高一数学对数与对数函数试题答案及解析
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高一数学对数与对数函数试题答案及解析
1. 在对数函数中，下列描述正确的是（ ）
①定义域是、值域是R ②图像必过点(1,0).
③当时，在上是减函数；当时，在上是增函数.
④对数函数既不是奇函数，也不是偶函数.
A．①② B．②③ C．①②④ D．①②③④
【答案】D
【解析】对数函数的性质可结合函数图像来进行理解.单调性，对称性都可由图可以清楚的感知.
【考点】对数函数的性质.
2. 已知 （ ）
A． B． C． D．
【答案】
【解析】根据对数的运算法则,有.
【考点】对数的运算法则.
3. 已知函数，若对于任意，当时，总有，则区间有可能是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对于任意，当时，总有，是说函数在区间上单调递增.函数是由与复合而成，因为在上单调递增，由复合函数的单调法则：同增异减，可知，只须在上单调递增即可，该二次函数的对称轴为，或，由二次函数的单调性可知在单调递增，所以区间可能是或它的子区间，故选B.
【考点】函数的单调性.
4. 若点在函数的图象上，则函数的值域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为点在函数的图象上，所以，解得，所以，故选D．
【考点】1、对数函数的图象；2、幂函数．
5. 已知函数
（1）求函数的定义域和值域； （2）若有最小值－2，求的值.
【答案】（1）的定义域是.当时，值域为；（2）
【解析】（1）由对数函数的定义可得，解此不等式组，从而求得函数的定义域；首先对函数解析式进行化归，考虑到对数函数中底数的范围制约着函数单调性，影响到函数的值域，所以需要对底数的范围进行分类讨论，从求出函数的值域；（2）根据（1）中函数值的分布情况，可知只有当时，函数有最小值，所以有，从而解得所求的值.
试题解析：（1）依题意得
则，
， 3分
当时，；当时，
的定义域是.当时，值域为
当时，值域为. 7分
（2）因为有最小值－2，由（1）可知且，
12分
【考点】1.函数的定义域；2.对数函数.
6. 已知函数
（1）判断函数的奇偶性，并说明理由。
（2）若，求使成立的集合。
【答案】(1) 是奇函数;(2)
【解析】（1）首先求出的定义域关于原点对称,然后求与关系，利用对数的运算法则将函数转化为，再由函数奇偶性的定义判断是奇函数;
(2)由求出,利用函数的定义域和单调性求出不等式的解集;易忘记定义域.
试题解析：
(1)由的定义域为
且
所以是奇函数
(2)
即
解得
所以使成立的集合.
【考点】对数函数性质,复合函数奇偶性.
7. 已知关于的函数在上是减函数，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】根据复合函数的单调性和对数函数的性质可知，再由在上应有，可知．得. 因为底数可知,所以是减函数,又因为复合后是上的减函数 故为增函数,所以 又在上应有,所以,得 故
【考点】对数函数的单调性与特殊点．
8. 设a>0，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】。故选D。
【考点】对数运算
点评：本题运用对数的运算公式：，。
9. 已知函数f（x）＝log2（x＋m），且f（0）、f（2）、f（6）成等差数列．
（1）求实数m的值；
（2）若a、b、c是两两不相等的正数，且a、b、c成等比数列，试判断f（a）＋f(c)与2f(b)的大小关系，并证明你的结论．
【答案】（1）m＝2．（2）f（a）＋f(c)＞2(b)．
【解析】（1）由f（0）、f（2）、f（6）成等差数列，
可得2log2（2＋m）＝log2m＋log2（6＋m）， 3分
即（m＋2）2＝m（m＋6），且m＞0，解得m＝2． 5分
（2）由f（x）＝log2（x＋2），
可得2f(b)＝2log2（b＋2）＝log2（b＋2）2， 6分
f（a）＋f(c)＝log2（a＋2）＋log2（c＋2）＝log2［（a＋2）（c＋2）］， 7分
∵a、b、c成等比数列，∴b2＝ac． 8分
又a、b、c是两两不相等的正数，
故（a＋2）（c＋2）－（b＋2）2
＝ac＋2（a＋c）＋4－（b2＋4b＋4） 10分
＝2（a＋c－2）＝2＞0， 12分
∴log2［（a＋2）（c＋2）］＞log2（b＋2）2． 13分
即f（a）＋f(c)＞2(b)
【考点】本题考查了数列与函数的综合运用
点评：对于此类问题除了要求学生掌握等差（等比）数列的性质之外，还有灵活运用作差法判断大小
10. 式子:的值为
A． - 1 B． 1 C． D．10
【答案】B
【解析】根据对数的运算法则可知，同底数的对数和的运算，等于积的对数因此=lg10=1，故答案为B.
