概率4

正态分布概率4σ正态分布，也被称为高斯分布，是概率论和统计学中最重要的概率分布之一。

它在自然界和人类活动中的广泛应用使得我们不禁思考，为什么正态分布的概率密度函数有着如此特殊的形状？正态分布的概率4σ，指的是在正态分布曲线下，落在均值加减4倍标准差范围内的概率。

在统计学中，标准差是用来衡量数据集中值的离散程度，而4倍标准差则被认为是一个非常极端的情况。

根据正态分布的性质，大约68%的数据会落在均值加减1倍标准差的范围内，而落在均值加减4倍标准差范围内的概率则非常小，仅约为0.003%。

正态分布的概率4σ在实际应用中具有重要意义。

在金融领域，例如股票市场的波动性分析中，正态分布被广泛用来描述股票价格的变动情况。

当股票价格远离均值4倍标准差的时候，往往意味着市场出现了异常波动，投资者需要警惕风险。

在医学领域，正态分布的概率4σ也有着重要的应用。

例如，身高和体重的分布通常符合正态分布。

通过研究正态分布的特性，医学研究人员可以判断一个人的身高或体重是否正常，是否存在偏离正常范围的情况。

除了金融和医学领域，正态分布的概率4σ在工程学、社会科学等领域也具有重要的应用。

例如，在工程结构设计中，我们需要考虑材料的强度和可靠性。

正态分布的概率4σ可以帮助我们评估结构是否能够承受极端条件下的负载，从而确保结构的安全性。

然而，正态分布的概率4σ也有其局限性。

在某些情况下，数据集的分布可能并不符合正态分布，这就需要我们使用其他的概率分布进行建模和分析。

此外，正态分布的概率4σ只是一个统计指标，不能直接用来预测具体事件的发生概率，需要结合具体的问题和背景进行综合考虑。

正态分布的概率4σ是一种重要的统计指标，可以帮助我们理解和分析数据的分布情况。

它在金融、医学、工程学等领域的广泛应用使得我们能够更好地理解和处理现实世界中的问题。

然而，我们也要意识到正态分布的概率4σ只是一个参考指标，需要结合具体的问题和背景进行合理的解读和应用。

概率知识点及习题第四章————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：23 / 15第四章《概率》一、 重点知识事件分类⎪⎩⎪⎨⎧有时不发生的事件件下，试验时有时发生③随机事件：在一定条都不会发生的事件条件下，每一次试验时②不可能事件：在一定会发生的事件件下，每一次试验时都①必然事件：在一定条1、事件随机事件不可能事件必然事件确定事件2、随机事件A 发生的频率与概率频率：在相同条件下大量重复的n 次试验中，随机事件A 发生了m 次，则频率为nm 。

概率：随着试验次数的增加，若nm稳定在某一个常数p 附近，则p 即为事件A 的概率，记为P ()p A =，P （A ）=nm 可理解为：（1）求一个事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验；（2）只有当频率在某个常数附近摆动时，这个常数才叫做事件Ａ的概率； （3）概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值； （4）概率反映了随机事件发生的可能性的大小； （5），必然事件的概率为，不可能事件的概率为，随机事件时。

