最新人教版高中数学选修4-4模块综合测评4

模块综合测评(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．极坐标方程cos θ＝32(ρ∈R )表示的曲线是( ) A ．两条相交直线 B ．两条射线 C ．一条直线D ．一条射线【解析】 由cos θ＝32，解得θ＝π6或θ＝116π， 又ρ∈R ，故为两条过极点的直线． 【答案】 A2．极坐标系中，过点P (1，π)且倾斜角为π4的直线方程为( ) A ．ρ＝sin θ＋cos θ B ．ρ＝sin θ－cos θ C ．ρ＝1sin θ＋cos θD ．ρ＝1sin θ－cos θ【解析】 设M (ρ，θ) 为直线上任意一点，则 在△OPM 中，由正弦定理得ρsin π4＝1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4， ∴ρ＝1sin θ－cos θ.【答案】 D3．已知参数方程⎩⎨⎧x ＝at ＋λcos θy ＝bt ＋λsin θ(a 、b 、λ均不为零，0≤θ≤2π)，分别取①t 为参数；②λ为参数；③θ为参数，则下列结论中成立的是( )A ．①、②、③均是直线B ．只有②是直线C ．①、②是直线，③是圆D ．②是直线，①③是圆【解析】 ①t 为参数，原方程可化为：y －λsin θ＝ba (x －λcos θ)，②λ为参数，原方程可化为：y －bt ＝(x －at )·tan θ，③θ为参数，原方程可化为： (x －at )2＋(y －bt )2＝λ2，即①、②是直线，③是圆． 【答案】 C4．将曲线x 23＋y 22＝1按φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13x ，y ′＝12y 变换后的曲线的参数方程为( )A.⎩⎨⎧x ＝3cos θy ＝2sin θ B.⎩⎨⎧x ＝3cos θy ＝2sin θ C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13cos θy ＝12sin θD.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝33cos θy ＝22sin θ【解析】 x 23＋y 22＝1→(3x ′)23＋(2y ′)22＝1→(3x ′)2＋(2y ′)2＝1→⎩⎨⎧3x ′＝cos θ，2y ′＝sin θ→⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝33cos θ，y ′＝22sin θ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝33cos θ，y ＝22sin θ，故选D.【答案】 D5．化极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0为直角坐标方程为( ) A ．x 2＋y 2＝0或y ＝1 B ．x ＝1 C ．x 2＋y 2＝0或x ＝1D ．y ＝1【解析】 由ρ2cos θ－ρ＝0，得ρ(ρcos θ－1)＝0， 又ρ＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ， ∴x 2＋y 2＝0或x ＝1. 【答案】 C6．柱坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，1对应的点的直角坐标是( )A ．(3，－1,1)B ．(3，1,1)C ．(1，3，1)D ．(－1，3，1)【解析】由直角坐标与柱坐标之间的变换公式⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θz ＝z，可得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝3，z ＝1，故应选C.【答案】 C7．直线l ：3x ＋4y －12＝0与圆C ：⎩⎨⎧x ＝－1＋2cos θy ＝2＋2sin θ(θ为参数)的公共点个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无法确定【解析】 圆C 的直角坐标方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4， ∴圆心C (－1,2)，半径r ＝2. 圆心C 到直线l 的距离 d ＝|3×(－1)＋4×2－12|32＋42＝75，因此d <r ，直线与圆C 相交于两点． 【答案】 C8．双曲线⎩⎨⎧x ＝4sec θy ＝2tan θ(θ为参数)上，当θ＝2π3时对应的点为P ，O 为原点，则OP 的斜率为( )A.34B.32C. 3D ．2【解析】 ∵x ＝4sec θ＝4cos 2π3＝－8， y ＝2tan θ＝2tan 2π3＝－23， ∴k OP ＝y x ＝34. 【答案】 A9．已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝6sin θ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴正半轴，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2t －1，y ＝22t(t 为参数)，则直线l 与曲线C 相交所得弦长为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－6y ＝0，即x 2＋(y －3)2＝9，直线⎩⎨⎧x ＝2t －1，y ＝22t的直角坐标方程为x －2y ＋1＝0，∵圆心C 到直线l 的距离 d ＝|0－2×3＋1|12＋(－2)2＝5，∴直线l 与圆C 相交所得弦长为 2r 2－d 2＝29－5＝4. 【答案】 D10．直线⎩⎨⎧x ＝－2－4t ，y ＝1＋3t (t 为参数)与圆ρ＝2cos θ的位置关系为( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．无法确定【解析】 直线⎩⎨⎧x ＝－2－4t ，y ＝1＋3t (t 为参数)的普通方程为3x ＋4y ＋2＝0，圆ρ＝2cos θ的普通方程为x 2＋y 2－2x ＝0，即(x －1)2＋y 2＝1，圆心到直线3x ＋4y ＋2＝0的距离d ＝1＝r ，所以直线与圆的位置关系为相切．故选B.【答案】 B11．已知曲线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2α2，y ＝12sin α(α为参数)，若以此曲线所在的直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线的极坐标方程为( )A ．ρ＝sin θB ．ρ＝2sin θC ．ρ＝2cos θD ．ρ＝cos θ【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2α2＝12＋12cos α，y ＝12sin α(α为参数)得普通方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，故圆心为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，半径r ＝12，所以极坐标方程为ρ＝cos θ. 【答案】 D12．若动点(x ，y )在曲线x 24＋y 2b 2＝1(b >0)上变化，则x 2＋2y 的最大值为( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧ b 24＋4 (0<b ≤4)2b (b >4) B.⎩⎪⎨⎪⎧b 24＋4 (0<b <2)2b (b ≥2)C.b 24＋4 D ．2b【解析】 设动点的坐标为(2cos θ，b sin θ)， 代入x 2＋2y ＝4cos 2θ＋2b sin θ ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin θ－b 22＋4＋b 24，当0<b ≤4时，(x 2＋2y )max ＝b 24＋4；当b >4时，(x 2＋2y )max ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2－b 22＋4＋b 24＝2b .【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知射线θ＝π4与曲线⎩⎨⎧x ＝t ＋1，y ＝(t －1)2(t 为参数)相交于A ，B 两点，则线段AB 的中点的直角坐标为________．【解析】 射线θ＝π4的普通方程为y ＝x (x ≥0)，代入⎩⎨⎧x ＝t ＋1，y ＝(t －1)2，得t 2－3t ＝0，解得t＝0或t ＝3.当t ＝0时，x ＝1，y ＝1，即A (1,1)； 当t ＝3时，x ＝4，y ＝4，即B (4,4)． 所以AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，52.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，5214．极坐标系中，曲线ρ＝－4cos θ上的点到直线ρ()cos θ＋3sin θ＝8的距离的最大值是________．【解析】 曲线方程化为：ρ2＝－4ρcos θ，即x 2＋y 2＋4x ＝0，化为：(x ＋2)2＋y 2＝4，圆心坐标为(－2,0)，半径为r ＝2，直线方程化为：x ＋3y －8＝0，圆心到直线的距离为：d ＝|－2－8|2＝5，所以最大距离为：5＋2＝7.【答案】 715．直线⎩⎨⎧ x ＝2＋t y ＝－1－t (t 为参数)与曲线⎩⎨⎧x ＝3cos αy ＝3sin α(α为参数)的交点个数为________．【解析】 直线与曲线的普通方程分别为 x ＋y －1＝0， ① x 2＋y 2＝9, ②②表示圆心为O (0,0)，半径为3的圆， 设O 到直线的距离为d ，则d ＝|－1|2＝22， ∵22<3，∴直线与圆有2个交点． 【答案】 216．已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)，C 在点(1,1)处的切线为l .以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为________．【解析】 由sin 2t ＋cos 2t ＝1得曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＝2，过原点O 及切点(1,1)的直线的斜率为1，故切线l 的斜率为－1，所以切线l 的方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.把x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入直线l 的方程可得ρcos θ＋ρsin θ－2＝0，即2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－2＝0，化简得ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝ 2.【答案】 ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝ 2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆⎩⎨⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)的右焦点，且与直线⎩⎨⎧x ＝4－2t ，y ＝3－t(t 为参数)平行的直线的普通方程．【解】 由题设知，椭圆的长半轴长a ＝5，短半轴长b ＝3，从而c ＝a 2－b 2＝4，所以右焦点为(4,0)．将已知直线的参数方程化为普通方程x －2y ＋2＝0.故所求直线的斜率为12，因此其方程为y ＝12(x －4)，即x －2y －4＝0.18．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中， 以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a ，且点A 在直线l 上．(1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程；(2)圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系．【解】 (1)由点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4在直线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a 上，可得a ＝2，所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2， 从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.(2)由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1， 所以圆C 的圆心为(1,0)，半径r ＝1. 因为圆心C 到直线l 的距离d ＝12＝22＜1， 所以直线l 与圆C 相交．19．(本小题满分12分)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．【解】 (1)将⎩⎨⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t 消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0，所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由⎩⎨⎧x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2. 20．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4. (1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程．