【考点】对数式的运算
点评：主要是考查了同底数的对数和的运算，等于积的对数，属于基础题。
11. 函数上是减函数，则a的取值范围是____________________．
【答案】；
【解析】令t=2x-4,则，而t=2x-4是增函数，函数上是减函数，所以应是减函数，0
【考点】本题主要考查对数函数的单调性。
点评：典型题，复合函数的单调性满足，内外层函数“同增异减”。
12. 定义：区间的长度。已知函数的定义域为，值域为，则区间的长度的最大值与最小值的差为 。 【答案】3 【解析】因为函数的定义域为，值域为，所以有x=1。由=2得，x=或x=4，故区间可能是[,1]、[1,4],[,4], 区间的长度的最大值与最小值的差为(4-)-（1-）=3.
【考点】本题主要考查对数函数的性质。
点评：中档题，构成函数的要素有对应法则、定义域。理解这一点后，注意题目中定义域与值域的对应关系，根据对数函数的性质确定区间[a,b]的可能情况。
13.
（本小题满分16分）
已知函数 （1）求函数的定义域；
（2）若函数在[2,6]上递增，并且最小值为，求实数的值。
【答案】（1）；（2）
【解析】（1） （4分）
（2）由题意得，（8分）
则解得或，（12分）
又，则舍去，所以 （16分）
【考点】本题考查了对数函数的定义域及单调性
点评：对数函数是重要的基本初等函数,应做到能熟练掌握它的图像与性质并能进行一定的综合运用.
14. 数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由得：，所以函数的定义域为。
【考点】函数的定义域。
点评：求函数的定义域需要从以下几个方面入手： （1）分母不为零 ；（2）偶次根式的被开方数非负；（3）对数中的真数部分大于0； （4）指数、对数的底数大于0，且不等于1 ； （5）y=tanx中x≠kπ+π/2；y=cotx中x≠kπ等； ( 6 )中。
15. 计算 =_____________
【答案】8
【解析】==。
【考点】对数的运算；指数幂的运算。
点评：熟练掌握对数的运算法则和指数幂的运算法则是做本题的前提条件。
16. 函数的图象必过定点（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为对数函数过定点（1,0），且的图像可以看作由的图像向右平移一个单位，向上平移一个单位得到，所以函数的图象必过定点。
【考点】本题考查对数函数的图像；图像的平移变换。
点评：直接考查对数函数图像过定点（1,0）这条性质，属于基础题型。
17. 函数与的图象（ ）
A．关于原点对称 B．关于轴对称
C．关于轴对称. D．关于对称
【答案】B
【解析】，所以函数与的图象关于轴对称。
【考点】本题考查对数函数的图像；函数图像的变换。
点评：直接考查对数函数的图像，属于基础题型。但要记住图像变换的规律：与的图像关于x轴对称；与的图像关于y轴对称；与的图像关于原点对称。
18. （本小题满分15分）已知函数。
（1）求出使成立的的取值范围；
（2）在（1）的范围内求的最小值。
【答案】(1) ；(2)0.
【解析】解：①
……………………4分
………………………7分
②
………………………………9分
设
在上是增函数 ……………………13分
当时，
从而 ………………15分
【考点】本题考查对数的性质；函数的单调性；函数的最值。
点评：在判断函数的单调性时，一定要先求函数的定义域，不然容易出错。其单调区间一定是定义域的子集。
19. 函数的零点的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C
【解析】因为函数的零点个数，即为方程f(x)=0的解的个数，可以转化为y=的图像的交点来分析得到，作图可知交点的个数为2，选C.
【考点】本题主要考查了函数的零点问题的运用。
点评：解决该试题的关键是将已知方程的解，转换为对数函数与二次函数的图像的交点的个数来处理即可。
20. 方程的解为 【答案】 【解析】因为，所以
解得.
【考点】本小题主要考查对数方程的求解，考查学生的运算能力.
点评：灵活运用对数的运算性质是求解的基础，另外不要忘记对数函数本身的定义域.
21.
若，则（
）
A．
B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以，所以
【考点】本小题主要考查利用对数函数的单调性比较函数值的大小.
点评：对于比较几个数的大小问题，一般都取或作中间量.
22. 已知函数在上是减函数，则实数a的取值范围是___.
【答案】（-8，-6]
【解析】因为函数在上是减函数，则因为外层是递减的，内层是递增的，因此可知,故实数a的取值范围是（-8，-6]。
23. 已知，则函数的最大值是____.
【答案】13
【解析】因为，因为函数在给定区间上递增，因此可知，则函数
结合二次函数的 性质可知其最大值是13，故答案为13.
24. 已知f(x)=(2x+1)在(-,0)内恒有f(x)>0,则a的取值范围是( )
A．a>1 B．0
C．a<-1或a>1 D．-
【答案】D
【解析】∵-
要使x∈(-,0)时,f(x)>0,则0
即1
∴-
