圆锥曲线专题(求离心率值、离心率取值范围)

一、快速求离心率的两种技巧 1. 赋值法适用于知道c b a ,,中两者之间的关系，如b a 2=,令12==b a ,,则233==e c , 2. 齐次式（等式两边次数和相同）如ac b 22=,则ac c a 222=-,该式左右两边次数之和都是二次,因此同乘21a 得e e 212=-,解得21+-=e （负值舍去）如22442c a c a =-应同乘41a ,2333ac c a =-应同乘31a注意:齐次式的方法必须消去b ,如222422c ab b a c b a =++⇒=+就无法用此法, 应该222222244442c a ac a c b ac a c b a c -=-+⇒=-+⇒=- 二、利用顶角求离心率的取值范围在椭圆中,顶角∠211F P F 最大. 证明:设∠θ=21PF F ,由余弦定理知()1412422424222222222-≥-=--+=-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+n m b mn b mn mn c n m mn c n m θcos 当且仅当n m =,θcos 取得取最小值.又因为(]πθ，0∈,θcos 单调递减,所以θcos 取得取最小值时,θ最大,此时a n m ==,=θ∠211F P F .例1. 椭圆()0012222>>=+b a by a x ,的两个焦点是21F F ,.若P 为其上一点,且∠321π=PF F ,则椭圆离心率e 的取值范围是 .例2.（2017全国I,12）设B A ,是椭圆1322=+my x C :长轴的两个端点,若C上存在点M 满足∠︒=120AMB ,则m 的取值范围是A . (][)+∞⋃,,910B . (][)+∞⋃,,930C . (][)+∞⋃,,410D . (][)+∞⋃,,430变式1：若B A ,是椭圆()0012222>>=+b a by a x ,长轴的两个端点,Q 为椭圆上的一点,使∠︒=120AQB ,求此椭圆离心率最小值为 .变式2:已知21F F ,是椭圆()0012222>>=+b a b y a x ,的两个焦点,P 是椭圆上一点,且∠9021=PF F ,则椭圆离心率e 的取值范围是 .三、利用焦半径求离心率取值范围在椭圆中,21F F ,是椭圆()0012222>>=+b a by a x ,的两个焦点,P 是椭圆上一点,则c a PF c a +≤≤-2同理,双曲线中,a c PF -≥2. 例1.椭圆()0012222>>=+b a by a x ,的两个焦点是21F F ,.若P 是椭圆上一点,且212PF PF =,则此椭圆离心率的取值范围是 . 例2.已知双曲线()0012222>>=-b a by a x ,的左右焦点分别为21F F ,,点P 在双曲线的右支上,且214PF PF =,则此双曲线离心率e 的最大值为 .变式1.已知双曲线()0012222>>=-b a by a x ,的左右焦点分别为21F F ,,P 是双曲线上异于实轴端点的点,满足1221F PF a F PF c ∠=∠sin sin ,则双曲线离心率e 的取值范围是( )A . ()3121++, B . ()+∞+,21C . ()212+, D . ()211+,四、利用渐近线求离心率取值范围过双曲线内一点①与双曲线只有一个交点的直线有两条(与渐近线平行)②与双曲线右支有两个交点的直线的斜率范围⎪⎭⎫⎝⎛+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,,a b a b③与双曲线左、右两支相交于两点的直线的斜率范围⎪⎭⎫⎝⎛+-a b a b ,.例1. 斜率为2的直线过中心在原点且焦点在x 轴上的双曲线的右焦点,与双曲线的两个焦点分别在左右两支上,则双曲线离心率的取值范围是 例2.设双曲线()01222>=-a y ax C :与直线1=+y x l :相交于两个不同的点B A ,,求双曲线C 的离心率e 的取值范围.变式 1. 已知双曲线()0012222>>=-b a by a x ,的右焦点为F ,若过点F 且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则双曲线离心率的取值范围是( )A . (]21,B . ()21,C . [)+∞,2 D . ()+∞,2五、椭圆与双曲线共焦点问题 例1.已知共焦点21F F ,的的椭圆与双曲线,它们的一个公共点是P ,若021=⋅P F P F ,则椭圆的离心率1e 与双曲线的离心率2e 的关系式为( ) A .2112221=+e e B . 2112221=-e e C . 22221=+e e D . 22122=-e e变式 1. 设椭圆11022=+y x 双曲线1822=-y x 的公共焦点分别为21F F ,, P 是这两个曲线的交点,则21F PF ∆的外接圆半径为( )A . 1B . 2C . 22D . 3变式 2. 已知21F F ,是椭圆与双曲线的公共焦点,P 是它们的一个公共点,且321π=∠PF F ,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )A .334 B . 332 C .3 D . 3 六、圆锥曲线再论共焦点模型设椭圆和双曲线的长半轴分别为21a a ,,由椭圆和双曲线的定义知22112122a PF PF a PF PF =-=+,解得212211a a PF a a PF -=+=例1.椭圆与双曲线有公共焦点21F F ,,它们在第一象限的交点为A ,且21AF AF ⊥,︒=∠3021F AF ,则椭圆与双曲线的离心率之积为( )A . 2B . 3C .21D .23 例2.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点,左、右焦点分别为21F F ,,且两条曲线在第一象限的交点为P ,21F PF ∆是以1PF 为底边的等腰三角形.若101=PF ,椭圆与双曲线的离心率分别为21e e ,,则121+⋅e e 的取值范围为( )A . ()+∞,1B . ⎪⎭⎫⎝⎛+∞,34 C .⎪⎭⎫⎝⎛+∞,56 D . ⎪⎭⎫⎝⎛+∞,910变式1.已知21F F ,是椭圆与双曲线的公共焦点,P 是它们的一个公共点,且11PF PF >,椭圆的离心率为1e ,双曲线的离心率为2e ,若211F F PF =,则3321e e +的最小值为( )A . 326+B . 226+C . 8D . 6变式2. 已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点21F F ,都在x 轴上,记椭圆与双曲线在第一象限的交点为P ,若21F PF ∆是以1PF (1F 为左焦点)为底边的等腰三角形,双曲线的离心率为3,则椭圆的离心率为七、圆锥曲线三站共焦点模型设θ221=∠PF F ,在21F PF ∆中,221211212122cb a a PF PFc F F +==+=由余弦定理知,()()()θθθ212421222212121221212221221cos cos cos +-=+-+=-+=PF PF a PF PF PF PF PF PF PF PF F F可得()θθ212212212121cos cos +=+-=b c a PF PF ,θθθθtan cos sin sin 21212121222121b b PF PF S PF F =+==∆ 同理可得,θtan 2221b S PF F =∆ 所以θθtan tan 2221b b =⇒()()222222212222221a c c a a c c a -=-⇒-=-θθθcos sin tan 两边同时除以2c ,得到1222212=+e e θθcos sin 例1.设21e e ,分别为具有公共焦点1F 与2F 的椭圆和圆锥曲线的离心率,P 为两曲线的一个公共点,且满足021=⋅PF PF ,则()2212221e e e e +的值为( ) A .21B . 1C . 2D . 不确定 例2.已知椭圆与双曲线有公共焦点21F F ,,P 是它们的一个交点,且321π=∠PF F ,记椭圆和双曲线的离心率分别为21e e ,,则当211e e 取最大值时,的值分别是( )A .2622, B . 2521, C . 633, D . 342, 变式 1. 已知椭圆与双曲线有公共焦点21F F ,,P 是它们的一个交点,且321π=∠PF F ,记椭圆和双曲线的离心率分别为21e e ,,则2111e e +的最大值为 .变式2.已知椭圆1C 和双曲线2C 焦点相同,且离心率互为倒数,21F F ,是它们的公共21e e ,焦点,P 是椭圆与双曲线在第一象限的交点,若321π=∠PF F ,则椭圆1C 的离心率为A .33 B . 23 C . 22 D . 21八、圆锥曲线线段最值问题空间中定点到圆锥曲线上动点线段长度问题 处理策略:1. 二次函数 2. 参数方程例1. 设Q P ,分别为()2622=-+y x 和椭圆11022=+y x 上的点,则Q P ,两点间的最大距离是A . 25B .246+ C . 27+ D . 26九、圆锥曲线椭圆的焦半径公式椭圆的第二定义:平面上到定点F 的距离与到定直线的距离之比为常数e .对椭圆12222=+b y a x ,相对于焦点()0,c F 的准线方程是c a x 2=设过左焦点1F 的直线交椭圆于点B A ,,过A 向准线ca x 2=作垂线于点D⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==⇒=θcos 1211AF c c a e AD e AF e AD AF 解得θcos c a b AF -=21同理可得,θcos c a b BF +=21设()121>=λλAF AF ,得θθθθθθλcos cos cos cos cos cos e e c a c a c a b c a b -+=-+=+-=1122⇒11-+=λλθcos e 即1111BF AF BF AF e +-==和差θcos例1. 双曲线),(:0012222>>=-b a by a x C 的右焦点为F ,过F 且斜率为3的直线交C 与B A ,两点,若FB AF 4=,则C 的离心率为例2. 已知椭圆),(:0012222>>=+b a by a x C 的离心率为23,过右焦点F 且斜率为)(0>k k 的直线与C 相交于与B A ,两点.若BF AF 3=,则=k变式 1. 已知F 是椭圆C 的一个焦点,B 是短轴的一个端点,线段BF 的延长线交C 于点D ,且FD BF 2=,则C 的离心率为变式 2. 设椭圆),(:0012222>>=+b a by a x C 的右焦点F ,过F 的直线与椭圆C 相交于与B A ,两点,直线l 的倾斜角为︒60,FB AF 2= (1) 求椭圆C 的离心率 (2) 如果215=AB ,求椭圆C 的的方程.十、椭圆的焦半径公式坐标式 设椭圆上一点),(y x A ,则exa AF ex a AF -=+=21例1. 已知ABC ∆是椭圆192522=+y x 的内接三角形,F 是椭圆的右焦点,且ABC ∆的重心在原点0,则C B A ,,三点到F 的距离之和为( )A . 9B . 15C . 12D . 8变式1. 已知椭圆13422=+y x 的左右焦点分别为21F F ,,P 为椭圆上一动点. (1) 求21PF PF 的取值范围； (2) 求21PF PF ⋅的取值范围.九、快速求离心率的两种技巧 十、利用顶角求离心率的取值范围 例1.解:由题意知,有一点P 使∠321π=PF F ,则椭圆的顶角∠3211π≥F P F ,所以∠621π≥F OP ,又因为a c F OP =21sin ,则21621=≥=πsin sin a c F OP 故⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈121,e例2.变式1.变式2.十一、利用焦半径求离心率取值范围例1.例2.变式1.十二、利用渐近线求离心率取值范围例1变式1十三、椭圆与双曲线共焦点问题例1变式2十四、圆锥曲线再论共焦点模型例1例2变式1变式2十五、圆锥曲线三站共焦点模型例1例2变式1变式2十六、圆锥曲线线段最值问题例1九、圆锥曲线椭圆的焦半径公式例1例2变式1变式2十、椭圆的焦半径公式坐标式例1变式1。

