2018数学高考一轮复习刺金四百题：第121—125题(含答案解析)

感知高考刺金1111．已知21()ln(1),()2xf x xg x m ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，若[][]120,3,1,2x x ∀∈∃∈，使得12()()f x g x ≥，则实数m 的取值范围是 。

解：要使命题成立需满足1min 2min ()()f x g x ≥，函数2()ln(1)f x x =+在[]0,3上是增函数，所以1min()(0)0f x f ==，函数1()2xg x m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[]1,2上是减函数，所以22min1()(2)2g x g m ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以2110,24m m ⎛⎫≥-∴≥ ⎪⎝⎭。

2．一家55窗口走廊 窗口 其中爷爷行动不便要坐靠近走廊的位置，小孙女喜欢热闹要坐在左侧三个连在一起的座位之一，则座位的安排方式一共有__________种。

解：30感知高考刺金1121．若实数,x y 满足x y -=，则x y +的最大值是 。

a =b =则()()()2234280,0a b a b -+-=>>，223x y a b +=+- 问题转变求为圆弧上一点到原点的距离的平方减3的最大值故(22235350x y a b +=+-≤+-=+2．设集合(){}{}1236,,,,|1,0,1,1,2,3,,6i A x x x x x i =∈-=，则集合A 中满足条件“123615x x x x ≤++++≤”的元素个数为 。

（用数字作答） 解：十个字母中有()15k k ≤≤个字母是1±，有6k -个字母是0，故有()61122550066666662221222664C C C C C ⋅+⋅++⋅=+-⋅-⋅=L感知高考刺金1131．在平面直角坐标系中，定义点()11,P x y 、()22,Q x y 之间的“直角距离”为()1212,d P Q x x y y =-+-，若(),C x y 到()1,3A 、()6,9B 的“直角距离”相等，其中实数,x y 满足010,010x y ≤≤≤≤，则所有满足条件的C 的轨迹的长度之和为 ．解：1369x y x y -+-=-+-先以y 为分类指标，当910y ≤≤时，166x x -+=-，无解 当03y ≤≤时，166x x --=-，无解 当39y ≤≤时，21261y x x -=---再以x 为分类指标，若01x ≤≤，则8.5y =，线段长度为1；若16x ≤≤，则9.5x y +=，线段长度为； 若610x ≤≤，则 3.5y =，线段长度为4；故C 的轨迹的长度之和为52．用数字“1,2”组成一个四位数，则数字“1,2”都出现的四位偶数有 个。

感知高考刺金186数列模块2．已知函数()(2318,3133x tx x f x t x ⎧-+≤⎪=⎨->⎪⎩，记()()*n a f n n =∈N ．若{}n a 是递减数列，则实数t 的取值范围是 ．解：{}n a 是递减数列，从4a 开始，必须满足130t -< 又对1,2,3n =，根据二次函数的性质，需要满足对称轴3522t > 注意还要满足34a a >，即991813t t -+>-， 综上得543t <<感知高考刺金187数列模块3．已知集合21|,*2n n A n n λ-⎧⎫=≥∈⎨⎬⎩⎭N ，若A 中有且仅有3个元素，则实数λ的取值范围是 ．解：令212n n n b n a -=，考查n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的单调性，111212352222n n n n n n n b b n n na a -------=-= 当2n =时，110n n n n b b a a --->，即2121b ba a > 当3n ≥时，110n n n n b b a a ---<，此时n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭单调递减 1112b a =，2234b a =，3358b a =，44716b a = 由题意知，A 中有且仅有3个元素，只需大于第四项即可，所以71162λ<≤ 点评：数列作为一种特殊的函数，特殊性在于自变量n 取正整数，函数图象是不连续的点。