【解】 (1)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2，圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ. 解⎩⎨⎧ρ＝2，ρ＝4cos θ，得ρ＝2，θ＝±π3.故圆C 1与圆C 2交点的坐标为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3或⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3. 注：极坐标系下点的表示不惟一．(2)法一 将x ＝1代入⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得ρcos θ＝1，从而ρ＝1cos θ.于是圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝tan θ，⎝⎛⎭⎪⎫－π3≤θ≤π3. 法二 由⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得圆C 1与圆C 2交点的直角坐标分别为(1，－3)或(1，3)．故圆C 1与C 2公共弦的参数方程为 ⎩⎨⎧x ＝1，y ＝t ，(－3≤t ≤3)． 21．(本小题满分12分)在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，已知曲线C ：ρsin 2θ＝2a cos θ(a >0)，已知过点P (－2，－4)的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t y ＝－4＋22t (t 为参数)，直线l 与曲线C 分别交于M ，N 两点．(1)写出曲线C 和直线l 的普通方程；(2)若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，求a 的值． 【解】 (1)曲线C ：y 2＝2ax ，直线l ：x －y －2＝0. (2)将直线的参数表达式代入抛物线得 12t 2－(42＋2a )t ＋16＋4a ＝0， 所以t 1＋t 2＝82＋22a ，t 1t 2＝32＋8a . 因为|PM |＝|t 1|，|PN |＝|t 2|，|MN |＝|t 1－t 2|， 由题意知，|t 1－t 2|2＝|t 1t 2|⇒(t 1＋t 2)2＝5t 1t 2， 代入得a ＝1.22．(本小题满分12分)如图1，已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过F 的直线交抛物线于A ，B 两点．图1(1)求证：1|F A |＋1|FB |为定值； (2)求AB 的中点M 的轨迹方程．【解】 设直线AB 的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝p 2＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，α≠0)，代入y 2＝2px 整理，得t 2sin 2α－2pt cos α－p 2＝0.设A 、B 两点对应的参数分别为t 1、t 2， 则由根与系数的关系，得 t 1＋t 2＝2p cos αsin 2α，t 1t 2＝－p 2sin 2α. (1)1|F A |＋1|FB |＝1|t 1|＋1|t 2|＝|t 1|＋|t 2||t 1t 2|＝|t 1－t 2||t 1t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2|t 1t 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2p cos αsin 2α2＋4p 2sin 2α⎪⎪⎪⎪⎪⎪－p 2sin 2α＝2p (定值)． (2)设AB 的中点M (x ，y )，则M 对应的参数为t ＝t 1＋t 22＝p cos αsin 2α， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝p 2＋p cos 2αsin 2α，y ＝p cos αsin α(α为参数)，消去α，得y 2＝p ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2为所求的轨迹方程．。

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综合质量评估第一、二讲(分钟分)一、选择题(本大题共小题,每小题分,共分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的).极坐标方程ρρ表示曲线的中心在( ).第一象限.第二象限.第三象限.第四象限【解析】选.极坐标方程ρρ,即ρρθρθ,化为直角坐标方程为,标准方程为()(),圆心坐标为(),在第四象限..(·北京高二检测)极坐标方程ρθ化为直角坐标方程是( ).() ()【解析】选.极坐标方程ρθ即ρρθ,所以化为直角坐标方程是,即()..(·淮南高二检测)在极坐标系中,曲线ρθ围成的图形面积为( ) .ππ【解析】选.由ρθ得ρρθ,直角坐标方程为,所以(),所以ππ.【补偿训练】已知直线将曲线(θ为参数)平分,则曲线围成图形的面积为( )ππππ【解析】选.直线的普通方程为,曲线(θ为参数)的普通方程为()(),所以圆的圆心的坐标为(),依题意,得,即,所以圆的面积为π..与普通方程等价的参数方程为( )....【解析】选.所谓与方程等价,是指将参数方程化为普通方程时,形式一致,且的变化范围对应相同,按照这一标准逐一验证.选项化为普通方程为∈∈.选项化为普通方程为∈.选项化为普通方程为∈∈.选项化为普通方程为∈∈(∞]..极坐标方程ρθ与参数方程(为参数)所表示的图形分别是( ).直线、直线.直线、圆.圆、直线.圆、圆【解析】选.由ρθ得ρρθ,即,即,对应图形为圆.将参数方程消去参数,得,所以对应图形为直线.。

模块综合试卷(时间：90分钟 满分：120分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 1．极坐标方程ρ＝－4cos θ化为直角坐标方程是( ) A ．x －4＝0B ．x ＋4＝0C ．(x ＋2)2＋y 2＝4D ．x 2＋(y ＋2)2＝4 答案 C2．在极坐标系中，曲线ρ＝4sin θ围成的图形面积为( ) A ．πB．4C ．4πD．16 答案 C3．设点P 的直角坐标为(－3,3)，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系(0≤θ<2π)，则点P 的极坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫32，3π4 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，5π4C.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，5π4D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，3π4 答案 A解析 由已知得ρ＝(－3)2＋32＝32，tan θ＝3－3＝－1，又点P 在第二象限，∴θ＝3π4，∴点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫32，3π4.4．已知抛物线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t 2，y ＝8t(t 为参数)，圆C 2的极坐标方程为ρ＝r (r >0)，若斜率为1的直线过抛物线C 1的焦点，且与圆C 2相切，则r 等于( ) A ．1B.22C.2D ．2 答案 C解析 抛物线C 1的普通方程为y 2＝8x ，焦点为(2,0)，故直线方程为y ＝x －2，即x －y －2＝0，圆的直角坐标方程为x 2＋y 2＝r 2，由题意|－2|12＋(－1)2＝r ，得r ＝ 2.5．曲线x2＋y 2＝4与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋2cos θ，y ＝2＋2sin θ(θ∈[0,2π))关于直线l 对称，则l 的方程为( )A ．y ＝x －2B ．y ＝xC ．y ＝－x ＋2D ．y ＝x ＋2 答案 D解析 设圆x 2＋y 2＝4的圆心为O (0,0)，圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋2cos θ，y ＝2＋2sin θ，θ∈[0,2π)的圆心为C (－2,2)，∵⊙O 与⊙C 关于直线l 对称， ∴l 为线段OC 的垂直平分线． ∵k OC ＝－1，∴k l ＝1，∴l 的方程为y －1＝x －(－1)，即y ＝x ＋2. 6．已知曲线C的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，则曲线C 不经过第二象限的一个充分不必要条件是( ) A ．a ≥2B．a >3 C ．a ≥1D．a <0 答案 B 7．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t －1，y ＝t ＋1(t 为参数)被圆x 2＋y 2＝9截得的弦长为( )A.125B.1255 C.925 D.9105答案 B解析 直线的普通方程为x －2y ＋3＝0， 圆的圆心坐标为(0,0)，半径r ＝3， ∴圆心到直线的距离d ＝35＝355，∴所求弦长为2r 2－d 2＝1255.8．过椭圆C ：⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，|MF |＝m ，|NF |＝n ，则1m ＋1n的值为( )A.23B.43C.83D ．不能确定 答案 B解析 曲线C 为椭圆x 24＋y 23＝1，右焦点为F (1,0)，设l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos θ，y ＝t sin θ(t 为参数)代入椭圆方程，得(3＋sin 2θ)t 2＋6cos θ·t －9＝0， ∴t 1t 2＝－93＋sin 2θ，t 1＋t 2＝－6cos θ3＋sin 2θ， ∴1m ＋1n ＝1|t 1|＋1|t 2|＝|t 1－t 2||t 1t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2|t 1t 2|＝43. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 9．已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋32t ，y ＝12t(t 为参数)过定点P ，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，则|PA |·|PB |的值为________． 答案 1解析 将直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋32t ，y ＝12t (t 为参数)代入曲线C ：ρ＝2sin θ的直角坐标方程x 2＋y 2－2y ＝0，整理，得t 2－(3＋1)t ＋1＝0，设直线l 与曲线C 的交点A ，B 的对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1t 2＝1，即|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝1.10．在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若P点为直线ρcos θ－ρsin θ－4＝0上一点，点Q 为曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝14t 2(t 为参数)上一点，则|PQ |的最小值为________． 答案322解析 直线ρcos θ－ρsin θ－4＝0的直角坐标方程为x －y －4＝0，曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝14t 2(t为参数)的普通方程为y ＝14x 2，依题意，设与直线x －y －4＝0平行的直线方程为x －y ＋c ＝0，即y ＝x ＋c ，代入y ＝14x 2，得x 2－4x －4c ＝0，依题意，Δ＝16＋16c ＝0，所以c ＝－1，即直线x －y －1＝0与抛物线y ＝14x 2相切，所以平行线间的距离d ＝|－4－(－1)|2＝322.11．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t ＋1(t 为参数，且t >0)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝cos2θ＋1(θ为参数)的交点坐标是________． 答案 (1,2)解析 将参数方程化为普通方程分别为y ＝x ＋1(x >0)，y ＝2x 2.将y ＝x ＋1代入y ＝2x 2，得2x 2－x －1＝0，解得x ＝1(x ＝－12舍去)，则y ＝2，所以交点坐标是(1,2)．12．已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝2sin θ，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－35t ＋2，y ＝45t(t为参数)．设直线l 与x 轴的交点为M ，N 是曲线C 上一动点，则|MN |的最大值为________． 答案5＋1解析 曲线C 的极坐标方程可化为ρ2＝2ρsin θ，又x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以，曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0. 将直线l 的参数方程化成普通方程为y ＝－43(x －2)．令y ＝0，得x ＝2，即M 点的坐标为(2,0)．又曲线C 为圆，圆C 的圆心坐标为(0,1)，半径r ＝1， 则|MC |＝5，∴|MN |≤|MC |＋r ＝5＋1. 