学案3集合之间的关系

集合基础回顾一、元素与集合1．集合中元素的三个特性：、、．2．集合中元素与集合的关系．元素与集合之间的关系有和两种，表示符号为和.3．常见集合的符号表示.集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集表示4．集合的表示法：、、．二、集合间的基本关系表示关系定义记法集合间的基本关系相等集合A与集合B中的所有元素都相同子集A中任意一元素均为B中的元素或真子集A中任意一元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素A中没有或空集空集是任何集合的子集∅⊆B空集是任何的真子集(B≠∅)三、集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示 A ∪B A ∩B若全集为U ，则集合A 的补集为∁UA图形表示意义（2）性质：,A A A ∅=∅∅= ,,A A A A A A == ；,,.A A B A B A A B A B ⊆⊆⊆ A B A A B =⇔⊆ ．A B A A B =⇔⊇ ；()()()U U U C A B C A C B = ，()()()U U U C A B C A C B =1．已知集合A ＝{2,3,4}，B ＝{2,4,6,8}，C ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈B ，且 log xy ∈N*}，则C 中元素个数是 ( )A ．9B ．8C ．3D ．42．用适当的符号填空：已知A ＝{x |x ＝3k ＋2，k ∈Z}，B ＝{x |x ＝6m －1，m ∈Z}，则有：17____A ；－5____A ；17____B .3．(2010·江苏高考)设集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a 的值为________ .4.的值。

求，集合若20112011},,,0{},1{,,abb ab a b a R b a -=+∈1．设全集为R ，集合M ＝{x |y ＝2x ＋1}，N ＝{y |y ＝－x 2}，则( ) A ．M ⊆N B ．N ⊆MC ．N ＝MD ．M ∩N ＝{(－1，－1)}2．设集合A ＝{(x ，y )|4x ＋y ＝6}，B ＝{(x ，y )|3x ＋2y ＝7}，则满足C ⊆(A ∩B )的集合C 的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．33．已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝(－∞，a )，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是(c ，＋∞)，其中c ＝________.4.。

1.1.2集合间的关系学案预习案（限时20分钟）学习目标： 1.理解子集、真子集的含义2.能区分子集与真子集的联系与区别3.会写出给定集合的子集与真子集4.熟记空集的特性5.了解子集的传递性 学习重点： 1.理解子集、真子集的含义2.能区分子集与真子集的联系与区别预习指导：请根据任务提纲认真预习课本❖ 任务一：子集、真子集以及集合相等的含义1.符号B A ⊆含义是什么？符号B A ≠⊂含义是什么？2.你能写出集合{}3,2,1=M 的子集和真子集吗？能说说子集和真子集的联系和区别吗？ 3.包含关系{}a A ⊆与属于关系a A ∈有什么区别?试结合实例作出解释？❖ 任务二：空集的特殊性4.空集是任何集合的子集吗？空集是任何集合的真子集吗？5.0，{}0与φ三者之间有什么关系？预习检测：1、 用适当的符号填空：（1）a ＿＿＿{},,a b c ； （2）{,}a b {,,}a b c ； （3）0＿＿＿{}2|0x x =；（4）φ＿＿＿{}2|10x R x ∈+=； （5）φ______{a } （6）{}0,1＿＿＿N ；（7）{}0＿＿＿{}2|x x x =； （8）{}2,1＿＿＿{}2|320x x x -+=。

2、判断下列两个集合之间的关系：（1）A ={1,2,3}， {}|8B x x =是的约数；（２）{}{}|3,,|6,;A x x k k N B x x z z N ==∈==∈（３）{}{}|410,|20m,m ;A x N x B x x N +=∈==∈是与的公倍数3、写出集合{,,}a b c 的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集。

预习探究：1.A A ⊆，A A ≠⊂这两个都对吗？能得出什么结论？2.如果集合B A ⊆，C B ⊆，那么集合A 与C 有什么关系？能否举例说明？3.已知集合A 中有n 个元素，则集合A 的子集有＿＿＿＿个，真子集有＿＿＿＿个，非空子集有＿＿＿＿个， 非空真子集有＿＿＿＿个。

高中数学集合关系概念教案
1. 掌握集合的定义和表示方法。

2. 理解集合的包含关系和交、并、补运算。

3. 能够用集合的概念解决实际问题。

【教学重点】
1. 集合的定义和表示法。

2. 集合之间的基本关系和运算。

【教学难点】
1. 理解集合运算的概念和性质。

2. 运用集合关系解决问题的能力。

【教学准备】
1. 教师准备：PPT、教材、教具等。

2. 学生准备：课前预习教材相关内容。

【教学过程】
一、复习导入
1. 复习上节课所学内容，引导学生回顾集合的基本定义和表示法。

二、新知讲解
1. 引入：介绍集合的概念和基本表示方法。

2. 概念解释：集合的包含关系、相等关系及运算。

3. 运算规则：介绍集合的交、并、补运算，让学生了解运算规则。

三、拓展引导
1. 实例分析：通过实例让学生掌握集合的运算方法和应用。

四、课堂练习
1. 授课安排练习题，巩固学生对集合概念的理解和掌握。

五、课堂总结
1. 总结本节课的主要内容，强调集合概念及重要运算规则。

2. 鼓励学生多加练习，提高对集合概念的掌握和应用能力。

【课后作业】
1. 完成教师布置的练习题，巩固集合的概念和运算方法。

2. 阅读相关课外资料，了解更多集合的应用和拓展知识。

【教学反思】
1. 本节课教学内容是否能够引起学生的兴趣，是否能够达到预期的教学效果。

2. 学生对集合概念和运算方法的掌握情况如何，是否需要进一步加强巩固。

高中数学集合关系试讲教案
一、教学目标
1.了解集合的基本概念和表示方法。

2.掌握集合的相等关系和包含关系。

3.能够应用集合的运算法则解决实际问题。

二、教学重点
1.集合的基本概念和表示方法。

2.集合的相等关系和包含关系。

三、教学难点
1.集合的相等关系和包含关系的运用。

2.集合的运算法则的应用。

四、教学内容
1.集合的基本概念和表示方法
2.集合的相等关系和包含关系
3.集合的运算法则
五、教学过程
1.导入
通过举例引入集合的概念和表示方法，让学生了解集合的基本特点和应用场景。

2.讲解
(1)集合的表示方法：用花括号{}表示
(2)集合的基本概念：元素、空集、全集等
(3)集合的相等关系和包含关系：介绍集合的相等和包含的定义及运算规则
3.练习
(1)小组讨论练习，让学生在小组内完成一定数量的练习题，加深对集合的理解和掌握。

