高中数学(北师大版)选修4-4 同步精练：模块综合测评1

模块综合测评(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.原点与极点重合，x 轴正半轴与极轴重合，则点(－5，－53)的极坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫10，π3 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫10，4π3C.⎝⎛⎭⎪⎫－10，－2π3D.⎝⎛⎭⎪⎫10，2π3 【解析】 ρ＝－2＋－532＝10，又tan θ＝－53－5＝ 3.因点(－5，－53)在第三象限，∴θ＝4π3.∴极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫10，4π3. 【答案】 B2.曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是( )A. 2B.1C.22D.12【解析】 因为曲线表示单位圆，其圆心在原点，半径为1，所以曲线上的点到两坐标轴的距离之和不小于1，且不会恒等于1(因为直角三角形中，两直角边之和大于斜边).故最大值必大于1，排除B ，C ，D.【答案】 A3.若一直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋12t ，y ＝y 0－32t (t 为参数)，则此直线的倾斜角为( )A.60°B.120°C.300°D.150°【解析】 参数方程化为普通方程为y －y 0＝－3(x －x 0)，斜率k ＝－3，倾斜角为120°.故选B.【答案】 B4.极坐标方程分别是ρ＝2cos θ和ρ＝4sin θ，两个圆的圆心距离是( )【导学号：12990038】A.2B. 2C.5D. 5【解析】 ρ＝2cos θ是圆心在(1,0)，半径为1的圆；ρ＝4sin θ是圆心在⎝⎛⎭⎪⎫2，π2，半径为2的圆，所以两圆心的距离是 5.【答案】 D5.柱坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，1对应的点的直角坐标是( )A.(3，－1,1)B.(3，1,1)C.(1，3，1)D.(－1，3，1)【解析】 由直角坐标与柱坐标之间的变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ，z ＝z ，可得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝3，z ＝1.故应选C.【答案】 C6.在极坐标系中，与圆ρ＝4sin θ相切的一条直线方程为( ) A.ρsin θ＝2 B.ρcos θ＝2 C.ρcos θ＝4D.ρcos θ＝－4【解析】 如图，⊙C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ，CO ⊥Ox ，OA 为直径，|OA |＝4，ρsin θ＝2表示直线y ＝2，ρcos θ＝4表示直线x ＝4，ρcos θ＝－4表示直线x ＝－4，均不与圆相切，只有B 符合.【答案】 B7.(安徽高考)以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)，圆C的极坐标方程是ρ＝4cos θ，则直线l 被圆C 截得的弦长为( )A.14B.214C. 2D.2 2【解析】 直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)化为直角坐标方程是y ＝x －4，圆C 的极坐标方程ρ＝4cos θ化为直角坐标方程是x 2＋y 2－4x ＝0.圆C 的圆心(2,0)到直线x －y －4＝0的距离为d ＝22＝ 2.又圆C 的半径r ＝2，因此直线l 被圆C 截得的弦长为2r 2－d 2＝2 2.故选D.【答案】 D 8.在平面直角坐标系中，点集M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ，y ⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α＋cos β，y ＝cos α－sin β，α，β∈R，则点集M 所覆盖的平面图形的面积为( )A.4πB.3πC.2πD.与α，β有关【解析】 ∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α＋cos β，y ＝cos α－sin β，两式平方相加得x 2＋y 2＝1＋1＋2sin αcos β－2cos αsin β，即x 2＋y 2＝2＋2sin (α－β). 由于－1≤sin(α－β)≤1， ∴0≤2＋2sin(α－β)≤4，∴点集M 所覆盖的平面图形的面积为2×2×π＝4π. 【答案】 A9.若直线l ：y ＋kx ＋2＝0与曲线C ：ρ＝2cos θ有交点，则k 的取值范围是( ) A.k ≤－34B.k ≥－34C.k ∈RD.k ∈R 且k ≠0【解析】 由题意可知直线l 过定点(0，－2)，曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1.由图可知，直线l 与圆相切时，有一个交点，此时|k ＋2|k 2＋1＝1，解得k ＝－34.若满足题意，只需k ≤－34即可.故应选A.【答案】 A10.已知集合A ＝{(x ，y )|(x －1)2＋y 2＝1}，B ＝(x ，y )⎪⎪⎪y x·yx －2＝－1，C ＝ (ρ，θ)⎪⎪⎪ρ＝2cos θ，θ≠k π4，k ∈Z ，D ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ，y ⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ，θ≠k π，k ∈Z， 下列等式成立的是( )A.A ＝BB.B ＝DC.A ＝CD.B ＝C【解析】 集合B 与D 都是曲线(x －1)2＋y 2＝1(x ≠0，x ≠2). 【答案】 B11.在极坐标系中，设圆ρ＝3上的点到直线ρ(cos θ＋3sin θ)＝2的距离为d ，则d 的最大值为( )A.5B.6C.4D.3【解析】 极坐标方程ρ＝3转化成直角坐标方程为x 2＋y 2＝3，所以圆心为(0,0)，半径为3，ρ(cos θ＋3sin θ)＝2转化成直角坐标方程为x ＋3y ＝2.则圆心到直线x ＋3y ＝2的距离d ′＝|0＋0－2|1＋32＝22＝1. ∴圆上的点到直线的最大距离为d ′＋3＝1＋3＝4. 【答案】 C12.已知方程x 2－ax ＋b ＝0的两根是sin θ和cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫|θ|≤π4，则点(a ，b )的轨迹是( )A.椭圆弧B.圆弧C.双曲线弧D.抛物线弧【解析】 由题⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝a ，sin θ·cos θ＝b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝sin θ＋cos θ，b ＝sin θ·cos θ，a 2－2b ＝(sin θ＋cos θ)2－2sin θ·cos θ＝1.又|θ|≤π4，∴表示抛物线弧. 【答案】 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上)13.球坐标⎝⎛⎭⎪⎫2，π6，π3对应的点的直角坐标是________.【解析】 由空间点P 的直角坐标(x ，y ，z )与球坐标(r ，φ，θ)之间的变换关系为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝32，z ＝ 3.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，314.(湖南高考)在平面直角坐标系中，曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋22t ，y ＝1＋22t (t 为参数)的普通方程为________.【解析】 由参数方程得x －2＝y －1，即x －y －1＝0. 【答案】 x －y －1＝015.在极坐标系中，直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2被圆ρ＝4所截得的弦长为________.【解析】 依题意，题中直线与圆的直角坐标方程分别是x ＋y －22＝0，x 2＋y 2＝16， 则圆心(0,0)到直线x ＋y －22＝0的距离等于222＝2.因此该直线被圆截得的弦长等于216－22＝4 3. 【答案】 4 316.在直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝4＋sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，则|AB |的最小值为________.【导学号：12990039】【解析】 ∵C 1：(x －3)2＋(y －4)2＝1，C 2：x 2＋y 2＝1，∴两圆心之间的距离为d ＝32＋42＝5.∵A ∈曲线C 1，B ∈曲线C 2， ∴|AB |min ＝5－2＝3. 【答案】 3三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)已知曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )，曲线C 1，C 2相交于点M ，N .(1)将曲线C 1，C 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求线段MN 的长.【解】 (1)由ρ＝4sin θ，得ρ2＝4ρsin θ， 即曲线C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2－4y ＝0， 由θ＝π6(ρ∈R )，得y ＝33x .(2)把y ＝33x 代入x 2＋y 2－4y ＝0，得x 2＋13x 2－433x ＝0， 即43x 2－433x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝3， 所以y 1＝0，y 2＝1，|MN |＝3＋1＝2.18.(本小题满分12分)已知圆的直径为2，其渐开线的标准参数方程对应的曲线上的两点A ，B 对应的参数分别是π3和π2，求A ，B 两点的距离.【解】 根据条件可知圆的半径是1，所以对应的渐开线参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ(φ为参数)，分别把φ＝π3和φ＝π2代入，可得A ，B 两点的坐标分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋3π6，33－π6，B ⎝⎛⎭⎪⎫π2，1.那么，根据两点之间的距离公式可得A ，B 两点的距离为 |AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋3π6－π22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫33－π6－12＝16－63π2－6π－363＋72，即A ，B 两点之间的距离为 16－63π2－6π－363＋72.19.(本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4.(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程. 【解】 (1)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2， 圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ.解⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝2，ρ＝4cos θ，得ρ＝2，θ＝±π3，故圆C 1与圆C 2交点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3.注：极坐标系下点的表示不唯一.(2)法一：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得圆C 1与圆C 2交点的直角坐标分别为(1，3)，(1，－3).故圆C 1与圆C 2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝t ，－3≤t ≤ 3.(或参数方程写成⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝y ，－3≤y ≤3)法二：将x ＝1代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得ρcos θ＝1，从而ρ＝1cos θ. 于是圆C 1与圆C 2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝tan θ，－π3≤θ≤π3. 20.(本小题满分12分)(全国卷Ⅱ)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π). 【解】 (1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2.21.(本小题满分12分)(全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25. (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率.【解】 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.(2)法一：由直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，消去参数得y ＝x ·tan α.设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为kx －y ＝0.由圆C 的方程(x ＋6)2＋y 2＝25知，圆心坐标为(－6,0)，半径为5. 又|AB |＝10，由垂径定理及点到直线的距离公式得|－6k |1＋k2＝25－⎝ ⎛⎭⎪⎫1022，即36k 21＋k 2＝904， 整理得k 2＝53，解得k ＝±153，即l 的斜率为±153.法二：在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ). 设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0，于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11. |AB |＝|ρ1－ρ2|＝ρ1＋ρ22－4ρ1ρ2＝144cos 2α－44.由|AB |＝10得cos 2α＝38，tan α＝±153.所以l 的斜率为153或－153. 22.(本小题满分12分)(全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标.【解】 (1)C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1).可得C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos t ，y ＝sin t (t 为参数，0≤t ≤π).(2)设D (1＋cos t ，sin t )，由(1)知C 是以G (1,0)为圆心，1为半径的上半圆.因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同，tan t ＝3，t ＝π3.故D 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos π3，sin π3， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.。

