) 2
9 18 3 24
1
y |x 3


2
(9 3)
144
6
'
新知探究
2.导数的运算法则
1. [f(x) ±g(x)] ′=f′(x) ±g(x) ′
2. [f(x) .g(x)] ′=f′(x) g(x)± f(x) g(x) ′
f x f′
x g x - f x g′
x


3.
g x 0

′=
2
g x
新知探究
名词解释
一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数
为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数.记做y=f(g(x)).
复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为
y x′= y u′
u x′.
法则1 两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差),即
(u v) u v
新知探究
1.和(或差)的导数
(u v) u v
证明： y f ( x) u( x) v( x)
u ( x x) u ( x) v( x x) v( x)

人教a版数学【选修2-2】1.2.2《基本初等函数的导数公式(二)》ppt课件

人教a版数学【选修2-2】1.2.2《基本初等函数的导数公式(二)》ppt课件

3．写出下列复合函数的导数： (1)y＝sin2x，y′＝________. 1 (2)y＝lnx，y′＝________. (3)y＝ 1－3x，y′＝________. (4)y＝22x－1，y′＝________. (5)y＝e2x－ex＋3，y′＝________. (6)y＝(lnx－1)(lnx＋2)，y′＝________. 1 (7)y＝cosx，y′＝________.
(8)y′＝2sinx(sinx)′＝2sinxcosx＝sin2x. (9)∵y＝sin2x－2sinx＋3，∴y′＝sin2x－2cosx. x x x x x cos2′· x－cos2 －2sin2－cos2 (10)y′＝ ＝ x2 x2 x x xsin2＋2cos2 ＝－ . 2 x2
1 3 (2)y′＝ · (6x＋4)′＝ . 6x＋4 3x＋2 (3)y′＝e2x＋1· (2x＋1)′＝2e2x＋1. 1 1 (4)y′＝ · (2x－1)′＝ . 2 2x－1 2x－1
π π π 3x－ ′＝3cos3x－ . (5)y′＝cos3x－4· 4 4
1 3 (3)y′＝ · (1－3x)′＝－ . 2 1－3x 2 1－3x (4)y′＝22x－1ln2· (2x－1)′＝22xln2. (5)y′＝2e2x－ex. (6)∵y＝ln2x＋lnx－2， 1 2lnx＋1 ∴y′＝2lnx· (lnx)′＋x＝ x . 1 sinx (7)y′＝－cos2x· (cosx)′＝cos2x.
u对x的导数
牛刀小试 x2＋a2 1．(2013· 天津红桥区高二检测)函数y＝ x 的导数值为0 时，x等于( A．a C．－a [答案] B ) B．± a D．a2
2x2－x2＋a2 x2－a2 [解析] y′＝ ＝ x2 ， x2 x2－a2 由y′＝0得， x2 ＝0，∴x＝± a.

1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(三)课件人教新课标1

1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(三)课件人教新课标1
如果把 y 与u的关系记作y f u,u 和 x的关系记作 u gx, 那么这个"复合"过程可表示为 y f u f gx lnx 2.
返回
4、新课讲授（复合函数的导数）
（1）．复合函数的概念：对于两个函数y＝f(u)和u ＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成 x 的函数 ，那 么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记
2 令u＝2x＋3，则y＝10u，
yx＝yu·ux＝10u·ln 10?(2x＋3) ＝2ln 10·102 x＋3.
3 y＝sin4 x＋cos4 x＝(sin2 x＋cos2 x)2－2sin2 x·cos2 x
＝1－sin2 2x＝1－(1－cos 4x)＝＋cos 4x. 所以y＝＝－sin 4x.
(4)设 y＝5log2u，u＝2x＋1，
则
y′＝5(log2u)′(2x＋1)′＝ul1n02＝2x＋110ln
. 2
返回
复合函数的求导步骤
1、分层：确定中间变量，写出内层 函数u g（x)，外层函数y （ u x）
2、求导：分别求出各层函数的导数 （弄清哪个是自变时），即先求y对u
的导数：yu ，再求u对x的导数：u x
6.若f (x) ex , 则f '(x) ex ;
7.若f
(x)
log a
x, 则f
'( x)
1 (a x ln a
0, 且a
1);
8.若f (x) ln x,则f '(x) 1 ; x
返回
2、复习引入(二）（导数的四则运算）
由导数的定义易知：x＝1,(x2 )＝2x, (x2 x) 2x 1 即 (x2 x) (x2 ) x 2x 1