圆锥曲线专题 求离心率的值师生互动环节讲课内容：历年高考或模拟试题关于离心率的求值问题分类精析与方法归纳点拨。

策略一：根据定义式求离心率的值在椭圆或双曲线中，如果能求出c a 、的值，可以直接代公式求离心率；如果不能得到ca 、的值，也可以通过整体法求离心率：椭圆中221ab ac e -==；双曲线中221a b a c e +==.所以只要求出ab值即可求离心率. 例1.（2010年全国卷2）己知斜率为1的直线l 与双曲线C ：()2222100x y a b a b-=＞，＞相交于D B 、两点，且BD 的中点为)3,1(M ，求曲线C 的离心率.解析：如图，设),(),(2211y x D y x B 、，则1221221=-b y a x ① 1222222=-by a x ② ①-②整理得0))(())((2212122121=+--+-b y y y y a x x x x ③又因为)3,1(M 为BD 的中点，则6,22121=+=+y y x x ，且21x x ≠，代入③得13222121==--=a b x x y y k BD，解得322=ab ，所以231122=+=+=a b e .方法点拨：此题通过点差法建立了关于斜率与a b 的关系，解得22ab 的值，从而整体代入求出离心率e .当然此题还可以通过联立直线与曲线的方程，根据韦达定理可得),(21b a x x ϕ=+，2),(=b a ϕ或者),(21b a y y ω=+，6),(=b a ω从而解出22a b 的值，最后求得离心率.【同类题型强化训练】1.（呼市二中模拟）已知中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程为032=±y x ，则双曲线的离心率为（ ）. 313.A 213.B 315.C 210.D 2.（衡水中学模拟）已知中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与圆222)1()2(r y x =-+-交于B A 、两点，AB 恰是该圆的直径，且直线AB 的斜率21-=k ，求椭圆的离心率.3.（母题）已知双曲线)0(1:22>=-m y m x C ，双曲线上一动点P 到两条渐近线的距离乘积为21，求曲线C 的离心率. 【强化训练答案】1.答案：由双曲线焦点在x 上，则渐近线方程0=±ay bx ，又题设条件中的渐近线方程为032=±y x ，比较可得32=a b ，则313941122=+=+=a b e .2.答案：设椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x ，),(),,(2211y x B y x A ，则1221221=+b y a x ① 1222222=+by a x ② ①-②整理得0))(())((2212122121=+-++-b y y y y a x x x x ③因为AB 恰是该圆的直径，故AB 的中点为圆心)1,2(，且21x x ≠则2,42121=+=+y y x x ，代入③式整理得2221212ab x x y y k -=--=直线AB 的斜率21-=k ，所以21222-=-=a b k ，解得4122=a b所以离心率23411122=-=-==a b a c e .3.答案：曲线C 的渐近线方程分别为0:1=+y m x l 和0:2=-y m x l ，设),(00y x P ，则 点),(00y x P 到直线1l 的距离m y m x d ++=1001，点),(00y x P 到直线2l 的距离my m x d +-=1002，mmy x my m x y m x d d +-=+-⋅+=⋅11220000021因为),(00y x P 在曲线C 上，所以m my x =-2020，故21121=+=⋅m m d d ，解得1=m 所以2=e .策略二：构造c a ,的关系式求离心率根据题设条件，借助c b a ,,之间的关系，沟通c a 、的关系（特别是齐次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解方程得出离心率e .例 2.已知21,F F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两焦点，以线段21F F 为边作正三角形21F MF ，若边1MF 的中点P 在双曲线上，求双曲线的离心率.解析：如图1，1MF 的中点为P ，则点P 的横坐标为2c-.由c F F PF ==21121， 焦半径公式a ex PF p --=1有a ca c c --⨯-=)2(，即02222=--ac a c 有0222=--e e解得31+=e ，或31-=e （舍去）.方法点拨：此题根据条件构造关于c a ,的齐次式，通过齐次式结合离心率的定义ace =整理成关于e 的一元方程，从而解出离心率的值.注意解出的结果要做验证，取符合离心率的范围的结果：),1(),1,0(+∞∈∈双曲线椭圆e e . 【同类题型强化训练】1.（2011新课标）已知直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A 、B 两点，||AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（ ）.A 2.B 3.C 2 .D 32.（2008浙江）若双曲线12222=-b y a x 的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2,则双曲线的离心率是（ ）.A 3 .B 5 .C 3 .D 5 【同类题型强化训练答案】1.答案：依据题意a aa c AB 22222=-=，解得2=e .2.答案：依据题意2:3)(:)(22=-+c a c c a c ，整理得223a c =，所以3==ace .策略三：根据圆锥曲线的统一定义求离心率（第二定义）由圆锥曲线的第二定义，知离心率e 是动点到焦点的距离和动点到准线的距离之比，适用于条件含有焦半径的圆锥曲线问题，即e dMF =.例3.（2010年辽宁卷）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C相交于B A ,两点，直线l 的倾斜角为︒60,2AF FB =,求椭圆C 的离心率.解法一：作椭圆的左准线B A '',过A 作B A ''的垂线，垂足为A '；过B 作B B '的垂线，垂足为B '.过B 作A A '的垂线，垂足为M .如图2.由图，由椭圆的第二定义，则e A A AF ='e AF A A ='⇒，e B B BF ='e BFB B ='⇒ 12::==''e BF e AF B B A A B B A A '='⇒2 且A A BM '⊥,所以M 是A A '的中点又因为直线l 的倾斜角为︒60，即︒=∠=∠60AFx BAM ， 所以在BAM Rt ∆中，A A AM AB '==2,故3232=⋅='=AB AB A A AF e . 解法二：设1122(,),(,)A x y B x y ，由题意知10y <，20y >.直线l 的方程为 3()y x c =-，其中22c a b =-联立22223(),1y x c x y ab ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得22224(3)2330a b y b cy b ++-=解得221222223(2)3(2),33b c a b c a y y a b a b -+--==++因为2AF FB =，所以122y y -=.即 2222223(2)3(2)233b c a b c a a b a b +--=⋅++得离心率 23c e a ==. 方法点拨：该题对于课标地区选择第二种代数法处理，对于自主命题对圆锥曲线的第二定义要求的地区，两种方法都可以给学生讲讲。

高考数学专题复习——求解圆锥曲线离心率的值或取值范围求圆锥曲线离心率的值或取值范围是浙江高考的一个热点，也是一个难点，求离心率的难点在于如何如何列出一个与a,b,c,e 有关的等式或不等关系.1、常见题型：求离心率的值（浙江省9年考了求值）；求离心率的取值范围2、常用方法:（1）直接求出a,c（2）构造a,c 的齐次式或a,b 齐次式的等式或不等式 （3）利用圆锥曲线相关性质建立a,c 不等关系求解 （4）利用平面几何性质求解离心率的相关问题 (5) 运用数形结合建立a,c 关系求解一、直接求出a ，c例1：过双曲线C ：)0(1222>=-b by x 的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于点B 、C ，且|AB|=|BC|，则双曲线M 的离心率是（ ） A.10 B. 5 C.310 D.25 变式练习1、已知椭圆12222=+by a x （0>>b a ），点P （-3，1）在直线2a x c =-上，过点P 且方向为()5,2-=a 的光线，经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ）A33 B 31 C 22D 21 二、构造a,c 的齐次式或a 、b 齐次式的等式或不等式根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。

例2、设21F F ，分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得,49||||,3||||2121ab PF PF b PF PF =⋅=+则该双曲线的离心率为（ ） A.34 B.35 C.49D.3 变式练习1设21F F ，分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得2212(||||)3,PF PF b ab -=-则该双曲线的离心率为( )2 B.15 C.4 D.17变式练习2、设双曲线12222=-by a x （b a <<0）的半焦距为c ，直线L 过()0,a ，()b ,0两点.已知原点到直线的距离为c 43，则双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C. 2 D.332 变式练习3、(2014浙江理科16，文科17)设直线)0(03≠=+-m m y x 与双曲线12222=-by a x （0a b >>）两条渐近线分别交于点B A ,，若点)0,(m P 满足PB PA =,则该双曲线的离心率是__________三、利用圆锥曲线相关性质建立a,c 关系求解.例3、(2013浙江，文理9)如图，F 1，F 2是椭圆C 1：24x ＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )．A ．2B ．3C ．32D ．62变式练习1、设椭圆()01:2222>>=+b a b y a x C 的左右焦点为21F F ，，作2F 作x 轴的垂线与C 交于 B A ，两点，B F 1与y 轴交于点D ，若B F AD 1⊥，则椭圆C 的离心率等于________. 变式练习2、（2010浙江理科第8题）设1F 、2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=＞＞的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P ，满足212PF F F =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为 （ ）（A ）340x y ±= （B ）350x y ±= （C ）430x y ±= （D ）540x y ±=变式练习3、设1e ，2e 分别为具有公共焦点1F 与2F 的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足021=⋅PF PF ，则2212221)(e e e e +的值为四、利用平面几何性质求解离心率的相关问题例4、已知双曲线)0(12222>>=-a b by a x 的两条渐近线为21,l l ，过右焦点F 作垂直1l 的直线交21,l l 于B A ,两点。