高中数学选修4-4模块综合检测卷(时间：120分钟 总分：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．将点的极坐标(π，－2π)化为直角坐标为( )A ．(π，0)B ．(π，2π)C ．(－π，0)D ．(－2π，0) 2．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＋sin θ2，y ＝12（1＋sin θ）(θ为参数，0≤θ＜2π)表示( )A ．双曲线的一支，这支过点⎝⎛⎭⎪⎫1，12B ．抛物线的一部分，这部分过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12C ．双曲线的一支，这支过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12D ．抛物线的一部分，这部分过点⎝⎛⎭⎪⎫－1，12 3．在参数方程⎩⎨⎧x ＝a ＋t cos θ，y ＝b ＋t sin θ(t 为参数)所表示的曲线上有B 、C 两点，它们对应的参数值分别为t 1、t 2，则线段BC 的中点M 对应的参数值是( )A.t 1－t 22B.t 1＋t 22C.|t 1－t 2|2 D.|t 1＋t 2|24．设r ＞0，那么直线x cos θ＋y sin θ＝r 与圆⎩⎨⎧x ＝r cos φ，y ＝r sin φ(φ为参数)的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．视r 的大小而定5．在极坐标系中与圆ρ＝4sin θ相切的一条直线的方程为( ) A ．ρcos θ＝2 B ．ρsin θ＝2C ．ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3D ．ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π36．若双曲线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋tan θ，y ＝1＋2sec θ(θ为参数)，则它的渐近线方程为( )A ．y －1＝±12(x ＋2)B ．y ＝±12x C ．y －1＝±2(x ＋2) D ．y ＝±2x7．原点到曲线C ：⎩⎨⎧x ＝3＋2sin θ，y ＝－2＋2cos θ(θ为参数)上各点的最短距离为( ) A.13－2 B.13＋2 C ．3＋13 D.13 8．圆ρ＝5cos θ－53sin θ的圆心是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫－5，－4π3 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－5，π3 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫5，π3 D.⎝⎛⎭⎪⎫－5，5π3 9．曲线⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是( )A.12B.22C ．1 D. 2 10．若曲线ρ＝22上有n 个点到曲线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2的距离等于2，则n ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．411．集合M ＝⎩⎨⎧（x ，y ）⎪⎪⎪⎭⎬⎫⎩⎨⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ（θ是参数，0<θ<π），N ＝{(x ，y )|y ＝x ＋b }，若集合M ∩N ≠Ø，则b 应满足( )A ．－32≤b ≤3 2B ．－32<b <－3C ．0≤b ≤3 2D ．－3<b ≤3 2 12．点P (x ，y )是曲线3x 2＋4y 2－6x －8y －5＝0上的点，则z ＝x ＋2y 的最大值和最小值分别是( )A ．7，－1B ．5，1C ．7，1D ．4，－1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中的横线上)13．设点p 的直角坐标为(1，1，2)，则点P 的柱坐标是________，球坐标是________．14．若直线l 1：⎩⎨⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋kt (t 为参数)与直线l 2：⎩⎨⎧x ＝s ，y ＝1－2s (s 为参数)垂直，则k ＝________．15．在极坐标系中，曲线C 1：ρcos θ＝2与曲线C 2：ρ2cos 2θ＝1相交于A ，B 两点，则|AB |＝________．16．已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)，C 在点(1，1)处的切线为l ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为____________．三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)17．(本题满分12分)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a ，且点A 在直线l 上． (1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程；(2)圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α (α为参数)，试判断直线l 与圆的位置关系．18．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α，(t 为参数，且t ≠0)，其中0≤α<π，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3: ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |最大值．19．(本小题满分14分)已知直线l 经过P (1，1)，倾斜角α＝π6. (1)写出直线l 的参数方程；(2)设l 与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，求点P 到A ，B 两点的距离之积．20．(本小题满分14分)(2013·辽宁卷)在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4.(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程．21．(本小题满分14分)已知曲线C 1的参数方程是⎩⎨⎧x ＝2cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3.(1)求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；(2)设P 为C 1上任意一点，求|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2的取值范围．22．(本小题满分14分)分别在下列两种情况下，把参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12（e t ＋e －t）cos θ，y ＝12（e t－e－t）sin θ化为普通方程．(1)θ为参数，t 为常数； (2)t 为参数，θ为常数．高中数学选修4-4模块综合检测卷参考答案一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．将点的极坐标(π，－2π)化为直角坐标为( )A ．(π，0)B ．(π，2π)C ．(－π，0)D ．(－2π，0) 1．A2．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＋sin θ2，y ＝12（1＋sin θ）(θ为参数，0≤θ＜2π)表示( )A ．双曲线的一支，这支过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12B ．抛物线的一部分，这部分过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12C ．双曲线的一支，这支过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12D ．抛物线的一部分，这部分过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，122.B3．在参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋t cos θ，y ＝b ＋t sin θ(t 为参数)所表示的曲线上有B 、C 两点，它们对应的参数值分别为t 1、t 2，则线段BC 的中点M 对应的参数值是( )A.t 1－t 22B.t 1＋t 22C.|t 1－t 2|2D.|t 1＋t 2|23.B4．设r ＞0，那么直线x cos θ＋y sin θ＝r 与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos φ，y ＝r sin φ(φ为参数)的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．视r 的大小而定 4.B5．在极坐标系中与圆ρ＝4sin θ相切的一条直线的方程为( )A ．ρcos θ＝2B ．ρsin θ＝2C ．ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3D ．ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π35.A6．若双曲线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋tan θ，y ＝1＋2sec θ(θ为参数)，则它的渐近线方程为( )A ．y －1＝±12(x ＋2)B ．y ＝±12x C ．y －1＝±2(x ＋2) D ．y ＝±2x6.C7．原点到曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2sin θ，y ＝－2＋2cos θ(θ为参数)上各点的最短距离为( )A.13－2B.13＋2 C ．3＋13 D.13 7.A8．圆ρ＝5cos θ－53sin θ的圆心是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－5，－4π3 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－5，π3 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫5，π3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－5，5π3 8.A9．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是( )A.12B.22 C ．1 D. 2 9．D10．若曲线ρ＝22上有n 个点到曲线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2的距离等于2，则n ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4 10.C11．集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧（x ，y ）⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ（θ是参数，0<θ<π），N ＝{(x ，y )|y ＝x ＋b }，若集合M ∩N ≠Ø，则b 应满足( )A ．－32≤b ≤3 2B ．－32<b <－3C ．0≤b ≤3 2D ．－3<b ≤3 211．解析：集合M 表示x 2＋y 2＝9的圆，其中y ＞0，集合N 表示一条直线，画出集合M 和N 表示的图形，可知－3＜b ≤3 2.答案：D12．点P (x ，y )是曲线3x 2＋4y 2－6x －8y －5＝0上的点，则z ＝x ＋2y 的最大值和最小值分别是( )A ．7，－1B ．5，1C ．7，1D ．4，－112．解析：将原方程配方得（x －1）24＋（y －1）23＝1，令⎩⎨⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝1＋3sin θ(θ为参数)，则x ＋2y ＝3＋4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6，∴当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝1时，(x ＋2y )max ＝7，当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝－1时，(x ＋2y )min ＝－1.答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中的横线上) 13．设点p 的直角坐标为(1，1，2)，则点P 的柱坐标是________，球坐标是________． 13.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，2 ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，π414．若直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋kt (t 为参数)与直线l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝s ，y ＝1－2s (s 为参数)垂直，则k ＝________．14．－115．(2015·深圳市高三第一次调研考试，理数)在极坐标系中，曲线C 1：ρcos θ＝2与曲线C 2：ρ2cos 2θ＝1相交于A ，B 两点，则|AB |＝________．15．216．(2013·广东卷)已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t(t 为参数)，C 在点(1，1)处的切线为l ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为____________．16．ρcos θ＋ρsin θ＝2三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)17．(本题满分12分)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a ，且点A 在直线l 上．(1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程；(2)圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α (α为参数)，试判断直线l 与圆的位置关系．17．解析：(1)由点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4在直线ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a 上，可得a ＝ 2.所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2，从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.(2)由已知得圆C 的直角坐标方程为 (x －1)2＋y 2＝1.所以圆心为(1，0)，半径r ＝1， 则圆心到直线l 的距离d ＝22<1，所以直线l 与圆C 相交． 18．(2015·全国卷Ⅱ，数学文理23)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α，(t为参数，且t ≠0)，其中0≤α<π，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3: ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |最大值．18．解析：(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x2＋y 2－23x ＝0，联立两方程解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32y ＝32，所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32. (2)曲线C 1极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α＜π，因此点A 的极坐标为(2sin α，α)，点B 的极坐标为(23cos α，α)．所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4sin ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3，当α＝5π6时|AB |取得最大值，最大值为4.19．(本小题满分14分)已知直线l 经过P (1，1)，倾斜角α＝π6.(1)写出直线l 的参数方程；(2)设l 与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，求点P 到A ，B 两点的距离之积．19．解析：(1)直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos π6，y ＝1＋t sin π6，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝1＋12t (t 为参数)．(2)把直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝1＋12t代入x 2＋y 2＝4得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12t 2＝4，∴t 2＋(3＋1)t －2＝0，∴t 1t 2＝－2，故点P 到A ，B 两点的距离之积为2.20．(本小题满分14分)(2013·辽宁卷)在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4.(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程． 20．解析：(1)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2. 圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ.由⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝2，ρ＝4cos θ得：ρ＝2，θ＝±π3.故圆C 1与圆C 2交点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3. 注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)解法一 由 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得圆C 1与C 2交点的直角坐标分别为(1，3)，(1，－3)．故圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝t (t 为参数，－3≤t ≤3)．解法二 将x ＝1代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得ρcos θ＝1，从而ρ＝1cos θ⇒y ＝1cos θ·sin θ＝tan θ，于是圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝tan θ⎝⎛⎭⎪⎫θ为参数，－π3≤θ≤π3. 21．(本小题满分14分)已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3. (1)求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；(2)设P 为C 1上任意一点，求|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2的取值范围．21．解析：(1)由已知可得A ⎝⎛⎭⎪⎫2cos π3，2sin π3， B ⎝⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π2，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π2， C ⎝⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π， D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋3π2，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋3π2， 即A (1, 3)，B (－3，1)，C (－1，－3)，D (3，－1)．(2)设P (2cos φ，3sin φ)，令S ＝|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2，则S ＝16cos 2φ＋36sin 2φ＋16＝32＋20sin 2φ. 因为0≤sin 2φ≤1，所以S 的取值范围是[32，52]．22．(本小题满分14分)分别在下列两种情况下，把参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12（e t ＋e －t ）cos θ，y ＝12（e t －e －t）sin θ化为普通方程．(1)θ为参数，t 为常数；(2)t 为参数，θ为常数．22．解析：(1)当t ＝0时，y ＝0，x ＝ cos θ，即|x |≤1，且y ＝0；当t ≠0时，cos θ＝x 12（e t ＋e －t ）， sin θ＝y 12（e t －e －t ），而x 2＋y 2＝1， 即x 214（e t ＋e －t ）2＋y 214（e t －e －t ）2＝1. (2)当θ＝k π，k ∈Z 时，y ＝0，x ＝±12(e t ＋e －t )，即|x |≥1，且y ＝0；当θ＝k π＋π2，k ∈Z 时，x ＝0， y ＝±12(e t －e －t )，即x ＝0； 当θ≠k π2，k ∈Z 时，有⎩⎪⎨⎪⎧e t ＋e －t ＝2x cos θ，e t －e－t ＝2y sin θ， 即⎩⎪⎨⎪⎧2e t ＝2x cos θ＋2y sin θ，2e －t ＝2x cos θ－2y sin θ，得 2e t ·2e －t ＝⎝⎛⎭⎪⎫2x cos θ＋2y sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x cos θ－2y sin θ， 即x 2cos θ－y 2sin θ＝1.。