2012高二数学1.2.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则2(人教A版选修2-2)

2012高二数学1.2.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则2(人教A版选修2-2)

[例 2]
求下列函数的导数 (2)y＝ln(6x＋4)
(1)y＝(3x－2)2 (3)y＝e2x
＋1
(4)y＝ 2x－1 (6)y＝cos2x
π (5)y＝sin3x－4
• [分析] 抓住构成复合函数的基本初等函数 是求复合函数导数的关键，解题时可先把 复合函数分拆成基本初等函数，再运用复 合函数求导法则．
• [解析] (1)看成函数y＝u2与u＝3x－2的复 合函数，根据复合函数求导法则有：y′x＝ y′u·u′x＝2u·3＝6u＝6(3x－2)＝18x－12.
• 开始学习复合函数求导时，要紧扣上述步 骤进行，待熟练后可简化步骤如下： • y′＝2(3x－2)·(3x－2)′＝6(3x－2)＝18x－12.
• [点评] 导数在实际问题中有着广泛的应 用，如物理学中，位移s对时间t的导数是 表示时刻t处的瞬时速度，而速度对时间t 的导数就是时刻t处的加速度．
设 y＝8sin x，求曲线在点
[解析]
3
π P6，1处的切线方程．
y′＝(8sin3x)′＝8(sin3x)′
＝24sin2x(sinx)′＝24sin2xcosx， ∴曲线在点 k＝
(
)
• [答案] C
3．下列函数求导数，正确的个数是 ①(e2x)′＝e2x
2
(
)
②[(x2＋3)8]′＝8(x2＋3)· 2x
2 ③(ln x)′＝ ④(a2x)′＝2a2x x A．0 C．2 B．1 D．3
• [答案] A
二、填空题 4．设
π f(x)＝2sin3x＋4，则 π f′4＝________.
[答案] x－ 2y＋1＝0 3
3

数学选修2-2人教新课标A版1-2-2导数公式及运算法则课件(24张)

数学选修2-2人教新课标A版1-2-2导数公式及运算法则课件(24张)
第一章 §1.2导数的计算
1.2.1 几个常用函数的导数 1.2.2 基本初等函数的导数
公式及导数的运算法则(一)
学习目标
1.能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝1 ，y＝ x
x 的导数.
2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
知识点一 几个常用函数的导数
反思与感悟
解析答案
1
跟踪训练2 已知函数y＝kx是曲线y＝ln x的一条切线，则k＝___e_____.
解析 设切点(x0，y0)，
由题意得：y′|xx0 ＝x10＝k，
①
又y0＝kx0，
②
而且y0＝ln x0，
③
由①②③可得：x0＝e，y0＝1，则 k＝1e.
解析答案
类型三 利用导数公式求最值问题
例3 求抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离.
解 设切点坐标为(x0，x20 )，依题意知与直线x－y－2＝0平行的抛物线y ＝x2的切线的切点到直线x－y－2＝0的距离最短.
∵y′＝(x2)′＝2x，∴2x0＝1，∴x0＝12，
∴切点坐标为(12，14)，
∴所求的最短距离
d＝|21－142－2|＝78
解析答案
类型二 利用导数公式解决切线有关问题 例2 (1)已知P，Q为抛物线y＝1 x2上两点，点P，Q横坐标分别为4，－2，
2 过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的坐标为 ________.
解析答案
(2)已知两条曲线y＝sin x，y＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共 点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直？并说明理由. 解 设存在一个公共点(x0，y0)使两曲线的切线垂直， 则在点(x0，y0)处的切线斜率分别为k1＝ y′| xx0 ＝cos x0，k2＝y′|xx0 ＝－sin x0， 要使两切线垂直，必须k1k2＝cos x0(－sin x0)＝－1， 即sin 2x0＝2，这是不可能的. ∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直.