(2)个人练习，让学生通过完成一定数量的练习题，巩固对集合的基本概念和运算规则的
应用。

4.拓展
通过拓展练习，引导学生将集合的运算规则应用到解决实际问题中，提高学生的解决问题
能力和运用能力。

六、教学反馈
通过课堂小测、讨论、提问等形式，检验学生对集合的基本概念和运算规则的掌握程度，
及时发现问题并进行指导。

七、作业布置
布置相关作业，巩固学生对集合的基本概念和运算规则的掌握。

八、教学总结
在课堂最后进行总结，强调集合的基本概念、运算规则及应用，并展示一些相关实用案例，让学生了解集合的重要性和应用价值。

集合间的基本关系教案集合间的基本关系教案1（一）教学目标；1．知识与技能（1）理解集合的包含和相等的关系.（2）了解使用Venn图表示集合及其关系.（3）掌握包含和相等的有关术语、符号，并会使用它们表达集合之间的关系.2．过程与方法（1）通过类比两个实数之间的大小关系，探究两个集合之间的关系.（2）通过实例分析，获知两个集合间的包含与相等关系，然后给出定义.（3）从自然语言，符号语言，图形语言三个方面理解包含关系及相关的概念.3．情感、态度与价值观应用类比思想，在探究两个集合的包含和相等关系的过程中，培养学习的辨证思想，提高学生用数学的思维方式去认识世界，尝试解决问题的能力.（二）教学重点与难点重点：子集的概念；难点：元素与子集，即属于与包含之间的区别.（三）教学方法在从实践到理论，从具体到抽象，从特殊到一般的原则下，一方面注意利用生活实例，引入集合的包含关系. 从而形成子集、真子集、相等集合等概念. 另一方面注意几何直观的应用，即Venn图形象直观地表示、理解集合的包含关系，子集、真子集、集合相等概念及有关性质.（四）教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图创设情境提出问题思考：实数有相关系，大小关系，类比实数之间的关系，联想集合之间是否具备类似的关系.师：对两个数a、b，应有a＞b或a = b或a＜b.而对于两个集合A、B它们也存在A包含B，或B包含A，或A与B相等的关系.类比生疑，引入课题概念形成分析示例：示例1：考察下列三组集合，并说明两集合内存在怎样的关系（1）A = {1，2，3}B = {1，2，3，4，5}（2）A = {新华中学高（一）6班的全体女生}B = {新华中学高（一）6 班的全体学生}（3）C = {x | x是两条边相等的三角形}D = {x | x是等腰三角形}1．子集：一般地，对于两个集合A、B，如果A中任意一个元素都是B 的元素，称集合A是集合B的子集，记作，读作：“A含于B”（或B包含A）2．集合相等：若，且，则A=B.生：实例（1）、（2）的共同特点是A的每一个元素都是B 的元素.师：具备（1）、（2）的两个集合之间关系的称A是B的子集，那么A是B的'子集怎样定义呢？学生合作：讨论归纳子集的共性.生：C是D的子集，同时D是C的子集.师：类似（3）的两个集合称为相等集合.师生合作得出子集、相等两概念的数学定义.通过实例的共性探究、感知子集、相等概念，通过归纳共性，形成子集、相等的概念.初步了解子集、相等两个概念.概念深化示例1：考察下列各组集合，并指明两集合的关系：（1）A = Z，B = N；（2）A = {长方形}，B = {平行四边形}；（3）A={x| x2–3x+2=0}，B ={1，2}.1．Venn图用平面上封闭曲线的内部代表集合.如果，则Venn图表示为：2．真子集如果集合，但存在元素x∈B，且x A，称A是B的真子集，记作AB (或B A).示例3 考察下列集合. 并指出集合中的元素是什么？（1）A = {(x，y) | x + y =2}.（2）B = {x | x2 + 1 = 0，x∈R}.3．空集称不含任何元素的集合为空集，记作 .规定：空集是任何集合的子集；空集是任何非空集合的真子集.示例1 学生思考并回答.生：（1）（2）（3）A = B师：进一步考察（1）、（2）不难发现：A的任意元素都在B中，而B中存在元素不在A 中，具有这种关系时，称A是B的真子集.示例3 学生思考并回答.生：（1）直线x+y=2上的所有点（2）没有元素师：对于类似（2）的集合称这样的集合为空集.师生合作归纳空集的定义.再次感知子集相等关系，加深对概念的理解，并利用韦恩图从“形”的角度理解包含关系，层层递进形成真子集、空集的概念.能力提升一般结论：① .②若，，则 .③A = B ，且 .师：若a≤a，类比 .若a≤b，b≤c，则a≤c类比.若，，则 .师生合作完成：（1）对于集合A，显然A中的任何元素都在A中，故 .（2）已知集合，同时，即任意x∈A x∈B x∈C，故 .升华并体会类比数学思想的意义.应用举例例1（1）写出集合{a、b}的所有子集；（2）写出集合{a、b、c}的所有子集；（3）写出集合{a、b、c、d}的所有子集；一般地：集合A含有n个元素则A的子集共有2n个.A的真子集共有2n – 1个.学习练习求解，老师点评总结.师：根据问题（1）、（2）、（3），子集个数的探究，提出问题：已知A = {a1，a2，a3…an}，求A的子集共有多少个？通过练习加深对子集、真子集概念的理解.培养学生归纳能力.归纳总结子集：任意x∈A x∈B真子集：A B 任意x∈A x∈B，但存在x0∈B，且x0 A.集合相等：A = B 且空集（）：不含任何元素的集合性质：①，若A非空，则 A.② .③， .师生合作共同归纳—总结—交流—完善.师：请同学合作交流整理本节知识体系引导学生整理知识，体会知识的生成，发展、完善的过程.课后作业1.1 第二课时习案学生独立完成巩固基础提升能力备选训练题例1 能满足关系{a，b} {a，b，c，d，e}的集合的数目是（ A ）A．8个B．6个C．4个D．3个【解析】由关系式知集合A中必须含有元素a，b，且为{a，b，c，d，e}的子集，所以A中元素就是在a，b元素基础上，把{c，d，e}的子集中元素加上即可，故A = {a，b}，A = {a，b，c}，A = {a，b，d}，A = {a，b，e}，A = {a，b，c，d}，A = {a，b，c，e}，A = {a，b，d，e}，A = {a，b，c，d，e}，共8个，故应选A.例2 已知A = {0，1}且B = {x | }，求B.【解析】集合A的子集共有4个，它们分别是：，{0}，{1}，{0，1}.由题意可知B = { ，{0}，{1}，{0，1}}.例3 设集合A = {x – y，x + y，xy}，B = {x2 + y2，x2 – y2，0}，且A = B，求实数x和y的值及集合A、B.【解析】∵A = B，0∈B，∴0∈A.若x + y = 0或x – y = 0，则x2 – y2 = 0，这样集合B = {x2 + y2，0，0}，根据集合元素的互异性知：x + y≠0，x – y≠0.∴（I）或（II）由（I）得：或或由（II）得：或或∴当x = 0，y = 0时，x – y = 0，故舍去.当x = 1，y = 0时，x – y = x + y = 1，故也舍去.∴或，∴A = B = {0，1，–1}.例4 设A = {x | x2 – 8x + 15 = 0}，B = {x | ax – 1 = 0}，若，求实数a组成的集合，并写出它的所有非空真子集.【解析】A = {3，5}，∵，所以（1）若B = ，则a = 0；（2）若B≠，则a≠0，这时有或，即a = 或a = .综上所述，由实数a组成的集合为 .其所有的非空真子集为：{0}，共6个.集合间的基本关系教案2一、预习目标：初步理解子集的含义，能说明集合的基本关系。