模块标准测评(满分：150分 测试时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎫－5，π3，下列所给出的四个坐标中不能表示点M 的坐标的是 ( A )A ．⎝⎛⎭⎫5，π3 B ．⎝⎛⎭⎫5，4π3 C ．⎝⎛⎭⎫5，－2π3 D ．⎝⎛⎭⎫5，－8π3 解析：由极坐标的定义可知选A ，⎝⎛⎭⎫－5，π3与⎝⎛⎭⎫5，π3关于极点对称．故选A ． 2．圆ρ＝2(cos θ＋sin θ)的圆心极坐标是 ( A ) A ．⎝⎛⎭⎫1，π4 B ．⎝⎛⎭⎫12，π4C ．⎝⎛⎭⎫2，π4 D ．⎝⎛⎭⎫2，π4 解析：可化为直角坐标方程⎝⎛⎭⎫x －222＋⎝⎛⎭⎫y －222＝1或化为ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4，这是ρ＝2r cos (θ－θ0)形式的圆的方程．故选A ．3．极坐标方程(ρ－1)θ＝0(ρ≥0)表示的曲线是( D ) A ．圆B ．直线C ．圆和直线D ．圆和射线解析：由极坐标方程(ρ－1)θ＝0(ρ≥0)，可得ρ＝1或θ＝0.ρ＝1表示到极点的距离为1的点的轨迹，是圆．θ＝0表示极角为0的点的集合，是射线．故选D ．4．(2016·安徽一模)以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度，已知点M 的极坐标是(2，θ)，圆C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ＋1，y ＝sin t (t为参数)，点M 与圆C 的位置关系是( D )A ．在圆内B ．在圆上C ．在圆外D ．在圆上或圆外解析：圆C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ＋1，y ＝sin t (t 为参数)，化作普通方程为(x －1)2＋y 2＝1.点M 的极坐标是(2，θ)，其直角坐标为(2cos θ，2sin θ)，则点M 到圆心C (1,0)的距离d ＝(2cos θ－1)2＋(2sin θ)2＝5－4cos θ ∈ [1,3]．因此点M 在⊙C 的外部或圆上．故选D ．5．已知点P 所在曲线的极坐标方程为ρ＝2cos θ，点Q 所在曲线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝4＋2t (t 为参数)，则|PQ |的最小值是( D ) A ．2B ．455＋1C ．1D ．455－1解析：易知点P 在圆x 2＋y 2－2x ＝0上，圆心为(1,0)，半径为1，点Q 在直线2x －y ＋2＝0上，故|PQ |的最小值是|2＋2|5－1＝455－1.6．已知参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝at ＋λcos θ，y ＝bt ＋λsin θ (a ，b ，λ均不为零，0≤θ＜2π)，分别取①t 为参数；②λ为参数；③θ为参数，则下列结论中成立的是( C )A ．①，②，③均是直线B ．只有②是直线C ．①②是直线，③是圆D ．②是直线，①③是圆解析：①t 为参数，原方程可化为y －λsin θ＝ba(x －λcos θ)，表示直线；②λ为参数，原方程可化为y －bt ＝(x －at )·tan θ，表示直线；③θ为参数，原方程可化为(x －at )2＋(y －bt )2＝λ2，表示圆．故选C ．7．在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则|P A |2＋|PB |2|PC |2＝( D )A ．2B ．4C ．5D ．10解析：不失一般性，取特殊的等腰直角三角形，不妨令|AC |＝|BC |＝4，则|AB |＝42，|CD |＝ 12|AB |＝22，|PC |＝|PD |＝12|CD |＝2，|P A |＝|PB |＝|AD |2＋|PD |2＝ (22)2＋(2)2＝10，所以|P A |2＋|PB |2|PC |2＝10＋102＝10.故选D ．8．直线⎩⎨⎧x ＝1－12t ，y ＝32t(t 为参数)被曲线⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)所截得的弦长为( B )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：直线方程可化为3x ＋y －3＝0，曲线方程可化为x 2＋y 23＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3x ＋3，x 2＋y 23＝1，得x 2－x ＝0，∴x ＝0或x ＝1.可得交点为A (0，3)，B (1,0)．∴|AB |＝1＋3＝2.故选B ．9．若P (2，－1)为圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋5cos θ，y ＝5sin θ(θ为参数且0≤θ<2π)的弦的中点，则该弦所在的直线方程为( C )A ．x ＋y ＋3＝0B ．x ＋y －3＝0C ．x －y －3＝0D ．x －y ＋3＝0解析：圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋5cos θ，y ＝5sin θ消去θ，得(x －1)2＋y 2＝25，所以圆心C (1,0)，所以k CP ＝－1.所以弦所在的直线的斜率为1.所以弦所在的直线方程为y －(－1)＝1·(x －2)，即为x －y －3＝0.故选C ．10．直线⎩⎨⎧x ＝－2－2t ，y ＝3＋2t(t 为参数)上与点P (－2,3)的距离等于2的点的坐标是( C )A ．(－4,5)B ．(－3,4)C ．(－3,4)或(－1,2)D ．(－4,5)或(0,1)解析：可以把直线的参数方程转化成标准式，或者直接根据直线参数方程的非标准式中参数的几何意义可得(－2)2＋(2)2·|t |＝2，解得t ＝±22，将t 代入原方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，所以所求点的坐标为(－3,4)或(－1,2)．故选C ．11．直线⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝－33＋32t (t 为参数)和圆x 2＋y 2＝16交于A ，B 两点，则AB 的中点坐标为( D )A ．(3，－3)B ．(－3，3)C ．(3，－3)D ．(3，－3)解析：⎝⎛⎭⎫1＋12t 2＋⎝⎛⎭⎫－33＋32t 2＝16，得t 2－8t ＋12＝0，设方程两根为t 1，t 2，∴t 1＋t 2＝8，t 1＋t 22＝4，中点为⎩⎨⎧x ＝1＋12×4，y ＝－33＋32×4 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－ 3.故选D ． 12．如果曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋2cos θ，y ＝a ＋2sin θ(θ为参数)上有且仅有两个点到原点的距离为2，那么实数a 的取值范围是( C )A ．(－22，0)B ．(0,22)C ．(－22，0)∪(0,22)D ．(1,22)解析：曲线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋2cos θ，y ＝a ＋2sin θ(θ为参数)转化为普通方程为(x －a )2＋(y －a )2＝4，问题可转化为以原点为圆心，2为半径的圆与圆C 总相交，根据两圆相交的充要条件，得0＜2a 2＜4，∴0＜a 2＜8，解得0＜a ＜22或－22＜a ＜0.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．极坐标系中，点P ，Q 分别是曲线C 1：ρ＝1与曲线C 2：ρ＝2上任意两点，则|PQ |的最小值为1.解析：极坐标系中，点P ，Q 分别是曲线C 1：ρ＝1与曲线C 2：ρ＝2上任意两点，可知两条曲线是同心圆，如图，|PQ |的最小值为1.14．(2016·湖南雅礼中学月考)已知极坐标系下曲线ρ＝4sin θ表示圆，则点A ⎝⎛⎭⎫4，π6到圆心的距离为解析：将曲线ρ＝4sin θ化成普通方程为x 2＋y 2＝4y ，则该圆的圆心为(0,2)，而点A ⎝⎛⎭⎫4，π6的直角坐标为(23，2)，由两点间距离公式可得d ＝(23)2＋(2－2)2＝2 3.15．在平面直角坐标系xOy 中，如果直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，那么常数a 的值为3.解析：直线和椭圆的普通方程分别为x －y －a ＝0，x 29＋y 24＝1.把椭圆的右顶点(3,0)代入直线方程x －y －a ＝0，得到a ＝3.16．在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数，a >b >0)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 与圆O 的极坐标方程分别为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22m (m 为非零常数)与ρ＝b .若直线l经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，则椭圆C 3解析：椭圆、直线、圆化为直角坐标方程分别为x 2a 2＋y 2b 2＝1，x ＋y －m ＝0，x 2＋y 2＝b 2，由题意得m ＝a 2－b 2＝c ，|m |2＝b ，∴c ＝2b ，∴c 2＝2(a 2－c 2)，∴c 2a 2＝23，∴e ＝c a ＝63.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－22＋r cos θ，y ＝－22＋r sin θ (θ为参数，r ＞0)．(1)求圆心C 的极坐标；(2)当r 为何值时，圆C 上的点到直线l 的最大距离为3. 解析：(1)由ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22，得ρ(cos θ＋sin θ)＝1， ∴直线l 的直角坐标方程为x ＋y －1＝0.由⎩⎨⎧x ＝－22＋r cos θ，y ＝－22＋r sin θ 得圆C 的圆心为⎝⎛⎭⎫－22，－22. ∴圆心C 的极坐标为⎝⎛⎭⎫1，5π4. (2)圆C ：⎩⎨⎧x ＝－22＋r cos θ，y ＝－22＋r sin θ 的圆心到直线l 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪－22－22－12＝1＋22.∵圆C 上的点到直线l 的最大距离为3，∴1＋22＋r ＝3，r ＝2－22. ∴当r ＝2－22时，圆C 上的点到直线l 的最大距离为3. 18．(12分)(2015·山西三模)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos φ，y ＝sin φ (φ为参数)．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． (1)求圆C 的极坐标方程；(2)直线l 的极坐标方程是ρ(sin θ＋3cos θ)＝33，射线OM ：θ＝π3与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．解析：(1)圆C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos φ，y ＝sin φ (φ为参数)，消去参数可得(x －1)2＋y 2＝1.把x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入化简，得ρ＝2cos θ，即为此圆的极坐标方程． (2)由直线l 的极坐标方程是ρ(sin θ＋3cos θ)＝33，射线OM ：θ＝π3，化为普通方程为直线l ：y ＋3x ＝33，射线OM ：y ＝3x . 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＋3x ＝33，y ＝3x ， 解得 ⎩⎨⎧x ＝32，y ＝332，即Q ⎝⎛⎭⎫32，332.联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3x ，(x －1)2＋y 2＝1， 解得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0 或 ⎩⎨⎧x ＝12，y ＝32. ∴P ⎝⎛⎭⎫12，32.∴|PQ |＝⎝⎛⎭⎫12－322＋⎝⎛⎭⎫32－3322＝1＋3＝2 19．(12分)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)．以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝4 2.(1)求曲线C 1的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程；(2)设P 为曲线C 1上的动点，求点P 到C 2上点的距离的最小值，并求此时点P 的坐标． 解析：(1)由曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝sin α， 可得 ⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝cos α，y ＝sin α，两式两边平方相加得⎝⎛⎭⎫x 32＋y 2＝1，即曲线C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1.由曲线C 2：ρsin(θ＋π4)＝42， 得22ρ(sin θ＋cos θ)＝42，即ρsin θ＋ρcos θ＝8，即曲线C 2的直角坐标方程为x ＋y －8＝0.(2)由(1)知椭圆C 1与直线C 2无公共点，设椭圆上的动点P 的坐标为()3cos α，sin α(0≤α＜2π)，则P 到直线x ＋y －8＝0的距离为d ＝|3cos α＋sin α－8|2＝⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3－82，∴当sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝1时，d 取得最小值32，此时点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫32，12 20．(12分)(2016·江苏卷)在平面角坐标系xOy 中，已知直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，设直线l 与椭圆C 相交于A ，B两点，求线段AB 的长．解析：椭圆C 的普通方程为x 2＋y 24＝1.将直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝1＋t2，y ＝32t代入x 2＋y 24＝1得⎝⎛⎭⎫1＋t 22＋⎝⎛⎭⎫32t 24＝1，即7t 2＋16t ＝0得t 1＝0，t 2＝－167，∴|AB |＝|t 1－t 2|＝16721．(12分)(2016·江西上饶一模)在直角坐标系xOy 中，l 是过定点P (4,2)且倾斜角为α的直线；在极坐标系(以坐标原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，取相同单位长度)中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(1)写出直线l 的参数方程，并将曲线C 的方程化为直角坐标方程； (2)若曲线C 与直线相交于不同的两点M ，N ，求|PM |＋|PN |的取值范围．解析：(1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋t cos α，y ＝2＋t sin α (t 为参数)，曲线C 的极坐标方程ρ＝4cos θ可化为ρ2＝4ρcos θ，把x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入曲线C 的极坐标方程可得x 2＋y 2＝4x ，即(x －2)2＋y 2＝4.(2)把直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)代入圆的方程得t 2＋4(sin α＋cos α)t＋4＝0.∵曲线C 与直线相交于不同的两点M ，N ， ∴Δ＝16(sin α＋cos α)2－16＞0，∴sin αcos α＞0， 又α∈[0，π)，∴α∈⎝⎛⎭⎫0，π2. 又t 1＋t 2＝－4(sin α＋cos α)，t 1t 2＝4. ∴|PM |＋|PN |＝|t 1|＋|t 2|＝|t 1＋t 2| ＝4|sin α＋cos α|＝42sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4， ∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴α＋π4∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4∈⎝⎛⎦⎤22，1. ∴|PM |＋|PN |的取值范围是(]4，42.22．(12分)在直角坐标系xOy ，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t y ＝1＋a sin t (t 为参数，a >0)，在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .解析：(1)将⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a cos ty ＝1＋a sin t化为直角坐标方程得x 2＋(y －1)2＝a 2，C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ 若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0 由已知得tan θ＝2，∴16cos 2θ－8sin θcos θ＝0从而1－a 2＝0⇒a ＝1，a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点且在C 3上，故a ＝1.。