微重点　离心率的范围问题圆锥曲线离心率的范围问题是高考的热点题型，对圆锥曲线中已知特征关系的转化是解决此类问题的关键，相关平面几何关系的挖掘应用也可使问题求解更简洁．知识导图考点一　利用圆锥曲线的定义求离心率的范围考点二　利用圆锥曲线的性质求离心率的范围考点三　利用几何图形的性质求离心率的范围考点分类讲解考点一　利用圆锥曲线的定义求离心率的范围规律方法　此类题型的一般方法是利用圆锥曲线的定义，以及余弦定理或勾股定理，构造关于a ，b ，c 的不等式或不等式组求解，要注意椭圆、双曲线离心率自身的范围．1(23-24高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期末)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上存在点P ，使得PF 1 =4PF 2 ，其中F 1,F 2是椭圆C 的两个焦点，则椭圆C 的离心率的取值范围是()A.35,1 B.14,35C.12,1D.0,14【答案】A【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义求出PF 1 ,PF 2 ，再利用线段和差关系建立不等式求解即得.【详解】点P 在椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上，F 1,F 2是椭圆C 的两个焦点，令半焦距为c ，由PF 1 =4PF 2 及PF 1 +PF 2 =2a ，得PF 1 =8a 5,PF 2 =2a5，显然PF 1 -PF 2 ≤|F 1F 2|，当且仅当点F 1,F 2,P 共线，且F 2在线段PF 1上时取等号，因此2c ≥8a 5-2a 5=6a 5，即e =c a ≥35，又0<e <1，则35≤e <1，所以椭圆C 的离心率的取值范围是35,1 .故选：A2(23-24高三上·云南曲靖·阶段练习)已知F 1，F 2，分别为双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的左、右焦点，M 为双曲线左支上任意一点，若MF 22MF 1 的最小值为8a ，则双曲线离心率e 的取值范围是()A.1,72B.2,4C.1,3D.3,5【答案】C【分析】由双曲线定义MF 2 2MF 1=MF 1 +2a2MF 1，变形后由基本不等式得最小值，从而得MF 1 =2a ，再利用双曲线中的范围有MF 1 ≥c -a ，由此结合可得离心率的范围．【详解】F 1，F 2是左、右焦点，M 为双曲线左支上的任意一点，则MF 2 -MF 1 =2a ，即MF 2 =MF 1 +2a ，代入MF 22MF 1得MF 22MF 1=MF 1 +2a2MF 1=MF 1 +4a 2MF 1+4a ≥2MF 1 ×4a 2MF 1+4a =8a ，当且仅当MF 1 =2a 时取等号，即MF 1 =2a ，又点M 是双曲线左支上任意一点，所以MF 1 ≥c -a ，即2a ≥c -a ，解得e ≤3，所以双曲线离心率e 的取值范围是1,3 .故选：C ．3(23-24高三上·陕西安康·阶段练习)已知双曲线E ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1的直线l 与双曲线E 的左、右两支分别交于点A ，B ，弦AB 的中点为M 且MF 1⊥MF 2.若过原点O 与点M 的直线的斜率不小于3，则双曲线E 的离心率的取值范围为()A.1,2 B.2,+∞C.1,5D.5,+∞【答案】B【分析】方法一：连接AF 2，BF 2，结合双曲线的定义，再由条件列出不等式，代入计算，即可得到结果；方法二：连接AF 2，BF 2，可得AF 2 =BF 2 ，联立直线与双曲线方程，结合韦达定理代入计算，表示出k OM ，列出不等式，即可得到结果.【详解】方法一：如图，设双曲线E 的半焦距为c ，连接AF 2，BF 2，因为MF 1⊥MF 2，所以AF 2 =BF 2 .设AF 2 =m ，由双曲线的定义，得AF 1 =m -2a ，BF 1 =2a +m ，所以AB =4a ，AM =BM =2a ，MF 1 =m ，所以MF 2 2=m 2-4a 2=4c 2-m 2，即m 2=2c 2+2a 2.设∠BF 1F 2=α，则∠MOF 2=2α，所以tan2α=2tan α1-tan 2α≥3，解得13≤tan 2α<1.又tan α=MF 2 MF 1 ，所以13≤m 2-4a 2m 2<1，解得m 2≥6a 2，所以2c 2+2a 2≥6a 2，即c 2≥2a 2，所以e =ca≥ 2.故选：B .方法二：如图，设双曲线E 的半焦距为c ，连接AF 2，BF 2，因为MF 1⊥MF 2，所以AF 2 =BF 2 .设AF 2 =m ，由双曲线的定义，得AF 1 =m -2a ，BF 1 =2a +m ，所以AB =4a .设直线l 的方程为x =ty -c ，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 .由x =ty -cx 2a2-y 2b2=1，消去x 并整理，得b 2t 2-a 2 y 2-2b 2tcy +b 4=0.422422242242因为直线l 与双曲线E 的两支相交，所以-b a <1t <ba，即b 2t 2-a 2>0.由y 1+y 2=2b 2tc b 2t 2-a2y 1y 2=b 4b 2t 2-a 2，得AB =1+t 2y 1-y 2 =2ab 21+t 2 b 2t 2-a 2.结合AB =4a ，化简得t 2=b 2+2a 2b 2①.由x 21a 2-y 21b 2=1x 22a 2-y 22b 2=1，两式相减，得x 1-x 2y 1-y 2=a 2b 2⋅y 1+y 2x 1+x 2，即t =a 2b 2⋅k OM ②，②代入①化简，得k 2OM=b 4+2a 2b 2a 4≥3，所以b 2≥a 2，即c 2≥2a 2，所以e ≥ 2.故选：B .4(2023·亳州模拟)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若C 与直线y =x 有交点，且双曲线上存在不是顶点的P ，使得∠PF 2F 1=3∠PF 1F 2，则双曲线离心率的取值范围为．【答案】　(2，2)【解析】双曲线C 与直线y =x 有交点，则b a >1，b 2a 2=c 2-a 2a 2>1，解得e =ca>2，双曲线上存在不是顶点的P ，使得∠PF 2F 1=3∠PF 1F 2，则P 点在双曲线右支上，设PF 1与y 轴交于点Q ，由对称性得|QF 1|=|QF 2|，所以∠QF 1F 2=∠QF 2F 1，所以∠PF 2Q =∠PF 2F 1-∠QF 2F 1=2∠PF 1F 2=∠PQF 2，所以|PQ |=|PF 2|，所以|PF 1|-|PF 2|=|PF 1|-|PQ |=|QF 1|=2a ，由|QF 1|>|OF 1|得2a >c ，所以e =ca<2，又在△PF 1F 2中，∠PF 1F 2+∠PF 2F 1=4∠PF 1F 2<180°，∠PF 1F 2<45°，所以c 2a =cos ∠PF 1F 2>22，即e =ca>2，综上，2<e <2.考点二　利用圆锥曲线的性质求离心率的范围规律方法　利用圆锥曲线的性质，如：椭圆的最大角，通径，三角形中的边角关系，曲线上的点到焦点距离的范围等，建立不等式(不等式组)求解．1(2024·陕西·模拟预测)已知椭圆C 1:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1-c ,0 ,F 2c ,0 ，抛物线C2：x2=2py(p>0)，椭圆C1与抛物线C2相交于不同的两点A,B，且四边形ABF1F2的外接圆直径为5c2，若b>c，则椭圆C1的离心率的取值范围是()A.55,2 2B.22,255C.55,255D.255,1【答案】A【分析】先利用椭圆与抛物线的对称性分析得四边形ABF1F2的外接圆就是△BF1F2的外接圆，再利用正弦定理求得sin∠F1BF2，再利用椭圆中焦点三角形的性质得到∠F1MF2=θ的取值范围，从而得到关于a,b,c的齐次不等式，解之即可得解.【详解】如图，由椭圆与抛物线的对称性，知点A,B关于y轴对称，四边形ABF1F2是等腰梯形，易知四边形ABF1F2的外接圆就是△BF1F2的外接圆，设四边形ABF1F2的外接圆半径为R.在△BF1F2中，由正弦定理，知2csin∠F1BF2=2R=5c2,∴sin∠F1BF2=45，记椭圆C1的上顶点为M,∠F1MF2=θ，坐标原点为O，易知∠F1BF2<θ，又b>c，则tan θ2=tan∠F1MO=cb<1，0<θ2<π2，∴0<θ2<π4,∴0<∠θ<π2，即θ为锐角，∴45=sin∠F1BF2<sinθ，又sinθ=2sinθ2cosθ2sin2θ2+cos2θ2=2tanθ2tan2θ2+1,∴2tanθ2tan2θ2+1>45,∴12<tanθ2<2.又0<θ2<π4，∴12<tanθ2<1,∴12<cb<1，则14<c2b2<1，所以14<c2a2-c2<1，则55<ca<22，即55<e<22，则椭圆C1的离心率的取值范围是55,22，故选：A.【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a,c，代入公式e=c a；②只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式，结合b2=a2-c2转化为a,c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．2(2024高三·全国·专题练习)如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，A1,A2,B1,B2椭圆顶点，F2为右焦点，延长B1F2与A2B2交于点P，若∠B1PA2为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是()A.5-22,0B.0,5-22C.0,5-12D.5-12,1【答案】D【分析】利用椭圆的性质及平面向量数量积的坐标表示构造齐次式计算即可.【详解】解：如图所示，∠B 1PA 2是B 2A 2 与F 2B 1的夹角；设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a ,b ,c ，则B 2A 2 =a ,-b ,F 2B 1=-c ,-b ，∵向量的夹角为钝角时，B 2A 2 ⋅F 2B 1=-ac +b 2<0，又b 2=a 2-c 2,∴a 2-ac -c 2<0，两边除以a 2得1-e -e 2<0，解得e >5-12或e <-5-12；又∵0<e <1，∴1>e >5-12．