学案：集合之间的基本关系【预习达标】⒈如果集合A 中的__________________集合B 的元素，那么集合A 叫做_________________,记作_________或__________，读作______________或________________． ⒉任意一个集合A_______________的子集，即________________．⒊规定：空集是_______________的子集，即_____________．⒋如果集合A 是集合B 的子集，并且B 中__________________________________，那么集合A 叫做集合B 的真子集,记作__________或___________，读作________________或___________________．⒌我们常用_____________________________表示一个集合，这个区域通常叫做维恩图． ⒍一般地，如果集合A 的_________________集合B 的元素，反过来，集合B 的________________也都是集合A 的元素，那么我们就说____________________,记作___________．即，如果____________，又___________,则A=B ；反之，Ａ＝Ｂ，则_________________________．7.如果集合A 有n 个元素，则它一共有________个子集，有_______个真子集，有_______个非空子集。

【课前达标】⒈设集合Ａ＝｛ｘ｜１＜ｘ＜２｝，Ｂ＝｛ｘ｜ｘ＜a ｝，且Ａ⊆Ｂ，则实数a 的范围是（ ） Ａ．a ≥２ Ｂ．a ＞２ Ｃ．a ≤１ Ｄ．a ＞１ ⒉下列各式中，正确的是（ ）Ａ．}4|{32≤⊆x x Ｂ．}4|{32≤∈x x Ｃ．}32{⊂≠}3|{≤x x Ｄ．}4|{}32{≤∈x x⒊写出集合｛a ，b ｝的所有子集与真子集．子集有____________________，真子集有__________________．⒋若A=｛ｘ｜ｘ2－３ｘ＋２＝０｝，B=｛ｘ｜ｘ2－a ｘ＋a －１＝０｝，且Ｂ⊆Ａ，则a 的值为__________．⒌已知集合Ａ＝｛ｘ｜ｘ2－１＝０｝，Ｂ＝｛－１，１｝，则Ａ、Ｂ之间的关系为___________________．【典例解析】例⒈已知集合Ａ＝｛ｘ｜ｘ2－２ｘ－３＝０｝，Ｂ＝｛ｘ｜a ｘ－１＝０｝，若Ｂ⊂≠Ａ，求a的值所组成 的集合Ｍ．例⒉已知三元集合Ａ＝｛y x xy x -,,｝，Ｂ＝｛y x |,|,0 ｝，且Ａ＝Ｂ，求y x 与的值．【双基达标】一．选择题：⒈下列命题正确的是（ ）Ａ．若Ａ＝｛d c b a ,,,｝，Ｂ＝｛c a ,｝，则Ｂ∈ＡＢ．一个集合的子集就是由这个集合中的部分元素组成的集合 Ｃ．若集合Ｍ＝｛１，２｝，Ｎ＝｛（１，２）｝，则Ｍ＝Ｎ Ｄ．∅⊂≠｛０｝，０∈｛０｝均正确． ⒉如果集合Ａ＝｛21|x ＞x ｝，那么⑴０⊆Ａ；⑵∅⊆Ａ；⑶｛０｝⊂≠Ａ；⑷Ｎ⊆Ａ；⑸}31{⊂≠A ，以上各式中正确的个数是（ ）Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ ⒊设}1|),{(},|),{(,,====∈xy y x B x y y x A R y x 则集合Ａ、Ｂ的关系为（ ）Ａ．Ａ⊂≠Ｂ Ｂ．Ｂ⊂≠Ａ Ｃ．Ａ＝Ｂ Ｄ．Ａ⊆Ｂ⒋下列四个集合中，表示空集的是（ ）Ａ．｛０｝ Ｂ．},,|),{(22R y R x x y y x ∈∈-= Ｃ．},,5|||{N x Z x x x ∉∈= Ｄ．},0232|{2N x x x x ∈=-+ ⒌已知集合Ａ＝｛c b a ,,｝，Ｂ＝｛ｘ｜ｘ∈Ａ｝，则集合Ｂ的真子集个数最多是（ ）Ａ．５个 Ｂ．６个 Ｃ．７个 Ｄ．８个 二．填空题：⒏设集合Ａ＝｛xy x x ,,2｝，Ｂ＝｛y x ,,1｝，且Ａ＝Ｂ，则实数y x ,的值_________________________．三．解答题：⒐以下各组中两个对象是什么关系，用适当的符号表示出来．⑴０与｛０｝；⑵０与∅；⑶∅与｛０｝；⑷｛０，１｝与｛（０，１）｝；⑸｛（a b ,）｝与｛（b a ,）｝⒑已知集合Ａ＝｛ｘ｜ｘ＜－１或ｘ＞２｝，Ｂ＝｛ｘ｜４ｘ＋ｐ＜０｝，当Ｂ⊆Ａ时，求实数ｐ的取值范围．【能力达标】一．选择题：⒈设集合Ｍ＝},412|{Z k k x x ∈+=，Ｎ＝},214|{Z k k x x ∈+=，则正确的是（ ）Ａ．Ｍ＝Ｎ Ｂ．Ｍ⊂≠Ｎ Ｃ．Ｎ⊂≠Ｍ Ｄ．Ｍ∩Ｎ＝∅⒉Ａ＝},1|{2N x x y y ∈+=，Ｂ＝},22|{2N a a a y y ∈+-=，则Ａ、Ｂ的关系是（ ）Ａ．Ａ＝Ｂ Ｂ．Ａ⊂≠Ｂ Ｃ．Ｂ⊂≠Ａ Ｄ．Ｂ⊄Ａ二．填空题：⒊已知集合Ａ＝｛０，２，３｝，Ｂ＝｛A b a ab x x ∈=,,|｝，则Ｂ的子集的个数是_______________．⒋已知集合Ａ⊂≠｛２，３，７｝，且Ａ中至多有一个奇数，则这样的集合共有__________________个．