高中数学学习材料唐玲出品模块综合测试一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列有关坐标系的说法，错误的是( ) A ．在直角坐标系中，通过伸缩变换圆可以变成椭圆 B ．在直角坐标系中，平移变换不会改变图形的形状和大小 C ．任何一个参数方程都可以转化为直角坐标方程和极坐标方程 D ．同一条曲线可以有不同的参数方程解析： 直角坐标系是最基本的坐标系，在直角坐标系中，伸缩变形可以改变图形的形状，但是必须是相近的图形可以进行伸缩变化得到，例如圆可以变成椭圆；而平移变换不改变图形和大小而只改变图形的位置；对于参数方程，有些比较复杂的是不能化成普通方程的，同一条曲线根据参数选取的不同可以有不同的参数方程．答案： C2．把函数y ＝12sin2x 的图象经过________变化，可以得到函数y ＝14sin x 的图象．( )A ．横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标伸长为原来的2倍B ．横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标伸长为原来的2倍C ．横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标缩短为原来的12倍D ．横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的12解析： 本题主要考查直角坐标系的伸缩变换，根据变换的方法和步骤可知，把函数y ＝12sin2x 的图象的横坐标伸长为原来的2倍可得y ＝12sin x 的图象，再把纵坐标缩短为原来的12，得到y ＝14sin x 的图象．答案： D3．极坐标方程ρ2－ρ(2＋sin θ)＋2sin θ＝0表示的图形是( ) A ．一个圆与一条直线 B ．一个圆 C ．两个圆D ．两条直线解析： 所给方程可以化为(ρ－2)(ρ－sin θ)＝0，即ρ＝2或ρ＝sin θ.化成直角坐标方程分别为x 2＋y 2＝4和x 2＋y 2－y ＝0，可知分别表示两个圆．答案： C4．在极坐标系中，如果一个圆方程是ρ＝4cos θ＋6sin θ，那么过圆心且与极轴平行的直线方程是( )A ．ρsin θ＝3B ．ρsin θ＝－3C ．ρcos θ＝2D ．ρcos θ＝－2答案： A5．将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θy ＝sin 2θ(θ为参数)化为普通方程为( ) A ．y ＝x －2B ．y ＝x ＋2C ．y ＝x －2(2≤x ≤3)D ．y ＝x ＋2(0≤y ≤1)解析： 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θy ＝sin 2θ知x ＝2＋y (2≤x ≤3) 所以y ＝x －2 (2≤x ≤3)． 答案： C6．经过点M (1,5)且倾斜角为π3的直线，以定点M 到动点P 的位移t 为参数的参数方程是( )A ．⎩⎨⎧ x ＝1＋12ty ＝5－32tB ．⎩⎨⎧ x ＝1－12ty ＝5＋32tC ．⎩⎨⎧x ＝1－12ty ＝5－32tD ．⎩⎨⎧ x ＝1＋12ty ＝5＋32t解析： 根据直线参数方程的定义，易得⎩⎨⎧x ＝1＋t ·cos π3y ＝5＋t ·sin π3，即⎩⎨⎧x ＝1＋12ty ＝5＋32t .答案： D7．x 2＋y 2＝1经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2xy ′＝3x ，后所得图形的焦距( )A ．4B ．213C ．2 5D ．6解析： 变换后方程变为：x 24＋y 29＝1，故c 2＝a 2－b 2＝9－4＝5，c ＝5， 所以焦距为2 5. 答案： C8．已知直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－t sin30°y ＝－1＋t sin30°(t 为参数)与圆x 2＋y 2＝8相交于B 、C 两点，则|BC |的值为( )A ．27B ．30C ．7 2D ．302解析： ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－t sin30°y ＝－1＋t sin30°⇒⎩⎨⎧x ＝2－12t ＝2－22t ′y ＝－1＋12t ＝－1＋22t (t ′为参数)．代入x 2＋y 2＝8，得t ′2－32t ′－3＝0， ∴|BC |＝|t ′1－t ′2|＝(t ′1＋t ′2)2－4t ′1t ′2 ＝(32)2＋4×3＝30，故选B ． 答案： B9．已知P 点的柱坐标是⎝⎛⎭⎫2，π4，1，点Q 的球面坐标为⎝⎛⎭⎫1，π2，π4，根据空间坐标系中两点A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)之间的距离公式|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＋(z 1－z 2)2，可知P 、Q 之间的距离为( )A ． 3B ． 2C ． 5D ．22解析： 首先根据柱坐标和空间直角坐标之间的关系，把P 点的柱坐标转化为空间直角坐标(2，2，1)，再根据球面坐标与空间直角坐标之间的关系把Q 点的球坐标转化为空间直角坐标⎝⎛⎭⎫22，22，0，代入两点之间的距离公式即可得到距离为 2. 答案： B10．如果直线ρ＝1cos θ－2sin θ与直线l 关于极轴对称，则直线l 的极坐标方程是( )A ．ρ＝1cos θ＋2sin θB ．ρ＝12sin θ－con θC ．ρ＝12cos θ＋sin θD ．ρ＝12cos θ－sin θ解析： 由ρ＝1cos θ＋2sin θ知ρcos θ＋2ρsin θ＝1，∴x ＋2y ＝1. 答案： C11．圆心在原点，半径为2的圆的渐开线的参数方程是( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2(cos φ＋4sin φ)，y ＝2(sin φ－4cos φ).(φ为参数)B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4(cos θ＋θsin θ)，y ＝4(sin θ－θcos θ).(θ为参数)C ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2(φ－sin φ)，y ＝2(1－cos φ).(φ为参数)D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4(θ－sin θ)，y ＝4(1－cos θ).(θ为参数)解析： 圆心在原点，半径为2的圆的渐开线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2(cos φ＋φsin φ)，y ＝2(sin φ－φcos φ).(φ为参数). 答案： A12．如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别相切于点C 、D 的定圆所围成的区域(含边界)，A 、B 、C 、D 是该圆的四等分点．若点P (x ，y )、点P ′(x ′，y ′)满足x ≤x ′，且y ≥y ′，则称P 优于P ′.如果Ω中的点Q 满足：不存在Ω中的其他点优于Q ，那么所有这样的点Q 组成的集合是劣弧( )A ．AB B ．BC C ．CDD ．DA解析： ∵x ≤x ′且y ≥y ′，∴点P (x ，y )在点P ′(x ′，y ′)的左上方． ∵Ω中不存在优于Q 的点，∴点Q 组成的集合是劣弧AD ，故选D ． 答案： D二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把正确答案填在题中横线上) 13．已知直线的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22，则极点到该直线的距离是________ 解析： 对于求一点到一条直线的距离问题，我们联想到的是直角坐标系中的距离公式，因此应首选把极坐标平面内的问题化为直角坐标问题的解决方法，这需把极点、直线的方程化为直角坐标系内的点的坐标、直线的方程．极点的直角坐标为O (0,0)，ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝ρ⎝⎛⎭⎫22sin θ＋22cos θ＝22，∴ρsin θ＋ρcos θ＝1，化为直角坐标方程为x ＋y －1＝0. ∴点O (0,0)到直线x ＋y －1＝0的距离为d ＝12＝22， 即极点到直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22的距离为22. 答案：2214．直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)相切，则此直线的倾斜角α＝________.解析： 直线：y ＝x ·tan α，圆：(x －4)2＋y 2＝4，如图，sin α＝24＝12，∴α＝π6或56π.答案： π6或56π.15．已知直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝1＋2t (t 为参数)，若以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝22sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4.则圆的直角坐标方程为__________，直线l 和圆C 的位置关系为__________(填相交、相切、相离)．解析： (1)消去参数t ，得直线l 的普通方程为y ＝2x ＋1.ρ＝22sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4即ρ＝2(sin θ＋cos θ)，两边同乘以ρ得ρ2＝2(ρsin θ＋ρcos θ)，消去参数θ，得⊙C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.(2)圆心C 到直线l 的距离d ＝|2－1＋1|22＋12＝255<2，所以直线l 和⊙C 相交．答案： (x －1)2＋(y －1)2＝2；相交16．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋3，y ＝3－t (参数t ∈R )，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ＋2(参数θ∈[0,2π])，则圆C 的圆心坐标为______，圆心到直线l 的距离为______.解析： 直线和圆的方程分别是x ＋y －6＝0，x 2＋(y －2)2＝22，所以圆心为(0,2)，其到直线的距离为d ＝|0＋2－6|1＋1＝2 2.答案： (0,2) 2 2三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(12分)(1)化ρ＝cos θ－2sin θ.为直角坐标形式并说明曲线的形状； (2)化曲线F 的直角坐标方程：x 2＋y 2－5x 2＋y 2－5x ＝0为极坐标方程． 解析： (1)ρ＝cos θ－2sin θ两边同乘以ρ得 ρ2＝ρcos θ－2ρsin θ ∴x 2＋y 2＝x －2y 即x 2＋y 2－x ＋2y ＝0 即⎝⎛⎭⎫x －122＋(y ＋1)2＝⎝⎛⎭⎫522 表示的是以⎝⎛⎭⎫12，－1为圆心，半径为52的圆．(2)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得x 2＋y 2－5x 2＋y 2－5x ＝0的极坐标方程为： ρ2－5ρ－5ρcos θ＝0.18．(12分)在极坐标系中，已知圆C 的圆心C ⎝⎛⎭⎫3，π9，半径为1.Q 点在圆周上运动，O 为极点．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)若P 在直线OQ 上运动，且满足OQ QP ＝23，求动点P 的轨迹方程．解析： (1)设M (ρ，θ)为圆C 上任意一点，如图，在△OCM 中，|OC |＝3，|OM |＝ρ，|CM |＝1，∠COM ＝⎪⎪⎪⎪θ－π6，根据余弦定理，得1＝ρ2＋9－2·ρ·3·cos ⎪⎪⎪⎪θ－π6，化简整理，得ρ2－6· ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π6＋8＝0为圆C 的轨迹方程． (2)设Q (ρ1，θ1)，则有ρ21－6·ρ1cos ⎝⎛⎭⎫θ1－π6＋8＝0① 设P (ρ，θ)，则OQ ∶QP ＝ρ1∶(ρ－ρ1) ＝2∶3⇒ρ1＝25ρ，又θ1＝θ，即⎩⎪⎨⎪⎧ρ1＝25ρ，θ1＝θ，代入①得425ρ2－6·25ρcos(θ－π6)＋8＝0，整理得ρ2－15ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－5π6＋50＝0为P 点的轨迹方程． 19．(12分)已知椭圆C 的极坐标方程为ρ2＝123cos 2θ＋4sin 2θ，点F 1，F 2为其左，右焦点，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋22t ，y ＝22t(t 为参数，t ∈R )．(1)求直线l 和曲线C 的普通方程； (2)求点F 1，F 2到直线l 的距离之和． 解析： (1)直线l 的普通方程为y ＝x －2； 曲线C 的普通方程为x 24＋y 23＝1.(2)∵F 1(－1,0)，F 2(1,0)， ∴点F 1到直线l 的距离d 1＝|－1－0－2|2＝322.点F 2到直线l 的距离d 2＝|1－0－2|2＝22，∴d 1＋d 2＝2 2.20．(12分)已知直线l 过点P (2,0)，斜率为43，直线l 与抛物线y 2＝2x 相交于A ，B 两点，设线段AB 的中点为M .(1)求P 、M 两点间的距离； (2)求M 点的坐标； (3)求线段AB 的长|AB |.解析： (1)∵直线l 过点P (2,0)，斜率为43，设倾斜角为α，tan α＝43，cos α＝35，sin α＝45，∴直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋35ty ＝45t(t 为参数)，∵直线l 与抛物线相交，把直线l 的参数方程代入抛物线方程y 2＝2x ，整理得8t 2－15t －50＝0，设这个方程的两个根为t 1、t 2，则t 1＋t 2＝158，t 1·t 2＝－254.由M 为线段AB 的中点，根据t 的几何意义， 得|PM |＝⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22＝1516.(2)由(1)知，中点M 所对参数为t M ＝1516，代入直线的参数方程，M 点的坐标为⎩⎨⎧x ＝2＋35×1516＝4116y ＝45×1516＝34，即M ⎝⎛⎭⎫4116，34.(3)由参数t 的几何意义，|AB |＝|t 2－t 1|＝(t 2＋t 1)2－4t 1t 2＝5873.21．(12分)如图，自双曲线x 2－y 2＝1上一动点Q 引直线l ：x ＋y ＝2的垂线，垂足为N ，求线段QN 中点P 的轨迹方程．解析： 设点Q 的坐标为(sec φ，tan φ)，(φ为参数)． ∵QN ⊥l ，∴可设直线QN 的方程为x －y ＝λ ①将点Q 的坐标代入①得：λ＝sec φ－tan φ 所以线段QN 的方程为x －y ＝sec φ－tna φ ② 又直线l 的方程为x ＋y ＝2.③由②③解得点N 的横坐标x N ＝2＋sec φ－tan φ2设线段QN 中点P 的坐标为(x ，y )， 则x ＝x N ＋x Q 2＝2＋3sec φ－tan φ4，④4×④－②得 3x ＋y －2＝2sec φ. ⑤4×④－3×②得 x ＋3y －2＝2tan φ.⑥⑤2－⑥2化简即得所求的轨迹方程为 2x 2－2y 2－2x ＋2y －1＝0.22．(14分)已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上且长轴长为4，短轴长为2，直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝m ＋2t (t 为参数)．当m 为何值时，直线l 被椭圆截得的弦长为6？解析： 椭圆方程为y 24＋x 2＝1，化直线参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝m ＋2t为⎩⎨⎧x ＝55t ′y ＝m ＋255t ′(t ′为参数)．代入椭圆方程得(m ＋255t ′)2＋4⎝⎛⎭⎫55t ′2＝4⇔8t ′2＋45mt ′＋5m 2－20＝0当Δ＝80m 2－160m 2＋640＝640－80m 2>0， 即－22<m <2 2.方程有两不等实根t ′1，t ′2，则弦长为|t ′1－t ′2|＝(t ′1＋t ′2)2－4t ′1t ′2＝640－80m 28依题意知＝640－80m 28＝6，解得m ＝±455.。