人教版选修2-2 1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

人教版选修2-2 1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

探究活动三
导数几何意义的应用
已知曲线方程y＝x2，求过点B(3,5)且与曲
线相切的直线方程． [思路点拨] 解决切线问题的关键是求切点的坐标， 要注意区分是曲线在某点处的切线还是过某点的切线
设出切点 → 函数求导 → 写出切线方程 → 条件代入 → 解出切点 → 得出答案
解： 设 P(x0，y0)为切点，则切线斜率 k＝f′(x0)＝2x0， 故切线方程为 y－y0＝2x0(x－x0)， ∵P(x0，y0)在曲线上， ∴y0＝x2 0， ∴切线方程为：y－x2 0＝2x0(x－x0)，
∴n＝4.
3．已知点P(－1,1)，点Q(2,4)是曲线y＝x2上的两点，求与
直线PQ垂直的曲线y＝x2的切线方程．
解析： ∵y′＝(x2)′＝2x，设切点为 M(x0，y0)，
则 y′|x＝x0＝2x0， 4－1 又∵直线 PQ 的斜率为 k＝ ＝1，而切线垂直于直线 2＋1 PQ，
1 1 1 ∴2x0＝－1，即 x0＝－2，所以切点为 M－2，4. 1 1 ∴所求的切线方程为 y－4＝－ x＋2，
1.2.2 基本初等函数的导数公式及
导数的运算法则
制作人
马冰
探究活动一
求函数的导数
求下列函数的导数：
(1)y＝x－3；(2)y＝3x；(3)y＝ x x x；(4)y＝log5x；
π (5)y＝cos2－x；(6)y＝sin
π x ； (7) y ＝ ln x ； (8) y ＝ e . 6
－
即－2x0 ＝－1，∴x0
－3
1 ＝23
－
.
代入曲线方程得 y0＝2 ∴点 P
2 3
，
2 1 － 的坐标为23，2 3.

人教A版数学选修2—21.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

人教A版数学选修2—21.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
解：由导数公式：p'(t) 1.05t ln1.05
p '(10) 1.0510 ln1.05 0.08(元/年）
答:在第10个年头,这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨。
思考：
若上式中某种商品的p0 =5,那么在第 10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约 是多少？
法则1:
导数的运算法则
(2) y log6 x (4) y 1
5 x2
答案：(1) y 20x19 (3) y sin x
(2) y 1 x ln 6
(4)
y
(
2
x5
)
2
x
7 5
5
【例2】假设某国家在20年期间的通货膨胀率为5%。物价 （p 单位:元）与时间t（单位：年）有如下关系: p(t) p0 (1 5%)t .其中p0为t 0时的物价。假定某种商品 的p0 1，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度 大约是多少？（精确到0.01）
x y x
y 2x
y
1 x2
y 1 2x
思考
上述函数是 哪类初等函数？ 导数有什么规律？
幂函数
y x
y' x 1
基本初等函数的导数公式
1、若f (x) c , 则 f (x) 0
常函数
2、若 f ( x) x ( Q*），则 f ' ( x) x 1
幂函数
3、若f (x) sin x , 则 f (x) cos x
所以，函数y ln x 的导数是y 1 ln x
x
x2
变式练习3:求下列函数的导数.
(1) y 2ex
(2) y 2x3 3x2 4
(4) y x ln x (5)y ln x x x2

高中数学人教A版选修2-2课件：1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)