⒍设集合Ｍ⊆｛1,2,3,4,5｝，且a ∈Ｍ时，６－a ∈Ｍ，则集合Ｍ=__________________________________．⒎写出满足条件｛0，1｝⊆Ｍ⊂≠｛0，１，２，３｝的集合Ｍ_________________________________________． 三．解答题：8.设集合A=｛04|2=+x x x ｝，Ｂ＝｛R a a x a x x ∈=-+++,01)1(2|22｝，若Ｂ⊆Ａ，求实数a 的值．答 案三．集合之间的关系：【预习达标】⒈任意一个元素都是，集合B 的子集，A ⊆B ，B ⊇A ，“A 包含于B ”，“B 包含A ”． ⒉都是它本身，Ａ⊆Ａ．⒊任意一个集合的，Φ⊆Ａ．⒋至少有一个元素不属于Ａ，Ａ≠⊂Ｂ，Ｂ≠⊃Ａ，“Ａ真包含于Ｂ”，“Ｂ真包含Ａ”．⒌平面内一个封闭曲线的内部．⒍每一个元素都是，每一个元素，集合Ａ等于集合Ｂ，Ａ＝Ｂ，Ａ⊆Ｂ，Ｂ⊆Ａ；Ａ⊆Ｂ且Ｂ⊆Ａ．7.n 2，12-n ，12-n 【课前达标】⒈Ａ［解析］结合数轴可得．⒉Ｂ［解析］注意元素与集合、集合与集合之间的符号连接．⒊Φ、｛a ｝、｛b ｝、｛a ，b ｝；Φ、｛a ｝、｛b ｝．⒋２或３［解析］Ａ={1，2},B ⊆A 则B=Φ或B={1}或B={2}或B={1，2}分别代入可求得a 的值．⒌Ａ＝Ｂ［解析］由条件知Ａ＝｛－１，１｝，又Ｂ＝｛－１，１｝，由集合相等的定义可得． 【典例解析】例⒈解： Ａ＝｛ｘ|ｘ2－2ｘ－3＝0｝＝｛－1，3｝，且B ≠⊂A ∴① 当B ＝Φ时，方程a x－1＝0无解∴a ＝0；②当B ≠Φ时，则B ＝{a1}，若a1＝－1，则a ＝－1；若a1＝3，则a＝31．综上知，a 的值为0，－1或31，故M={－1，0，31}．[点评]⒈注意B ≠Φ这种情况，防止疏漏．⒉要学会对含参数的问题进行分类讨论，讨论时要不重不漏．例⒉解： 0∈Ｂ，Ａ＝Ｂ∴0∈Ａ ｘ≠ｘｙ∴ｘ＝0又 0∈Ｂ，ｙ∈Ｂ∴ｙ≠0．从而ｘ－ｙ＝0即ｘ＝ｙ．这时Ａ＝｛ｘ，ｘ2，0｝，Ｂ＝｛0，|ｘ|，ｘ｝∴ｘ2＝|ｘ|则ｘ＝0（舍去）或ｘ＝1（舍去）或ｘ＝－１．经验证：ｘ＝－１，ｙ＝－１是本题的解．［点评］⒈两个集合相等的描述有两个角度，一是从元素的角度，两集合的元素必须完全相同；二应是 从包含关系的角度，Ａ＝Ｂ⇔Ａ⊆Ｂ且Ｂ⊆Ａ．⒉灵活运用元素的互异性是解好本题的关键． 【双基达标】一．⒈Ｄ［解析］选项Ａ中的符号错误，应是Ｂ≠⊂Ａ；选项Ｂ，Ｃ由定义可以判断．⒉Ａ［解析］由条件知集合Ａ中的元素为大于21的实数，不含０和31，故只有（2）正确．⒊Ｂ［解析］由条件知集合A 表示直线y ＝x 的所有点，而集合B 表示直线y ＝x 上除（0，0）外的所有点，故选B ．⒋Ｄ［解析］选项Ｂ中有元素（０，０）不空；而选项Ｄ中方程的解为－２和21，均不是自然数，故Ｄ中集合为空．⒌Ｃ［解析］由条件知Ｂ中元素为c b a ,,，则真子集个数为２3－１＝7个．故选Ｃ． 二．6.ｘ＝－１，ｙ＝０［解析］由集合相等的定义可得．三．7解：⑴0∈{０}；⑵０∈Φ；⑶Φ与｛0｝都是集合，两者的关系是“包含与否”的关系，∴Φ≠⊂{0}，也可Φ⊆｛０｝；⑷｛0，1｝是含两个元素0，1的集合，而｛（0，1）｝是有序数对为元素的集合，它只含一个元素．∴｛0，1｝≠｛（0，1）｝；⑸当a ＝b 时，｛（a ,b ）｝＝｛（b ,a ）｝；当a ≠b 时，｛（a ,b ）｝＝｛（b ,a ）｝．8.解： B ＝｛ｘ｜4ｘ＋p ＜0｝＝｛ｘ｜ｘ＜－4p ｝． 又 Ａ＝｛ｘ｜ｘ＜－１或ｘ＞２｝，Ｂ⊆Ａ．∴－4p ≤－1 ∴ｐ≥4．［点评］可结合数轴进行分析． 【能力达标】一．⒈Ｂ［解析］由条件知集合Ｍ中的元素为ｘ＝412+k ，集合Ｎ中的元素为ｘ＝42+k ，ｋ∈Ｚ ∴ｋ＋２表示整数，2ｋ＋１表示奇数，故选Ｂ．⒉Ａ［解析］由条件知，集合A 中的元素为自然数的平方加1，而集合B 中ｙ＝(a －1)2＋１，∵a ∈Ｎ∴a －1比自然数集多了一个元素－１，但(－1)2＝1，依然表示自然数的平方加1，故Ａ＝Ｂ． 二．⒊16个［解析］由条件知，集合B 含有0，4，6，9共4个元素，故子集个数为24＝16个．⒋５个［解析］由条件知，集合A 只能含有元素3和7中的一个，或一个也不包含．则Ａ＝｛2｝或｛3｝或｛7｝或｛2，3｝或｛２，７｝．5.｛３｝,或｛１,５｝,｛２,４｝,｛１,３,５｝,｛２,３,４｝,｛１,２,４,５｝,｛１,２,３,４,５｝．［解析］由条件知若a ＝３则６－a ＝３,Ｍ中只有一个元素３；若a ＝１,则必含元素５；若a ＝２，则必含元素４；故将其组合可得答案． 6.｛０，１｝，｛０，１，２｝，｛０，１，３｝［解析］由条件知集合Ｍ中必会有元素０，１，可以有元素２或３，但Ｍ≠｛０，１，２，３｝．三．7.解：由条件知集合Ａ＝｛ｘ｜ｘ2＋4ｘ＝0｝＝｛0，－4｝，又 Ｂ⊆Ａ∴当B ＝Φ时，∆＝4(a＋1)2－4⨯1⨯(a2－１)＜０即a＜－１；当B≠Φ时, 若B中只有一个元素，则∆＝０即a＝－１，此时Ｂ=｛ｘ|ｘ2=0｝=｛０｝符合．若B中含有两个元素，即Ｂ＝{0，－4} ∴0与－4是方程ｘ2＋2（a＋1）ｘ＋a2－1＝0的两根，代入得a＝１．综上a的值为a≤－１或a＝１．。

