中考数学最值问题

专题复习——求最短路径问题

最短路径问题在中考中出现的频率很高，这类问题一般与垂线段最短、两点之间线段最短关系密切．在求最短路线时，一般我们先用“对称”的方法化成两点之间的最短距离问题，而两点之间直线段最短，从而找到所需的最短路线．像这样将一个问题转变为一个和它等价的问题，再设法解决，是数学中一种常用的重要思想方法．

类型1 利用“垂线段最短”求最短路径问题

如图所示，AB是一条河流，要铺设管道将河水引到C，D两个用水点，现有两种铺设管道的方案．方案一：分别过C，D作AB的垂线，垂足分别为E，F，沿CE，DF铺设管道；方案二：连接CD交AB于点P，沿PC、PD铺设管道．问：这两种铺设管道的方案中哪一种更节省材料，为什么？

【思路点拨】 方案一管道长为CE＋DF，方案二管道长为PC＋PD，利用垂线段最短即可比较出大小．

本题易错误的利用两点之间线段最短解决，解答时需要准确识图，找到图形对应的知识点．

1．如下左图，点A的坐标为(－1，0)，点B(a，a)，当线段AB最短时，点B的坐标为( )

A．(0，0)B．(22，－22)C．(－22，－22)D．(－12，－12)

2．在直角坐标系中，点P落在直线x－2y＋6＝0上，O为坐标原点，则|OP|的最小值为( )

A.352 B．35 C.655 D.10

3．如上中图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A(13，0)，直线y＝kx－3k＋4与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为________．

4．如上右图，平原上有A，B，C，D四个村庄，为解决缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池．

(1)不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H点的位置，使它到四个村庄距离之和最小；

(2)计划把河水引入蓄水池H中，怎样开渠最短并说明根据．

类型2 利用“两点之间线段最短”求最短路径问题

中考数学最值问题总结（含强化训练）

在中学数学题中，最值题是常见题型，围绕最大（小）值所出的数学题是各种各样，就其解法，主要分为几何最值和代数最值两大部分。

一、解决几何最值问题的要领

（1）两点之间线段最短；

（2）直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短；

（3）三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值）。

二、解决代数最值问题的方法要领

1.二次函数的最值公式

二次函数yaxbxc2（a、b、c为常数且a0）其性质中有

①若a0当xba2时，y有最小值。yacbamin442；

②若a0当xba2时，y有最大值。yacbamax442。

2.一次函数的增减性.一次函数ykxbk()0的自变量x的取值范围是全体实数，图象是一条直线，因而没有最大（小）值；但当mxn时，则一次函数的图象是一条线段，根据一次函数的增减性，就有最大（小）值。

3. 判别式法.根据题意构造一个关于未知数x的一元二次方程；再根据x是实数，推得0，进而求出y的取值范围，并由此得出y的最值。

4.构造函数法.“最值”问题中一般都存在某些变量变化的过程，因此它们的解往往离不开函数。

5. 利用非负数的性质.在实数范围内，显然有abkk22，当且仅当ab0时，等号成立，即abk22的最小值为k。

6. 零点区间讨论法.用“零点区间讨论法”消去函数y中绝对值符号，然后求出y在各个区间上的最大值，再加以比较，从中确定出整个定义域上的最大值。 7. 利用不等式与判别式求解.在不等式xa中，xa是最大值，在不等式xb中，xb是最小值。

8. “夹逼法”求最值.在解某些数学问题时，通过转化、变形和估计，将有关的量限制在某一数值范围内，再通过解不等式获取问题的答案，这一方法称为“夹逼法”。

【例题1】（2020•黑龙江）如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD方向平移，得到△EFG，连接EC、GC．求EC+GC的最小值为 ．

中考数学最值问题

类型一：线段和最小值

例1 如图，在菱形ABCD中,AB=12,∠ABC=60°，P在AD上，Q在AB上，AP=2，BQ=2，点K是BD的一动点，则PK+QK的最小值为___.

变式1、如图，在菱形ABCD中,AB=12,∠ABC=60°，P在AD上，Q在AB上，AP=2，BQ=3，点K是BD的一动点，则PK+QK的最小值为___.

变式2、如图，在菱形ABCD中,AB=12,∠ABC=60°，P在AD上，AP=2，点Q是AB上的一动点，点K是BD上的一动点，则PK+QK的最小值为___.

例2 点A（1，-3），B（4，-1），P（a，0），则AP+BP的最小值是__________.

变式1、若点N（a+2,0），连接AB、AP、BN,则当四边形ABNP周长最小时，a=______

变式2、若点Q为（0，b），PQ、AQ、AB、BP, 则当四边形PQAB周长最小时，Q的坐标为_________

课后思考

如图,已知抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于点A(1,0)和点B(?3,0)，与y轴交于点C。

(1)求此抛物线的解析式；

(2)若点 Q为抛物线对称轴上一动点，当△QAC周长最小时，求点Q的坐标；

(3)当点E、F为抛物线的对称轴上的两动点（点E在点F的上方）,且EF=1，当四边形ACEF周长最小时, 求点E的坐标；

(4)D为抛物线上一点，D的横坐标为12，点E、F分别为对称轴和x轴上的动点，当四边形CEFD周长最小时, 求点E、F的坐标；

(5) 抛物线的对称轴上是否存在点Q，使︱QB-QC︱的绝对值最大，若存在，求出Q点的坐标，若不存在，请说明理由。

例3 如图,矩形ABCD中,AB=2,BC=3,以A为圆心,1为半径画A,E是圆A上一动点,P是BC上一动点,则PE+PD最小值是()

课后思考

1、如图,矩形ABCD中,AB=2,BC=3,分别以A.?D为圆心,1为半径画圆,E、F分别是A.?D上的一动点,P是BC上的一动点,则PE+PF的最小值是_________

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页 2021年中考数学总复习：专题52 中考数学最值问题

在中学数学题中，最值题是常见题型，围绕最大（小）值所出的数学题是各种各样，就其解法，主要分为几何最值和代数最值两大部分。

一、解决几何最值问题的要领

（1）两点之间线段最短；

（2）直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短；

（3）三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值）。

二、解决代数最值问题的方法要领

1.二次函数的最值公式

二次函数yaxbxc2（a、b、c为常数且a0）其性质中有

①若a0当xba2时，y有最小值。yacbamin442；

②若a0当xba2时，y有最大值。yacbamax442。

2.一次函数的增减性.一次函数ykxbk()0的自变量x的取值范围是全体实数，图象是一条直线，因而没有最大（小）值；但当mxn时，则一次函数的图象是一条线段，根据一次函数的增减性，就有最大（小）值。

3. 判别式法.根据题意构造一个关于未知数x的一元二次方程；再根据x是实数，推得0，进而求出y的取值范围，并由此得出y的最值。

4.构造函数法.“最值”问题中一般都存在某些变量变化的过程，因此它们的解往往离不开函数。

5. 利用非负数的性质.在实数范围内，显然有abkk22，当且仅当ab0时，等号成立，即abk22的最小值为k。

6. 零点区间讨论法.用“零点区间讨论法”消去函数y中绝对值符号，然后求出y在各个区间上的最大值，再加以比较，从中确定出整个定义域上的最大值。

7. 利用不等式与判别式求解.在不等式xa中，xa是最大值，在不等式xb中，xb是最小值。

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页 8. “夹逼法”求最值.在解某些数学问题时，通过转化、变形和估计，将有关的量限制在某一数值范围内，再通过解不等式获取问题的答案，这一方法称为“夹逼法”。