故选：D ．3(23-24高三下·陕西安康·阶段练习)已知椭圆C 1:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(-c ,0)，F 2(c ,0)，抛物线C 2:x 2=2py (p >0)，且椭圆C 1与抛物线C 2相交于A ,B 两点，若F 1A ⋅F 1B=3c 2，则椭圆C 1的离心率的取值范围是()A.0,33B.0,33C.33,1D.33,1 【答案】B【分析】由椭圆和抛物线的对称性可知A ,B 两点关于y 轴对称，设出两点坐标，代入条件计算，将结果与椭圆联立可求解A 点纵坐标，结合点在椭圆上纵坐标的范围即可求出离心率的范围.【详解】解：设A x 0,y 0 ，则B -x 0,y 0 ，因为F 1(-c ,0)，F 2(c ,0)，由F 1A ⋅F 1B =3c 2，得：x 0+c ⋅-x 0+c +y 20=3c 2，即x 20-y 20=-2c 2，点A ,B 在椭圆上，所以满足x 20a 2+y 20b2=1，代入上式可得：y 20-2c 2a 2+y 20b 2=1，即b 2y 20-2c 2 +a 2y 20=a 2b 2，即y 20=a 2b 2+2b 2c 2a 2+b 2，因为点在椭圆上，所以y 20=a 2b 2+2b 2c 2a 2+b 2≤b 2，解得：2c 2≤b 2，即3c 2≤a 2，解得：0<e ≤33.故选：B4已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若双曲线上存在点P ，使sin ∠PF 1F 2sin ∠PF 2F 1=ac ，则该双曲线的离心率的取值范围为()A.(1,1+2) B.(1,1+3)C.(1,1+2]D.(1,1+3]【答案】A【解析】若点P 是双曲线的顶点，a sin ∠PF 1F 2=csin ∠PF 2F 1无意义，故点P 不是双曲线的顶点，在△PF 1F 2中，由正弦定理得|PF 1|sin ∠PF 2F 1=|PF 2|sin ∠PF 1F 2，又a sin ∠PF 1F 2=c sin ∠PF 2F 1，∴|PF 1||PF 2|=c a ，即|PF 1|=ca ·|PF 2|，∴P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义，得|PF 1|-|PF 2|=2a ，∴c a |PF 2|-|PF 2|=2a ，即|PF 2|=2a 2c -a ，由双曲线的几何性质，知|PF 2|>c -a ，∴2a 2c -a>c -a ，即c 2-2ac -a 2<0，∴e 2-2e -1<0，解得-2+1<e <2+1，又e >1，∴双曲线离心率的取值范围是(1,1+2)．考点三　利用几何图形的性质求离心率的范围规律方法　利用几何图形中几何量的大小，例如线段的长度、角的大小等，构造几何度量之间的关系．1(2023·无锡模拟)已知点P 在双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)上，P 到两渐近线的距离分别为d 1，d 2，若d 1d 2≤12|OP |2恒成立，则C 的离心率的最大值为()A.2B.3C.2D.5【答案】　A【解析】双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的渐近线方程为y =±b a x ，即bx ±ay =0，设双曲线上的点P (x 0，y 0)，所以x 20a 2-y 20b2=1，即b 2x 20-a 2y 20=a 2b 2，则P (x 0，y 0)到两条渐近线bx ±ay =0的距离分别为d 1=bx 0+ay 0a 2+b2，d 2=bx 0-ay 0a 2+b2，所以d 1d 2=b 2x 20-a 2y 2a 2+b 2=a 2b 2a 2+b2，又|OP |2=x 20+y 20=a 2+a 2b2y 20+y 20=a 2+a2b2+1y 20，y 0∈R ，所以|OP |2≥a 2，因为d 1d 2≤12|OP |2恒成立，所以a 2b 2a 2+b2≤12a 2，整理得b 2≤a 2，即b 2a2≤1，所以离心率e =c a =c 2a 2=1+b 2a2≤2，则C 的离心率的最大值为 2.2(2022高三上·河南·专题练习)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的焦距为2c ，直线y =b a x +b2与椭圆C 交于点P ,Q ，若PQ ≤7c ，则椭圆C 的离心率的取值范围为()A.32,1 B.0,22 C.105,1 D.0,13【答案】C【分析】联立椭圆与直线方程，利用韦达定理与弦长公式得到关于a ,b ,c 的齐次不等式，从而得解.【详解】联立方程y =b a x +b 2x 2a2+y 2b2=1，消去y ，整理得8x 2+4ax -3a 2=0，则Δ=4a 2-4×8×-3a 2 =112a 2>0，设P ,Q 的横坐标分别为x 1,x 2，则x 1+x 2=-a 2，x 1⋅x 2=-3a 28，所以PQ =1+b a 2⋅x 1-x 2 =1+b a2⋅x 1+x 2 2-4x 1x 2=a 2+b 2a 2⋅a 24+3a 22=72a 2+b 2，由PQ ≤7c ，得72a 2+b 2≤7c ，整理得a 2+b 2≤4c 2，即a 2+a 2-c 2≤4c 2，即c 2a2≥25，又0<e <1，则e =c a ≥105，故105≤e <1，所以椭圆C 的离心率的取值范围为105,1 .故选：C ．【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ,c ，代入公式e =ca；②只需要根据一个条件得到关于a ,b ,c 的齐次式，结合b 2=a 2-c 2转化为a ,c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．3(23-24高三上·广东·阶段练习)过双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1,a >0,b >0 的右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为H ，点O 为坐标原点，若sin ∠HOF >sin ∠HFO ，又直线y =2x 与双曲线无公共点，则双曲线C 的离心率的取值范围为()A.(2,5]B.(2,+∞)C.(1,5)D.(2,5)【答案】A【分析】结合题意以及双曲线的有关知识，找到a ,b ,c 之间的不等关系，整理计算即可.【详解】如图，可知△OFH 中，OF =c ，FH =b ，OH =a ，因为sin ∠HOF >sin ∠HFO ，由正弦定理可知b >a ，即b 2>a 2，所以c 2>2a 2，得e >2．又因为直线y =2x 与双曲线无公共点，则ba≤2，即b ≤2a ，结合a 2+b 2=c 2，所以c 2≤5a 2，所以e ≤5．综上：2<e ≤5，故选：A ．4(2023·陕西西安·模拟预测)已知两动点A ，B 在椭圆C ：x 2a2+y 2=1a >1 上，动点P 在直线3x +4y -10=0上，若∠APB 恒为锐角，则椭圆C 的离心率的取值范围是()A.0,23B.23,1C.0,63D.63,1【答案】C【分析】由椭圆性质和图像得出椭圆的两条互相垂直的切线的交点的轨迹为圆，由条件可知直线3x +4y -10=0与圆x 2+y 2=a 2+1相离, 从而可得出a 的范围, 进而求出离心率的范围.【详解】若从圆x 2+y 2=a 2+b 2上一点引椭圆x 2a 2+y 2b2=1的两条切线一定互相垂直.证明如下：设椭圆的切线方程为y =kx ±k 2a 2+b 2，∴过圆上一点p 1x 1,y 1 的切线为y 1=kx 1±k 2a 2+b 2，y 1-kx 1 2=k 2a 2+b 2，即x 21-a 2 k 2-2x 1y 1k +y 21-b 2 =0.(1)又∵p 1x 1y 1 在圆上, ∴x 21+y 21=a 2+b 2，即x 21-a 2=-y 21-b 2 .(i )当x 21-a 2≠0时, (1)式为k 2-2x 1y 1x 2-a 2k -1=0,由根与系数关系知k 1k 2=-1, 故两条切线互相垂直.(ii )当x 21-a 2=0时, x =±a ,y =±b , 此时两条切线显然互相重直.故圆x 2+y 2=a 2+b 2上一点引椭圆x 2a 2+y 2b2=1的两条切线一定互相垂直.所以椭圆x2a2+y 2=1的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆x 2+y 2=a 2+1.若∠APB 恒为锐角, 则直线3x +4y -10=0与圆x 2+y 2=a 2+1相离故109+16>a 2+1, 又a >1,∴1<a <3,∴e =c a =a 2-1a =1-1a 2∈0,63 .故选:C .强化训练一、单选题1(2023·全国·模拟预测)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b 2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线C 的右支上一点，且PF 1⊥PF 2，2≤PF 1PF 2 ≤4，则双曲线C 的离心率的取值范围为()A.52,344B.173,5C.1,173D.5,+∞【答案】B【分析】先利用双曲线的定义及勾股定理等得到PF 1 PF 2 =2b 2，设PF 1 PF 2=m ，结合双曲线的定义得到PF 1⋅PF 2 =4a 2m (m -1)2，则b 2a 2=2m +1m -2，构造函数f (m )=m +1m -2(2≤m ≤4)，利用导数法求解.【详解】解：因为PF 1 -PF 2 =2a ，PF 1⊥PF 2，∴PF 1 2+PF 2 2=PF 1 -PF 2 2+2PF 1 PF 2 =4a 2+2PF 1 PF 2 =4c 2，又b 2=c 2-a 2，∴PF 1 PF 2 =2b 2．设PF 1 PF 2=m ，则PF 1 =m PF 2 ，2≤m ≤4，∴PF 1 -PF 2 =(m -1)PF 2 =2a ，∴PF 2 =2a m -1，则PF 1 =2amm -1，∴PF 1 PF 2 =4a 2m(m -1)2．