高中数学人教A版选修2-2课件：1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)
1 ������ 2
1 ������ 2
;
������ 4 cos ; 4
1 ������ 2
解:(1)y'= cos������ +
′
1 1 ������ =-sin x+ ln = −sin x− ln 2. 2 2 2 ������ ������ 2 ������ 2 ������ (2)∵y= sin + cos − 2sin2 cos2 4 4 4 4 1 ������ 1 1-cos������ 3 1 =1− sin2 = 1 − · = + cos x, 2 2 2 2 4 4 3 1 1 ∴y'= 4 + 4 cos������ ′ = − 4 sin x. cos2������ cos2 ������-sin2 ������ (3)∵y= = = cos x-sin x, sin������+cos������ sin������+cos������
解得 x0=1 或 x0=− .
1 2
∴k=3×1 -2=1 或 k=3× ∴切线的斜率为 1或 − 4,
5
2
1 2 2
−2=− .
5 4
5 4
故所求的切线方程为 y+1=x-1 或 y+1=− (������ − 1), 即 x-y-2=0 或 5x+4y-1=0.
题型一
题型二
题型三
题型四
反思1.
2
.
2.如何利用复合函数的求导法则求复合函数的导数? 剖析:求复合函数的导数,一般按以下三个步骤进行: (1)适当选定中间变量,正确分解复合关系,即说明函数关系 y=f(u),u=g(x); (2)分步求导(弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导),要特 别注意中间变量对自变量求导,即先求yu',再求ux'; (3)计算yu'· ux',并把中间变量代回原自变量(一般是x)的函数. 整个过程可简记为分解—求导—回代.熟练以后,可以省略中间 过程.

人教版高中数学选修2-21.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)教案

人教版高中数学选修2-21.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)教案

基本初等函数的导数公式及导数的运算法例(二 )教课建议1.教材剖析,要点是理解简单的复合函数的复合本部分内容是对导数公式及其导数运算法例的应用的深入过程 ,难点是剖析复合函数的构造特色,并能求出复合函数的导数 .2.主要问题及教课建议,建议教师把要点放在指引学生理解简单复合函数的复合过程上,在对于复合函数的导数的教课剖析复合函数的构造特色的基础上,再装备几个例题 ,不用介绍复合函数的严格定义,不要求证明复合函数的求导公式 .备选习题1.函数y=的导数是()A.B.-C.D.分析 :∵y= ,∴y'='====-.答案 :B3+x 2+ tan θ,此中θ∈ ,则导数 f' (1)的取值范围是 (2.设函数f(x)=x)A.[ -2,2]B.[]C.[,2]D.[,2]分析 :∵f' (x)= sin θ·x2+ cos θ·x,∴f'(1)= sin θ+cos θ=2sin. ∵θ∈,∴sin.∴f'(1) ∈ [,2], 应选 D .答案 :D3.求曲线y=ln(2 x-1)上的点到直线2x-y+ 3= 0的最短距离.解: 设曲线 y= ln(2 x-1)在点 (x0,y0) 处的切线与直线 2x-y+ 3= 0 平行 .∵y'= ,∴y'= 2,解之 ,得 x0= 1,∴y0= ln(2 -1)=0,即切点坐标为 (1,0).∴切点 (1,0)到直线 2x-y+ 3= 0 的距离为 d= ,即曲线 y= ln(2 x-1)上的点到直线2x-y+ 3= 0 的最短距离是 .4.抛物线C1:y=x2-2x+2与抛物线C2:y=-x2+ax+b在它们的一个交点处的切线相互垂直.(1) 求 a,b 之间的关系 ;(2) 若 a> 0,b> 0,求 ab 的最大值 .解:(1) 设两抛物线的交点为 M(x0,y0),由题意知 -2x0+ 2=-+ax 0+b ,整理得 2-(2+a )x0 + 2-b= 0.①由导数可得抛物线 C1,C2在交点 M 处的切线斜率分别为k1= 2x0-2,k2=- 2x0 +a. 因两切线相互垂直 ,则有 k1k2 =- 1,即 (2x0-2)(-2x0+a )=- 1,整理得 2[2 -(2+a )x0]+ 2a-1= 0.②联立①和②,消去 x0,得 a+b=.(2)由 (1) 知 a+b= ,又 a> 0,b> 0,2∴ab≤ = ( ) =.当且仅当 a=b= 时取等号 ,故 ab 的最大值为 .。