三、解答题(本大题共6小题，共60分)13．(10分)在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝π3(ρ∈R )，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝1＋cos2α(α为参数)，求直线l 与曲线C 的交点P 的直角坐标．解 因为直线l 的极坐标方程为θ＝π3(ρ∈R )，所以直线l 的普通方程为y ＝3x .①又因为曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝1＋cos 2α(α为参数)，所以曲线C 的直角坐标方程为y ＝12x 2(x ∈[－2,2])．②联立①②得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝23，y ＝6.根据x 的X 围应舍去⎩⎨⎧x ＝23，y ＝6，故P 点的直角坐标为(0,0)．14．(10分)已知某圆的极坐标方程为ρ2－42ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋6＝0，求：(1)圆的普通方程和参数方程；(2)圆上所有点(x ，y )中，xy 的最大值和最小值． 解 (1)原方程可化为ρ2－42ρ⎝⎛⎭⎪⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＋6＝0，即ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋6＝0.① 因为ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以①可化为x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0，即(x －2)2＋(y －2)2＝2，即为所求圆的普通方程．设⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝2(x －2)2，sin θ＝2(y －2)2，所以参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2＋2sin θ(θ为参数)．(2)由(1)可知xy ＝(2＋2cos θ)(2＋2sin θ) ＝4＋22(cos θ＋sin θ)＋2cos θsin θ ＝3＋22(cos θ＋sin θ)＋(cos θ＋sin θ)2. 设t ＝cos θ＋sin θ，则t ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，t ∈[－2，2]． 所以xy ＝3＋22t ＋t 2＝(t ＋2)2＋1.当t ＝－2时，xy 有最小值1；当t ＝2时，xy 有最大值9.15．(10分)设A ，B 为椭圆x 24＋y 2＝1上满足OA ⊥OB (O 为原点)的两点，O 为垂足．(1)以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求椭圆的极坐标方程； (2)求1|OA |2＋1|OB |2的值；(3)判断直线AB 与圆C ：x 2＋y 2＝45的位置关系．解 (1)以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入椭圆方程x 24＋y 2＝1，得椭圆的极坐标方程为1ρ2＝cos 2θ4＋sin 2θ.①(2)由条件可设A (ρ1，α)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，α＋π2并代入①，得1ρ21＝cos 2α4＋sin 2α，1ρ22＝sin 2α4＋cos 2α， ∴1ρ21＋1ρ22＝cos 2α4＋sin 2α＋sin 2α4＋cos 2α＝54， 即1|OA |2＋1|OB |2＝54. (3)设原点O 到直线AB 的距离为d ， 则由|OA |·|OB |＝d |AB |， 得d ＝|OA |·|OB ||AB |＝ρ1ρ2ρ21＋ρ22＝11ρ21＋1ρ22＝45＝255＝r ， 因此直线AB 与圆C 相切．16．(10分)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过点P (－1，0)，其倾斜角为α，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线C 的极坐标方程为ρ2－6ρcos θ＋1＝0.(1)写出直线l 的参数方程，若直线l 与曲线C 有公共点，求α的取值X 围； (2)设M (x ，y )为曲线C 上任意一点，求x ＋y 的取值X 围． 解 (1)因为曲线C 的极坐标方程为ρ2－6ρcos θ＋1＝0， 所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－6x ＋1＝0. 因为直线l 经过点P (－1,0)，其倾斜角为α，所以直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t cos α，y ＝t sin α代入x 2＋y 2－6x ＋1＝0，整理得t 2－8t cos α＋8＝0， 因为直线l 与曲线C 有公共点， 所以Δ＝64cos 2α－32≥0， 即cos α≥22或cos α≤－22， 因为α∈[0，π)，所以α的取值X 围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.(2)已知M (x ，y )是曲线C ：(x －3)2＋y 2＝8上一点， 则⎩⎨⎧x ＝3＋22cos θ，y ＝22sin θ(θ为参数)．所以x ＋y ＝3＋22(sin θ＋cos θ)＝3＋4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，所以x ＋y 的取值X 围是[－1,7]．17．(10分)(2017·全国Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M 为曲线C 1的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值．解 (1)设点P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，点M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)．由题设知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ.由|OM |·|OP |＝16得C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ>0)． 因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)． (2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB >0)． 由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α，于是△OAB 的面积S ＝12|OA |·ρB ·sin∠AOB＝4cos α·⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3 ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3－32≤2＋ 3.当α＝－π12时，S 取得最大值2＋ 3.所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3.18．(10分)已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t －2，y ＝22t(t为参数)．(1)指出C 1，C 2各是什么曲线，并说明C 1与C 2公共点的个数；(2)若把C 1，C 2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C 1′，C 2′，写出C 1′，C 2′的参数方程．C 1′与C 2′公共点的个数和C 1与C 2公共点的个数是否相同？说明你的理由．解 (1)C 1是圆，C 2是直线，C 1的普通方程为x 2＋y 2＝1，圆心为C 1(0,0)，半径r ＝1.C 2的普通方程为x －y ＋2＝0，因为圆心C 1到直线x －y ＋2＝0的距离为1， 所以C 1与C 2只有一个公共点．(2)压缩后的参数方程分别为C 1′：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝12sin θ(θ为参数)，C 2′：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t －2，y ＝24t(t 为参数)，化为普通方程为C 1′：x 2＋4y 2＝1，C 2′：y ＝12x ＋22，联立消元得2x 2＋22x ＋1＝0，其判别式Δ＝(22)2－4×2×1＝0，所以压缩后的直线与椭圆仍然只有一个公共点，和原来相同．。

选修4-4综合检测卷(四)(满分150分, 考试时间120分钟)一、选择题(本大题共10小题，每小题6分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．将点的极坐标(π，－2π)化为直角坐标为( ) A ．(π，0) B ．(π，2π) C ．(－π，0)D ．(－2π，0)2．在极坐标系中，已知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6、B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，－π6，则OA 、OB 的夹角为( )A.π6 B ．0 C.π3 D.5π63．在同一平面直角坐标系中，将曲线y ＝13cos 2x 按伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 后为( )A ．y ＝cos xB ．y ＝3cos x2C ．y ＝2cos x3D ．y ＝12cos 3x4．在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π2 C ．(1,0) D ．(1，π) 5．曲线θ＝2π3与ρ＝6sin θ的两个交点之间的距离为( ) A ．1 B. 3 C ．3 3D ．66．点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，7π6关于直线θ＝π4(ρ∈R)的对称点的极坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，4π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2π3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π3D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－7π67．极坐标方程ρsin 2θ－2cos θ＝0表示的曲线是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆 8．在极坐标系中与圆ρ＝4sin θ相切的一条直线的方程为( )A ．ρcos θ＝12B ．ρcos θ＝2C ．ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3D ．ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π39．圆ρ＝4cos θ的圆心到直线tan θ＝1的距离为( ) A.22B. 2 C ．2 D ．2 2 10．圆ρ＝r 与圆ρ＝－2r sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4(r >0)的公共弦所在直线的方程为( )A ．2ρ(sin θ＋cos θ)＝rB ．2ρ(sin θ＋cos θ)＝－r C.2ρ(sin θ＋cos θ)＝r D.2ρ(sin θ＋cos θ)＝－r二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)11．直线x cos α＋y sin α＝0的极坐标方程为________．12．在极坐标系中，若过点A (4,0)的直线l 与曲线ρ2＝4ρcos θ－3有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为________．13．已知点M 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，2π3，2π3，则点M 的直角坐标为________，球坐标为________．14．在极坐标系中，定点A (1，π2)，点B 在直线l ：ρcos θ＋ρsin θ＝0上运动，当线段AB 最短时，点B 的极坐标是________．三、解答题(本大题共6个小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分10分)在极坐标系中，求圆心A 为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π4，半径为1的圆的极坐标方程．16．(本小题满分12分)极坐标方程ρ＝－2cos θ与ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝1表示的两个图形的位置关系是什么？17．(本小题满分12分)极坐标系中，求点⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，π3(m ＞0)到直线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2的距离．解：将直线极坐标方程化为ρcos θcos π3＋sin θsin π3＝2，化为直角坐标方程为x ＋3y－4＝0，18．(本小题满分12分)在极坐标系中，O 为极点，已知圆C 的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，半径r ＝1，P 在圆C 上运动．