∴4a 2m (m -1)2=2b 2，则b 2a 2=2m m 2-2m +1=2m +1m -2，设f (m )=m +1m -2(2≤m ≤4)，则f (m )=1-1m2>0，∴f m 在2,4 上单调递增，∴f (2)=12≤f (m )≤f (4)=94，∴49≤1f (m )≤2，∴89≤b 2a 2≤4，∴c 2a 2=1+b 2a2∈179,5 ，∴e =c a ∈173,5 ，故选：B ．2(23-24高二上·江苏徐州·期中)设F 1，F 2分别为椭圆C 1:x 2a 21+y 2b 21=1a 1>b 1>0 与双曲线C 2:x 2a 22-y 2b 22=1a 2>0,b 2>0 的公共焦点，它们在第一象限内交于点M ，∠F 1MF 2=60°，若椭圆的离心率e 1∈22,32 ，则双曲线C 2的离心率e 2的取值范围为()A.52,62 B.62,+∞ C.324,62D.62,142【答案】C【分析】根据椭圆以及双曲线的定义可得，MF 1 =a 1+a 2MF 2 =a 1-a 2.进而在△MF 1F 2中，由余弦定理变形可得a 1c2+3a 2c 2-4=0，1e 22=134-1e 12.根据不等式的性质，结合已知，求解即可得出答案.【详解】根据椭圆及双曲线的定义可得MF 1 +MF 2 =2a 1MF 1 -MF 2 =2a 2 ，所以MF 1 =a 1+a 2MF2 =a 1-a 2.在△MF F 中，∠F MF =60°，由余弦定理可得cos ∠F 1MF 2=MF 12+MF 2 2-F 1F 2 22MF 1 ⋅MF 2 =a 1+a 2 2+a 1-a 2 2-4c 22a 1+a 2 a 1-a 2=12，整理可得，a 21+3a 22-4c 2=0，两边同时除以c 2可得，a 1c 2+3a 2c 2-4=0.又e 1=c a 1，e 2=ca 2，所以有1e 1 2+31e 22-4=0，所以，1e 2 2=134-1e 12.因为e 1∈22,32 ，所以12≤e 21≤34，所以43≤1e 21≤2，所以，-2≤-1e 21≤-43，2≤4-1e 21≤83，所以，23≤1e 2 2=134-1e 12 ≤89.则63≤1e 2≤223，故324≤e 2≤62.故选：C .3(2023·贵州黔东南·一模)设双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ，M 0,3b ，若直线l 与E 的右支交于A ,B 两点，且F 为△MAB 的重心，则E 的离心率的取值范围为()A.133,3 ∪3,+∞B.2137,3 ∪3,+∞C.1,133D.1,2137 【答案】A【分析】设点D (x 0,y 0)为AB 的中点，根据F 为△MAB 的重心，求得D 3c 2,-3b 2，由直线l 与E 的右支交于A ,B 两点，得到3c 22a 2--3b22b 2>1，求得c a >133，再由e =3时，证得M ,F ,A ,B 四点共线不满足题意，即可求得双曲线E 的离心率的取值范围.【详解】由题意，双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点为F (c ,0)，且M 0,3b ，设点D (x 0,y 0)为AB 的中点，因为F 为△MAB 的重心，所以MF =2FD，即(c ,-3b )=2(x 0-c ,y 0)，解得x 0=3c 2,y 0=-3b 2，即D 3c 2,-3b2，因为直线l 与E 的右支交于A ,B 两点，则满足3c 2 2a 2--3b 22b 2>1，整理得c 2a2>139，解得c a >133或c a <-133(舍去)，当离心率为e =3时，即a =33c 时，可得b =c 2-a 2=63c ，此时D 3c 2,-6c2，设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，可得x 1+x 2=3c ,y 1+y 2=-6c ，又由x21a2-y21b2=1x22a2-y22b2=1，两式相减可得y2-y1x2-x1=b2x2+x1a2y1+y2=b2×3ca2×(-6c)=-6，即直线l的斜率为k l=-6，又因为k MF=0-3bc-0=-6，所以k MF=k l，此时M,F,A,B四点共线，此时不满足题意，综上可得，双曲线E的离心率的取值范围为133,3∪3,+∞.故选：A.【点睛】知识方法：求解圆锥曲线的离心率的常见方法：1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得a,c得值，根据离心率的定义求解离心率e；2、齐次式法：由已知条件得出关于a,c的二元齐次方程或不等式，然后转化为关于e的一元二次方程或不等式，结合离心率的定义求解；3、特殊值法：根据特殊点与圆锥曲线的位置关系，利用取特殊值或特殊位置，求出离心率问题.4(2023·四川攀枝花·三模)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0，A为双曲线C的左顶点，B为虚轴的上顶点，直线l垂直平分线段AB，若直线l与C存在公共点，则双曲线C的离心率的取值范围是()A.2,3B.2,+∞C.3,+∞D.1,2【答案】B【分析】先根据题意求得直线l的斜率，再根据直线l与C存在公共点，只需直线l的斜率大于渐近线的斜率-ba即可求解.【详解】依题意，可得A-a,0,B0,b，则k AB=b-00+a=ba，又因为直线l垂直平分线段AB，所以k l=-a b，因为直线l与C存在公共点，所以-ab>-ba，即a2<b2，则a2<c2-a2，即2<c2a2,e2>2，解得e>2，所以双曲线C的离心率的取值范围是2,+∞.故选：B5(2023·湖北·模拟预测)已知双曲线x2m-y24-m=1，m∈0,4，过点P2,1可做2条直线与左支只有一个交点，与右支不相交，同时可以做2条直线与右支只有一个交点，与左支不相交，则双曲线离心率的取值范围是()A.1,5B.1,5 2C.1,2D.1,2【答案】B【分析】作出草图，利用双曲线的性质结合图形分类讨论计算即可.【详解】如图所示，设双曲线的两条渐近线分别为l、l ，由已知易知F22,0，若P在双曲线内部(如P 位置)，显然作任何直线均与双曲线右支有交点，无法满足题意；若P在双曲线与渐近线l之间(如P 位置)，过P所作直线若与双曲线左支相交则必与右支也相交，也无法满故P 只能在双曲线的渐近线l 上方，此时过P 可做唯一一条与右支相切的直线，也可以作一条与渐近线l 平行的直线，该两条直线均与左支无交点；同理也可作出唯一一条与左支相切的直线，及一条与渐近线l 平行的直线符合要求；即1>24-m m ⇒4m -1<14⇒e 2=4m <54，故e ∈1,52，故选：B6(23-24高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期末)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上存在点P ，使得PF 1 =4PF 2 ，其中F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，则椭圆C 的离心率的取值范围是()A.0,25B.25,1C.35,1D.35,1【答案】D【分析】由PF 1 =4PF 2 结合椭圆的定义可求出PF 1 ，再由a +c ≥PF 1 ≥a -c 可求出离心率的范围.【详解】因为PF 1 =4PF 2 ，因为PF 1 +PF 2 =2a ，所以4PF 2 +PF 2 =2a ，所以PF 2 =2a 5，PF 1 =8a5，因为a +c ≥PF 1 ≥a -c ，所以a -c ≤8a5≤a +c ，所以5a -5c ≤8a ≤5a +5c ，所以5-5e ≤8≤5+5e ，解得e ≥35，因为0<e <1，所以35≤e <1，所以离心率的范围35,1 ，故选：D .7(2023·四川·模拟预测)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左､右焦点分别为F 1,F 2，离心率为2，焦点到渐近线的距离为 6.过F 2作直线l 交双曲线C 的右支于A ,B 两点，若H ,G 分别为△AF 1F 2与△BF 1F 2的内心，则HG 的取值范围为()A.22,4B.3,2C.2,433D.22,463【分析】求出双曲线的解析式，根据△AF 1F 2与△BF 1F 2的内心求出F 1E ,F 2E 的关系式和点H ,G 的横坐标，设出直线AB 的倾斜角，得到HG 的表达式，即可求出HG 的取值范围【详解】由题意，在C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 中，根据焦点到渐近线的距可得b =6，离心率为2，∴e =ca =1+b 2a 2=1+6a 2=2，解得：a =2，∴c =b 2+a 2=22∴双曲线的方程为C :x 22-y 26=1.记△AF 1F 2的内切圆在边AF 1，AF 2，F 1F 2上的切点分别为M ,N ,E ，则H ，E 横坐标相等AM =AN ，F 1M =F 1E ，F 2N =F 2E ，由AF 1 -AF 2 =2a ，即AM +MF 1 -AN +NF 2 =2a ，得MF 1 -NF 2 =2a ，即F 1E -F 2E =2a ，记H 的横坐标为x 0，则E x 0,0 ，于是x 0+c -c -x 0 =2a ，得x 0=a ，同理内心G 的横坐标也为a ，故HG ⊥x 轴.设直线AB 的倾斜角为θ，则∠OF 2G =θ2，∠HF 2O =90°-θ2(Q 为坐标原点)，在△HF 2G 中，HG =c -a tan θ2+tan 90°-θ2 =c -a ⋅sin θ2cos θ2+cos θ2sin θ2 =c -a ⋅2sin θ=22sin θ，由于直线l 与C 的右支交于两点，且C 的一条渐近线的斜率为ba=3，倾斜角为60°，∴60°<θ<120°，即32<sin θ≤1，∴HG 的范围是22,463 .故选：D .