因此在涉及数列单调性问题时，既可以从函数单调性的角度去理解，也可以有数列判断单调性特有的方法，后项减前项与0比较大小解决。

这个题目最经典的题根就是“递增数列{}n a 的通项公式为2n a n n λ=+，则λ的取值范围是 。

”这里就既可以从二次函数单调递增的角度，也可以用10n n a a -->的角度来求解。

感知高考刺金188数列模块4．在各项均为正整数的单调递增数列{}n a 中，121,2a a ==且132112,*k k k k a a k N a a +++⎛⎫⎛⎫++=∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则9a = ． 解：当1k =时，由132112k k k k a a a a +++⎛⎫⎛⎫++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭及121,2a a ==得4312112a a ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 又数列{}n a 是各项均为正整数的单调递增数列，所以3312112a a ⎛⎫⎛⎫++> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以233320a a --<3a <<，又3*a N ∈，所以33a =，所以45a = 当2k =时，由5231125a ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以58a = 当3k =时，由6251128a ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以613a = 当4k =时，由72811213a ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以721a = 继续下去，可得955a =本题可以发现数列其实是斐波那契数列，故由132112,*k k k k a a k N a a +++⎛⎫⎛⎫++=∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭得 ()()12321k k k k k k a a a a a a ++++++=-可以发现12321,k k k k k k a a a a a a ++++++==+，即斐波那契数列．感知高考刺金189数列模块5．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若数列{}n a 满足2n n a S An Bn C +=++且0A >，则1B C A+-的最小值是 ．解：设n a pn q =+，则()232222n n p q pn q np p q a S pn q n n q +++++=++=++ 故2322p A p q B q C ⎧=⎪⎪+⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，解得3B CA -=故13B C B C A B C+-=+-≥-感知高考刺金190数列模块6．已知函数()()[)()[)()11sin 2,2,2121sin 22,21,222n n x n x n n f x n N x n x n n ππ+⎧-+∈+⎪⎪=∈⎨⎪-++∈++⎪⎩，若数列{}m a 满足()*2m m a f m ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭N ，且{}m a 的前m 项和为mS ，则20142006S S -= ．解：()[)()[)()11sin 2,4,422,,*21sin 22,42,442n m n m n m n n m a f n m x n x n n ππ+⎧-+∈+⎪⎪⎛⎫==∈∈⎨ ⎪⎝⎭⎪-++∈++⎪⎩N N所以42n a n =，412n a n ++，4221n a n +=+，4322n a n +=+ 故201420062007200820148042S S a a a -=+++=。

感知高考刺金1161．已知ABC ∆中，角,,A B C 的对边,,a b c 满足()cos c a A C =+，则tan C 的最大值是 ．解：()222cos cos 2a c b c a A C a B a ac+-=+=-=-⋅ 即()22213c b a =-，且B 为钝角，C 为锐角 由余弦定理得()2222222221423cos 226a b b a a b c a b C ab ab ab +--+-+===≥= 锐角C 在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，故当()min cos C =时，则()max tan C = 2．各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的7个专业中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生有______种不同的填报专业志愿的方法（用数字作答）．解：32735180A A -⋅=感知高考刺金1171．已知,αβ为锐角，且()sin cos sin ααββ+=，则tan α的最大值是 ． 解法一：()()()()sin sin cos sin cos cos sin sin sin αββαββααβαββββ⎡+-⎤+⎣⎦+===-+ 即()tan 2tan αββ+=()()()2tan tan tan tan tan 1tan tan 12tan αβββααββαβββ+-=⎡+-⎤===⎣⎦+++当且仅当tan β= 解法二：由()sin cos sin ααββ+=得sin cos cos sin sin sin ααβαββ-= 即1cos cos sin sin sin αβαββ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭即222sin cos sin costan1sin2sin cosββββαβββ==≤++cosββ=，即tanβ=2．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是。

感知高考刺金1011．在ABC ∆和AEF ∆中，B 是EF 的中点，1AB EF ==，6BC =，CA ，若2AB AE AC AF +=，则EF 与BC 的夹角余弦值为 。

解法一：2AB AE AC AF +=，则()()2AB AB BE AC AB BF +++= ()22AB AB BE AC AB AC BF +++=因为21AB =，3311AB AC ==-，BE BF =- 所以()112BF AC AB +--=所以2BF BC = 所以16cos 22θ⋅=，所以2cos 3θ= 解法二：设,,AE x AF y CF z === 则222114122x x x +-⋅⋅+= 22232904x y z +-+= 又因为AB 为AEF ∆中线，所以()222242AB EF AE AF +=+，即2252x y += 所以21324z = 在CBF ∆中，113632244cos 13262θ+-==⋅⋅ 2．一个口袋里装着一个红球、一个黄球、一个蓝球、一个白球，这些小球除了颜色之外，没有区别，从中一次性摸出2个球。

