辽宁省辽阳市2019届高三上学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案
- 格式：docx
- 大小：97.83 KB
- 文档页数：13
辽阳市2019届高三上学期期末考试数学（理）试题
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. (2−𝑖)2−(1+3𝑖)=( )
A. 2−7𝑖 B. 2+𝑖 C. 4−7𝑖 D. 4+𝑖
【答案】A
【解析】解：(2−𝑖)2−(1+3𝑖)=3−4𝑖−(1+3𝑖)=2−7𝑖．
故选：A．
直接由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．
2. 设集合𝐴={𝑥∈𝑍|𝑥>4}，𝐵={𝑥|𝑥2<100}，则𝐴∩𝐵的元素个数为( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】C
【解析】解：∵集合𝐴={𝑥∈𝑍|𝑥>4}，
𝐵={𝑥|𝑥2<100}={𝑥|−10<𝑥<10}，
∴𝐴∩𝐵={5,6，7，8，9}，
∴𝐴∩𝐵中的元素个数为5．
故选：C．
先分别求出集合A和B，再求出𝐴∩𝐵，由此能求出结果．
本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3. 双曲线𝑥2−𝑦2=3的焦距为( )
A. 2√2 B. 4 C. 2√6 D. 12
【答案】C
【解析】解：根据题意，双曲线𝑥2−𝑦2=3的标准方程为𝑥23−𝑦23=1，
其中𝑎=𝑏=√3，
则𝑐=√𝑎2+𝑏2=√6，
其焦距2𝑐=2√6；
故选：C．
根据题意，将双曲线的方程变形为标准方程，分析可得a、b的值，计算可得c的值，由焦距公式计算可得答案．
本题考查双曲线的标准方程，注意将双曲线的方程变形为标准方程．
4. 设x，y满足约束条件{𝑦≥−3𝑥+4𝑦≥𝑥−1，目标函数𝑧=𝑥+3𝑦，则( ) A. z的最大值为3 B. z的最大值为2 C. z的最小值为3 D. z的最小值为2
【答案】D
【解析】解：由{𝑦≥−3𝑥+4𝑦≥𝑥−1作出可行域如图，
联立{𝑦=−3𝑥+4𝑦=𝑥−1，解得𝐴(54,14)，
化目标函数𝑧=𝑥+3𝑦为𝑦=−𝑥3+𝑧3，由图可知，当直线𝑦=−𝑥3+𝑧3过A时，
直线在y轴上的截距最小，z有最小值为54+3×14=2．
故选：D．
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．
5. 已知函数𝑓(𝑥)=𝐴sin𝜔𝑥(𝐴>0,𝜔>0)与𝑔(𝑥)=𝐴2cos𝜔𝑥的部分图象如图所示，则( )
A. 𝐴=1，𝜔=3𝜋
B. 𝐴=2，𝜔=𝜋3
C. 𝐴=1，𝜔=𝜋3
D. 𝐴=2，𝜔=3𝜋
【答案】B
【解析】解：由图象可知，12𝐴=1，𝑇4=1.5，
∴𝐴=2，𝑇=6，
又6=𝑇=2𝜋𝜔， ∴𝜔=13𝜋，
故选：B．
结合图象可知，12𝐴=1，𝑇4=1.5，然后再由周期公式即可求解𝜔
本题主要考查了利用函数的图象求解函数解析式中的参数，属于基础试题．
6. △𝐴𝐵𝐶的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知𝑎=4，𝑐=9，sin𝐴sin𝐶=sin2𝐵，则cos𝐵=( )
A. 6572 B. 3136 C. 78 D. 6172
【答案】D
【解析】解：∵𝑎=4，𝑐=9，sin𝐴sin𝐶=sin2𝐵，
∴𝑏2=𝑎𝑐=36，
∴cos𝐵=𝑎2+𝑐2−𝑏22𝑎𝑐=𝑎2+𝑐2−𝑎𝑐2𝑎𝑐=6172．
故选：D．
由已知利用正弦定理可求𝑏2=𝑎𝑐=36，根据余弦定理可求cos𝐵的值．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．
7. 已知𝑓(𝑥)为定义在(−∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数，当𝑥>0时，𝑓(𝑥)=𝑥+1𝑥，则𝑓(𝑥)的值域为( )
A. (−∞,−2]∪[2,+∞) B. [−2,2]
C. (−∞,−1]∪[1,+∞) D. [2,+∞)
【答案】A
【解析】解：根据题意，当𝑥>0时，𝑓(𝑥)=𝑥+1𝑥，则𝑓(𝑥)=𝑥+1𝑥≥2×√𝑥×1𝑥=2，
又由函数𝑓(𝑥)为定义在(−∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数，则当𝑥<0时，有𝑓(𝑥)≤−2，
则函数的值域为(−∞,−2]∪[2,+∞)；
故选：A．
根据题意，由函数在𝑥>0时的解析式，结合基本不等式的性质分析可得𝑓(𝑥)≥2，结合函数的奇偶性分析可得答案．
本题考查函数的奇偶性的性质以及应用、函数的值域计算，涉及基本不等式的应用，属于基础题．
8. 正三棱锥𝐴−𝑃𝐵𝐶的侧棱两两垂直，D，E分别为棱PA，BC的中点，则异面直线PC与DE所成角的余弦值为( )
A. √36 B. √56 C. √33 D. √63 【答案】D
【解析】解：如图，
设𝐴𝐵=2，以A为坐标原点，分别以AB，AC，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则𝑃(0,0，2)，𝐷(0,0，1)，𝐶(0,2，0)，𝐸(1,1，0)，
𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,−1)，𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,−2)，