【点睛】本题考查双曲线的定义与几何性质、三角恒等变换，考查推理论证能力、运算求解能力、数形结合思想，以及角度的取值范围，具有极强的综合性.8(23-24高二上·山东济宁·阶段练习)设椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 是椭圆上一点，PF 1 =λPF 2 13≤λ≤3 ，∠F 1PF 2=π2，则椭圆离心率的取值范围为()A.22,53 B.12,59C.22,104D.12,58【答案】C【分析】设PF 2 =t ，由椭圆定义和勾股定理得到e 2=λ2+1λ+1 2，换元后得到λ2+1λ+12=21m -12 2+12，根据二次函数单调性求出12≤e 2≤58，得到离心率的取值范围.【详解】设F 1-c ,0 ，F 2c ,0 ，由椭圆的定义可得，PF 1 +PF 2 =2a ，可设PF 2 =t ，可得PF 1 =λt ，即有λ+1 t =2a ，①由∠F 1PF 2=π2，可得PF 1 2+PF 2 2=4c 2，即为λ2+1 t 2=4c 2，②由②÷①2，可得e 2=λ2+1λ+12，令m =λ+1，可得λ=m -1，即有λ2+1λ+12=m 2-2m +2m 2=21m -12 2+12，由13≤λ≤3，可得43≤m ≤4，即14≤1m ≤34，则m =2时，取得最小值12；m =43或4时，取得最大值58.即有12≤e 2≤58，得22≤e ≤104.故选：C 【点睛】方法点睛：求椭圆的离心率或离心率的取值范围，常见有三种方法：①求出a ,c ，代入公式e =ca；②根据条件得到关于a ,b ,c 的齐次式，结合b 2=a 2-c 2转化为a ,c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于离心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率或离心率的取值范围；③由题目条件得到离心率关于变量的函数，结合变量的取值范围得到离心率的取值范围.二、多选题9(2024·河北邯郸·三模)已知双曲线C :x 2λ+6-y 23-λ=1，则()A.λ的取值范围是(-6,3)B.C 的焦点可在x 轴上也可在y 轴上C.C 的焦距为6D.C 的离心率e 的取值范围为(1,3)【答案】AC【分析】根据双曲线方程的特征，易于求得-6<λ<3，判断方程中分母的符号即可判断A ,B 项，计算易得C 项，先算出离心率的表达式，再根据λ的范围，即可确定e 的范围.【详解】对于A ，∵x 2λ+6-y 23-λ=1表示双曲线，∴(λ+6)(3-λ)>0，解得-6<λ<3，故A 正确；对于B ，由A 项可得-6<λ<3，故λ+6>0,3-λ>0，∴C 的焦点只能在x 轴上，故B 错误；对于C ，设C 的半焦距为c (c >0)，则c 2=λ+6+3-λ=9，∴c =3，即焦距为2c =6，故C 正确；对于D ，离心率e =3λ+6，∵-6<λ<3，∴0<λ+6<3，∴e 的取值范围是(1,+∞)，故D 错误．故选：AC .10(23-24高三上·黑龙江哈尔滨·期末)已知椭圆C :x 24+y 2b2=1(0<b <2)的左右焦点分别为F 1,F 2，点P 2,1 在椭圆内部，点Q 在椭圆上，则以下说法正确的是()A.离心率的取值范围为0,22B.QF 1 ⋅QF 2 的最小值为4C.不存在点Q ，使得QF 1⋅QF2=0D.当e =33时，以点P 为中点的椭圆的弦的斜率为1【答案】AC【分析】根据点P 2,1 在椭圆内部求b 的范围，然后可得离心率范围，可判断A ；利用椭圆定义和基本不等式判断B ；当点Q 为短轴端点时∠F 1QF 2最大，然后利用余弦定理判断∠F 1QF 2的最大值，然后可判断C ；利用点差法求解即可判断D .【详解】因为点P 2,1 在椭圆内部，所以24+1b2<1，得b 2>2，因为e =c a=1-b 2a2=1-b 24，所以0<e <22，A 正确；因为点Q 在椭圆上，所以QF 1 +QF 2 =2a =4，所以QF 1 ⋅QF 2 ≤QF 1 +QF 2 22=4，当且仅当QF 1 =QF 2 时等号成立，所以，QF 1 ⋅QF 2 有最大值4，B 错误；由椭圆性质可知，当点Q 为短轴端点时∠F 1QF 2最大，此时，cos ∠F 1QF 2=a 2+a 2-2c 22a2=1-2e 2，因为0<e <22，所以cos ∠F 1QF 2=1-2e 2>0，即∠F 1QF 2的最大值为锐角，故不存在点Q ，使得QF 1⋅QF2=0，C 正确；当e =33时，有c 2=33，得c =233，所以b 2=83，易知，当点P 为弦中点时斜率存在，记直线斜率为k ，与椭圆的交点为A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则x 214+y 21b 2=1x 224+y 22b 2=1 ，由点差法得y 2-y 1 y 2+y 1 x 2-x 1 x 2+x 1 =-b 24=-23，又k =y 2-y 1x 2-x 1,x 2+x 1=22,y 2+y 1=2，所以22k =-23，即k =-223，D 错误.故选：AC11(2023·广东汕头·三模)已知F 1，F 2分别为椭圆C :x 24+y 23=1的左、右焦点，P 为椭圆上任意一点(不在x 轴上)，△PF 1F 2外接圆的圆心为H ，半径为R ，△PF 1F 2内切圆的圆心为I ，半径为r ，直线PI 交x 轴于点M ，O 为坐标原点，则()A.S △PF 1F 2最大时，r =33B.PH ⋅PO的最小值为2C.椭圆C 的离心率等于PI IMD.R ⋅r 的取值范围为12,23【答案】ABD【分析】对于A ，根据当P 在短轴的端点时，S △PF 1F 2取得最大，且最大值为3，再根据S △MF 1F 2=S △IF 1F 2+S △IF 1P+S △IF 2P =3r ，代入进而即可求解；对于B ，根据PO =12PF 1 +PF 2，然后结合平面向量数量积的几何意义与基本不等式即可求解；对于C ，运用角平分线定理即可求解；对于D ，由正弦定理可得R =1sin θ，再又结合A 可得r =tan θ2，从而得到R ⋅r =tan θ2sin θ=12cos 2θ2，再根据题意得到θ∈0°,60° ，进而即可求解．【详解】对于A ，设P x ,y ，-2<x <2，则-3<y <3，且y ≠0，所以S △PF 1F 2=12F 1F 2 ⋅y =c ⋅y =y ，则当P 在短轴的端点时，S △PF 1F 2取得最大，且最大值为3，又S △MF 1F 2=S △IF 1F 2+S △IF 1P +S △IF 2P =12F 1F 2+PF 1+PF 2 r =122a +2c r =3r ，所以当S △PF 1F 2最大时，3r =3，即r =33，故A 正确；对于B ，过点H 作HG ⊥PF 1，垂足为点G ，又点H 为△PF 1F 2外接圆的圆心，即为△PF 1F 2三条边的中垂线的交点，则点G 为PF 1的中点，由PH ⋅PO =12PH ⋅PF 1 +PF 2 =12PH⋅PF 1 +PH ⋅PF 2 ，又PH ⋅PF 1 =PG +GH ⋅PF 1 =PG ⋅PF 1 =12PF 1 2，同理PH ⋅PF 2 =12PF 2 2，所以PH ⋅PO =14PF 1 2+PF 2 2 =14PF 1 2+PF 2 2≥12PF 1 +PF 222=a 22=2，当且仅当PF 1 =PF 2 =a 时等号成立，即PH ⋅PO的最小值为2，故B 正确；对于C ，由△PF 1F 2内切圆的圆心为I ，则IF 1，IF 2分别是∠PF 1F 2，∠PF 2F 1的角平分线，则由角平分线定理可得PI IM =PF 1 F 1M =PF 2 F 2M ，即PI IM =PF 1+ PF 2 F 1M + F 2M =2a 2c =a c =1e ，故C 错误；对于D ，设∠F 1PF 2=θ，PF 1=a 1，PF 2=a 2，由正弦定理可得2R =F 1F 2 sin θ=2c sin θ，即R =c sin θ=1sin θ，则cos θ=a 21+a 22-2c 22a 1⋅a 2=a 1+a 2 2-2a 1⋅a 2-4c 22a 1⋅a 2=4b 2-2a 1⋅a 22a 1⋅a 2，即a 1⋅a 2=2b 2cos θ+1=6cos θ+1，因为S △PF 1F 2=12a 1a 2sin θ=3sin θcos θ+1=3sin θ2cos θ2cos 2θ2=3tanθ2，又结合A 有S △MF 1F 2=3r ，所以3tanθ2=3r ，即r =tan θ2，所以R ⋅r =tan θ2sin θ=12cos 2θ2，又因为当P 在短轴的端点时，θ最大，此时PF 1=PF 2=F 1F 2=2，θ=60°，所以θ∈0°,60° ，即θ2∈0°,30° ，所以cos θ2∈32,1，故R ⋅r =12cos 2θ2∈12,23 ，故D 正确．故选：ABD ．【点睛】本题考查了椭圆的定义以及几何性质，明确外心的位置和内角平分线性质，灵活运用正弦定理和等面积法是解答本题关键，考查了推理能力、运算求解能力，属于难题．三、填空题12(22-23高三上·福建泉州·期中)抛物线C 1:y 2=4x 的焦点F ，点P 3,2 ，以点F ，P 为焦点的椭圆与抛物线有公共点，则椭圆的离心率的最大值为.【答案】22【分析】焦点F 1,0 ，根据椭圆定义得到c =2，设椭圆和抛物线的交点为Q ，根据抛物线性质得到a =QF +QP2≥2，得到离心率的最大值.【详解】抛物线C 1:y 2=4x 的焦点F 1,0 ，根据题意2c =3-1 2+2-0 2=22，c = 2.设椭圆和抛物线的交点为Q ，Q 到抛物线准线x =-1的距离为d ，离心率最大，即a 最小，a =QF +QP2=d +QP 2≥3--1 2=2，当PQ 与准线垂直时等号成立，此时e =c a =22.故答案为：2213(2023·广东·一模)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，倾斜角为π3的直线PF 2与双曲线C 在第一象限交于点P ，若∠PF 1F 2≥∠F 2PF 1，则双曲线C 的离心率的取值范围为.【答案】1+32,2【分析】利用双曲线的性质及余弦定理计算即可.【详解】因为倾斜角为π3的直线PF 2与双曲线C 在第一象限交于点P ，可知直线PF 2的倾斜角大于双曲线的一条渐近线的倾斜角，即batan60°=3⇒3a 2 b 2=c 2-a 2⇒e <2，设PF 2 =n ，则PF 1 =2a +n ，根据∠PF 1F 2≥∠F 2PF 1可知PF 2 ≥F 1F 2 =2c ，在△PF 1F 2中，由余弦定理可知n 2+4c 2-2a +n 2=2cos120°×2cn ⇒n =2b 22a -c，即2b 22a -c≥2c ⇒b 2≥2ac -c 2⇒2c 2-2ac -a 2≥0，则2e 2-2e -1≥0⇒e ≥1+32，故2>e ≥1+32故答案为：1+32,2 14(23-24高三上·湖南娄底·期末)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)，直线l 1和l 2相互平行，直线l 1与双曲线C 交于A ,B 两点，直线l 2与双曲线C 交于D ,E 两点，直线AE 和BD 交于点P (异于坐标原点).