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)在直角坐标系(与极坐标系取相同的长度单位，且以极点O 为原点，以极轴为x轴正半轴)中，若Q 为线段OP 的中点，求点Q 轨迹的直角坐标方程．19．(本小题满分12分)在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．20．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为曲线C 与x 轴，y 轴的交点．(1)写出曲线C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设M ，N 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．选修4-4综合检测卷(四)姓名 座号答题卡成绩：一、选择题（本题满分60分）、填空题（本题满分20分）13 . 14.15. 16.三、解答题（本题满分70分）选修4-4综合检测卷(四)参考答案一、选择题(本大题共10小题，每小题6分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．将点的极坐标(π，－2π)化为直角坐标为( ) A ．(π，0) B ．(π，2π) C ．(－π，0)D ．(－2π，0)解析：选A x ＝πcos(－2π)＝π，y ＝πsin(－2π)＝0，所以化为直角坐标为(π，0)． 2．在极坐标系中，已知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6、B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，－π6，则OA 、OB 的夹角为( )A.π6 B ．0 C.π3D.5π6解析：选C如图所示，夹角为π3.3．在同一平面直角坐标系中，将曲线y ＝13cos 2x 按伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 后为( )A ．y ＝cos xB ．y ＝3cos x2C ．y ＝2cos x3D ．y ＝12cos 3x解析：选A 由⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝3y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′2，y ＝y ′3.代入y ＝13cos 2x ，得y ′3＝13cos x ′.∴y ′＝cos x ′，即曲线y ＝cos x .4．在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π2 C ．(1,0) D ．(1，π) 解析：选B 由ρ＝－2sin θ得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x 2＋y 2＝－2y ，化成标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π2.5．曲线θ＝2π3与ρ＝6sin θ的两个交点之间的距离为( ) A ．1 B. 3 C ．3 3 D ．6解析：选C 极坐标方程θ＝2π3，ρ＝6sin θ分别表示直线与圆，如图所示，圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π2，∠AOC ＝π6，∴|AO |＝2×3×cos π6＝6×32＝3 3.6．点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，7π6关于直线θ＝π4(ρ∈R)的对称点的极坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，4π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2π3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π3D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－7π6 解析：选A 法一：点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，7π6关于直线θ＝π4(ρ∈R)的对称点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，7π6＋π6，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1，4π3. 法二：点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，7π6的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 7π6，sin 7π6＝－32，－12，直线θ＝π4(ρ∈R)，即直线y ＝x ，点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12关于直线y ＝x 的对称点为－12，－32，再化为极坐标即⎝ ⎛⎭⎪⎫1，4π3.7．极坐标方程ρsin 2θ－2cos θ＝0表示的曲线是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．圆 解析：选C 由ρsin 2θ－2cos θ＝0，得ρ2sin 2θ－2ρcos θ＝0， ∴化为直角坐标方程是y 2－2x ＝0，即x ＝12y 2，表示抛物线．8．在极坐标系中与圆ρ＝4sin θ相切的一条直线的方程为( ) A ．ρcos θ＝12B ．ρcos θ＝2C ．ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3D ．ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3解析：选B 极坐标方程ρ＝4sin θ化为ρ2＝4ρsin θ， 即x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4.由所给的选项中ρcos θ＝2知，x ＝2为其对应的直角坐标方程，该直线与圆相切． 9．圆ρ＝4cos θ的圆心到直线tan θ＝1的距离为( ) A.22B. 2 C ．2 D ．2 2 解析：选B 圆ρ＝4cos θ的圆心C (2,0)，如图，|OC |＝2， 在Rt △COD 中，∠ODC ＝π2，∠COD ＝π4，∴|CD |＝ 2.10．圆ρ＝r 与圆ρ＝－2r sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4(r >0)的公共弦所在直线的方程为( )A ．2ρ(sin θ＋cos θ)＝rB ．2ρ(sin θ＋cos θ)＝－r C.2ρ(sin θ＋cos θ)＝r D.2ρ(sin θ＋cos θ)＝－r解析：选D 圆ρ＝r 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝r 2，①圆ρ＝－2r sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－2r sin θcos π4＋cos θsin π4＝－2r (sin θ＋cos θ)．两边同乘以ρ得ρ2＝－2r (ρsin θ＋ρcos θ) ∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2， ∴x 2＋y 2＋2rx ＋2ry ＝0.②①－②整理得2(x ＋y )＝－r ，即为两圆公共弦所在直线的普通方程．再将直线2(x ＋y )＝－r 化为极坐标方程为2ρ(cos θ＋sin θ)＝－r .二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)11．直线x cos α＋y sin α＝0的极坐标方程为________． 解析：ρcos θcos α＋ρsin θsin α＝0，cos (θ－α)＝0， 取θ－α＝π2.12．在极坐标系中，若过点A (4,0)的直线l 与曲线ρ2＝4ρcos θ－3有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为________．解析：将ρ2＝4ρcos θ－3化为直角坐标方程得(x －2)2＋y 2＝1，如图易得－33≤k ≤33. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，3313．已知点M 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，2π3，2π3，则点M 的直角坐标为________，球坐标为________．解析：设点M 的直角坐标为(x ，y ，z )， 柱坐标为(ρ，θ，z )，球坐标为(r ，φ，θ)，由⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2π3cos 2π3＝－π3，y ＝2π3sin 2π3＝3π3，z ＝2π3，由⎩⎪⎨⎪⎧r ＝x 2＋y 2＋z 2，cos φ＝z r ，得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝22π3，cos φ＝22.即⎩⎪⎨⎪⎧r ＝22π3，φ＝π4.∴点M 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，3π3，2π3，球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22π3，π4，2π3.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，3π3，2π3 ⎝ ⎛⎭⎪⎫22π3，π4，2π314．在极坐标系中，定点A (1，π2)，点B 在直线l ：ρcos θ＋ρsin θ＝0上运动，当线段AB 最短时，点B 的极坐标是________．解析：将ρcos θ＋ρsin θ＝0化为直角坐标方程为x ＋y ＝0，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2化为直角坐标得A (0,1)，如图，过A 作AB ⊥直线l 于B ，因为△AOB 为等腰直角三角形，又因为|OA |＝1，则|OB |＝22，θ＝3π4，故B 点的极坐标是B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，3π4. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫22，3π4三、解答题(本大题共6个小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分10分)在极坐标系中，求圆心A 为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π4，半径为1的圆的极坐标方程．解：在极坐标系中，设点P (ρ，θ)是圆上任意一点，则有 r 2＝OP 2＋OA 2－2OP ·OA ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4，即1＝ρ2＋1－2ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4.即ρ2－2ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝0为所求圆的极坐标方程．16．(本小题满分12分)极坐标方程ρ＝－2cos θ与ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝1表示的两个图形的位置关系是什么？解：ρ＝－2cos θ可变为ρ2＝－2ρcos θ， 化为普通方程为x 2＋y 2＝－2x ， 即(x ＋1)2＋y 2＝1表示圆， 圆心为(－1,0)，半径为1.将ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝1化为普通方程为x －3y －2＝0，∵圆心(－1,0)到直线的距离为|－1－2|1＋3＝32＞1， ∴直线与圆相离．17．(本小题满分12分)极坐标系中，求点⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，π3(m ＞0)到直线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2的距离． 解：将直线极坐标方程化为ρcos θcos π3＋sin θsin π3＝2，化为直角坐标方程为x ＋3y－4＝0，点⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，π3的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，3m 2， ∴点⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，3m 2到直线x ＋3y －4＝0的距离为m 2＋3·3m2－41＋3＝2|m －2|2＝|m －2|.18．(本小题满分12分)在极坐标系中，O 为极点，已知圆C 的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，半径r＝1，P 在圆C 上运动．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)在直角坐标系(与极坐标系取相同的长度单位，且以极点O 为原点，以极轴为x 轴正半轴)中，若Q 为线段OP 的中点，求点Q 轨迹的直角坐标方程．解：(1)设圆C 上任一点坐标为(ρ，θ)， 由余弦定理得12＝ρ2＋22－2·2ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3，所以圆的极坐标方程为ρ2－4ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＋3＝0.