1.2集合间的基本关系【学习目标】素养目标学科素养1. 理解子集、真子集、空集的概念；(重点)2. 能用符号和Venn图表示集合间的关系；(难点)3. 掌握列举有限集的所有子集的方法。

1、逻辑推理2、直观想象3、数形结合【自主学习】一. 子集的相关概念1．Venn图表示：在数学中，经常用平面上___ ___ 的_____代表集合，这种图称为Venn图，这种表示集合的方法叫做图示法．优点：形象直观。

2.子集、真子集、集合相等定义符号表示图形表示子集如果集合A中的元素都是集合B中的元素，就称集合A是集合B的子集A B(或B A)真子集如果集合A⊆B，但存在元素_________，就称集合A是集合B的真子集A B(或B A)集合相等如果集合A的元素都是集合B的元素，同时集合B的元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等A B3.子集的性质(1)任何一个集合是它本身的，即A⊆A.(2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么.二. 空集定义的集合叫做空集符号用符号表示为___规定空集是任何集合的，是任何非空集合的________A【小试牛刀】1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)空集中只有元素0，而无其余元素．()(2)任何一个集合都有子集．()(3)若A＝B，则A⊆B.()(4)空集是任何集合的真子集．()2.已知集合A＝{x|－1－x<0}，则下列各式正确的是()A．0⊆A B．{0}⊆A C．⊆⊆A D．{0}⊆A【经典例题】题型一集合间关系的判断点拨：判断集合间关系的常用方法(1)列举观察法：当集合中元素较少时，可列出集合中的全部元素，通过定义得出集合之间的关系．(2)集合元素特征法：首先确定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系．(3)数形结合法：利用Venn图、数轴等直观地判断集合间的关系．一般地，判断不等式的解集之间的关系，适合画出数轴．例1 下列各式中，正确的个数是()⊆{0}⊆{0,1,2}；⊆{0,1,2}⊆{2,1,0}；⊆⊆⊆{0,1,2}；⊆⊆＝{0}；⊆{0,1}＝{(0,1)}；⊆0＝{0}．A．1B．2C．3D．4【跟踪训练】1(1)若集合M＝{x|x2－1＝0}，T＝{－1，0,1}，则M与T的关系是()A．M T B．M⊆T C．M＝T D．M ⊆T(2)用Venn图表示下列集合之间的关系：A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是矩形}，D＝{x|x是正方形}．题型二子集、真子集的个数问题点拨：公式法求有限集合的子集个数(1)含n个元素的集合有2n个子集.(2)含n个元素的集合有(2n－1)个真子集.(3)含n个元素的集合有(2n－1)个非空子集.(4)含n个元素的集合有(2n－2)个非空真子集.例2 写出集合{a,b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集.例2-变式写出集合{a,b,c}的所有子集? 写出集合{a,b,c,d}的所有子集?【跟踪训练】2 满足{a，b}⊆A{a，b，c，d，e}的集合A的个数是()A．2B．6 C．7D．8题型三根据集合的包含关系求参数点拨：1.分析集合间的关系时，首先要分析、简化每个集合．2.借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示．3.此类问题要注意对空集的讨论．例3 已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1<x<m＋1}，且B⊆A．求实数m的取值范围．【跟踪训练】3 设集合A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}．(1)若a＝15，试判定集合A与B的关系；(2)若B⊆A，求实数a的取值集合．【当堂达标】1.下列说法：⊆空集没有子集；⊆任何集合至少有两个子集；⊆空集是任何集合的真子集；⊆若⊆A，则A≠⊆.其中正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个2.已知集合A＝{－1,0,1}，则含有元素0的A的子集的个数为()A．2 B．4 C．6 D．83.设A＝{x|2<x<3}，B＝{x|x<m}，若A⊆B，则m的取值范围是()A．m>3 B．m≥3 C．m<3 D．m≤34.已知集合A＝{x|x－3>0}，B＝{x|2x－5≥0}，则这两个集合的关系是________．5.已知A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，且B⊆A，求由实数a的值组成的集合C.6.已知集合A＝{x|x<－1，或x>4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B⊆A，求实数a的取值范围．【课堂小结】1.知识点：(1)子集、真子集、空集、集合相等的概念及集合间关系的判断.(2)求子集、真子集的个数问题.(3)由集合间的关系求参数的值或范围.2.方法归纳：数形结合、分类讨论.3.常见误区：忽略对集合是否为空集的讨论，忽视是否能够取到端点.【参考答案】【自主学习】一．1.封闭曲线内部2.任意一个 ⊆⊇ x ∈B ，且x ∉A 任何一个 任何一个 ＝3.子集 A ⊆C二．不含任何元素 ∅ 子集 真子集 【小试牛刀】1．(1)× (2)√ (3)√ (4)×2. D 解析：集合A ＝{x |－1－x <0}＝{x |x >－1}，所以0∈A ，{0}⊆A ，D 正确． 【经典例题】例1 B 解析：(1)对于①，是集合与集合的关系，应为{0}{0,1,2}；对于②，实际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集；对于③，空集是任何集合的子集；对于④，{0}是含有单元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以∅{0}；对于⑤，{0,1}是含有两个元素0与1的集合，而{(0,1)}是以有序数组(0,1)为元素的单元素集合，所以{0,1}与{(0,1)}不相等；对于⑥，0与{0}是“属于与否”的关系，所以0∈{0}．故②③是正确的，应选B.【跟踪训练】1 (1)A 解析：因为M ＝{x |x 2－1＝0}＝{－1,1}，又T ＝{－1,0,1}，所以M T . (2)根据几何图形的相关知识明确各元素所在集合之间的关系，再画Venn 图．如图例2 解：集合{a,b}的所有子集为∅，{a}，{b}，{a,b}. 真子集为∅，{a}，{b}.例2-变式：集合{a,b,c}的所有子集为∅，{a}，{b}，{c}，{a,b}，{a,c}，{b,c}，{a,b,c}. 集合{a,b,c,d}的所有子集为∅，{a}，{b}，{c}，{d}，{a,b}，{a,c}，{a,d}，{b,c}， {b,d}，{c,d}，{a,b,c}，{a,b,d}，{a,c,d}，{b,c,d}，{a,b,c,d}.【跟踪训练】2 C 解析：由题意知，集合A 可以为{a ，b }，{a ，b ，c }，{a ，b ，d }，{a ，b ，e }，{a ，b ，c ，d }，{a ，b ，c ，e }，{a ，b ，d ，e }．例3 解：(1)因为B ⊆A ，当B ＝⊆时，m ＋1≤2m －1，解得m ≥2.(2)当B ≠⊆时，有⎩⎨⎧－3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1<m ＋1，解得－1≤m <2，综上得m ≥－1.【跟踪训练】3 解：(1)由x 2－8x ＋15＝0得x ＝3或x ＝5，故A ＝{3,5}，当a ＝15时， 由ax －1＝0得x ＝5.所以B ＝{5}，所以BA .(2)当B ＝∅时，满足B ⊆A ，此时a ＝0；当B ≠∅，a ≠0时，集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a ，由B ⊆A 得1a ＝3或1a ＝5，所以a ＝13或a ＝15.综上所述，实数a 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，15 【当堂达标】1.B 解析：⊆空集是它本身的子集；⊆空集只有一个子集；⊆空集不是它本身的真子集；⊆空集是任何非空集合的真子集．因此，⊆⊆⊆错误，⊆正确．2.B 解析：根据题意，含有元素0的A 的子集为{0}，{0,1}，{0，－1}，{－1,0,1}，共4个．3.B 解析：因为A ＝{x |2<x <3}，B ＝{x |x <m }，A ⊆B ，将集合A ，B 表示在数轴上，如图所示，所以m ≥3.4.A B解析：A ＝{x |x －3>0}＝{x |x >3}，B ＝{x |2x －5≥0}＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥52. 结合数轴知A B .5.解：由x 2－3x ＋2＝0，得x ＝1或x ＝2. 所以A ＝{1,2}．因为B ⊆A ，所以对B 分类讨论如下：①若B ＝∅，即方程ax －2＝0无解，此时a ＝0； ②若B ≠∅，则B ＝{1}或B ＝{2}． 当B ＝{1}时，有a －2＝0，即a ＝2； 当B ＝{2}时，有2a －2＝0，即a ＝1.综上可知，符合题意的实数a 所组成的集合C ＝{0,1,2}． 6.解：(1)因为B ⊆A ，所以m 2＝2m －1，即(m －1)2＝0，所以m ＝1.当m ＝1时，A ＝{－1,3,1}，B ＝{3,1}，满足B ⊆A ，故m ＝1. (2)当B ＝⊆时，只需2a >a ＋3，即a >3； 当B ≠⊆时，根据题意作出如图所示的数轴，可得⎩⎨⎧ a ＋3≥2a a ＋3<－1或⎩⎨⎧a ＋3≥2a 2a >4，解得a <－4或2<a ≤3.综上可得，实数a 的取值范围为a <－4或a >2.。