二、知识要点1．确定事件发生的可能性在某一条件下，事件发生的可能性是有大小的.不可能事件是永远不会发生的事件，其发生的可能性为0；必然事件是在一定的条件下必然发生的事件，其发生的可能性是100%. 2．不确定事件发生可能性不确定事件发生的可能性是不确定的，一个不确定事件发生的可能性可以用0到1之间的数表示.对于一个不确定事件，我们可以通过大量的试验来探究其发生可能性.根据不确定事件发生可能性，不确定事件又可分为很可能发生事件（发生的可能性很大）；可能发生事件（有一定的发生可能性）；不太可能发生事件（发生的可能性较小）.很可能发生事件只是发生的可能性非常大，但4 / 15其发生的可能性不是1；不太可能发生事件虽然发生的可能性相当小，但其发生的可能性不是0. 3．频率与可能性试验是估计可能性的一种方法.通过试验的方法用频率估计可能性应注意以下几点：（1）通过试验的方法用频率估计可能性，试验要在相同的条件下进行，否则结果可能会受到影响. （2）通过试验，用频率估计可能性，需要经过多次的试验，当频率逐渐稳定时，用稳定时的频率值估计可能性.4．游戏的公平与不公平一个公平的游戏应该是游戏的双方获胜的可能性相同，不公平的游戏是指游戏双方或获胜的可能性不同.较简单的游戏可以从通过分析的方法判断其是否公平；对于比较复杂且比较难判断公平性的游戏，我们可以通过做试验的方法来确定其公平性. 5．两种模型的概率（1）等可能性事件的概率：在一次试验中，如果不确定现象的可能结果只有有限个，且每一个结果都是等可能的，求这种类型事件的概率称为等可能事件的概率型.如摸球、掷硬币、掷骰子等都属于等可能性.在等可能事件中， 如果所有等可能的结果为n ，而其中所包含的事件A 可能出现的结果数是m ，那么事件A 的概率P （A ）=nm . （2）区域事件发生的概率：在与图形有关的概率问题中，概率的大小往往与面积有关，这种类型的概率称为区域型概率.在区域事件中，某一事件发生的概率等于这一事件所有可能结果组成的图形的面积除以所有可能结果组成的图形的面积. 如P （小猫停留在黑砖上）=地板砖总面积黑砖总面积.6．利用概率解决实际问题用概率来解释生活中的实际问题的关键是能够准确计算出事件发生的概率，再结合事件发生的等可能性加以判断说明.三、易混易错1.混淆确定事件、不确定事件、必然事件和不可能事件之间的区别与联系.如，下列事件是必然事件的是（ ）A.明天要下雨B.打开电视机，正在直播足球比赛C.抛掷一枚正方体骰子，掷得的点数不会小于1D.买一张3D 彩票，一定会中一等奖不少同学会错误地选择A ，或B ，或D .而事实上，在特定的条件下，有些事件我们事先能够肯定它一定会发生，就是必然事件.因为明天到底是否下雨，今天我们还不能够知道，因此，问题中的“明天要下雨” 是一个随机事件；打开电视机所看到的节目与所在的时间、所收看的频道有关系，因此，问题中的“打开电视机，正在直播足球比赛”，也是一个随机事件；一枚正方体骰子有6个面，上面的点数分别为1、2、3、5 / 154、5、6，无论怎样进行抛掷，都是这6个数中的一个，因而“抛掷一枚正方体骰子，掷得的点数不会小于1”是一个必然事件；同样买一张3D 彩票，能否中一等奖也是不确定的.因此，本题正确应该选C .2.混淆单一事件发生的可能结果和所有可能发生的结果之间的关系.如，一布袋中放有红、黄、自三种颜色的球各一个，它们除颜色外其他都一样，贝贝从布袋中摸出一球后放回去摇匀，再摸出一个球，试求贝贝两次都能摸到白球的概率.不少同学会错误认为：因为一布袋中放有红、黄、自三种颜色的球各一个，它们除颜色外其他都一样，所以小亮从布袋中摸出一球后放回去摇匀，再摸出一个球的概率均为13. 而事实上，题目是要求贝贝两次都能摸到白球的概率，而不是每一次贝贝两次都能摸到白球的概率.由于布袋中放有红、黄、自三种颜色的球各一个，它们除颜色外其他都一样，所以贝贝从布袋中摸出一球后放回去摇匀，再摸出一个球，这样两次摸出球的结果是：（红，红）、（红，黄）、（红，白）、（黄，红）、（黄，黄）、（黄，白）、（白，红）、（白，黄）、（白，白），由此贝贝两次都能摸到白球的概率是P （白，白）＝19. 3.玩游戏受表面现象所迷惑.如，从一副扑克中分离出所有的红桃，并将红桃J 记为11，红桃Q 记为12，红桃K 记为13，现将分离出来的红桃洗匀，背面朝上，从中任意抽取一张，数字是偶数的贝贝赢，奇数的京京赢.你认为游戏是否公平吗？咋一看，数字只有偶数和奇数，所以这个游戏是公平的，而仔细分析一下这13个数字中有6个偶数，7个奇数，显然贝贝和京京获胜的概率是不等的，因此这个游戏不公平.参考答案：一、填空题 １．12；２．16；３．公平；４．不确定；５．＜；６．227；７．23；８．211；９．０；１０．０．５； 二、选择题 １１．Ｃ；１２．Ｃ；１３．Ｄ；１４．Ａ；１５．Ａ；Ｄ．１７．Ｄ；１８．Ａ； １９．Ｂ；２０．Ｃ；三、解答题２１．（１）13；（２）３；（３）甲、乙一样大； ２２．设黑球的个数为ｘ，则球的总数为ｘ＋４２，由题意，得34210x x =+，解得ｘ＝１８．２３．甲每次猜对的概率为137，赢钱137×３０＝3037（元）；乙每次获胜的概率为3637，赢钱36 37×１＝3637（元），故乙获胜的机会大些．２４．原来口袋里的球共有３６个，其中红球６个，蓝球１８个，白球１２个，为了使摸出的各色球的概率相同，三色球的数量应相等，为了使口袋里的球尽量多，各色球也应尽量多，但红球最多只能达１６个，白球只能达１５个，因此，唯一的方案是再放入白球３个，红球９个，然后取出蓝球３个．２５．（１）抛掷一正一反两块竹板，面朝上的可能性有（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）四种情况，每次“允”的概率为12，故Ｐ（连允三次）＝12×12×12＝18；（２）可以动员长辈向关二爷这样说：如果不可以放个北门，请关二爷连允三次．这样，关二不允许放北门的概率是18，而允许放北门的概率是78．典型例析例1：有如下事件，其中“前100个正整数”是指把正整数按从小到大的顺序排列后的前面100个.事件1：在前100个正整数中随意选取一个数，不大于50；事件2：在前100个正整数中随意选取一个数，恰好为偶数解：事件1：在前100个正整数中，不大于50的数共有50个(1，2.…，50)，因此，事件1发生的概率为而50/100=1/2；事件2：在按顺序排列好的一列正整数中，奇偶相间，所以前100个正整数中恰好有50个偶数，因此，事件2发生的概率也是1/2.例2：将如图所示的牌面数字分别是1，2，3，4的四张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上．先从中随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并重新洗匀，再随机抽取一张，将牌面数字作为个位上的数字，请用画树状图或列表的方法求组成的两位数恰好是4的倍数的概率．【解析】解法一：或根据题意，画表格：第二次第一次1 2 3 46 / 15111 12 13 142 21 22 23 243 31 32 33 344 41 42 43 44由表格可知，共有16种等可能的结果，而且它们出现的可能性相等；其中是4的倍数的有4种：12，24，32，44。