(2)设Q (x ，y )，则P (2x,2y )，由于圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －3)2＝1，P 在圆C 上， 所以(2x －1)2＋(2y －3)2＝1，则Q 的直角坐标方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝14.19．(本小题满分12分)在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．解：在ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32中令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C 的圆心坐标为(1,0)． 因为圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，所以圆C 的半径PC ＝ (2)2＋12－2×1×2cos π4＝1，于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.20．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为曲线C 与x 轴，y 轴的交点． (1)写出曲线C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设M ，N 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程． 解：(1)∵ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，∴ρcos θ·cos π3＋ρsin θ·sin π3＝1.又⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴12x ＋32y ＝1.即曲线C 的直角坐标方程为x ＋3y －2＝0. 令y ＝0，则x ＝2；令x ＝0，则y ＝233. ∴M (2,0)，N ⎝⎛⎭⎪⎫0，233. ∴M 的极坐标为(2,0)，N 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2.(2)M 、N 连线的中点P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，直线OP 的极角为θ＝π6.∴直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R)．。

模块综合检测题(谷杨华)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知点M 的极坐标为)3,5(π，下列所给出的四个坐标中不能表示点M 的坐标的是 ( ) A ．)34,5(π B ．)37,5(π C ．)313,5(π D ．)35,5(π- 【知识点】极坐标【解题过程】由极坐标的定义可知选A ，)3,5(π与)34,5(π关于极点对称．故选A 【思路点拔】直接找角的终边．【答案】A2．若直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋3t ，y ＝2－4t(t 为参数)，则直线l 的倾斜角的余弦值为( ) A.－45B.－35C.35D.45 【知识点】直线的参数方程，直线的斜率，同角三角函数的基本关系【解题过程】 由l 的参数方程可得l 的普通方程为4x ＋3y －10＝0，设l 的倾斜角为θ，则tan θ＝－43，由1cos 2θ＝sin 2θ＋cos 2θcos 2θ＝tan 2θ＋1，得cos 2θ＝925，又π2＜θ＜π，∴cos θ＝－35.【思路点拔】先求出直线的斜率，得用同角三角函数的基本关系【答案】B3．极坐标方程)4cos(22πθρ-=表示图形的面积是( ) A ．2 B ．2π C ．4 D ． 【知识点】圆的极坐标方程，极坐标与直角坐标的互化，圆的面积．【解题过程】 )4cos(22πθρ-=＝22)sin 22cos 22(θθ+＝2cos θ＋2sin θ，∴ρ2＝2ρcos θ＋2ρsin θ，即x 2＋y 2＝2x ＋2y ，(x －1)2＋(y －1)2＝2，∴方程表示的图形是圆，半径为2，∴其面积为πr 2＝2π.【思路点拔】先把极坐标方程化为直角坐标方程，判断曲线的形状，求出相应面积．【答案】 B4．把函数y ＝12sin2x 的图象经过________变化，可以得到函数y ＝14sin x 的图象．( )A ．横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标伸长为原来的2倍B ．横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标伸长为原来的2倍C ．横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标缩短为原来的12倍D ．横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的12【知识点】伸缩变换【解题过程】 本题主要考查直角坐标系的伸缩变换，根据变换的方法和步骤可知，把函数y ＝12sin2x 的图象的横坐标伸长为原来的2倍可得y ＝12sin x 的图象，再把纵坐标缩短为原来的12，得到y ＝14sin x 的图象．.【思路点拔】此题包含周期变换和振幅变换．【答案】 D5.圆)sin (cos 2θθρ+=的圆心极坐标是 ( )A ．)4,1(πB ．)4,21(πC ．)4,2(πD ．)4,2(π 【知识点】极坐标方程【解题过程】 可化为直角坐标方程1)22()22(22=-+-y x 或化为ρ＝2cos )4(πθ-，这是ρ＝2r cos (θ－θ0)形式的圆的方程．故选A ．【思路点拔】可先将极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心坐标，然后化为极坐标；也可以化为2cos 4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后求出圆心的极坐标． 【答案】 A6.已知点P 所在曲线的极坐标方程为ρ＝2cos θ，点Q 所在曲线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝4＋2t(t 为参数)，则|PQ |的最小值是( )A ．2B ．455＋1C ．455－1D ．1 【知识点】直线的参数方程、圆的极坐标方程【解题过程】 易知点P 在圆x 2＋y 2－2x ＝0上，圆心为(1,0)，半径为1，点Q 在直线2x －y。

高中数学人教a 版高二选修4-4_模块综合测评 有答案(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．极坐标方程cos θ＝32(ρ∈R )表示的曲线是( ) A ．两条相交直线 B ．两条射线 C ．一条直线D ．一条射线【解析】 由cos θ＝32，解得θ＝π6或θ＝116π，又ρ∈R ，故为两条过极点的直线． 【答案】 A2．极坐标系中，过点P (1，π)且倾斜角为π4的直线方程为( ) A ．ρ＝sin θ＋cos θ B ．ρ＝sin θ－cos θ C ．ρ＝1sin θ＋cos θD ．ρ＝1sin θ－cos θ【解析】 设M (ρ，θ) 为直线上任意一点，则 在△OPM 中，由正弦定理得ρsin π4＝1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4， ∴ρ＝1sin θ－cos θ.【答案】 D3．已知参数方程⎩⎨⎧x ＝at ＋λcos θy ＝bt ＋λsin θ(a 、b 、λ均不为零，0≤θ≤2π)，分别取①t 为参数；②λ为参数；③θ为参数，则下列结论中成立的是( )A ．①、②、③均是直线B ．只有②是直线C ．①、②是直线，③是圆D ．②是直线，①③是圆【解析】 ①t 为参数，原方程可化为：y －λsin θ＝ba (x －λcos θ)，②λ为参数，原方程可化为：y －bt ＝(x －at )·tan θ，③θ为参数，原方程可化为： (x －at )2＋(y －bt )2＝λ2，即①、②是直线，③是圆． 【答案】 C4．将曲线x 23＋y 22＝1按φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13x ，y ′＝12y 变换后的曲线的参数方程为( )A.⎩⎨⎧x ＝3cos θy ＝2sin θ B.⎩⎨⎧x ＝3cos θy ＝2sin θ C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13cos θy ＝12sin θD.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝33cos θy ＝22sin θ【解析】 x 23＋y 22＝1→(3x ′)23＋(2y ′)22＝1→(3x ′)2＋(2y ′)2＝1→⎩⎪⎨⎪⎧3x ′＝cos θ，2y ′＝sin θ→⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝33cos θ，y ′＝22sin θ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝33cos θ，y ＝22sin θ，故选D.【答案】 D5．化极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0为直角坐标方程为( ) A ．x 2＋y 2＝0或y ＝1 B ．x ＝1 C ．x 2＋y 2＝0或x ＝1D ．y ＝1【解析】 由ρ2cos θ－ρ＝0，得ρ(ρcos θ－1)＝0， 又ρ＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，∴x 2＋y 2＝0或x ＝1.【答案】 C6．柱坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，1对应的点的直角坐标是( )A ．(3，－1,1)B ．(3，1,1)C ．(1，3，1)D ．(－1，3，1)【解析】由直角坐标与柱坐标之间的变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θz ＝z，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，z ＝1，故应选C.【答案】 C7．直线l ：3x ＋4y －12＝0与圆C ：⎩⎨⎧x ＝－1＋2cos θy ＝2＋2sin θ(θ为参数)的公共点个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无法确定【解析】 圆C 的直角坐标方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4， ∴圆心C (－1,2)，半径r ＝2. 圆心C 到直线l 的距离 d ＝|3×(－1)＋4×2－12|32＋42＝75，因此d <r ，直线与圆C 相交于两点． 【答案】 C8．双曲线⎩⎨⎧x ＝4sec θy ＝2tan θ(θ为参数)上，当θ＝2π3时对应的点为P ，O 为原点，则OP 的斜率为( )A.34B.32C. 3D ．2【解析】 ∵x ＝4sec θ＝4cos 2π3＝－8，y ＝2tan θ＝2tan 2π3＝－23， ∴k OP ＝y x ＝34. 【答案】 A9．已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝6sin θ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴正半轴，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2t －1，y ＝22t(t 为参数)，则直线l 与曲线C 相交所得弦长为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－6y ＝0，即x 2＋(y －3)2＝9，直线⎩⎨⎧x ＝2t －1，y ＝22t的直角坐标方程为x －2y ＋1＝0，∵圆心C 到直线l 的距离 d ＝|0－2×3＋1|12＋(－2)2＝5，∴直线l 与圆C 相交所得弦长为 2r 2－d 2＝29－5＝4.【答案】 D10．直线⎩⎨⎧x ＝－2－4t ，y ＝1＋3t (t 为参数)与圆ρ＝2cos θ的位置关系为( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．无法确定【解析】 直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2－4t ，y ＝1＋3t (t 为参数)的普通方程为3x ＋4y ＋2＝0，圆ρ＝2cos θ的普通方程为x 2＋y 2－2x ＝0，即(x －1)2＋y 2＝1，圆心到直线3x ＋4y ＋2＝0的距离d ＝1＝r ，所以直线与圆的位置关系为相切．故选B.【答案】 B11．已知曲线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2α2，y ＝12sin α(α为参数)，若以此曲线所在的直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线的极坐标方程为( )A ．ρ＝sin θB ．ρ＝2sin θC ．ρ＝2cos θD ．ρ＝cos θ【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2α2＝12＋12cos α，y ＝12sin α(α为参数)得普通方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，故圆心为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，半径r ＝12，所以极坐标方程为ρ＝cos θ. 【答案】 D12．