若摸得红球记3分，摸得黄球记2分，摸得蓝球记1分，摸得白球得0分，则得分和至少为4分的概率是 。

解：得分和至少为4分的情况为摸出红和黄或摸出红和蓝，故24213P C ==感知高考刺金1021．将正方形的四个角（四个全等的小等腰直角三角形）分别沿其底边向同侧折起，使其与原所在平面成直二面角，则所形成的空间图形的12条棱所在的直线中，共有异面直线对。

解：可以将空间图形放回正方体内，问题就转化为8条侧面对角线与底面4条棱所在直线组成几对异面直线。

以对角线BE 为一条，共有,,AH GD FC 三条对角线异面，共有38122⋅=对 还有,AD CD 两条底边棱异面，共有2816⋅=对所以共有28对。

2．某次中俄军演中，中方参加演习的有4艘军舰，3架飞机；俄方有5艘军舰，2架飞机。

感知高考刺金361题设x ∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数. 若存在实数t ，使得[]1t =，22t ⎡⎤=⎣⎦，…，n t n⎡⎤=⎣⎦同时成立．．．．，则正整数n 的最大值是 ． 解：由[]1t =得12t ≤<由22t ⎡⎤=⎣⎦得223t ≤< 由44t ⎡⎤=⎣⎦得445t ≤<，所以22t ≤<由33t ⎡⎤=⎣⎦得334t ≤<，所以56t ≤<由55t ⎡⎤=⎣⎦得556t ≤<与56t ≤<n 的最大值是4感知高考刺金362题过点()1,1M -的直线l 交圆()22:11C x y -+=于点,A B ，O 为坐标原点，若在线段AB 上的Q 满足112MA MB MQ+=，则min OQ = ． 解：设()11,A x y ，()22,B x y ，(),Q m n ，直线():11l y k x =++则11MA +，21MB =+，1MQ + 由112MA MB MQ +=得12112111x x m +=+++ 由()()221111x y y k x ⎧-+=⎪⎨=++⎪⎩得()()()2222122210k x k k x k +++-++= 所以21222221k k x x k +-+=-+，()212211k x x k +=-+ 所以421k m =-+所以()42111n m m ⎛⎫=-++ ⎪+⎝⎭整理得点(),Q m n 满足的轨迹方程为210m n --=所以min OQ ==感知高考刺金363题如图，已知点D 为ABC ∆的边BC 上一点，3BD DC =u u u r u u u r，()*n E n ∈N 为AC 边上一列点，满足()11324n n n n n E A a E B a E D +=-+u u u u r u u u u r u u u u r，其中数列{}n a 满足0n a >，11a =，则{}n a 的通项公式为 ．解：由3BD DC =u u u r u u u r可得1344n n n E D E B E C =+u u u u r u u u u r u u u u r又()11324n n n n n E A a E B a E D +=-+u u u u r u u u u r u u u u r，且n n E C E A λ=u u u u r u u u u r故()113132444n n n n n n E D E B a E B a E D λ+⎡⎤=+-+⎢⎥⎣⎦u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r即()131********n n n n a E B a E D λλ+⎛⎫⎡⎤+=++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭u u u u r u u u u r 因为,n n E B E D u u u u r u u u u r 不共线，故()1310416313204n na a λλ+⎧+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩， 两式相除消去λ得132n n a a +=+，又11a =，所以1231n n a -=⋅-感知高考刺金364题若点A 在圆C :22(1)(2)4x y -++=上运动,点B 在y 轴上运动,则对定点(3,2)P 而言,||PA PB +u u u r u u u r的最小值为 ．解法1：设11(,)A x y ,2(0,)B y ,则112(6,4)PA PB x y y +=-+-u u u r u u u r.若设||r PA PB =+u u u r u u u r ,则由题意可得222112(6)(4)x y y r -++-=.即,点A 在以2(6,4)D y -为圆心,以r 为半径的圆D :2222(6)(4)x y y r -++-=上.由圆C与圆D 有公共点A 可得2222||(61)(6)5r CD y +≥=-+-≥,从而3r ≥.解法2：设11(,)A x y ,2(0,)B y ,则112(6,4)PA PB x y y +=-+-u u u r u u u r.从而,22211211||(6)(4)(6)63PA PB x y y x x +=-++-≥-=-≥u u u r u u u r.解法3：由点A 在圆C 上可设(12cos ,22sin )A θθ+-+,(0,)B t ,则(2cos 5,2sin 6)PA PB t θθ+=-+-u u u r u u u r.故222||(2cos 5)(2sin 6)(2cos 5)52cos 3PA PB t θθθθ+=-++-≥-=-≥u u u r u u u r. 解法4：设Q 为AB 的中点,则2PA PB PQ +=u u u r u u u r u u u r,过,,P Q A 作y 轴的垂线,垂足分别为',','P Q A .由于13|'||||'||||'|||22PP PQ QQ PQ AA PQ ≤+=+≤+, 因此33|||'|22PQ PP ≥-=,即||2||3PA PB PQ +=≥u u u r u u u r u u u r .解法5：设'B 为点B 关于点P 的对称点，则|||'||'|PA PB PA PB B A +=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r .由于点'B 在直线6x =上,点A 在圆C :22(1)(2)4x y -++=上可得|'|523B A ≥-=u u u u r.解法6：同解法5，设'A 为点A 关于点P 的对称点,则|||'||'|PA PB PB PA A B +=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r .由于点'A 在圆'C :22(5)(6)4x y -+-=上,点B 在y 轴上可得|'|523A B ≥-=u u u u ryxB'PCOA B感知高考刺金365题设实数,x y 满足2025020x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则112u x y =+的取值范围为 ．解：可行域如图所示，()1,2A ，()4,2B ，()3,1C ， 所以14,12x y ≤≤≤≤设点(),P x y 是可行域内一动点， 目标函数112u x y=+既是关于x 的减函数，又是关于y 的减函数 所以当点P 与点C 重合时，此时x 取得最大值4， 同时y 取得最大值2，此时u 取得最小值为1114222+=⋅ 对于每一个固定的y 的值，要使u 取得最大值，应使x 取得最小值，即点P 应位于线段AB 上，此时()5212x y y =-≤≤()()111152522252u y x y y y y y =+=+=--()12y ≤≤ 所以()max 54u y =，此时()1,2P 与点A 重合 综上所述，1524u ≤≤感知高考刺金366题已知点,A B 是双曲线22122x y -=右支上两个不同的动点，O为坐标原点，则OA OB u u u r u u u rg的最小值为 ．解法一：韦达定理当AB k 存在时，设:AB l y kx b =+()222221122022x y k x kbx b y kx b⎧-=⎪⇒----=⎨⎪=+⎩212122222,11kb b x x x x k k ++==-- ()()()()221212*********OA OB x x y y x x kx b kx b k x x kb x x b =+=+++=++++u u u r u u u r g()2222222222222241221111b k b k k b k k k k ++=+++==+>----当AB k 不存在是，222x y x m⎧-=⎨=⎩，则22121222OA OB x x y y m m =+=+-=u u u r u u u r g综上，2OA OB ≥u u u r u u u rg解法二：由于,A B 两点运动，故采取“一定一动”的原则，不妨先在B 点确定的情况下，让A 点运动到最小值，然后再让B 点运动，即取最小值的最小值。