[A 基础达标]1.点A 的极坐标是⎝⎛⎭⎫2，7π6，则点A 的直角坐标为( )A ．(－1，－3)B ．(－3，1)C ．(－3，－1)D ．(3，－1)解析：选C.∵x ＝ρcos θ＝2cos 7π6＝－2cos π6＝－2×32＝－3，y ＝ρsin θ＝2sin 7π6＝－2sinπ6＝－2×12＝－1，∴A (－3，－1)为所求．2.点M 的直角坐标是(－2，0)，则点M 的极坐标不可以为( ) A ．(π，2) B ．(2，π)C ．(2，－π)D ．(2，－π＋2k π)(k ∈Z )解析：选A.ρ＝（－2）2＋02＝2，又点在x 轴负半轴上，故极角为θ＝π＋2k π(k ∈Z )． 3.极坐标为(3，3)的点在直角坐标系的( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选B.因为ρ＝3，θ＝3∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴x ＝ρcos θ＜0，y ＝ρsin θ＞0，所以极坐标为(3，3)的点在直角坐标系的第二象限． 4.点A ⎝⎛⎭⎫5，π3在条件：(1)ρ＞0，θ∈(－2π，0)下的极坐标是________； (2)ρ＜0，θ∈(2π，4π)下的极坐标是________．解析：(1)当ρ＞0时，点A 的极坐标形式为⎝⎛⎭⎫5，2k π＋π3(k ∈Z )， ∵θ∈(－2π，0)．令k ＝－1，点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫5，－53π，符合题意． (2)当ρ＜0时，⎝⎛⎭⎫5，π3的极坐标的一般形式是⎝⎛⎭⎫－5，（2k ＋1）π＋π3(k ∈Z )． ∵θ∈(2π，4π)，当k ＝1时，点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫－5，103π，符合题意． 答案：(1)⎝⎛⎭⎫5，－53π (2)⎝⎛⎭⎫－5，103π [B 能力提升]5.将极坐标⎝⎛⎭⎫2，3π2化为直角坐标为( )A ．(0，2)B ．(0，－2)C ．(2，0)D ．(－2，0)解析：选B.x ＝ρcos θ＝2cos 3π2＝0，y ＝ρsin θ＝2sin 3π2＝－2，∴⎝⎛⎭⎫2，3π2化为直角坐标为(0，－2)．故应选B. 6.在极坐标系中，极坐标⎝⎛⎭⎫2，54π化为直角坐标为( )A ．(1，1)B ．(－1，1)C ．(1，－1)D ．(－1，－1) 解析：选D.x ＝ρcos θ＝2cos 54π＝2·⎝⎛⎭⎫－22＝－1，y ＝ρsin θ＝2sin 54π＝2·⎝⎛⎭⎫－22＝－1，故所求直角坐标为(－1，－1)．7.已知极坐标平面内的点P (2，－5π3)，则P 关于极点的对称点的极坐标与直角坐标分别为( )A.⎝⎛⎭⎫2，π3，(1，3) B ．⎝⎛⎭⎫2，－π3，(1，－3) C.⎝⎛⎭⎫2，2π3，(－1，3) D ．⎝⎛⎭⎫2，－2π3，(－1，－3) 解析：选D.由已知得P ⎝⎛⎭⎫2，－53π关于极点的对称点的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，－23π， ∴x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫－23π＝－1，y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫－23π＝－3，∴直角坐标为(－1，－3)，故选D.8.设点P 对应的复数为－3＋3i ，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫32，34πB.⎝⎛⎭⎫－32，54π C.⎝⎛⎭⎫3，54π D.⎝⎛⎭⎫－3，34π 解析：选A.复数－3＋3i 对应的点P 的坐标为P (－3，3)， ∴ρ＝（－3）2＋32＝32，tan θ＝3－3＝－1.又点(－3，3)在第二象限，∴θ＝34π，故其极坐标为⎝⎛⎭⎫32，34π. 9.在极坐标系中，两点P (2，π3)和Q (23，5π6)，则PQ 的中点的极坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫2，π3 B ．⎝⎛⎭⎫2，2π3 C.⎝⎛⎭⎫1＋3，7π12 D ．⎝⎛⎭⎫1＋3，5π12 解析：选B.∵P ⎝⎛⎭⎫2，π3，∴⎩⎨⎧x ＝2cos π3＝1，y ＝2sin π3＝3， ∴P (1，3)．∵Q ⎝⎛⎭⎫23，5π6， ∴⎩⎨⎧x ＝23cos 5π6＝－3，y ＝23sin 5π6＝3，∴Q (－3，3)．∴中点M 的直角坐标为(－1，3)． ∴ρ2＝(－1)2＋(3)2＝4，∴ρ＝2. tan θ＝3－1＝－3，∴θ＝2π3.∴中点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，2π3. 10.直角坐标为(－π，π)的点的极坐标为________． 解析：ρ＝（－π）2＋π2＝2π，tan θ＝－1， 当0≤θ＜2π时，θ＝3π4或7π4，又(－π，π)在第二象限，所以θ＝3π4，∴⎝⎛⎭⎫2π，3π4为所求． 答案：⎝⎛⎭⎫2π，3π4 11.已知点M 的极坐标为(5，θ)，且tan θ＝－43，π2＜θ＜π，则点M 的直角坐标为________．解析：∵tan θ＝－43，π2＜θ＜π，∴cos θ＝－35，sin θ＝45，∴x ＝5cos θ＝－3，y ＝5sin θ＝4， ∴点M 的直角坐标为(－3，4)． 答案：(－3，4)12.如果点的极坐标为A ⎝⎛⎭⎫2，π4，B ⎝⎛⎭⎫2，5π4，且△ABC 为等腰直角三角形，求直角顶点C的极坐标与该三角形的面积．解：法一：利用坐标转化． 点A ⎝⎛⎭⎫2，π4的直角坐标为(2，2)， 点B ⎝⎛⎭⎫2，5π4的直角坐标为(－2，－2)． 设点C 的直角坐标为(x ，y )，由题意得AC ⊥BC ， 且|AC |＝|BC |，∴AC →·BC →＝0，即(x －2，y －2)·(x ＋2，y ＋2)＝0， ∴(x －2)(x ＋2)＋(y －2)(y ＋2)＝0， ∴x 2＋y 2＝4.①又|AC |2＝|BC |2，于是(x －2)2＋(y －2)2＝(x ＋2)2＋(y ＋2)2， 即y ＝－x ，代入①得x 2＝2，解得x ＝±2，∴⎩⎨⎧x ＝2y ＝－2或⎩⎨⎧x ＝－2y ＝2， ∴点C 的直角坐标为(2，－2)或(－2，2)． ∴ρ＝2＋2＝2，tan θ＝－1，θ＝7π4或3π4，∴点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，3π4或⎝⎛⎭⎫2，7π4. S △ABC ＝12|AC ||BC |＝12|AC |2＝12×8＝4.法二：设点C 的极坐标为(ρ，θ)(ρ＞0，0≤θ＜2π)，∵|AB |＝2|OA |＝4，∠C ＝π2，|AC |＝|BC |，∴|AC |＝|BC |＝22，即⎩⎨⎧ρ2＋22－2×2ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝8 ①ρ2＋22－2×2ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－5π4＝8 ②①＋②化简得ρ2＝4，由ρ＞0得ρ＝2， 代入①得cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝0， ∴θ－π4＝π2＋k π，k ∈Z ，即θ＝3π4＋k π，k ∈Z .又0≤θ＜2π，令k ＝0，1，得θ＝3π4或7π4，∴点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，3π4或⎝⎛⎭⎫2，7π4， S △ABC ＝12|AC ||BC |＝12|AC |2＝12×8＝4.13.已知极点在点(2，－2)处，极轴方向与x 轴正方向相同的极坐标系中，点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π6，求点M 在直角坐标系中的坐标． 解：设M (x ，y )，则x －2＝ρcos θ＝4cos π6＝23，∴x ＝2＋23，y －(－2)＝ρsin θ＝4sin π6＝2.∴y ＝2－2＝0.∴点M 的直角坐标为(2＋23，0)．由Ruize收集整理。

课时提高作业 (七十六 )一、选择题1.在以O 为极点的极坐标系中,直线l 的极坐标方程是ρ cosθ -2=0,直线l 与极轴订交于点M,以OM为直径的圆的极坐标方程是()(A) ρ =2cosθ(B) ρ =2sinθ(C)2 ρ =cosθ(D) ρ =2+cosθ2.(2013 ·惠州模拟 ) 已知点 P 的极坐标为 (1,π ),则过点 P 且垂直于极轴的直线方程为()(A) ρ =1(B)ρ=cosθ(C) ρ =-(D) ρ =3.在极坐标系中 ,与圆ρ =4sinθ相切的一条直线的方程是()(A) ρ sinθ=2(B) ρ cosθ =2(C) ρ cosθ =4(D) ρ cosθ =-4二、填空题4.(2012 ·陕西高考 )直线 2ρ cosθ =1 与圆ρ =2cosθ订交的弦长为.225.(2012 ·江西高考 )曲线 C 的直角坐标方程为 x +y -2x=0,以原点为极点 ,x 轴的正半轴为极轴成立坐标系 ,则曲线 C 的极坐标方程为6.在极坐标系中 ,点 (2, )到圆ρ =2cosθ的圆心的距离为.三、解答题7.在极坐标系中,已知圆 C 的圆心 C(3, ),半径 r=3.(1)求圆 C 的极坐标方程 .(2)若Q点在圆 C上运动,P在 OQ的延伸线上 ,且=2,求动点 P 的轨迹方程 .8.在极坐标系中 ,点 M 的坐标是 (2,),曲线 C 的方程为ρ =2sin( θ + ); 以极点为坐标原点 ,极轴为 x 轴的正半轴成立平面直角坐标系,直线 l 经过点 M和极点 .(1)写出直线 l 的极坐标方程和曲线 C 的直角坐标方程 .(2)直线 l 和曲线 C 订交于两点 A,B, 求线段 AB 的长 .9.从极点 O 作直线 l 与另向来线ρ cosθ =4 订交于点M, 在 OM 上取一点P,使·=16.(1)求点 P 的轨迹方程 .(2)圆 N 的方程为 (x-2-5cosθ )2+(y-5sin θ )2=1( θ ∈ R),过圆 N 上随意一点 K 作 P 的轨迹的两条切线KE,KF, 切点分别为E,F,求·的最小值.10.已知圆 C 的极坐标方程ρ =2asinθ ,求 :(1) 圆C 对于极轴对称的圆的极坐标方程.(2) 圆C 对于直线θ =对称的圆的极坐标方程.11.在直角坐标系xOy 中 ,以O 为极点,x轴非负半轴为极轴成立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为ρ cos(θ - )=1,M,N 分别为 C 与x 轴 ,y 轴的交点.(1)写出 C 的直角坐标方程 ,并求 M,N 的极坐标 .(2)设 MN 的中点为 P,求直线 OP 的极坐标方程 .12.(2013 ·福州模拟 )已知椭圆 C 的极坐标方程为ρ2=,点 F1,F2为其左、右焦点 ,直线 l 的参数方程为(t 为参数 ,t∈ R).(1)求直线 l 和曲线 C 的一般方程 .(2)求点 F1,F2到直线 l 的距离之和 .答案分析1.【分析】选 A. 直线 l:ρ cosθ -2=0 的直角坐标方程是 x=2,直线 l 与 x 轴订交于点M(2,0), 以OM 为直径的圆的直角坐标方程为(x-1) 2+y2=1,即 x2 -2x+y 2=0,化为极坐标方程是ρ 2-2ρ cosθ=0, 即ρ =2cosθ .2.【分析】选 C.由点 P 坐标知 ,过点 P 且垂直于极轴的直线的直角坐标方程为x=-1, 化为极坐标方程为ρcosθ =-1, 应选 C.3.【分析】选 B. 方法一 :圆的极坐标方程ρ =4sin θ即ρ2=4 ρ sinθ , 因此直角坐标方程为x2+y 2-4y=0.选项 A, 直线ρsin θ=2 的直角坐标方程为y=2, 代入圆的方程 ,得 x2=4,∴ x=± 2,不切合题意 ;选项 B,直线ρ cosθ =2 的直角坐标方程为x=2, 代入圆的方程 ,得 (y-2) 2=0,∴ y=2,切合题意 .同理 ,此后选项都不切合题意 .方法二 :如图 ,☉ C 的极坐标方程为CO⊥ Ox,OA 为直径 ,|OA|=4, 直线 l l 交极轴于点 B(2,0), 点 P(ρ ,θ)为ρ=4sin θ ,和圆相切 ,l 上随意一点 ,则有 cosθ == ,得ρcosθ =2.4.【分析】直线2ρ cosθ =1 与圆ρ=2cosθ的一般方程为222x=1 和 (x-1)+y =1,圆心到直线的距离为1-=,∴弦长为2=.答案 :5.【分析】∵ x2+y 2=ρ2,∴x= ρ cosθ,代入直角坐标方程整理得ρ2 -2ρ cosθ=0,∴ρ -2cosθ =0.即极坐标方程为ρ=2cosθ .答案 :ρ =2cosθ6.【分析】由x= ρ cosθ ,y= ρ sinθ及ρ =2cosθ ,得 x=2cos2θ ,y=2cosθ sinθ ,则 x=1+cos2 θ ,y=sin2 θ ,因此 (x-1) 2 +y2=1, 即圆心坐标为(1,0), 而点 (2,)在直角坐标系中的坐标为 (1,),因此所求的距离为.答案 :7.【分析】 (1) 设 M( ρ ,θ )是圆 C 上随意一点 ,在△ OCM中 ,∠ COM=| θ -|,由余弦定理 ,得222CM =OM +OC -2OM· OC· cos∠COM,∴32=ρ2+32-2× 3× ρ cos(θ - ),即ρ =6cos(θ -)为所求 .(2) 设点Q 为( ρ1,θ1),点 P 为 (ρ ',θ '),由=2,得=2(-).∴=,∴ ρ1=ρ ',θ1=θ ',代入圆方程ρ=6cos( θ-)得ρ '=6cos (θ '-),即ρ =9cos(θ - )为所求 .8.【分析】 (1) ∵直线 l 过点 M(2, )和极点 ,∴直线 l 的极坐标方程是θ =( ρ∈ R),ρ =2sin(θ +)即ρ=2(sin θ +cosθ ),2∴曲线 C 的直角坐标方程为x2+y 2-2x-2y=0.(2) 点 M 的直角坐标为 (1,),直线 l 过点 M 和原点 ,∴直线 l 的直角坐标方程为y=x,曲线 C 的圆心坐标为 (1,1),半径 r=,圆心到直线 l 的距离为 d=,∴ |AB|=+1.9.【分析】 (1) 方法一 :设 P(ρ ,θ ),M(,θ ),·=16,ρ=16,ρ=4cosθ (扣除极点 ).方法二 :设平面直角坐标系下P 点的坐标为P(x,y),M 点的纵坐标为y m,=,因此 y m= .由于·=16,因此 x2+y 2=4x( 扣除原点 ).(2)点 P 的轨迹是以 (2,0)为圆心 ,以 2 为半径的圆 .设其圆心为A,|KA| 的长为 t,·=||||cos∠ EKF=(1-2sin2∠AKE)=(||2 -4)(1-2)=t2+-12,由于 ||=5,因此4≤ t≤ 6,设 f(t)=t 2 +-12,则f'(t)=,t ∈ [4,6] 时 ,f'(t)>0, 因此f(t) 单增 ,因此 ,f(t) 的最小值为f(4)=6.10.【分析】方法一:设所求圆上随意一点M 的极坐标为(ρ,θ ).(1) 点 M( ρ ,θ )对于极轴对称的点为M( ρ ,-θ ),代入圆 C 的方程ρ =2asinθ ,得ρ=2asin(- θ ),即ρ =-2asinθ为所求 .(2) 点 M( ρ ,θ )对于直线θ =对称的点为 ( ρ , -θ ), 代入圆 C 的方程ρ =2asinθ ,得ρ=2asin( -θ ),即ρ =-2acosθ为所求 .方法二 :由圆的极坐标方程ρ =2asinθ ,2得ρ =2ρ asinθ ,利用公式 x= ρ cosθ ,y= ρ sinθ,ρ =,22化为直角坐标方程为 x+y =2ay.即 x2+(y-a) 2=a2,故圆心为 C(0,a),半径为 |a|.(1) 对于极轴对称的圆的圆心为22222 (0,-a),圆的方程为 x +(y+a)=a ,即 x +y =-2ay,∴ ρ2=-2 ρ asinθ ,故ρ =-2asinθ为所求 .(2) 由θ= 得 tanθ =-1, 故直线θ =的直角坐标方程为y=-x,圆 x2+(y-a) 2=a2对于直线 y=-x 对称的圆的方程为 (-y) 2+(-x-a) 2=a2,即 (x+a) 2+y2=a2,于是 x2+y 2=-2ax.2∴ ρ=-2 ρ acosθ .此圆的极坐标方程为ρ =-2acosθ .11.【分析】(1) 由ρcos(θ -)=1得ρ( cosθ +sinθ )=1.进而 C 的直角坐标方程为x+y=1.即x+y=2.当θ =0时 ,ρ =2, 因此M(2,0);当θ =时 ,ρ =,因此N(,).(2)M 点的直角坐标为(2,0),N 点的直角坐标为(0,). 因此P 点的直角坐标为(1,),则P 点的极坐标为(,).因此直线OP 的极坐标方程为θ=(ρ ∈ R).12.【分析】(1) 直线l 一般方程为y=x-2, 曲线 C 的一般方程为+ =1.(2) ∵ F1(-1,0),F 2 (1,0),∴点F1到直线l 距离为d1==,点 F2到直线l 距离为d2== ,∴ d1+d 2=2.。