若动点(x ，y )在曲线x 24＋y 2b 2＝1(b >0)上变化，则x 2＋2y 的最大值为( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧ b 24＋4 (0<b ≤4)2b (b >4) B.⎩⎪⎨⎪⎧b 24＋4 (0<b <2)2b (b ≥2)C.b 24＋4 D ．2b【解析】 设动点的坐标为(2cos θ，b sin θ)， 代入x 2＋2y ＝4cos 2θ＋2b sin θ ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin θ－b 22＋4＋b 24，当0<b ≤4时，(x 2＋2y )max ＝b 24＋4；当b >4时，(x 2＋2y )max ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2－b 22＋4＋b 24＝2b .【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知射线θ＝π4与曲线⎩⎨⎧x ＝t ＋1，y ＝(t －1)2(t 为参数)相交于A ，B 两点，则线段AB 的中点的直角坐标为________．【解析】 射线θ＝π4的普通方程为y ＝x (x ≥0)，代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝(t －1)2，得t 2－3t ＝0，解得t＝0或t ＝3.当t ＝0时，x ＝1，y ＝1，即A (1,1)； 当t ＝3时，x ＝4，y ＝4，即B (4,4)． 所以AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，52.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，5214．极坐标系中，曲线ρ＝－4cos θ上的点到直线ρ()cos θ＋3sin θ＝8的距离的最大值是________．【解析】 曲线方程化为：ρ2＝－4ρcos θ，即x 2＋y 2＋4x ＝0，化为：(x ＋2)2＋y 2＝4，圆心坐标为(－2,0)，半径为r ＝2，直线方程化为：x ＋3y －8＝0，圆心到直线的距离为：d ＝|－2－8|2＝5，所以最大距离为：5＋2＝7.【答案】 715．直线⎩⎨⎧ x ＝2＋t y ＝－1－t (t 为参数)与曲线⎩⎨⎧x ＝3cos αy ＝3sin α(α为参数)的交点个数为________．【解析】 直线与曲线的普通方程分别为 x ＋y －1＝0， ① x 2＋y 2＝9, ②②表示圆心为O (0,0)，半径为3的圆， 设O 到直线的距离为d ，则d ＝|－1|2＝22，∵22<3，∴直线与圆有2个交点． 【答案】 216．已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)，C 在点(1,1)处的切线为l .以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为________．【解析】 由sin 2t ＋cos 2t ＝1得曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＝2，过原点O 及切点(1,1)的直线的斜率为1，故切线l 的斜率为－1，所以切线l 的方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.把x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入直线l 的方程可得ρcos θ＋ρsin θ－2＝0，即2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－2＝0，化简得ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝ 2.【答案】 ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝ 2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆⎩⎨⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)的右焦点，且与直线⎩⎨⎧x ＝4－2t ，y ＝3－t(t 为参数)平行的直线的普通方程．【解】 由题设知，椭圆的长半轴长a ＝5，短半轴长b ＝3，从而c ＝a 2－b 2＝4，所以右焦点为(4,0)．将已知直线的参数方程化为普通方程x －2y ＋2＝0.故所求直线的斜率为12，因此其方程为y ＝12(x －4)，即x －2y －4＝0.18．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中， 以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a ，且点A 在直线l 上．(1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程；(2)圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系．【解】 (1)由点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4在直线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a 上，可得a ＝2，所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2， 从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.(2)由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1， 所以圆C 的圆心为(1,0)，半径r ＝1. 因为圆心C 到直线l 的距离d ＝12＝22＜1， 所以直线l 与圆C 相交．19．(本小题满分12分)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程； (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．【解】 (1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t 消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0，所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2.20．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4. (1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程．【解】 (1)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2，圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ. 解⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝2，ρ＝4cos θ，得ρ＝2，θ＝±π3.故圆C 1与圆C 2交点的坐标为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3或⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3. 注：极坐标系下点的表示不惟一．(2)法一 将x ＝1代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得ρcos θ＝1，从而ρ＝1cos θ.于是圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝tan θ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3≤θ≤π3. 法二 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得圆C 1与圆C 2交点的直角坐标分别为(1，－3)或(1，3)．故圆C 1与C 2公共弦的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝t ，(－3≤t ≤3)． 21．(本小题满分12分)在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，已知曲线C ：ρsin 2θ＝2a cos θ(a >0)，已知过点P (－2，－4)的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t y ＝－4＋22t (t 为参数)，直线l 与曲线C 分别交于M ，N 两点．(1)写出曲线C 和直线l 的普通方程；(2)若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，求a 的值． 【解】 (1)曲线C ：y 2＝2ax ，直线l ：x －y －2＝0. (2)将直线的参数表达式代入抛物线得 12t 2－(42＋2a )t ＋16＋4a ＝0， 所以t 1＋t 2＝82＋22a ，t 1t 2＝32＋8a . 因为|PM |＝|t 1|，|PN |＝|t 2|，|MN |＝|t 1－t 2|， 由题意知，|t 1－t 2|2＝|t 1t 2|⇒(t 1＋t 2)2＝5t 1t 2， 代入得a ＝1.22．(本小题满分12分)如图1，已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过F 的直线交抛物线于A ，B 两点．图1(1)求证：1|F A |＋1|FB |为定值； (2)求AB 的中点M 的轨迹方程．【解】设直线AB 的方程为⎩⎨⎧x ＝p2＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，α≠0)，代入y 2＝2px 整理，得t 2sin 2α－2pt cos α－p 2＝0.第- 11 -页 共11页 设A 、B 两点对应的参数分别为t 1、t 2， 则由根与系数的关系，得t 1＋t 2＝2p cos αsin 2α，t 1t 2＝－p 2sin 2α.(1)1|F A |＋1|FB |＝1|t 1|＋1|t 2|＝|t 1|＋|t 2||t 1t 2| ＝|t 1－t 2||t 1t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2|t 1t 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2p cos αsin 2α2＋4p 2sin 2α⎪⎪⎪⎪⎪⎪－p 2sin 2α＝2p (定值)． (2)设AB 的中点M (x ，y )，则M 对应的参数为t ＝t 1＋t 22＝p cos αsin 2α，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝p 2＋p cos 2αsin 2α，y ＝p cos αsin α(α为参数)，消去α，得y 2＝p ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2为所求的轨迹方程．。

专题综合测评（时间120分钟，满分150分）一、选择题（每小题5分,共60分）1.点P 的直角坐标为（1,-3），则它的极坐标可能是 A.(2,3π) B.(2,34π) C.(2,-3π) D.(2,34π) 解析：因为点P （1，-3）在第四象限，与原点的距离为2，且OP 与x 轴所成的角为35π，所以点P 的一个极坐标为(2,35π)，排除A 、B 选项.又因为-34π+2π=23π，所以极坐标(2,34π-)所表示的点在第二象限，排除D.答案：C2.已知动圆x 2+y 2-2axcosθ-2bysinθ=0(a 、b 是正常数，a≠b,θ是常数），则圆心的轨迹是 A.直线 B.圆 C.抛物线的一部分 D.椭圆 解析：x 2+y 2-2axcosθ-2bysinθ=(x-acosθ)2+(y-bsinθ)2-a 2cos 2θ-b 2sin 2θ.所以圆心坐标为(acosθ>bsinθ).由于1)sin ()cos (2222=+bb a a θθ, 所以圆心的轨迹是椭圆.答案：D 3.直线⎩⎨⎧+-=+=ty t x 1,32上对应t=0与t=1两点间的距离是A.1B.10C.10D.22解析：10)(10)()33(212212212=-=-+-t t t t t t .答案：B4.圆ρ=2(cosθ+sinθ)的圆心坐标是A.(1,4π) B.(21,4π) C.(2,4π) D.(2,4π) 解析：因为ρ=2(cosθ+sinθ)=2sin(θ+4π)，所以由圆的极坐标方程得圆心坐标是(1, 4π).答案：A5.不论θ为何实数,方程2cosθ·x 2+y 2=1所表示的曲线都不能是A.直线B.圆C.抛物线D.双曲线 解析：当2cosθ=0时,方程为y=±1,表示的曲线是两条直线;当2cosθ=1时,方程为x 2+y 2=1,表示的曲线是圆;当2cosθ<0时,方程表示的曲线是双曲线. 答案：C6.已知点A(-2,-2π)、B(2,43π)、O(0,0),则△ABO 为A.正三角形B.直角三角形C.等腰锐角三角形D.等腰直角三角形解析：可以先求出三边的长度再判断三角形的形状． 答案：D7.已知直线方程⎩⎨⎧+-=+=t y t x 34,43(t 为参数)，则下列说法中，错误的是A.直线的斜率是43 B.直线过点（3，－4）C.当t ＝1时，直线方程所对应的点到点（3，－4）的距离是1D.该直线不经过第二象限 解析：直线的斜率k=434334==-+t t x y ;当t ＝0时，x ＝3，y ＝-4；当t ＝1时，直线方程所对应的点为（7，-1），它与点（3，-4）的距离为22)41()37(+-+-＝5；当x ＝3+4t ＜0，即t<43-时，y=-4+3t ＜－4＋3×(43-)＝425-＜0，所以该直线不经过第二象限.答案：C 8.椭圆⎩⎨⎧+-=+=θθsin 51,cos 33y x （θ为参数，且θ∈［0，2π）)的两个焦点坐标是A.