则cos<𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ >=𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗
|𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ |=2+2√3×2√2=√63．
∴异面直线PC与DE所成角的余弦值为√63．
故选：D．
设𝐴𝐵=2，以A为坐标原点，分别以AB，AC，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，由数量积求夹角公式可得异面直线PC与DE所成角的余弦值．
本题考查异面直线及其所成角，训练了利用空间向量求解空间角，是基础题．
9. (1+𝑥2−2𝑥)(1+𝑥)5展开式中𝑥2的系数为( )
A. 1 B. −9 C. 31 D. −19
【答案】B
【解析】解：(1+𝑥)5展开中第𝑟+1项为𝑇𝑟+1=∁5𝑟𝑥𝑟，其𝑥2的系数，常数项，𝑥3的系数分别为∁52，∁50，∁53，
故(1+𝑥2−2𝑥)(1+𝑥)5展开式中𝑥2的系数为∁52+∁50−2∁53=−9，
故选：B．
利用通项公式可得：(1+𝑥)5展开中第𝑟+1项为𝑇𝑟+1=∁5𝑟𝑥𝑟，其𝑥2的系数，常数项，𝑥3的系数分别为∁52，∁50，∁53，进而得出答案．
本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
10. 设𝑎=log30.4，𝑏=log23，则( )
A. 𝑎𝑏>0且𝑎+𝑏>0 B. 𝑎𝑏<0且𝑎+𝑏>0
C. 𝑎𝑏>0且𝑎+𝑏<0 D. 𝑎𝑏<0且𝑎+𝑏<0 【答案】B
【解析】解：∵13<0.4<1；
∴−1
又log23>1；
即−1<𝑎<0，𝑏>1；
∴𝑎𝑏<0，𝑎+𝑏>0．
故选：B．
容易得出−11，即得出−1<𝑎<0，𝑏>1，从而得出𝑎𝑏<0，𝑎+𝑏>0．
考查对数函数的单调性，以及增函数的定义．
11. 一批排球中正品有m个，次品有n个，𝑚+𝑛=10(𝑚>≥𝑛)，从这批排球中每次随机取一个，有放回地抽取10次，X表示抽到的次品个数若𝐷𝑋=2.1，从这批排球中随机取两个，则至少有一个正品的概率𝑝=( )
A. 4445 B. 1415 C. 79 D. 1315
【答案】B
【解析】解：由题意知，随机变量𝑋～(10,𝑛10)，
则方差𝐷𝑋=10×𝑛10×(1−𝑛10)=2.1，
又𝑚≥𝑛，则𝑛≤5，
∴解得𝑛=3，
∴所求的概率为𝑝=1−𝐶32𝐶102=1415．
故选：B．
由题意知随机变量𝑋～(10,𝑛10)，根据方差DX求得n的值，再计算所求的概率值．
本题考查了离散型随机变量的方差计算问题，是基础题．
12. 已知函数𝑓(𝑥)={3𝑥+18,𝑥<−3−𝑥2(𝑥+2),−3≤𝑥<0−3𝑥+3,𝑥≥0，在[𝑚,𝑛]上的值域为[−3227,9]，若𝑛−𝑚的最小值与最大值分别为𝑙1，𝑙2，则𝑙2𝑙1=( )
A. 731162 B. 631162 C. 731135 D. 631135
【答案】D
【解析】解：函数𝑓(𝑥)={3𝑥+18,𝑥<−3−𝑥2(𝑥+2),−3≤𝑥<0−3𝑥+3,𝑥≥0，当−3≤𝑥<0时，𝑓(𝑥)=−𝑥2(𝑥+2)， 𝑓′(𝑥)=−3𝑥2−4𝑥，令𝑓′(𝑥)=0，可得𝑥=−43，
当𝑥=−43时，𝑓(𝑥)取得极小值为：−3227.又𝑓(−3)=9，可得𝑓(𝑥)的图象如图：
由3𝑥+18=−3227，可得𝑥=−6−3281；
由−3𝑥+3=−3227，可得𝑥=1+3281.故𝑙1=−43+3=53；
𝑙2=1+3281−(−6−3281)=63181．
则𝑙2𝑙1=631135．
故选：D．
利用分段函数，求出函数的导数，得到函数的极值，利用数形结合转化求解即可．
本题考查函数与方程的应用，考查转化思想以及计算能力，数形结合的应用，考查计算能力．
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知向量𝑎⃗ ，𝑏⃗ 的夹角为120∘，且|𝑎⃗ |=1，|𝑏⃗ |=4，则𝑎⃗ ⋅𝑏⃗ =______．
【答案】−2
【解析】解：由向量的数量积公式得：
𝑎⃗ ⋅𝑏⃗ =|𝑎⃗ ||𝑏⃗ |cos120∘=1×4×(−12)=−2，
故答案为：−2
由向量的数量积公式：𝑎⃗ ⋅𝑏⃗ =|𝑎⃗ ||𝑏⃗ |cos𝜃运算即可．
本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属简单题．
14. 若tan𝛼=−3，则tan(2𝛼+𝜋4)=______．
【答案】7
【解析】解：∵tan𝛼=−3，
∴tan2𝛼=2tan𝛼1−tan2𝛼=−3×21−(−3)2=34，
∴tan(2𝛼+𝜋4)=tan2𝛼+11−tan2𝛼=34+11−34=7．
故答案为：7．
由已知利用倍角公式求出tan2𝛼，再由两角和的正切求解．
本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式及两角和的正切，是基础题．
15. 若椭圆C：𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)上存在一点P，使得|𝑃𝐹1|=8|𝑃𝐹2|，其中𝐹1，𝐹2分别是C的左、右焦点，则C的离心率的取值范围为______．
【答案】[79,1)