若直线l 1的斜率为3，直线OP (O 是坐标原点)的斜率k ≥1，则双曲线C 的离心率的取值范围为.【答案】2,10 ∪10,+∞ 【分析】首先ba≠3，故e =1+b a 2≠10，其次由题意由点差法得y M =b 23a 2x M ①，同理y N =b 23a2x N ②，由P,M,N三点共线，所以y M-y0x M-x0=y N-y0x N-x0，代入得b23a2=y0x0=k≥1，结合离心率公式即可得解.【详解】由题意，ba≠3，故e=1+b a 2≠10，设A x1,y1,B x2,y2,D x3,y3,E x4,y4,P x0,y0,AB的中点M x M,y M,DE的中点N x N,y N，则x21a2-y21b2=1x22a2-y22b2=1，两式相减，得x21-x22a2-y21-y22b2=0，化简得y1+y22x1+x22⋅y1-y2x1-x2=b2a2，所以b2a2⋅x My M=y1-y2x1-x2=3，所以y M=b23a2x M①，同理y N=b23a2x N②，因为AB∥DE，所以P,M,N三点共线，所以y M-y0x M-x0=y N-y0x N-x0，将①②代入得b23a2x M-y0x M-x0=b23a2x N-y0x N-x0，即x M-x Nb23a2x0-y0=0，因为x M≠x N，所以b23a2=y0x0=k≥1，所以b2a2≥3，所以双曲线C的离心率为e=ca=1+b2a2≥2.所以双曲线C的离心率的取值范围为2,10∪10,+∞.故答案为：2,10∪10,+∞.【点睛】关键点睛：关键是用点差法来得到y M=b23a2x M①，同理y N=b23a2x N②，结合P,M,N三点共线以及离心率公式即可顺利得解.四、解答题15(21-22高三上·新疆昌吉·阶段练习)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左､右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上(点P不在x轴上)，且PF1=5PF2.(1)用a表示PF1,PF2；(2)若∠F1PF2是钝角，求双曲线离心率e的取值范围.【答案】(1)PF1=52a,PF2=12a(2)264<e <32【分析】(1)直接利用双曲线的定义结合条件求得PF 1 ,PF 2 ；(2)由余弦定理得到cos ∠F 1PF 2=135-85e 2，利用∠F 1PF 2是钝角，则-1<cos ∠F 1PF 2<0，解得离心率e 的取值范围.【详解】(1)因为点P 在双曲线的右支上，所以PF 1 -PF 2 =2a ，又PF 1 =5PF 2 ，联立解得PF 1 =52a ,PF 2 =12a .(2)在△PF 1F 2中，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2=254a 2+a 24-4c 22×52a ×12a =132a 2-4c 252a 2=135-85e 2，因为-1<cos ∠F 1PF 2<0，所以-1<135-85e 2<0，所以264<e <32.16(2023·上海奉贤·三模)已知双曲线T ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)离心率为e ，圆O ：x 2+y 2=R 2R >0 ．(1)若e =2，双曲线T 的右焦点为F 2,0 ，求双曲线方程；(2)若圆O 过双曲线T 的右焦点F ，圆O 与双曲线T 的四个交点恰好四等分圆周，求b 2a2的值；(3)若R =1，不垂直于x 轴的直线l ：y =kx +m 与圆O 相切，且l 与双曲线T 交于点A ，B 时总有∠AOB =π2，求离心率e 的取值范围．【答案】(1)x 2-y 23=1(2)2+1(3)2,+∞【分析】(1)根据离心率和右焦点即可求出答案.(2)根据对称性分析，∠AOF =45°，则A 22c ,22c，代入曲线方程即可求得结果.(3)根据已知，利用圆心到直线l 距离为m k 2+1=1，得出m 2=k 2+1，再由∠AOB =π2，可得k 2x 1x 2+km x 1+x 2 +m 2x 1x 2=-1，然后联立y =kx +m x 2a 2-y 2b2=1，得出x 1+x 2=2a 2kmb 2-a 2k 2，x 1x 2=-a 2m 2+b 2 b 2-a 2k 2，上式联立化简可得k 2+1 a 2+a 2b 2-b 2 =0，进而利用a ,b ,c 关系，得出ca的范围.【详解】(1)因e =2，双曲线T 的右焦点为F 2,0，则c =2，ca=2，a =1，b 2=c 2-a 2=3，则双曲线方程为x 2-y 23=1.(2)如图所示，因为圆O 与双曲线T 的四个交点恰好四等分圆周，则OA =c ，∠AOF =45°，则A 22c ,22c，代入双曲线方程x 2a 2-y 2b2=1，可得b 2a 2-a 2b 2=2，令x =b 2a2x >0 ，则x -1x =2，解得x =1+2，即b 2a2=2+1.(3)由题知，作图如下，因为直线l ：y =kx +m 与圆O 相切，且R =1，则圆心到直线l 距离为mk 2+1=1，化简得m 2=k 2+1，①又∠AOB =π2，设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则k OA ⋅k OB =-1，即y 1x 1⋅y 2x 2=-1，则k 2x 1x 2+km x 1+x 2 +m 2x 1x 2=-1，②联立y =kx +m x 2a2-y 2b2=1得b 2-a 2k 2 x 2-2a 2kmx -a 2m 2-a 2b 2=0，则x 1+x 2=2a 2km b 2-a 2k 2，x 1x 2=-a 2m 2+b 2 b 2-a 2k2，③联立①②③，得k 2+1 a 2+a 2b 2-b 2 =0，则a 2+a 2b 2-b 2=0，又c 2=a 2+b 2，则c 2a2=c 2-a 2+2=b 2+2>2，则e =ca>2，即离心率e 的取值范围为2,+∞ .【点睛】关键点睛：本题考查双曲线的性质，直线与双曲线和圆的位置关系，训练“点差法”的应用，计算量较大，属于中档题.17(23-24高三上·辽宁朝阳·阶段练习)设双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ，a 2+b 2=1，O 为坐标原点，过F 的直线l 与C 的右支相交于A ，B 两点.(1)若b <22，求C 的离心率e 的取值范围；(2)若∠AOB 恒为锐角，求C 的实轴长的取值范围.【答案】(1)1,2 (2)5-1,2【分析】(1)根据已知条件代入离心率公式计算取值范围即可；(2)设直线l 的方程x =my +1，与双曲线方程联立，以双曲线C 的实半轴长a 和m 表示A ，B 两点坐标，根据∠AOB 恒为锐角，转化为OA ⋅OB>0，代入坐标计算，由关于m 的不等式恒成立，求得a 的取值范围.【详解】(1)因为b <22，所以b 2<12，因为a 2+b 2=1，所以c =1，a 2=1-b 2>12，所以a >22，则C 的离心率e =c a =1a<122=2，又e >1，所以C 的离心率的取值范围是1,2 .(2)因为F 1,0 ，直线l 的斜率不为零，所以可设其方程为x =my +1.结合b 2=1-a 2(0<a <1)，联立x =my +1,x 2a2-y 21-a2=1,得a 2m 2+1 -m 2 y 2+2m a 2-1 y -a 2-1 2=0，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 由韦达定理，得y 1+y 2=-2m a 2-1a 2m 2+1 -m 2,y 1y 2=-a 2-1 2a 2m 2+1 -m 2,由于A ,B 两点均在C 的右支上，故y 1y 2<0⇒a 2m 2+1 -m 2>0，即m 2<a 21-a2.则OA ⋅OB=x 1x 2+y 1y 2=my 1+1 my 2+1 +y 1y 2=m 2+1 y 1y 2+m y 1+y 2 +1=m 2+1 ⋅-a 2-1 2a 2m 2+1 -m2+m ⋅-2m a 2-1 a 2m 2+1 -m2+1=m 2a 21-a 2 -a 4+3a 2-1a 2m 2+1 -m 2.由∠AOB 恒为锐角，得对∀m 2<a 21-a 2，均有OA ⋅OB >0，即m 2a 21-a 2 -a 4+3a 2-1>0恒成立.由于a 21-a 2 >0，因此不等号左边是关于m 2的增函数，所以只需m 2=0时，-a 4+3a 2-1>0成立即可，解得5-12<a <5+12，结合0<a <1，可知a 的取值范围是5-12,1.综上所述，C 的实轴长的取值范围是5-1,2 .【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：(1)设直线方程，设交点坐标为x 1,y 1 ,x 2,y 2 ；(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x (或y )的一元二次方程，必要时计算Δ；(3)列出韦达定理；(4)将所求问题或题中的关系转化为x 1+x 2、x 1x 2(或y 1+y 2、y 1y 2)的形式；(5)代入韦达定理求解.18(2023·上海徐汇·一模)已知双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的离心率为e ．(1)若e =2，且双曲线E 经过点(2,1)，求双曲线E 的方程；(2)若a =2，双曲线E 的左、右焦点分别为F 1、F 2，焦点到双曲线E 的渐近线的距离为3，点M 在第一象限且在双曲线E 上，若MF 1 =8，求cos ∠F 1MF 2的值；(3)设圆O :x 2+y 2=4，k ,m ∈R ．若动直线l :y =kx +m 与圆O 相切，且l 与双曲线E 交于A ,B 时，总有∠AOB =π2，求双曲线E 离心率e 的取值范围．【答案】(1)x 2-y 2=1；(2)1316；。