模块综合测评(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上)1．椭圆⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝5sin φ(φ是参数)的离心率是________．【解析】 椭圆⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝5sin φ消去参数φ，可得x 29＋y 225＝1，∴a ＝5，b ＝3，c ＝4，e ＝c a ＝45.【答案】 452．极坐标方程分别是ρ＝2cos θ和ρ＝4sin θ，两个圆的圆心距离是________． 【解析】 ρ＝2cos θ是圆心在(1,0)，半径为1的圆；ρ＝4sin θ是圆心在(0,2)，半径为2的圆，所以两圆心的距离是 5.【答案】53．若点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫6，7π6，则将它化为直角坐标是________．【解析】 由x ＝6cos 7π6＝－33，y ＝6sin 7π6＝－3. 【答案】 (－33，－3)4．极坐标系中A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π12，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫8，512π，则A 、B 两点的距离为________．【答案】 75．球坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，π3对应的点的直角坐标是________．【解析】 由空间点P 的直角坐标(x ，y ，z )与球坐标(r ，φ，θ)之间的变换关系⎩⎨⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝32，z ＝ 3.【答案】 (12，32，3)6．已知直线的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22，那么极点到该直线的距离是________．【答案】 227．直线⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝2－t (t 为参数)截抛物线y 2＝4x 所得的弦长为________．【答案】 8 28．已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为________．【解析】 ρ＝2cos θ化为普通方程为x 2＋y 2＝2x x 2＋y2，即(x －1)2＋y 2＝1，则其参数方程为⎩⎨⎧ x －1＝cos α，y ＝sin α(α为参数)，即⎩⎨⎧x ＝cos α＋1，y ＝sin α(α为参数)．【答案】 ⎩⎨⎧x ＝cos α＋1，y ＝sin α(α为参数)9．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线⎩⎨⎧x ＝t 2，y ＝t3(t 为参数)相交于A ，B 两点，则|AB |＝________.【解析】 由ρcos θ＝4，知x ＝4.又⎩⎨⎧ x ＝t 2，y ＝t 3，∴x 3＝y 2(x ≥0)． 由⎩⎨⎧x ＝4，x 3＝y 2，得⎩⎨⎧ x ＝4，y ＝8，或⎩⎨⎧x ＝4，y ＝－8，∴|AB |＝(4－4)2＋(8＋8)2＝16. 【答案】 1610．直线⎩⎨⎧ x ＝2＋t ，y ＝－1－t (t 为参数)与曲线⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数)的交点个数为________．【解析】 将⎩⎨⎧ x ＝2＋t ，y ＝－1－t 消去参数t 得直线x ＋y －1＝0；将⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α消去参数α得圆x 2＋y 2＝9.又圆心(0,0)到直线x ＋y －1＝0的距离d ＝22<3.因此直线与圆相交，故直线与曲线有2个交点．【答案】 211．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知射线θ＝π4与曲线⎩⎨⎧x ＝t ＋1，y ＝(t －1)2(t 为参数)相交于A ，B 两点，则线段AB 的中点的直角坐标为________．【解析】 射线θ＝π4的普通方程为y ＝x (x ≥0)，代入⎩⎨⎧x ＝t ＋1，y ＝(t －1)2，得t 2－3t ＝0，解得t ＝0或t ＝3.当t ＝0时，x ＝1，y ＝1，即A (1,1)； 当t ＝3时，x ＝4，y ＝4，即B (4,4)． 所以AB 的中点坐标为(52，52)． 【答案】 (52，52)12．设直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋22t ，y ＝22t(t 为参数)，点P 在直线上，且与点M 0(－4,0)的距离为2，如果该直线的参数方程改写成⎩⎨⎧x ＝－4＋t ，y ＝t (t 为参数)，则在这个方程中点P 对应的t 值为________．【解析】 由|PM 0|＝2，知PM 0＝2或PM 0＝－2，即t ＝±2代入第一个参数方程，得点P 的坐标分别为(－3,1)或(－5，－1)；再把点P 的坐标代入第二个参数方程可得t ＝1或t ＝－1.【答案】 ±113．极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程⎩⎨⎧x ＝－1－t ，y ＝2＋3t (t 为参数)所表示的图形分别是________．【解析】 ∵ρ＝cos θ，∴x 2＋y 2＝x ， ∴表示一个圆．由⎩⎨⎧x ＝－1－t ，y ＝2＋3t得到3x ＋y ＝－1，得到直线． 【答案】 圆 直线14．已知圆C 的圆心是直线⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝1＋t (t 为参数)与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的标准方程为________．【解析】 将直线的参数方程化为普通方程x －y ＋1＝0.由题意可得圆心(－1,0)，则圆心到直线x ＋y ＋3＝0的距离即为圆的半径，故r ＝22＝2，所以圆的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2.【答案】 (x ＋1)2＋y 2＝2二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)已知曲线C 1的极坐标方程为：ρ＝6cos θ，曲线C 2的极坐标方程为：θ＝π4(ρ∈R )，曲线C 1，C 2相交于A 、B 两点．(1)将曲线C 1，C 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求弦AB 的长度．【解】 (1)曲线C 2：θ＝π4(ρ∈R )表示直线y ＝x ， 曲线C 1：ρ＝6cos θ，即ρ2＝6ρcos θ， ∴x 2＋y 2＝6x ，即(x －3)2＋y 2＝9.(2)∵圆心(3,0)到直线C 2的距离d ＝322，r ＝3， ∴弦长AB ＝3 2.16．(本小题满分14分)已知圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ＋m ，y ＝22t(t 为参数)，若直线l 与圆C 相切，求实数m 的值．【导学号：98990043】【解】 由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ， ∴x 2＋y 2＝4x ，即圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝4， 又由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ＋m ，y ＝22t ，消t ，得x －y －m ＝0，∵直线l 与圆C 相切，∴|2－m |2＝2，∴m ＝2±2 2. 17．(本小题满分14分)已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝2sin θ，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－35t ＋2，y ＝45t(t 为参数)．(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴的交点是M ，N 是曲线C 上一动点，求MN 的最大值． 【解】 (1)曲线C 的极坐标方程可化为ρ2＝2ρsin θ， 又x 2＋y 2＝ρ2，y ＝ρsin θ，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0.(2)将直线l 的参数方程化为直角坐标方程，得y ＝－43(x －2)． 令y ＝0，得x ＝2，即M 点的坐标为(2,0)．又曲线C 为圆，圆C 的圆心坐标为(0,1)，半径r ＝1，则MC ＝5， 所以MN ≤MC ＋r ＝5＋1.当M ，N ，C 共线时，MN 最大，此时为5＋1.18．(本小题满分16分)在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 上两点M ，N 的极坐标分别为(2,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝－3＋2sin θ(θ为参数)． (1)设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； (2)判断直线l 与圆C 的位置关系．【解】 (1)由题意知，M ，N 的平面直角坐标分别为(2,0)，(0，233)．又P 为线段MN 的中点，从而点P 的平面直角坐标为(1，33)，故直线OP 的平面直角坐标方程为y ＝33x .(2)因为直线l 上两点M ，N 的平面直角坐标分别为(2,0)，(0，233)， 所以直线l 的平面直角坐标方程为3x ＋3y －23＝0. 又圆C 的圆心坐标为(2，－3)，半径为r ＝2， 圆心到直线l 的距离d ＝|23－33－23|3＋9＝32<r ，故直线l 与圆C 相交．19．(本小题满分16分)已知曲线C 1的参数方程是⎩⎨⎧x ＝2cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3. (1)求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；(2)设P 为C 1上任意一点，求|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2的取值范围． 【解】 (1)由已知可得A (2cos π3，2sin π3)， B (2cos (π3＋π2)，2sin(π3＋π2))， C (2cos (π3＋π)，2sin(π3＋π))，D (2cos (π3＋3π2)，2sin(π3＋3π2))，即A (1，3)，B (－3，1)，C (－1，－3)，D (3，－1)．(2)设P (2cos φ，3sin φ)，令S ＝|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2，则S ＝16cos 2φ＋36sin 2φ＋16＝32＋20sin 2φ.因为0≤sin 2φ≤1，所以S 的取值范围是[32,52]．20．(本小题满分16分)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程； (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．【解】 (1)将⎩⎨⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t 消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由⎩⎨⎧ x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标分别为(2，π4)，(2，π2)．。

模块综合测评(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.如图1，已知BN ∥AM ，ND ∥MC ，那么有( )图1A.PD DA ＝PN NMB.PA PB ＝PC PDC.PA PB ＝ND MCD.以上答案都不对【解析】 ∵BN ∥AM ，∴PA PB ＝PMPN ， 又∵ND ∥MC ，∴PC PD ＝PM PN，∴PA PB ＝PCPD.【答案】 B2.如图2，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落点恰好在离网6米的位置上，则球拍击球的高度h 为( )图2A.815米 B.1米 C.43米 D.85米 【解析】66＋4＝0.8h ，得h ＝43(米). 【答案】 C3.如图3，⊙O 内切于△ABC ，切点分别为D ，E ，F .已知∠B ＝50°，∠C ＝60°，连接OE ，OF ，DE ，DF ，那么∠EDF 等于( )图3A.40°B.55°C.65°D.70°【解析】 ∵∠B ＝50°，∠C ＝60°，∴∠A ＝70°， ∴∠EOF ＝110°，∴∠EDF ＝55°. 【答案】 B4.已知：如图4，▱ABCD 中，EF ∥AC 交AD ，DC 于E ，F ，AD ，BF 的延长线交于M ，则下列等式成立的是( )图4A.AD 2＝AE ·AM B.AD 2＝CF ·DC C.AD 2＝BC ·AB D.AD 2＝AE ·ED【解析】 ∵在▱ABCD 中， ∴AD ∥BC ，AB ∥DC . ∵DF ∥AB ，∴AD AM ＝BFBM .∴DM ∥BC ，∴BF BM ＝CFDC .∵EF ∥AC ，∴AE AD ＝CFDC.∴AD AM ＝AEAD，∴AD 2＝AE ·AM . 【答案】 A5.如图5，PT 是⊙O 的切线，且PT 的长为4，PBC 是⊙O 的一条割线，EF 和BC 是⊙O 内两条相交于M 的弦，已知PB ＝2，BM ∶MC ＝2∶1，EM ∶MF ＝2∶1，则MC ，MF 的长分别为( )图5A.2,2B.2,4C.2,1D.1,2【解析】 ∵PT 2＝PB ·PC ，设CM ＝x ，则MB ＝2x ， ∴16＝2(2＋3x )，∴x ＝2.设EM ＝2t ，MF ＝t ， 又∵BM ·MC ＝EM ·MF ， ∴2t ·t ＝2x 2＝8， ∴t ＝2，∴MC ＝x ＝2，MF ＝t ＝2. 【答案】 A6.已知圆柱的底面半径为2，平面π与圆柱斜截口图形的离心率为12，则椭圆的长半轴长是( )A.2B.433 C.4D.163【解析】 由题意知，短半轴b ＝2，c a ＝a 2－b 2a ＝12，∴a 2－4a ＝12，解得a ＝433.故选B.【答案】 B7.如图6，AB 、CD 是圆O 的两条弦，且AB 是线段CD 的中垂线，已知AB ＝6，CD ＝25，则线段AC 的长度为( )图6A.5B.27C.30D.3 5【解析】连接BC，∵AB垂直平分CD，∴CP2＝AP·PB.设PB＝x，则AP＝6－x.∴x(6－x)＝5，∴x1＝1，x2＝5(舍去).∴AC＝25＋5＝30.【答案】 C8.如图7所示，已知线段AB＝4，动圆O与线段AB切于点C，且AC－BC＝22，过点A，B分别作⊙O的切线，两切线相交于点P，且P，O均在AB的同侧，当O的位置变化时，动点P的轨迹是( )图7A.椭圆B.双曲线C.椭圆的一部分D.双曲线的一部分【解析】PA，PB与⊙O的切点分别是M，N，则PA－PB＝(PM＋MA)－(PN＋NB)＝MA－NB＝AC－BC＝22，故P点的轨迹是双曲线的一支(除去C点).【答案】 D9.如图8，E，C分别是∠A两边上的点，以CE为直径的⊙O交∠A的两边于点D，B，若∠A＝45°，则△AEC与△ADB的面积比为( )图8A.2∶1B.1∶2C.2∶1D.3∶1【解析】连接BE，求△AEC与△ABD的面积比即求AE2∶AB2的值，设AB＝a，∵∠A＝45°，又∵CE为⊙O的直径，∴∠CBE＝∠ABE＝90°，∴BE＝AB＝a，∴AE＝2a，∴AE 2∶AB 2＝2a 2∶a 2， 即AE 2∶AB 2＝2∶1， ∴S △AEC ∶S △ADB ＝2∶1. 【答案】 A10.如图9，△ABC 的底边BC ＝a ，高AD ＝h ，矩形EFGH 内接于△ABC ，其中E ，F 分别在边AC ，AB 上，G ，H 都在BC 上，且EF ＝2FG ，则矩形EFGH 的周长是( )图9A.ah2h ＋a B.6ah2h ＋aC.ah2h －aD.6h 2h ＋a【解析】 设FG ＝x ，因为EF ＝2FG ，所以EF ＝2x .因为EF ∥BC ，所以△AFE ∽△ABC . 又AD ⊥BC ，设AD 交EF 于M ，则AM ⊥EF .所以AM AD ＝EF BC ，即AD －DM AD ＝2x a .所以h －x h ＝2xa.解之，得x ＝ah 2h ＋a .所以矩形EFGH 的周长为6x ＝6ah2h ＋a. 【答案】 B11.如图10，正三角形ABC 的三个顶点都在半径为2的球面上，球心O 到平面ABC 的距离为1，点D 是线段BC 的中点，过D 作球O 的截面，则截面面积的最小值为( )图10A.74πB.9π4C.7π3D.8π3【解析】 (图略)设△ABC 的中心是E ，球心O 到平面ABC 的距离为1，即OE ＝1，故AE ＝OA 2－OE 2＝22－1＝3，从而ED ＝32，所以OD ＝OE 2＋ED 2＝72，故面积最小的截面圆半径为r ＝22－⎝⎛⎭⎪⎫722＝32，所以截面面积的最小值为S ＝πr 2＝94π. 【答案】 B12.(广东高考)若实数k 满足0<k <9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29＝1的( )【导学号：96990057】A.焦距相等B.实半轴长相等C.虚半轴长相等D.离心率相等【解析】 因为0<k <9，所以两条曲线都表示双曲线.双曲线x 225－y 29－k ＝1的实半轴长为5，虚半轴长为9－k ，焦距为225＋－k ＝234－k ，离心率为34－k 5.双曲线x225－k－y 29＝1的实半轴长为25－k ，虚半轴长为3，焦距为2－k ＋9＝234－k ，离心率为34－k25－k ，故两曲线只有焦距相等.故选A. 【答案】 A二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在横线上) 13.球的半径为R ，则它的外切正方体的棱长为________，内接正方体的棱长为________.【解析】 外切正方体的棱长为2R ，内接正方体的体对角线是球的直径，故3a ＝2R ，(a 是内接正方体的边长)∴a ＝233R .【答案】 2R233R 14.已知F 1，F 2是椭圆的左、右焦点，以F 1为顶点，F 2为焦点的抛物线交椭圆于两点P ，Q ，且PF 1PF 2＝e ，其中e 是椭圆的离心率，则e 的值是__________.【解析】 如图，设l 是椭圆的准线，由离心率定义得PF 1PM＝e .由条件PF 1PF 2＝e ，∴PF 1PM ＝PF 1PF 2.∴PM ＝PF 2. 而点P 在抛物线上，F 2为抛物线焦点，根据抛物线定义，∴l 又是抛物线的准线. ∴F 1H ＝F 1F 2＝2c .∴OH ＝3c . 又∵椭圆两准线间距离为2a2c，∴OH ＝a 2c .∴a 2c ＝3c ，∴e ＝c a ＝33.15.半径为2的⊙O 中，有两条互相垂直的弦AB 和CD 相交于E ，点E 到圆心O 的距离为1，则AB 2＋CD 2＝__________.