感知高考刺金1261．已知函数()2g x x x a x =-+，若存在[]2,3a ∈-，使得函数()y g x at =-有三个零点，则实数t 的取值范围是 。

解：()()()222,2,x a x x ag x x a x x a⎧+-≥⎪=⎨-++<⎪⎩若x a ≥，对称轴222a x a a -=≤⇒≥-时，()g x 在[),a +∞上递增 若x a <，对称轴222a x a a +=≥⇒≤时，()g x 在(),a -∞上递增所以当22a -≤≤时，()g x 在R 上递增，则函数()y g x at =-不可能有三个零点，故只需考虑23a <≤的情况画出()y g x =的大致图象知，要使得函数()y g x at =-有三个零点，只能()22a g g a +⎛⎫> ⎪⎝⎭即()222,4a ta a ⎛⎫+ ⎪∈ ⎪⎝⎭，即存在23a <≤，使得()222,4a t a ⎛⎫+ ⎪∈ ⎪⎝⎭即可 令()()22244244a a a h a aa +++==≥，只要使()maxt h a <⎡⎤⎣⎦即可，而()()max 25312h a h ⎡⎤==⎣⎦故25212t <<2．如图，沿田字型的路线从A 往N 走，且只能向右或向下走， 随机地选一种走法，则经过点C 的概率是 ． 解：23感知高考刺金1271．已知,a b 是空间相互垂直的单位向量，且3,1,2c c a c b ===，则c ma nb --的最小值是 。