圆锥曲线离心率专题历年真题1.题目：已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b<0)$的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是？答案：D.(2,+∞)改写：双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b<0)$的右焦点为F。

过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，求此双曲线离心率的取值范围。

答案为D.(2,+∞)。

2.题目：过双曲线M:$x-\frac{y^2}{b^2}=1$的左顶点A作斜率为1的直线l，若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于B、C，且$|AB|=|BC|$，则双曲线M的离心率是？答案：$\frac{10}{3}$改写：双曲线M:$x-\frac{y^2}{b^2}=1$的左顶点为A。

作斜率为1的直线l过点A，与双曲线M的两条渐近线分别相交于B、C，且$|AB|=|BC|$，求双曲线M的离心率。

答案为$\frac{10}{3}$。

3.题目：方程$2x-5x+2=$的两个根可分别作为（）Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率Ｂ．两抛物线的离心率Ｄ．两椭圆的离心率答案：无法确定改写：方程$2x-5x+2=$的两个根可分别作为哪些图形的离心率？答案无法确定。

4.题目：已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的一条渐近线方程为$y=x$，则双曲线的离心率为？答案：$\frac{\sqrt{3}}{3}$改写：已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的一条渐近线方程为$y=x$，求双曲线的离心率。

答案为$\frac{\sqrt{3}}{3}$。

5.题目：已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>2)$的两条渐近线的夹角为$\frac{\pi}{3}$，则双曲线的离心率为？答案：D.$\frac{3}{\sqrt{23}}$改写：已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>2)$的两条渐近线的夹角为$\frac{\pi}{3}$，求双曲线的离心率。

高考数学专题复习——求解圆锥曲线离心率及其取值范围椭圆的离心率10<<e ，双曲线的离心率1>e ，抛物线的离心率1=e ． 一、直接求出a 、c ，求解e已知圆锥曲线的标准方程或a 、c 易求时，可利用率心率公式ace =来解决。

例1：已知双曲线1222=-y ax （0>a ）的一条准线与抛物线x y 62-=的准线重合，则该双曲线的离心率为（ ）解：抛物线x y 62-=的准线是23=x ，即双曲线的右准线23122=-==c c c a x ，则02322=--c c ，解得2=c ，3=a ，332==a c e ， 变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为()0,11F 、()0,32F ，则其离心率为（ ）解：由()0,11F 、()0,32F 知 132-=c ，∴1=c ，又∵椭圆过原点，∴1=-c a ，3=+c a ，∴2=a ，1=c ，所以离心率21==a c e .. 变式练习2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（ ） 解：由题设2=a ，62=c ，则3=c ，23==a c e ， 变式练习3：点P （-3，1）在椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的左准线上，过点P 且方向为()5,2-=a 的光线，经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ）解：由题意知，入射光线为()3251+-=-x y ，关于2-=y 的反射光线（对称关系）为0525=+-y x ，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=05532c ca 解得3=a ，1=c ，则33==a c e ， 二、构造a 、c 的齐次式，解出e根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。

例2：已知1F 、2F 是双曲线12222=-by a x （0,0>>b a ）的两焦点，以线段21F F 为边作正三角形21F MF ，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ） 解：如图，设1MF 的中点为P ，则P 的横坐标为2c-，由焦半径公式a ex PF p --=1，即a c a c c -⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-=2，得0222=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛a c a c ，解得 31+==ace （31-舍去），变式练习1：设双曲线12222=-by a x （b a <<0）的半焦距为c ，直线L 过()0,a ，()b ,0两点.已知原点到直线的距离为c 43，则双曲线的离心率为( ) 解：由已知，直线L 的方程为0=-+ab ay bx ，由点到直线的距离公式，得c b a ab 4322=+， 又222b a c +=, ∴234c ab =,两边平方，得()4222316c a c a =-，整理得01616324=+-e e ，得42=e 或342=e ，又b a <<0 ，∴2122222222>+=+==ab a b a ac e ，∴42=e ，∴2=e ， 变式练习2：双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为1F 、2F ，021120=∠MF F ，则双曲线的离心率为（ ）解：如图所示，不妨设()b M ,0，()0,1c F -，()0,2c F ，则2221b c MF MF +==，又c F F 221=，在21MF F ∆中， 由余弦定理，得212212221212cos MF MF F F MF MF MF F ⋅-+=∠,即()()()22222222421b c c b c b c +-+++=-，∴212222-=+-c b c b ，∵222a cb -=，∴212222-=--ac a ，∴2223c a =，∴232=e ，∴26=e ， 三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解例3：设椭圆的两个焦点分别为1F 、2F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若21PF F ∆为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________。

圆锥曲线中的离心率问题（答案）圆锥曲线中的离心率问题（答案）一、直接求出a 、c ，求解e 已知标准方程或a 、c 易求时，可利用离心率公式ace =来求解。

来求解。

例1. 过双曲线C ：)0b (1by x 222>=-的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B 、C ，且|AB|=|BC|，则双曲线M 的离心率是（的离心率是（ ）A. 10B. 5C. 310D. 25 分析：这里的1b ，c 1a 2+==，故关键是求出2b ，即可利用定义求解。

，即可利用定义求解。

解：易知A （-1，0），则直线l 的方程为1x y +=。

直线与两条渐近线bx y -=和bx y =的交点分别为B )1b b ,1b 1(++-、C )1b b ,1b 1(--，又|AB|=|BC|，可解得9b 2=，则10c =故有10ac e ==，从而选A 。

二、变用公式，整体求出e 例2. 已知双曲线)0b ,0a (1by a x 2222>>=-的一条渐近线方程为x 34y =，则双曲线的离心率为（心率为（ ）A. 35B. 34C. 45D. 23 分析：本题已知=a b 34，不能直接求出a 、c ，可用整体代入套用公式。

，可用整体代入套用公式。

解：由22222222k 1a b 1a b a ab a ace +=+=+=+==（其中k 为渐近线的斜率）。

这里34a b =，则35)34(1a c e 2=+==，从而选A 。

三、第二定义法三、第二定义法由圆锥曲线的统一定义（或称第二定义）知离心率e 是动点到焦点的距离与相应准线的距离比，特别适用于条件含有焦半径的圆锥曲线问题。

距离比，特别适用于条件含有焦半径的圆锥曲线问题。

例 3. 在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为（则该椭圆的离心率为（ ）A. 2B. 22C. 21D. 42解：由过焦点且垂直于长轴的弦又称为通径，设焦点为F ，则x F M ^轴，知|MF|是通径的一半，则有22|MF |=。

圆锥曲线离心率的取值范围 专题一、知识纵横1. 求离心率的取值范围基本方法：通过对已知几何条件的代数化翻译，得到关于a ，b ，c 的齐次不等式，最后除以a 相应的次数，得到e 的不等式，解之即可.解决问题的关键在于获知取值范围的来源，也即不等关系的产生原因，常见的范围来源总结如下. ①题中给出：即题目中已经明确给出某个变量的范围，则只需找到e 与此变量的关系即可；②焦半径范围：注意椭圆焦半径范围[],a c a c -+，双曲线中焦半径范围为[),c a -+∞或[),c a ++∞； ③存在性问题：即由几何存在性问题对某个变量的约束所产生的范围.二、典型例题【题型1 题中给出范围】例1. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ）A ．B ．3(0,]4C ．D ．3[,1)4例2. 已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ，左顶点为A .若点P 为椭圆C 上的点，PF x ⊥轴，且sin PAF ∠C 的离心率的取值范围是（ ） A ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭例3. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，过原点的直线交椭圆于,A B 两点，以AB 为直径的圆过右焦点F ，若,123FAB ππα⎡⎤∠=∈⎢⎥⎣⎦，则此椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．1⎤⎥⎣⎦B ．⎢⎥⎣⎦C ．⎛ ⎝⎦D ．⎫⎪⎪⎣⎭【题型2 焦半径范围】例4. 已知P 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点，12F F ，为椭圆焦点，且213PF PF =，则椭圆离心率的范围是（ ）A ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭例5. 已知F 1，F 2分别是椭圆C :22221x y a b+= (a >b >0)的左、右焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得线段PF 1的中垂线恰好经过焦点F 2，则椭圆C 离心率的取值范围是( )A ．2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．13⎡⎢⎢⎥⎣⎦C ．1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦例6. 已知椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的右焦点为(c,0)F ，上顶点为(0,)A b ，直线2a x c =上存在一点P 满足()0FP FA AP +⋅=，则椭圆的离心率取值范围为（ ）A ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．⎫⎪⎪⎣⎭C ．⎫⎪⎪⎣⎭D ．⎛ ⎝⎦例7. 设椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点为(1,0)F ，点(1,1)A -为椭圆E 内一点，若椭圆E 上存在一点P ，使得9PA PF +=，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ）A ．1[,1)2B ．11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．11,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦【题型3 存在性问题】例8. 若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>与直线y =没有公共点，则该双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A ．(]1,2B ．()1,2C ．(D ．(例9. 设椭圆22221x y a b+=()0a b >>的两焦点为1F ，2F ，若椭圆上存在点P ，使12120F PF ∠=︒，则椭圆的离心率e 的最小值为（ ）A ．12 B C D例10. 已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>与圆22223:4b x y C +=，若在椭圆1C 上不存在点P ，使得由点P 所作的圆2C 的两条切线互相垂直，则椭圆1C 的离心率的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．。