2019届辽宁省辽阳市高三上学期期末考试数学(理)试题(解析版)
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第 1 页 共 19 页 2019届辽宁省辽阳市高三上学期期末考试数学（理）试题
一、单选题
1．（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】利用复数的四则运算化简即可得答案.
【详解】
故选：A.
【点睛】
本题考查复数的四则运算，属简单题.
2．设集合，，则的元素个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】先计算集合，即可得到集合中元素的个数.
【详解】
，.
所以的元素个数为5个，
故选：C.
【点睛】
本题考查集合的交集运算，属基础题.
3．双曲线的焦距为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据题意，将双曲线的方程变形为标准方程，分析可得、的值，计算可得的值，由焦距公式计算可得答案． 第 2 页 共 19 页 【详解】
解：根据题意，双曲线的标准方程为，
其中，
则，
其焦距；
故选：．
【点睛】
本题考查双曲线的标准方程，注意将双曲线的方程变形为标准方程,属于基础题．
4．设满足约束条件，目标函数，则（ ）
A．的最大值为3 B．的最大值为2
C．的最小值为3 D．的最小值为2
【答案】D
【解析】分析：先作可行域，再结合图像确定目标函数所表示的直线最值取法.
详解：作可行域，则直线过点A时取最小值2，选D.
点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得. 第 3 页 共 19 页 5．已知函数与的部分图象如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由图知过原点的图像的解析式为，观察图像利用最值和周期即可得到A和值.
【详解】
观察图像可得，过（0,1）的图像对应函数解析式为，，函数,则f(0)=0,即为过原点的图像，由f(x)图像可知，，
可得.
故选：B.
【点睛】
本题考查由函数图像确定函数解析式，考查正弦函数和余弦函数图像的性质，属基础题.
6．的内角的对边分别为，已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】先利用正弦定理得到，然后利用余弦定理计算即可得到答案.
【详解】
，由正弦定理可得 第 4 页 共 19 页 ，
.
故选：D
【点睛】
本题考查正弦定理和余弦定理的综合应用，属于基础题，重点是要掌握正余弦定理的公式.
7．已知为定义在上的奇函数，当时，，则的值域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】先用基本不等式求时函数的值域，然后利用函数奇偶性的性质即可得到整个函数的值域.
【详解】
当时，（当且仅当时取等号），
又为奇函数，当x<0时，,
则的值域为.
故选：A.
【点睛】
本题考查函数奇偶性的应用，考查利用基本不等式求函数最值问题，属于基础题.
8．正三棱锥的侧棱两两垂直，分别为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设侧棱AB=2,以点A为原点建立空间直角坐标系，写出和的坐标，然后第 5 页 共 19 页 用向量的夹角公式计算即可得到答案.
【详解】
设，以为坐标原点，分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，则.从而异面直线与所成角的余弦值为.
故选：D.
【点睛】
本题考查异面直线所成角的求法，利用空间向量求线线角的步骤：①确定空间两条直线的方向向量；②求两个向量夹角的余弦值；③比较余弦值与0的大小，确定向量夹角的范围；④确定线线角与向量夹角的关系：当向量夹角为锐角时即为两直线的夹角，当向量夹角为钝角时两直线的夹角为向量夹角的补角．
9．展开式中的系数为（ ）
A．1 B．-9 C．31 D．-19
【答案】B
【解析】写出二项展开式的通项，求得的系数，常数项及的系数，与对应相乘，则答案可求．
【详解】
的展开式中第项为，其的系数，常数项，的系数分别为，，，故展开式中的系数为.
故选B.
【点睛】
本题考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题． 第 6 页 共 19 页 10．设,，则（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
【答案】B
【解析】利用对数函数图像的性质得到a和b的范围，再结合不等式得性质即可得到答案.
【详解】
由对数函数图像的性质可得
，
且.
故选：B.
【点睛】
本题考查对数函数图像性质的简单应用，属基础题.
