第4章 4.1 4.1.1 圆的标准方程

1 4.1.1

圆的标准方程

1．圆的标准方程

(1)圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．

(2)确定圆的基本要素是圆心和半径，如图所示．

(3)圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2．

当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以圆点O为圆心、半径为r的圆．

思考：平面内确定圆的要素是什么？

2. 点与圆的位置关系

圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心A(a，b)，半径为r.设所给点为M(x0，y0)，则

位置关系 判断方法

几何法 代数法

点在圆上 │MA│＝r⇔点M在圆A上 点M(x0，y0)在圆上⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2

点在圆内 │MA│

点在圆外 │MA│>r⇔点M在圆A外 点M(x0，y0)在圆外⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2

1．圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2的圆心和半径分别是( )

A．(－2，3)，1 B．(2，－3)，3 C．(－2，3)，2 D．(2，－3)，2

2．以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是( )

A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝4 C．(x－2)2＋(y－2)2＝8 D．x2＋y2＝2

3．点P(m，5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是( )

A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．不确定

4．点(1，1)在圆(x＋2)2＋y2＝m上，则圆的方程是________．

求圆的标准方程

【例1】 求过点A(1，－1)，B(－1，1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程．

确定圆的方程的方法：确定圆的标准方程就是设法确定圆心C(a，b)及半径r，其求解的方法：一是待定系数法，如法一，建立关于a，b，r的方程组，进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径，如法二、法三．一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷．

1 1．求下列圆的标准方程：

(1)圆心是(4，0)，且过点(2，2)；(2)圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，－4)；

(3)过点P(2，－1)和直线x－y＝1相切，并且圆心在直线y＝－2x上．

命题角度1 直接法求圆的标准方程

例1 (1)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，5)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为455，则圆C的方程为________．

(2)与y轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为________．

反思与感悟 (1)确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，因此用直接法求圆的标准方程时，要首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程．

(2)确定圆心和半径时，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等．

跟踪训练1 以两点A(－3，－1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是( )

A．(x＋1)2＋(y＋2)2＝10 B．(x－1)2＋(y－2)2＝100

C．(x＋1)2＋(y＋2)2＝25 D．(x－1)2＋(y－2)2＝25

命题角度2 待定系数法求圆的标准方程

例2 求经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的方程．

反思与感悟 待定系数法求圆的标准方程的一般步骤

跟踪训练2 已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(0,5)，B(1，－2)，C(－3，－4)，求该三角形的外接圆的方程．

1 点与圆的位置关系

【例2】 已知圆心为点C(－3，－4)，且经过原点，求该圆的标准方程，并判断点P1(－1，0)，P2(1，－1)，P3(3，－4)和圆的位置关系．

例3 (1)点P(m2，5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是( )

A．点P在圆内 B．点P在圆外 C．点P在圆上 D．不确定

(2)已知点M(5a＋1，a)在圆(x－1)2＋y2＝26的内部，则a的取值范围是_________．

1．判断点与圆的位置关系的方法

(1)只需计算该点与圆的圆心距离，与半径作比较即可；

(2)把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的符号，并作出判断．

2．灵活运用

若已知点与圆的位置关系，也可利用以上两种方法列出不等式或方程，求解参数范围．

2．已知点A(1，2)不在圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的内部，求实数a的取值范围．

跟踪训练3 已知点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的外部，则a的取值范围是________．

与圆有关的最值问题

[探究问题]1．怎样求圆外一点到圆的最大距离和最小距离？

2．若点P(x, y)是圆C：(x－2)2＋(y＋2)2＝1上的任一点，如何求点P到直线x－y＝0的距离的最大值和最小值？

【例3】 已知x和y满足(x＋1)2＋y2＝14，试求x2＋y2的最值．

1．本例条件不变，试求yx的取值范围．2．本例条件不变，试求x＋y的最值．

1

与圆有关的最值问题的常见类型及解法：

(1)形如u＝y－bx－a形式的最值问题，可转化为过点(x, y)和(a, b)的动直线斜率的最值问题．

(2)形如l＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线y＝－ab x＋lb截距的最值问题．

(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x, y)到定点(a, b)的距离的平方的最值问题．

例4 已知实数x，y满足方程(x－2)2＋y2＝3，求yx的最大值和最小值．

引申探究1．若本例条件不变，求y－x的最大值和最小值．

2．若本例条件不变，求x2＋y2的最大值和最小值．

反思与感悟 与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型

(1)形如u＝y－bx－a形式的最值问题，可转化为过点(x，y)和(a，b)的动直线斜率的最值问题．

(2)形如l＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线

y＝－abx＋lb截距的最值问题．

(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题．

跟踪训练4 已知x和y满足(x＋1)2＋y2＝14，试求：

(1)x2＋y2的最值；(2)x＋y的最值．

1．判断点与圆位置关系的两种方法

(1)几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小．

(2)代数法：主要是把点的坐标代入圆的标准方程来判断：

点P(x0，y0)在圆C上⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；

点P(x0，y0)在圆C内⇔(x0－a)2＋(y0－b)2

1 点P(x0，y0)在圆C外⇔(x0－a)2＋(y0－b)2>r2.

2．求圆的标准方程时常用的几何性质

求圆的标准方程，关键是确定圆心坐标和半径，为此常用到圆的以下几何性质：

(1)弦的垂直平分线必过圆心．

(2)圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心．

(3)圆心与切点的连线长是半径长．

(4)圆心与切点的连线必与切线垂直．

3．求圆的标准方程常用方法

(1)待定系数法．(2)直接法．

一、选择题

1．圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圆心与半径分别为( )

A．(－1,2)，2 B．(1，－2)，2 C．(－1,2)，4 D．(1，－2)，4

2．已知一圆的圆心为点A(2，－3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则圆的标准方程为( )

A．(x＋2)2＋(y－3)2＝13 B．(x－2)2＋(y＋3)2＝13 C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52 D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52

3．过点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的标准方程是( )

A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4

C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4

4．点(5a＋1,12a)在圆(x－1)2＋y2＝1的内部，则实数a的取值范围是( )

A．|a|＜1 B．a＜13 C．|a|＜15 D．|a|＜113

5．若圆心在x轴上，半径为5的圆C位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆C的标准方程为( )

A．(x－5)2＋y2＝5 B．(x＋5)2＋y2＝5 C．(x－5)2＋y2＝5 D．(x＋5)2＋y2＝5

6．若直线y＝ax＋b通过第一、二、四象限，则圆(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圆心位于( )

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

7．已知圆C与圆(x－1)2＋y2＝1关于直线y＝－x对称，则圆C的标准方程为( )

A．(x＋1)2＋y2＝1 B．x2＋y2＝1 C．x2＋(y＋1)2＝1 D．x2＋(y－1)2＝1

8．设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为( )

A．6 B．4 C．3 D．2

二、填空题

9．若圆C与圆M：(x＋2)2＋(y－1)2＝1关于原点对称，则圆C的标准方程为________．

10．圆O的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25，则点(2,3)到圆上的最大距离为________．

11．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是________________________．

12．若实数x，y满足x2＋y2＝1，则y－2x－1的最小值是______．

三、解答题

13．求过点A(1,2)和B(1,10)且与直线x－2y－1＝0相切的圆的标准方程．