1．1.2 集合间的基本关系——题型探究类型一 子集、真子集的概念问题【例1】 已知集合M ＝{x|x ＜2且x ∈N }，N ＝{x|－2＜x ＜2且x ∈Z }．(1)试判断集合M 、N 间的关系．(2)写出集合M 的子集、集合N 的真子集．[思路探索] 把用描述法表示的集合用列举法表示出来，以便于观察集合的关系和写子集与真子集．解 M ＝{x|x ＜2且x ∈N }＝{0,1}，N ＝{x|－2＜x ＜2，且x ∈Z }＝{－1,0,1}．(1)M N.(2)M 的子集为： ，{0}，{1}，{0,1}，N 的真子集为： ，{－1}，{0}，{1}，{－1,0}，{－1,1}，{0,1}．[规律方法] 1.写有限集合的所有子集，首先要注意两个特殊的子集： 和自身；其次按含一个元素的子集，含两个元素的子集…依次写出，以免重复或遗漏．2．若集合A 含n 个元素，那么它子集个数为2n ；真子集个数为2n －1，非空真子集个数为2n －2.【活学活用1】 已知集合A ＝{x|x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }．B ＝{x|0＜x ＜5，x ∈N }，则满足条件A C B 的集合C 的个数为( )．A ．1B ．2C ．3D ．4解析 易知A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3,4}，又A C B.∴集合C 可以是{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．答案 D类型二 集合的相等问题【例2】 集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，a ，b a ＝{0，a 2，a ＋b}，则a 2 013＋b 2 014的值为( )． A ．0 B ．1 C ．－1 D ．±1[思路探索] 集合相等 集合的元素相同 a ≠0 b ＝0，a 2＝1 a 2013＋b 2014＝－1.解析 ∵⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，a ，b a ＝{0，a 2，a ＋b}， 又a ≠0，∴b a＝0，∴b ＝0. ∴a 2＝1，∴a ＝±1.又a ≠1，∴a ＝－1，∴a 2 013＋b 2 014＝(－1)2 013＋02 014＝－1.答案 C[规律方法] 1.本题以“0”为着眼点，b a中a 不为0为突破口． 2．两个集合相等，则所含元素完全相同，与顺序无关，但要注意检验，排除与集合元素互异性或与已知矛盾的情形．例如本题中a ＝1不满足互异性，否则会错选D.【活学活用2】 设集合A ＝{1，－2，a 2－1}，B ＝{1，a 2－3a,0}，若A ＝B ，求实数a 的值．解 由A ＝B 及两集合元素特征，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－1＝0，a 2－3a ＝－2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝±1，a ＝1或a ＝2. 因此a ＝1，代入检验满足互异性．∴a ＝1.类型三 由集合间的关系求参数范围问题【例3】 已知集合A ＝{x|－3≤x ≤4}，B ＝{x|2m －1＜x ＜m ＋1}，且B A.求实数m 的取值范围．[思路探索] 借助数轴分析，注意B 是否为空集．解 ∵B A ，(1)当B ＝ 时，m ＋1≤2m －1，解得m ≥2.(2)当B ≠ 时，有⎩⎪⎨⎪⎧ －3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1＜m ＋1，解得－1≤m ＜2，综上得m ≥－1.[规律方法] 1.(1)分析集合间的关系时，首先要分析、简化每个集合．(2)借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示．2．此类问题要注意对空集的讨论．【活学活用3】 已知集合A ＝{x|1≤x ≤2}，B ＝{x|1≤x ≤a ，a ≥1}．(1)若A B ，求a 的取值范围；(2)若B A ，求a 的取值范围．解 (1)若A B ，由图可知a ＞2.(2)若B A ，由图可知1≤a ≤2.方法技巧 分类讨论思想在集合关系中的应用所谓分类讨论，就是当问题所涉及的对象不能统一解决时，就需要对研究对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究得出每一类结论，最后综合各类结果得到整个问题的答案．在集合包含关系或涉及集合的元素含有参数时，常借助分类讨论思想转化求解．【示例】 (2013·济南高一检测)已知集合A ＝{x|x 2－4x ＋3＝0}，B ＝{x|mx －3＝0}，且B A ，求实数m 的集合．[思路分析]解 由x 2－4x ＋3＝0，得x ＝1或x ＝3.∴集合A ＝{1,3}．(1)当B ＝ 时，此时m ＝0，满足B A.(2)当B ≠ 时，则m ≠0，B ＝{x|mx －3＝0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫3m . ∵B A ，∴3m ＝1或3m＝3，解之得m ＝3或m ＝1. 综上可知，所求实数m 的集合为{0,1,3}．[题后反思] 1.解答诸如含有集合包含关系的题目时，一定要警惕“ ”这一陷阱，考虑不周而漏掉对空集的讨论，往往造成不应有的失分，初学者要切记．2．在方程或不等式中，当一次项或二次项系数含参数时，在参数取值范围不确定的情况 下要注意分类讨论.作业1．集合{0}与∅的关系是( )．A ．{0}B ．{0}∈C ．{0}＝D ．{0}解析 空集是任何非空集合的真子集，故A 正确．集合与集合之间无属于关系，故B 错；空集不含任何元素，{0}含有一个元素0，故C 、D 均错．答案 A2．已知集合A ＝{x|－1＜x ＜4}，B ＝{x|x ＜a}，若A B ，则实数a 满足( )．A ．a ＜4B ．a ≤4C ．a ＞4D ．a ≥4解析 由A B ，结合数轴，得a ≥4.答案 D3．已知集合A ＝{2,9}，集合B ＝{1－m,9}，且A ＝B ，则实数m ＝________. 解析 ∵A ＝B ，∴1－m ＝2，∴m ＝－1.答案 －14．已知集合A ＝{－1,3,2m －1}，集合B ＝{3，m 2}，若B A ，则实数m ＝________. 解析 ∵B ＝{3，m 2}，A ＝{－1,3,2m －1}，且B A ，∴m 2∈{－1,3,2m －1}，又m 2≠3，∴m 2＝2m －1，解得m ＝1，经检验合题意．答案 15．已知集合A ＝{(x ，y)|x ＋y ＝2，x ，y ∈N }，试写出A 的所有子集．解 ∵A ＝{(x ，y)|x ＋y ＝2，x ，y ∈N }，∴A ＝{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．∴A 的子集有： ，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}，{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．课堂小结1．子集和真子集(1)A B 包含两种情况：A ＝B 和A B.当A 是B 的子集时，不要漏掉A ＝B 的情况．(2)在真子集的定义中，A B 首先要满足A B ，其次至少有一个x ∈B ，但x A.(3)集合与集合之间的关系有包含关系、相等关系，其中包含关系有：包含于( )、包含( )，真包含于( )、真包含( )等，用这些符号时要注意方向．2．空集(1)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．(2)若利用“A B”或“A B”解题，要讨论A＝ 和A≠ 两种情况．3．涉及字母参数的集合关系时，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用.。