解法一：由1,2c a c b ==知c 在a 方向上的投影为1，c 在b 方向上的投影为2，ma nb +是在,a b 组成的平面内的任意向量，c ma nb --表示空间向量c 的终点到平面上任2解法二：()()()()2222222222229244124c ma nb c ma nbc m a n b c ma nbm n m n m n --=--=++-+=++--=+-+-≥2．从集合{}1,1,2,3-中随机选取一个数记为m ，从集合{}1,2,4中随机选取一个数记为n ，则方程22mx ny mn +=表示焦点在x 轴上的椭圆的概率为 ． 解：31感知高考刺金1281．已知函数()1221,021,0x x f x x x x -⎧-≥⎪=⎨++<⎪⎩，若关于x 的方程()()()22120f x m f x m -++=有五个不同实根，则m 的值是 。

感知高考刺金201题
解析几何模块4．已知曲线C 的方程221x y +=，()2,0A -，存在一定点()(),02B b b ≠-和常数λ，对曲线C 上的任意一点(),M x y ，都有MA MB λ=成立，则点(),P b λ到直线()220m n x ny n m ++++=的最大距离为 ． 解法一：由MA MB λ=得()()222222x y x b y λ⎡⎤++=-+⎣⎦
即()()()
222222211244x y b x b λλλλ-+--+=- 故2222240411
b b λλλ⎧+=⎪⎨-=⎪-⎩，将22b λ=-代入22241b λλ-=-得22520b b ++=，得12b =-，2λ= 又直线()220m n x ny n m ++++=恒过定点()2,0-，所以由几何性质知点1,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭
到直线()220m n x ny n m ++++=的最大距离为点()2,0-与1,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭的距离为52 解法二：作为小题，由MA MB λ=知是阿氏圆轨迹，故取圆22:1C x y +=直径上的两个点()()1,0,1,0-，即可得1311b b λ==+-，解得12
b =-，2λ= 感知高考刺金202题
解析几何模块5．已知M 是28x y =的对称轴和准线的交点，点N 是其焦点，点P 在该抛物线上，且满足PM m PN =，当m 取得最大值时，点P 恰在以M 、N 为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为 ．
解：作''PP M P ⊥，由抛物线定义'PP PN =
'1cos PN PP PM m PN m PM PM
θ=⇒===，其中'MPP NMP θ=∠=∠。

感知高考刺金911．若,x y 满足()()22221log 4cos 434cos xy y y xy ⎡⎤+=-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则c o s y x = 。

解：()()()222221log 4cos 432114cos xy y y y xy ⎡⎤+=-+-=--+≤⎢⎥⎢⎥⎣⎦又()()22221log 4cos log 214cos xy xy ⎡⎤+≥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦所以()()2221log 4cos 14cos xy xy ⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦即()()2214cos 24cos 2xy xy y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩解得()1cos 22xy y ⎧=⎪⎨⎪=⎩或()1cos 22xy y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩所以()2cos422cos 211y x x =-=-评注：本题是夹逼原理的应用。

2．已知10个产品中有3个次品，现从其中抽出若干个产品，要使这3个次品全部被抽出的概率不小于0.6，则至少应抽出产品 个。

解：33371035n n C C C -≥，即()()12310985n n n --≥⋅⋅，解得9n ≥感知高考刺金921．已知ABC ∆是边长为的正三角形，EF 为ABC ∆的外接圆O 的一条直径，M 为ABC ∆的边上的动点，则ME MF 的取值范围是 。

解：ABC ∆的外接圆O 的半径为2 由极化恒等式可得22244EF ME MF MO MO =-=- 由图易得[]1,2OM ∈ ，所以[]3,0ME MF ∈-2．已知P 箱中有红球1个，白球9个，Q 箱中有白球7个，（P 、Q 箱中所有的球除颜色外完全相同）．现随意从P 箱中取出3个球放入Q 箱，将Q 箱中的球充分搅匀后，再 从Q 箱中随意取出3个球放入P 箱，则红球从P 箱移到Q 箱，再从Q 箱返回P 箱中的概率等于 。

