高中数学专题讲义-直线与圆相交
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【例1】 直线323y x =+与圆心为D 的圆33cos 13sin x y θ
θ
⎧=+⎪⎨=+⎪⎩[)()02πθ∈,交与A 、B 两
点,则直线AD 与BD 的倾斜角之和为( ) A .7π6 B .5π4 C .4π3
D .5π
3
【例2】 若()2,1P -为圆()2
2125x y -+=的弦AB 的中点,则直线AB 的方程
为 .
【例3】 直线250x y -+=与圆228x y +=相交于A 、B 两点,则AB =________.
【例4】 已知P 是圆22:(5)(5)16O x y -+-=上的一点,关于点(5,0)A 的对称点是Q ,将
半径OP 绕圆心O 依逆时针方向旋转90到OR ,求RQ 的最值.
【例5】 直线3y kx =+与圆()()2
2
324x y -+-=相交于M ,N 两点,若23MN ≥,则
k 的取值范围是
A .304⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦, B .[)
304⎛
⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦,∪, C .3333⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦,
D .205⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,
【例6】 直线21ax by +=与圆221x y +=相交于A ,B 两点(其中,a b 是实数),且AOB
∆是直角三角形(O 是坐标原点),则点(),P a b 与点()0,1之间距离的最大值为
典例分析
板块四.直线与圆相交
( )
A .21+
B .2
C .2
D .21-
【例7】 直线20x y ++=截圆224x y +=所得劣弧所对圆心角为( )
A .
π6 B .π3 C .π2 D .2π3
【例8】 圆224x y +=被直线
3230x y +-=截得的劣弧所对的圆心角的大小
为 .
【例9】 已知直线(:22
l y k x =+()0k ≠与圆O :2
24x
y +=相交于A ,B 两点,O 为坐
标原点,AOB ∆的面积为S .
⑴试将S 表示为k 的函数()S k ,并求出它的义域;⑵求S 的最大值,并求出此时的k 值.
【例10】 经过点(2,3)P -作圆22(1)25x y ++=的弦AB ,使点P 为弦AB 的中点,则弦AB 所
在直线方程为( )
A .50x y --=
B .50x y -+=
C .50x y ++=
D .50x y +-=
【例11】 某圆拱桥的水面跨度是20m ,拱高为4m ,现有一船宽9m ,在水面以上部分高3m ,
故通行无阻.近日水位暴涨了1.5m ,为此,必须加重船载,降低船身.当船身至少应降低 m 时,船才能通过桥洞.(结果精确到0.01m )
【例12】 过点()2,0P 与圆22230x y y ++-=相交的所有直线中,被圆截得的弦最长时的直
线方程是_________.
【例13】 若直线220(,0)ax by a b -+=>始终平分圆222410x y x y ++-+=的周长,则
11
a b
+的最小值为____________.
【例14】 直线2x =被圆
2
24x a y -+=()所截得的弦长等于,则a 的为 .
【例15】 若过定点(10)M -,且斜率为k 的直线与圆22450x x y ++-=在第一象限内的部分
有交点,则k 的取值范围是( )
A .0k <<
B .0k <<
C .0k <<
D .05k <<
【例16】 已知圆22:(1)(2)25C x y -+-=,直线:(21)(1)740()l m x m y m m +++--=∈R .
⑴证明直线l 与圆相交;
⑵求直线l 被圆C 截得的弦长最小时,求直线l 的方程.
【例17】 已知圆C 的圆心与点(21)P -,关于直线1y x =+对称.直线34110x y +-=与圆C
相交于A B ,两点,且||6AB =,则圆C 的方程为 .
【例18】 求过直线370x y +-=与已知圆222230x y x y ++--=的交点,且在两坐标轴上的
四个截距之和为8-的圆的方程.
【例19】 已知圆()()2
2
:1225C x y -+-=及直线()():21174()l m x m y m m +++=+∈R
⑴证明:不论m 取什么实数,直线l 与圆C 恒相交;
⑵求直线l 与圆C 所截得的弦长的最短长度及此时直线l 的方程.
【例20】 已知圆C :()2219x y -+=内有一点(22)P ,,过点P 作直线l 交圆C 于A 、B 两
点.
⑴当l 经过圆心C 时,求直线l 的方程;
⑵当弦AB 被点P 平分时,写出直线l 的方程; ⑶当直线l 的倾斜角为45︒时,求弦AB 的长.
【例21】 已知点11()A x y ,、22()B x y ,12(0)x x ≠是抛物线22(0)y px p =>上的两个动点,O
是坐标原点,向量OA 、OB 满足OA OB OA OB +=-.设圆C 的方程为221212()()0x y x x x y y y +-+-+=.
⑴证明:线段AB 是圆C 的直径;
⑵当圆C 的圆心到直线20x y -=时,求p 的值.