11．一批排球中正品有个，次品有个，，从这批排球中每次随机取一个，有放回地抽取10次，表示抽到的次品个数.若，从这批排球中随机抽取两个，则至少有一个正品的概率（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意得变量，根据公式得n值，即可得m值，再利用概率公式计算可得答案.
【详解】
依题意可得，则，又，则，从而，则.
故选：B. 第 7 页 共 19 页 【点睛】
本题考查二项分布和对立事件概率的求法，属基础题.
12．已知函数在上的值域为，若的最小值与最大值分别为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】分段求出函数取得时的x值，通过比较得到距离的最值，进而得到答案.
【详解】
当时，f(x)=,
当x=时，函数取得极小值，为，又因为f(-3)=9,如图：
根据函数图像计算得到 ，解得x=-6,由=，解得
故=，
.
故答案为：D. 第 8 页 共 19 页 【点睛】
这个题目考查了分段函数的性质以及表示方法，涉及导函在求函数最值中的应用，较为综合，对于分段函数，值域是各段的值域的并集，定义域是各段的并集.
二、填空题
13．已知向量的夹角为，且，则_____.
【答案】-2
【解析】利用数量积公式直接进行计算即可得到答案.
【详解】
由向量的夹角为，且，
得.
故答案为：-2.
【点睛】
本题考查数量积公式的应用，属于基础题.
14．若，则____.
【答案】7
【解析】先由求，再利用正切的两角和公式计算即可得到答案.
【详解】
由正切的二倍角公式得
，
.
故答案为：7.
【点睛】
本题考查正切的二倍角公式和正切的两角和公式，属于基础题. 第 9 页 共 19 页 15．若椭圆上存在一点，使得，其中分别是的左、右焦点，则的离心率的取值范围为______.
【答案】
【解析】先利用椭圆定义，得焦半径|PF2|＝a，再利用焦半径的取值范围，即得离心率的取值范围
【详解】
， ，
又，，
解得，则.
故答案为：
【点睛】
本题考查椭圆的定义和几何性质和焦半径的取值范围及其应用，考查椭圆离心率取值范围求法，属基础题.
16．设为一个圆柱上底面的中心，为该圆柱下底面圆周上一点，这两个底面圆周上的每个点都在球的表面上.若两个底面的面积之和为，与底面所成角为，则球的表面积为____.
【答案】
【解析】设球的半径为，圆柱下底面半径为,为一个圆柱下底面的中心，根据圆柱的几何特征，可得，解出半径，则球的表面积可求．
【详解】
解：设球的半径为，圆柱上下底面半径为，为一个圆柱下底面的中心，由题意知得，与底面所成角为，在 中, 第 10 页 共 19 页 根据圆柱的几何特征，即 .
故该球的表面积，
故答案为：．
【点睛】
本题考查圆柱外接球的表面积，根据已知求出球的半径是解答该题的关键，是基础题
三、解答题
17．设为等差数列的前项和，，.
（1）求的通项公式；
（2）若成等比数列，求.
【答案】（1）； （2）.
【解析】（1）根据等差数列中，，,利用等差数列的求和公式以及通项公式列出关于首项、公差的方程组，解方程组可得与的值，从而可得数列的通项公式；（2）由（1）可得，根据，，成等比数列列方程求得，从而可得结果.
【详解】
（1），，
故.
（2）由（1）知，.
，，成等比数列，，
即，解得，故.
【点睛】
本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前 项和公式，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，另外，解等差数列问题要注意应第 11 页 共 19 页 用等差数列的性质（）与前 项和的关系.
18．如图,在三棱锥中，平面，，且
（1）证明：平面平面；
（2）设棱的中点分别为，求平面与平面所成锐二角的余弦值.
【答案】（1）见证明（2）
【解析】（1）先证明平面，然后利用面面垂直的判定定理即可得到证明；（2）为坐标原点，建立空间直角坐标系，求平面与平面的法向量，然后利用向量公式即可即可得到答案.
【详解】
（1）证明：平面，平面，
.
，，
平面.
又平面，则平面平面.
（2）解：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，令，则.