§1.2集合之间的关系与运算1.2.1集合之间的关系自主学习学习目标了解子集、真子集、空集的概念，掌握用V enn图表示集合的方法，通过子集理解两集合相等的意义．自学导引1．一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中________________元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作________(或________)，读作“____________”(或“____________”)．2．如果集合A是集合B的子集(A⊆B)，且________________________，此时，集合A 与集合B中的元素是一样的，因此集合A与集合B相等，记作________．3．如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，我们称集合A是集合B的__________，记作________(或________)．4．________是任何集合的子集，________是任何非空集合的真子集．对点讲练知识点一写出给定集合的子集例1 (1)写出集合{0,1,2}的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集；(2)填写下表，并回答问题．原集合子集子集的个数∅{a}{a，b}{a，b，c}由此猜想：含n个元素的集合{a1，a2，…，a n}的所有子集的个数是多少？真子集的个数及非空真子集的个数呢？规律方法(1)分类讨论是写出所有子集的有效方法，一般按集合中元素个数的多少来划分，遵循由少到多的原则，做到不重不漏．(2)集合A中有n个元素，则集合A有2n个子集，有(2n－1)个真子集，(2n－1)个非空子集，(2n－2)个非空真子集．变式迁移1 已知集合M满足{1,2}⊆M⊆{1,2,3,4,5}，写出集合M.知识点二 集合基本关系的应用例2 (1)已知集合A ＝{x |－3≤x ≤4}，B ＝{x |2m －1<x <m ＋1}，且B ⊆A .求实数m 的取值范围；(2)本题(1)中，若将“B ⊆A ”改为“A ⊆B ”，其他条件不变，求实数m 的取值范围．规律方法 (1)分析集合关系时，首先要分析、简化每个集合．(2)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示．(3)此类问题还应注意“空集”这一“陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时，初学者会想当然认为非空集合而丢解，因此分类讨论思想是必须的．变式迁移2 已知A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}，B ＝{x |mx ＝1}，若B A ，求实数m 所构成的集合M .知识点三 集合相等关系的应用例3 已知集合A ＝{2，x ，y }，B ＝{2x,2，y 2}且A ＝B ，求x ，y 的值．规律方法 集合相等则元素相同，但要注意集合中元素的互异性，防止错解．变式迁移3 含有三个实数的集合可表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a，1，也可表示为{a 2，a ＋b,0}，求a ，b .1．元素、集合间的关系用符号“∈”或“∉”表示，集合、集合间的关系用“⊆”、“＝”或“”等表示．2．在特定的情况下集合也可以作为元素，如集合B ＝{∅，{0}，{1}，{0,1}}，则此时{1}∈B ，而不能是{1}B .3．解集合关系的问题时还需注意以下几个方面：(1)当A ⊆B 时，A ＝B 或A B .(2)判断两个集合间的关系：①先用列举法表示两个集合再判断；②分类讨论．(3)解数集问题学会运用数轴表示集合．(4)集合与集合间的关系可用V enn 图直观表示.课时作业一、选择题1．下列命题①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若∅A 时，则A ≠∅，其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．32．已知集合A ＝{x |a －1≤x ≤a ＋2}，B ＝{x |3<x <5}，则能使A ⊇B 成立的实数a 的取值范围是( )A ．{a |3<a ≤4}B ．{a |3≤a ≤4}C ．{a |3<a <4}D ．∅3．设B ＝{1,2}，A ＝{x |x ⊆B }，则A 与B 的关系是( )A ．A ⊆B B ．B ⊆AC ．A ∈BD ．B ∈A4．若集合A ＝{x |x ＝n ，n ∈N }，集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝n 2，n ∈Z ，则A 与B 的关系是( ) A ．A B B ．A B C ．A ＝B D ．A ∈B5．在以下六个写法中：①{0}∈{0,1}；②∅{0}；③{0，－1,1}⊆{－1,0,1}；④0∈∅；⑤Z ＝{正整数}；⑥{(0,0)}＝{0}，其中错误写法的个数是( )A ．3B ．4C ．5D ．6二、填空题6．满足{0,1,2}A ⊆{0,1,2,3,4,5}的集合A 的个数是________．7．设M ＝{x |x 2－1＝0}，N ＝{x |ax －1＝0}，若N ⊆M ，则a 的取值集合为________．8．若{x |2x －a ＝0，a ∈N }⊆{x |－1<x <3}，则a 的所有取值组成的集合为________________．三、解答题9．设集合A ＝{1，a ，b }，B ＝{a ，a 2，ab }，且A ＝B ，求实数a 、b 的值．10．已知集合A ＝{x |－2k ＋3<x <k －2}，B ＝{x |－k <x <k }，若A B ，求实数k 的取值范围．【探究驿站】11．已知集合M＝{x|x＝m＋16，m∈Z}，N＝{x|x＝n2－13，n∈Z}，P＝{x|x＝p2＋16，p∈Z}，请探求集合M、N、P之间的关系．