概率第四定律，也被称为概率的独立性原理，是指一个事件（A）是否发生对另一个事件（B）发生的概率没有影响。

简单来说，如果两个事件是相互独立的，那么一个事件的发生不会影响另一个事件发生的概率。

例如，假设我们有两个独立的事件：抛掷一枚硬币和掷一颗骰子。

抛掷硬币的结果（正面或反面）不会影响掷骰子得到特定点数（如3点）的概率，反之亦然。

这两个事件就是相互独立的。

请注意，概率的独立性原理是概率论中的一个基本假设，它大大简化了复杂系统的分析。

然而，在实际生活中，许多事件并不是完全独立的，因此在使用这一原理时需要谨慎。

第四章 大数定律及中心极限定理导 学——极限论在概率研究中的应用本章是承前启后的一章：明晰了“频率与概率的关系”，这是一个遗留问题。

并将《概率论》部分划上了一个句号，这是承前；说它启后，有定理设定：⋯⋯,21,,,n X X X 独立同分布，这一设定在《数理统计》部分一直沿用了下去。

全章由四节组成，§1节特征函数，§2节大数定律，讲了三个定理， §3节随机变量序列的两种收敛性，§4节中心极限定理。

三个定理。

“大数”及“极限”均要求+∞→n ，在实际问题中，n 充分大即可。

§2节主要研究对象为：算术平均值()n X X nX +⋯+=11；§4节的主要研究对象为： n ni iX X X+⋯+=∑=11，比nX 1少了。

§2节的学习，不妨先从复习入手。

第二、三章已熟悉了()()⋅⋅D E 及,先推算出21)(,)(σμnX D X E =⋯==⋯=这是核心推导之一，后面学《数理统计》会反复使用，再由契比雪夫不等式及夹逼原理，可推出定理一，其中NX D 2)(σ=中的n1很宝贵。

定理二是由定理一推得的，关键点为：n A X X X n +⋯++=21及X X n n n ni i A ==∑=11，于是可用定理一了。

推导本身是一件很愉快的事。

§2节的三个定理可在比对中学习。

定理一（契）不要求⋯⋯,21,,,n X X X 一定为同分布，（贝）是由定理一（契）的特例。

定理二（马）不要求⋯⋯,21,,,n X X X 独立或同分布。

定理三（辛）不要求)(X D 一定存在，“契”“马”与“辛”的结论均为：μ−→−PX ,即算术平均值依概率收敛于数学期望。

“贝”的结论为：p nn PA −→−，即频率依概率收敛于概率。

这个结论很精致，十分简单了。

翻开§4节，一堆一堆的符号映入眼中，让人头大。

其实，若标准化方法娴熟，这一节并不难。