图(1)【解析】 (1)若AB 、CD 有一条是直径、不妨设AB 为直径，如图(1)，连接OC ，CE 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12CD 2＝OC 2－OE 2＝22－12＝3，∴CD 2＝12，∴AB 2＋CD 2＝42＋12＝28，(2)若AB 、CD 都不是直径，如图(2)，连接OB ，OD ，作OG ⊥CD ，OF ⊥AB ，垂足分别为G 、F ，AB 2＋CD 2＝(BF 2＋DG 2)×4＝4(OB 2－OF 2＋OD 2－OG 2)＝422＋22－(OF 2＋OG 2)]＝48－(OF 2＋EF 2)]＝4(8－OE 2)＝4×(8－1)＝28，∴AB 2＋CD 2＝28.综上可知AB 2＋CD 2＝28. 【答案】 2816.已知如图11，△ABC 中，边AC 上一点F 分AC 为AF FC ＝23，BF 上一点G 分BF 为BG GF ＝32，AG 的延长线与BC 交于点E ，则BE ∶EC ＝________.图11【解析】 过F 作FD ∥AE 交BC 于D ，如图所示，则CD DE ＝CF AF ＝32，DE EB ＝FG GB ＝23，故CD ＝32DE ，BE ＝32DE ，EC ＝CD ＋DE ＝32DE＋DE ＝52DE ，从而BE EC ＝35.【答案】 3∶5三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)已知：如图12所示，AB 是⊙O 的直径，PA 是⊙O 的切线，过点B 作BC ∥OP 交⊙O 于点C ，连接AC .图12(1)求证：△ABC ∽△POA ；(2)若AB ＝2，PA ＝2，求BC 的长.(结果保留根号)【解】 (1)证明：因为AB 为⊙O 的直径，PA 切⊙O 于点A ，所以∠PAO ＝∠C ＝90°，因为BC ∥OP ，所以∠B ＝∠AOP .所以△ABC ∽△POA .(2)在Rt△APO 中，PO ＝PA 2＋OA 2＝3， 由△ABC ∽△POA ，得BC OA ＝AB PO，即BC 1＝23，所以BC ＝233. 18.(本小题满分12分)如图13所示，已知AB 是⊙O 的直径，直线CD 与⊙O 相切于点C ，AC 平分∠DAB ，AD ⊥CD .图13(1)求证：OC ∥AD ；(2)若AD ＝2，AC ＝5，求AB 的长. 【解】 (1)证明：如图所示，连接BC .∵CD 为⊙O 的切线， ∴OC ⊥CD .又AD ⊥CD ， ∴OC ∥AD .(2)∵AC 平分∠DAB ， ∴∠DAC ＝∠CAB . ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°.又AD ⊥CD ，∴∠ADC ＝90°， ∴△ADC ∽△ACB .∴AD AC ＝AC AB，∴AC 2＝AD ·AB . ∵AD ＝2，AC ＝5， ∴AB ＝52.19.(本小题满分12分)已知圆锥面S ，其母线与轴线的夹角为30°，又有一平面α与圆锥面的轴线成θ角，且cos θ＝45，该平面与轴线的交点为C ，已知SC ＝11.一球与锥面相切并在平面α的上方与α相切.求此内切球的半径.【解】 如图为圆锥面的轴截面.设内切球的球心为O ，半径为R ，设P 为球O 与圆锥面的一个切点，M 是球O 与平面α的切点.连接OP ，OM ，则OP ⊥SP ，OM ⊥CM ，OP ＝OM ＝R ，依题意，∠PSO ＝30°，∠OCM ＝θ，且cos θ＝45，∴SO ＝2R . 在Rt△OMC 中，OC ＝OMsin θ＝R1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝53R . ∴SC ＝SO ＋OC ＝2R ＋53R ＝113R ，又∵SC ＝11，∴113R ＝11，∴R ＝3.即内切球的半径为3.20.(本小题满分12分)如图14，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，AB ＝BC ，AD 是BC 边上的高，AE 是⊙O 的直径.图14(1)求证：AC ·BC ＝AD ·AE ；(2)过点C 作⊙O 的切线交BA 的延长线于点F ，若AF ＝4，CF ＝6，求AC 的长. 【解】 (1)证明：连接BE ，则△ABE 为直角三角形. ∵∠ABE ＝∠ADC ＝90°， ∠AEB ＝∠ACB ，∴△ABE ∽△ADC . 则AB AD ＝AE AC， 即AB ·AC ＝AD ·AE . 又AB ＝BC ， ∴AC ·BC ＝AD ·AE . (2)∵FC 是⊙O 的切线， ∴FC 2＝AF ·BF . 又AF ＝4，FC ＝6， ∴BF ＝9，AB ＝BF －AF ＝5.∵∠ACF ＝∠FBC ，又∠CFB ＝∠AFC ， ∴△AFC ∽△CFB . 则AF CF ＝AC BC， 即AC ＝AF ·BC CF ＝103. 21. (本小题满分12分)(辽宁高考)如图15，EP 交圆于E ，C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG ＝PD ，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F .【导学号：96990058】图15(1)求证：AB为圆的直径；(2)若AC＝BD，求证：AB＝ED.【证明】(1)因为PD＝PG，所以∠PDG＝∠PGD.由于PD为切线，故∠PDA＝∠DBA.又由于∠PGD＝∠EGA，故∠DBA＝∠EGA，所以∠DBA＋∠BAD＝∠EGA＋∠BAD，从而∠BDA＝∠PFA.由于AF⊥EP，所以∠PFA＝90°，于是∠BDA＝90°，故AB是直径.(2)连接BC，DC.由于AB是直径，故∠BDA＝∠ACB＝90°.在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB＝BA，AC＝BD，从而Rt△BDA≌Rt△ACB.于是∠DAB＝∠CBA.又因为∠DCB＝∠DAB，所以∠DCB＝∠CBA，故DC∥AB.由于AB⊥EP，所以DC⊥EP，∠DCE为直角.于是ED为直径.由(1)得ED＝AB.22.(本小题满分12分)如图16所示，AB是⊙O的直径，点C在⊙O的半径AO上运动，PC⊥AB交⊙O于E，PT切⊙O于T，PC＝2.5.图16(1)当CE正好是⊙O的半径时，PT＝2，求⊙O的半径；(2)设PT2＝y，AC＝x，求出y与x之间的函数关系式；(3)△PTC能不能变为以PC为斜边的等腰直角三角形？若能，请求出△PTC的面积；若不能，请说明理由.【解】(1)如图所示，当点C与点O重合后，即CE恰好为⊙O的半径，此时PO＝PC＝2.5，延长PO交⊙O于F，不妨设该圆的半径为r，则PE＝PO－r＝2.5－r，PF＝PO＋r＝2.5＋r，根据切割线定理，可得PT2＝PE·PF，即22＝(2.5＋r)(2.5－r)，解得r＝1.5.所以⊙O的半径为1.5.(2)如图所示，分别连接OP，OT，在Rt△PCO中，PO2＝OC2＋PC2，∵AC＝x，OC＝r－AC＝1.5－x，PC＝2.5，∴PO2＝(1.5－x)2＋2.52，同理在Rt△POT中，PT2＝PO2－r2，即y＝(1.5－x)2＋2.52－1.52，化简得y＝x2－3x＋6.25(0≤x≤1.5).(3)△PTC不可能变为以PC为斜边的等腰直角三角形.理由如下：当PT⊥CT时，由于PT切⊙O于T，∴CT过圆心，即CT就是⊙O的半径，由(1)知，CT＝1.5，PT＝2，即PT≠CT，故△PTC不可能变成以PC为斜边的等腰直角三角形.。

高中数学学习材料唐玲出品章末综合测评(一)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.将曲线y ＝sin 2x 按照伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 后得到的曲线方程为( )A.y ＝3sin xB.y ＝3sin 2xC.y ＝3sin 12xD.y ＝13sin 2x【解析】 由伸缩变换，得x ＝x ′2，y ＝y ′3. 代入y ＝sin 2x ，有y ′3＝sin x ′，即y ′＝3sin x ′. ∴变换后的曲线方程为y ＝3sin x . 【答案】 A2.极坐标方程sin θ＝12(ρ∈R ，ρ≥0)表示的曲线是( ) A.两条相交直线 B.两条射线 C.一条直线D.一条射线【解析】 ∵sin θ＝12，所以θ＝π6(ρ≥0)和θ＝56π(ρ≥0)，故其表示两条射线. 【答案】 B3.极坐标方程ρ＝cos θ化为直角坐标方程为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋y 2＝14B.x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＝14C.x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝14D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14 【解析】 由ρ＝cos θ，得ρ2＝ρcos θ，所以x 2＋y 2＝x ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14.故选D.【答案】 D4.点A 的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，34π，34π，则它的直角坐标为( )【导学号：12990019】A.(－1,1，－2)B.(－1,1，2)C.(－1，－1，2)D.(1,1，－2)【解析】 x ＝r sin φcos θ＝2sin 34πcos 34π＝－1， y ＝r sin φsin θ＝2sin 34πsin 34π＝1， z ＝r cos φ＝2cos 34π＝－ 2.所以直角坐标为(－1,1，－2)，故选A. 【答案】 A5.与点A (－1,0)和点B (1,0)连线的斜率之和为－1的动点P 的轨迹方程是( )A.x 2＋y 2＝3B.x 2＋2xy ＝1(x ≠±1)C.y ＝1－x 2D.x 2＋y 2＝9(x ≠0)【解析】 设P (x ，y )，则k P A ＝y x ＋1(x ≠－1)，k PB ＝y x －1(x ≠1). 又k P A ＋k PB ＝－1，即y x ＋1＋y x －1＝－1，得 x 2＋2xy ＝1(x ≠±1)，故选B. 【答案】 B6.如图1，已知点P 的极坐标是(1，π)，则过点P 且垂直极轴的直线的极坐标方程是( )图1A.ρ＝1B.ρ＝cos θC.ρ＝－1cos θD.ρ＝1cos θ【解析】 由题图可知ρcos(π－θ)＝1， 即ρ＝－1cos θ，故选C. 【答案】 C7.圆ρ＝4cos θ的圆心到直线tan θ＝1的距离为( ) A.22 B. 2 C.2D.2 2【解析】 圆ρ＝4cos θ的圆心C (2,0)，如图，|OC |＝2， 在Rt △COD 中， ∠ODC ＝π2，∠COD ＝π4， ∴|CD |＝ 2.即圆ρ＝4cos θ的圆心到直线tan θ＝1的距离为 2. 【答案】 B8.点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，7π6关于直线θ＝π4(ρ∈R )的对称点的极坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，4π3 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2π3 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－7π6 【解析】 点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，7π6的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 7π6，sin 7π6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12，直线θ＝π4(ρ∈R )，即直线y ＝x ，点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12关于直线y ＝x 的对称点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32，再化为极坐标，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1，4π3. 【答案】 A9.极坐标方程ρcos θ＝2sin 2θ表示的曲线为( ) A.一条射线和一个圆 B.两条直线C.一条直线和一个圆D.一个圆【解析】 方程ρcos θ＝2sin 2θ可化为ρcos θ＝4sin θcos θ，即cos θ＝0或ρ＝4sin θ，方程cos θ＝0即θ＝k π＋π2，表示y 轴，方程ρ＝4sin θ即x 2＋y 2＝4y ，表示圆，故选C.【答案】 C10.圆ρ＝r 与圆ρ＝－2r sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4(r ＞0)的公共弦所在直线的方程为( )A.2ρ(sin θ＋cos θ)＝rB.2ρ(sin θ＋cos θ)＝－rC.2ρ(sin θ＋cos θ)＝rD.2ρ(sin θ＋cos θ)＝－r【解析】 圆ρ＝r 的直角坐标方程为 x 2＋y 2＝r 2，① 圆ρ＝－2r sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－2r ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θcos π4＋cos θsin π4＝－2r (sin θ＋cos θ).两边同乘以ρ得ρ2＝－2r (ρsin θ＋ρcos θ).∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2， ∴x 2＋y 2＋2rx ＋2ry ＝0.②①－②整理得2(x ＋y )＝－r ，即为两圆公共弦所在直线的普通方程.再将直线2(x ＋y )＝－r 化为极坐标方程为2ρ(cos θ＋sin θ)＝－r .【答案】 D11.圆ρ＝2a sin θ关于极轴对称的圆的方程为( ) A.ρ＝2a cos θ B.ρ＝－2a cos θ C.ρ＝－2a sin θD.ρ＝2a sin θ【解析】 法一：根据对称规律，把⎩⎨⎧θ′＝－θ，ρ′＝ρ代入原方程，可得原方程表示的曲线关于极轴对称的曲线方程.∴ρ＝2a sin θ关于极轴对称的曲线方程为ρ′＝2a sin (－θ)，即ρ＝－2a sin θ. 法二：因为圆ρ＝2a sin θ的圆心是⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，π2，半径为a ，该圆关于极轴对称的圆的圆心应为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，3π2，半径仍为a ，其方程应为：ρ＝2a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－3π2，即ρ＝－2a sin θ. 【答案】 C12.直线θ＝α和直线ρsin (θ－α)＝1的位置关系是( ) A.垂直 B.平行 C.相交但不垂直D.重合【解析】 直线θ＝α化为直角坐标方程为y ＝x tan α，ρsin (θ－α)＝1化为ρsin θcos α－ρcos θsin α＝1，即y ＝x tan α＋1cos α.所以两直线平行. 【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中横线上) 13.点M 的直角坐标为(－1，3，2)，那么它的柱坐标为________.【解析】 设柱坐标为(r ，θ，z )，则r ＝(－1)2＋(3)2＝2，又tan θ＝－3，∴θ＝2π3，故柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3，2.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3，2 14.在极坐标系中，点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6到直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1的距离是________.【解析】 点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6化为直角坐标为(3，1)，直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1化为ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin θ－12cos θ＝1，32y －12x ＝1，12x －32y ＋1＝0，点(3，1)到直线12x －32y ＋1＝0的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪12×3－32×1＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝1.【答案】 115.已知点M 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，2π3，2π3，则点M 的直角坐标为________，球坐标为________.【解析】 设点M 的直角坐标为(x ，y ，z )，柱坐标为(r ，θ，z )，球坐标为(r ，φ，θ)，由⎩⎨⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ，z ＝z得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2π3cos 2π3＝－π3，y ＝2π3sin 2π3＝33π，z ＝2π3.由⎩⎪⎨⎪⎧r ＝x 2＋y 2＋z 2，cos φ＝z r ，得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝22π3，cos φ＝22，即⎩⎪⎨⎪⎧r ＝22π3，φ＝π4.所以点M 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，3π3，2π3，球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22π3，π4，2π3.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，33π，23π ⎝ ⎛⎭⎪⎫223π，π4，23π 16.