§1.2集合之间的关系与运算1．2.1集合之间的关系答案自学导引1．任意一个A⊆B B⊇A A包含于BB包含A2．集合B是集合A的子集(B⊆A)A＝B3．真子集A B B A4．空集空集对点讲练例1 解(1)不含任何元素的集合：∅；含有一个元素的集合：{0}，{1}，{2}；含有两个元素的集合：{0,1}，{0,2}，{1,2}；含有三个元素的集合：{0,1,2}．故集合{0,1,2}的所有子集为∅，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}．其中除去集合{0,1,2}，剩下的都是{0,1,2}的真子集．(2)原集合子集子集的个数∅∅ 1{a}∅，{a} 2{a，b}∅，{a}，{b}，{a，b} 4{a，b，c}∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}8这样，含n个元素的集合{a1，a2，…，a n}的所有子集的个数是2n，真子集的个数是2n －1，非空真子集的个数是2n－2.变式迁移1解由已知条件知所求M为：{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}．例2 解(1)∵B⊆A，①当B＝∅时，m＋1≤2m－1，解得m≥2.②当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧ －3≤2m －1m ＋1≤42m －1<m ＋1，解得－1≤m <2，综上得m ≥－1.(2)显然A ≠∅，又A ⊆B ，∴B ≠∅，如图所示，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2m －1<m ＋12m －1<－3m ＋1>4，解得m ∈∅.变式迁移2 解 由x 2－5x ＋6＝0得x ＝2或x ＝3.∴A ＝{2,3}由B A 知B ＝∅或B ＝{2}或B ＝{3}若B ＝∅，则m ＝0；若B ＝{2}，则m ＝12；若B ＝{3}，则m ＝13. ∴M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，13. 例3 解 方法一 ∵A ＝B∴集合A 与集合B 中的元素相同∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2x y ＝y 2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y 2y ＝2x ， 解得x ，y 的值为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0y ＝1或⎩⎨⎧ x ＝14y ＝12验证得，当x ＝0，y ＝0时，A ＝{2,0,0}这与集合元素的互异性相矛盾，舍去．∴x ，y 的取值为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝1，或⎩⎨⎧x ＝14，y ＝12. 方法二 ∵A ＝B ，∴A 、B 中元素分别对应相同．∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2x ＋y 2，x ·y ＝2x ·y 2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y (y －1)＝0， ①xy (2y －1)＝0. ② ∵集合中元素互异，∴x 、y 不能同时为0.∴y ≠0.由②得x ＝0或y ＝12. 当x ＝0时，由①知y ＝1或y ＝0(舍去)；当y ＝12时，由①得x ＝14. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝1，或⎩⎨⎧ x ＝14，y ＝12.变式迁移3 解 由集合相等得：0∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a，1，易知a ≠0， ∴b a＝0，即b ＝0，∴a 2＝1且a 2≠a ，∴a ＝－1. 综上所述：a ＝－1，b ＝0.课时作业1．B [仅④是正确的．]2．B [∵A ⊇B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1≤3a ＋2≥5∴3≤a ≤4.]3．D [∵B 的子集为{1}，{2}，{1,2}，∅，∴A ＝{x |x ⊆B }＝{{1}，{2}，{1,2}，∅}，∴B ∈A .]4．A 5.B6．7解析 本题即求集合{3,4,5}的非空子集个数，共23－1＝7个．7．{－1,1,0}8．{0,1,2,3,4,5}9．解 ∵A ＝B 且1∈A ，∴1∈B .若a ＝1，则a 2＝1，这与元素互异性矛盾，∴a ≠1.若a 2＝1，则a ＝－1或a ＝1(舍)．∴A ＝{1，－1，b }，∴b ＝ab ＝－b ，即b ＝0.若ab ＝1，则a 2＝b ，得a 3＝1，即a ＝1(舍去)． 故a ＝－1，b ＝0即为所求．10．解 ∵A B ，①若A ＝∅，且B ≠∅，则k >0，且－2k ＋3≥k －2⇒0<k ≤53； ②若A ≠∅，且B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧ k >0－2k ＋3<k －2－k ≤－2k ＋3k ≥k －2且－k ＝－2k ＋3与k ＝k －2不同时成立，解得53<k ≤3. 由①②可得实数k 的取值范围为{k |0<k ≤3}．11．解 M ＝{x |x ＝m ＋16，m ∈Z }＝{x |x ＝6m ＋16，m ∈Z }． N ＝{x |x ＝n 2－13，n ∈Z }＝{x |x ＝3n －26，n ∈Z }． P ＝{x |x ＝p 2＋16，p ∈Z }＝{x |x ＝3p ＋16，p ∈Z }． ∵3n －2＝3(n －1)＋1，n ∈Z ，∴3n －2,3p ＋1都是3的整数倍加1，从而N ＝P .而6m ＋1＝3×2m ＋1是3的偶数倍加1，∴M N ＝P .。