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解：因为y ' ( x3 2 x 3) ' ( x3 ) ' (2 x) ' (3) ' 3x 2 2 所以函数y x3 2 x 3的导数是y ' 3x 2 2
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基 本 初 等 函 数 的 导 数 公 式 及 导 数 的 运 算 法 则
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f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函 数的平方.即:
练一练：求下列函数的导数 (1) y x3 (2) y log 2 x(3) y 3x
怎样求函数y x sin x的导数？
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基 本 初 等 函 数 的 导 数 公 式 及 导 数 的 运 算 法 则
二.导数的运算法则:
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的 和(差),即:
5284 (2)因为c'(98)= =1321所以纯净度为98%时， 2 (100 98) 净化费用的瞬时变化率是1321元 吨.
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基 本 初 等 函 数 的 导 数 公 式 及 导 数 的 运 算 法 则
过关测评
1.设函数f ( x) sin x，则f '( )的值为（A ） 4 2 2 ( A) ( B) (C )1( D)0 2 2 1 3 1 2.给出下列结论(1)若y 3 则y ' 4 (2)若y 3 x则y ' 3 x x x 3 1 (3)若y 2 则y ' 2 x 3 (4)若f ( x) 3 x则f '(1) 3其中正确的个 x 数是（ C ） ( A)1( B)2(C )3( D)4 3.函数y x x的导数为（ D ） 3 1 1 3 ( A) ( B) 4 (C ) 4 ( D) 4 4 x 4 x 4 x 4 x
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基 本 初 等 函 数 的 导 数 公 式 及 导 数 的 运 算 法 则
一.基本初等函数的导数公式
• 我们今后可以直接使用的基本初等函数的导数公式
公式1.若f ( x) c, 则f '( x) 0; 公式2.若f ( x) x n , 则f '( x) nx n 1 ; 公式3.若f ( x) sin x, 则f '( x) cos x; 公式4.若f ( x) cos x, 则f '( x) sin x; 公式5.若f ( x) a x , 则f '( x) a x ln a ( a 0); 公式6.若f ( x) e x , 则f '( x) e x ; 1 公式7.若f ( x) log a x, 则f '( x) ( a 0, 且a 1); x ln a 1 公式8.若f ( x) ln x, 则f '( x) ; x 返回

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基 本 初 等 函 数 的 导 数 公 式 及 导 数 的 运 算 法 则
4.已知函数y ຫໍສະໝຸດ in x ln x则y '
4
sin x cos x ln x x
5.求曲线y x 的斜率为4的切线方程.
解:设切点为( x0 , y0 ) 因为 y ' 4 x 3
f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) ( g ( x) 0) g ( x) 2 g ( x) 返回
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基 本 初 等 函 数 的 导 数 公 式 及 导 数 的 运 算 法 则
例2.根据基本初等函数的导数公式和导数 运算法则，求函数y=x3-2x+3的导数.
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基 本 初 等 函 数 的 导 数 公 式 及 导 数 的 运 算 法 则
复习：几个常用函数的导数
1.若y c, 则y
'
0 ' 2.若y x, 则y 1 2 ' 3.若y x , 则y 2 x 1 1 ' 4.若y , 则y 2 x x 1 ' 5.若y x , 则y 2 x
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基 本 初 等 函 数 的 导 数 公 式 及 导 数 的 运 算 法 则
思维启迪
能否通过分组比较来记忆基本初等函数的 导数公式？
答：这8个基本初等函数的导数公式由其特点 可分为4组记忆， 即y=c与y=xn ; y sin x与y cos x; y a x与y e x ; y log a x与y ln x.
3 所以 4 x0 4
所以 x0 1 ，y0 1 所以切线方程为y 1 4( x 1) 即4 x y 3 0
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基 本 初 等 函 数 的 导 数 公 式 及 导 数 的 运 算 法 则
三.复合函数的判定与求导
1.定义:一般的对于两个函数y=f(u)和u=g(x)
§1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
§1.2.2 基本初等函数的导数公式 及导数的运算法则
基 本 初 等 函 数 的 导 数 公 式 及 导 数 的 运 算 法 则
教学目标
1.能用基本初等函数的导数公式和导数运 算法则求简单函数的导数； 2.理解简单复合函数的复合过程，会求简 单复合函数的导数。
基 本 初 等 函 数 的 导 数 公 式 及 导 数 的 运 算 法 则
解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数.
5284 c '( x ) ( )' 100 x (5284) '(100 x ) 5284(100 x) ' (100 x ) 2 0 (100 x ) 5284 ( 1) 5284 2 (100 x ) (100 x ) 2