（-3，5）、（-3，-3）B.（3，3）、（3，-5）C.（1，1）、（-7，1）D.（7，1）、（-1，-1）解析：椭圆中心为（3，－1），焦点在直线x=3上，a ＝5，b ＝3，c ＝22b a -＝4. 答案：B 9.已知直线l ：⎩⎨⎧+-=+=ty t x 2,1（t 为参数）与椭圆x 2＋2y 2＝8交于A 、B 两点，则|AB|等于A.22B.334C.2D.632 解析：把x=1+t,y=-2+t代入椭圆方程中，整理得到3t 2-6t+1=0，t 1+t 2＝2，t 1t 2＝31.而|AB|＝334]4)[(2)(221221212=-+=-t t t t t t . 答案：B10.若曲线C:⎩⎨⎧-==1sin ,sin 2θθy x （θ为参数，θ∈R ）与直线l ：x=m 交于相异的两点，那么A.m≥０B.m ＞０C.0≤m≤１D.０＜m≤１解析：曲线C 的普通方程为(y+1)2=x （0≤x≤1），表示抛物线的一段(如图所示)，当０＜m≤１时，直线l 与曲线C 有两个相异交点.答案：D 11.直线l ：⎩⎨⎧==ααsin ,cos t y t x （t 为参数）与圆C ：⎩⎨⎧=+=θθsin 2,cos 4y x （θ为参数,θ∈ ［0,2π)）相切，则直线的倾斜角为A.6π或65π B.4π或43π C.3π或32π D.6π-或-65π解析：将参数方程化为普通方程，直线l ：xtanα-y ＝0（α≠2π），当α=2π时不合题意．圆C ：(x-4)2＋y 2＝4，它们相切的充要条件是2tan 1|0tan 4|2=+-αα，解得tanα＝±33．又∵α∈［0,π)，∴α＝6π或65π.答案：A12.椭圆的中心为点E(-1,0)，它的一个焦点为F(-3,0)，相应于焦点的准线方程为x=-27，则这个椭圆的方程为A.13221)1(222=+-y x B.13221)1(222=++y x C.15)1(22=+-y x D.15)1(22=++y x 解析：椭圆的中心在E(-1,0)，则可设椭圆的方程为1)1(2222=++by a x ，从而排除了A 、C ．该椭圆相当于椭圆2222b y a x +=1向左平移了 1个单位得到的，故c ＝－1－（－3）＝２.1272+-=-c a ，∴a 2＝５.故选D. 答案：D二、填空题（每小题4分,共16分）13.极坐标方程4ρsin 22θ=5化为直角坐标方程是______________.解析：先把原式变形，再代入互化公式.答案：y 2=5x+425. 14.圆心为C(3,6π)，半径为3的圆的极坐标方程为_____________. 解析：可以直接代入圆的极坐标方程的公式求得． 答案：ρ=6cos(θ-6π). 15.直线的参数方程为⎩⎨⎧-=+=,1,1t y t x 则它与圆x 2＋y 2＝4的交点坐标为______________.解析：把直线的参数方程代入圆的方程，得(1+t)2＋(1-t)2＝４，解得t 1＝－１，t 2＝１．分别代入直线方程，得⎩⎨⎧==;2,011y x ⎩⎨⎧==.0,222y x 所以交点为A(0,2)和B(2,0). 答案：（0，2）和（2，0） 16.P(x,y)是曲线⎩⎨⎧=+=αθsin ,cos 2y x （α为参数,α∈［0,2π））上任意一点，则22)4()5(-+-y x 的最大值为_______________.解析：曲线⎩⎨⎧=+=ααsin ,cos 2y x 的普通方程为(x-2)2+y 2＝1，表示以C(2,0)为圆心，1为半径的圆，P(x,y)是圆上任一点，22)4()5(-+-y x 的几何意义是圆上任一点P(x,y)与点Q(5,4)的距离d,由图可知，当PQ 过圆心时，|PQ|取得最大值和最小值，最大值为|QC|＋1，而|QC|＝22)04()25(-+-=5,|QC|＋1＝6.答案：6三、解答题（17—21题每题12分,22题14分,共74分） 17.已知P(5,32π)，O 为极点，求使△POP′是正三角形的P′点的坐标． 解：假设P′点坐标是(ρ,θ)，由OP ＝OP′,得ρ=5.由∠POP′=3π,得θ=3π或π. 则P′(5,3π)或P′(5,π). 18.△ABC 的底边BC=10,∠A=21∠B,以B 点为极点，BC 为极轴，求顶点A 的轨迹方程．思路分析：数形结合，由正弦定理直0接得出相等表达式，化简后得出结论． 解：设M(ρ,θ)是曲线上任意一点,在△ABC 中,由正弦定理得2sin10)23sin(θθπρ=-,得点A 的轨迹是ρ=30-40sin 22θ.19.如图,在平面直角坐标系中，已知点A （3，0），P 是圆x 2+y 2=1上一个动点，且∠AOP 的平分线交PA 于Q 点，求Q 点的轨迹的极坐标方程.思路分析：首先建立极坐标系，然后由面积S △OQA +S △OQP =S △OAP 建立点之间的联系得出方程.解：以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 设Q(ρ,θ),P(1,2θ)，∵S △OQA +S △OQP =S △OAP ， ∴21×3ρsinθ+21ρsinθ=21×3×1×sin2θ,得ρ=23cosθ. 20.说明由函数y=2x 的图象经过怎样的图象变换可以得到函数y=4x-3+1的图象． 思路分析：按照图形平移变换和伸缩变换的规律求解． 解：y=4x-3+1可变为y-1=22(x-3)． 先把函数y=2x 的图象按伸缩系数k=21向着y 轴压缩，得到y=22x 的图象，再按向量a ＝（3，1）平移，得到函数y=4x-3+1的图象．也可以先把函数y=2x 的图象按向量a ＝（6，1）平移，得到函数y=2x-6+1的图象，再按伸缩系数k=21向着y 轴压缩，得到y-1=22x-6的图象，即函数y=4x-3+1的图象. 21.已知定点P （6，0）、Q （0，－4），动点C 在椭圆4922y x +＝1上运动（如图所示）．求△PQC 面积的最大值和最小值．思路分析：因为动点C 在椭圆4922y x +＝１上运动，故可设出点C 的坐标(3cosθ,2sinθ)，从而把△PQC 的面积表示为θ的函数，再利用三角函数的知识求解. 解：由题意，可求得直线PQ 的方程为2x-3y-12=0，|PQ|＝132.已知椭圆的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin 2,cos 3y x （θ为参数，且0≤θ<2π），则椭圆上点C(3cosθ,2sinθ)到直线PQ 的距离d ＝13|12)4sin(26|13|12sin 6cos 6|--=--θπθθ. 显然，当θ＝43π时，d 最大，且d 最大值＝131226+．此时S △PQC 的最大值是21×d 最大值×|PQ|＝21×131226+×132＝12＋62；当θ＝47π时，d 最小，d 最小值＝132612-，此时S △PQC 的最小值为12-62.22.如图所示，当前热带风暴中心位于点O 处，某海滨城市在它的西面220千米的点A 处．风暴正以40千米每小时的速度向西偏北60°方向运动．已知距风暴中心200千米以内的地方都会受风暴侵袭，计算经过多长时间该城市会受风暴侵袭，侵袭会持续多长时间.思路分析：根据题意建立适当坐标系，将实际问题转化为数学问题解决. 解：以O 为坐标原点，AO 所在的直线为x 轴建立如图所示的坐标系.以有向线段OP 的数量u 为变量，建立直线OP 的方程⎩⎨⎧︒=︒=.120sin ,120cos u y u x设风暴中心处于点O 时，时间为0，而到达点P 的时间为t （小时），则u ＝40t ，代入OP 的参数方程，得⎩⎨⎧=-=.320,20t y t x记点A(-220,0)到点P 的距离为|AP|，则|AP|2＝(220+20t)2＋(-203t)2＝202(4t 2-22t+121). 当|AP|≤200时，城市就受到风暴侵袭,即202(4t 2-22t+121)≤2002，4t2-22t+121≤0，解得43711-≤t≤11+43711+．近似得1.23≤t≤4.27.而1.23小时≈１小时１４分，4.27小时≈４小时16分．由此可知，１小时14分后城市就受到侵袭，侵袭时间要持续３小时２分.。

模块综合测评(时间:120分钟,满分:150分)知识点分布表一、选择题(每小题5分,共60分)1.将正弦曲线y ＝sinx 作如下变换⎪⎩⎪⎨⎧='=',3,21y y x x 得到的曲线方程为（ ）A.x y '='21sin 3B.x y '='2sin 31C.x y '='2sin 21D.y ′＝3sin2x ′ 2.将点P 的直角坐标)33,33(+-化为极坐标是（ ） A.)12,62(π-B.)12,6(πC.)125,62(πD.)125,6(π 3.方程ρ＝2sin θ表示的图形是（ ）A.圆B.直线C.椭圆D.射线 4.设点M 的柱坐标为)7,6,2(π,则M 的直角坐标是（ ）A.)7,3,1(B.)7,1,3(C.)3,7,1(D.)1,7,3(5.曲线的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧-=-=21,11t y t x (t 为参数,t ≠0),它的普通方程是（ ）A.(x －1)2(y －1)＝1 B.2)1()2(x x x y --=C.1)1(12--=x y D.112+-=x x y 6.已知过曲线⎩⎨⎧==θθsin 4,cos 3y x (θ为参数,0≤θ≤π)上一点P 与原点O 的直线PO,倾斜角为4π,则点P 的极坐标为 （ ） A.)4,3(πB.)4,223(πC.)4,512(π-D.)4,5212(π 7.过点P(4,3),且斜率为32的直线的参数方程为（ ） A.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 1323,1334(t 为参数) B.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 1324,1333(t 为参数) C.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 1333,1324(t 为参数) D.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 1334,1323(t 为参数)8.直线y ＝ax ＋b 通过第一、二、四象限,则圆⎩⎨⎧+=+=θθsin ,cos r b y r a x (θ为参数)的圆心位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 9.设a,b ∈R ,a 2＋2b 2＝6,则a ＋b 的最小值是（ ） A.22- B.335-C.－3D.27-10.曲线⎩⎨⎧+=-=12,12t y t x (t 为参数)的焦点坐标是（ ）A.(0,1)B.(1,0)C.(1,2)D.(0,2) 11.将参数方程⎩⎨⎧=+=θθsin 2,cos 21y x (θ为参数)化为普通方程为（ ）A.(x －2)2＋y 2＝4 B.(x －1)2＋y 2＝4 C.(y －2)2＋x 2＝4 D.(y －1)2＋x 2＝412.双曲线⎪⎩⎪⎨⎧+=+-=θθcos 121,tan 2y x （θ为参数）的渐近线方程为（ ）A.)2(211+±=-x y B.x y 21±= C.y －1＝±2(x ＋2) D.y ＋1＝±2(x －2) 二、填空题(每小题4分,共16分)13.在极坐标系中,若过点A(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ＝4cos θ于A 、B 两点,则|AB|＝_________.14.O 为坐标原点，P 为椭圆⎩⎨⎧==ϕϕsin 2,cos 3y x （φ为参数）上一点，对应的参数6πϕ=，那么直线OP 的倾斜角的正切值是__________.15.抛物线y 2＝2px(p ＞0)的一条过焦点的弦被分成m ，n 长的两段，则=+nm 11_______.16.在极坐标系中,点)6,2(π-P 到直线1)6sin(:=-πθρl 的距离是________. 三、解答题(共74分)17.(12分)函数y ＝2x的图象经过图象变换得到函数y ＝4x －3＋1的图象,求该坐标变换.18.(12分)已知椭圆⎩⎨⎧=+=ϕϕsin 3,cos 2:1y m x C (φ为参数)及抛物线)23(6:22-=x y C .当C 1∩C 2≠时,求m 的取值范围.19.(12分)已知直线的参数方程为⎩⎨⎧-=+-=ty t x 42,31（t 为参数），它与曲线(y －2)2－x 2＝1交于A 、B 两点. （1）求|AB|的长；（2）求点P （－1，2）到线段AB 中点C 的距离. 20.(12分)已知⊙C:ρ＝cos θ＋sin θ,直线)4cos(22:πθρ+=l .求⊙C 上点到直线l 距离的最小值.21.(12分)在曲线⎩⎨⎧=+=θθs i n,c o s 1:1y x C (θ为参数)上求一点,使它到直线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=t y t x C 211,2122:2(t 为参数)的距离最小,并求出该点坐标和最小距离. 22.(14分)已知某圆的极坐标方程为06)4cos(242=+--πθρρ,求：（1）圆的普通方程和参数方程；（2）圆上所有点(x,y)中x ·y 的最大值和最小值.参考答案1 答案：D2 解析：∵33-=x ,33+=y ,∴62)33()33(2222=++-=+=y x ρ,125tan )64tan(3313313333tan πππθ=+=-+=-+==x y ,∴125πθ=. 答案：C3 解析：ρ＝2sin θ可化为x 2＋y 2－2y ＝0,表示以(0,1)为圆心,以1为半径的圆. 答案：A 4 解析：36cos 2==πx ,16sin2==πy ,z ＝7.答案：B5 解析：t x 11-=,∴x t -=11,222)1()2()1(111x x x x t y --=--=-=. 答案：B6 解析：将曲线化成普通方程为116922=+y x (y ≥0)，与直线PO:y ＝x 联立可得P 点坐标为)512,512(.利用直角坐标与极坐标转化公式即可得到P 点的极坐标. 答案：D7 解析：∵倾斜角α满足32tan =α,∴132sin =α,133cos =α,∴所求参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=.1323,1334t y t x (t 为参数) 答案：A8 解析：∵y ＝ax ＋b 通过第一、二、四象限,∴a ＜0,b ＞0. ∴圆心(a,b)位于第二象限. 