解：121219************C C C C P C C =⋅=感知高考刺金931．在ABC ∆中，6AC =，7BC =，1cos 5A =，O 是ABC ∆的内心，若OP xOA yOB =+ ，其中01,01x y ≤≤≤≤，则动点P 的轨迹所覆盖的面积为 。

感知高考刺金1311．函数()()401x f x x x =>+，()()()1,2g x x a x b a b =---<，若对10x ∀>，21x x ∃≤，()()21g x f x =，则2a b +的最大值为 。

解：()()()1,2,21,2b a x b a b g x x a x b a b x a ⎧->⎪⎪+⎪=-≤≤⎨⎪⎪-<⎪⎩，()()444011x f x x x x ==->++若使对10x ∀>，21x x ∃≤，()()21g x f x =成立首先需使()142b a -≥且()102a b -< 且线段,2a b y x a x b +=-≤≤与曲线()()401xf x x x =>+无交点 由241a b y x xy x +⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪+⎩得23022a b a b x x ++⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭无正根 （i ）若3202a b++≥，即6a b +≥-时，要求()23202a b a b +⎛⎫∆=+++≤ ⎪⎝⎭， 解得182a b -≤+≤-，即62a b -≤+≤- （ii ）若6a b +<-时，满足02a b+->，恒成立 综上，2a b +≤-故要使对10x ∀>，21x x ∃≤，()()21g x f x =成立只需82b a a b a b -≥⎧⎪<⎨⎪+≤-⎩，画出可行域可得27a b +≤-2．（1）若复数z 与其共轭复数z满足z =2z z +=，则5z z+= 。

（2）若函数()ln x af x x-=的图象总在()F x =a 的取值集合。

解：（1）2 （2）ln x ax->0x >且1x ≠恒成立，故()min,1a x xx <>或()min,01a x xx ><<令()g x x x =，……，得1a =感知高考刺金1321．已知()22245f x x a a =+-+，若()f x 的最大值是()g a ，则关于a 的不等式()12log 30g a +<的解集是 。

感知高考刺金251题设,m k 为正整数，方程220mx kx -+=在区间()0,1内有两个不同的根，则m k +的最小值是 ． 解：2220mx kx k mx x-+=⇒=+ 于是问题转化为直线y k =与打勾函数2y mx x =+的图象的两个交点的横坐标均在区间()0,1内，于是2k m <+注意到2m +为整数，于是在区间()2m +上存在整数k 的充要条件为21m +>解得3m >+故m 的最小值为6，而k 的最小值为7，则m k +的最小值为13感知高考刺金252题已知21x y +=，求x 的最小值是 ．解法一：令x m =，则222m y x m -= 因此22212m y y m-⋅+=，整理得220y my m m -+-= 故用判别式()2240m m m ∆=--≥，解得45m ≥ 解法二：设cos x r θ=，sin y r θ=，条件转化为2cos sin 1r r θθ+=，即12cos sin r θθ=+ 所求代数式转化为cos 1cos 2cos sin r r θθθθ++=+的最小值 由此可有斜率角度求值域： 2cos sin 2cos 2sin 2sin 252cos 1cos 1cos 14θθθθθθθθ+++--==+≤+++，（视为单位圆上的点与()1,2-连线斜率），则cos 142cos sin 5x θθθ+≥+ 也可由三角函数角度求值域：()cos 14sin 21cos 112cos sin 5m m m m θθθθθ+=⇒+-=⇒≥+评注：这里因为遇到22x y +的结构，故三角换元设cos x r θ=，sin y r θ=。

解法三：数形结合当0x ≥时，点P 为21x y +=上的一点，则x PO PH =+如图，就是典型的“饮马问题”，点O 关于直线21x y +=的对称点42,55Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭到y 轴的距离为45当0x <时，点P 为21x y +=上的一点，则x PO PH =-而21PO O H O B PH PH >=+>+于是1PO PH ->感知高考刺金253题如图，直线m 与平面α，垂足是O ，正四面体ABCD 的棱长为4，点C 在平面α上运动，点B 在直线m 上运动，则点O 到直线AD 的距离的取值范围是 ． 解：题意中是点O 是定点，正四面体ABCD 运动，但始终保持OB OC ⊥不变不妨反过来换位思考，将正四面体ABCD 固定下来，让点O 在以BC 为直径的球面上运动，如图所示。