已知极坐标系中，极点为O ，将点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6绕极点逆时针旋转π4得到点B ，且|OA |＝|OB |，则点B 的直角坐标为________.【导学号：12990020】【解析】 依题意，点B 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，5π12，∵cos 5π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π6＝cos π4cos π6－sin π4sin π6＝22·32－22·12＝6－24， sin 5π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π6＝sin π4cos π6＋cos π4sin π6＝22·32＋22·12＝6＋24， ∴x ＝ρcos θ＝4×6－24＝6－2， ∴y ＝ρsin θ＝4×6＋24＝6＋2，∴点B 的直角坐标为(6－2，6＋2). 【答案】 (6－2，6＋2)三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)如图2建立球坐标系，正四面体ABCD 的棱长为1，求A ，B ，C ，D 的球坐标(其中O 是△BCD 的中心).图2【解】 ∵O 是△BCD 的中心，∴OC ＝OD ＝OB ＝33，AO ＝63，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫63，0，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫33，π2，4π3，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫33，π2，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫33，π2，2π3.18.(本小题满分12分)在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝2y后，曲线C 变为曲线(x ′－5)2＋(y ′＋6)2＝1，求曲线C 的方程，并判断其形状.【解】 将⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝2y 代入(x ′－5)2＋(y ′＋6)2＝1，得(2x －5)2＋(2y ＋6)2＝1， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋(y ＋3)2＝14， 故曲线C 是以⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－3为圆心，半径为12的圆.19.(本小题满分12分)已知⊙C ：ρ＝cos θ＋sin θ， 直线l ：ρ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4.求⊙C 上点到直线l 距离的最小值.【解】 ⊙C 的直角坐标方程是x 2＋y 2－x －y ＝0， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝12. 又直线l 的极坐标方程为ρ(cos θ－sin θ)＝4， 所以直线l 的直角坐标方程为x －y －4＝0.设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋22cos θ，12＋22sin θ为⊙C 上任意一点，M 点到直线l 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＋22cos θ－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋22sin θ－42＝4－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π42，当θ＝7π4时，d min ＝32＝322.20.(本小题满分12分)如图3，花坛水池中央有一喷泉，水管O ′P ＝1 m ，水从喷头P 喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2 m ，P 距抛物线的对称轴1 m ，则水池的直径至少应设计为多少米(精确到整数位)?图3【解】 如图建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0).依题意，有P (－1，－1)，∴p ＝12，故抛物线的方程为 x 2＝－y .设B (x ，－2)，则x ＝2，∴|O ′B |＝1＋ 2. 所以水池的直径为2(1＋2)≈5(m). 即水池的直径至少应设计为5 m.21.(本小题满分12分)(1)在极坐标系中，求以点(1,1)为圆心，半径为1的圆C 的方程；(2)将上述圆C 绕极点逆时针旋转π2得到圆D ，求圆D 的方程. 【解】 (1)设M (ρ，θ)为圆上任意一点，如图，圆C 过极点O ，∠COM ＝θ－1，作CK ⊥OM 于K ， 则|OM |＝2|OK |＝2cos(θ－1)， 故圆C 的极坐标为ρ＝2cos(θ－1).(2)将圆C ：ρ＝2cos(θ－1)按逆时针旋转π2得到圆D ：ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－1－π2，即ρ＝－2sin(1－θ)，故ρ＝2sin(θ－1)为所求.22.(本小题满分12分)在极坐标系中，极点为O ，已知曲线C 1：ρ＝2与曲线C 2：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2交于不同的两点A ，B .(1)求|AB |的值；(2)求过点C (1,0)且与直线AB 平行的直线l 的极坐标方程. 【解】 (1)法一：∵ρ＝2，∴x 2＋y 2＝4. 又∵ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，∴y ＝x ＋2. ∴|AB |＝2r 2－d 2＝24－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝2 2. 法二：设A (ρ，θ1)，B (ρ，θ2)，θ1，θ2∈[0,2π)， 则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ1－π4＝22，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2－π4＝22.∵θ1，θ2∈[0,2π)，∴|θ1－θ2|＝π2，即∠AOB ＝π2， 又|OA |＝|OB |＝2， ∴|AB |＝2 2.(2)法一：∵曲线C 2的斜率为1，∴过点(1,0)且与曲线C 2平行的直线l 的直角坐标方程为y ＝x －1，∴直线l 的极坐标为ρsin θ＝ρcos θ－1， 即ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22.法二：设点P (ρ，θ)为直线l 上任一点，因为直线AB 与极轴成π4的角， 则∠PCO ＝3π4或∠PCO ＝π4， 当∠PCO ＝3π4时，在△POC 中，|OP |＝ρ，|OC |＝1，∠POC ＝θ，∠PCO ＝3π4，∠OPC ＝π4－θ， 由正弦定理可知：1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝ρsin 34π， 即ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝22，即直线l 的极坐标方程为：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝22.精心制作仅供参考唐玲出品 同理，当∠PCO ＝π4时，极坐标方程也为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝22. 当P 为点C 时显然满足ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝22. 综上，所求直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝22.。

第一章检测（时间:120分钟 满分:150分）一、选择题（本大题共12小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的）1.已知原点与极点重合,x 轴正半轴与极轴重合，则点（-5,5 ）的极坐标是（）.A.i 2TT10-T、fC.D.解析:利用转化公式，代入求值即可.设点（-5,-5 ）的极坐标为（p, 9,则 tan 9=,x< 0,4TT所以最小正角 9 3 答案:B3若点P 的直角坐标为（4,4,4 ）,则它的球坐标为（）.i T17T; A./ 4TTB./ 2TT TT \1，则它的直角坐标为4' 2.已知点P 的柱坐标为 (,1,1) C.(匸=1)D.(1,0,1)解析:设点P 的直角坐标为(x,y,z).7T贝U 有 x=r cos 9= ■ cos ： = 1,7T… . 4 ..y=r sin 匸 sin =1,z= 1. 所以点P 的直角坐标为(1,1,1).答案:B( ).A. B.(1,1,1) 3TTTT .8B.I 3K 3TT8D.i TT 3mI8C.解析:设点P的球坐标为（r, ^, 9）,则r=」1 :' =8,tan L y 4=1.7.已知点P 的极坐标为（i,n ,则过点P 且垂直于极轴所在直线的直线方程是（ ）.TI又 O W0<2 n x>0,所以 9=.£因为 4 =8cos 0,所以cos 护71因为0W （K ,7所以护；.i 吓|8.——1所以点P 的球坐标为 答案:A3TT4.极坐标方程0= 1 ( p> 0的直角坐标方程是( ).A. y=xB. y=_xC. y=-x (x w 0)D. y=x(x > 0)解析：tan 0=- 1,所以 y=_x(x w 0) 答案:C 5.极坐标方程 p=cos B 与 p os 0=的图形是（）. 解析:把pcos 带化为直角坐标方程，得x=.解析:将圆的方程化为 p =2cos 的形式，可得圆心的极坐标为答案:A又圆尸cos 0的圆心坐标为 答案:B伍一6.圆p= ■ （cos 9+sin 0）的圆心的极坐标是（ ）.AA.C.,半径为*，故选项 B 正确. B.'D.AD2(F 丄解析：由点P 的坐标可知，过点P 且垂直于极轴所在直线的直线的直角坐标方程为 x=-1,化为极坐标方程为pcos 0=-1,故选C. 答案:C28. 极坐标方程p cos 2 0-2 p cos 0= 1表示的曲线是（ ）.解析：由方程 p cos 2 0-2 p cos 0= 1,得2 2 2p （cos 0-sin 0）-2 pcos 0= 1.\x = pcose. 2 2由可得 X 2-y 2-2x=1.即（x-1）2-y 2=2,此方程表示以（1,0）为中心，以 F 1（-1,0）,F 2（3,0）为焦点的等轴双曲线. 答案:D 9.将极坐标方程p =cos 0-2sin 0化为直角坐标方程为 （ ）.2 2 A. x +y -x+ 2y= 0 2 2 B. x +y +x-2y= 0 2 2 C. x +y -2x+y= 0 2 2D. x +y + 2x-y= 0解析：因为 p =cos 0-2sin 0,所以 p = pcos 02 p in 0,所以 x 2+y 2=x- 2y,所以 x 2+y 2-x+ 2y= 0. 答案:A10. 圆C:尸4cos 0的圆心到直线 tan 0=1的距离为（）.A.B. C.2 D.2解析：圆C:p=4cos 0的圆心为C （2,0）,如图所示,|OC|= 2,7T7T在 Rt △ COD 中，/ODC= ',/COD=；,则|CD|= •,即圆 尸4cos 0的圆心到直线tan 0=1的距离为-A. p = 1B.尸cos 0C.尸D. p='：'^" A.圆 B.椭圆 C.抛物线 D.双曲线11.在极坐标系中，点"到圆尸-2cos 0的圆心的距离为）.A.27.已知点P的极坐标为（i,n,则过点P且垂直于极轴所在直线的直线方程是（）.答案:BC Jk-3 ■解析:在直角坐标系中，点■'的坐标即（1,-.），圆p=-2cos B的方程为x2+y2=-2x,即（x+1）2+y2=1,圆£三心坐标是（-1,0）,所以点；到圆P=-2cos B的圆心的距离为-- ！i:-，故选D.答案:D12. 从极点作圆p= 2asin曲勺弦,则各条弦中点的轨迹方程为（）.A. p=2asin 6（ pM 0）B. p=asin 2 6（pM 0）C. 尸asin 6 pM 0）D. （5=2asin 2 6（pM 0）解析：设任意一条弦的中点的极坐标为（p, 6）,则点（2 p 6在圆p'=2asin 6'上,所以2 p=2asin 6即p=asin 6 PM Q）答案:C二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上）13. 极坐标方程分别为尸2cos 6和p=sin 6的两个圆的圆心距为____________ .解析：由尸2cos 6,得p= 2 pcos 6,化为直角坐标方程为（x-1）2+y2= 1.1/ 1由p=sin 6,得p= psin 6,化为直角坐标方程为x2+所以两个圆的圆心分别为（1,0）和故d=\14. 已知曲线C1,C2的极坐标方程分别为pcos 6=3, p=4cos 6 ,则曲线6与C2交点的极坐标为_____________ .解析：由得4cos26= 3.1所以2(1 +cos 2 6)= 3,cos 2 6=.7T又0W20< n所以仝,所以p=2逗,TT故曲线C i与C2的交点的极坐标为7T15. 在极坐标系中，圆p= 8sin B上的点到直线9= ' ( p€ R)距离的最大值是解析：圆p=8sin 9化为直角坐标方程为x1 2 3 4+y2=8y,即x2+(y-4)2= 16.故其圆心为(0,4),半径r=4.IT TT l———寸3直线9= ( p€ R)化为直角坐标方程为y=xtan' x.|箱x 0 - 4|故圆心到直线x的距离d= 「=2.所以圆上的点到直线y=・x距离的最大值为d+r= 6.答案：6116. 若曲线的极坐标方程为______________________________ p=ta n 9门巧"，则该曲线的直角坐标方程为1 sinO解析：由尸tan 9-得pcos29 sin 9,所以p cos29= p in 9化为直角坐标方程为x2=y.答案:x2=y三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17. (10分)在极坐标系中，已知圆p=2cos 9与直线3 p cos 9+4 psin 9+a= 0相切,求实数a的值.解将极坐标方程化为直角坐标方程，得圆的方程为x2+y2=2x, 即(x-1)2+y 2= 1,直线的方程为3x+4y+a= 0. 由题设知，圆心(1,0)到直线的距离为1,即有|3 X 1 + 4x0 十闵用+2 =1,解得a=2或a=- 8.故a的值为-8或2.2 218.(12分)在下列平面直角坐标系中，分别作出x +y =49的图形：2 x轴与y轴具有相同的单位长度；3 x轴上的单位长度为y轴上单位长度的2倍；4 x轴上的单位长度为y轴上单位长度的.解⑴建立平面直角坐标系，使x轴与y轴具有相同的单位长度，则x2+y2=49的图形如图所示.11，x 轴上的单位长度缩小为原来的 「，那么x 2+y 2=49的图形如 佃.(12分)已知圆C 的极坐标方程为 解以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点 0,以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy.化简，得 p +2 p in 92 pcos 9-4=0.则圆C 的直角坐标方程为 x 2+y 2-2x+2y-4=0, 即(X-1)2+(y+1)2=6, 所以圆C 的半径为.20. (12分)在极坐标系中，曲线L: p in 29= 2cos Q 过点A(5, a) 的直线I ，且I 与曲线L分别交于B ，C 两点.⑵如果x 轴上的单位长度保持不变 图所示.，y 轴上的单位长度缩小为原来的 「，那么x 2+y 2=49的图形如1 7厂--7\^O^)1 X⑶如果y 轴上的单位长度保持不变图所示.圆C 的极坐标方程为 p +2-4=0，7T作平行于94(p€ R )1(1)以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，取与极坐标相同的单位长度，建立平面直角坐标系，写出曲线L 和直线I的直角坐标方程；⑵求|BC|的长.解⑴由题意得点A的直角坐标为(4,3)，曲线L的直角坐标方程为y2=2x，直线I 的直角坐标方程为 y=x-1. ⑵设 B(x i ,y i ),C(X 2,y 2),(y = 2x h ① \y = x-l.②联立把②式代入①式并整理，得 X 2-4X +仁0. 由根与系数的关系，得X i +x 2=4,X 1X 2=1 . 由弦长公式得|BC|=「』|X 1-X 2|=2・’._4) =21.(12分)在极坐标系中，极点为0,已知曲线C 1: p=2与曲线C 2: p i n ， 交于不同的两点 A,B.(1) 求|AB|的长度;(2) 求过点C(1,0)且与直线AB 平行的直线I 的极坐标方程. 解(1)方法一：2 2 “-P 2, • • X +y =4.又 p sin,• y=x+ 2,方法二：设 A(p , ®),B(p,e 2),T d],伍€ [0,2 n ,7T7T•I d -dF ',即/ AOB='.又 |OA|=|OB|= 2,• |AB|=2.⑵T •曲线C 2的斜率为1,•过点(1,0)且与曲线C 2平行的直线I 的直角坐标方程为 y=x-1.•直线I 的极坐标方程为p sin 0= p cos 0-1,22.(12分)在极坐标系中，曲线C ：p=2acos 0(a>O),l: pcos,C 与I有且仅有一个公共点2• |AB|= 2 '其中 q ,$€ [0,2 n1£2(1)求a;⑵0为极点，A,B为C上的两点，且/ AOB=〔求|OA|+|OB|的最大值.解⑴曲线C的直角坐标方程为(x-a)2+y2=a2,故曲线C是以(a,0)为圆心，以a为半径的圆；1的直角坐标方程为x+• y-3= 0.由直线I与圆C相切可得'=a，解得a= 1.7T(2)不妨设A的极角为0,B的极角为肝〔(D +号则|OA|+|OB|= 2cos 肝2cos= 3cos I、sin(=2左、cos ,7T当启“时,|OA|+|OB|取得最大值2.。