答案：B9 解析：不妨设⎪⎩⎪⎨⎧==ααsin 3,cos 6b a (α为参数),则)sin(3sin 3cos 6ϕααα+=+=+b a ,其中2tan =ϕ,∴a ＋b 的最小值为－3.答案：C10 解析：将参数方程化为普通方程为(y －1)2＝4(x ＋1),该曲线为抛物线y 2＝4x 向左、向上各平移一个单位得到的,∴焦点为(0,1). 答案：A 11 解析：∵⎩⎨⎧=+=,sin 2,cos 21θθy x ,∴21cos -=x θ,2sin y=θ,∴1)2()21(22=+-y x ,即(x －1)2＋y 2＝4. 答案：B12 解析：根据三角函数的性质把参数方程化为普通方程，得1)2(4)1(22=+--x y ，可知这是中心在(－2,1)的双曲线，利用平移知识，结合双曲线的渐近线的概念即可. 答案：C13 解析：∵ρ＝4cos θ, ∴ρ2＝4pcos θ, 即x 2＋y 2＝4x,∴(x －2)2＋y 2＝4为ρ＝4cos θ的直角坐标方程. 当x ＝3时,3±=y ,∴直线x ＝3与ρ＝4cos θ的交点坐标为)3,3(、)3,3(-, ∴32||=AB . 答案：32 14 解析：当6πϕ=时，P 点坐标为)1,233(，所以9322331tan ==ϕ,即为所求. 答案：93215 解析：利用参数方程,结合参数的几何意义,设过焦点)0,2(p的直线方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+=θθsin ,cos 2t y t p x (t 为参数),代入抛物线的方程得(tsin θ)2＝p 2＋2ptcos θ,即t 2sin 2θ－2ptcos θ－p 2＝0,设此方程的两个实根分别为t 1、t 2，则根据根与系数的关系，可得θθ221sin cos 2p t t =+，θ2221sin p t t -=，而根据参数的几何意义可得||112121t t t t mn n m n m -=+=+，代入化简即得答案. 答案：p216 解析：点)6,2(π-P 的直角坐标为)1,3(-,将直线1)6sin(:=-πθρl 化为直角坐标方程为:12236sincos 6cossin =-=-xy πθρπθρ. 即023=+-y x .∴132|233|+=++=d .答案：13+ 17 解:因为y ＝4x －3＋1＝22x －6＋1,所以只需把y ＝2x的图象经过下列变换就可以得到y＝4x －3＋1的图象.先把纵坐标不变，横坐标向右平移6个单位，得到函数y ＝2x －6的图象；再把横坐标缩短为原来的21,纵坐标不变,得到函数y ＝22x －6的图象； 再把所得函数图象的横坐标不变,纵坐标向上平移1个单位即得函数y ＝4x －3＋1的图象.∴⎩⎨⎧-'=-'=.1,62y y x x 则⎪⎩⎪⎨⎧+='+='.1,26y y x x18 解:将椭圆C 1的参数方程代入)23(6:22-=x y C ,整理得3sin 2φ＝6(m ＋2cos φ－23), ∴1－cos 2φ＝2m ＋4cos φ－3,即(cos φ＋2)2＝8－2m. ∵1≤(cos φ＋2)2≤9, ∴1≤8－2m ≤9. 解之,得2721≤≤-m . ∴当C 1∩C 2≠时,]27,21[-∈m . 19 解：（1）把直线的参数方程对应的坐标代入曲线的方程并化简得7t 2＋6t －2＝0,设A 、B 对应的参数分别为t 1，t 2，则7621-=+t t ，7221-=∙t t .所以，线段AB 的长度237104)(5||)4(3||212212122=-+=-∙-+=t t t t t t AB .（2）根据中点坐标的性质可得AB 的中点C 对应的参数为73221-=+t t ，所以，由t 的几何意义可得点P(－1,2)到线段AB 中点C 的距离为715|73|)4(322=-∙-+.20 解:⊙O 的直角坐标方程是x 2＋y 2－x －y ＝0, 即21)21()21(22=-+-y x . 又直线l 的极坐标方程为ρ(cos θ－sin θ)＝4, 所以直线l 的直角坐标方程为x －y －4＝0. 设)sin 2221,cos 2221(θθ++M 为⊙C 上任意一点,M 点到直线l 的距离 2|4)sin 2221(cos 2221|-+-+=θθd2)4cos(4πθ+-=.当47πθ=时,22323min ==d . 21 解:直线C 2化成普通方程为0122=-++y x . 设所求的点为P(1＋cos θ,sin θ),则P 到直线C 2的距离为 |2)4sin(|2|122sin cos 1|++=-+++=πθθθd .当πππθk 2234+=+,k ∈Z 时,即ππθk 245+=,k ∈Z 时,d 取最小值1. 此时,点P 的坐标是)22,221(--. 22 解：(1)原方程可化为06)4sin sin 4cos (cos 242=++-πθπθρρ，即ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋6＝0.①因为ρ2＝x 2＋y 2,x ＝ρcos θ,y ＝ρsin θ,所以①可化为x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0，即(x －2)2＋(y －2)2＝2,即为所求圆的普通方程.设2)2(2cos -=x θ,2)2(2sin -=y θ,所以参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+=+=θθsin 22,cos 22y x (θ为参数).(2)由(1)可知223sin cos 2)sin (cos 224)sin 22()cos 22(+=∙+++=+∙+=θθθθθθxy 2)sin (cos )sin (cos θθθθ+++.②设t ＝cos θ＋sin θ,则)4sin(2πθ+=t ,]2,2[-∈t .所以1)2(22322++=++=t t t xy .当2-=t 时xy 有最小值为1；当2=t 时,xy 有最大值为9.。

模块综合评价(时间：分钟满分：分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．点的直角坐标是(－，)，则点的极坐标为( )(∈)解析：点的极径是，点在第二象限，故点的极坐标是.答案：．极坐标方程θ＝(ρ∈)表示的曲线是( )．两条相交直线．两条射线．一条直线．一条射线解析：由θ＝，解得θ＝或θ＝π，又ρ∈，故为两条过极点的直线．答案：．曲线ρθ＋＝关于直线θ＝对称的曲线的方程是( )．ρθ＋＝．ρθ＋＝．ρθ＝．ρθ＝解析：因为(ρ，θ)关于直线θ＝的对称点是，从而所求曲线方程为ρ＋＝，即ρθ＋＝.答案：．直线(为参数)和圆＋＝交于，两点，则的中点坐标为( )．(，－) ．(－，)．(，－) ．(，－)解析：将＝＋，＝－＋代入圆方程，得＋＝，所以－＋＝，则＝，＝，因此的中点对应参数＝＝，所以＝＋×＝，＝－＋×＝－，故中点的坐标为(，－)．答案：．化极坐标方程ρθ－ρ＝为直角坐标方程为( )．＋＝或＝．＝．＝．＋＝或＝解析：ρ(ρθ－)＝，ρ＝＝或ρθ＝＝.答案：．极坐标方程分别是ρ＝θ和ρ＝θ的两个圆的圆心距是( )．．解析：ρ＝θ是圆心为(，)，半径为的圆；ρ＝θ是圆心为，半径为的圆，所以两圆的圆心距是.答案：．已知圆：＋－－＝，则圆心到直线(为参数)的距离为( )．．．．解析：由题意易知圆的圆心(，)，由直线的参数方程化为一般方程为－－＝，所以圆心到直线的距离为＝＝.答案：．点关于直线θ＝(ρ∈)的对称点的极坐标为( )解析：点的直角坐标为＝，直线θ＝(ρ∈)，即直线＝，点关于直线＝的对称点为，再化为极坐标为.。

模块综合测评(时间:120分钟,满分:150分) 知识点分布表知识点分布表知识点相应题号平面直角坐标系1,17 极坐标系2,13,16,18 简单曲线的极坐标方程3,20,22柱坐标系与球坐标系 4曲线的参数方程5,11,8,18 圆锥曲线的参数方程6,9,10,12,14 直线的参数方程7,15,19,21一、选择题(每小题5分,共60分)1.将正弦曲线y＝sinx作如下变换得到的曲线方程为（）A. B.C. D.y′＝3sin2x′2.将点P的直角坐标化为极坐标是（）A. B.C. D.3.方程ρ＝2sinθ表示的图形是（）A.圆B.直线C.椭圆D.射线4.设点M的柱坐标为,则M的直角坐标是（）A. B.C. D.5.曲线的参数方程为(t为参数,t≠0),它的普通方程是（）A.(x－1)2(y－1)＝1B.C. D.6.已知过曲线(θ为参数,0≤θ≤π)上一点P与原点O的直线PO,倾斜角为,则点P的极坐标为（）A. B.C. D.7.过点P(4,3),且斜率为的直线的参数方程为（）A.(t为参数)B.(t为参数)C.(t为参数)D.(t为参数)8.直线y＝ax＋b通过第一、二、四象限,则圆(θ为参数)的圆心位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限9.设a,b∈R,a2＋2b2＝6,则a＋b的最小值是（）A. B.C.－3D.10.曲线(t为参数)的焦点坐标是（）A.(0,1)B.(1,0)C.(1,2)D.(0,2)11.将参数方程(θ为参数)化为普通方程为（）A.(x－2)2＋y2＝4B.(x－1)2＋y2＝4C.(y－2)2＋x2＝4D.(y－1)2＋x2＝412.双曲线（θ为参数）的渐近线方程为（）A. B.C.y－1＝±2(x＋2)D.y＋1＝±2(x－2)二、填空题(每小题4分,共16分)13.在极坐标系中,若过点A(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ＝4cosθ于A、B两点,则|AB|＝_________.14.O为坐标原点，P为椭圆（φ为参数）上一点，对应的参数，那么直线OP的倾斜角的正切值是__________.15.抛物线y2＝2px(p＞0)的一条过焦点的弦被分成m，n长的两段，则_______.16.在极坐标系中,点到直线的距离是________.三、解答题(共74分)17.(12分)函数y＝2x的图象经过图象变换得到函数y＝4x－3＋1的图象,求该坐标变换.18.(12分)已知椭圆(φ为参数)及抛物线.当C1∩C2≠时,求m的取值范围.19.(12分)已知直线的参数方程为（t为参数），它与曲线(y－2)2－x2＝1交于A、B两点.（1）求|AB|的长；（2）求点P（－1，2）到线段AB中点C的距离.20.(12分)已知⊙C:ρ＝cosθ＋sinθ,直线.求⊙C上点到直线l距离的最小值.21.(12分)在曲线(θ为参数)上求一点,使它到直线(t为参数)的距离最小,并求出该点坐标和最小距离.22.(14分)已知某圆的极坐标方程为,求：（1）圆的普通方程和参数方程；（2）圆上所有点(x,y)中x·y的最大值和最小值.参考答案1 答案：D2 解析：∵,,∴,,∴.答案：C3 解析：ρ＝2sinθ可化为x2＋y2－2y＝0,表示以(0,1)为圆心,以1为半径的圆.答案：A4 解析：,,z＝7.答案：B5 解析：,∴,.答案：B6 解析：将曲线化成普通方程为(y≥0)，与直线PO:y＝x联立可得P点坐标为.利用直角坐标与极坐标转化公式即可得到P点的极坐标.答案：D7 解析：∵倾斜角α满足,∴,,∴所求参数方程为(t为参数)答案：A8 解析：∵y＝ax＋b通过第一、二、四象限,∴a＜0,b＞0.∴圆心(a,b)位于第二象限.答案：B9 解析：不妨设(α为参数),则,其中,∴a＋b的最小值为－3.答案：C10 解析：将参数方程化为普通方程为(y－1)2＝4(x＋1),该曲线为抛物线y2＝4x向左、向上各平移一个单位得到的,∴焦点为(0,1).答案：A11 解析：∵,∴,,∴,即(x －1)2＋y2＝4.答案：B12 解析：根据三角函数的性质把参数方程化为普通方程，得，可知这是中心在(－2,1)的双曲线，利用平移知识，结合双曲线的渐近线的概念即可.答案：C13 解析：∵ρ＝4cosθ,∴ρ2＝4pcosθ,即x2＋y2＝4x,∴(x－2)2＋y2＝4为ρ＝4cosθ的直角坐标方程.当x＝3时,,∴直线x＝3与ρ＝4cosθ的交点坐标为、,∴.答案：14 解析：当时，P点坐标为，所以,即为所求.答案：15 解析：利用参数方程,结合参数的几何意义,设过焦点的直线方程为(t为参数),代入抛物线的方程得(tsinθ)2＝p2＋2ptcosθ,即t2sin2θ－2ptcosθ－p2＝0,设此方程的两个实根分别为t1、t2，则根据根与系数的关系，可得，，而根据参数的几何意义可得，代入化简即得答案.答案：16 解析：点的直角坐标为,将直线化为直角坐标方程为:.即.∴.答案：17 解:因为y＝4x－3＋1＝22x－6＋1,所以只需把y＝2x的图象经过下列变换就可以得到y ＝4x－3＋1的图象.先把纵坐标不变，横坐标向右平移6个单位，得到函数y＝2x－6的图象；再把横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,得到函数y＝22x－6的图象；再把所得函数图象的横坐标不变,纵坐标向上平移1个单位即得函数y＝4x－3＋1的图象.∴则18 解:将椭圆C1的参数方程代入,整理得3sin2φ＝6(m＋2cosφ－),∴1－cos2φ＝2m＋4cosφ－3,即(cosφ＋2)2＝8－2m.∵1≤(cosφ＋2)2≤9,∴1≤8－2m≤9.解之,得.∴当C1∩C2≠时,.19 解：（1）把直线的参数方程对应的坐标代入曲线的方程并化简得7t2＋6t－2＝0,设A、B对应的参数分别为t1，t2，则，.所以，线段AB的长度.（2）根据中点坐标的性质可得AB的中点C对应的参数为，所以，由t的几何意义可得点P(－1,2)到线段AB中点C的距离为.20 解:⊙O的直角坐标方程是x2＋y2－x－y＝0,即.又直线l的极坐标方程为ρ(cosθ－sinθ)＝4,所以直线l的直角坐标方程为x－y－4＝0.设为⊙C上任意一点,M点到直线l的距离.当时,.21 解:直线C2化成普通方程为.设所求的点为P(1＋cosθ,sinθ),则P到直线C2的距离为.当,k∈Z时,即,k∈Z时,d取最小值1.此时,点P的坐标是.22 解：(1)原方程可化为，即ρ2－4ρcosθ－4ρsinθ＋6＝0.①因为ρ2＝x2＋y2,x＝ρcosθ,y＝ρsinθ,所以①可化为x2＋y2－4x－4y＋6＝0，即(x －2)2＋(y－2)2＝2,即为所求圆的普通方程.设,,所以参数方程为(θ为参数).(2)由(1)可知.②设t＝cosθ＋sinθ,则,.所以.当时xy有最小值为1；当时,xy有最大值为9.。